ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN THỨC
Dạng 1: Tìm điều kiện để căn thức xác định ( có nghĩa)
Kiến thức ghi nhớ: A xác định (hay có nghĩa) khi A ≥ 0 (GV nên nhấn mạnh
chổ này vì một số HS hay nhầm khi viết A ≥ 0)
Ví dụ 1: Tìm điều kiện để các căn thức sau có nghĩa:
a, 2 x 5
b, 3 x 6
Ví dụ 2: Với giá trị nào của x thì các căn thức sau xác định:
x 4
5
a,
b,
7
4 2x
( GV nhấn mạnh HS: Phân thức trong căn có tử và mẫu cùng dấu nhưng mẫu phải
khác 0)
Ví dụ 3: Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa:
x 1
3 x
( Nhấn mạnh HS cách kết hợp điều kiện )
Ví dụ 4 : ( Dành cho HS khá giỏi) Tìm điều kiện để các căn thức sau xác định
x 1
2x 3
a,
5 3x
x 8
b,
Dạng 2: Áp dụng hằng đẳng thức A A
VD1: Tính: 1 5 1 5
( Nhấn mạnh HS khi mở | a – b| nếu a < b thì | a – b | = b – a. Đổi chổ hai số )
VD2: Tính: a, 4 7 4 7
b, a 1 1 a 1 1 với a ≥ 1
2
2
2
2
VD: Rút gọn:
2
x 1
2
x 2 2 x 1
4x 2
với x > 0, x ≠ 1
Dạng 3: Sử dụng các phép khai phương, nhân chia căn bậc hai:
6
20 3 5 80
3
2
Ví dụ: a,
2
3
5
b,
Dạng 4: Sử dụng các phép biến đổi căn bậc hai
1, Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
a b a b
với b>0
Ví dụ 1: Rút gọn: a, 20 45 3 18 72
b, 48 2 75 108
Ví dụ 2: Rút gọn: 3 8 50 2 1
2
2
2, Khử mẫu
VD: a,
2
5
;
b,
7
12
;
c,
5
18ab 2
( a > 0)
3, Trục căn thức ở mẫu:
TH1: Phân tích tử chứa thừa số là mẫu:
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
1
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
10
Ví dụ: Rút gọn: a, 3
b,
3
6
1
2
2
8
1
2
5
c, 2
3 3
2 3 3
3 1
3 1
TH2: Nhân thêm với căn ở mẫu
Ví dụ:
4
3
a,
b,
3
(a>0)
2 a
TH3: Nhân với biểu thức liên hợp:
C
( Lưu ý HS:
a b
C
a b
;
a b2
C
C
a b
a b
a b
. Sau khi nhân với biểu thức
liên hợp những số hạng ở mẫu nếu chứa căn thì mất căn, nếu không chứa căn thì phải
bình phương và mẫu luôn là hiệu)
5
5 1
1
Ví dụ: a,
b,
3
7
1
3 7
2
2
5 2
52
10
10
11 6
11
c,
d,
6
RÚT GỌN BIỂU THỨC TỔNG QUÁT
Lưu ý HS một số công thức: Với a ≥ 0 thì:
a = ( a )2 ;
a
a
a (
a ) 3 ; a 1 (
a 1 (
3
a 1)(
3
a ) 1 (
a 1) ; a
a 1)(a
a 1 (
a 1) ; a 2
a ) 3 13 (
a 1 (
a 1)( a
2
a 1) ; a 2
a 1)
a 1 (
a 1) 2 ....
Dạng 1: Phân tích tử thành tích có chứa nhân tử là mẫu
Ví dụ 1: Rút gọn:
VD2:
Rút
a 1
a a
a 1 2 a 1 1
1 a a
gọn: 1 a
1 a
a
1 a
với a ≥ 0, a ≠ 1;
2
với a ≥ 0, a ≠ 1;
Dạng 2: Quy đồng mẫu nhưng có một mẫu là mẫu chung
VD1: Cho M =
x
x1
x
:
x 1
x
x 1
x
với x > 0, x ≠ 1.
a, Rút gọn M
b, Tìm x sao cho M ≤ 0
VD2: Cho biểu thức K =
x
x1
a, Rút gọn
b, Tính giá trị của K tại x =
VD3: Cho P =
x 1
x 2
2x
x
x
x
42
3
2 5 x
2 x
4 x
x 2
với x > 0, x ≠ 1
với x ≥ 0, x ≠ 4
a, Rút gọn P
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
2
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
b, Tìm x để P = 2
Dạng 3: Quy đồng mẫu với mẫu chung là tích các mẫu
VD1: Cho Q =
a a a a
a 1
a
1
a
1
2 2 a
với a > 0, a ≠ 1
a, Rút gọn
b, Tìm x để Q ≥ -2
Dạng 4 : Dạng tổng hợp ( dành cho HS khá giỏi)
VD: Cho P =
1
x x
1
x
:
x 1
x
2
x 1
( GV lấy thêm các ví dụ)
với x > 0
a, Rút gọn
b, Tìm x để P >
1
2
CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
I.
Giải hệ PT bằng phương pháp cộng đại số
VD1: Giải các hệ PT
x 2 y 4
a,
x 3 y 1
2 x y 5
b,
x y 2
VD2: Giải các hệ PT:
a,
x 2 y 4
2 x 3 y 1
b,
2 x y 1
3x 4 y 1
VD3: Giải các hệ PT
2 x 1 y 3
a,
x 3 y 8
II.
