www.VNMATH.com
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH
Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu
3
2
A) Cực đại cực tiểu hàm số bậc 3: y ax bx cx d
* ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
* ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu là x1 , x2 khi đó x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình
y’=0
* ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương
trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Cơ sở của phương pháp này là: nếu hàm số bậc 3 đạt cực đại cực tiểu tại x1 , x2 thì
f '(x1 ) f '(x2 ) 0
+ Phân tích y f '(x). p(x) h(x) . Từ đó ta suy ra x , x thì y h(x ); y h(x ) y
1
1
2
2
1
2
tại
h(x)
là đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Kí hiệu k là hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
* ) Các câu hỏi thường gặp liên quan đến điểm cực đại cực tiểu hàm số bậc 3 là:
1) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của hàm số song song
với đường thẳng y=ax+b
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Giải điều kiện k=a
2) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng
y=ax+b
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
1
+ Giải điều kiện k=
a
Ví dụ 1) Tìm m để f x ) x 3 mx 2 7x 3 có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu
vuông
góc với đường thẳng y=3x-7.
Giải: hàm số có cực đại, cực tiểu
2
f '(x) 3x 2mx 7 0 có 2 nghiệm phân biệt
’
m 21 0 m
21 . Thực hiện phép chia f(x) cho f (x) ta’ có:
1
21 thì f (x)=0 có 2 nghiệm x x
1
2
7m
2
f x ) x m . f x ) 21 m x 3
. Với m
2
3
9
9
9
1, 2
1
www.VNMATH.com
phân biệt và hàm số f(x) đạt cực trị tại x1,x2.
2
f (x1 ) 0 nên
Do
f (x2 ) 0
f x
x
f x
2
7m
)
)
92
97m.
2
(21
m
)
x
3
1
(21 m 2 ) 3
1
2
2
9
9
2
7m
2
Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình ) : y 21 m ) x 3
9
9
m 21
m 21
m 21
3 10
Ta có ) y 3x 7 2
m
45
3
2
2
21 m ) .3 1 21 m2
2
m
9
2
2
3) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với trục Ox một góc
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Giải điều kiện
3
2
Ví dụ 1) Cho hàm số y x 3x mx 2 (1) với m là tham số thực
Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
Giải:
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
1
2m
m
3
2
y x 3x mx 2 (x 1).y ' (
2) x 2
' 9 3m 0 m 3
3
3
3
Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình
2m
m
y (
2)x 2
6 m
3
3
m 6
;0 , B 0;
Đường thẳng này cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tai A
3
2(m 3)
Tam giác OAB cân khi và chỉ khi OA
OB
m 6 6 m
2(m 3)
3
m 6; m
2
9
3
;m
2
Với m = 6 thì A B O
a nhận m
3
2
Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với 2 trục tọa độ
tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng là
9
m (L)
2m
2
k tan 45 1
2 1
3
3
m (TM )
2
4) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y=ax+b
một góc
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Giải điều kiện
Ví dụ ) Tìm m để f
CĐ, CT tạo với y
x)
1
x 3 3(m 1)x 2 (2m 2 3m 2)x m(m 1) có đường thẳng đi qua
0
x 5 một góc 45 .
4
Giải: Gọi1 hệ
số góc của đường thẳng đi qua CĐ,
1CT là k,kkhi đó từ điêu kiện bài3 toán suy ra:
k
k 1
5k 3
k
k
1
4
0
4
5
1 tg 45 1 k 4 1 4
14 k 4 4
3k
1 k.
k
1
5
5
4
4 4
4 4
k 3
2
2
f (x) 3x 6(m 1) x (2m 3m 2) 0 có 2 nghiệm phân biệt
Hàm số có CĐ, CT
(*)
3 5
3
5
m
2
3(m 3m 1) 0 m
2
2
Thực hiện phép chia f(x) cho) f’(x ta có f (x)
1
1)
2
x (m 1). f (x) m 2 3m 1) x (m
3
3
với m thoả mãn điều kiện (*) thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt ccực trị tại
x1,x2.
