Tài liệu Luận văn họ chuẩn tắc đều và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––––– QUÁCH NGỌC TOẢN HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––––– QUÁCH NGỌC TOẢN HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của PGS.TS Phạm Việt Đức. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014 Tác giả QUÁCH NGỌC TOẢN Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung của luận văn, tôi xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên, nơi mà tôi đã hoàn thành chương trình cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình và tâm huyết của các Thầy, Cô. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Phạm Việt Đức, người Thầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình và giúp đỡ để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đã giúp đỡ và chia sẻ với tôi trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014 Tác giả QUÁCH NGỌC TOẢN Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii MỤC LỤC Lời cam đoan ........................................................................................................ i Lời cảm ơn ........................................................................................................... ii Mục lục ............................................................................................................... iii MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 Chƣơng 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................. 3 1.1. Một số định lý trong giải tích phức .......................................................... 3 1.2. Metric Poincaré và một số kết quả liên quan ........................................... 4 1.3. Hàm chuẩn tắc và họ chuẩn tắc đều ......................................................... 7 1.4. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức ................................ 11 1.5. Ánh xạ chỉnh hình vào các không gian hyperbolic ................................ 16 Chƣơng 2: HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG ................................. 22 2.1. Họ chuẩn tắc đều và một số tính chất ..................................................... 22 2.2. Tổng quát hóa một số định lí cổ điển đối với họ chuẩn tắc đều. ............ 26 KẾT LUẬN....................................................................................................... 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 39 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU Vào những năm 60 của thế kỉ XX, Kobayashi là nhà hình học người Nhật đã xây dựng lý thuyết các không gian phức hyperbolic. Trong thời gian gần đây lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Kiernan, Kobayashi, Kwack và Noguchi đã nghiên cứu về sự thác triển các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức và thu được các kết quả quan trọng. Năm 1995 J.Joseph và M.Kwack đã đưa ra một phương pháp mới, chỉ dựa vào các tính chất tôpô của các không gian hàm để chứng minh và tổng quát hoá các kết quả của Kiernan, Kobayashi, Kwack và Noguchi, từ đó đưa ra một số đặc trưng của tính nhúng hyperbolic của các không gian phức. Trong các năm 1996, 1997 J.Joseph và M.Kwack cũng đã công bố các kết quả nghiên cứu về họ các ánh xạ chuẩn tắc đều trên đa tạp hyperbolic và trên không gian phức bất kỳ. Các nghiên cứu này đã góp phần thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết các không gian phức hyperbolic và mở ra những hướng nghiên cứu mới. Trong luận văn này chúng tôi trình bày một số ứng dụng của họ chuẩn tắc đều trong việc mở rộng các định lý của Brody, Lohwater và Pommerenke, Hahn, Hayman giải tích phức. Bố cục của luận văn được chia thành hai chương Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của Giải tích phức hyperbolic, hàm chuẩn tắc và họ chuẩn tắc đều, hàm độ dài và khoảng cách sinh bởi hàm độ dài trên các không gian phức, ánh xạ chỉnh hình vào các không gian hyperbolic. Những kiến thức này sẽ là cơ sở cho việc nghiên cứu ở các chương sau. Chương II: Họ chuẩn tắc đều và ứng dụng Là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi sẽ nghiên cứu một số tính chất quan trọng của họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 2 trên các đa tạp hyperbolic. Những kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc tổng quát hóa một số định lý cổ điển của Brody Lohwater và Pommerenke, Lehto và Virtanen, Hahn, Zaidenberg. Cuối chương, giới thiệu các khái niệm và một số kết quả về các ánh xạ chuẩn tắc và họ chuẩn tắc đều của các ánh xạ chỉnh hình của nhiều tác giả. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 3 Chƣơng 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số định lý trong giải tích phức Với X , Y là các không gian phức, kí hiệu H  X ,Y   C  X ,Y   là không gian các ánh xạ chỉnh hình (liên tục) từ X vào Y . Ta sẽ sử dụng H  X   C  X   thay cho H  X ,    C  X ,    . Tất cả các không gian hàm được trang bị tôpô compact mở. Hình cầu Riemann sẽ biểu thị bởi P1    . 1.1.1. Định lý. (Định lý thác triển Riemann) Một hàm chỉnh hình bị chặn xác định trên đĩa thủng f D*   z   :0  z  1 đều thác triển thành hàm chỉnh hình f xác định trên đĩa D   z   : z  1. 1.1.2. Định lý. (Định lý Liouville). Một hàm nguyên bị chặn là một hàm hằng. 1.1.3. Định lý. (Bổ đề Hurwitz). Cho U là một miền trong  và cho f  k là một dãy trong H U , P1     a mà hội tụ tới f  H U , P1     . Khi đó hoặc f là hằng hoặc f  H U , P1     a. 1.1.4. Định nghĩa. Một họ các hàm chỉnh hình F xác định trên một miền U   được gọi là chuẩn tắc nếu mỗi dãy trong F hoặc chứa một dãy con hội tụ trong H U  hoặc dần đến . Bổ đề Hurwitz chứng tỏ rằng tính chuẩn tắc của một họ F  H U  là tương đương với tính compact tương đối của một họ nếu xem họ đó là một tập con của H U , P1     . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 4 1.1.5. Định nghĩa. Cho X , Y là các không gian tô pô. Một họ F  C  X ,Y  được gọi là liên tục đồng đều từ p  X tới q  Y nếu mỗi tập mở U trong Y quanh q , tồn tại các tập mở V ,W trong X , Y quanh p, q tương ứng sao cho:  f  F : f  p   W   f  F : f V   U . Nếu F là liên tục đồng đều từ mỗi p  X tới mỗi q  Y ta nói rằng F là liên tục đồng đều (từ X tới Y ). Ta có định lý Ascoli-Arzelà sau: 1.1.6. Định lý. Cho X là một không gian compact địa phương chính quy và cho Y là một không gian chính quy. Khi đó F  C  X ,Y  là compact tương đối trong C  X ,Y  khi và chỉ khi:  a  F là liên tục đồng đều  b  F  x    f  x  : f  F  là compact tương đối trong Y với mỗi x  X . 