2 x y 1 2 y
b,
3x y 3 x
Biện luận hệ PT
VD1: Cho hệ PT :
4 x ay b
x by a
Tìm a, b để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2; -1)
VD2: Cho hệ PT:
3x my 5
mx y 1
a, Giải hệ với m =2
b, Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m
III. Giải hệ PT bằng PP thế:
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
3
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
( Nếu có thời gian các đ/c tìm thêm một số ví dụ về các hệ PT mà phải giải bằng
PP thế)
CHUYÊN ĐỀ 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ y = ax + b ( a ≠0)
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số:
- Điểm cắt trục tung: x = 0; y = b (0 ; b)
- Điểm cắt trục hoành: y = 0; x = - b/a ( - b/a ; 0 )
VD1: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x – 3
VD2: Vẽ đồ thị hàm số : y = –x + 5
( Lưu ý HS: Nếu a > 0 thì đồ thị hàm số có chiều đi lên từ trái qua phải, nếu a < 0
thì đồ thị hàm số có chiều đi xuống)
Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến:
VD: Với giá trị nào của m thì hàm số y = ( m +2)x – 3 đồng biến trên tập xác định.
Dạng 3: Tìm số hạng chưa biết của hàm số:
Lưu ý HS: Cho hai hàm số y = ax + b và y = mx + n ( a, m ≠ 0). Đồ thị của hai hàm số
- Cắt nhau khi a ≠ m ( Cắt nhau tại điểm trên trục tung khi a ≠ m và b = n)
- Song song với nhau khi a = m, b ≠ n
- Trùng nhau khi a = m, b= n
Đồ thị của hàm số y = ax + b song song với trục hoành khi a = 0, b ≠ 0.
VD1: Cho hàm số y = 3x + b. Tìm b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M ( 1; -2)
VD2: Tìm m để đường thẳng y = 2x -1 và đường thẳng y = 3x + m cắt nhau tại một
điểm trên trục hoành?
VD3: Biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M ( 2; ½) và song song với đường
thẳng 2x + y = 3 . Tìm a và b ?
VD4: Biết đường thẳng y = ax + b điqua điểm P ( -1;2) và cắt đường thẳng y = 2x – 3
tại một điểm trên trục tung. Tìm a và b?
VD5: Biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A(2; 3) và điểm B(-2; 1). Tìm a và b?
VD6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có PT: y = (m -1 )x + n
a, Với giá trị nào của m và n thì d song song với trục Ox
b, Xác định phương trình của d, biết d đi qua điểm A (1; -1) và có hệ số góc
bằng -3
CHUYÊN ĐỀ 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ax2 + bx + c = 0
Chuyªn ®Ò 5: Ph¬ng tr×nh bËc hai
PhÇn II. kiÕn thøc cÇn n¾m v÷ng
1. C«ng thøc nghiÖm:
Ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a 0) cã = b2- 4ac
+NÕu < 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
+NÕu = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 =
b
2a
+NÕu > 0 th× ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt:
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
4
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
x1 =
b
2a
;
x2 =
b
2a
2. C«ng thøc nghiÖm thu gän:
Ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a 0) cã ’=b’ 2- ac ( b =2b’ )
+NÕu ’ < 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
+NÕu ’= 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 =
+NÕu ’> 0 th× ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt:
x1 =
b '
a
;
x2 =
b
a
b '
a
3. HÖ thøc Vi-Ðt
a) §Þnh lÝ Vi-Ðt:
NÕu x1; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a0)
th× : S = x1+x2 = b ; P = x1.x2 = c
a
a
b) øng dông:
+HÖ qu¶ 1:
NÕu ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a 0) cã: a+b+c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x1
= 1; x2 = c
a
+HÖ qu¶ 2:
NÕu ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a 0) cã: a- b+c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x1
= -1; x2 = c
a
c) §Þnh lÝ: (®¶o Vi-Ðt)
NÕu hai sè x1; x2 cã x1+x2= S ; x1.x2 = P th× x1; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh :
x2- S x+P = 0
(x1 ; x2 tån t¹i khi S2 – 4P 0)
Chó ý:
+ §Þnh lÝ Vi-Ðt chØ ¸p dông ®îc khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (tøc lµ ≥ 0)
+ NÕu a vµ c tr¸i dÊu th× ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu
PhÇn II. bµi tËp rÌn luyÖn
I. To¸n tr¾c nghiÖm
(Môc ®Ých: Cñng cè, kh¾c s©u lÝ thuyÕt)
Bµi 1: §iÒn vµo chç ..... ®Ó cã mÖnh ®Ò ®óng
a) Ph¬ng tr×nh mx2+nx+p = 0 (m 0) cã = .....
NÕu ..... th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
NÕu ..... th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = .....
NÕu ..... th× ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt:
x1 =..... ; x2 = .....
2
b) Ph¬ng tr×nh px +qx+k = 0 (p 0) cã ’= .....(víi q = 2q’ )
NÕu ’ ..... th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
NÕu ’ ..... th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = .....
NÕu ’ ..... th× ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt:
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
5
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
x1 =..... ;
x2 = .....
Bµi 2: Trong c¸c mÖnh ®Ò sau, mÖnh ®Ò nµo ®óng, mÖnh ®Ò nµo sai
A. NÕu x1; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2+ bx + c = 0 (a 0)
th×: S = x1+ x2 =
b
a
; P = x1.x2 =
c
a
B. NÕu x1; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2+ bx + c = 0 (a 0)
th×: S = x1+ x2 =
c
a
; P = x1.x2 =
b
a
C. NÕu ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a 0) cã a+b+c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm:
x1 = 1; x2 =
c
a
D. NÕu ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a 0) cã: a-b+c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm:
x1 = 1; x2 =
c
a
E. NÕu ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a 0) cã: a- b+c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm:
x1 = -1; x2 =
c
a
F. NÕu ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a 0) cã: a+b+c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm:
x1 = -1; x2 = c
a
G. NÕu hai sè u vµ v cã u+v = S ; u.v = P th× u; v lµ nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh : x2- S
x+P = 0
H. NÕu hai sè u vµ v cã u+v = S ; u.v = P th× u; v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x2- P
x+S = 0
Bµi 3: Ba b¹n Hïng, H¶i, TuÊn cïng tranh luËn vÒ c¸c mÖnh ®Ò sau:
A.NÕu ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 cã a+b+c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: x 1 = 1;
x2 = c
a
B.NÕu ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 cã: a-b+c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: x1 = -1;
x2 = c
a
b
vµ tÝch hai nghiÖm lµ c
a
a
1
vµ tÝch hai nghiÖm lµ 3
2
2
C.Ph¬ng tr×nh ax2+bx+c=0 cã tæng hai nghiÖm lµ
D.Ph¬ng tr×nh 2x2-x+3 = 0 cã tæng hai nghiÖm lµ
Hïng nãi: c¶ bèn mÖnh ®Ò ®Òu ®óng
H¶i nãi: c¶ bèn mÖnh ®Ò ®Òu sai
TuÊn nãi: A, B, C ®óng cßn D sai
Theo em ai ®óng, ai sai? gi¶i thÝch râ v× sao?
GV:cÇn kh¾c s©u h¬n vÒ a 0 vµ khi sö dông §L viet th× ph¶i cã §K: ≥ 0)
II. To¸n tù luËn
Lo¹i to¸n rÌn kü n¨ng ¸p dông c«ng thøc vµo tÝnh to¸n
Bµi 1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh
a) x2 - 49x - 50 = 0
b) (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0
Gi¶i:
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
6
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh x2 - 49x - 50 = 0
+ Lêi gi¶i 1: Dïng c«ng thøc nghiÖm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
2
= (- 49) - 4.1.(- 50) = 2601; = 51
Do > 0 nªn ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
x1
( 49) 51
( 49) 51
1 ; x2
50
2
2
+ Lêi gi¶i 2: øng dông cña ®Þnh lÝ Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nªn ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x1 = - 1; x2 =
50
50
1
+ Lêi gi¶i 3: = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601
Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã :
x1 x2 49 ( 1) 50 x1 1
x1.x2 49 50 ( 1).50 x2 50
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x1 = - 1; x2 =
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh (2-
50
50
1
x–2– 3 =0
Gi¶i:
+ Lêi gi¶i 1: Dïng c«ng thøc nghiÖm
(a = 2- 3 ; b = 2 3 ; c = – 2 – 3 )
= (2 3 )2- 4(2- 3 )(– 2 – 3 ) = 16; = 4
Do > 0 nªn ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
x1
3
)x2 + 2
3
2 3 4
2 3 4
1 ; x2
(7 4 3 )
2( 2 3 )
2( 2 3 )
+ Lêi gi¶i 2: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän
(a = 2- 3 ; b’ = 3 ; c = – 2 – 3 )
’ = ( 3 )2- (2- 3 )(– 2 – 3 ) = 4; = 2
Do ’ > 0 nªn ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
x1
32
3 2
1 ; x2
(7 4 3 )
2 3
2 3
+ Lêi gi¶i 3: øng dông cña ®Þnh lÝ Viet
Do a + b + c = 2- 3 + 2 3 + (- 2 Nªn ph¬ng tr×nh cã nghiÖm:
x1 = 1; x1 =
3
)=0
2 3
(7 4 3 )
2 3
*Yªu cÇu:
+ Häc sinh x¸c ®Þnh ®óng hÖ sè a, b, c vµ ¸p dông ®óng c«ng thøc
+ ¸p dông ®óng c«ng thøc (kh«ng nhÈm t¾t v× dÔ dÉn ®Õn sai sãt)
+ Gv: cÇn chó ý rÌn tÝnh cÈn thËn khi ¸p dông c«ng thøc vµ tÝnh to¸n
* Bµi tËp t¬ng tù:
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1. 3x2 – 7x - 10 = 0
5. x2 – (1+ 2 )x + 2 = 0
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
7
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
2. x2 – 3x + 2 = 0
3. x2 – 4x – 5 = 0
4. 3x2 – 2 3 x – 3 =
0
6. 3 x2 – (1- 3 )x – 1 = 0
7.(2+ 3 )x2 - 2 3 x – 2 + 3 =
0
8. x2 – x – 6 = 0
Bµi 2:
T×m hai sè u vµ v biÕt: u + v = 42 vµ u.v = 441
Gi¶i
Du u+v = 42 vµ u.v = 441 nªn u vµ v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
x2 – 42x + 441 = 0 (*)
Ta cã: ’ = (- 21)2- 441 = 0
Ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm x1 = x2 = 21
VËy u = v = 21
*Bµi tËp t¬ng tù:
1. T×m hai sè u vµ v biÕt:
a) u+v = -42 vµ u.v = - 400
b) u - v = 5 vµ u.v = 24
c) u+v = 3 vµ u.v = - 8
d) u - v = -5 vµ u.v = -10
2. T×m kÝch thíc m¶nh vên h×nh ch÷ nhËt biÕt chu vi b»ng 22m vµ diÖn tÝch b»ng 30m2
Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
(ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai)
a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0
b)
2x
x2 x 8
x 1 ( x 1)( x 4)
c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2
d) 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0
Gi¶i
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1)
(1) (x2 - 2)(x + 3) = 0 (x + 2 )(x - 2 )(x + 3) = 0
x=- 2;x= 2;x=-3
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x = - 2 ; x = 2 ; x = - 3
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh
2x
x2 x 8
x 1 ( x 1)( x 4)
(2)
Víi §K: x≠ -1; x≠ 4 th×
(2) 2x(x- 4) = x2 – x + 8 x2 – 7x – 8 = 0 (*)
Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nªn ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm x1 = -1(kh«ng
tho¶ m·n §K) ; x2 = 8 (tho¶ m·n §K)
VËy ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm x = 8
c) Gi¶i ph¬ng tr×nh 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3)
Ta cã: (3) 5x4 – 3x2 – 26 = 0
§Æt x2 = t (t 0) th× (3) 5t2 – 3t – 26 = 0
XÐt = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529. = 23
Nªn: t1 = ( 3) 23 13 (tho¶ m·n t 0) ;
Víi t
2.5
5
( 3) 23
t2 =
2 (lo¹i)
2.5
= 13 x2 = 13 x = 13
5
5
5
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
8
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
VËy ph¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm x1 =
13
5
; x2 =
d) Gi¶i ph¬ng tr×nh 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 (4)
§Æt x2+x = t . Khi ®ã (4) 3t2 – 2t – 1 = 0
13
5
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nªn t1 = 1; t2 =
1
3
t1 = 1 x2+x = 1 x2 + x – 1 = 0
1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nªn x1 =
t2 =
1
3
x2+x =
1
3
1 5
2
; x2 =
1 5
2
3x2 + 3x + 1 = 0 (*)
2 = 32 - 4.3.1 = -3 < 0 . Nªn (*) v« nghiÖm
VËy ph¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm x1 =
1 5
2
; x2 = 1
5
2
* Bµi tËp t¬ng tù: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1. x3+3x2+3x+2 = 0
7. (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0
2
2
2
2
2
2. (x + 2x - 5) = (x - x + 5)
1
1
4
2
8.
x 4 x 3 0
3. x – 5x + 4 = 0
x
x
4. 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0
x
2
6
5. x3 + 2 x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2
9.
3
x 5
2 x
x
x 1
6.
10.
3
x 1
Bµi 4:
A=
x
Cho ph¬ng tr×nh x2 + 3 x - 5 = 0 cã 2 nghiÖm lµ x1 vµ x2 .
Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau:
1
1
x2 x2
;
B = x12 + x22 ;
C=
1
1
2;
2
x2
x2
D = x13 + x23
Gi¶i
Do ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ x1 vµ x2 nªn theo ®Þnh lÝ Viet ta cã:
x1 + x 2 = 3 ;
x1.x2 = 5
A=
1
1 x1 x 2
x2 x2
x1 .x 2
3
5
1
15 ;
5
B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2=
C=
2
1
(
3 ) 2 2(
5 ) 3 2 5
2
2
x x
32 5 1
(3 2 5 ) ;
2 2
x1 .x 2
( 5 ) 2 5
D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = ( 3 )[3 2 5 ( 5 )] (3 3 3 15 )
* Bµi tËp t¬ng tù:
Cho ph¬ng tr×nh x2 + 2x - 3 = 0 cã 2 nghiÖm lµ x1 vµ x2 .
Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau:
1
1
2;
2
x2
x2
A=
1
1
x2 x2
E=
6 x12 10 x1 x 2 6 x 22
3x12 5 x1 x 2 3x 22
;
F
=
5 x1 x 23 5 x13 x 2
4 x1 x 22 4 x12 x 2
;
B = x12 + x22 ;
C=
D = x13 + x23
Lo¹i to¸n rÌn kü n¨ng suy luËn
(Ph¬ng tr×nh bËc hai chøa tham sè)
Bµi 1: (Bµi to¸n tæng qu¸t)
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
9
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
T×m ®iÒu kiÖn tæng qu¸t ®Ó ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a 0) cã:
1. Cã nghiÖm (cã hai nghiÖm) 0
2. V« nghiÖm < 0
3. NghiÖm duy nhÊt (nghiÖm kÐp, hai nghiÖm b»ng nhau) = 0
4. Cã hai nghiÖm ph©n biÖt (kh¸c nhau) > 0
5. Hai nghiÖm cïng dÊu 0 vµ P > 0
6. Hai nghiÖm tr¸i dÊu > 0 vµ P < 0 a.c < 0
7. Hai nghiÖm d¬ng(lín h¬n 0) 0; S > 0 vµ P > 0
8. Hai nghiÖm ©m(nhá h¬n 0) 0; S < 0 vµ P > 0
9. Hai nghiÖm ®èi nhau 0 vµ S = 0
10.Hai nghiÖm nghÞch ®¶o nhau 0 vµ P = 1
11. Hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n a.c < 0 vµ S < 0
12. Hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm d¬ng cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n
a.c < 0 vµ S > 0
(ë ®ã: S = x1+ x2 = b ; P = x1.x2 = c )
a
a
* Gi¸o viªn cÇn cho häc sinh tù suy luËn t×m ra ®iÒu kiÖn tæng qu¸t, gióp häc sinh
chñ ®éng khi gi¶i lo¹i to¸n nµy
Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh (gi¶i vµ biÖn luËn): x2- 2x+k = 0 ( tham sè k)
Gi¶i
’ = (-1)2- 1.k = 1 – k
NÕu ’< 0 1- k < 0 k > 1 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
NÕu ’= 0 1- k = 0 k = 1 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x1= x2=1
NÕu ’> 0 1- k > 0 k < 1 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
x1 = 1- 1 k ; x2 = 1+ 1 k
KÕt luËn:
NÕu k > 1 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
NÕu k = 1 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=1
NÕu k < 1 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 1- 1 k ; x2 = 1+ 1 k
Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham sè m)
a) T×m m ®Ó (1) cã nghiÖm
b) T×m m ®Ó (1) cã nghiÖm duy nhÊt? t×m nghiÖm duy nhÊt ®ã?
c) T×m m ®Ó (1) cã 1 nghiÖm b»ng 2? khi ®ã h·y t×m nghiÖm cßn l¹i(nÕu cã)?
Gi¶i
a) + NÕu m-1 = 0 m = 1 th× (1) cã d¹ng 2x - 3 = 0 x =
3
2
(lµ nghiÖm)
+ NÕu m ≠ 1. Khi ®ã (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) cã nghiÖm ’ = 3m-2 0 m
2
3
+ KÕt hîp hai trêng hîp trªn ta cã: Víi m
2
3
th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
b) + NÕu m-1 = 0 m = 1 th× (1) cã d¹ng 2x - 3 = 0 x =
3
2
(lµ nghiÖm)
+ NÕu m ≠ 1. Khi ®ã (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
10
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
(1) cã nghiÖm duy nhÊt ’ = 3m-2 = 0 m =
Khi ®ã x =
2
3
(tho¶ m·n m ≠ 1)
1
1
3
2
m 1
1
3
+VËy víi m = 1 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x =
3
2
víi m = 2 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 3
3
c) Do ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 2 nªn ta cã:
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 4m – 3 = 0 m =
Khi ®ã (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai (do m -1 =
Theo ®inh lÝ Viet ta cã: x1.x2 =
3
4
3
-1= 1
4
4
≠ 0)
3
3
12 x 2 6
1
m 1
4
VËy m = 3 vµ nghiÖm cßn l¹i lµ x2 = 6
4
* Gi¸o viªn cÇn kh¾c s©u trêng hîp hÖ sè a cã chøa tham sè (khi ®ã bµi to¸n trë
nªn phøc t¹p vµhäc sinh thêng hay sai sãt)
Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( Èn sè x)
a) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m
b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng ©m
d) T×m m sao cho nghiÖm sè x1, x2 cña ph¬ng tr×nh tho¶ m·n x12+x22 10.
e) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m
f) H·y biÓu thÞ x1 qua x2
Gi¶i
a) Ta cã: = (m-1) – (– 3 – m ) =
’
Do
2
2
1
m 0
2
víi mäi m;
15
0
4
2
1
15
m
2
4
> 0 víi mäi m
Ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt
Hay ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm (®pcm)
b) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu a.c < 0 – 3 – m < 0 m > -3
VËy m > -3
c) Theo ý a) ta cã ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm
Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3)
Khi ®ã ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m S < 0 vµ P > 0
2(m 1 0) m1
m3
(m3 0) m3
VËy m < -3
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
11
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
d) Theo ý a) ta cã ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm
Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3)
Khi ®ã A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10
Theo bµi A 10 4m2 – 6m 0 2m(2m-3) 0
m0
m0 3
m 3
2m 03 2 m
2
m0 m0
m 0
2m 03 3
m
2
3
VËy m 2 hoÆc m 0
e) Theo ý a) ta cã ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm
Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã:
x1 x2 2(m 1) x1 x2 2m 2
.
x1.x2 (m3) 2x1.x2 2m 6
x1 + x2+2x1x2 = - 8
VËy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 lµ hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc m
8 x
2
f) Tõ ý e) ta cã: x1 + x2+2x1x2 = - 8 x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) x1 1 2 x
2
VËy x1
8 x2
1 2 x2
( x2
1
)
2
Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2x + m-1= 0 ( m lµ tham sè)
a) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ nghÞch ®¶o cña nhau
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
12
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n 3x1+2x2 = 1
c) LËp ph¬ng tr×nh Èn y tho¶ m·n
¬ng tr×nh ë trªn
y1 x1
1
x2
;
y2 x2
1
x1
víi x1; x2 lµ nghiÖm cña ph-
Gi¶i
a) Ta cã ’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ nghÞch ®¶o cña nhau
'
0 m02 m2
m 2
P 1 m1 m2
VËy m = 2
b) Ta cã ’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 0 2 – m 0 m 2 (*)
Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bµi: 3x1+2x2 = 1 (3)
x 21 2 2x 21 42 x15 x15
3x 21 12 3x 21 12 x 21 2 x27
Tõ (1) vµ (3) ta cã:
ThÕ vµo (2) ta cã: 5(-7) = m -1 m = - 34 (tho¶ m·n (*))
VËy m = -34 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m
d) Víi m 2 th× ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm
Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
Khi ®ã: y1 y 2 x1 x 2
y1 y 2 ( x1
x x
1 1
2
2m
x1 x 2 1 2 2
x1 x 2
x1 x 2
m 1 1 m
(m≠1)
1
1
1
1
m2
)( x 2 ) x1 x 2
2 m 1
2
x2
x1
x1 x 2
m 1
m 1
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
(m≠1)
13
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
2m
m2
y1; y2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: y2 - 1 m .y +
m
Ph¬ng tr×nh Èn y cÇn lËp lµ: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
*Yªu cÇu:
+ HS n¾m v÷ng ph¬ng ph¸p
+ HS cÈn thËn trong tÝnh to¸n vµ biÕn ®æi
1
= 0 (m≠1)
+ Gv: cÇn chó ý söa ch÷a nh÷ng thiÕu sãt cña häc sinh, c¸ch tr×nh bµy bµi vµ
khai th¸c nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c
* Bµi tËp t¬ng tù:
1) Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( Èn x)
a) §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp.
TÝnh nghiÖm kÐp nµy
b) §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt ®Òu ©m.
2) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 4x + m + 1 = 0
a) §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.
b) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n: x12 + x22 = 10
3) Cho ph¬ng tr×nh: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
a) Chøng minh r»ng, ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm
khi m thay ®æi
b) §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n: 1 < x1 < x2 <6
4) Cho ph¬ng tr×nh bËc hai cã Èn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
a) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m.
b) §Æt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2
a) Chøng minh A= 8m2 – 18m + 9
b) T×m m sao cho A=27
c) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng 2 lÇn
nghiÖm kia
5) Cho ph¬ng tr×nh ; x2 -2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2
nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n:
a) A = x1 + x2 – 3x1x2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
b) B = x12 + x22 – x1x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
c) T×m hÖ thøc gi÷a x1 , x2 kh«ng phô thuéc vµo m
6) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«ng cã 2 nghiÖm x1, x2 víi mäi m
b) X¸c ®Þnh m ®Ó: x12 + x22 = 4(x1 + x2)
c) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai Èn y cã 2 nghiÖm y1 vµ y2 tho¶ m·n:
y1 + y2 = x1 + x2 vµ
y1
y2
3
1 y 2 1 y1
7) Cho ph¬ng tr×nh : x2 + ax + 1 = 0. X¸c ®Þnh a ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 , x2
2
tho¶ m·n :
x1 x 2
x 2 x1
2
>7
8) Cho ph¬ng tr×nh : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1)
a) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh (1) theo m
b) Khi ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2:
* T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 ®éc lËp ®èi víi m
* T×m m sao cho x x 2
1
2
Bµi 174
Cho ph¬ng tr×nh cã Èn sè x : x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0
1) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm sè víi mäi m
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
14
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
2) T×m m sao cho nghiÖm sè x1, x2 cña ph¬ng tr×nh
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x12+x22 10.
Bµi 175
Cho ph¬ng tr×nh bËc hai cã Èn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
1) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m.
2) §Æt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2
a) Chøng minh A= 8m2 – 18m + 9
b) T×m m sao cho A=27
3) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng 2 lÇn
nghiÖm kia
Bµi 176
Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( Èn x)
a) §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp.
TÝnh nghiÖm kÐp nµy
b) §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt ®Òu ©m.
Bµi 177
Cho ph¬ng tr×nh: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
a) Chøng minh r»ng, ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm
khi m thay ®æi
b) §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n:
1 < x1 < x2 <6
Bµi 178
Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + x + a = 0 (1)
x2 + ax2 + 1 = 0 (2)
T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó hai ph¬ng tr×nh:
a) T¬ng ®¬ng víi nhau.
b) Cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung.
Bµi 179
a) Chøng minh r»ng ®¼ng thøc:
(m2 + m + 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2
b) Cho ph¬ng tr×nh: mx2 - (m2 + m + 1)x + m + 1 = 0 (1)
T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm
ph©n biÖt kh¸c -1
Bµi 180
Gäi a,b lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:
x2 + px + 1 = 0
Gäi c,d lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:
y2 + qy + 1 = 0
Chøng minh hÖ thøc: (a – c)(a – d)(b – c)(b – d) = (p – q)2
Bµi 181
Gi¶ sö a vµ b lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2+px+1 = 0
Gi¶ sö c vµ d lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2+qx+1 = 0
Chøng minh hÖ thøc: (a – c)(b – c)(a + d)(b + d) = q2 + p2
Bµi 182
Cho ph¬ng tr×nh: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0
1) Chøng minh r»ng, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m.
2) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x 1, x2
vµ khi ®ã h·y t×m gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm nµy gÊp ®«i nghiÖm kia.
Bµi 183
Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 4x + m + 1 = 0
a) §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.
b) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n: x12 + x22 = 10
Bµi 184
Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2mx + m + 2 = 0
a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm kh«ng ©m
b) Khi ®ã h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: E= x1 x 2 theo m
Bµi 185
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
15
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Cho ph¬ng tr×nh : 3x2 – mx + 2 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho¶
m·n: 3x1x2 = 2x2 – 2
Bµi 186
Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m – 1)x - m = 0
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã 2 nghiÖm x1, x2 víi mäi m.
b) Víi m 0, lËp ph¬ng tr×nh Èn y tho¶ m·n:
y1 x1
1
,
x2
y 2 x 2
1
x1
Bµi 187
Cho ph¬ng tr×nh : 3x2 - 5x + m = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho¶
m·n: x12 – x22 = 5/9
Bµi 188
Cho ph¬ng tr×nh ; x2 -2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2
nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n:
a) A = x1 + x2 – 3x1x2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
b) B = x12 + x22 – x1x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
c) T×m hÖ thøc gi÷a x1 , x2 kh«ng phô thuéc vµo m
Bµi 189
Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«ng cã 2 nghiÖm x1, x2 víi mäi m
b) X¸c ®Þnh m ®Ó: x12 + x22 = 4(x1 + x2)
c) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai Èn y cã 2 nghiÖm y 1 vµ y2 tho¶ m·n: y1 + y2 = x1 + x2,
y1
y2
3
1 y 2 1 y1
Bµi 190
Cho ph¬ng tr×nh : x2 + ax + 1 = 0. X¸c ®Þnh a ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 , x2 tho¶
2
m·n :
x1 x 2
x 2 x1
2
>7
Bµi 191
Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 + 2(m + 2)x + 4m + 3 = 0
a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2
b) Chøng minh r»ng c¸c nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n:
2
x1 x 2 3 x1 x 2 1
2
2
Bµi 192
Cho ph¬ng tr×nh : ax2 + bx + c = 0 (a 0)
Chøng minh r»ng, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm mµ nghiÖm nµy
gÊp ®«i nghiÖm kia lµ: 9ac = 2b2
Bµi 193
Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bc + c = 0 (a 0).
Chøng minh r»ng, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm mµ nghiÖm nµy
b»ng k lÇn nghiÖm kia (k > 0) lµ: kb2 = (k + 1)2ac
Bµi 194
Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh :
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 lu«n lu«n cã 2 nghiÖm víi
mäi a, b, c.
