BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Thị Ngọc Sương
DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ VỚI PHẦN
MỀM CABRI II PLUS: NGHIÊN CỨU SỰ ĐỒNG
BIẾN THIÊN NHƯ GIAI ĐOẠN ĐẦU TIÊN CỦA
VIỆC XÂY DỰNG KHÁI NIỆM HÀM SỐ
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Thị Ngọc Sương
DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ VỚI PHẦN
MỀM CABRI II PLUS: NGHIÊN CỨU SỰ ĐỒNG
BIẾN THIÊN NHƯ GIAI ĐOẠN ĐẦU TIÊN CỦA
VIỆC XÂY DỰNG KHÁI NIỆM HÀM SỐ
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số
: 60 14 01 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ NGA
Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập,những trích dẫn
nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.
1
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Thị Nga, người đã nhiệt
tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Sau, tôi xin gửi lời cảm ơn đến: Phó Giáo sư – Tiến sĩ Lê Văn Tiến, Phó Giáo sư –
Tiến sĩ Lê Thị Hoài Châu, Tiến sĩ Trần Lương Công Khanh, Tiến sĩ Lê Thái Bảo Thiên
Trung và Tiến sĩ Vũ Như Thư Hương vì những bài giảng về didactic Toán sinh động, cụ
thể và đầy ý nghĩa.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư
phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi.
Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến:
Ban Giám hiệu, các thầy cô và các em học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Huân –
Tp.HCM đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm.
Các bạn và các anh chị cùng khóa học cao học 22 chuyên ngành Lý luận và Phương
pháp dạy học Toán vì những sẻ chia trong học tập.
Gia đình tôi vì những lời động viên và những điều kiện cho tôi hoàn thành tốt khóa
học.
Nguyễn Thị Ngọc Sương
2
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ 1
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 2
MỤC LỤC .................................................................................................................... 3
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ............................................................................ 5
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 6
1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát ......................................................................... 6
2. Câu hỏi nghiên cứu ....................................................................................................... 10
3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu ................................................... 10
4. Cấu trúc của luận văn .................................................................................................. 11
CHƯƠNG 1: SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG TRONG LỊCH
SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM HÀM SỐ ........................... 13
1.1. Sự hình thành và phát triển khái niệm hàm số....................................................... 13
1.2. Sự đồng biến thiên của hai đại lượng – quan niệm động của khái niệm hàm ..... 16
số. 16
1.2.1. Sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong các giai đoạn phát triển khái niệm
hàm số ............................................................................................................................. 16
1.2.2. Quan niệm động và quan niệm tĩnh của khái niệm hàm số.................................. 17
1.3. Các hệ thống biểu đạt của hàm số và đặc trưng đồng biến thiên của hai đại
lượng. ................................................................................................................................. 18
CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM HÀM SỐ VÀ SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN CỦA HAI
ĐẠI LƯỢNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK PHỔ THÔNG .................. 21
2.1. Ở Việt Nam ................................................................................................................. 21
2.1.1. Giai đoạn trước năm lớp 7 .................................................................................... 21
2.1.2. Lớp 7..................................................................................................................... 23
2.1.3. Lớp 9..................................................................................................................... 31
2.1.4. Lớp 10................................................................................................................... 37
2.1.5. Kết luận ................................................................................................................ 40
2.2. Ở Mỹ ........................................................................................................................... 41
2.2.1. Phần lý thuyết ....................................................................................................... 41
2.2.2. Phần bài tập .......................................................................................................... 47
2.3. So sánh cách đưa vào khái niệm hàm số ở Việt Nam và Mỹ ................................. 50
2.3.1. Giống nhau ........................................................................................................... 50
2.3.2. Khác nhau ............................................................................................................. 50
CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .................................................... 53
3
3.1. Các lựa chọn của đồ án dạy học ............................................................................... 53
3.1.1. Sự đồng biến thiên là giai đoạn đầu tiên của việc hình thành khái niệm hàm số 53
3.1.2. Sử dụng phần mềm hình học động Cabri ............................................................. 53
3.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................... 54
3.2.1. Giới thiệu các tình huống thực nghiệm ................................................................ 54
3.2.2. Dàn dựng kịch bản................................................................................................ 54
3.3. Phân tích tiên nghiệm ................................................................................................ 55
3.3.1. Biến và các giá trị của chúng................................................................................ 55
3.3.2. Các chiến lược và cái có thể quan sát................................................................... 56
3.4. Phân tích chi tiết kịch bản ........................................................................................ 70
3.4.1. Buổi 1: Khái niệm hàm hình học và sự đồng biến thiên của các điểm. ............... 70
3.4.2. Buổi 2 ................................................................................................................... 71
3.5. Phân tích hậu nghiệm ................................................................................................ 73
3.5.1. Buổi làm quen với Cabri ...................................................................................... 73
3.5.2. Tình huống 1 ........................................................................................................ 74
3.5.3. Tình huống 2 ........................................................................................................ 78
3.5.4. Tình huống 3 ........................................................................................................ 83
3.5.5. Kết luận ................................................................................................................ 86
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 88
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 91
PHỤ LỤC ................................................................................................................... 93
4
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
GTLN
:
Giá trị lớn nhất
GTNN
:
Giá trị nhỏ nhất
GV
:
Giáo viên
HS
:
Học sinh
SGK
:
Sách giáo khoa
SGK9-1
:
Sách giáo khoa Toán 9, tập một
SGK9-2
:
Sách giáo khoa Toán 9, tập hai
SBT
:
Sách bài tập
SGV
:
Sách giáo viên
Tp.HCM
:
Thành phố Hồ Chí Minh
tr.
:
trang
CNTT
:
công nghệ thông tin
5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Ghi nhận 1: Khái niệm hàm số từ lâu đã là đối tượng của một số lượng lớn các nghiên
cứu. Điều này không có gì là ngạc nhiên bởi hàm số là một khái niệm quan trọng và giữ vị
trí trung tâm trong chương trình toán phổ thông. Nó được khẳng định dựa trên nội dung
trình bày trong các sách giáo khoa (SGK) trải dài từ lớp 7 đến lớp 12 và sự cần thiết của
hàm số trong việc giải quyết những bài toán thực tế. Tuy nhiên khi được hỏi khái niệm hàm
số là gì, thì liệu rằng có bao nhiêu HS trả lời được đúng bản chất của khái niệm này hay HS
chỉ biết đến hàm số thông qua những biểu thức giải tích của nó?
Có rất nhiều luận văn nói về vấn đề hàm số. Cụ thể:
Luận văn thạc sĩ của Đặng Minh Hải (2009) về “Các tính chất của hàm số
và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học toán phổ thông” .
Chỉ ra một số tính chất liên quan đến mối liên hệ đơn điệu – liên tục, đơn điệu – khả vi,
khả vi – liên tục ở cấp độ tri thức khoa học.
Nghiên cứu mối quan hệ thể chế về mối liên hệ đơn điệu – liên tục, mối liên hệ giữa tính
đơn điệu của một hàm khả vi trên khoảng với dấu của đạo hàm. Chỉ ra những ràng buộc của
thể chế đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến mối quan hệ cá nhân của HS:
+ Hầu hết HS cho rằng “hàm số đơn điệu trên K thì liên tục trên K”.
+ Phần lớn HS có quan niệm “hàm số đơn điệu trên một khoảng thì có đạo hàm và đạo
hàm không âm (không dương) trên khoảng đó”.
Luận văn thạc sĩ của Đinh Quốc Khánh về “Hàm số và đồ thị trong dạy học
toán ở trường phổ thông”
Nghiên cứu quá trình chuyển từ đồ thị sang hàm số đồng thời ở cấp độ tri thức khoa học
và cấp độ tri thức cần giảng dạy để thấy rõ mục đích và kỹ thuật của việc chuyển đổi nói
trên.
Chỉ ra được các ràng buộc của thể chế dạy học ở trường phổ thông với vấn đề chuyển từ
đồ thị sang biểu thức đặt ra trên hai đối tượng hàm số bậc nhất và bậc hai.
Trong thể chế dạy học toán ở Việt Nam, vấn đề chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm
số và vấn đề mô hình hóa trong toán có xuất hiện. Nhưng xét về “mức độ quan tâm” thì đây
không phải là các vấn đề được thể chế coi là trọng tâm nhất.
6
Kết quả của việc phân tích mối quan hệ thể chế dẫn đến việc tồn tại giả thuyết nghiên
cứu: “Kỹ năng chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số chưa thực sự được hình thành ở
HS”.
Làm rõ quan hệ của HS với vấn đề chuyển từ đồ thị sang biểu thức và vấn đề mô hình
hóa nhằm hợp thức giả thuyết nghiên cứu được trình bày ở trên.
Luận văn thạc sĩ của Đỗ Thị Thúy Vân (2010) về “Casyopée và việc dạy học
khái niệm hàm số trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số”
Luận văn đã chỉ ra được đồ thị là một phương tiện biểu diễn thể hiện rõ 3 đặc trưng cơ
bản của hàm số (phụ thuộc, tương ứng, biến thiên), tính chất của đồ thị được suy ra từ tính
chất của hàm số và ngược lại.
