Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Cao đẳng - Đại học Luận văn tán xạ khi các chùm phân cực trong mô hình randall – sundrum...

Tài liệu Luận văn tán xạ khi các chùm phân cực trong mô hình randall – sundrum

.PDF
78
573
149

Mô tả:

LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã đã nhận được sự hỗ trợ từ giáo viên hướng dẫn, thầy cô, gia đình và bạn bè. Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Tiến sĩ Đào Thị Lệ Thủy -người đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong học tập cũng như trong cuộc sống. Nhờ sự động viên, khích lệ, sự hướng dẫn nhiệt tình của một giảng viên mẫu mực mà từ đó tôi có thể hoàn thành luận văn của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng chấm luận văn và quý thầy, cô giáo trong khoa Vật lí, Tổ Vật lí lí thuyết – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội I đã truyền đạt những kiến thức quý báu cho tôi trong quá trình học tập và đã cho tôi những đóng góp quý báu để hoàn thành luận văn đúng thời hạn. Tôi xin gửi lời cảm ơn các bạn học viên lớp vật lí lí thuyết K25, cùng những người thân đã tạo mọi điều kiện, luôn động viên, giúp đỡ tôi trong học tập và hoàn thành luận văn. Lời cuối cùng, kính chúc thầy cô luôn dồi dào sức khỏe, hạnh phúc và thành công. Chúc các bạn học viên hoàn thành tốt luận văn của mình. Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2017 HỌC VIÊN Nguyễn Thị Hậu 1 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU.........................................................................................................4 CHƯƠNG I: MÔ HÌNH RANDALL – SUNDRUM ................................. 9 1.1. Những cơ sở của thuyết Kaluza-Klein .....................................10 1.2. Thiết lập.......................................................................................12 1.3. Metric biến dạng ........................................................................14 1.4. Hệ thống cấp bậc theo hàm số mũ.............................................19 1.5. Chế độ Graviton..........................................................................22 1.6. Giới hạn thuyết Newton..............................................................31 1.7. Dạng tác dụng và metric của mô hình RSI và RSII.................34 1.8. Kết luận........................................................................................35 CHƯƠNG II: TIẾT DIỆN TÁN XẠ CỦA QUÁ TRÌNH l l   h KHI CÁC CHÙM l  , l  PHÂN CỰC...................................................................36 2.1. Biên độ tán xạ của quá trình l l   h theo kênh s…............36 2.1.1. Trường hợp các chùm l  , l  phân cực theo kênh s……….....36 2.1.2. Trường hợp các chùm hạt l  , l  phân cực trái ngược nhau theo kênh s ...............................................................................37 2.1.3. Phần trộn giữa các trường hợp phân cực của các chùm l  , l  theo kênh s ................................................................39 2.2. Biên độ tán xạ của quá trình l l   h theo kênh u ..............40 2.2.1. Trường hợp các chùm l  , l  phân cực theo kênh u ................40 2.2.2. Trường hợp các chùm hạt l  , l  phân cực trái ngược nhau theo kênh u ...............................................................................42 2 2.2.3. Phần trộn giữa các trường hợp phân cực của các chùm l  , l  theo kênh u ................................................................43 2.3. Biên độ tán xạ của quá trình l l   h theo kênh t ................45 2.3.1. Trường hợp các chùm l  , l  phân cực theo kênh t .................45 2.3.2. Trường hợp các chùm hạt l  , l  phân cực trái ngược nhau theo kênh t ................................................................................46 2.3.3. Phần trộn giữa các trường hợp phân cực của các chùm l  , l  theo kênh t .................................................................48 2.4. Phần trộn giữa các kênh s, u, t khi các chùm l  , l  phân cực 49 2.4.1. Phần trộn giữa kênh s, u khi các chùm l  , l  phân cực ..........49 2.4.2. Phần trộn giữa kênh s, t khi các chùm l  , l  phân cực ..........52 2.4.3. Phần trộn giữa kênh u, t khi các chùm l  , l  phân cực…...….54 2.5. Tiết diện tán xạ của quá trình l l   h khi các chùm l  , l  phân cực .....................................................................58 2.6. Kết luận ....................................................................................61 CHƯƠNG III: TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN ............................................63 3.1. Tiết diện tán xạ vi phân ..........................................................63 3.2. Tiết diện tán xạ toàn phần ......................................................67 3.3. Kết luận ....................................................................................71 KẾT LUẬN...................................................................................................72 TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................73 PHỤ LỤC......................................................................................................75 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Mô hình chuẩn của vật lý hạt ra đời từ những năm đầu của thập niên 1970 đã mang lại cả một kho tàng tri thức khoa học đồ sộ, tiên đoán nhiều hiện tượng vật lý và nhiều hạt mới lạ cũng như những tính chất độc đáo của chúng như các lepton, các quark, các hạt boson truyền tương tác... và đặc biệt là sự có mặt của có hạt Higgs boson. Nhiều thực nghiệm đã khẳng định tính đúng đắn của mô hình ở thang năng lượng điện yếu cỡ 200 GeV khi mà các kết quả thực nghiệm lần lượt tìm ra các hạt mà Mô hình chuẩn đã dự đoán. Đặc biệt đến năm 2012, “viên gạch” nền tảng của mô hình chuẩn – hạt Higgs boson đã được tìm thấy tại LHC góp phần hoàn thiện bức tranh về hạt cơ bản của Mô hình chuẩn. Mô hình chuẩn cũng rất thành công trong việc thống nhất ba trong bốn lực cơ bản của tự nhiên đó là tương tác điện từ, tương tác mạnh và tương tác yếu trên cơ sở nhóm gauge SU(3) x SU(2) x U(1) với cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát cùng với sự có mặt của hạt Higgs tạo ra khối lượng cho các hạt cấu thành nên thế giới vật chất. Tuy nhiên Mô hình chuẩn vẫn còn tồn tại một số vấn đề cần giải quyết. Đó là tại sao trong Mô hình chuẩn chỉ có ba thế hệ quark-lepton, giữa các thế hệ có mối quan hệ với nhau như thế nào; Mô hình chuẩn cho rằng neutrino không có khối lượng nhưng số liệu neutrino khí quyển thu được năm 1998 cho thấy neutrino có dao động chứng tỏ nó có khối lượng. Điều này còn được khẳng định hơn khi hai nhà khoa học Takaai Kajita và Arthur B.McDonald công bố công trình nghiên cứu của mình và nhận giải thưởng Nobel Vật lý vào năm 2015. Một vấn đề nữa mà Mô hình chuẩn chưa giải thích được là vì sao quark t tìm thấy lại có khối lượng lớn hơn nhiều do với dự đoán (dự đoán quark t có khối lượng khoảng 10 GeV nhưng thực tế tìm thấy khối lượng của 4 nó lên đến 175 GeV); Mô hình chuẩn cũng không tiên đoán được các hiện tượng vật lý ở thang năng lượng cao cỡ TeV mà chỉ chính xác ở thang năng lượng thấp cỡ 200 GeV; Mô hình chuẩn không giải thích một cách thỏa đáng các giá trị của nhiều tham số, trong Mô hình chuẩn có 19 tham số tự do không thể tính toán một cách độc lập; Mô hình chuẩn không mô tả trường hấp dẫn. Đặc biệt Mô hình chuẩn không thể trả lời về hơn 95% lượng vật chất tối và năng lượng tối. Từ đó, các nhà vật lý nhận thấy có rất nhiều vấn đề đang thôi thúc cần phải nghiên cứu tiếp. Để có thể giải thích được những vấn đề còn tồn tại của Mô hình chuẩn, các nhà vật lý đã đưa ra nhiều hướng mở rộng Mô hình chuẩn. Có hướng xét thêm các trường mới và tương tác mới như Compositeness, Fermion-Antifermion Condensations, reons,...[3] nhưng hướng nghiên cứu này gặp khó khăn vì chưa có các liên hệ tốt giữa cơ chế làm việc của mô hình và các kết quả hiện tại. Hướng thứ hai là vẫn xét các trường như ở Mô hình chuẩn nhưng thêm vào các trường tương tác mới. Hay hướng nghiên cứu mở rộng không-thời gian bốn chiều thành không-thời gian năm chiều. Thực ra ý tưởng mở rộng không-thời gian bốn chiều thành khôngthời gian năm chiều đã được Kaluza đưa ra vào năm 1920, khi đó chúng ta mới biết đến lực hấp dẫn và lực điện từ. Sau khi tương tác mạnh và tương tác yếu được phát hiện thì hầu hết các nhà vật lý đều tập trung xây dựng lý thuyết để mô tả các lực này và dần xây dựng thành Mô hình chuẩn. Khi Mô hình chuẩn gặp khó khăn trong việc giải quyết những vấn đề tồn đọng của nó thì các nhà vật lý lại quay lại với thuyết Kaluza-Klein và cho rằng phải vì có nhiều lực hơn nên cần phải có nhiều chiều hơn. Mở rộng lý thuyết KaluzaKlein năm chiều trong không gian có số chiều cao hơn, trong đó có nhiều chiều bị cuộn lại, chúng ta sẽ thống nhất được lý thuyết hấp dẫn với lý thuyết 5 gauge không Abel, tức là có thể mô tả một cách thống nhất bốn loại tương tác cơ bản của tự nhiên. Lý thuyết này đã gặp một số khó khăn về hiện tượng luận, tuy nhiên ý tưởng của nó là cơ sở cho các lý thuyết hiện đại sau này như thống nhất Higgs-Gauge (GHU), lý thuyết mở rộng với không thời gian lớn, lý thuyết dây… Cũng xuất phát từ ý tưởng trên, mô hình Randall-Sundrum do Lisa Randall và Sundrum đề xuất vào năm 1999 đã tìm cách để giải quyết vấn đề phân bậc của Mô hình chuẩn, giải thích tại sao lại chỉ có ba thế hệ fermion, vấn đề khối lượng neutrino…. Giải pháp của họ là trong điều kiện đơn giản mở rộng thành năm chiều (bốn chiều không gian, một chiều thời gian). Vũ trụ có chứa bốn chiều (ba chiều không gian, một chiều thời gian) brane(s). Hai là brane “lực hấp dẫn brane”, nơi tồn tại graviton và “brane yếu đuối” cho tất cả các hạt cơ bản khác. Các brane yếu chính là thế giới “của chúng ta”. Hai brane được tách ra từ chiều thứ năm và mang năng lượng brane đối diện, trong đó có các ảnh hưởng của sự cong của chiều thứ năm. Gravity được mô tả trên brane hấp dẫn, nhưng thực tế nó lại được mô tả trong vùng brane yếu. Mô hình Randall-Sundrum đưa vào khái niệm radion vô hướng và nghiên cứu sự pha trộn cũng như không pha trộn giữa radion và hạt higgs. Mô hình này cũng cho thấy quá trình sinh radion từ gluon-gluon được nghiên cứu chủ yếu tại LHC, và ảnh hưởng của radion lên quá trình sinh cặp boson Z. Ảnh hưởng của trộn giữa higgs-radion tại LHC cũng là đã được cân nhắc trong mô hình. Như vậy việc tìm được Higgs và radion sẽ là một trong những bằng chứng khẳng định tính đúng đắn của mô hình. Vì lí do đó chúng tôi chọn đề tài: “Tán xạ l l   h khi các chùm l  , l  phân cực trong mô hình Randall-Sundrum” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình. 2. Mục đích nghiên cứu 6 Nghiên cứu sự sinh cặp Higgs và radion từ quá trình va chạm l  l  khi các chùm l  , l  phân cực trong mô hình Randall-Sundrum. Trên cơ sở đó chỉ ra các hướng có lợi thu Higgs và radion từ thực nghiệm để khẳng định sự tồn tại của nó cũng như tính đúng đắn của mô hình mở rộng. 3. Khách thể nghiên cứu Nghiên cứu sự sinh cặp radion và Higgs từ va chạm l  l  khi các chùm hạt tới l  l  phân cực trong mô hình Randall-Sundrum. 4. Giả thuyết khoa học Nếu nghiên cứu quá trình tán xạ l l   h khi các chùm l  , l  phân cực thành công thì thông qua luận văn này chúng tôi sẽ chỉ ra được hướng có lợi để thu được tín hiệu hạt radion và hạt Higgs. Đây là bằng chứng quan trọng để khẳng định sự tồn tại của hạt radion và hạt Higgs, và nó cũng thể hiện tính đúng đắn của mô hình Randall-Sundrum. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu Chúng tôi nghiên cứu quá trình tán xạ l l   h khi các chùm l  , l  phân cực: + Giản đồ Feynman của quá trình. + Tính bình phương biên độ tán xạ theo các kênh s, u, t và phần trộn giữa các trường hợp phân cực của các chùm l  , l  trong từng kênh và giữa các kênh s, u, t. + Tính tiết diện tán xạ vi phân và tiết diện tán xạ toàn phần của quá trình l l   h khi các chùm l  , l  phân cực. 6. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu 7 Luận văn của tôi nghiên cứu trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử, chúng tôi tính toán giải tích và đánh giá số tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ l l   h khi các chùm l  , l  phân cực. 7. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp trường lượng tử với sự hỗ trợ của quy tắc Feynman để tính biên độ tán xạ và tiết diện tán xạ. - Sử dụng phần mềm Mathematica để đánh giá số và vẽ đồ thị. 8. Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn gồm 3 chương: Chương I: Mô hình Randall - Sundrum. Chương II: Tiết diện tán xạ của quá trình l l   h khi các chùm l  , l  phân cực. Chương III: Tính số và thảo luận . 9. Tóm tắt cô đọng các luận điểm cở bản và đóng góp mới của tác giả - Tính được bình phương biên độ tán xạ của quá trình l l   h theo các kênh s, u, t khi các chùm l  , l  phân cực và phần trộn giữa các trường hợp phân cực của các chùm l  , l  theo từng kênh và giữa các kênh này. Từ đó tính biên độ tán xạ vi phân và biên độ tán xạ toàn phần của quá trình này khi các chùm l  , l  phân cực. - Luận văn khẳng định sự tồn tại của radion và Higgs trong mô hình mở rộng Randall-Sundrum. - Đưa ra các hướng có lợi thu được Higgs và radion từ thực nghiệm. 8 CHƯƠNG I MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM Mô hình Randall-Sundrum được đề xuất năm 1999 để giải quyết vấn đề phân bậc Higgs trong vật lý thực nghiệm. Nó được đưa ra bởi các nhà lí luận và các nhà hiện tượng học khi đi tìm các câu trả lời cho những vấn đề còn tồn tại của Mô hình chuẩn. Đây cũng là một cách để tìm hiểu ý nghĩa vật lý của không gian thêm chiều. Mô hình Randall-Sundrum giải thích được làm thế nào một hệ thống phân bậc theo cấp số nhân giữa quy mô lực hấp dẫn và quy mô lực yếu có thể được tạo ra một cách tự nhiên và làm thế nào các lực hấp dẫn bốn chiều được thể hiện từ mô hình này trong giới hạn Newton [11]. Các mô hình sử dụng chiều ngoài phụ gọi là các mô hình Braneworld, hướng tiếp cận này cho thấy vũ trụ tự giãn nở không như lý thuyết về hằng số vũ trụ. Hầu hết các mô hình Braneworld đều lấy ý tưởng chính từ lý thuyết nhiều chiều của Kaluza-Klein và gọi không-thời gian 3 chiều của chúng ta là Brane và không-thời gian nhiều chiều hơn là Bulk. Các mô hình Braneworld được chia ra theo các tính chất của chiều ngoài phụ (extra dimension) là: tính compact, tính flat, hay tính warp. Hiện tại các mô hình Braneworld chỉ có (4+1) hay (5+1) chiều, tức là chỉ có 1 hay 2 chiều ngoại phụ, do đó mô hình Braneworld tạm thời được chia thành: + Mô hình Braneworld phẳng (flat) và chiều ngoại phụ compact như mô hình ADD. + Mô hình Braneworld có hệ số warp và chiều ngoại phụ compact như mô hình RSI. + Mô hình Braneworld có hệ số warp và chiều ngoại phụ noncompact như mô hình DGP, RSII. Mô hình Braneworld Randall-Sundrum (RS) [6,8] khảo sát không thời gian 5 chiều được làm đầy bởi hằng số vũ trụ âm. Tùy vào đặc điểm của chiều 9 thứ 5 compact hay vô hạn mà mô hình này được chia thành hai loại: Mô hình RSI và mô hình RSII. Mô hình RSI [6] đưa ra cách giải quyết vấn đề về hệ thống thứ bậc. Trong mô hình này, chiều thứ 5 thêm vào compact trên Orbifold S1/Z2 bán kính R. Hai brane 3 chiều được đặt tại các điểm cố định Φ = 0 và Φ = π. Brane ở Φ = 0 là brane ẩn hay brane Planck năng lượng cao. Brane ở Φ = π là brane quan sát được hay brane TeV. Áp suất trên hai brane lần lượt là σ và –σ với σ là một hằng số dương. Mô hình RSII [8] khảo sát cách khôi phục lại hấp dẫn 4 chiều trên brane gắn trong không –thời gian bulk 5 chiều. Trong mô hình này, chiều thêm vào được mở rộng đến vô hạn, tức là Brane có áp suất âm trong RSI bị dịch chuyển ra vô hạn. Còn lại một brane, vì vậy mô hình RSII được gọi là mô hình RS một brane, trong khi mô hình RSI gọi là mô hình hai brane. 1.1. Những cơ sở của thuyết Kaluza-Klein Sự tồn tại của các chiều thêm của không gian lần đầu tiên được đưa ra ở giữa những năm của thập niên 1920 bởi Theodor Kaluza và Oskar Klein là một phương pháp để thống nhất các trường điện từ và hấp dẫn. Chúng ta hãy xem xét trường hợp của một lý thuyết năm chiều, với không gian thêm được xác định: x5 ~ x5  2 R Quá trình này được gọi là khối xoắn hình xuyến. Các không gian thu được là sản phẩm của các không gian Minkowski bốn chiều truyền thống với một vòng tròn, lưu ý M4 ⊗ S1, mà có thể được hình dung như một hình trụ 5D bán kính R. Trong một lý thuyết như thế, một trường vô hướng không có khối lượng  ( x  , x 5 ) có thể có một xung lượng đã được lượng tử hóa trong chiều: 10 n , R p5  với n  Z . Có thể khai triển trường theo khai triển Fouries:  (x , x )  5   n  ( x )e n i x5 R . n  Với sự phân tích này (    5 )  0 trở thành:  5 phương trình chuyển động năm chiều n2 n    (x )  2  (x ) . R  n  Cách tiếp cận này đã đưa ra một tháp vô hạn của các trường với khối lượng n2 m  2 . Khi năng lượng nhỏ ứng với R-1, chỉ có x5 độc lập không khối R 2 lượng ban đầu (chế độ zero) còn lại và vật lý chỉ tồn tại bốn chiều. Còn với trường hợp lớn hơn R-1, chúng ta sẽ sử dụng tháp của Kaluza-Klein (KK). Một thí nghiệm liên quan đến kích thước của sự compact hóa bán kính R được xác định bởi thực nghiệm là những trạng thái KK đã không được phát hiện bởi các máy gia tốc với va chạm lên tới năng lượng TeV. Do đó khối lượng của chúng phải được làm lớn, n/R > TeV, khi đó R phải thỏa mãn điều kiện: R≤10-21 cm. Tuy nhiên để tìm được một không gian nhỏ như vậy trong thực tế là điều rất khó. Năm 1998, Arkani-Hamed, Dimopoulos và Dvali (ADD) đã đề xuất một cách thức để thoát khỏi những hạn chế này [12]. Nó dựa trên ý tưởng được xây dựng vào năm 1983 bởi Rubakov và Shaposhnikov [14]. Chúng ta chỉ quan tâm đến lực hấp dẫn trong trường hợp có thêm chiều mà không quan tâm đến các trường trong mô hình chuẩn, các điều kiện về kích thước của chúng được xác định bằng những thí nghiệm kiểm tra của định luật Newton về lực hấp dẫn, và được hạ xuống khoảng 1mm: R≤ 1mm. Kích thước lớn hơn 11 như vậy cũng có thể hoàn toàn tồn tại nhưng đã vượt xa sự hiểu biết của chúng ta. Ngoài ra, mô hình này còn cung cấp giải pháp cho một trong những vấn đề còn tồn tại của mô hình chuẩn là vấn đề phân bậc. Vấn đề này phát sinh trong lí thuyết trường lượng tử vì hiệu chỉnh phân kì bậc hai đến khối lượng của trường Higgs, đòi hỏi sự hiệu chỉnh rất khó khăn, phức tạp để có được khối lượng như mong đợi cỡ vài trăm GeV. Vấn đề này có thể xây dựng tương đương trong điều kiện của sự khác biệt tự nhiên giữa cường độ của trọng lực và của ba lực còn lại. Ở mô hình ADD, trọng lực yếu được giải thích là do trọng lực bị phân tán trong thể tích lớn của không gian thêm. Phân bậc giữa thang Planck bốn chiều MPl ≃ 1019 GeV và thang của tương tác yếu Mw ≃ TeV được thể hiện rõ ràng. Tuy nhiên, giải pháp này chỉ biến vấn đề phân bậc thành vấn đề của sự khác biệt giữa kích thước lớn của chiều thêm R  1mm và giá trị tự nhiên của chúng R ≃ lPl ≃ 10-33cm. Mô hình đã được đề xuất ở [6] và [8] bởi Lisa Randall và Ranman Sundrum vào năm 1999 đã đưa ra một sự giải thích mới về vấn đề phân bậc. 1.2. Mô hình Mô hình Randall-Sundrum giả định sự tồn tại của một không gian mở rộng compact hóa trên một hình tròn mà phần trên và dưới được xác định như hình vẽ 1. Hình 1: S1/Z2 orbifold 12 Về mặt hình thức, điều này có nghĩa là chúng ta đang làm việc trong quỹ đạo đa chiều S1/Z2 trong đó S1 là một hình cầu (tức là hình tròn) và Z2 là một nhóm nhân {-1,1}. Xây dựng này đòi hỏi hai điểm cố định, một điểm ở gốc y = 0 và một cực khác của vòng tròn ở y = πR  L. Trên mỗi ranh giới này đứng ở không gian bốn chiều giống như là nơi chúng ta đang sống. Dựa vào sự tương đồng với màng bao bọc thể tích, các thế gới 3+1 chiều bao bọc 5D bulk được gọi là 3-branes. Hình ảnh sau đó là hai 3-branes ở một khoảng cách L một cách tương tự bao bọc một 5D bulk (hình 2). Nói đến hằng số vũ trụ liên tục 5D (mà không giống với các hằng số vũ trụ liên tục 4D không cần loại bỏ thêm hay thậm chí là rất nhỏ) tác dụng cơ bản là tổng của các tác dụng Hilbert-Einstein SH và một phần tác dụng vật chất SM: L S  S H  SM   d x  dy  g  M 3 R    4 (1.1) L trong đó: M là khối lượng cơ bản 5D, R là bán kính vô hướng Ricci và g là định thức của ma trận, sẽ được tìm hiểu trong phần tiếp theo. Hình 2: Thiết lập mô hình Randall-Sundrum. 13 1.3. Metric biến dạng Đầu tiên, chúng ta phải tìm được dạng metric cho một thiết lập như vậy. Vì chúng ta đang tìm kiếm giải pháp sao cho phương trình Einstein năm chiều có thể phù hợp với thế giới thực nên yêu cầu các metric phải bảo toàn biến đổi của nhóm Poincaré: vũ trụ bốn chiều bắt nguồn từ lí thuyết này phải phẳng và tĩnh. Điều này dẫn đến Ansatz sau: ds 2  e 2 A y   dx  dy  dy 2 (1.2) Ở đây   diag  1,1,1,1 là metric Minkowski bốn chiều. Hệ số e-2A(y) được gọi là yếu tố làm biến dạng, được viết theo như cấp số mũ cho tiện. Sự phụ thuộc vào không gian thêm với phép tách tọa độ y đưa đến metric này không được phân tích, có nghĩa là không giống như các metric xuất hiện trong các trường hợp thông thường của lí thuyết Kaluza-Klein, nó không thể được thể hiện như một tích của metric Minkowski bốn chiều và một nhánh của không gian thêm. Để xác định các chức năng A(y), chúng ta phải tính đến các phương trình Einstein năm chiều: GMN  RMN  1 g MN R   2TMN 2 Ở đây các chỉ số M và N nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, 5, tức là M = (µ, 5) với µ là chỉ số Lorentz thông thường. Hằng số Newton năm chiều được định nghĩa: 2  và tensor năng-xung lượng: 1 2M 3 TMN  2  S M MN g  g 14 (1.3) sao cho một số hạng trong tác dụng như  gV , với hằng số V phù hợp với tensor năng-xung lượng cân bằng với VgMN. Tensor Einstein cho metric được biểu diễn bởi tham số Ansatz: ds 2  e2 A( y ) dx  dx  dy 2  g MN ( y )dx M dx N , với g MN ( y)  e2 A(y)    M5  N5 . Metric nghịch đảo của nó là: g MN ( y )  e2 A(y)     5M  5N . Kí hiệu Christoffel: P  MN  1 PR g   M g NR   N g RM   R g MN  . 2 với gMN là một đặc tính chỉ có ở không gian thêm và điều này chỉ có trong thành phần g  của nó, chúng ta có:  L g MN   5 g MN   5 g  . Từ đó ta thấy chỉ có hai loại kí hiệu Christoffel là: và  5  1 1 5R g ( R g  )  g 55 (  5 g  )  A ' e2 A , 2 2  5  1 1 R g ( 5 g R )  e 2 A (2 A 'e 2 A   )   A '  . 2 2 Ta có Tensor Ricci có dạng: P P RMN   P MN   N  MP   PPQQMN   PNQQMP , 5 R  55   55  55    5 15   A" 2A'2  e 2 A   4 A '2 e 2 A   A '2 e 2 A   A '2 e 2 A    A" 4 A '2  g  , R 5  0 , và R55  55  5  5 . Ricci vô hướng: R  g MN RMN  g  R  g 55 R55 2  4  A '' 4 A '2   4 A" 4 A'2  8 A" 20 A ' . Tensor Einstein: 1 g  R   6 A '2  3 A" g  , 2 G  R  G55  R55  Như vậy ta có : 1 g55 R  6 A '2 . 2 G55  6 A '2   . 2M 3 Chú ý, nghiệm thực của A chỉ tồn tại nếu hàng số vũ trụ năm chiều Λ là số âm, điều đó có nghĩa là không gian giữa các brane là không gian anti-de Sitter, chú ý AdS5. Ở đây chỉ là một giả thuyết tương ứng với một hệ số sợi dao động bị biến dạng, nó không có liên quan gì đến mô hình RS. Từ phương trình đó chúng ta có thể coi A2 như là một hằng số gọi là k 2 : A '2    k2 3 12 M 16 (1.4) Lấy tích phân theo y cho chúng ta biểu thức của A: A( y )   ky Để giải được chúng ta phải quan tâm đến orbifold đối xứng tức là bất biến với sự biến đổi y   y , vì thế chúng ta chọn: A( y )  k y Cuối cùng, metric nền tảng trong mô hình Randall-Sundrum được biểu hiện bởi tham số: ds 2  e 2 k y   dx  dx  dy 2 , (1.5) với  L  y  L . Từ đó chúng ta thấy thành phần G của phương trình Einstein năm chiều có dạng: G   6 A '2  3 A" g  Với kết quả trên, chúng ta lấy đạo hàm bậc nhất của A được: A '  sgn  y  k Trong đó đại lượng sgn  y  có thể được viết như là sự kết hợp của hàm Heaviside : sgn  y     y      y  Vì vậy đạo hàm bậc