Tài liệu Dưới vi phân của hàm lồi trong không gian banach và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO VĂN PHƯƠNG DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn 3 Mở đầu 4 Một số kí hiệu 5 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Các phép toán về hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3 Tính liên tục của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4 Hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Dưới vi phân của hàm lồi 2.1 Định nghĩa và ví dụ 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 2.2 Quan hệ với đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 2.3 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3 Ứng dụng của dưới vi phân vào nghiên cứu bài toán tối ưu lồi 48 3.1 Bài toán tối ưu lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Bài toán lồi không có ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Bài toán lồi có ràng buộc bao hàm thức . . . . . . . . . . . 49 3.4 Bài toán với ràng buộc đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức . . . . . . . . . . 53 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 59 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn các Giáo sư của trường Đại học Khoa học, Viện Toán học, Đại học Thái Nguyên đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua. Tôi xin cảm ơn cơ quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đã chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện luận văn này. Hải phòng, ngày 19 tháng 7 năm 2012 Đào Văn Phương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Mở đầu Giải tích lồi là một bộ phận quan trọng của giải tích toán học, nghiên cứu về tập lồi và hàm lồi. Trong giải tích lồi, khái niệm dưới vi phân là một trong những khái niệm cơ bản. Có thể xem dưới vi phân như là một mở rộng của khái niệm đạo hàm. Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã nghiên cứu và thu được những kết quả quan trọng về dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng của nó trong giải tích phi tuyến cũng như trong các môn toán ứng dụng. Luận văn này trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bản nhất về dưới vi phân của hàm lồi trên không gian Banach và một số ứng dụng của nó vào lý thuyết tối ưu. Luận văn gồm 3 chương. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi. Chương 2 trình bày dưới vi phân của hàm lồi trên không gian Banach. Chương 3 trình bày ứng dụng của dưới vi phân vào việc nghiên cứu bài toán tối ưu lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bảng kí hiệu R Rn R = R ∪ {−∞, +∞} f :D→R δ (x|D) E∗ int A A domf epif f 0 (x) fG0 (x) f 0 (x; v) ∂f (x) ||.|| |x| hx∗ , xi KA NA (x̄) af f A coA f ≤g đường thẳng thực không gian Euclid n - chiều tập số thực suy rộng ánh xạ đi từ D vào R hàm chỉ của tập D không gian liên hợp của E phần trong của A bao đóng của A miền hữu hiệu của f trên đồ thị của f đạo hàm Fréchet của f tại x đạo hàm Gâteaux của f tại x đạo hàm theo hướng v của f tại x dưới vi phân của f tại x chuẩn trong không gian Banach trị tuyệt đối của số x giá trị của x∗ tại x nón lồi sinh bởi A nón pháp của A tại x̄ bao lồi affine của A bao lồi của A f (x) ≤ g(x) với mọi x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản nhất của tập lồi trong không gian Banach và hàm lồi trên không gian Banach cùng với những tính chất đặc trưng của nó. Những kiến thức trình bày trong chương này được chọn chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [4], [5], [6], [7], [8]. 