2 2
f x)
(m 3m 1) x – m 1)
Do
f (x1 ) 0
nên
f (x2 ) 0
1
3
)
–
1
2
)
)
f x2 32 m 3m 1 x – m 1
2
2 2
Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình ) : y
m 3m 1) x m 1)
3
1
2 2
0
Ta có ) tạo y
x 5 góc 45
m 3m 1 1
với
4
3
)
3 15
2
5) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại A,B sao
kết hợp với điều kiện (*) ta có
m
cho tam giác OAB có diện tích cho trước
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Tìm các giao điểm với các trục toạ độ: Với trục Ox:Giải y=0 tìm x.Với trục Oy giải x=0 tìm y.
1
+ S MAB d M / AB .AB
Từ đó tính2toạ độ A, B sau đó giải điều kiện theo giả thiết
Ví dụ 1) Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số y x3 3mx cắt
2
đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhât.
Giải: Có: y ' 3x 2
có 2 nghiệm phân biệt khi m 0 . Khi đó tọa độ hai điểm cực trị của đồ
3m
thị hàm số là M
)
m; 2 2m x , N
m; 2 2m x
)
- Phương trình đường thẳng MN là: 2mx y 2 0
ˆ
- Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm I tại A,B mà tam giác IAB có 2.S IAB IA.IB.sin AI B 1,
dấu bằng xảy ra khi AIˆB 90 , lúc đó khoảng cách từ I đến MN bằng
0
1
Do vậy ta có pt: d I , MN )
2m 1 1 m
2
1
2
4m 1
3
2
; m 1
2
2
1
3
2
Ví dụ 2) Cho hàm số y x3 3mx 2
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác IAB có diện
tích bằng 18 , trong đó I 1;1)
Lời giải: Ta có y ' 3x 3m 3 x m ) . Để hàm số có CĐ và CT m 0
2
2
)
Gọi A, B là 2 cực trị thì A m; 2 2m m ; B m; 2 2m m
PT đường thẳng đi qua AB là: y 2 2m m
)
4m m
)
x m )
y 2 2mx
2 m
3
2m 1 độ dài đoạn AB 4m 16m
Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB là d I ; AB )
2
4m 1
3
1
4m 16m 18
2m
1
Mà diện tích tam giác IAB là S 18
2 4m 2 1
4m 16m
3
) 2m 1)2 4m
2
1) 4.18 m 2m 1) 2 18
4m 4m m 18 0 m 2 ) 4m 4m 9 ) 0 m 2
3
2
2
6) Tìm điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách đều điểm M cho trước:
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính
giá trị y1; y2 )
+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là MA=MB
7) Điều kiện để điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=ax+b
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính
giá trị y1; y2 )
+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là: Đường thẳng đi qua điểm cực đại
cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b và trung điểm của AB thuộc đường thẳng y=ax+b
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số f (x) x 3 3x 2 m 2 x m có CĐ và CT đối xứng nhau qua
1
5
) : y x .
2
2
Giải: Hàm số có CĐ, CT f x ) x 3 6x m 2 0 có 2 nghiệm phân biệt
9 3m 0 3 m m
2
2
3.
thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có:
f (x)
1
x 1)
2
f (x)
m
2
3) x
2
m
m
3
3
3
với m 3 thì f’ (x)=0 có 2 nghiệm2phân biệt x1, xm2 và hàm số f(x) đạt cực trị tại x1, x2.
2
m 3x 2 m
y f x )
0 f x1 ) nên 1
1
Do
f x2 )
0
y f
x
)
)
. Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT
1
3
3
2 2
2m
m 3) x
m
2
2
2
2
3
3
2 2
m
có phương trình d ) : y m 3) x
m
3
3
1
Các điểm cực trị A x1 ; y1 ) , B x2 ; đối xứng nhau qua ) : y
y2 )
điểm I của AB phải thuộc (d)
2
3
m
2
2
3) 2; x
1
I
2
m
3
2
3) .1
Ví dụ 2) Cho hàm số y x3 3x 2 mx 2 C
m
m
2
3
m
1
2
.1
5
x
5
2
d
)
m 0
và trung
m 0
m(m 1) 0
2
)
Tìm m để hàm số(Cm) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số
cách đều đường thẳng d : x y 1 0
Giải:
Ta có y ' 3x 2 6x m; y ' 0 3x 2 6x m (1)
0
Hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt m 3
Giả sử A x1 ; y1 ) , B x2 ; là hai điểm cực trị của hàm số (Cm), ( x1 , là 2 nghiệm của (1)).
x2
y2 )
x 1
m
y ' x ) y ' ) 0 nên phương trình đường thẳng đi
Vì
2
1 x 2 và
m y y '.
x
1
2
3
3 3 m 3
m
1 x 2 d ' ) . Do đó các điểm A,B cách đều đường thẳng (d) trong 2
qua A,B là y 2
3
3
trường hợp sau:
m
9
TH1: (d’) cùng phương với (d) 2
1 1 m
(không thỏa mãn)
3
2
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên (d). Do I là trung điểm của AB nên tọa độ I là:
x1 x2
x
1
2
. Vì I nằm trên (d) nên ta có 1 m 1 0 m 0 (thỏa mãn).
y y1 y2 m
2
Chú ý: Cần phân biệt rõ 2 khái niệm cách đều và đối xứng qua một đường thẳng.
8) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa điểm cực đại cực tiểu max,
min
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính
giá trị y1; y2 )
+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B. Tính độ dài AB theo tham số. Dùng phương pháp
đạo hàm để tìm max, min
1 3
2
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số f (x) x mx x m 1 có khoảng cách giữa các điểm CĐ,
3
CT là nhỏ nhất.
Giải: Do f x ) x 2 2mx 1 có m2 1 0 nên f’ (x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và
0
hàm số đạt cực trị tại x1, x2 với các điểm cực trị là . A x ; y ) , B x ; y )
1
1
2
2
2
1
2 2
f
(x)
x
m
)
.
f
(x)
m
1
x
m
1
Thực
hiện
phép
chia
f(x)
cho
f’(x)
ta
)
có:
3
3
3
2 2
f
(x
)
m
1
)
2
y x
m 1
1
1
1
f (x1 ) 0 nên
3
Do
23 2
2
y f (x )
m 1) x 2 m 1
f (x2 ) 0
2
2
3
3
2
AB
4 2
2
– y )2
– x )2
– x ) m 1)2 x
– x )2
Ta có x
x
y
2
1
2
1
x x ) 2 4x
x
2
Min AB=
1
1 2
2 13 xảy ra m=0
3
42
m
1
1)2 9
21
2
1
9
4 AB 2 13
4 1
9
3
9) Tìm điều kiện để hoành độ điểm cực đại cực tiểu thoả mãn một hệ thức cho trước
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Phân tích hệ rhức để áp dụng định lý viét( x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình y’=0
1 3
thoả mãn
2
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số f (x) x mx mx 1 đạt cực trị tại x , x
3
x1 x2 8
1
2
Giải: Hàm số có CĐ, CT
f (x) x 2mx m có 2 nghiệm phân biệt
0
2
m m 0 m 0 ) m 1)
2
với điều kiện này thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt cực trị tại x1, x2 với
x1+x2=2m và x1x2=m.
Ta có BPT: x1 x2 8
2
2
x1 x2 64
) – 4x1 x2 4m – 4m 64 m
x1 x2
1 65
m
m 1 65
2
2
thoả mãn điều kiện m 0 ) m
1)
2
3
2
– m 16 0
2
Ví dụ 2) Cho hàm số y x 3x mx 1
1 11
Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ điểm I ( ; ) đến đường thẳng nối
2 4
điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất
Giải: Ta có y' 3x 2 6x m . Hàm số có cực đại cực tiểu khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
' 0 m 3
(0,25 điểm)
x 1
2m
m
2)x 1 . Lập luận suy ra đường thẳng
- Chia đa thức y cho y’ ta có y y'( ) (
đi
qua cực đại cực tiểu là y (
2m
3
3
3
2) x
thẳng cực đại cực tiểu luôn đi qua là A(
1
2
m
3
;2)
3
3
1 . Dễ dàng tìm được điểm cố định mà đường
(0,25 điểm)
IA
5
. Hạ IH vuông góc với ta có IH d I /
4
4
Đẳng thức xảy ra khi IA (0,25 điểm)
2m
1
4 m 1 (0,25 điểm)
2
- Suy ra
- Hệ số góc của đường thẳng IA là k
3
3
k
3
Ví dụ 3) Cho hàm số y x 3 3mx 2 3(m 2 1)x m3 4m (C)
1
Tìm m để hàm số có hai cực trị là A, B cùng với gốc O tạo thành tam giác vuông tại O
Giải:Điều kiện để hàm số có 2 cực trị là y’=0 có hai
nghiệm phân biệt:
x
2
2
(0,25 điểm)
y ' 3x 6mx 3(m 1) ' 9 0
m 1
x m 1
1
1
Ta có y y '( x m) 2x 3m 1 Gọi A, B là 2 điểm cực trị thì
3
3
A(m 1; m 3); B(m 1; m 1) (0,25 điểm)
m 1
2
Suy ra OA(m 1; m 3);OB(m 1; m 1) 2m 2m 4 0
m 2
Kết luận: Có hai giá trị của m cần tìm là m=-1 hoặc m=2
(0, 25 điểm)
Ví dụ 4) Tìm các giá trị của m để hàm số y
1
3
3
x
1
2
2
2
)
m.x m 3 x
có cực đại x1 , cực
tiểu x2 đồng thời x1; x2 là độ dài các cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh
5
huyền bằng
.
2
Giải:
2
2
2
2
Cách 1: Miền xác định: D R có y ' x mx m 3; y ' 0 x mx m 3 0
Hàm số có cực đại x , cực tiểu x thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi PT y ' 0 có 2
1
2
nghiệm dương phân biệt, triệt tiêu và đổi dấu qua 2 nghiệm đó.
0 4 m 2 0 2 m 2
S 0 m 0
m 0
3 m 2 (*)
2
P 0
m 3 0
m 3 m 3
x1 x2 m
. Mà
Theo Viet ta có:
2
–
3
x1 x2 m
2
5
2
2
x x 2 x x ) 4x x 5 2m 2 4 m 2 3 5 m 14
1
2
2
1
2
1 2
Đối chiếu ĐK(*) ta có giá trị m
14
2
)
2
thỏa yêu cầu bài toán.
B) Cực đại cực tiểu hàm số bậc bốn: y ax 4 bx 2 c .
*) Điều kiện để hàm số bậc bốn có 3 cực đại cực tiểu là y’=0 có 3 nghiệm phân biệt
+ Ta thấy hàm số bậc bốn thì y’=0 luôn có một nghiệm x=0, để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt sau
khi tính đạo hàm ta cần tìm điều kiện để phần phương trình bậc 2 còn lại có 2 nghiệm phân
biệt khác không.
3
2
VD: y 2x 4 2mx 2 2
y ' 4x 4mx y ' 0 x 0 x m điều kiện là m<0
thì
*) Khi hàm số bậc bốn có 3 cực trị là A(0;c), B(x ; y );C(x ; y ) thì điều đặc biệt là tam giác
1
1
2
1
ABC luôn cân tại A( Học sinh cần nắm chắc điều này để vận dụng trong giải toán)
*) Các câu hỏi thường gặp trong phần này là:
1) Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân, hoặc đều
+ Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt
+ Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A.Tính
các véc tơ: AB, AC, BC
+ Tam giác ABC vuông cân
AB.AC 0
+ Tam giác ABC đều AB BC
2) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực đại cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích cho
trước
+ Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt
+ Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A.
Tính các véc tơ: AB, AC, BC
+ Kẻ đường cao AH.
1
+ S ABC AH .BC
2
+ Giải điều kiện
4
2
4
Ví dụ 1) Tìm m để f(x)= x 2mx 2m m có CĐ, CT lập thành tam giác đều
Giải: f’(x)= 4x x m ) 0 x 0 x m
Hàm số có CĐ, CT f’(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt m>0
Với m>0 thì f’(x)=0
x m B m; m4 m 2 2m
2
2
)
1
0 A 0; m 2m )
x
4
2
4
)
2
x m C m; m m 2m
3
Suy ra BBT của hàm số y=f(x)
m 0
m 0
2
ABC
2
AC AB AC
AB
đều
2
2
AB BC
AB BC
m 0
m 0
3
m4 m m 4 m m m3 3) 0m 3
4
m m 4m
4
2
2
Ví dụ 2) Cho hàm số y x 2mx 2m 4 , m là tham số thực. Xác định m để hàm số có
3 cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1.
Giải: Mxđ: D R . Có y ' 4x3 4mx
3
2
y ' 0 4x 4mx 0 x 0 x m . Hàm số có 3 cực trị m 0
)
)
Gọi A 0; 2m 2 4 , B m; m 2 4 , C m; m 2 4
)
(*)
là 3 điểm cực trị
Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên tam giác ABC
cân tại A
2
1
có S
m m 1 . Đối chiếu
2x
2
2m
.
AH .BC 2 y y
Kẻ AH BC
B
ABC
2
với điều kiện (*) có m 1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3) Cho hàm số y x 4 2 1 m 2
)
A
B
2
x m 1. Tìm m để hàm số đã cho có 3 điểm cực
trị
và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.
Giải: y ' 4x3 4x 1 m 2 0 x 0, x 2 1 m2
)
hàm số có 3 cực trị 1 m 1. Khi đó tọa độ điểm cực đại là A 0;1 m ) , tọa độ hai điểm
)
)
cực tiểu là B 1 m2 ; 1 m 2 , C 1 m 2 ; 1 m2
S ABC 1
diện tích tam giác ABC là
d A; BC ) .BC 1 m2 2 1. Dấu “=” xày ra khi m 0
2
ĐS: m 0
)
Ví dụ 4) Cho hàm số y x 4 2mx 2 2 có đồ thị (Cm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua
3 9
D ;
5 5
Giải: Có y ' 4x3 4mx 0 x 0; x m m 0 ) . Vậy các điểm thuộc đường tròn (P)
ngoại tiếp các điểm cực trị là A 0; 2 ) , B
3 9
2
2
;
.
m; m 2 , C m; m 2 , D
5 5
)
)
Gọi I x; y là tâm đường tròn (P)
)
2
2
IA ID
2
2
IB
2IC
2
IB IA
3x y 1 0
y 2x2 m
2x
x
m
)
m
Vậy m 1 là giá trị cần tìm.
2
y
2
–
2)
2
2
x
x 0; y 1; m 0(L), m 1
y 2)
Phần hai: Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến và các đường tiệm cận
*) Xét hàm số y f (x) .Giả sử M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm khi đó tiếp tuyến tại M có dạng
y f '(x0 )(x x0 ) y0 (1) ( Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát ta thường biểu
y0 theo
dạngdiễn
f (x0 ) )
2x 1
khi đó điểm M có toạ độ là
Ví dụ: Xét điểm M bất kỳ thuộc đồ thị hàm số y
x 1
2x0 1
)
M ( x0;
x0 1
*) Ta gọi hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm M là k f '(x0 )
*) Đường thẳng bất kỳ có hệ số góc k đi qua M (x0 ; y0 ) có
y k (x x0 ) y0 . Điều kiện
dạng
để là tiếp tuyến của hàm số y=f(x) là hệ phương trình sau có nghiệm
k(x x0 ) y0 f (x)
k f '(x)
Khi đó số nghiệm của hệ cũng chính là số tiếp tuyến kẻ được từ điểm M đến đồ thị hàm số
y=f(x)
*) Mọi bài toán viết phương trình tiếp tuyến đều quy về việc tìm tiếp điểm sau đó viết phương
trình theo (1)
*) Các dạng câu hỏi thường gặp trong phần này là
1) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b:
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng
y f '(x0 )(x x0 ) y0 (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k f '(x0 )
là
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên k f '(x0 ) a . Giải phương trình tìm x0
sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1)
- Xem thêm -
.DOCX 
92 
272 
105 