hai của A là: A"  2k  y  17 Hàm Delta này xuất hiện từ chỗ uốn của A tại nút y  0 (hình 3). Cũng như thế, nút tại y  L cho thấy sự tăng lên khác của hàm delta và biểu thức chính xác của A là: A"  2k   ( y )   ( y  L )  . Hình 3: Hàm A(y), đạo hàm bậc nhất và bậc hai của nó. Sự phủ kín những kết quả trong biểu thức của tensor Einstein cho: G  6k 2 g   6k  ( y)   ( y  L)  g  . Số hạng đầu tiên là như nhau với thành phần  của tensor năng-xung lượng được tăng lên bởi hằng số Newton năm chiều:  2T   g   6k 2 g  . 3 2M Ta thấy số hạng thứ hai không phù hợp với những kiến thức mà chúng ta đã biết. Để lí giải cho trường hợp này, chúng ta phải tính đến mật độ năng lượng của chính các brane gọi là các trạng thái căng brane. Điều này được thực hiện bằng cách thêm vào tác dụng một giá trị đối với mỗi brane, phù hợp với trạng thái căng brane λ1 và λ2: S1    d 4 x  g1 1    d 4 xdy  g 1 ( y ) , 18 S2    d 4 x  g 2 2    d 4 xdy  g 2 ( y  L ) (1.6) Các đại lượng g1 và g2 đặc trưng cho yếu tố quyết định của metric gây ra trên brane thứ nhất và brane thứ hai tương ứng. Các metric xác định trên định rõ khoảng cách dọc các brane: i ds 2  g  dx  dx  g  ( x, yi )dx  dx , với i  1,2 và y1  0, y2  L . Chú ý rằng với metric cho bởi (1.5) thì g1  g ( y) và g2  g ( y  L) vì g55 = 1. Để thỏa mãn phương trình Einstein thì: 1  2  12kM 3 . (1.7) Hơn nữa với định nghĩa của k chúng ta có:  1 12M 3 . Hai điều kiện đó là kết quả của việc coi vũ trụ bốn chiều là phẳng và tĩnh. Các nguồn bốn chiều được cân bằng bởi khối hằng số vũ trụ năm chiều để có sự triệt tiêu hiệu quả của các hằng số vũ trụ bốn chiều. 1.4. Hệ thống cấp bậc theo hàm số mũ Tiếp theo, muốn nghiên cứu những phạm vi vật lí vốn có của mô hình Randall-Sundrum theo tinh thần của [14], trường vật chất đã được giữ lại trên brane thứ hai tại y  L . Xét đến trường vô hướng Higgs với tác dụng: S Higgs   d 4 x g 2  g 2 D H  D H   ( H  H  v 2 ) 2    d 4 xe 4 kL e 2 kL  D H  D H   ( H  H  v 2 ) 2  . 19 Để có một tác dụng bình thường theo quy luật, người ta định nghĩa lại trường Higgs: H  e kL H . Khi đó biểu thức của tác dụng sẽ có dạng: S Higgs   d 4 x   D H  D H    H  H  (e kLv)2   2 .  Đây là tác dụng của trường vô hướng Higgs bình thường, ngoại trừ giá trị chân không mong đợi (vev) là hàm mũ được giới hạn: veff  e kLv Như vậy, tập hợp giá trị chân không Higgs tạo nên tất cả thông số khối lượng trong mô hình chuẩn. Điều này có nghĩa là tất cả thông số khối lượng được xem xét theo một hàm mũ được triệt tiêu trên brane thứ hai. Nếu giá trị của khối lượng Higgs tối thiểu là thứ tự của thang Planck, khối lượng Higgs vật lí có thể được bẻ cong xuống đến quy mô yếu, nơi mà sự mong đợi nó đạt được. Vì lí do này, brane đầu tiên tại y = 0 thường được gọi là brane “Planck”, trong khi brane thứ hai được gọi là brane “Tev”. Từ MW ≈ 10-16MPl, giá trị thích hợp cho kích thước của không gian thêm được cho bởi: kL  ln1016  35 Để hiểu sự triệt tiêu theo cấp số mũ này có ảnh hưởng đến vấn đề phân cấp hay không, chúng ta phải hiểu được hiệu quả của quy mô trọng lực với không gian thêm. Điều này sẽ thu được từ việc sử dụng tác dụng S năm chiều chứa tác dụng S4D bốn chiều. Việc làm xáo trộn tác dụng một vòng quanh nền metric cho bởi (1.5) tạo ra một số hạng có dạng: L SM 3  d x  dye 4 2 k y L 20 (0)  g (0) R 4 D  h 
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan