Tài liệu Luận văn mở rộng galois bậc vô hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ HUỆ MỞ RỘNG GALOIS BẬC VÔ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 05-2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ HUỆ MỞ RỘNG GALOIS BẬC VÔ HẠN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Đặng Đình Hanh HÀ NỘI, 05-2017 Mục lục Phần mở đầu 1 1 Mở rộng Galois 4 1.1 Mở rộng đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Mở rộng chuẩn tắc và mở rộng tách được . . . . . . . . . . 8 1.3 Mở rộng Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Định lý cơ bản của lý thuyết Galois cổ điển . . . . . . . . 19 2 Nhóm Galois của mở rộng Galois bậc vô hạn 22 2.1 Giới hạn nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Nhóm profinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Tôpô Krull trên nhóm Galois . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 Định lý cơ bản của lý thuyết Galois bậc vô hạn 38 3.1 Định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Một số ví dụ về mở rộng Galois bậc vô hạn . . . . . . . . . 42 Tài liệu tham khảo 45 1 Phần mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết Galois là một trong những lý thuyết đẹp đẽ và quan trọng của Toán học. Trong đó, ý tưởng mới mẻ và độc đáo của Galois – xây dựng một tương ứng giữa các trường trung gian và các nhóm con của nhóm Galois – đã mở ra một chương mới cho Đại số. Mở rộng Galois bậc vô hạn là một mở rộng trường bậc vô hạn, chuẩn tắc và tách được. Tương tự như đối với mở rộng Galois bậc hữu hạn thông thường, ta cũng có định lý cơ bản về tương ứng Galois giữa các trường trung gian và giữa các nhóm con đóng của nhóm Galois; những nhóm con nằm trong tương ứng này phải là đóng đối với tôpô Krull trên nhóm Galois. Mục đích của luận văn là trình bày những kiến thức cơ bản về nhóm Galois của mở rộng Galois bậc vô hạn, tương ứng Galois trong trường hợp này và một số ví dụ minh họa. Thông qua việc hoàn thành luận văn, tác giả sẽ có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về Lý thuyết Galois và bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học. 2. Định hướng nghiên cứu Trước hết, tác giả cần tìm hiểu và trình bày một số kiến thức chuẩn bị về nhóm tôpô, giới hạn nghịch, tôpô Krull trên nhóm Galois của mở 1 rộng bậc vô hạn... Trên cơ sở đó tác giả trình bày về định lý cơ bản của lý thuyết Galois bậc vô hạn và một số ví dụ về mở rộng Galois bậc vô hạn. 3. Phương pháp nghiên cứu Đọc và dịch các tài liệu liên quan, phân tích, so sánh, tổng hợp và nghiên cứu lý thuyết. 4. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm các chương sau: Chương 1. Mở rộng Galois bậc hữu hạn, trình bày lại các khái niệm và kiến thức cơ bản của lí thuyết Galois như mở rộng bậc hữu hạn, mở rộng đại số, mở rộng chuẩn tắc, mở rộng tách được, nhóm Galois và mở rộng Galois, và cuối cùng là định lý cơ bản của lý thuyết Galois. Chương 2. Nhóm Galois của mở rộng Galois bậc vô hạn, trình bày một số kiến thức cơ bản về giới hạn nghịch (giới hạn xạ ảnh) của một hệ nghịch các nhóm, nhóm profinite, tôpô trên nhóm profinite và tôpô Krull trên nhóm Galois. Đây là các kiến thức nền tảng phục vụ cho chương 3. Chương 3. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois bậc vô hạn, trình bày nội dung của định lý cơ bản của lý thuyết Galois bậc vô hạn và một số ví dụ minh họa cho mở rộng Galois bậc vô hạn. Qua bản luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung và các thầy cô ở bộ môn Đại số nói riêng đã dạy bảo và dìu dắt tác giả trong suốt thời gian qua. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS. Đặng Đình Hanh, thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Cảm ơn bạn bè, gia đình, đồng 2 nghiệp và tất cả mọi người đã quan tâm, động viên và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý độc giả để bản luận văn này được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2017 Học viên Bùi Thị Huệ 3 Chương 1 Mở rộng Galois Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết Galois; các chứng minh tương ứng có thể xem trong [2]. Các kết quả tổng quát cho mở rộng Galois bậc vô hạn (Định lý 1.41, 1.43) sẽ được chứng minh chi tiết. 1.1 Mở rộng đại số Định nghĩa 1.1. Cho K và F là hai trường. Trường K được gọi là một mở rộng của trường F nếu F là một vành con của K. Nếu trường K là một mở rộng của trường F , thì dễ chỉ ra rằng K cũng là một không gian vectơ trên F với phép nhân ngoài được định nghĩa bởi phép nhân của trường K, tức là α.a = αa với mọi α ∈ F, a ∈ K. Khi đó, số chiều của không gian vectơ này được gọi là bậc mở rộng của K trên F và kí hiệu là [K : F ]. Nếu [K : F ] < ∞ thì K được gọi là mở rộng bậc hữu hạn của F ; nếu [K : F ] = ∞ thì K được gọi là mở rộng bậc vô hạn của F . Một tháp các trường là một dãy các trường K1 , K2 , ..., Kn sao cho K1 ⊂ K2 ⊂ ... ⊂ Kn , Ki+1 là mở rộng của Ki với i = 1, 2, ..., n − 1. 4 Ví dụ 1.2. (i) Trường số phức C là một mở rộng bậc 2 của trường số thực R. √ √ (ii) Trường Q[ 2] = {a + b 2|a, b ∈ Q} là một mở rộng bậc 2 của trường số hữu tỉ Q. Tương tự trường Q[i] = {a + bi|a, b ∈ Q} là mở rộng bậc 2 của Q. (iii) C(x) là một mở rộng bậc vô hạn của trường các số phức C vì 1, x, x2 , ... là một hệ vô hạn phần tử của C(x) độc lập tuyến tính trên C. Định lý 1.3. Cho một tháp các trường F ⊂ E ⊂ K. Khi đó K là một mở rộng bậc hữu hạn của F nếu và chỉ nếu K là một mở rộng bậc hữu hạn của E và E là một mở rộng bậc hữu hạn của F . Hơn nữa, [K : F ] = [K : E][E : F ]. Hệ quả 1.4. Cho một tháp các trường F = F1 ⊂ F2 ⊂ ... ⊂ Fn = K. Khi đó, nếu K là một mở rộng bậc hữu hạn của F thì [K : F ] = [K : Fn−1 ]...[F2 : F1 ]. Định nghĩa 1.5. Cho F là một trường và X ⊂ K. Khi đó giao tất cả các trường con của K chứa X được gọi là trường con của K sinh bởi tập X. Nếu K là một mở rộng của F và X ⊂ K thì trường con sinh bởi X ∪ F được gọi là trường con sinh bởi X trên F và kí hiệu là F (X). Trong trường hợp X là một tập hữu hạn gồm n phần tử u1 , u2 , ..., un thì ta viết F (X) = F (u1 , u2 , ..., un ). Trường F (X) = F (u1 , u2 , ..., un ) được gọi là mở rộng hữu hạn sinh của F . Dễ dàng chỉ ra, giao của các trường con cũng là một trường con. Do đó, F (X) là trường con nhỏ nhất của K chứa F và X. 5 Định lý 1.6. Giả sử K là một mở rộng của trường F và a ∈ K. Khi đó F [a] = {f (a) : f (x) ∈ F [x]} và F (a) = {f (a)/g(a) : f ; g ∈ F [x], g(a) 6= 0}. Hơn nữa, F (a) là trường các thương của F [a]. Định lý 1.7. Giả sử K là một mở rộng của F và a1 , a2 , ..., an ∈ K. Khi đó F [a1 , a2 , ..., an ] = {f (a1 , a2 , ..., an ) : f ∈ F [a1 , a2 , ..., an ]} và F (a1 , a2 , ..., an ) = { f (a1 , a2 , ..., an ) : f ; g ∈ F [a1 , a2 , ..., an ], g(a1 , a2 , ..., an ) 6= 0}. g(a1 , a2 , ..., an ) Do đó F (a1 , a2 , ..., an ) là trường các thương của F [a1 , a2 , ..., an ]. Định nghĩa 1.8. Giả sử K là một mở rộng của F . Khi đó ta nói rằng K là một mở rộng đơn của F nếu tồn tại một phần tử u ∈ K sao cho K = F (u), còn u được gọi là phần tử nguyên thủy của K. Ví dụ 1.9. √ √ √ √ √ √ (i) Q( 2, 3) là một mở rộng đơn của Q vì Q( 2, 3) = Q( 2 + 3). (ii) Q(i, −i) là một mở rộng đơn của Q vì Q(i, −i) = Q(i). Định nghĩa 1.10. Giả sử K là một mở rộng của trường F và u ∈ K. Phần tử u được gọi là đại số trên F nếu tồn tại một đa thức bậc dương f (x) ∈ F [x] sao cho f (u) = 0. Trong trường hợp u không là nghiệm của bất kì một đa thức bậc dương nào trên F , thì u được gọi là phần tử siêu việt trên F . Nếu mọi phần tử của K đều là phần tử đại số trên F thì ta gọi K là mở rộng đại số của F . 6 Định nghĩa 1.11. Cho K là một mở rộng của trường F và u ∈ K là một phần tử đại số trên F . Khi đó, tồn tại một đa thức p(x) ∈ F [x] bất khả quy nhận u là nghiệm. Hơn nữa, nếu u là một nghiệm của một đa thức f (x) ∈ F [x] thì f (x) chia hết cho p(x). Đa thức p(x) được gọi là một đa thức tối tiểu của u trên F . Các đa thức tối tiểu của u là liên kết với nhau. Định lý 1.12. Cho K là một mở rộng của trường F và u ∈ K là phần tử đại số trên F . Giả sử p(x) là một đa thức tối tiểu bậc n của u trên F . Khi đó (i) F [u] = F (u) ∼ = F [x]/(p(x)). (ii) {1, u, u2 , ..., un−1 } là một cơ sở của F (u) trên F . (iii) [F (u) : F ] = n = deg p(x). Ví dụ 1.13. √ √ (i) Đa thức tối tiểu của 2 trên Q là x2 − 2. Ta có Q( 2) ∼ = Q[x]/(x2 − 2), √ √ √ và {1, 2} là một cơ sở của Q( 2) trên Q, [Q( 2) : Q] = 2. (ii) Nếu p là số nguyên tố, thì đa thức xp − n là đa thức bất khả quy √ theo tiêu chuẩn Eisenstein, nên X n − p là đa thức tối tiểu của n p, suy ra √ [Q( n p) : Q] = n. Định lý 1.14. Cho K là một mở rộng bậc hữu hạn của trường F . Khi đó K là một mở rộng đại số của F . Định lý 1.15. Giả sử K là một mở rộng bậc hữu hạn của trường F . Khi đó, K là một mở rộng hữu hạn sinh của F . Định lý 1.16. Giả sử K = F (u1 , u2 , ..., un ) là một mở rộng hữu hạn sinh của trường F và các phần tử ui (i = 1, ..., n) đều là đại số trên F . Khi đó K là một mở rộng đại số bậc hữu hạn của F . 7 Ví dụ 1.17. Vì các phần tử √ √ √ √ 2, 3 là đại số trên Q nên Q( 2, 3) là một mở rộng đại số có bậc hữu hạn của Q. Ta có thể tính bậc mở √ √ √ rộng của Q( 2, 3) trên Q như sau: xét tháp các trường Q ⊂ Q( 2) ⊂ √ √ √ √ Q( 2)( 3) = Q( 2, 3). Khi đó √ √ √ √ √ √ [Q( 2, 3) : Q] = [Q( 2, 3) : Q( 2)][Q( 2) : Q]. √ √ √ Ta biết rằng [Q( 2) : Q] = 2 và {1, 2} là một cơ sở của Q( 2) trên Q. √ √ √ Để xác định bậc của Q( 2, 3) trên Q( 2) ta cần tìm đa thức tối tiểu √ √ √ √ của 3 trên Q( 2). Rõ ràng 3 là một nghiệm của x2 − 3 ∈ Q( 2)[x]. √ Đa thức x2 − 3 không có nghiệm trong Q( 2) và do đó nó bất khả quy √ √ √ √ √ √ trên Q( 2). Khi đó, [Q( 2, 3) : Q( 2)] = 2. Vậy [Q( 2, 3) : Q] = 4 √ √ √ √ √ √ và {1, 3} là một cơ sở của Q( 2, 3) trên Q. Do đó {1, 2, 3, 6} là √ √ một cơ sở của Q( 2, 3) trên Q. Hệ quả 1.18. Cho một tháp các trường F ⊂ E ⊂ K. Khi đó nếu K là một mở rộng đại số của E và E là một mở rộng đại số của F thì K là một mở rộng đại số của F . Hệ quả 1.19. Cho K là một mở rộng của trường F . Giả sử E là tập tất cả các phần tử của K đại số trên F . Khi đó E là một trường con của K và E là một mở rộng đại số của F . 1.2 Mở rộng chuẩn tắc và mở rộng tách được Định nghĩa 1.20. Giả sử K là một mở rộng của trường F và f (x) ∈ F [x] là một đa thức bậc n ≥ 1. Đa thức f (x) được gọi là chẻ ra trên K nếu nó phân tích được thành tích những nhân tử tuyến tính (đa thức bậc nhất) 8 trong K[x], nghĩa là f (x) = a(x − u1 )(x − u2 )...(x − un ), trong đó a ∈ F và các phần tử u1 , u2 , ..., un ∈ K không nhất thiết khác nhau. Định nghĩa 1.21. Cho K là một mở rộng của trường F và f (x) ∈ F [x]. Trường K được gọi là một trường phân rã (hoặc trường nghiệm) của đa thức f (x) trên F nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Đa thức f (x) chẻ ra trên K, nghĩa là f (x) = a(x − u1 )(x − u2 )...(x − un ). (ii) K = F (u1 , u2 , ..., un ). Định lý 1.22. Cho F và E là hai trường và σ : F −→ E là một đẳng cấu. Giả sử K là một trường phân rã của đa thức f (x) trên F và L là một trường phân rã của đa thức σf (x) trên E. Khi đó σ được mở rộng thành một đẳng cấu δ : K −→ L. Định nghĩa 1.23. Cho K là một mở rộng đại số của trường F . Khi đó ta nói rằng K là một mở rộng chuẩn tắc của F (hoặc chuẩn tắc trên F ) nếu mọi đa thức bất khả quy trong F [x] có một nghiệm trong K thì nó chẻ ra trên K. Nhận xét: Trường K là một mở rộng chuẩn tắc của trường F nếu và chỉ nếu đa thức tối tiểu của mỗi phần tử của K chẻ ra trên K. Định lý 1.24. Giả sử K là một mở rộng của trường F . Khi đó K là một trường phân rã của một đa thức f (x) trên F nếu và chỉ nếu K là một mở rộng bậc hữu hạn và chuẩn tắc của F . 9 Ví dụ 1.25. √ √ (i) Trường Q( 2, 3) là một mở rộng chuẩn tắc của trường các số hữu tỉ Q vì nó là trường phân rã của đa thức (x2 − 2)(x2 − 3) trên Q. (ii) Trường các thương Z2 (t) của Z2 [t] là một mở rộng của Z2 (t2 ). Đa thức x2 − t2 ∈ Z2 (t2 ) chẻ ra trên Z2 (t) vì x2 − t2 = (x − t)2 . Vậy Z2 (t) là một trường phân rã của x2 − t2 trên Z2 (t2 ) và do đó Z2 (t) là một mở rộng bậc hữu hạn và chuẩn tắc của Z2 (t2 ). Và nó là mở rộng chuẩn tắc nhưng không tách được. Hệ quả 1.26. Cho một tháp các trường F ⊂ E ⊂ K. Khi đó nếu K là một mở rộng bậc hữu hạn và chuẩn tắc của F thì K là một mở rộng chuẩn tắc của E. Cho F là một trường và f (x) ∈ F [x]. Một nghiệm u ∈ F của f (x) được gọi là có bội m nếu (x − u)m là ước của f (x) nhưng (x − u)m+1 không là ước của f (x). Nếu m > 1 thì ta nói rằng u là nghiệm bội của f (x). Đặc biệt m = 2 thì u được gọi là nghiệm kép, m = 1 thì u được gọi là nghiệm đơn. Định nghĩa 1.27. Giả sử F là một trường. Một đa thức f (x) ∈ F [x] bậc n được gọi là tách được nếu f (x) có n nghiệm phân biệt trong một trường phân rã của nó. Ví dụ 1.28. (i) Đa thức x2 + 1 ∈ Q[x] là tách được. (ii) Đa thức x4 − x3 − x + 1 ∈ Q[x] không tách được. Hệ quả 1.29. Cho F là một trường. Đa thức f (x) ∈ F [x] là tách được nếu và chỉ nếu f (x) và f 0 (x) nguyên tố cùng nhau. 10 Mệnh đề 1.30. Giả sử p(x) là một đa thức bất khả quy trên trường F . Khi đó (i) Nếu F có đặc số 0 thì p(x) tách được. (ii) Nếu F có đặc số nguyên tố p thì p(x) không tách được nếu và chỉ nếu nó có dạng: p(x) = a0 + a1 xp + a2 x2p + ... + an xnp . Định nghĩa 1.31. Giả sử K là một mở rộng đại số của trường F . Một phần tử u ∈ K được gọi là tách được trên F nếu đa thức tối tiểu của u trên F là đa thức tách được. Trường K được gọi là một mở rộng tách được của F nếu mọi phần tử của K đều tách được trên F . Ví dụ 1.32. (i) Mọi mở rộng đại số của một trường có đặc số 0 đều là tách được vì mọi đa thức bất khả quy đều tách được. √ √ (ii) Trường Q( 3 2) là một mở rộng đại số của Q. Vì char(Q) = 0 nên Q( 3 2) là một mở rộng tách được của Q. Định lý 1.33. Cho một tháp các trường F ⊂ E ⊂ K. Khi đó nếu K là một mở rộng tách được của F thì K là một mở rộng tách được của E và E là một mở rộng tách được của F . Định nghĩa 1.34. Trường K được gọi là một trường đóng đại số nếu mọi đa thức bậc dương trong K[x] đều chẻ ra trên K. Mệnh đề 1.35. Cho K là một trường. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) K là một trường đóng đại số. (ii) Mọi đa thức bất khả quy trong K[x] đều là đa thức bậc nhất. 11 (iii) Không có mở rộng bậc hữu hạn nào của K ngoài K. (iv) Không có mở rộng đại số nào của K ngoài K. (v) Mọi đa thức bậc dương trong K[x] đều có một nghiệm trong K. Định lý 1.36. Cho F là một trường. Khi đó tồn tại một trường K là mở rộng đại số của F sao cho K là một trường đóng đại số. Định nghĩa 1.37. Trường K được gọi là một bao đóng đại số của trường F nếu K là một mở rộng đại số của F và đồng thời K là một trường đóng đại số. Bao đóng đại số của trường F luôn tồn tại bởi Định lý 1.36. Mệnh đề 1.38. Giả sử K là một mở rộng đại số của trường F , E là một trường đóng đại số và σ : F → E là một đơn cấu. Khi đó tồn tại một đơn cấu τ : K → E là một mở rộng của σ. Sau đây ta sẽ mở rộng khái niệm trường phân rã cho một họ đa thức. Định nghĩa 1.39. Cho I là một tập chỉ số và {fi }i∈I là một họ các đa thức trong F [x], có bậc ≥ 1. Trường K được gọi là trường phân rã của họ đa thức {fi }i∈I nếu mọi fi đều phân tích được thành tích các nhân tử tuyến tính trong F [x] và K được sinh bởi tất cả các nghiệm của các đa thức {fi }i∈I . Mệnh đề 1.40. Cho E là một mở rộng đại số của F , σ : E −→ E là một phép nhúng của E vào chính nó trên F . Khi đó, σ là một tự đẳng cấu. Chứng minh. Do σ là một đơn ánh, ta cần chứng minh σ là một toàn ánh. Lấy α là một phần tử của E, p(x) là đa thức tối tiểu của α trên F và E 0 12 là trường con của E được sinh bởi tất cả các nghiệm của p(x) nằm trong E. Khi đó, E 0 là hữu hạn sinh nên E 0 là mở rộng bậc hữu hạn của F . Ta có σ là một F - đồng cấu của các không gian vectơ. Vì σ là một đơn ánh nên ảnh σ(E 0 ) là một không gian con của E 0 có số chiều là [E 0 : F ]. Như vậy, σ(E 0 ) = E 0 . Vì α ∈ E 0 nên α là ảnh của σ. Định lý 1.41. Cho K/F là một mở rộng đại số, F̄ là bao đóng đại số của F (như vậy K ⊂ F̄ theo Mệnh đề 1.38). Khi đó các khẳng định sau tương đương: (i) K/F là một mở rộng chuẩn tắc; (ii) K là trường phân rã của một họ các đa thức trong F [x]; (iii) Mọi phép nhúng σ : K ,→ F̄ mà giữ bất động F đều cảm sinh một tự đẳng cấu của K. Chứng minh. (iii) ⇒ (ii): Giả sử ta có (iii), lấy α ∈ K và pα (x) là đa thức tối tiểu của α trên F . Cho β là một nghiệm của pα trong F̄ , khi đó tồn tại một đẳng cấu của F (α) và F (β) trên F . Mở rộng của đẳng cấu này đến một phép nhúng của K trong F̄ và mở rộng này là một tự đẳng cấu của σ của K, do đó σ(α) = β nằm trong K. Như vậy, mọi nghiệm của pα nằm trong K và pα phân tích được thành tích các nhân tử tuyến tính trong K[x]. Vì vậy, K là trường phân rã của họ {pα }α∈K . Vậy (ii) thỏa mãn. (ii) ⇒ (iii): Ngược lại, giả sử có (ii), cho {fi }i∈I là họ các đa thức trên F , K là trường phân rã của các đa thức đó. Nếu α là nghiệm của fi trên K, với i nào đó thuộc I, thì bất kì phép nhúng σ của K vào F̄ trên F đều có σ(α) là một nghiệm của fi . Vì K được sinh bởi các nghiệm của tất cả các đa thức fi , nên các ánh xạ σ đi từ K vào chính nó. Theo Định lý 1.40, ta 13 có σ là một tự đẳng cấu. Từ (ii), (iii) dễ dàng có (i). Ngược lại, giả sử có (i), cho σ là một phép nhúng của K trong F̄ trên F . Cho α ∈ K và p(x) là đa thức tối tiểu của α trên F . Nếu σ là một phép nhúng của K vào F̄ trên F thì các ánh xạ σ đi từ α đến một nghiệm β của p(x), khi đó β nằm trong K. Như vậy, σ(α) nằm trong K và các ánh xạ σ đi từ K vào chính nó. Theo Định lý 1.40 thì σ là một tự đẳng cấu. Mệnh đề 1.42. Cho σ : E −→ E 0 là một đẳng cấu giữa các trường, K là một mở rộng của E, K 0 là một mở rộng của E 0 . Giả sử K là trường phân rã của {fi } trên E và τ : K −→ K 0 là một đồng cấu với τ |E = σ. Nếu fi0 = σ(fi ) thì τ (K) là một trường phân rã của {fi0 } trên E 0 . Chứng minh. Vì K là trường phân rã của một tập {fi } các đa thức trên E, cho fi có a, α1 , ..., αn ∈ K với fi (x) = aΠj (x − αj ). Khi đó, τ (fi (x)) = τ (a)Πj (x − τ (αj )). Như vậy, mỗi fi0 = σ(fi ) = τ (fi ) phân rã trên τ (K). Vì K được sinh bởi các nghiệm của fi trên E, trường τ (K) được sinh bởi ảnh của các nghiệm của fi trên E 0 nên τ (K) được sinh bởi các nghiệm của fi0 trên E 0 . Suy ra, τ (K) là trường phân rã của {fi0 } trên E 0 . Mở rộng Định lý 1.22, ta có kết quả sau. Định lý 1.43 (Định lý mở rộng đẳng cấu). Cho σ : E −→ E 0 là một đẳng cấu giữa các trường, S = {fi (x)}i∈I là một họ các đa thức trong E[x], S 0 = {σ(fi (x))} ⊆ E 0 [x] là ảnh của S qua σ. Giả sử K là trường phân rã của S trên E, K 0 là trường phân rã của S 0 trên E 0 . Khi đó, σ được mở rộng thành một đẳng cấu τ : K −→ K 0 sao cho τ |E = σ. Hơn nữa, nếu α ∈ K và β là một nghiệm của σ(mα,E(x) ) thì τ có thể chọn sao cho τ (α) = β. 14 Chứng minh. Gọi S là tập tất cả các cặp (L, ϕ) sao cho L là một trường con của K và ϕ : L −→ K 0 là một mở rộng của đồng cấu σ. Tập S là không rỗng vì (E, σ) ∈ S. Hơn nữa, S là một tập sắp thứ tự được xác định bởi (L, ϕ) ≤ (L0 , ϕ0 ) nếu L ⊆ L0 và ϕ0 |L = ϕ. Cho {(Li , ϕi )} là một chuỗi S trong S. Nếu L = i Li và ϕ : L −→ K 0 xác định bởi ϕ(a) = ϕi (a) nếu a ∈ Li , thì dễ thấy L là một trường mở rộng của tất cả các Li và ϕ là một mở rộng của đồng cấu σ. Như vậy, (L, ϕ) là giới hạn trên của S trong chuỗi này. Theo bổ đề Zorn thì có một phần tử lớn nhất (M, τ ) trong S. Ta cần chứng minh M = K và τ (M ) = K 0 . Nếu M 6= K, thì tồn tại f ∈ S không phân rã trên M . Giả sử α ∈ K là một nghiệm của f thì nó không nằm trong M , và giả sử p(x) = min(E, a). Giả sử p0 = σ(p) ∈ E[x] và α0 ∈ K 0 là một nghiệm của p0 . Như vậy, tồn tại α0 từ p0 chia f 0 và f 0 phân rã trên K 0 . Khi đó, ta có ρ : M (α) −→ τ (M )(α0 ) là các mở rộng của τ . Suy ra, (M (α), ρ) ∈ S lớn hơn (M, τ ), mâu thuẫn với tính lớn nhất của (M, τ ). Vậy M = K. Từ Định lý 1.42, ta có τ (K) ⊂ K 0 là trường phân rã của S 0 trên E 0 . 1.3 Mở rộng Galois Định nghĩa 1.44. Giả sử K là một mở rộng của trường F . Khi đó tập tất cả các tự đẳng cấu của K giữ nguyên các phần tử của F lập thành một nhóm với phép nhân ánh xạ. Nhóm này được gọi là nhóm Galois của K trên F và kí hiệu là Gal(K/F ). Trong trường hợp K là một trường phân rã của đa thức f (x) ∈ F [x] thì nhóm Gal(K/F ) được gọi là nhóm Galois của f (x) hay của phương trình f (x) = 0. 15 Ví dụ 1.45. (i) Nhóm Galois của trường số phức C trên trường số thực R gồm hai phần tử. Đó là ánh xạ đồng nhất id và tự đẳng cấu σ trên C biến một số phức thành số phức liên hợp của nó. √ (ii) Nhóm Galois của trường Q( 2) trên trường số hữu tỉ Q cũng gồm hai √ phần tử. Đó là ánh xạ đồng nhất id và tự đẳng cấu σ trên Q( 2) sao cho √ √ σ(a + b 2) = a − b 2 với a, b ∈ Q. Định lý 1.46. Giả sử K là một trường phân rã của đa thức f (x) trên trường F và u, v ∈ K. Khi đó tồn tại một phần tử σ ∈ Gal(K, F ) sao cho σ(u) = v nếu và chỉ nếu u và v có cùng một đa thức tối tiểu trên F . Định lý 1.47. Cho K = F (u1 , u2 , ..., un ) là một mở rộng đại số của trường F . Khi đó, nếu σ, τ ∈ Gal(K, F ) và σ(ui ) = τ (ui ) với mọi i = 1, 2, .., n thì σ = τ . Hay nói cách khác, một tự đẳng cấu σ ∈ Gal(K, F ) hoàn toàn được xác định bởi tác động của nó vào các phần tử u1 , u2 , ..., un . Ví dụ 1.48. (i) Xét mở rộng trường C/R. Ta có C = R(i), i là một nghiệm của đa thức x2 + 1 nên theo Định lý 1.46 với mỗi σ ∈ Gal(C/R) ta có σ(i) cũng là một nghiệm của x2 + 1. Do đó σ(i) = ±i. Vì vậy theo Định lý 1.47, Gal(C/R) = {id, τ } với τ (a + bi) = a − bi. √ √ (ii) Xác định nhóm Galois của Q( 2, 3) trên Q. √ √ √ Với mỗi σ ∈ Gal(Q( 2, 3), Q). Vì 2 là một nghiệm của x2 − 2 nên √ √ √ σ( 2) cũng là một nghiệm của x2 − 2. Do đó σ( 2) = ± 2. Tương tự, √ √ σ( 3) = ± 3. Theo Định lý 1.46, σ hoàn toàn được xác định bởi tác 16 √ √ động của nó và 2 và 3. Do đó có nhiều nhất bốn tự đẳng cấu trong √ √ √ √ Gal(Q( 2, 3), Q) tương ứng với bốn tác động trên 2 và 3: √ √ √  √  2 7→ 2 2 7→ − 2 id = √ √  ; τ = √ √ ; 3 7→ 3 3 7→ 3 √ √ √  √  2 7→ 2 2 7→ − 2   α = √ ; β = √ √ √  3 7→ − 3 3 7→ − 3 √ √ Ta sẽ chứng minh Gal(Q( 2, 3), Q) là một nhóm cấp 4 bằng cách thiết lập các tự đẳng cấu τ, α, β tương ứng với các tác động đó. Ta thiết lập τ √ √ như sau: đa thức x2 − 2 là đa thức tối tiểu của 2 và − 2 trên Q. Khi √ √ √ √ đó tồn tại một đẳng cấu δ : Q( 2) ∼ = Q(− 2) sao cho δ( 2) = − 2 và √ δ(c) = c với mọi c ∈ Q. Chú ý rằng x2 − 3 là đa thức tối tiểu của 3 trên √ √ √ Q( 2). Khi đó, δ được mở rộng thành một đẳng cấu τ : Q( 2, 3) ∼ = √ √ √ √ √ √ √ √ √ Q(− 2)( 3) = Q( 2, 3) sao cho τ ( 3) = 3, τ ( 2) = δ( 2) = − 2. √ √ √ √ √ √ Do đó τ ∈ Gal(Q( 2, 3), Q) thỏa mãn τ ( 2) = − 2 và τ ( 3) = 3. Tương tự ta cũng thiết lập được các tự đẳng cấu α và β tương ứng với những √ √ tác động như trên. Hơn nữa, các phần tử τ, α, β của Gal(Q( 2, 3), Q) có cấp 2. Chẳng hạn, √ √ √ √ √ √ √ τ ( 2) = τ (τ ( 2)) = τ (− 2) = −τ ( 2) = −(− 2) = 2 = id( 2). 2 √ √ √ √ √ τ 2 ( 3) = τ (τ ( 3)) = τ ( 3) = 3 = id( 3). √ √ √ Theo Định lý 1.47, τ 2 = id. Dễ dàng kiểm tra được (τ α)( 2) = β( 2), (τ α)( 3) = √ √ √ β( 3) và do đó τ α = β. Ta cũng có Gal(Q( 2, 3)/Q) ∼ = Z2 × Z2 . Hệ quả 1.49. Giả sử K là một trường phân rã của một đa thức tách được f (x) bậc n trên trường F . Khi đó nhóm Gal(K/F ) đẳng cấu với một nhóm con của nhóm các phép thế Sn . 17