1.1.7. Định lý. Cho Y ,  là không gian metric compact địa phương. Cho X là không gian tô pô và  là một giả metric trên X mà liên tục trên X  X . Nếu F  C  X ,Y  là Lipschitz ứng với  và  , thì F là compact tương đối trong C  X , Y   , trong đó Y  là compact hóa 1 điểm của Y . 1.1.8. Định lý. (Định lý Montel). Một họ bị chặn địa phương F các hàm chỉnh hình xác định trên miền U   là compact tương đối trong H U  . 1.2. Metric Poincaré và một số kết quả liên quan Nhóm các tự đẳng cấu A D  của đĩa D được cho bởi T  z   ei za , a  D. 1  az Khoảng cách hyperbolic d D và metric Poincaré Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 5  dz 1 z 2 là bất biến dưới A D  và thỏa mãn: d D  z ,    inf     trong đó  là đường cong nối z và  . Tiếp theo bổ đề Schwarz-Pick sau đây chứng tỏ rằng H  D, D  là giảm khoảng cách đối với khoảng cách hyperbolic. 1.2.1. Định lý. (Bổ đề Schwarz-Pick [22]). Với mỗi f  H  D, D  , ta có: f  z   f   1  f  z  f    z  1  z ; z,  D và f '  z 1 f  z 2  1 1 z 2 ; z D trừ khi nó là một tự đẳng cấu. 1.2.2. Định lý. (Định lý Montel [5]). Cho M là một miền trong  . Khi đó họ H  M ,   0,1 là một họ chuẩn tắc, tức là nó là compact tương đối trong H  M , P1     . 1.2.3. Định lý. (Định lý Picard bé [5]). Mỗi hàm f  H   ,   0,1 là hàm hằng. 1.2.4. Định lý. (Định lý Picard lớn [5]). Mỗi ánh xạ f  H  D* ,   0,1  đều thác triển được thành f  H  D, P1     . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 6 1.2.5. Định lý. (Carathéodory [5]).     f : f  F các thác triển của Cho F  H  D* ,   0,1  . Khi đó họ F   F là compact tương đối trong H D, P1    . 1.2.6. Định lý. (Định lý Schottky). Có hằng số c  0 chỉ phụ thuộc vào r và f  0  sao cho: sup f  z   c z r với mỗi f  H  D,   0,1 . Khoảng cách cầu trên cầu Riemann được cho bởi: S 1 ,2   inf  d  1   2 trong đó  là một đường nối 1 và  2 . 1.2.7. Định lý. (Marty [33]). Cho M là một miền trong  . Giả sử F  H  M , P1     và với các tập compact K  M , có một hằng số c  0 sao cho:  f '  z   sup  : f  F, z  K   c 2 1  f z     Khi đó F là một họ chuẩn tắc. 1.2.8. Định lý. (Royden [34]). Cho M là một miền trong  . Nếu F  H  M , P1     và với mọi tập compact K  M , có một hàm đơn điệu tăng hK thỏa mãn:  f '  z   hK f  z   với z  K và f  F , thì khi đó F là họ chuẩn tắc. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 7 1.3. Hàm chuẩn tắc và họ chuẩn tắc đều Nhóm các tự đẳng cấu của không gian M kí hiệu bởi A M  , F  G   f  g : f  F , g  G . 1.3.1. Định nghĩa. Cho M   là một miền đơn liên. Một ánh xạ f  H  M , P1     là chuẩn tắc nếu họ F  A M  là chuẩn tắc, tức là nó là tập compact tương đối trong H  M , P1     . Nếu M là một miền đa liên, f được  của M , tức là ánh xạ gọi là chuẩn tắc nếu nó là chuẩn tắc trên phủ toàn thể M   M là ánh xạ phủ.   f là chuẩn tắc, trong đó  :M Lehto và Virtanen đã chứng minh tính chất sau của ánh xạ chuẩn tắc. 1.3.2. Định lý. Cho M là một miền hyperbolic. Khi đó một ánh xạ f  H  M , P1     là chuẩn tắc khi và chỉ khi với mỗi c  0, ta có: f '  z 1 f  z 2  cd  z  trong đó d là độ dài hyperbolic trên M . Trường hợp đặc biệt f  H  D, P1     là chuẩn tắc khi và chỉ khi với mỗi c  0, ta có: 1  z  f  z   c. 2 ' 1 f  z 2 1.3.3. Định lý. (Lehto-Kertanen-Javi [26.15]) Mỗi ánh xạ chuẩn tắc f  H  D* , P1     đều thác triển được thành ánh xạ chuẩn tắc f  H  D, P1     . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 8 1.3.4. Định lý. (Lohwater-Pommerenke [26]). Một ánh xạ chỉnh hình khác hằng f  H  D, P1     là chuẩn tắc khi và  zn  chỉ khi không tồn tại dãy r  0, f  zn  rn   g   đều trong D và trên tập rn con trong  0,1 compact của sao cho  và g  H   , P1     là khác hằng. 1.3.5. Định lý. (Lappan [25]). Cho A là tập con của P1    với ít nhất 5 phần tử. Khi đó f  H  D, P1     là chuẩn tắc khi và chỉ khi    1 z 2 f ' z    1 sup  : z  f  A    . 2  1  f  z   Một họ F  H  M , X  trong đó M , X là các không gian phức, được gọi là bất biến nếu F  F  A M  . Nhận thấy rằng họ H  D,   0,1 là bất biến, Hayman đã nghiên cứu về họ chuẩn tắc bất biến của các hàm. Ông đã chứng tỏ rằng một họ bất biến F  H  D  là chuẩn tắc nếu có một số c  0 sao cho khi f  F , z1 , z2  D, f  z1   1 và f  z2   ec , ta có:  D  z1 , z2   z2  z1 1  . 1  z1 z2 2 Ông đã gọi tính chất này là chuẩn tắc đều. Ta chú ý rằng : 1   D  z1 , z2  1 d D  z1 , z2   log . 2 1   D  z1 , z2  1.3.6. Định nghĩa. (Hayman [13]). Một họ F  H  D  là chuẩn tắc đều nếu có một c  0 sao cho khi f  F , z1 , z2  D, f  z1   1 và f  z2   ec , ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 9 1 2  D  z1 , z2   . Rõ ràng một họ chuẩn tắc đều là chuẩn tắc. Nhưng điều ngược lại chưa hẳn đúng. Tuy nhiên, một họ chuẩn tắc bất biến là một họ chuẩn tắc đều. 1.3.7. Định lý. Cho F là một tập con bất biến của H  D  . Khi đó F là chuẩn tắc đều khi và chỉ khi F là họ chuẩn tắc. Từ bổ đề Schwarz-Pick ta có: 1.3.8. Định lý Cho F  H  D  , các điều kiện sau đây là tương đương: 1 F là chuẩn tắc đều.  2 F  H  D, D  là chuẩn tắc đều. 3 F  A D  là chuẩn tắc.  4 F là một tập con của một họ chuẩn tắc bất biến. Từ tiêu chuẩn Marty (Định lý 1.2.7) ta có họ bất biến F  H  D, P1     là compact tương đối khi và chỉ khi có một hằng số c  0 sao cho    1 z 2 f ' z    sup  : z  D, f  F   c. 2  1  f  z   Từ nhận xét này và Định lý 1.3.8, ta được 1.3.9. Định lý. Một họ F  H  D  là chuẩn tắc đều khi và chỉ khi có một hằng số c  0 sao cho :    1 z 2 f ' z    sup  : z  D, f  F   c. 2  1  f  z   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 10 Tiếp theo là một kết quả mạnh hơn định lý Schotky [13, trang165] đã chứng minh đối với một họ chuẩn tắc bất biến, và do đó đúng đối với họ chuẩn tắc đều. 1.3.10. Định lý. (Hayman [13]). Cho F  H  D  là một họ chuẩn tắc bất biến. Khi đó có một số c  0 sao cho với mỗi f  F ta có   f  0   2   log   c  và sup f  z  : z  r , f  F   '  1 r 1 r  2cr  exp  , 1 r   trong đó 0  r  1 và   max 1, f  0 . Kết quả của định lý Schottky được sử dụng để chứng minh định lý Bohr. 1.3.11. Định lý. (Bohr [13]). Giả sử f  H  D  và max z f  z   1 . Khi đó f nhận các giá trị trong D 1 2 trên một đường tròn  :   r, trong đó r  A và A là một hằng số dương. 1.3.12. Định nghĩa. Một hàm chỉnh hình f  H  D  được gọi là Bloch nếu với một hằng số c  0 ta có  sup 1  z 2  f  z  : z  D  c. ' 1.3.13. Định lý. (Timoney [33]). Giả sử A   và   A không nằm trong các đĩa lớn tùy ý. Khi đó f  H  D  là Bloch khi và chỉ khi  sup 1  z 2  f z : z  f ' Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 1   .  A http://www.lrc.tnu.edu.vn 11 1.4. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức Cho X ,Y là các không gian phức. Kí hiệu T  X  và Tp  X  là không gian tiếp xúc của X và không gian tiếp xúc với X tại p . Nếu f  H  X ,Y  ta sẽ biểu thị các ánh xạ đạo hàm trên các không gian tiếp xúc bởi df và  df  p và f * là đối ngẫu của df . Một hàm nửa độ dài E trên một không gian phức X là một hàm thực không âm nửa liên tục trên trên không gian tiếp xúc T  X  thỏa mãn E  av   a E  v  với a   , v Tp  X  . Hơn nữa, nếu E  v   0 với mọi v T  X  khác không thì E được gọi là hàm độ dài trên X . Một hàm độ dài E trên X sinh ra một khoảng cách d E trên X cho bởi: b d E  p, q   inf  E  '  t   dt ,  a trong đó  :  a, b  X là một đường cong từ p tới q . Đó chính là khoảng cách d E xác định tô pô của X . Kobayashi [22] đã định nghĩa một giả khoảng cách k X , và được gọi là giả khoảng cách Kobayashi (hoặc hyperbolic) trên một đa tạp phức X như sau: 1.4.1. Định nghĩa. Cho X là một đa tạp phức. Khi đó giả khoảng cách k X được định nghĩa bởi   k X  p, q   inf L   p, q   : p, q  X ,   p ,q  trong đó   p, q  là một dây chuyền  f1,..., fm  H  D, X  z1,...,zm  D, f1  0  p, fi  zi   fi1  0 , i  1,2,..., m  1, fm  zm   q sao cho và m L   p, q     d D  0, zi . i 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 12 Royden [33] chứng tỏ rằng giả khoảng cách k X là cảm sinh bởi hàm nửa độ dài K X xác định như sau: 1.4.2. Định nghĩa. Dạng vi phân K X của k X được cho bởi K X  v   inf r  0 :   0   p, d  re   v,  H  D, X , trong đó p  X , v Tp  X  , e T  D  là vectơ đơn vị của T  D  . Nếu giả khoảng cách Kobayashi k X trên đa tạp phức X là một khoảng cách, thì k X xác định tô pô của X và X được gọi là hyperbolic. Một đa tạp phức con X của một đa tạp phức Y được gọi là nhúng hyperbolic [22] trong Y nếu với p, q  X phân biệt, có các lân cận mở Wp , Wq tương ứng của p, q trong Y sao cho: k X  X  Wp , X  Wq   0. Rõ ràng rằng một đa tạp phức X là nhúng hyperbolic trong chính nó khi và chỉ khi nó là hyperbolic. Định lý sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa và bổ đề Schwarz-Pick. 1.4.3. Định lý. Đối với đĩa hyperbolic D các hàm K D và k D trùng với metric Poincaré  và khoảng cách hyperbolic d D tương ứng. Định lý tiếp theo có thể được sử dụng để tính K D* : 1.4.4. Định lý. Cho M là một đa tạp phức và M là một đa tạp phủ của M với   M . Ta có  *  K   K  . ánh xạ phủ là  : M M M Vì dạng vi phân K D* trùng với metric cảm sinh bởi ánh xạ phủ p  z   exp  2 iz  từ nửa mặt phẳng trên H tới D* , nên ta có: K D*  dz z log z 2 . Từ đó ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 13 1.4.5. Mệnh đề. Độ dài cung L  r  của đường tròn  r   z : z  r ứng với kD* hội tụ tới 0 khi r  0 . Hàm modular chứng tỏ rằng đĩa đơn vị D là không gian phủ của   0,1 và do đó ta có định lý sau: 1.4.6. Định lý. Không gian   0,1 là không gian hyperbolic. Với X là đa tạp con của đa tạp phức Y , Kobayashi [22] đã định nghĩa một giả khoảng cách tương đối k X ,Y và dạng vi phân của K X ,Y trên X , bao đóng của X trong Y . Các hàm k X ,Y và K X ,Y được định nghĩa tương tự như k X và K X nhưng sử dụng họ FX ,Y   f  H  D, Y  : f 1 Y  X  cã nhiÒu nhÊt mét phÇn tö. Nếu không có f  FX ,Y thỏa mãn f  0   p và  df 0  re   v thì K X ,Y  v  được định nghĩa bằng . 1.4.7. Định lý. Cho X ,Y , X ' ,Y ' là các không gian phức sao cho X  Y và X '  Y ' . Khi đó ta có: 1 K X X  v,   maxK X  v  , K X  , ' '  2  K X  X ,Y Y  v,   maxK X ,Y  v  , K X ,Y  , ' ' ' '  3 k X X  p, p'  ,  q, q'   maxk X  p, q  ,k X  p' , q' , ' '  4  k X  X ,Y Y   p, p '  ,  q, q '    max k X ,Y  p, q  ,k X ,Y  p ' , q ' . ' ' ' ' Nói chung K X ,Y  K X với X là đa tạp con phức của đa tạp phức Y . Tuy nhiên, sử dụng Định lý 1.4.7, Kobayashi [23] đã chứng tỏ rằng trong một vài trường hợp chúng là bằng nhau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 14 1.4.8. Định lý. (Kobayashi). Đối với các không gian  D*  và D m , trong đó m là một số nguyên, ta có: m k  D*  m ,Dm  k Dm và K  D*  m ,Dm  K Dm . Các giả khoảng cách nội tại và các dạng vi phân của chúng có tính chất tương tự với khoảng cách Kobayashi và dạng vi phân của nó. 1.4.9. Định lý. Cho X ,Y , X ' ,Y ' là các đa tạp phức sao cho X  Y và X '  Y ' . Khi đó: 1 Với f  H  X , X '  , p, q  X ta có:   f * K X '  K X và k X '  f  p  , f  q    k X  p, q  . Hơn nữa, K X (tương ứng k X ) là hàm giả độ dài lớn nhất E (tương ứng giả khoảng cách d ) trên X thỏa mãn với mỗi f  H  D, X  , f *  E   K D (tương ứng d  f  z  , f     kD  z,  với z,  D ).  2  Với mỗi f  H Y , Y '  sao cho f  X   X ' và với mỗi p, q  X , ta có   f * K X ' ,Y '  K X ,Y và k X ' ,Y '  f  p  , f  q    k X ,Y  p, q  . Hơn nữa, hàm K X ,Y (tương ứng k X ,Y ) là hàm nửa độ dài lớn nhất E (tương ứng hàm giả khoảng cách d ) trên X thỏa mãn với mỗi f  FX ,Y , f *  E   K D (tương ứng d  f  z  , f     kD  z,  với z ,  D ). Nếu X là một đa tạp phức hyperbolic và Y là một đa tạp phức với hàm độ dài E , chuẩn df E của ánh xạ tiếp xúc của f  H  X ,Y  ứng với E được định nghĩa bởi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 15 df E  sup    df  p E : p X    trong đó  df  p  sup E  df  p  v  : K X  v   1, v  Tp  X  . E (Ta chỉ sử dụng df và  df  p khi không thể xảy ra nhầm lẫn). Trong trường hợp đặc biệt với f  H  D,Y  , nếu df E  df 0  E  df  e   . Ta cũng có f *  E   cK X  cc   . Ta có tính chất của các đa tạp hyperbolic sau: 1.4.10. Mệnh đề. Cho f  H  M ,Y  trong đó M là một đa tạp hyperbolic và Y là một không gian phức với một hàm độ dài E . Khi đó:  df  p  sup   d  f    0  :   H  D, M  ,  0   p với p  M , và df  sup   d  f    0  :   H  D, M     sup d  f    :   H  D, M  . Chứng minh. Cho p  M và v  Tp  M  sao cho KM  v   1 và cho    . Tồn tại   H  D, M  và r  0 sao cho   0  p, d  re   v và r  1   . Ta có:   E  df  p  v   E  d  f   0  re    1    d  f   0    1    sup d  f   0 :   H  D, M  ,  0   p  1     df  p . Từ đó các đẳng thức trên được suy ngay ra từ bổ đề Schwarz-Pick. Đó là điều phải chứng minh. Mệnh đề sau đây có được từ tính chất giảm khoảng cách của các ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp hyperbolic. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn