CẨM NANG CHO MÙA THI
MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
PHỔ BIẾN NHẤT TRONG THI ĐẠI HỌC
(ÔN THI THPT QUỐC GIA)
TẶNG HỌC SINH ONLINE
NGUYỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC
Bài 1: Giải phương trình 9
1
1
− x−
8
2
(
)
.log 2 x 2 − x + 2 − 3− x
2
+x
1 7
.log 2 2 x − + = 0
2 4
Hướng dẫn
+ Khi gặp phương trình mũ hoặc log, trước hết ta biến đổi theo cơ số nhỏ nhất (ở đây là
cơ số 3), biến đổi phương trình đã cho, ta có:
9
1
1
− x−
8
2
1
⇔ 34
− 2x −1
3
⇔
3
⇔3
(
)
.log 2 x 2 − x + 2 − 3− x
1
4
2x −1
(
)
.log 2 x 2 − x + 2 −
(
)
.log 2 x 2 − x + 2 −
1
x2 −x +
4
2
(
)
+x
1 7
.log 2 2 x − + = 0
2 4
1
3
x2 −x
1
3
x2 −x
.log 2 x 2 − x + 2 − 3
7
.log 2 2x − 1 + = 0
4
7
.log 2 2x − 1 + = 0
4
2x −1
7
.log 2 2x − 1 + = 0
4
1 7
7
2x −1
.log 2 x 2 − x + + = 3 .log 2 2x − 1 + (1)
4 4
4
2
2
1
1
x − x + = x − ≥ 0
7
+ Xét hàm số f (t) = 3t.log 2 t + , ta thấy
⇒t≥0
4
2
4
2x − 1 ≥ 0
⇔3
x2 −x +
1
4
1
7
⇒ f '(t) = 3t.ln 3.log 2 t + + 3t.
> 0, ∀t ≥ 0 ⇒ f (t) là hàm đồng biến
t.ln 2
4
1
1
+ Từ (1) ⇒ f x 2 − x + = f ( 2x − 1 ) ⇒ x 2 − x + = 2x − 1 (2)
4
4
1 5
2 2
+ Xét 2 TH: 2x − 1 ≥ 0; 2x − 1 < 0 để bỏ dấu GTTĐ ở (2), giải PT (2) ta có ĐS: x = ;
Bài 2: Giải phương trình x 3 + x 2 − 19x − 16 = 3x x 3 + 1
Hướng dẫn
+ ĐK: x ≥ −1
+ Nhận thấy biểu thức trong căn ở VP là: x 3 + 1 = ( x + 1) ( x 2 − x + 1) nên rất có thể đây là cơ
sở để cho ta phân tích VT của phương trình, thật vậy:
(
) (
− 19x − 16 = ( x + 1) ( x
)
− x + 1) + ( x
x 3 + x 2 − 19x − 16 = x 3 + 1 + x 2 − x + 1 − 18 ( x + 1)
⇔ x3 + x2
2
2
)
− x + 1 − 18 ( x + 1)
+ Phương trình đã cho trở thành:
( x + 1) ( x 2 − x + 1) + ( x 2 − x + 1) − 18 ( x + 1) = 3 ( x + 1) − 1 ( x + 1) ( x 2 − x + 1) (1)
a = x + 1 ≥ 0
+ Đặt ẩn phụ
2
b = x − x + 1 ≥ 0
thay vào (1) ta được: a 2 b 2 + b 2 − 18a 2 = 3 ( a 2 − 1) ab (2)
+ Phương trình (2) muốn giải được thì chỉ còn cách phân tích đa thức thành nhân tử, công
việc phân tích này không phải dễ dàng, chúng ta sẽ dùng mẹo sau để phân tích:
NGUYỄN HỮU BIỂN -
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
Trang 1
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC
- Trước hết ta biến đổi để đưa (2) về phương trình bậc 2 đối với biến là b:
(
)
(
)
(
)
a 2 b 2 + b 2 − 18a 2 = 3 a 2 − 1 ab ⇔ a 2 + 1 b 2 − 3a 3 − 3a b − 18a 2 = 0 (3)
2
- Phương trình (3) tính được ∆ = ( 3a 3 − 3a ) + 4 ( a 2 + 1)(18a 2 ) = ... = 9a 2 ( a 2 + 3)
2
3a 3 − 3a + 3a a 2 + 3
b =
= 3a
b − 3a = 0
a2 +1
⇒ phương trình (3) có 2 nghiệm
⇔ 2
3a 3 − 3a − 3a a 2 + 3
a b + b + 12a = 0
−12a
b =
=
a2 +1
a2 +1
+ Vậy (2) : a 2 b 2 + b 2 − 18a 2 = 3 ( a 2 − 1) ab ⇔ ( b − 3a ) ( a 2 b + b + 12a ) = 0
(
)
(
)
x = 0
x = 2
+ Do a 2 b + b + 12a = 0 ⇔ a = b = 0 (do a, b ≥ 0 ) ⇒ x + 1 = x 2 − x + 1 ⇔
+ Thử lại vào PT đã cho thấy x = 0; x = 2 không là nghiệm (loại)
+ Vậy chỉ còn khả năng b = 3a ⇒ x 2 − x + 1 = 3 x + 1 ⇔ x = 5 ± 33
Bài 3: Giải phương trình
(
4x 4 − 13x 3 + 9x 2 + 16 − 2x 2 + 3x
)(
)
x + 3 + x −1 = 8
Hướng dẫn
4x 4 − 12x 3 + 9x 2 + 16 ≥ 0
+ ĐK
x ≥ 1
2
+ Ta biến đổi PT ⇔ ( 2x 2 − 3x ) + 16 − ( 2x 2 − 3x )
a = 2x 2 − 3x
+ Đặt
thay vào phương trình ta có:
b = x − 1
(
a 2 + 16 − a
)(
)
8
a 2 + 16 − a
8
⇔ b2 + 4 + b =
x −1 = 8
b2 + 4 + b = 8
⇔ b2 + 4 + b =
⇔ b2 + 4 + b =
( x − 1) + 4 +
(
a 2 + 16 + a
)
16
a 2 + 16 + a
2
⇔ 2 b 2 + 4 + 2b = a 2 + 16 + a
⇔
( 2b )
2
+ 16 + 2b = a 2 + 16 + a (1)
t
+ Xét hàm số f (t) = t 2 + 16 + t, t ∈ R ⇒ f '(t) =
2
+ 1 > 0, ∀t ∈ R (*) ⇒ f (t) là hàm
t + 16
đồng biến.
2x 2 − 3x ≥ 0
Vậy từ (1) ⇒ f (2b) = f (a) ⇒ 2b = a ⇒ 2 x − 1 = 2x − 3x ⇔
2 (I)
2
4 ( x − 1) = 2x − 3x
+ Các bạn tự giải hệ (I) ⇒ x = 2
2
(
NGUYỄN HỮU BIỂN -
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
)
Trang 2
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC
(Chú ý: Ta giải thích cho f '(t) > 0 bằng phương pháp phản chứng như sau:
t ≤ 0
Giả sử f '(t) < 0 ⇔ t + t 2 + 16 < 0 ⇔ t 2 + 16 < − t ⇔
2
2
t + 16 < t
(vô lý) ⇒ f '(t) > 0 )
Bài 4: Giải phương trình x + 2 7 − x = 2 x − 1 + − x 2 + 8 x − 7 + 1
Hướng dẫn: Đk: 1 ≤ x ≤ 7
pt ⇔ x − 1 − 2 x − 1 + 2 7 − x − ( x − 1)(7 − x) = 0
⇔ x − 1( x − 1 − 2) − 7 − x ( x − 1 − 2) = 0
⇔ ( x − 1 − 2)( x − 1 − 7 − x ) = 0
x −1 = 2
x = 5
⇔
⇔
thỏa mãn đk
x = 4
x − 1 = 7 − x
x 4 + x 2 + 1 + x = x(1 − x 2 )
Bài 5: Giải phương trình:
x ≤ −1
Hướng dẫn: ĐK:
0 ≤ x ≤ 1
- TH1: Với x = 0 không phải nghiệm của phương trình
- TH2: Với x ≠ 0 .
* Với 0 < x ≤ 1
Khi đó pt ⇔ x
Đặt t =
1
1
+ x2 + 1 + x = x
−x ⇔
2
x
x
1
+ x2 + 1 + 1 =
x2
1
−x
x
1
1
− x ⇒ t 4 = 2 + x 2 − 2 . Khi đó ta được phương trình :
x
x
t ≥ 1
t2 + 3 +1 = t ⇔ 4 2
⇔ t = −1(loai )
t − t + 2t + 2 = 0
* Với x ≤ −1 . Ta có −
Đặt t =
1
1
+ x2 + 1 + 1 = −
−x
2
x
x
1
1
− x ⇒ t 4 = 2 + x 2 − 2 . Khi đó ta được
x
x
⇒ x2 + x − 1 = 0 ⇔ x =
t4 + 3 = t +1 ⇔ t = 1
−1 ± 5
.
2
So sánh đk ta được nghiệm x =
−1 − 5
−1 − 5
.Vậy pt đã cho có nghiệm x =
2
2
(
)
Bài 6: Giải phương trình : 4 2 10 − 2 x − 3 9 x − 37 = 4x 2 − 15 x − 33
(
) (
)
Hướng dẫn: ĐK: x ≤ 5 . Pt ⇔ 4 4 + 3 9 x − 37 + 8 4 − 10 − 2 x + 4 x 2 − 15 x − 81 = 0
NGUYỄN HỮU BIỂN -
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
Trang 3
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC
4 ( 27 + 9 x )
⇔
16 − 4 3 9 x − 37 +
(
3
9 x − 37
)
2
+
8(6 + 2 x)
+ ( x + 3)(4 x − 27) = 0
4 + 10 − 2 x
- TH1 x + 3 = 0 ⇔ x = −3 (TMPT)
- TH 2. x ≠ −3
36
⇔
16 − 4 3 9 x − 37 +
(
3
9 x − 37
36
⇔
12 +
+ Do x ≤ 5 nên VT ≤
(
3
9 x − 37 − 2
)
2
+
)
2
+
16
+ 4 x − 27 = 0
4 + 10 − 2 x
16
+ 4 x − 27 = 0
4 + 10 − 2 x
36 16
+ + 4.5 − 27 = 0 . Đẳng thức xảy ra ⇔ x = 5
12 4
Vậy phương trình có 2 nghiệm là −3 và 5
Bài 7: Giải phương trình log 2
4x − 2x + 1
= 2 x ( 2.8 x − 3.2 x + 1) (*) .
x
x
2.16 − 2.4 + 1
Hướng dẫn:
⇔ log 2 (4 x − 2 x + 1) − log 2 (2.16 x − 2.4 x + 1) = 2.16 x − 3.4 x + 2 x
⇔ log 2 (4 x − 2 x + 1) + 4 x − 2 x + 1 = log 2 (2.16 x − 2.4 x + 1) + 2.16 x − 2.4 x + 1
1
+ 1 > 0, ∀t > 0 ⇒ f ®ång biÕn trªn ( 0; +∞ )
t ln 2
(* ) ⇔ f (4 x − 2 x + 1) = f (2.16 x − 2.4 x + 1)
XÐt f (t ) = log 2 t + t, ∀t > 0, ⇒ f ' (t ) =
⇔ 4 x − 2 x + 1 = 2.16 x − 2.4 x + 1 ⇔ 2 2 x − 2 x = 2.2 4 x − 2.2 2 x
⇔ 2.2 4 x − 3.2 2 x + 2 x = 0 ⇔ 2.23 x − 3.2 x + 1 = 0
⇔ (2 x − 1)(2 x −
−1 + 3 x 1 + 3
)(2 +
)=0
2
2
2 x = 1
x = 0
−
1
+
3
−1 + 3
⇔ 2 x =
⇔
x = log 2
2
2
1+ 3
x
2 = − 2 (lo¹i)
Bài 8: Giải phương trình: x + 4 + x − 4 = 2 x − 12 + 2 x 2 − 16.
Hướng dẫn: Điều kiện xác định: x ≥ 4. Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương
đương với:
x + 4 + x − 4 = (x + 4) + (x − 4) − 12 + 2 x 2 − 16 ⇔ x + 4 + x − 4 =
NGUYỄN HỮU BIỂN -
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
(
x+4 + x−4
)
2
− 12
Trang 4
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC
+ Đặt t =
t = −3 (loaïi)
t = 4
2
x + 4 + x − 4 , t > 0 ta được t − t − 12 = 0 ⇔
4 ≤ x ≤ 8
x + 4 + x − 4 = 4 ⇔ x 2 − 16 = 8 − x ⇔ 2
2
x − 16 = 64 − 16 x + x
+ Với t = 4 , ta được
4 ≤ x ≤ 8
⇔
⇔ x = 5. Vậy nghiệm của phương trình là x = 5.
x = 5
Bài 9: Giải phương trình −2 x3 + 10 x 2 − 17 x + 8 = 2 x 2 3 5 x − x3
Hướng dẫn: Nhận xét: x = 0 không thỏa phương trình cho
10 17
8
5
+ Chia hai vế của phương trình cho x3, ta được: −2 + x − x 2 + x3 = 2 3 x 2 − 1
+ Đặt t =
1
( t ≠ 0 ) , phương trình trở thành: −2 + 10t − 17t 2 + 8t 3 = 2 3 5t 2 − 1
x
3
⇔ ( 2t − 1) + 2 ( 2t − 1) =
(
3
)
3
5t 2 − 1 + 2 3 5t 2 − 1 ⇔ f ( 2t − 1) = f
(
3
5t 2 − 1
)
+ Với f ( t ) = t 3 + 2t , t ∈ R . Ta có: f ' ( t ) = 3t 2 + 2 > 0, ∀t ∈ R nên f đồng biến trên R , vì vậy:
f ( 2t − 1) = f
(
3
)
5t 2 − 1 ⇔ 2t − 1 = 3 5t 2 − 1
t = 0 (loaïi)
17 + 97
3
⇔ ( 2t − 1) = 5t 2 − 1 ⇔ 8t 3 − 17t 2 + 6t = 0 ⇔ t =
(nhaän)
16
17 − 97
(nhaän)
t =
16
17 + 97
17 − 97
⇒x=
16
12
17 + 97
17 + 97
+t=
⇒x=
16
12
+t=
Vậy phương trình cho có 2 nghiệm: x =
17 ± 97
12
Bài 10: Giải phương trình: 1 + 3 1 + 3x = 2x (x ∈ R). (1)
2
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −
1
(*).
3
+ Đặt y = 1 1 + 3x ⇔ 1 + 3x = 2 y (2), (1) trở thành
2
NGUYỄN HỮU BIỂN -
1 + 3 y = 2 x (3)
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
Trang 5
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC
x ≥ 0, y ≥ 0
1 + 3x = 2 y
+ Từ (2) và (3) ta có hệ
⇔ 1 + 3x = 4 y 2 (4) .
1 + 3 y = 2x
1 + 3 y = 4x 2 (5)
+ Trừ vế với vế (4) và (5) ta có 3( x − y ) = −4( x 2 − y 2 ) ⇔ ( x − y )(3 + 4 x + 4 y ) = 0 ⇔ y = x (vì
x =1
x ≥ 0, y ≥ 0 ). Thế y = x vào (5) ta có 4x 2 − 3x − 1 = 0 ⇔
1.
x = −
4
+ Kết hợp với x ≥ 0 , suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1.
Bài 11: Giải phương trình 2 x 2 + x + 9 + 2 x 2 − x + 1 = x + 4
Hướng dẫn: Ta thấy: (2 x 2 + x + 9) − (2 x 2 − x + 1) = 2( x + 4)
+ x = -4 không phải là nghiệm
+ Xét x ≠ −4 , trục căn thức ta có:
2x + 8
2
2
= x + 4 ⇒ 2x 2 + x + 9 − 2x 2 − x + 1 = 2
2x + x + 9 − 2x − x + 1
2 x 2 + x + 9 − 2 x 2 − x + 1 = 2
+ Vậy ta có hệ
⇒ 2 2x 2 + x + 9 = x + 6 ⇔
2
2
2 x + x + 9 + 2 x − x + 1 = x + 4
x = 0
x = 8
7
+ Thử lại vào phương trình ta thấy thỏa mãn.
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 0, và x =
Bài 12: Giải phương trình
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ 1
8
7
x − 1(3 x 2 + x + 1) + 3 x 3 + 2 x − 1 = 0
⇔ x − 1 + 3x 2 x − 1 + x − 1 + x x − 1 + 3x 3 + x = 0
⇔
x − 1( x − 1 + 3 x 2 + 1) + x( x − 1 + 3 x 2 + 1) = 0
( x − 1 + x)( x − 1 + 3 x 2 + 1) = 0
x −1 + x = 0
2
x − 1 + 3 x + 1 = 0
Kết hợp với điều kiện ta thấy phương trình vô nghiệm.
Bài 13: Giải phương trình 3 x 2 − 1 + x = x 3 − 1
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ 3 2
+ Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình
( x − 3)( x 2 + 3 x + 9)
x+3
=
x 2 − 1 − 2 + x − 3 = x 3 − 2 − 5 ⇔ ( x − 3) 1 +
3 ( x 2 − 1) 2 + 23 x 2 − 1 + 4
x3 − 2 + 5
x+3
x+3
x 2 + 3x + 9
+ Ta chứng minh : 1 +
= 1+
<2<
3
(3 x 2 − 1 + 1) 2 + 3
x3 − 2 + 5
( x 2 − 1) 2 + 23 x 2 − 1 + 4
3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
NGUYỄN HỮU BIỂN -
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
Trang 6
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC
Bài 14: Giải phương trình:
x
x +1
−2
=3
x +1
x
x +1
x
1
,t > 0 ⇒
= 2
x
x +1 t
1
t=
1
3
2
⇔ 2 − 2t = 3 ⇔ 2t + 3t − 1 = 0 ⇔ 2
t
t = −1
Hướng dẫn: Điều kiện: x < −1 ∪ x > 0 , đặt t =
1
⇒
2
+ Lấy t =
x +1 1
4
= ⇔x=−
x
2
3
Bài 15: Giải phương trình x 2 + 15 = 3x − 2 + x 2 + 8
Hướng dẫn:
⇔
x 2 + 15 − 4 = 3 x − 3 + x 2 + 8 − 3
x2 −1
⇔
x 2 + 15 + 4
⇔ x =1
= 3( x − 1) +
x2 −1
x2 + 8 + 3
⇔ ( x − 1)(
x +1
x 2 + 15 + 4
−
x +1
x2 + 8 + 3
− 3) = 0
Bài 16: Giải phương trình : (4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1
Hướng dẫn: Đặt t = x 2 + 1(t > 0) ⇒ x 2 = t 2 − 1
Phương trình trở thành (4 x − 1)t = 2(t 2 − 1) + 2 x + 1 ⇐ 2t 2 − (4 x − 1)t + 2 x − 1 = 0
Ta có: ∆ = (4 x − 3) 2
1
t=
⇒ 2
⇔
t = 2 x − 1
3
2
x = − 4 ( L)
⇔
2
2
x = (2 x − 1) − 1
x = 0
4
⇔x=
4
x =
3
3
Bài 17: x − 4 + 6 − x − 2 x 2 + 13x − 17 = 0( x ∈ R)
Hướng dẫn: Điều kiện: 4 ≤ x ≤ 6
x − 4 + 6 − x = 2 x 2 − 13 x + 17 ⇔ ( x − 4 − 1) + ( 6 − x − 1) − 2 x 2 + 13 x − 15 = 0
⇔
( x − 4 − 1)( x − 4 + 1)
+
( 6 − x − 1)( 6 − x + 1)
− (2 x 2 − 13 x + 15) = 0
( x − 4 + 1)
( 6 − x + 1)
x −5
5−x
⇔
+
− (x − 5)(2x − 3) = 0
x − 4 +1
6 − x +1
1
1
⇔ (x − 5)(
−
− (2x − 3)) = 0
x − 4 +1
6 − x +1
x = 5
⇔
1
1
−
− (2x − 3) = 0
6 − x +1
x − 4 + 1
1
1
1
1
+ Ta có:
−
− (2 x − 3) = 0 ⇔
−
= 2 x − 3(1)
x − 4 +1
6 − x +1
x − 4 +1
6 − x +1
NGUYỄN HỮU BIỂN -
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
Trang 7
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC
⇒
1
1
−
x − 4 +1
1
<
6 − x +1
x − 4 +1
≤ 1 và 2x - 3 ≥ 5, ∀x ∈ [4;6] nên phương trình (1) vô
nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5
Bài 18: Giải phương trình: x 3 + 2 = 33 3x − 2
Hướng dẫn:
x 3 + 2 = 3 y
+ Đặt y = 3x − 2 ⇒ y = 3 x − 2 ⇒ y + 2 = 3x . Ta được hệ phương trình: 3
y + 2 = 3 x
3
3
3
+ Đây là hệ phương trình đối xứng, trừ vế với vế ta được:
( x − y )( x 2 + y 2 + xy + 3) = 0 ⇔ x = y ⇒ x = 1;−2
1
1 2 3 2
1 2 3 2
2
2
2
x + y + xy + 3 = x + 2. xy + y + y + 3 = ( x + y ) + y + 3 > 0
2
4
4
2
4
Bài 19: (4 x − 1) 3 − 2 x + (7 − 4 x) 2 x − 1 = 2 − 4 x 2 + 8 x − 3 + 4 (với x ∈ R)
Hướng dẫn: Điều kiện:
1
3
≤x≤
2
2
a = 3 − 2 x (a ≥ 0)
Đặt
⇒ a 2 + b 2 = 2(1)
b = 2 x − 1(b ≥ 0)
+ Vì 4 x − 1 = 2b 2 ;7 − 4 x = 2a 2 + 1; − 4 x 2 + 8 x − 3 = 2 x − 1. 3 − 2 x = a.b
+ Từ phương trình đã cho ta có (2b 2 + 1)a + (2a 2 + 1)b = 2ab + 4(2)
a 2 + b 2 = 2
(2b 2 + 1)a + (2a 2 + 1)b = 2ab + 4
+ Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình
+ Đây là hệ phương trình đối xứng loại I với ẩn a, b.
+ Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm là : a = b =1
3 − 2 x = 1
+ Với a = b = 1 khi đó ta có:
2 x − 1 = 1
⇔ x = 1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1
Bài 20: Giải phương trình: 2( x 2 − 3x + 2) = 3 x 3 + 8
Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −2
+ Biến đổi phương trình về dạng: 2(2 x 2 2 x + 4) − 2( x + 2) = 3 ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4)
+ Do x = −2 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho (x+2) ta được
+ Đặt
2( x 2 − 2 x + 4)
x 2 − 2x + 4
−3
−2=0
x+2
x+2
1
t=−
x 2 − 2x + 4
2
= t (t ≥ 0) ta có 2t − 3t − 2 = 0
2 (loại)
x+2
t = 2
x 2 − 2x + 4
Với t = 2 ⇒
= 4 ⇔ x 2 − 2 x + 4 = 4 x + 8 ⇔ x 2 − 6 x − 4 = 0 ⇔ x = 3 ± 13
x+2
Bài 21: Giải phương trình
NGUYỄN HỮU BIỂN -
x + 3 + 6 − x − ( x + 3)(6 − x) = 3
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
Trang 8
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC
Hướng dẫn: Đặt t = x + 3 + 6 − x ⇒ ( x + 3)(6 − x) =
t2 −9
2
t = −1
t2 −9
=3⇔
2
t = 3
+ Với t = -1 ⇔ x + 3 + 6 − x = −1 (vô nghiệm)
x = −3
+ Với t = 3 ⇒ x + 3 + 6 − x = 3 ⇔
x = 6
+ Phương trình trở thành t −
Cách khác:
Bài toán có thể giải bằng cách đưa về hệ phương trình với u = x + 3 và v = 6 − x
Bài 22: Giải phương trình: x 3 − 8 x 2 + 13x + 6 + 6( x − 3) x 2 − 5 x + 5 = 0(1)
Hướng dẫn: Điều kiện: x 2 − 5 x + 5 ≥ 0
+ Từ (1) ⇒ ( x − 3)( x 2 − 5 x − 2) + 6( x − 3) x 2 − 5 x + 5 = 0
x = 3(loai )
⇔ 2
2
x − 5 x − 2 + 6 x − 5 x + 5 = 0(2)
x 2 − 5 x + 5 = t , điều kiện t ≥ 0
t = 1
(2) ⇔ t 2 + 6t − 7 = 0 ⇔
, t = -7 (loại), t = 1 (thỏa mãn)
t = −7
x = 1
+ Với t =1 ⇒ x 2 − 5 x + 5 = 1 ⇔
(thỏa mãn điều kiện)
x = 4
+ Giải (2): đặt
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 4
Bài 23: 2 2 x + 4 + 4 2 − x = 9 x 2 + 16
Hướng dẫn: Bình phương hai vế, lúc đó phương trình :
⇔ 4(2 x + 4) + 16 2(4 − x 2 ) + 16(2 − x) = 9 x 2 + 16
⇔ 8(4 − x 2 ) + 16 2(4 − x 2 ) = x 2 + 8 x
+ Đặt t = 2(4 − x 2 ) (t ≥ 0)
+ Phương trình trở thành : 4t 2 + 16t − x 2 − 8 x = 0
x
t1 = 2
+ Giải phương trình trên với ẩn t ta tìm được
t = − x − 4
2
2
+ Do x ≤ 2 nên t 2 < 0 không thỏa mãn điều kiện t ≥ 0
x ≥ 0
x
4 2
⇔
⇔x=
(thỏa mãn điều kiện x ≤ 2
2
2
2
3
8(4 − x ) = x
4 2
Vậy nghiệm của phương trình là x =
3
x
2
+ Với t = thì
2( 4 − x 2 ) =
Bài 24: Giải phương trình ( x + 4) 2 − 6 x 3 + 3x = 13
Hướng dẫn: Điều kiện: x 3 + 3x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0
NGUYỄN HỮU BIỂN -
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
Trang 9
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC
+ Khi đó phương trình đã cho trở thành x 2 + 8 x + 3 − 6 x 3 + 3x = 0(1)
3
3
−6 x+ = 0
x
x
t = 2
3
+ Đặt x + = t (t ≥ 4 12 ) , ta được t 2 − 6t + 8 = 0 ⇔
(thỏa mãn)
x
t = 4
x = 1
+ Với t = 2 ⇒
x = 3
+ Nhận thấy x = 0 không thỏa mãn nên (1) ⇔ x + 8 +
x = 8 + 61
+ Với t = 4 ⇒
x = 8 − 61
Bài 25: 2 x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 − 16
Hướng dẫn: Biến đổi phương trình về dạng:
2 x + 3 + x + 1 = 2 x + 3 + x + 1 + 2 (2 x + 3)( x + 1) − 20
+ Đặt t = 2 x + 3 + x + 1(t ≥ 0)
+ Khi đó t 2 = 2 x + 3 + x + 1 + 2 (2 x + 3)( x + 1)
+ Ta được phương trình: t 2 − t − 20 = 0 ⇔ t = −4; t = 5
+ Lấy t = 5 thỏa mãn, thay t = 5 được x = 3
Bài 26: Giải phương trình
9
2x
+
−1 = 0
2
x
2x 2 + 9
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≠ 0
2x 2 + 9
2x
+ Phương trình đã cho tương đương
+
−3= 0
2
x
2x 2 + 9
t = 1
1
+ Đặt t =
≠ 0 . Phương trình trở thành 2 + 2t − 3 = 0 ⇔
2
t = − 1
t
2x + 9
2
x < 0
1
3 2
+ Với t = − ⇒ −2 x = 2 x 2 + 9 ⇔ 2
⇔x=−
2
2
2
4 x = 2 x + 9
x
+ Với t = 1 phương trình vô nghiệm
Bài 27: x 3 + 3x 2 + 4 x + 2 = (3x + 2) 3x + 1
Hướng dẫn:
⇔ ( x + 1) 3 + ( x + 1) = [(3 x + 1) + 1] 3 x + 1
⇔ ( x + 1) 3 + ( x + 1) = ( 3 x + 1) 3 + 3 x + 1
x = 0
x = 1
. Đáp số
x = 1
x = 0
+ Xét hàm f (a) = a 3 + a ta suy ra x + 1 = 3x + 1 ⇔ x 2 − x = 0 ⇔
Bài 28: 4 x 3 + x − ( x + 1) 2 x + 1 = 0
Hướng dẫn:
( 2 x ) 3 + 2 x = ( 2 x + 1) 3 + 2 x + 1 ⇔ 2 x = 2 x + 1 ⇔ 4 x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x =
NGUYỄN HỮU BIỂN -
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
1+ 5
4
Trang 10
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC
Bài 29: Giải phương trình
x 2 + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5
Hướng dẫn: Để phương trình có nghiệm thì
x 2 + 12 − x 2 + 5 = 3 x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥
5
3
+ Ta nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình, như vậy phương trình có thể phân tích
về dạng (x-2)A(x) = 0, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm, tách như sau:
x 2 + 12 − 4 = 3 x − 6 + x 2 + 5 − 3 ⇔
⇔ ( x − 2)(
x+2
x 2 + 12 + 4
+ Dễ dàng chứng minh được:
−
x2 − 4
x 2 + 12 + 4
= 3( x − 2) +
x2 − 4
x2 + 5 + 3
x+2
− 3) = 0 ⇔ x = 2
x2 + 5 + 3
5
x+2
x+2
−
− 3 < 0, ∀x >
2
2
3
x + 12 + 4
x +5 +3
Bài 30: Giải phương trình
x + 4 − 1 − x = 1 − 2x
Hướng dẫn:
1 − x ≥ 0
1
1 − 2 x ≥ 0
− 4 ≤ x ≤
2
⇔ 1 − x + 1 − 2x = x + 4 ⇔
⇔
x + 4 ≥ 0
2 x + 1 = 2 x 2 − 3 x + 1
( 1 − x + 1 − 2 x ) 2 = x + 4
1
1
1
− 2 ≤ x ≤ 2
− 4 ≤ x ≤ 2
⇔ 2 x + 1 ≥ 0
⇔ x=0
⇔ x = 0
2
2
7
(2 x + 1) = 2 x − 3 x + 1
x = −
2
Bài 31: Giải phương trình: x 3 − 15 x 2 + 78 x − 141 = 53 2 x − 9
Hướng dẫn: Điều kiện xác định: x ∈ R
+ Phương trình ⇔ ( x − 5) 3 + 5( x − 5) = (2 x − 9) + 53 2 x − 9
+ Xét hàm số đặc trưng: f ( x) = t 3 + 5t với t ∈ R
+ Ta có : f ' (t ) = 3t 2 + 5 > 0, ∀t ∈ R , suy ra hàm số trên đồng biến trên R
+ Mà phương trình (*) có dạng: f ( x − 5) = f (3 2 x − 9 )
⇔ ( x − 5) 3 = 2 x − 9 ⇔ x 3 − 15 x 2 + 73 x − 116 = 0
x = 4
( x − 4)( x − 11x + 29) = 0 ⇔
x = 11 ± 5
2
2
Bài 32: Giải phương trình
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≤ 12
+ Đặt u = 3 x + 24 ; v = 12 − x với v ≥ 0
3
x + 24 + 12 − x = 6
u + v = 6
u + v = 6
u + v = 6
u + v = 6
⇔
⇔
⇔
2
3
2
3
2
3
2
u + v = 36
u + (6 − u ) = 36
u + u − 12u = 0
u (u + u − 12) = 0
+ Ta có
NGUYỄN HỮU BIỂN -
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
Trang 11
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC
u = 0
v = 6
u = −4
⇔
⇔
v = 10
u = 3
v = 3
x = −24
x = −88 (thỏa mãn)
x = 3
Bài 33: Giải phương trình 23 2 x − 1 = 27 x 3 − 27 x 2 + 13x − 2
Hướng dẫn:
⇔ (2 x − 1) + 23 2 x − 1 = (3 x − 1) 3 + 2(3 x − 1)
+ Xét hàm f (a) = a + 23 a ta suy ra 2 x − 1 = (3x − 1) 3 ⇔ 27 x 3 − 27 x 2 + 7 x = 0 ⇔ x = 0
Đáp số: x = 0
Bài 34: Giải phương trình
3
x +1 + 3 x2 = 3 x + 3 x2 + x
Hướng dẫn:
+ Xét x = 0 không phải là nghiệm của phương trình
+ Với x ≠ 0 , ta chia hai vế cho x:
3
x +1 3
x +1 3
+ x = 1 + 3 x + 1 ⇔ 3
− 1( x − 1) = 0 ⇔ x = 1
x
x
(làm bài tập kết hợp với học trong vở ghi)
NGUYỄN HỮU BIỂN -
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
Trang 12
- Xem thêm -
.PDF 
13 
475 
121 
