Tài liệu DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Ở TRUNG HỌC TRONG MỐI QUAN HỆ VỚI PHƯƠNG TRÌNH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Võ Thanh Phú DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Ở TRUNG HỌC TRONG MỐI QUAN HỆ VỚI PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Võ Thanh Phú DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Ở TRUNG HỌC TRONG MỐI QUAN HỆ VỚI PHƯƠNG TRÌNH Chuyên ngành: LL&PP dạy học môn Toán Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 Lời cảm ơn Đầu tiên, con xin gởi lời tri ân đến Ba, Má đã sinh ra con và nuôi dạy con khôn lớn, cảm ơn những người thầy, những người cô đã đi qua trong cuộc đời tôi và truyền thụ cho tôi tri thức để thành người, gởi đến các bạn ở lớp cao học didactic toán k22 sự quí trọng nhất. Cảm ơn cô Lê Thị Hoài Châu đã góp ý bản đề cương để tôi có thêm hướng đi trong những ngày đầu "loe lói" ý tưởng. Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn cô Vũ Như Thư Hương, người đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi xin chúc những người mà tôi đã chịu ơn luôn mạnh khỏe và hạnh phúc. VÕ THANH PHÚ Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi làm dưới sự hướng dẫn của cô Vũ Như Thư Hương, tôi không sao chép lại luận văn của người khác. Nếu lời cam đoan của tôi không đúng sự thật thì tôi sẽ bị xử lý theo đúng pháp luật. Võ Thanh Phú MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU ........................................................................................................1 T 4 4T I. Lý do chọn đề tài .............................................................................................1 T 4 4T II. Phạm vi lý thuyết tham chiếu .........................................................................5 T 4 T 4 III. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu ......................................5 T 4 T 4 IV. Cấu trúc luận văn ..........................................................................................6 T 4 4T Chương 1. QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH .................................................................................7 T 4 T 4 1.1. Một số kết quả về phương trình bậc nhất, bậc hai rút ra từ những nghiên cứu trước đây ...............................................................................................7 T 4 4T 1.2. Bất phương trình bậc nhất ở lớp 8 .............................................................11 T 4 T 4 1.3. Bất phương trình bậc hai ở lớp 10 .............................................................21 T 4 T 4 Chương 2. THỰC NGHIỆM ..................................................................................50 T 4 T 4 2.1. Giới thiệu thực nghiệm ..............................................................................50 T 4 T 4 2.2. Phân tích tiên nghiệm ................................................................................50 T 4 T 4 2.2. Phân tích hậu nghiệm.................................................................................58 T 4 T 4 2.4. Kết luận ......................................................................................................66 T 4 4T PHẦN KẾT LUẬN ...........................................................................................68 T 4 PHỤ LỤC T 4 4T 4T DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT 1 BDT Bất đẳng thức 2 BPT Bất phương trình 3 BT Bài tập 4 BXD Bảng xét dấu 5 CL Chiến lược 6 KNV Kiểu nhiệm vụ 7 KT Kĩ thuật 8 PT Phương trình 9 THPT Trung học phổ thông 10 TXD Tập xác định 11 VD Ví dụ 12 VT Vế trái 13 VP Vế phải 14 Nxb Nhà xuất bản DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1: Trích từ tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán lớp 10 năm 2010. Bảng 2.1: Bảng tóm tắt kĩ thuật giải phương trình bậc hai. 1 9 Bảng 2.2: Tóm tắt kĩ thuật giải phương trình, bất phương trình bậc nhất ; phương trình, bất phương trình quy về bậc nhất ở lớp 8. 20 Bảng 2.3: Kết quả giải và biện luận bất phương trình ax + b < 0. 23 Bảng 2.4: Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất. 23 Bảng 2.5: Tam thức bậc hai vô nghiệm (∆ < 0). 25 Bảng 2.6: Tam thức bậc hai có nghiệm kép x0 = − b (∆ = 0) . 2a 25 Bảng 2.7: Tam thức bậc hai có hai nghiệm x 1 và x 2 (x 1 < x 2 ), ∆ > 0. 26 Bảng 2.8: Bảng thống kê bài tập giải BPT bậc hai. 43 R R R R R R R R Bảng 2.9: Tập nghiệm của BPT bậc hai trong trường hợp tam thức bậc hai có nghiệm kép. Bảng 2.10: Tóm tắt một số kĩ thuật giải giống nhau của phương trình và bất phương trình 45 48 Bảng 3.1: Kết quả thực nghiệm câu hỏi số 1 - bất phương trình (1.1). 58 Bảng 3.2: Kết quả thực nghiệm câu hỏi số 1 - bất phương trình (1.2). 60 Bảng 3.3: Kết quả thực nghiệm câu hỏi số 1 - bất phương trình (1.3). 64 1 PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Trong chương trình môn toán của Việt Nam, cùng với việc mở rộng hệ thống số là việc giải phương trình (PT), bất phương trình (BPT) trong từng tập số tương ứng. Khái niệm PT, BPT được hình thành ngầm ẩn từ cấp tiểu học thông qua các bài toán “điền vào chỗ trống”, tìm x (trong tập số ℕ). Bảng 1: Trích từ tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán lớp 10 năm 2010 Đến cấp trung học cơ sở, trong chương trình lớp 7 có khái niệm về PT ax = b (trong tập ℚ). Khái niệm PT, BPT được giới thiệu tường minh ở lớp 8 và chúng được chính xác hóa ở lớp 10. Kể từ khi được giới thiệu tường minh, đối tượng PT, BPT tiến triển qua các lớp như sau: Lớp 8 9 10 Kiến thức • Khái niệm PT, BPT một ẩn. • Giới thiệu PT, BPT bậc nhất một ẩn và cách giải. • Phương trình bậc hai một ẩn và cách giải. • Chính xác hóa khái niệm PT, BPT. • BPT bậc nhất hai ẩn. • Giải và biện luận PT ax + b = 0, ax2 + bx + c = 0. P P 2 11 12 • PT lượng giác. • PT, BPT đại số tổ hợp. • PT, BPT mũ, logarit. • Giải PT trong tập số phức. BPT đóng một vai trò quan trọng trong toán học. Nó là một phần trong nhiều chủ đề toán học như: đại số, lượng giác, quy hoạch tuyến tính, giải tích (Chakrabarti&Hamsapriye, 1997; Mahmood & Edwards, 1999). Ví dụ như trong lĩnh vực giải tích để tìm tập xác định của các hàm số f ( x ) = g ( x ) = log x 2 − 2 x + 2 và x x , ta phải tìm tập nghiệm của các BPT x 2 − 2 x + 2 ≥ 0 và > 0 . Hơn x+3 x+3 nữa theo các tài liệu tiêu chuẩn của Mỹ xác định rằng tất cả học sinh từ lớp 9 đến 12 nên học cách trình bày các tình huống có liên quan đến PT, BPT và ma trận (NCTM 1, 1989). Họ đề xuất thêm rằng học sinh "sẽ hiểu ý nghĩa của các hình thức 0F P P tương đương của các biểu thức, PT, BPT, hệ phương trình và giải chúng một cách thông thạo" [NCTM, 2000, tr.269]. Với vai trò quan trọng như thế chúng tôi tự hỏi: PT và BPT được xây dựng và tiến triển ra sao trong việc dạy và học toán ở Việt Nam theo chương trình hiện hành? Trong mỗi lớp học có những kiểu bài tập nào gắn liền với khái niệm này? Một PT là một phát biểu mà duy trì giá trị bằng nhau của hai biểu thức toán học. Nếu phát biểu này là đúng với tất cả các giá trị của biến thì nó được gọi là một đồng nhất thức [13]. BPT là một phát biểu sử dụng các ký hiệu < (nhỏ hơn), > (lớn hơn), ≤ (nhỏ hơn hoặc bằng), và ≥ (lớn hơn hoặc bằng) thay cho dấu bằng trong hai biểu thức của PT. Một BPT không cụ thể như một PT, nhưng nó có chứa thông tin về các biểu thức liên quan. Ngoài ra, BPT còn cung cấp một quan điểm bổ sung cho PT. 1 National Council of Teachers of Mathematics. 3 Nhìn chung, PT và BPT có vẻ như nhau, chúng giống nhau về nguyên tắc thực hành chẳng hạn như cộng và trừ bất kỳ một biểu thức, nhân (hoặc chia) các số nguyên dương. Bên cạnh đó, chúng còn có nhiều điểm khác biệt, chẳng hạn như trong một PT để chứng minh câu trả lời là đúng, tất cả những gì chúng ta cần làm là gắn câu trả lời vào sự bằng nhau. Ví dụ (VD) nếu PT là 4x = 8 và câu trả lời là x = 2 thì chúng ta cần chứng minh khi thế số 2 vào để được: 4.2 = 8. Tuy nhiên, trong một BPT, chúng ta có một loạt các câu trả lời khác nhau. Do đó, để chứng minh câu trả lời chúng ta cần thế nhiều giá trị. VD nếu BPT x 2 > 9 và câu trả lời là x < -3 hoặc x > 3 . Để chứng minh điều này chúng ta cần làm nhiều bước. Chẳng hạn như để kiểm tra số 4 (một số lớn hơn 3): 42 > 9 là câu trả lời đúng, kiểm tra số 1: 12> 9 là P P P P câu trả lời sai. Vì vậy, x < -3 hoặc x > 3 là câu trả lời đúng. Từ đây, câu hỏi đặt ra là trong chương trình toán ở phổ thông của Việt Nam PT và BPT liên hệ với nhau như thế nào? Mặt khác, từ thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy khi gặp bài toán giải các BPT: 1) m2 – 4 > 0 P P 2) x2 – 2x + 3 > 0 P P Một số học sinh làm như sau: 1) m2 – 4 > 0 P P Phải chăng đây là do học sinh quan niệm dấu “>” và dấu “=” chỉ khác nhau về mặt hình thức. Do đó, học sinh vận dụng cách giải PT m2 – 4 = 0 ⇔ m2 = 4 ⇔ P = ± 2 vào cho BPT trên. P P P m 4 2) x2 – 2x + 3 > 0 P P Chúng tôi tự hỏi liệu sai lầm trên của học sinh có liên quan gì đến bài toán 0 , ∆’ = -2 nên PT vô nghiệm? x2 − 2x + 3 = Đâu là nguyên nhân của những sai lầm trên? Ngoài những sai lầm đó học sinh còn có những sai lầm nào khác liên quan đến bài tập giải BPT? Trong lịch sử, để giải các BPT thông thường ở các bước đầu tiên (trong nhiều trường hợp nó là bước chính) là việc giải một PT, ví dụ như để giải BPT a(x) < b(x) chúng ta phải giải các PT a(x) = b(x). Sau đó, một cách hình thức ta sẽ thay dấu “=” thành dấu “<” thì ta sẽ thu được kết quả cho BPT đưa ra. Ngoài ra, các công trình nghiên cứu của P.Tsamir & L.Bazzini (2002) đã chỉ ra học sinh Isreal gặp phải sai lầm khi giải BPT chứa ẩn ở mẫu, sai lầm cũng được Mehmet Üreyen, Nevin Mahir, Nezahat Çetin (2005) chỉ ra khi thực hiện nghiên cứu trên học sinh Thổ Nhĩ Kỳ. Qua những phân tích trên chúng tôi thấy một nghiên cứu đầy đủ về việc dạy và học PT, BPT là thật sự cần thiết. Tuy nhiên, do thời gian hạn hẹp nên chúng tôi chỉ giới hạn đối tượng nghiên cứu của mình là: PT, BPT bậc nhất ở lớp 8 và lớp 10; PT, BPT bậc hai ở lớp 9 và 10, các đối tượng PT và BPT mà chúng tôi nghiên cứu chỉ có một ẩn. Vì những lí do trên nên chúng tôi chọn “dạy học bất phương trình bậc nhất và bậc hai ở trung học trong mối quan hệ với phương trình” làm tên đề tài nghiên cứu của mình. 5 II. Phạm vi lý thuyết tham chiếu Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán. Cụ thể là thuyết nhân học bởi vì thuyết nhân học cho chúng tôi công cụ để phân tích chương trình và sách giáo khoa. Từ phân tích đó chúng tôi sẽ chỉ ra những sai lầm có thể tồn tại nơi học sinh. Trên cơ sở phạm vi lý thuyết lựa chọn, chúng tôi đặt lại câu hỏi nghiên cứu như sau: Q1. Mối quan hệ thể chế với đối tượng phương trình và bất phương trình được xây dựng và tiến triển ra sao ở các lớp 8, 9, 10? Đặc trưng của những tổ chức toán học gắn liền với các đối tượng này? Q2. Đối tượng bất phương trình đã được xây dựng như thế nào trong mối quan hệ với đối tượng phương trình, cụ thể là bất phương trình bậc nhất, bất phương trình bậc hai trong mối quan hệ với phương trình bậc nhất, bậc hai? Q3. Có những sai lầm nào về việc giải bất phương trình có thể tìm thấy nơi học sinh khi chuyển từ đối tượng phương trình sang đối tượng bất phương trình? Có những quy tắc hành động nào tồn tại nơi học sinh liên quan đến hai đối tượng đó? III. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu Đi tìm lời giải đáp cho những câu hỏi trên là mục tiêu nghiên cứu của luận văn này. Để hiện thực hóa mục tiêu đó chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau: • Phân tích bộ sách 2 Toán 8, 9, đại số 10 (nâng cao và cơ bản) đồng thời tổng 1F P P hợp những kết quả đạt được từ các luận văn nghiên cứu về PT trước đây cùng các bài báo của các tác giả nước ngoài nghiên cứu về BPT bậc nhất và bậc hai để tìm cách trả lời cho câu hỏi Q1 và Q2. • Phân tích sách giáo viên toán 10 và tổng hợp các bài báo chuyên môn để dự đoán những sai lầm của học sinh gắn liền với đối tượng BPT và cố gắng giải thích những sai lầm này theo quan điểm của thuyết nhân học. Sau đó tiến 2 Sách giáo khoa, sách giáo viên và sách bài tập. 6 hành một thực nghiệm để kiểm chứng các giả thuyết đưa ra. Thực hiện những phương pháp này là tìm cách trả lời cho câu hỏi Q3. IV. Cấu trúc luận văn Luận văn được chia làm các phần - Phần mở đầu. - Chương 1: Quan hệ thể chế với đối tượng phương trình, bất phương trình. - Chương 2: Thực nghiệm. - Phần kết luận. 7 Chương 1. QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Theo chương trình giáo dục trung học môn Toán của Việt Nam. PT, BPT bậc nhất, bậc hai được giảng dạy qua các lớp như sau: PT bậc nhất BPT bậc nhất Lớp 8, 10 PT bậc hai Lớp 9, 10 BPT bậc hai Lớp 10 Để trả lời ba câu hỏi đã đặt ra ở phần mở đầu chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và sách giáo khoa Việt Nam hiện hành qua các lớp 8, 9, 10. Ở lớp 9 học sinh không học BPT mà chỉ học về PT bậc hai nên phần phân tích SGK lớp 9 sẽ được chúng tôi lồng vào phần phân tích SGK lớp 10. Trước đây đã có một số luận văn thạc sĩ nghiên cứu về đối tượng PT bậc nhất, bậc hai nên chúng tôi sẽ kế thừa những kết quả đạt được từ những luận văn này và phần phân tích của chúng tôi chỉ tập trung vào đối tượng BPT bậc nhất và bậc hai. Đối tượng PT, BPT mà chúng tôi đề cập trong luận văn này chỉ có một ẩn. 1.1. Một số kết quả về phương trình bậc nhất, bậc hai rút ra từ những nghiên cứu trước đây Liên quan đến đối tượng PT bậc nhất, PT bậc hai chúng tôi tìm thấy ba luận văn thạc sĩ sau đây: • Phạm Hải Dương (2011), một nghiên cứu didactic về phương trình bậc hai chứa tham số ở lớp 9, 10, luận văn thạc sĩ, đại học sư phạm Tp.Hồ Chí Minh. • Lê Thanh Hải (2009), Tiếp cận khái niệm phương trình và phép biến đổi phương trình bậc nhất một ẩn ở trường phổ thông, luận văn thạc sĩ, đại học sư phạm Tp.Hồ Chí Minh. • Nguyễn Thị Thanh Thanh (2007), Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học giải phương trình bậc hai, luận văn thạc sĩ, đại học sư phạm Tp. Hồ Chí Minh. 8 Chúng tôi sẽ kế thừa phần phân tích SGK và những kết quả mà ba luận văn trên đạt được về đối tượng PT bậc nhất, PT bậc hai làm cơ sở tham chiếu cho phần phân tích của chúng tôi về đối tượng BPT bậc nhất, bậc hai.  Lớp 8 (chủ yếu là khái niệm PT và PT bậc nhất) Tác giả Lê Thanh Hải khi phân tích sách Toán 8 tập hai hiện hành đã đưa ra một số kết luận sau đây: • Khái niệm PT không được xây dựng một cách hoàn chỉnh mà chỉ được giới thiệu thông qua một ví dụ cụ thể. Từ đó PT được mô tả là một sự thiết lập điều kiện bằng nhau giữa hai biểu thức của cùng một biến và có tên gọi tường minh, chưa có định nghĩa PT. • Khái niệm hai PT tương đương đã được định nghĩa và sử dụng kí hiệu " ⇔ " • Thể chế ưu tiên tuyệt đối kĩ thuật giải PT bậc nhất bằng hai quy tắc: Quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số hoặc công thức nghiệm của PT bậc nhất: "Nếu PT có dạng ax + = b 0, ( a ≠ 0 ) thì luôn có môt nghiệm duy nhất b x = − ". a  Lớp 9 (chủ yếu PT bậc hai)  Theo tác giả Nguyễn Thị Thanh Thanh thì chương trình lớp 9 hiện hành cung cấp hầu như trọn vẹn mọi điều về lý thuyết cũng như kĩ thuật giải PT bậc hai một ẩn. Điều đáng lưu ý là PT bậc hai khuyết b và khuyết c được cung cấp một kĩ thuật giải. Các kĩ thuật giải PT bậc hai xuất hiện trong chương trình hiện hành được tóm tắt thành bảng 2.1 9 Bảng 2.1: Bảng tóm tắt kĩ thuật giải phương trình bậc hai τ PT 21 Gồm hai giai đoạn liên tiếp: đặt nhân tử chung để đưa PT đã cho về dạng P(x)×Q(x) = 0, rồi giải PT tích này. τ PT 2 2 Dựa trên quy tắc: “a² = k ⇔ a = k hoặc a = – k ” (k là số thực dương). Gồm hai giai đoạn liên tiếp: thêm một số hạng hay một nhân tử để làm xuất τ PT 2 3 hiện một hằng đẳng thức mà vẫn bảo toàn đẳng thức, sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ đưa PT đã cho về dạng P2(x) = k, sau đó giải PT theo quy P tắc “a² = k ⇔ a = τ PT 2 4 P k hoặc a = – k ” (k là số thực dương). Sử dụng công thức nghiệm ∆ = x1 −b − ∆ −b + ∆ . = ; x2 2a 2a Gồm hai giai đoạn liên tiếp: kiểm tra và rút gọn biểu thức rồi sử dụng công τ PT 2 5 thức nghiệm thu gọn ∆' = x1 τ PT 2 6 Nhẩm nghiệm. −b '− ∆ ' −b '+ ∆ ' . = ; x2 a a τ PT 2 7 Sử dụng đồ thị. τ PT 2 8 Sử dụng máy tính bỏ túi (MTBT). KT τ PT 2 8 xuất hiện ở bài đọc thêm nên MTBT chỉ là công cụ hỗ trợ tính toán và chưa phải là kĩ thuật được cho phép chính thức để giải PT chuẩn tắc.  Tác giả Phạm Hải Dương thì cho rằng: "chương trình chỉ chỉ tập trung cho việc giải các bài toán phương trình bậc hai với hệ số thuần số không có xuất hiện dạng chứa tham số, đồng thời cũng không thấy đưa ra cách giải thể hiện sự tương giao của các đồ thị". 10 Lớp 10  Cơ bản Nâng cao Theo tác giả Phạm Hải Dương: • Đưa ra phương pháp giải và biện • Mục tiêu chủ yếu là giải và biện luận PT luận PT dạng ax + b = 0 nhưng không dạng ax + b = 0 và ax 2 + bx + c = 0 , cả hai cho ví dụ minh họa mà chỉ có một PT này sách giáo khoa đều đưa ra thuật hoạt động tự giải; • toán để giải và biện luận chúng. PT ax + b Bài tập chỉ đưa ra các PT bậc hai = 0 có một ví dụ minh họa. PT thuần số, các PT quy về bậc nhất, bậc ax 2 + bx + c = 0 có hai hoạt động và hai ví hai giải và biện luận PT dạng dụ: một giải theo thuật toán ; một sử dụng ax+b=0. kĩ thuật đồ thị. Tác giả Nguyễn Thị Thanh Thanh đã chỉ ra: • Không xuất hiện KNV giải và biện luận PT bằng đồ thị; • Kĩ thuật τ PT 2 8 được cho phép sử dụng khi giải PT bậc hai; • Kĩ thuật τ PT 2 4 được sử dụng chủ yếu để giải và biện luận PT có chứa tham số ở dạng đơn giản. • PT bậc hai xuất hiện chủ yếu với vai trò công cụ hỗ trợ giải quyết các vấn đề khác. • Đối với dạng toán giải và biện luận PT chứa tham số, ngoài kĩ thuật τ PT 2 4 còn xuất hiện kĩ thuật τ PT 2 7 . Tuy nhiên, việc sử dụng kĩ thuật này cũng chỉ dừng ở mức độ xác định số nghiệm của PT, không cần cho ra giá trị của nghiệm. Hơn nữa, đối với dạng toán sử dụng τ PT 2 7 , yêu cầu bài toán thể hiện kĩ thuật ngay trong đề bài; • Kĩ thuật τ PT 2 8 được đưa vào trong bài đọc thêm để giải quyết TPT 2 4 nhưng nó cũng chỉ dừng lại ở mức độ hỗ trợ cho τ PT 2 4 . 11 Trong ba luận văn trên, các tác giả đã chỉ ra những kĩ thuật mà thể chế ưu tiên khi giải quyết các KNV liên quan đến giải PT bậc nhất, PT bậc nhất có tham số, PT bậc hai. Vậy đối với BPT những kĩ thuật nào sẽ được thể chế mong đợi và những kĩ thuật đó có gì giống và khác với PT? Những sai lầm nào có thể tìm thấy ở học sinh khi giải quyết KNV liên quan đến giải BPT?. Chúng tôi sẽ cố gắng trả lời các câu hỏi này bằng việc phân tích chương trình và SGK hiện hành. Trước khi tiến hành phân tích, chúng tôi đưa ra một số qui ước sau đây: M8.2: SGK Toán 8 tập 2 G8.2: Sách giáo viên Toán 8 tập 2 E8.2: Sách bài tập Toán 8 tập 2 M9.2: SGK Toán 9 tập 2 G9.2: Sách giáo viên Toán 9 tập 2 E9.2: Sách bài tập Toán 9 tập 2 M10.1: SGK đại số 10 nâng cao G10.1: Sách giáo viên đại số 10 nâng cao E10.1: Sách bài tập đại số 10 nâng cao M10.2: SGK đại số 10 G10.2: Sách giáo viên đại số 10 E10.2: Sách bài tập đại số 10 M11: Sách giáo khoa môn Toán lớp 11 của Nam Phi 1.2. Bất phương trình bậc nhất ở lớp 8 1.2.1. Phân tích chương trình Kiến thức về BPT bậc nhất một ẩn được đặt trong chương IV. Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Nội dung chương này bao gồm các bài §1. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng §2. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân §3. Bất phương trình một ẩn §4. Bất phương trình bậc nhất một ẩn §5. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 12 "Chương này có trọng tâm là hình thành kĩ năng giải BPT bậc nhất và các BPT quy về bậc nhất nhờ hai quy tắc: Quy tắc chuyển vế (chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một BPT và đổi dấu hạng tử đó) và quy tắc nhân (nhân cả hai vế của BPT với cùng một số khác 0 và giữ nguyên chiều BPT nếu số đó dương hoặc đổi chiều BPT nếu số đó âm)" [G8.2, tr.41]. Trong chương trình Toán lớp 8, phần đại số học kỳ 2 học sinh được học tường minh về PT, BPT một ẩn; PT, BPT bậc nhất một ẩn. Theo đó với PT thì yêu cầu được đặt ra là: "Có kĩ năng giải và trình bày lời giải các PT có dạng quy định trong chương trình (phương trình bậc nhất, phương trình quy về bậc nhất, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu)" [G8.2, tr.3]. Đối với BPT học sinh được yêu cầu: "Giải được BPT bậc nhất một ẩn; giải được một số BPT một ẩn dạng khác nhờ vận dụng đơn giản hai quy tắc biến đổi BPT" [G8.2, tr.41]. Do có nét tương tự giữa cách trình bày về PT và BPT nên chúng tôi tự hỏi rằng: khái niệm BPT, BPT bậc nhất trong chương trình lớp 8 được tiếp cận như thế nào? Các quy tắc để giải BPT bậc nhất và BPT quy về BPT bậc nhất có điểm nào giống và khác với các quy tắc để giải PT bậc nhất, PT quy về PT bậc nhất? Để làm sáng tỏ điều này, chúng tôi tiến hành phân tích bộ SGK Toán 8 tập hai hiện hành. Phần phân tích của chúng tôi sẽ tập trung vào BPT, BPT bậc nhất, BPT quy về bậc nhất. Tuy nhiên, trong quá trình phân tích chúng tôi sẽ tham chiếu đến phần PT tương ứng. 1.2.2. Phân tích sách giáo khoa Phần lý thuyết  Bất phương trình một ẩn Học sinh được tiếp cận khái niệm BPT một ẩn thông qua ví dụ mở đầu bằng một bài toán có nội dung thực tế: 13 "Bạn Nam có 25 000 đồng. Nam muốn mua một cái bút giá 4000 đồng và một quyển vở loại 2200 đồng một quyển. Tính số quyển vở bạn Nam có thể mua được. Trong bài toán trên nếu kí hiệu số quyển vở bạn Nam có thể mua là x, thì x phải thỏa mãn hệ thức 2200x + 4000 ≤ 25 000. Khi đó người ta nói hệ thức 2200x + 4000 ≤ 25 000 là một bất phương trình ẩn x" [M8.2, tr41]. Cách tiếp cận này được sách giáo viên giải thích: "Mục đích của SGK giới thiệu BPT một ẩn thông qua phần mở đầu và chỉ mô tả thuật ngữ chứ không đưa ra định nghĩa. Điều chủ yếu là để học sinh hiểu biết về BPT thông qua khái niệm về nghiệm và tập nghiệm của BPT" [G8.2, tr49]. Hơn nữa chúng tôi thấy chỉ có một dạng BPT với dấu “≤” được giới thiệu, M8.2 hoàn toàn không có giới thiệu gì về các BPT với dấu “<, >, ≥”. Thông qua bài toán có nội dung thực tế là cơ hội tốt để giúp học sinh hiểu nghĩa của BPT nhưng SGK lại đưa ra sẵn lời giải, không có một hoạt động nào giúp cho học sinh hiểu điều đó mà chỉ tập trung vào kết quả. Với cách trình bày như trên thì học sinh sẽ không thiết lập được bất kỳ sự khác biệt về nghĩa giữa khái niệm hai khái niệm PT và BPT. Nghĩa là, sự khác biệt chỉ đơn thuần là kí hiệu được viết giữa các hạng tử của mối quan hệ: kí hiệu “=” trong một PT, và một trong những kí hiệu “<”, “>”, ”≤” hoặc ”≥”. Các dấu bất đẳng thức không có giá trị ngữ nghĩa khi chúng được sử dụng, đơn giản chỉ là một mối quan hệ giữa hai hạng tử của một BPT. "… người ta nói hệ thức 2200x + 4000 ≤ 25 000 là một BPT với ẩn là x. Trong bất phương trình này, ta gọi 2200x + 4000 là vế trái và 25 000 là vế phải" [M8.2, tr.41]. Cũng như PT, khái niệm BPT được tiếp cận theo khía cạnh hình thức, nghĩa là được giới thiệu và hỏi về các vế của BPT. Các vế ở đây được xem như là các biểu