1.1 Không gian Banach Cho E là một không gian vectơ trên trường số R . Định nghĩa 1.1. Một chuẩn, kí hiệu || · ||, trong E là một ánh xạ đi từ E vào R thỏa mãn các điều kiện: 1) ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ E ; 2) ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không); 3) ||λx|| = |λ|||x|| với mọi số λ ∈ R và mọi x ∈ E ; 4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ E . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ E . Một không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là một không gian định chuẩn. Mệnh đề 1.1. Giả sử E là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ E , đặt ρ(x, y) = ||x − y|| Khi đó, ρ là một metric trên E . Định nghĩa 1.2. Cho E là một không gian định chuẩn với chuẩn k.k. Nếu E với khoảng cách sinh bởi chuẩn của E : ρ(x, y) = ||x − y||, là một không gian metric đầy đủ thì E gọi là không gian Banach. Nếu không có giả thiết gì thêm, trong suốt luận văn này, không gian Banach được kí hiệu là E . Chuẩn trong các không gian Banach luôn được kí hiệu bởi k.k. Định nghĩa 1.3. Cho E là một không gian định chuẩn với chuẩn k.k.Ta gọi mỗi ánh xạ tuyến tính x∗ : E → R là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên E . Nếu x∗ ∈ E ∗ và x ∈ E thì giá trị của x∗ tại x sẽ được kí hiệu là hx∗ , xi, nghĩa là hx∗ , xi = x∗ (x). Dễ dàng kiểm tra được rằng, tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E với phép cộng ánh xạ tuyến tính và phép nhân ánh xạ tuyến tính với số thực lập thành một không gian tuyến tính thực. Ta gọi không gian này là không gian liên hợp của E và được kí hiệu là E ∗ . Không gian liên hợp của E ∗ gọi là không gian liên hợp thư hai của E và kí hiệu là E ∗∗ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Định lí 1.1. Không gian liên hợp E ∗ của E với chuẩn xác định bởi kx∗ k = sup{hx∗ , yi : y ∈ E, kyk = 6 0} là một không gian Banach. Tôpô τM sinh bởi metric của không gian định chuẩn E ∗ nêu trong định lý vừa nêu gọi là tôpô mạnh trong E ∗ . Định nghĩa 1.4. Tôpô τY trong E ∗ gọi là tôpô yếu nếu hệ thống các lân cận của 0 của E ∗ là các tập có dạng ∗ {x∗ ∈ E ∗ : hx∗∗ i , x i < ε, i = 1, ..., k}, ∗∗ với i =, ..., k và ε > 0. trong đó x∗∗ i ∈E Định nghĩa 1.5. Tôpô τ ∗ trong E ∗ gọi là tôpô yếu* nếu hệ thống các lân cận của 0 của E ∗ là các tập có dạng {x∗ ∈ E ∗ : hx∗ , xi i < ε, i = 1, ..., k}, trong đó xi ∈ E với i = 1, ..., k . Định nghĩa 1.6. Tập A ⊂ E mà là đóng (compact, bị chặn) theo tô pô yếu trong E gọi là tập đóng (compact, bị chặn) yếu. Tập A đóng (compact, bị chặn) theo tô pô yếu* trong không gian liên hợp E ∗ của E thì gọi là tập đóng yếu* (compact yếu*, bị chặn yếu*) . 1.2 Tập lồi Giả sử E là một không gian Banach, R là tập số thực. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Định nghĩa 1.7. Tập A ⊂ E được gọi là lồi, nếu ∀x1 , x2 ∈ A, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx1 + (1 − λ) x2 ∈ A. Ví dụ 1.1. Cả không gian E là tập lồi. Tập A = ∅ là tập lồi. Mệnh đề 1.2. Giả Aα ⊂ E (α ∈ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số T bất kì. Khi đó A = Aα cũng lồi. α∈I Mệnh đề 1.3. Giả sử tập Ai ⊂ E lồi, λi ∈ R (i = 1, 2, ..., m). Khi đó λ1 A1 + ... + λm Am cũng là tập lồi. Mệnh đề 1.4. Giả sử Ei là không gian Banach, tập Ai ⊂ Ei lồi (i = 1, 2, . . . , m). Khi đó tích Đềcác A1 × ... × Am là tập lồi trong E1 × ... × Em . Mệnh đề 1.5. Giả sử E1 , E2 là các không gian Banach, T : E1 → E2 là toán tử tuyến tính. Khi đó, a) A ⊂ E1 lồi thì T (A) lồi; b) B ⊂ E2 lồi thì nghịch ảnh T −1 (B) của B là tập lồi. Định nghĩa 1.8. Véc tơ x ∈ E được gọi là tổ hợp lồi của các véctơ m P x1 , ..., xm thuộc E , nếu ∃λi ≥ 0 (i = 1, 2, ..., m) , λi = 1 sao cho i=1 x= m X λi xi . i=1 Định lí 1.2. Giả sử tập A ⊂ E lồi; x1 , ..., xm ∈ A. Khi đó A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x1 , ..., xm . Định nghĩa 1.9. Giả sử A ⊂ E . Giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi (convex hull) của tập A, kí hiệu là coA. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Định lí 1.3. coA trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A. Hệ quả 1.1. Tập A lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ hợp lồi của A. Định nghĩa 1.10. Giả sử A ⊂ E . Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập A và kí hiệu là coA. Mệnh đề 1.6. Giả A ⊂ E lồi. Khi đó, i) Phần trong intA và bao đóng A của A là các tập lồi; ii) Nếu x1 ∈ intA, x2 ∈ A, thì {λx1 + (1 − λ)x2 : 0 < x1 ≤ 1} ⊂ intA. Định nghĩa 1.11. Tập K ⊂ E được gọi là nón có đỉnh 0, nếu ∀x ∈ K, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ K. K được gọi là nón đỉnh x0 nếu K − x0 là nón có đỉnh 0. Định nghĩa 1.12. Nón K có đỉnh 0 được gọi là nón lồi, nếu K là một tập lồi, vậy ∀x, y ∈ K, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ K. Mệnh đề 1.7. Giả sử Kα (α ∈ I) là các nón lồi có đỉnh x0 với I là T tập chỉ số bất kì. Khi đó Kα là nón lồi có đỉnh x0 . α∈I Định lí 1.4. Tập K ⊂ E là một nón lồi có đỉnh 0 khi và chỉ khi ∀x, y ∈ K, ∀λ > 0 ⇒ x + y ∈ K, λx ∈ K. Hệ quả 1.2. Tập K ⊂ E là nón lồi khi và chỉ khi K chứa tất cả các tổ hợp tuyến tính dương của các phần tử của K , tức là nếu x1 , ..., xm ∈ m P K, λ1 , ..., λm > 0 thì λi xi ∈ K . i=1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 Hệ quả 1.3. Giả sử A là tập bất kì trong E , K là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính dương của A. Khi đó K là nón lồi nhỏ nhất chứa A. Định nghĩa 1.13. Giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại 0) chứa tập A và điểm 0 là một nón lồi, kí hiệu là KA và được gọi là nón lồi sinh bởi tập A. Định lí 1.5. Giả sử A ⊂ E khác rỗng, KA là nón lồi sinh bởi tập A. Khi đó, mỗi điểm x khác 0 thuộc KA có thể biểu diễn dưới dạng x = λ1 x1 + ... + λr xr ; λi > 0, xi ∈ A, (i = 1, . . . , r). Định nghĩa 1.14. Cho A là một tập lồi khác rỗng trong E , x0 ∈ A. Nón pháp của A tại x0 , kí hiệu là NA (x0 ), là tập NA (x0 ) = {x∗ ∈ E ∗ : hx∗ , x − x0 i ≤ 0 ∀x ∈ A}. Định lí 1.6. (Định lí Carathéodory) Giả sử dim E < ∞ và A ⊂ E . Khi đó, mỗi điểm của tập coA là tổ hợp lồi không quá n + 1 điểm khác nhau của A. Định nghĩa 1.15. Tập A ⊂ E được gọi là tập affine, nếu (1 − λ) x + λy ∈ A (∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R) . Dễ thấy, tập affine là một trường hợp riêng của tập lồi. Ví dụ 1.4. Tập A = E là tập affine, không gian véc tơ con A của E là tập affine. Định nghĩa 1.16. Tập H trong không gian E được gọi là siêu phẳng nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính khác không x∗ từ E vào R và số α ∈ R sao cho H = {x ∈ E : hx∗ , xi = α}. Khi đó ta nói H xác định bởi x∗ và α, và viết là H(x∗ , α). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 Định nghĩa 1.17. Cho các tập hợp A, B ⊂ E . Ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ 6= 0 tách A và B , nếu tồn tại số α sao cho hx∗ , yi ≤ α ≤ hx∗ , xi (∀x ∈ A, ∀y ∈ B) , Nếu như có hx∗ , yi < α < hx∗ , xi (∀x ∈ A, ∀y ∈ B) , thì ta nói x∗ tách ngặt A và B. Khi đó siêu phẳng H (x∗ , α) = {x ∈ E : hx∗ , xi = α} được gọi là siêu phẳng tách A và B , các tập A và B được gọi là tách được. Định lí 1.7. (Định lý Hahn-Banach, Định lý tách (xem [1], [2])) Cho A và B là hai tập lồi trong không gian Banach E , có tính chất A ∩ B = ∅ và intA 6= ∅. Khi đó A và B có thể tách được bằng một phiếm hàm tuyến tính khác 0, tức ∃x∗ ∈ E ∗ \ {0}, ∀x ∈ A, ∀y ∈ B : hx∗ , xi > hx∗ , yi. Ví dụ 1.5. Cho hai tập hợp   C = (x, y) ∈ R2 x2 + y 2 ≤ 1  D = (x, y) ∈ R2 |−1 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3 . Ta có: + C và D khác rỗng. + C và D tách được vì tồn tại siêu phẳng h(0, 1), (x, y)i = 1 thỏa mãn

h(0, 1) , (x, y)i ≤ 1 ≤ (0, 1) , x0 , y 0 , ∀ (x, y) ∈ C, ∀ x0 , y 0 ∈ D. Hay
y ≤ 1 ≤ y 0 , ∀ (x, y) ∈ C, ∀ x0 , y 0 ∈ D. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 + Lưu ý rằng tồn tại h(α1 , α2 ) , (x, y)i = α thỏa mãn

h(α1 , α2 ) , (x, y)i < α < (α1 , α2 ) , x0 , y 0 , ∀ (x, y) ∈ C, ∀ x0 , y 0 ∈ D. Ví dụ 1.6. Cho hai tập hợp  C = (x, y) ∈ R2 |x ≥ 0, y = 0     1 2 D = (x, y) ∈ R y ≥ , y > 0, x > 0 . x Ta có: + C, D khác rỗng. + C, D tách được vì tồn tại siêu phẳng h(0, 1) , (x, y)i = 0 thỏa mãn:

h(0, 1) , (x, y)i = 0 ≤ (0, 1) , x0 , y 0 , ∀ (x, y) ∈ C, ∀ x0 , y 0 ∈ D. Hay
y = 0 ≤ y 0 , ∀ (x, y) ∈ C, ∀ x0 , y 0 ∈ D. + Lưu ý rằng sup h(0, 1) , (x, y)i = 0, (x,y)∈C
 inf(x0 ,y0 )∈D (0, 1) , x0 , y 0 = 0. Định nghĩa 1.18. Giao của tất cả các tập affine của tập A ⊂ E được gọi là bao affinc (affine hull) của A ký hiệu là af f A. Định nghĩa 1.19. Điểm x ∈ E được gọi là tổ hợp affine của các điểm m P x1 , ..., xm ∈ E , nếu ∃λ1 , ..., λm ∈ R, λ1 = 1 sao cho i=1 x= m X λi xi . i=1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Định lí 1.8. A tập affine khi và chỉ khi A = af f A = {x : x là tổ hợp affine của các véc tơ thuộc A} Định nghĩa 1.20. Ánh xạ T : E1 → E2 được gọi là affine nếu ∀x, y ∈ E1 , λ ∈ R; T ((1 − λ) x + λy) = (1 − λ) T x + λT y. Định nghĩa 1.21. Phần trong tương đối của A ⊂ E là phần trong của A trong affA; kí hiệu là riA. Các điểm thuộc riA được gọi là điểm trong tương đối của tập A. Định nghĩa 1.22. Tập A \ riA được gọi là biên tương đối của A. Tập A được gọi là mở tương đối, nếu riA = A. 1.3 1.3.1 Hàm lồi Định nghĩa Cho E là không gian Banach, D ⊂ E, f : D → R. Định nghĩa 1.23. Cho hàm f : D → R, trong đó D ⊂ E , R = R ∪ {−∞, +∞}, các tập dom f = {x ∈ D| f (x) < +∞} , epi f = {(x, α) ∈ D × R| f (x) ≤ α} , α ∈ R , được gọi lần lượt là miền hữu hiệu và trên đồ thị của hàm f . Định nghĩa 1.24. Hàm f : D → R được gọi là lồi nếu trên đồ thị của nó là một tập lồi trong D × R. Nếu dom f 6= ∅ và −∞ < f (x) với mọi x ∈ D ta nói hàm f là chính thường. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Định nghĩa 1.25. Hàm f được gọi là lồi trên D (convex on D), nếu epif là tập lồi trong E × R. Hàm f được gọi là lõm trên D (concave on D), nếu −f là hàm lồi trên D. Định lí 1.9. Giả sử D là tập lồi trong không gian E , hàm f : D → (−∞, +∞]. Khi đó, f lồi trên D khi và chỉ khi f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) (∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ D) . Ví dụ 1.7. Xét hàm affine f (x) = ha∗ , xi + α, a ∈ Rn , α ∈ R. 1) ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ (0, 1) , ta có f [λx + (1 − λ) y] = ha∗ , [λx + (1 − λ) y]i + α = λha∗ , xi + (1 − λ) ha∗ , yi + α = λha∗ , xi + λα + (1 − λ) ha∗ , yi + (1 − λ) α = λ (ha∗ , xi + α) + (1 − λ) (ha∗ , yi + α) = λf (x) + (1 − λ) f (y) . Vậy f là hàm lồi trên E . 2) ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ (0, 1) , ta lại có −f [λx + (1 − λ) y] = −ha∗ , [λx + (1 − λ) y]i + α = −λha∗ , xi − (1 − λ) ha∗ , yi + α = −λha∗ , xi − λα − (1 − λ) ha∗ , yi − (1 − λ) α = −λ (ha∗ , xi + α) − (1 − λ) (ha∗ , yi + α) = −λf (x) − (1 − λ) f (y) . Vậy −f là hàm lồi trên E , suy ra f là hàm lõm trên E . Ví dụ 1.8. (Hàm chỉ). Cho C 6= ∅ là một tập lồi trong E . Đặt  δC (x) := 0 khi x ∈ C, +∞ khi x ∈ / C. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Ta nói δC là hàm chỉ của C . + ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1), ta có: δC (x) = 0, δC (y) = 0. Do C lồi nên λx + (1 − λ)y ∈ C. Suy ra δC [λx + (1 − λ)y] = 0 = λδC (x) + (1 − λ)δC (y) . + ∀x ∈ C, ∀y ∈ / C, ∀λ ∈ (0, 1), ta có: δC (x) = 0, δC (y) = +∞, δC [λx + (1 − λ)y] ≤ +∞. Suy ra δC [λx + (1 − λ)y] ≤ λδC (x) + (1 − λ)δC (y) . + ∀x, y ∈ / C, ∀λ ∈ (0, 1), ta có: δC (x) = +∞, δC (y) = +∞, δC [λx + (1 − λ)y] ≤ +∞. Suy ra δC [λx + (1 − λ)y] ≤ λδC (x) + (1 − λ)δC (y) . Ví dụ 1.9. (Hàm tựa). Cho C 6= ∅ là một tập lồi trong E . Đặt SC (y) := supx∈C hy, xi với y ∈ E ∗ . Ta nói SC là hàm tựa của C . ∀x, y ∈ C, ∀x, y ∈ (0, 1), ta có SC [λx + (1 − λ) y] = sup hλx + (1 − λ) y, zi z∈C = sup {hλx, zi + h(1 − λ) y, zi} z∈C ≤ sup hλx, zi + sup h(1 − λ) y, zi z∈C z∈C = λsup hx, zi + (1 − λ) sup hy, zi z∈C z∈C = λSC (x) + (1 − λ) SC (y) . Vậy SC là hàm lồi trên C . Định lí 1.10. (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử f : E → (−∞, +∞]. Khi đó, f là hàm lồi khi và chỉ khi m P ∀λi ≥ 0, (i = 1, ..., m) , λi = 1; ∀x1 , ..., xm ∈ E, i=1 f (λ1 x1 + ... + λm xm ) ≤ λ1 f (x1 ) + ... + λm f (xm ) . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Mệnh đề 1.8. Giả sử f : E → (−∞, +∞]. Khi đó, f là hàm lồi khi và chỉ khi f (λx + (1 − λ) y) < λr + (1 − λ) s (∀λ ∈ (0, 1) , ∀x, y : f (x) < r, f (y) < s) Định lí 1.11. Giả sử f là hàm lồi trên E , µ ∈ [−∞, +∞]. Khi đó, các tập mức {x : f (x) ≤ µ} và {x : f (x) ≤ µ} lồi. Hệ quả 1.4. Giả sử fα là hàm lồi trên E , λα ∈ R (∀α ∈ I), I là tập chỉ số bất kì. Khi đó, tập A = {x ∈ E : fα (x) ≤ λα , ∀α ∈ I} lồi. Định nghĩa 1.26. Hàm f xác định trên E được gọi là hàm thuần nhất dương, nếu ∀x ∈ E, ∀λ ∈ (0, +∞) , f (λx) = λf (x) . Định lí 1.12. Hàm thuần nhất dương f : E → (−∞, +∞] là lồi khi và chỉ khi f (x + y) ≤ f (x) + f (y) (∀x, y ∈ E) . Hệ quả 1.5. Giả sử f là hàm lồi chính thường, thuần nhất dương. Khi đó, ∀xi ∈ E, ∀λi > 0 (i = 1, ..., m), f (λ1 x1 + ... + λm xm ) ≤ λ1 f (x1 ) + ... + λm f (xm ) . Hệ quả 1.6. Giả sử f là hàm lồi chính thường, thuần nhất dương. Khi đó, f (x) + f (−x) ≥ 0 (∀x ∈ E) . Định nghĩa 1.27. Hàm f được gọi là đóng, nếu epif đóng trong E × R. Định lí 1.13. Hàm f đóng khi và chỉ khi tất cả các tập có dạng {x : f (x) ≤ α} của f là đóng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 1.3.2 Các phép toán về hàm lồi Định lí 1.14. Giả sử f1 , ..., fm là các hàm lồi chính thường trên E . Khi đó, tổng f1 + ... + fm là một hàm lồi. Định lí 1.15. Hàm f là tập lồi trong E×R và f (x) = inf {µ : (x, µ) ∈ F } . Khi đó f là hàm lồi trên E. Định nghĩa 1.28. Giả sử f1 , ..., fm là các hàm chính thường trên E . Tổng chập infimal của f1 , ..., fm được xác định như sau: ( ) m X xi = x , f (x) = inf f1 (x1 ) + ... + fm (xm ) : xi ∈ E, i=1 m và được kí hiệu là ⊕ fi hay f ⊕ ... ⊕ fm . i=1 Định lí 1.16. Giả sử f1 , ..., fm là các hàm lồi chính thường trên E . m Khi đó, ⊕ fi là hàm lồi trên E . i=1 Định nghĩa 1.29. a) Bao đóng của hàm f , kí hiệu là f , được xác định như sau: epif = epif b) Bao lồi và bao đóng của hàm f , kí hiệu là cof và cof , được xác định như sau: epi(cof ) = co(epif ), epi(cof ) = co(epif ). 1.3.3 Tính liên tục của hàm lồi Định lí 1.17. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên E . Khi đó các khẳng định sau là tương đương: i) f bị chặn trong một lân cận của x ; ii) f liên tục tại x ; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 iii) int(epif ) 6= ∅ ; iv) int(domf ) 6= ∅ và f liên tục trên int(domf ). Đồng thời, int(epif) = {(x, µ) ∈ E × R : x ∈ int(domf ), f (x) < µ} . Định nghĩa 1.30. Giả sử E là không gian Banach. Hàm f : X → R được gọi là Lipschitz địa phương tại x ∈ X , nếu tồn tại lân cận U của x ∈ X , số K > 0 sao cho ∀x, x0 ∈ U, 
 f (x) − f x0  ≤ K x − x0 . Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập D ⊂ E nếu f Lipschitz địa phương tại mọi x ∈ D. Định lí 1.18. Giả sử E là không gian Banach; f là hàm lồi trên tập mở D ⊂ E ; f bị chặn trên một lân cận của một điểm nào đó thuộc D. Khi đó, f Lipschitz địa phương trên D. Hệ quả 1.7. Giả sử f : D → R là hàm lồi, liên tục tại x thuộc tập lồi mở D. Khi đó, f Lipschitz địa phương trên D. Định nghĩa 1.31. i) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ E (với f (x) < ∞), nếu với mọi ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho f (x) − ε ≤ f (y) (∀y ∈ U ) . ii) Nếu f (x) = +∞, thì f được gọi là nửa liên tục dưới tại x, nếu với mọi N > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho: f (y) ≥ N (∀y ∈ U ) . iii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới, nếu f nửa liên tục dưới tại mọi x ∈ E . Mệnh đề 1.9. f đóng khi và chỉ khi f nửa liên tục dưới. Định lí 1.19. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên Rn . Khi đó f liên tục trên ri(domf ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn