Tài liệu Copy of de dap an hsg toan 9 nam 2015 ck

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ MÔN TOÁN HỌC NĂM HỌC: 2015 - 2016 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 4đ ) Cho biểu thức P= x 1 x x x x : 1 2 x  x và Q = x 4  7 x 2  15 ( với x > 0, x ≠ 1 ) a) Rút gọn biểu thức P b) Với giá trị nào của x thì Q – 4P đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 2: ( 4đ ) Cho ba số dương a , b , c . Chứng minh rằng 1 1 1   a b c ≥ 3( 1 1 1   a  2b b  2c c  2a ) Bài 3: ( 4đ ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 2  3 y 2  2 xy  2 x  10 y  4 0 Bài 4: ( 6đ) Trên đường tròn tâm (o), bán kính R lấy hai điểm A và B tùy ý. Giả sử C là một điểm nằm phía trong AB ( C ≠ A, C ≠ B ). Kẻ đường kính AD của đường tròn tâm (o). Cát tuyến đi qua C vuông góc với đường kính AD tại H cắt đường tròn tâm (o) tại M và N. Đường thẳng đi qua M và D cắt AB tại E. Kẻ EG vuông góc với AD tại G a) Chứng minh rằng: BDHC và AMEG cùng thuộc một đường tròn b) Chứng minh rằng: AM 2 = AC . AB c) Chứng minh rằng: AE . AB + DE . DM = 4R 2 Bài 5 ( 2đ) Các góc nhọn của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện CosA + CosB + CosC = CosA.CosB  CosB.CosC  CosC.CosA Chứng minh rằng tam giác ABC đều ................... Hết ...................... PHÒNG GD & ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN HỌC TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ NĂM HỌC: 2015 - 2016 Câu 1/a Đáp án x 1 P x (x  x  1) . x ( x  1)( x  Điểm 1đ x  1) 0,5đ 0,5đ 0,5 0,25 0,25 ( x  1)( x  1) x  1 1/b Q – 4P = x 4  7 x 2  15  4 x  4 = ( x 4  8 x 2  16)  ( x 2  4 x  4)  1 = ( x 2  4) 2  ( x  2)  1 ≥ -1 Với mọi x x 2  4 0 x  2 0 Dấu đẳng thức xảy ra khi {  x 2 Vậy Min Q - 4P = -1 khi x 2 Với x, y, z > 0 ta có 2 1 1 1   x y z 1 1 1 ( x  y  z )( x  y  z ) ≥ 9 1 1 1 9   ≥ * x y z xyz x yz   ≥ 3 xyz , ≥ 3. 3 0,5 0,5 0,5 1 xyz 0,5 0,5 Áp dụng * ta có: 1 1 1   a b b ≥ 9 a  2b , 1 1 1   b c c ≥ 9 b  2c , 1 1 1   c a a ≥ 9 c  2a Cộng vế ta được: 1 1 1 1 1 1 3( a  b  c ) ≥ 9( a  2b  b  2c  c  2a )  1 1 1   a b c ≥ 4/a 4/b 0,5 1 1 1   ) 3( a  2b b  2c c  2a Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = b = c 3 1 Biến đổi phương trình  [ x 2  2 x( y  1)  ( y  1) 2 ] – ( 4 y 2  8 y  4)  7 0  ( x  y  1) 2  (2 y  2) 2  7 0  (3 y  x  1)( y  x  3) 7 Do đó: 3 y  x  1 và y  x  3 là ước của 7 Vậy : ( x, y ) ( 7; -3 ), ( 1; -3 ) , ( 3; 1 ) , ( -3 ; 1 ) Vẽ hình Tứ giác BDHC và tứ giác AMEG là tứ giác nội tiếp Vì có tổng hai góc đối bằng 180 0 ∆AHC đồng dạng ∆ABD ( g. g ) 0,5 0,5 1 1 1 0,5 0,5 1 0,5 => AH AC  AB AD 0,5 0,5 Nên AH. AD = AB. AC Áp dụng hệ thức lượng với tam giác vuôngMAD Ta có: MA 2 = AH. AD  AM 2 = AB. AC 4/c ∆AGE đồng dạng ∆ABD ( g. g )  AE. AB = AG. AD ∆DGE đồng dạng ∆DMA ( g. g )  DE. DM = DG. DA Vậy AE. AB + DE. DM = AD(AG + GD) = AD 2 = 4R 2 0,5 0,5 N D G H • 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 O . A E C B M 5 Đặt CosA = x , CosB = y, Cos C = z x + y + z = xy  yz  zx  ( x  y )  ( y  z )  ( z  x ) 0 ( x  y) = 0 ( y  z) = 0 ( z  x)2 = 0 => x  y  z Hay CosA = CosB = Cosc  A=B=C Vậy ∆ABC đều 2 ( ta có x ; y ; z > 0 ) 2 2 0,25 0,25 0,25 2 Ban giám hiệu PHT. Vũ Thị Hồng Thắm 0,5 0,25 0,25 0,25 Người duyệt đề Người ra đề / đáp án Trịnh Văn Đông Đàm Trọng Tuấn