Làm rõ tiến trình và cách tổ chức đưa vào khái niệm hàm số gắn với các cách biểu diễn
hàm số (bằng bảng, đồ thị, biểu thức giải tích), mối quan hệ cá nhân giữa HS và khái niệm
hàm số dựa trên cách biểu diễn hàm số bằng biểu thức giải tích: “Thể chế không tạo điều
kiện cho việc dạy học khái niệm hàm số trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu
diễn hàm số, cũng như không trình bày tường minh cách biểu diễn hàm số bằng đồ thị.”
Sử dụng môi trường giấy bút và môi trường máy tính để củng cố lại kiến thức về khái
niệm hàm số thông qua việc giải một bài toán cụ thể, trong đó với môi trường máy tính thì
có thể đơn giản hóa các kĩ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ trong bài toán, đồng thời để
thấy rõ khái niệm hàm số bằng hình ảnh trực quan thể hiện đủ ba đặc trưng của hàm số.
Hạn chế và hướng mở của luận văn:
+ Hạn chế: Thực nghiệm được đưa ra nhằm mục đích tận dụng tối đa các tính năng của
phần mềm Casyopee, nhưng chưa đáp ứng hoàn toàn cho việc dạy học khái niệm hàm số
trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số.
+ Hướng mở của luận văn: Trên cơ sở của những kết quả đạt được, có thể tiếp
tục nghiên cứu theo hướng xây dựng một hệ thống tình huống dạy học khái niệm hàm số
nhằm giúp HS nhận rõ các đặc trưng hàm số trên mô hình động (môi trường máy tính).
Luận văn thạc sĩ “Bài toán diện tích và phần mềm Cabri 2D”
Luận văn chỉ rõ mối quan hệ thể chế của đối tượng hàm số và bài toán diện tích, từ đó đã
cho thấy được tầm quan trọng của việc dạy học mô hình hóa đặc biệt mô hình hóa hàm số
bằng bài toán diện tích chiếm số lượng khá lớn.
7
Luận văn đã xây dựng một tình huống mô hình hóa bằng bài toán diện tích trong môi
trường Cabri, từ đó giúp chúng ta có cách nhìn mới trong việc kết hợp giữa hình học động
và giải tích. Đây là điều mà “bảng đen, phấn trắng” khó có thể thực hiện được.
Như vậy, một loạt các luận văn về hàm số đã được công bố trong đó vấn đề chính được
quan tâm là tính chất của hàm số và việc sử dụng hàm số trong quá trình giải quyết các bài
toán.
Ghi nhận 2: Khái niệm hàm số gắn liền với hai quan niệm cơ bản:
+ Quan niệm động của khái niệm hàm số: hoàn toàn dựa trên sự đồng biến thiên của hai
đại lượng.
+ Quan niệm tĩnh của khái niệm hàm số: hoàn toàn dựa trên sự tương ứng. “Một hàm số
liên kết một số duy nhất với một số cho trước.”
Trong đó, sự đồng biến thiên của hai đại lượng là mối liên hệ động, không đối xứng giữa
hai biến nhận giá trị thay đổi trong hai tập hợp nào đó và biến này phụ thuộc vào biến kia.
Trong chương trình hiện nay thì việc dạy học khái niệm hàm số hoàn toàn dựa trên quan
điểm tĩnh, chính vì vậy mà nó đã làm mờ đi nghĩa của khái niệm biến và khái niệm hàm số.
Do đó việc quan tâm đến dạy học khái niệm hàm số theo quan điểm động là thực sự cần
thiết để HS nắm được bản chất của khái niệm hàm số.
“Sự mô hình hóa một tình huống đồng biến thiên của hai đại lượng có thể cho phép
mang lại nghĩa cho khái niệm biến và khái niệm hàm số.”
[Annie Bessot & Nguyễn Thị Nga, 2011]
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu xây dựng các tình huống đưa vào khái niệm
hàm số trong đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng là giai đoạn đầu tiên của sự hình thành
khái niệm hàm số. Nghiên cứu này dựa trên kết luận của Krysinska và các cộng sự (2009):
“Tình huống về sự đồng biến thiên của các đại lượng có thể được xem xét như một tình
huống cơ bản đối với khái niệm hàm số”
Ghi nhận 3: Ngày nay CNTT đã và đang thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực. Nó ngày
càng trở nên quan trọng, không thể thiếu trong lĩnh vực Giáo dục đào tạo nói chung và
ngành Toán học nói riêng. Việc dạy học với các phần mềm ngày càng có sự ứng dụng rộng
rãi. Hiện nay, ở các trường phổ thông, GV đã dần quan tâm đến việc sử dụng phần mềm dạy
học để hỗ trợ trong việc giảng dạy của mình mặc dầu SGK phổ thông lại không có hoạt
động nào dùng tới phần mềm dạy học. Tuy nhiên đa phần GV khi sử dụng phần mềm dạy
học đều có dụng ý là minh họa hay kiểm chứng những gì mà khái niệm hay định lý đã nêu.
8
Trong luận văn này, chúng tôi tiến hành sử dụng phần mềm hình học động để hình thành
nên khái niệm đồng biến thiên cho HS. Và HS sẽ trực tiếp thao tác với phần mềm để giải
quyết các bài toán toán học và thực tế, qua đó khám phá và lĩnh hội tri thức mới. Chúng tôi
dựa vào giả thuyết sau:
“Môi trường hình học động có khả năng thực hiện giai đoạn đầu tiên của quá trình mô
hình hóa bằng việc xây dựng một mô hình trung gian của tình huống đồng biến thiên của
các đại lượng.”
[Annie Bessot & Nguyễn Thị Nga, 2011]
Chúng tôi chọn phần mềm Cabri II Plus để thực hiện nghiên cứu vì nó có các
đặc tính sau đây:
“Cabri II Plus là một trong những phần mềm hiện đại nhất trong việc dạy và học toán.
Ngoài việc sở hữu một giao diện thân thiện, dễ sử dụng, Cabri II Plus còn cho phép HS có
thể khám phá được những tính chất tổng quát của một loạt các hình được dựng. Trong môi
trường Cabri, HS có thể tạo ra hình vẽ và đồ thị trực quan hơn các hình vẽ theo cách thông
thường qua môi trường truyền thống - môi trường giấy bút - cho nên sẽ có nhiều tính chất
mới được khám phá từ đấy.
Cabri có chức năng tạo vết (công cụ “Vết”) của một đối tượng khi nó chuyển
động. Với chức năng này, Cabri hỗ trợ cho việc tạo ra hình ảnh liên tục của đối tượng khi
di chuyển.
Cái nổi bật hơn hẳn so với các phần mềm khác đó là hầu như tất cả các đối
tượng toán học đều đã được mô phỏng trên máy tính một cách "động" theo nghĩa người
dùng có thể can thiệp, tương tác trực tiếp với các đối tượng toán học trên màn hình.
Cabri hỗ trợ cho GV trong việc giải quyết những bài toán liên quan đến thực tế đời sống
mà trong môi trường giấy bút GV rất khó để HS hiểu được vấn đề. Như vậy, có thể nói phần
mềm Cabri II Plus luôn gắn liền với quá trình mô hình hóa và đóng một vai trò quan trọng
không thể thiếu.”
[Nguyễn Chí Thành, 2008]
Đặc biệt, nhờ tính chất di chuyển điểm mà phần mềm Cabri hỗ trợ rất tốt cho việc hình
thành khái niệm đồng biến thiên – tiền đề của khái niệm hàm số.
Việc sử dụng môi trường hình học động Cabri mang lại nhiều lợi ích:
“Trong môi trường hình học động Cabri, sự mô hình hóa các đại lượng biến thiên được
thực hiện bởi việc tạo ra các điểm chuyển động. Một điểm di động có thể mô hình hóa các
đại lượng biến thiên khác nhau (khoảng cách, diện tích, thời gian). Vì thế, việc thiết lập mô
hình trung gian nhờ vào hình học động cho phép cụ thể hóa các đại lượng biến thiên bằng
9
việc chuyển giao cho HS trách nhiệm lựa chọn các đại lượng thích đáng trong tình huống
được nghiên cứu. Chúng ta có thể đưa vào khái niệm điểm điều khiển một điểm khác – tiền
đề của các khái niệm biến độc lập và biến phụ thuộc…”
[Annie
Bessot
& Nguyễn Thị Nga, 2011]
Với những ghi nhận trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Dạy học khái niệm
hàm số với phần mềm Cabri II Plus: Nghiên cứu sự đồng biến thiên như giai đoạn đầu tiên
của việc xây dựng khái niệm hàm số.”
2. Câu hỏi nghiên cứu
Chúng tôi đặt ra những câu hỏi ban đầu để định hướng cho nghiên cứu như sau:
Q1: Sự đồng biến thiên của hai đại lượng hiện diện và tiến triển như thế nào trong lịch sử
hình thành và phát triển khái niệm hàm số?
Q2: Sự đồng biến thiên của hai đại lượng được đề cập như thế nào trong SGK
Việt Nam? Có những tổ chức toán học nào trong đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng
được nhấn mạnh? Có sự khác biệt nào so với SGK Mỹ?
Q3: Liệu có thể xây dựng tiểu đồ án didactic cho HS tiếp cận với khái niệm hàm số,
trong đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng là bước đầu tiên của quá trình này?
3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu
3.1 Nghiên cứu khoa học luận
Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này nhằm trả lời cho câu hỏi Q1.
Như chúng ta biết, nghiên cứu khoa học luận về khái niệm hàm số đã có trong các
công trình khác. Ở đây, chúng tôi tiến hành tóm tắt và đặc biệt bổ sung sự hiện diện của sự
đồng biến thiên của hai đại lượng trong khái niệm hàm số.
3.2 Nghiên cứu thể chế
Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này nhằm trả lời câu hỏi Q2.
Để nghiên cứu thể chế chúng tôi dựa vào lý thuyết nhân chủng học. Lý thuyết này nghiên
cứu và chỉ ra tầm quan trọng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức, đưa vào khái
niệm tổ chức toán học để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức đã
chọn.
10
Phân tích các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm hàm số và các tổ chức toán học liên
quan giúp chúng tôi làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức này và lý do của các
lựa chọn của thể chế.
Như vậy chúng tôi tiến hành phân tích SGK Việt Nam và Mỹ, từ đó nghiên cứu so sánh 2
thể chế để thấy rõ đặc trưng của mỗi thể chế. Cụ thể, chúng tôi xem xét sự đồng biến thiên
của 2 đại lượng xuất hiện như thế nào trong khái niệm hàm số và những bài tập liên quan
trong mỗi thể chế.
3.3 Đồ án dạy học
Dựa vào khái niệm đồ án dạy học, chúng tôi sẽ xây dựng các tình huống hình thành nên
khái niệm hàm số trong đó sự đồng biến thiên là giai đoạn đầu của quá trình này. Đồ án đó
chúng tôi tiến hành xây dựng trong môi trường hình học động Cabri – môi trường tích hợp
nhiều yếu tố hình thành nên sự đồng biến thiên của hai
đại lượng.
Mặt khác, những tình huống mà chúng tôi đưa ra đều là những tình huống mô hình hóa –
tức là những bài toán đều xuất phát từ thực tế cuộc sống. Điều này nhằm kích thích nhu cầu
giải quyết bài toán và khám phá tri thức mới của HS.
4. Cấu trúc của luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và các chương sau:
Chương 1: Sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong lịch sử hình thành và phát triển khái
niệm hàm số.
1.1 Sự hình thành và phát triển khái niệm hàm số
1.2 Sự đồng biến thiên của hai đại lượng – quan niệm động của khái niệm hàm
số.
1.3 Các hệ thống biểu đạt của hàm số và đặc trưng đồng biến thiên của hai đại
lượng.
Chương 2: Khái niệm hàm số và sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong chương trình
và SGK phổ thông
2.1 Ở Việt Nam
2.1.1
Giai đoạn trước năm lớp 7
2.1.2
Lớp 7
2.1.3
Lớp 9
11
2.1.4
Lớp 10
2.1.5 Kết luận
2.2 Ở Mỹ
2.3 So sánh cách đưa vào khái niệm hàm số ở Việt Nam và Mỹ
Chương 3: Thực nghiệm (Tiểu đồ án dạy học)
3.1 Các lựa chọn của đồ án
3.2 Nội dung thực nghiệm
3.3 Phân tích tiên nghiệm
3.4 Phân tích hậu nghiệm
3.5 Kết luận
12
CHƯƠNG 1: SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG
TRONG LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM
HÀM SỐ
Mục tiêu của chương này là tìm các câu trả lời cho câu hỏi Q1 sau: Sự đồng biến thiên
của hai đại lượng hiện diện và tiến triển như thế nào trong lịch sử hình thành khái niệm hàm
số?
Để đạt được mục tiêu ở trên, chúng tôi sẽ tiến hành tóm tắt lại phần lịch sử hình thành
khái niệm hàm số thông qua một số công trình nghiên cứu đã có, rồi từ đó chúng tôi sẽ đi
sâu vào phân tích phần trọng tâm mà luận văn đang hướng đến.
1.1. Sự hình thành và phát triển khái niệm hàm số
Trong lịch sử, thuật ngữ “hàm số” ra đời từ việc nghiên cứu các bài toán liên quan đến đo
đạc, vận tốc, thời gian,…Lý thuyết hàm số thực sự được hình thành và phát triển trong
khoảng 4 thế kỉ, trong đó mầm móng của lý thuyết hàm số đã có từ những năm 2000 trước
công nguyên với những bài toán vật lý. Chúng tôi sẽ tổng kết lại những giai đoạn chủ yếu
của sự hình thành và phát triển lý thuyết hàm số thông qua công trình nghiên cứu của
Nguyễn Thị Nga (2003) về “Dạy học hàm số ở trường phổ thông”.
Bảng 1.1 Tóm tắt sự hình thành và phát triển khái niệm hàm số qua các thời kì.
GIAI
ĐOẠN
SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM HÀM SỐ
Từ nhu cầu thực tế cuộc sống là nhằm giải quyết những bài toán
liên quan đến đo đạc hình học, nghiên cứu các đường cong…, toán
học Babylon và Hy Lạp đã hình thành nên các bảng số mà bản thân
Cổ đại
nó đã ẩn chứa những quan niệm về hàm số: bảng bình phương của
các số tự nhiên, bảng căn bậc hai, bảng lập phương hay bảng căn bậc
ba trong hệ thập lục phân, bảng liên hệ giữa dây và cung của đường
tròn (tiền thân của bảng sin ngày nay). Tuy nhiên thuật ngữ hàm số
chưa một lần xuất hiện trong thời kì này.
Các nhà toán học quan tâm đến sự phụ thuộc giữa hai đại lượng
Trung đại không những trên các bảng số mà còn thể hiện ở các hình hình học,
chủ yếu là trong lĩnh vực vật lí. Họ được xem như là đã đến gần với
13
khái niệm hàm số thế nhưng thuật ngữ hàm số vẫn chưa xuất hiện.
Một trong số đó là Oresme. Trong lý thuyết của ông, một số ý tưởng
chung về khái niệm biến độc lập và phụ thuộc dường như có mặt.
“Ông đã biểu diễn cường độ của chất điểm chuyển động (vận
tốc) theo thời gian bằng một hình hình học mà ta có thể mô tả như
sau:
Vận tốc
……
Thời gian
[Nguyễn Thị Nga, 2003]
Tiếp sau Oresme ở giai đoạn trung đại là Galileo Galilei (15641642) với các công trình nghiên cứu các đại lượng bên vật lí như vận
tốc, gia tốc và khoảng cách.
Sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên chính thức
Thế kỉ
được xuất hiện: “Bằng cách lấy lần lượt và vô hạn các đại lượng
16 - 17
khác nhau đối với đường y (line y) ta cũng có vô hạn các đại lượng
khác nhau đối với đường x, và như vậy ta có vô hạn các điểm khác
nhau, như là điểm được đánh dấu C, nhờ vào đó ta mô tả được
đường cong mong muốn.”
[René Descartes (1596-1650)]
Đây là giai đoạn mà hàm số xuất hiện dưới dạng biểu thức giải
tích và lần đầu tiên xuất hiện ngầm ẩn trong định nghĩa của
J.Bernoulli công bố năm 1718: “Ta gọi hàm số của một đại lượng
Thế kỉ 18
biến, một đại lượng tạo thành một cách nào đó từ đại lượng biến
này và từ các hằng số”.
Khái niệm hàm số được hoàn thiện dần thông qua các công trình
nghiên cứu khác như D’Alembert, Condorcer (1743-1794),
Lagrange (1736-1813).
14
Mãi đến cuối thế kỉ 18 thì sự đồng biến thiên của hai đại lượng
mới được nhấn mạnh và nó xuất hiện tường minh trong định nghĩa
của Euler (1755) khi đề cập đến hàm nhiều biến: “Khi một đại lượng
phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho sự thay đổi của các đại
lượng thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thì đại
lượng thứ nhất gọi là hàm số của các đại lượng thứ hai”
Đến đầu thế kỉ 19, các nhà toán học bắt đầu định nghĩa lại khái
niệm hàm số bằng sự tương ứng giữa hai đại lượng biến thiên. Tư
tưởng đó xuất hiện lần đầu tiên trong định nghĩa của Dirichlet
(1805-1859): “y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thì tương
ứng với một giá trị hoàn toàn xác định của y còn sự tương ứng đó
được thiết lập bằng cách nào thì điều này hoàn toàn không quan
Nửa đầu
thế kỉ 19
trọng”.
Tuy nhiên, sự biến thiên của hai đại lượng vẫn xuất hiện ngầm
ẩn trong các mô tả khác. Cụ thể, theo Lobachevsky (1792-1856):
“…hàm số của x là một số được cho với mỗi x và biến thiên dần dần
cùng với x. Giá trị của hàm số có thể được cho bằng một biểu thức
giải tích, hoặc bằng một điều kiện làm phương tiện để thử tất cả các
số và chọn một trong chúng, hoặc cuối cùng, sự phụ thuộc có thể tồn
tại nhưng còn chưa được biết.”
Định nghĩa hàm số ở thời kì này cũng tương tự như nửa đầu thế
kỉ 19, tuy nhiên có một sự khác biệt rõ ràng đó là sự ra đời của Lý
thuyết tập hợp của Cantor (1845-1918). Các nhà toán học đã bổ sung
Cuối thế
kỉ 19 – thế
kỉ 20
và hoàn thiện dần định nghĩa khái niệm hàm số. Đồng thời mở rộng
thêm tập xác định của hàm số:
“Tập xác định của hàm số được mở rộng từ một tập hợp con của R
thành một tập hợp con của Cn. Giải tích phức và giải tích lồi còn xét
hàm số đa trị. Laurent Schwartz (1915-2002) tổng quát hóa hai khái
niệm hàm số và độ đo thành khái niệm phân phối (còn gọi là hàm số
suy rộng).” [Trần Lương Công Khanh 2013, Bài giảng lịch sử toán]
15
1.2. Sự đồng biến thiên của hai đại lượng – quan niệm động của khái niệm hàm
số.
1.2.1. Sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong các giai đoạn phát triển khái
niệm hàm số
1.2.1.1 Thời cổ đại
Quan niệm về hàm số bước đầu được hình thành và phát triển thông qua các bảng số.
Những đặc tính đầu tiên về sự đồng biến thiên của hai đại lượng dần dần được thể hiện
thông qua sự phụ thuộc lẫn nhau của hai đại lượng lấy giá trị trong các tập hợp hữu hạn và
rời rạc. Dựa vào các bảng số, có thể nhận ra được sự thay đổi của một phần tử trong tập hợp
số dẫn đến sự thay đổi của những phần tử trong tập hợp khác, đó là những hình ảnh về sự
đồng biến thiên của hai đại lượng. Tuy nhiên tất cả những điều đó đều xuất hiện ngầm ẩn,
chứ không được trình bày một cách tường minh.
1.2.1.2 Thời trung đại
Các nhà toán học quan tâm đến sự phụ thuộc giữa hai đại lượng không những trên các
bảng số mà còn thể hiện ở các hình hình học. Có thể nói, hình hình học đã mô tả được chiều
biến thiên hay nói một cách khác chúng thể hiện rõ nét về sự đồng biến thiên của hai đại
lượng: khi đại lượng này thay đổi (tăng hoặc giảm) sẽ dẫn đến sự thay đổi của đại lượng
khác.
1.2.1.3 Thế kỉ 16 - 17
Nếu như ở thời cổ đại và trung đại, sự đồng biến thiên của hai đại lượng đều xuất hiện
ngầm ẩn thông qua các bảng số và các hình hình học thì ở thời kì này nó được chính thức
xuất hiện dưới dạng sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên. Hình ảnh về biến
độc lập và biến phụ thuộc được xuất hiện lần đầu tiên với các
“đường x”, “đường y” trong nhận xét của Descartes.
Như vậy, ở thời kì này sự đồng biến thiên giữa hai đại lượng cũng như từ “hàm số” chính
thức được xuất hiện. Hơn thế nữa khi mà đặc trưng biến thiên của hàm số càng được nhấn
mạnh thì sự đồng biến thiên giữa hai đại lượng ngày càng thể hiện rõ nét.
1.2.1.4 Thế kỉ 18
Nhiều nhà toán học thời kì này đã đồng nhất hàm số với một biểu thức giải tích. Với cách
định nghĩa như vậy thì sự đồng biến thiên của hai đại lượng hoàn toàn vắng bóng, tức là tính
16
động của khái niệm hàm số bị che mờ. Tuy nhiên, vào cuối thời kì, Euler đã đưa ra khái
niệm thể hiện tính động của hàm số, thể hiện rất rõ sự thay đổi giữa các đại lượng.
1.2.1.5 Nửa đầu thế kỉ 19
Khái niệm hàm số được định nghĩa bằng sự tương ứng giữa hai đại lượng biến thiên trong
đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng không được nhấn mạnh.
1.2.1.6 Cuối thế kỉ 19 và thế kỉ 20
Định nghĩa khái niệm hàm số từ đầu thế kỉ 19 đến nay hoàn toàn dựa trên sự tương ứng.
Sự đồng biến thiên của hai đại lượng chỉ hiện diện ngầm ẩn.
Qua sự phát triển khái niệm hàm số, chúng tôi nhận thấy rằng hàm số thực của một biến
số thực có thể biểu đạt bằng các ngôn ngữ có liên quan đến sự đồng biến thiên thuận lợi hơn
hàm thực nhiều biến, hàm phức, hàm đa trị và phân phối. Vì vậy mà chúng tôi giới hạn
nghiên cứu của mình ở hàm số thực một biến số thực để thấy rõ được sự đồng biến thiên của
hai đại lượng xuất hiện trong định nghĩa này.
1.2.2. Quan niệm động và quan niệm tĩnh của khái niệm hàm số
Xem xét lịch sử xuất hiện khái niệm hàm số, chúng ta thấy rằng có hai quan niệm
cơ bản gắn với khái niệm hàm số tiếp nối nhau trong lịch sử:
- Quan niệm động:
Quan niệm này dựa trên sự đồng biến thiên của hai đại lượng, cần thiết việc mô hình hóa
theo những thuật ngữ biến phụ thuộc và/hoặc biến độc lập. Euler đã viết năm 1755 như sau:
“Nếu một số đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho nếu các đại lượng khác
thay đổi, các đại lượng này cũng thay đổi theo, lúc đó chúng ta gọi các đại lượng này là
hàm số của các đại lượng khác”.
- Quan niệm tĩnh:
Quan niệm này nhấn mạnh trên sự tương ứng: một hàm số liên kết một số duy nhất với
một số cho trước. Hankel (1870) định nghĩa hàm số như sau:
“Ta nói y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thuộc một khoảng nào đó tương ứng
một giá trị xác định của y mà không vì thế mà đòi hỏi y xác định với mọi khoảng bởi cùng
một quy luật theo x, cũng không cần thiết y được xác định bởi một biểu thức toán học tường
minh của x. Tôi sẽ gọi định nghĩa này theo tên Dirichlet vì định nghĩa này, định nghĩa đã
loại bỏ tất cả những quan niệm cũ hơn, là cơ bản trong những công trình nghiên cứu trên
chuỗi Fourier” [Hankel (1870), tr.49].
17
1.3. Các hệ thống biểu đạt của hàm số và đặc trưng đồng biến thiên của hai đại
lượng.
Chúng tôi tiến hành tổng hợp các hệ thống biểu đạt của hàm số dựa trên công trình
nghiên cứu của các luận văn thạc sĩ trước, sau đó phân tích và bổ sung thêm sự đồng biến
thiên của hai đại lượng trong các cách biểu diễn hàm số.
Bảng 1.2 Bảng tóm tắt sự xuất hiện tính đồng biến thiên của hai đại lượng trong các hệ
thống biểu đạt hàm số.
CÁC HỆ THỐNG
LỢI ÍCH
BIỂU ĐẠT HÀM SỐ
SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN
CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG
Hệ thống biểu đạt đại
Với hệ thống biểu đạt này,
số: Trong cách biểu diễn
nghĩa thực chất của khái
này, hàm số thường được + Hỗ trợ nhiều cho quá niệm hàm số và khái niệm
cho bởi một biểu thức trình tính toán trong biến hoàn toàn bị lu mờ đi.
dạng y = f(x).
chương trình dạy học Như vậy khái niệm hàm số
toán hiện nay.
mất đi tính động của nó, có
+ Biểu đạt cô đọng và nghĩa là sự đồng biến thiên
chính xác mối tương của hai đại lượng hình
quan hàm.
thành nên khái niệm hàm
số hoàn toàn xuất hiện
ngầm ẩn.
Hệ thống biểu đạt hình + Phản ánh trực quan Dựa vào hệ thống biểu đạt
học: Trong cách biểu dáng điệu định tính của này người ta có thể quan
sát tính động của khái niệm
diễn này hàm số thường hàm số.
được cho bởi đồ thị, biểu + Tìm được giá trị (đúng hàm số, nghĩa là khi trực
đồ.
hay gần đúng) của hàm tiếp nhìn vào đồ thị người
tại một điểm.
ta có thể nhận thấy được sự
+ Tìm nghiệm gần đúng thay đổi của biến và giá trị
của một phương trình, tương ứng, tức là nhận thấy
bất phương trình, hệ được sự đồng biến thiên
phương trình, hệ bất của hai đại lượng.
18
- Xem thêm -