Bµi 195
Co hai ph¬ng tr×nh :
x2 + mx + 2 = 0 (1)
X2 + 2x + m = 0 (2)
a) §Þnh m ®Ó 2 ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung
b) §Þnh m ®Ó 2 ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng
c) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh: (x2+mx+2)(x2+2x+m) = 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt .
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
16
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Bµi 196
Víi gi¸ trÞ nµo cña c¸c tham sè a vµ b, c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai:
(2a + 1)x2 –
(3a – 1)x + 2 = 0 (1)
(b + 2)x2 – (2b + 1)x – 1 = 0 (2)
Cã hai nghiÖm chung
Bµi 197
Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè k th× hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung :
2x2 +
(3k + 1)x – 9 = 0
6x2 + (7k – 1)x – 19 = 0
Bµi 198
Víi gi¸ trÞ nµo cña sè nguyªn p , c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm chung
3x 2 4x + p – 2 = 0
x2 – 2px + 5 = 0
Bµi 199
Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tû, a 0, cã mét
nghiÖm lµ 1 + 2 .
H·y t×m nghiÖm cßn l¹i
Bµi 200
T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn k ®Ó ph¬ng tr×nh:
kx2 – ( 1-2k) + k – 2 = 0 lu«n lu«n cã nghiÖm sè h÷u tû.
Bµi 201
Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: 3x2 + 4(a – 1)x + a2 – 4a + 1 = 0
x¸c ®Þnh a ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vµ x2 tho¶ m·n hÖ thøc :
x1 x 2
1
1
2
x1 x2
Bµi 202
Cho biÕt ph¬ng tr×nh: x2 + px + 1 = 0 cã hai nghiÖm lµ a vµ b,ph¬ng tr×nh: x2 + qx +
2 = 0 cã hai nghiÖm lµ b vµ c
chøng minh hÖ thøc : (b – a)(b – c) = pq – 6
Bµi 203
Cho c¸c ph¬ng tr×nh : x2 - 5x + k = 0 (1)
x2 - 7x + 2k = 0 (2)
X¸c ®Þnh k ®Ó mét trong c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) lín gÊp 2 mét trong c¸c
nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)
Bµi 204
Cho c¸c ph¬ng tr×nh : 2x2 + mx – 1 = 0 (1)
mx2 - x + 2 = 0 (2)
Víi gi¸ trÞ nµo cña m, ph¬ng tr×nh (1) vµ ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm chung
Bµi 205
Gi¶ sö x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai:
3x2 - cx +2c - 1 = 0.
TÝnh theo c gi¸ trÞ cña biÓu thøc: S =
1
x1
3
1
x2
3
Bµi 206
X¸c ®Þnh a ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung :
x2 + ax + 8 = 0
2
x +x+a=0
Bµi 207
T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn k ®Ó c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai:
2x2 + (3k – 1)x – 3 = 0
6x2 – (2k – 3)x – 1 = 0
a) Cã nghiÖm chung
b) T¬ng ®¬ng víi nhau
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
17
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Bµi 208
Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: 2x2 + 6x + m = 0. Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m, ph¬ng
tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tho¶ m·n:
x1 x 2
2
x 2 x1
Bµi 209
Cho biÕt x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 0 cña ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx +
c = 0 (a 0, a,b,c R). H·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ :
1
x1
2
,
1
x2
2
Bµi 210
BiÕt r»ng x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 . H·y viÖt
ph¬ng tr×nh bËc hai nh©n x13 vµ x23 lµm hai nghiÖm
Bµi 211
Cho f(x) = x2 – 2(m+ 2)x + 6m + 1
a) CMR: ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm víi mäi m.
b) §Æt x = t + 2. TÝnh f(x) theo t, tõ ®ã t×m ®iÒu kiÖn ®èi víi m ®Ó ph¬ng tr×nh f(x) =
0 cã hai nghiÖm lín h¬n 2
Bµi 212
Cho ph¬ng tr×nh : x2 -2(m + 1)x + m2 + m - 6 = 0
a) §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ®Òu ©m
b) §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n:
3
x1 x2
3
50
Bµi 213
CMR: ph¬ng tr×nh :( x + 1)(x+3) + m(x + 2)(x + 4) = 0
Lu«n lu«n cã nghiÖm sè thùc víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m
Bµi 214
Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - 6x + m = 0. Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m, ph¬ng tr×nh
cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n:
x12 + x22 = 72
Bµi 215
Gi¶ sö a vµ b lµ hai sè kh¸c nhau. Chøng minh r»ng nÕu hai ph¬ng tr×nh:
x2 +
ax + 2b = 0 (1)
x2 + bx + 2a = 0 (2)
Cã ®óng mét nghiÖm chung th× c¸c nghiÖm sè cßn l¹i cña (1) vµ (2) lµ nghiÖm chung
cña ph¬ng tr×nh : x2 + 2x + ab = 0
Bµi 216
Cho hai ph¬ng tr×nh : x2 + ax + 2b = 0 (1)
x2 + bx + ac = 0 (2)
( a,b,c ®«i mét kh¸c nhau vµ kh¸c 0)
Cho biÕt (1) vµ (2) cã ®óng mét nghiÖm chung. Chøng minh r»ng hai nghiÖm cßn l¹i
cña ph¬ng tr×nh (1) vµ (2) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 + cx + ab = 0
Bµi 217
Cho ph¬ng tr×nh: x2 – (m – 1)x – m2 + m - 2 = 0
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi m
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m, biÓu thøc: E = x12 + x22 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Bµi 218
Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + a1x + b1 = 0 (1)
x2 + a2x + b2 = 0 (2)
Cho biÕt a1a2 2(b1 + b2). Chøng minh mét trong hai ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm.
Bµi 219p
Cho ba ph¬ng tr×nh: ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (3)
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
18
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
víi a,b,c ≠ 0. Chøng minh r»ng, Ýt nhÊt mét trong ba ph¬ng tr×nh trªn ®©y ph¶i cã
nghiÖm
Bµi 220
Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m + 4 = 0
a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm p©n biÖt x1, x2 tho¶ m·n:
1
1
1
x1 x2
b) LËp mét hÖ thøc gi÷a x1 vµ x2 ®éc lËp víi m
Bµi 221
Cho ph¬ng tr×nh: (m + 2)x2 – 2(m – 1)x + 3 – m = 0
a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n hÖ thøc : x12 + x22 = x1 +
x2
b) LËp mét hÖ thøc gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m
c) ViÕt mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ:
x1 =
x1 1
,
x1 1
x2 =
x2 1
x2 1
Bµi 222:
Cho ph¬ng tr×nh: x2 + (m+1) + m = 0
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã 2 nghiÖm x1, x2 víi mäi m
b) X¸c ®Þnh m ®Ó biÓu thøc: E = x12+x22 ®¹t gi¸ trÞ bÐ nhÊt.
Bµi 223
Cho ph¬ng tr×nh; (a – 3)x2 – 2(a – 1)x a – 5 = 0
a) gi¶i ph¬ng tr×nh khi a =13
b) X¸c ®Þnh a ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
Bµi 224
Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«ng lu«n cã nghiÖm víi mäi m
b)T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp.T×m nghiÖm ®ã
c) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n x1, x2 tho¶ m·n: -1 < x1 < x2 <1
d) Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1x2, h·y lËp mét hÖ thøc gi÷a
x1 vµ x2 kh«ng cã m.
Bµi 225
Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m – 1)x m + 3 = 0
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm víi mäi m
b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ®èi nhau.
Bµi 226
Cho ph¬ng tr×nh: x2 + ax + b = 0. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
ph©n biÖt x1, x2 tho¶ m·n x1 – x2 = 5 vµ x13 + x23 = 35. TÝnh c¸c nghiÖm ®ã.
Bµi 227
Gi¶ sö ph¬ng tr×nh x2 + ax + b = 0; (a; b; c # 0) co hai nghiÖm ph©n biÖt trong ®ã
®óng mét nghiÖm d¬ng x1 th× ph¬ng tr×nh bËc hai: ct2 + bt + a = 0 còng cã hai nghiÖm
ph©n biÖt trong ®ã cã t1 > 0 tho¶ m·n: x1 + t1 2
Bµi 228
Cho 2 ph¬ng tr×nh :
ax2 + bx + c = 0 (1)
cx2 + bx + a = 0 (2)
(a, b, c 0 ). Chøng minh r»ng nÕu (1) cã hai nghiÖm t¬ng ®¬ng x1, x2 th× (2) còng
cã hai 2 nghiÖm t¬ng ®¬ng x3, x4.
Ngoµi c¸c nghiÖm ®ã tho¶ m·n x1 + x2 + x3 + x4 4
Bµi 229
Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh: 3x2 + 17x – 14 = 0 (1)
2
H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: S=
3 x1 5 x1 x 2 3x 2
2
2
2
4 x1 x 2 4 x1 x 2
Víi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
19
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Bµi 230
a) Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh hiÖu c¸c lËp ph¬ng cña c¸c nghiÖm lín vµ
nghiÖm nhá cña ph¬ng tr×nh
X2 - 85 x 1 5 0
4
16
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña sè nguyªn a, c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: ax2 + (2a – 1)x + a
– 2 = 0 lµ c¸c sè h÷u tû?
Bµi 231
Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 – (2m + 1)x + m2 – 9m + 39 = 0
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m =9
b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
c) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm mµ mét nghiÖm gÊp ®«i nghiÖm cßn l¹i.
T×m c¸c nghiÖm ®ã.
Bµi 232
Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 + ax + b = 0. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai
nghiÖm a vµ b
Bµi 233
Cho f(x) = (4m – 3)x2 – 3(m + 1)x + 2(m + 1)
a) Khi m = 1, t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®ã
b) X¸c ®Þnh m ®Ó m ®Ó f(x) viÕt ®îc díi d¹ng mét b×nh ph¬ng
c) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x 1x2 lËp mét hÖ thøc gi÷a x 1
vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m.
Bµi 234
Cho x,y > 0 tho¶ m·n hÖ thøc:
x( x
y ) 3 y ( x 5
y)
(1)
H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: E =
2x
x
xy 3 y
xy y
Bµi 235
Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m
b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1x2 tho¶ m·n : x12 + x22
10
c) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 sao cho:
E = x12 + x22 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Bµi 236
Cho ph¬ng tr×nh bËc hai:
ax2 + bx + c = 0
px2 + qx + r = 0
cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung.
Chøng minh r»ng ta cã hÖ thøc: (pc–ar)2 = (pb–aq)(cq–rb)
Bµi 237
Cho ph¬ng tr×nh:
x2 + ax + b = 0 (1)
x2 – cx – d = 0 (2)
C¸c hÖ sè a, b, c, d tho¶ m·n: a(a–c)+c(c–a)+8(d–b) > 0
Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt .
Bµi 238
Gi¶ sö ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 + ax + b = 0 cã hai nghiÖm nguyªn d¬ng. Chøng
minh r»ng: ax2 + bx2 lµ mét hîp sè.
Bµi 239
Gi¶ sö ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
Cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2. X¸c ®Þnh m ®Ó biÓu thøc
E = x12 + x22 + 10x1x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. TÝnh min E
Bµi 240
§Æng ThÞ Hång Quyªn- THCS Gia Têng
20
- Xem thêm -
.DOC 
135 
505 
68 
