Tài liệu Luận văn thạc sĩ tôpô i-adic trên vành noether

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— TRẦN THỊ HỒNG MINH TÔPÔ I-ADIC TRÊN VÀNH NOETHER LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: GS. NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn 2 Mở đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Vành và môđun Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Giới hạn ngược của hệ các môđun . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Topo I-adic trên vành Noether 5 19 2.1 Lọc môđun, vành phân bậc liên kết và vành Rees . . . . . . 19 2.2 Định lí Artin-Rees và các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Đầy đủ I-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Vành địa phương và đầy đủ m-adic . . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành trong khóa 17 đào tạo Thạc sĩ của trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường, Viện Toán học. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học, khoa Giáo dục Trung học cơ sở - trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình. 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Cho R là một vành giao hoán, I là một iđêan của R. Mục đích của luận văn là nghiên cứu tôpô I -adic xác định trên vành R bởi iđêan I . Đặc biệt, chúng tôi xem xét trong trường hợp vành R là Noether địa phương. Các nội dung được trình bày trong luận văn dựa trên cuốn bài giảng của GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường [1] và hai cuốn tài liệu tham khảo chính của các tác giả M. F. Atiyal and I. G. Macdonald [4] và của D. Northcott [3]. Với mục đích tìm hiểu về tôpô I -adic trên vành Noether, đặc biệt là vành Noether địa phương và các tính chất của đầy đủ I -adic. Tôi đã lựa chọn đề tài "Tôpô I -adic trên vành Noether " làm luận văn tốt nghiệp thạc sỹ. Luận văn gồm 2 chương. Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở như định nghĩa và các tính chất về vành và môđun Noether; Giới hạn ngược của hệ các môđun và các tính chất của nó, đặc biệt là tính chất khớp. Định nghĩa và các tính chất về vành và môđun phân bậc được đưa ra ở phần cuối chương. Đây là những công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn. Chương 2 là chương chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tôpô I -adic trên vành Noether. Phần đầu chương trình bày định nghĩa và các tính chất về lọc môđun; Vành phân bậc liên kết và vành Rees; Định lý Artin - Rees và các hệ quả. Phần tiếp theo chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu về tôpô I -adic trên vành Noether. Chúng tôi 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn sẽ chỉ ra rằng: Đầy đủ I -adic của một vành Noether là Noether. Phần cuối của chương là trình bày về một số tính chất của vành đầy đủ m-adic R̂ trên một vành Noether địa phương (R, m). Trong quá trình trình bày luận văn, tác giả đã cố gắng chứng minh chi tiết một số vấn đề còn trình bày vắn tắt trong các tài liệu trên. Một số ví dụ và bài tập minh họa cũng được tác giả luận văn đưa vào để làm sáng tỏ cho những nội dung được trình bày. Vì điều kiện thời gian, năng lực và kinh nghiệm bản thân còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý của các quý thầy cô và các bạn học viên cùng độc giả quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011. Tác giả TRẦN THỊ HỒNG MINH 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành và môđun Noether Mục này chúng tôi trình bày định nghĩa cùng một số tính chất của vành và môđun Noether. Những vấn đề này là cơ sở để chúng ta nghiên cứu tôpô I - adic trên vành Noether ở mục sau. Định lý 1.1.1. Cho M là một R-môđun. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: (i) Mọi tập hợp khác rỗng các môđun con của M đều có một phần tử cực đại. (ii) Mọi dãy tăng các môđun con của M M1 ⊆ M2 ⊆ ... ⊆ Mn ⊆ ... đều dừng, nghĩa là tồn tại m để Mk = Mm , ∀k ≥ m. (iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh. Chứng minh. (i)⇒(ii): Lấy tuỳ ý một dãy tăng các R-môđun con của môđun M M1 ⊆ M2 ⊆ ... ⊆ Mn ⊆ .... 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Gọi F là tập tất cả các phần tử của dãy này. Bởi (i), tập này có phần tử cực đại Mm với m nào đó. Khi đó ta có Mk = Mm với mọi k ≥ m hay dãy trên là dừng. (ii)⇒(iii): Giả sử trái lại, tồn tại một môđun con N của M không hữu hạn sinh. Khi đó trong N tồn tại một dãy vô hạn các phần tử m P Rxi thì Mj ⊂ Mj+1 với mọi x1 , x2 , ..., xn , ... sao cho nếu đặt Mm = i=1 j ≥ 1. Ta sẽ nhận được một dãy tăng vô hạn mà không dừng M1 ⊆ M2 ⊆ ... ⊂ Mn ⊆ ... các môđun con của M , mâu thuẫn với (ii). (iii)⇒(i): Giả sử S là một tập khác rỗng các môđun con của M . Vì S là một tập khác rỗng, nên ta chọn được một môđun con M1 ∈ S . Khi đó nếu M1 không phải là một phần tử cực đại trong S thì sẽ tồn tại M2 thực sự chứa M1 . Lặp lại luận đó ta suy ra nếu trong S không có phần tử cực đại, thì sẽ tồn tại một dãy tăng vô hạn M1 ⊆ M2 ⊆ ... ⊆ Mn ⊆ ... không dừng các môđun con của M . Dễ thấy rằng khi đó N = ∪ Mi i≥1 là một môđun con của M , nên N là một môđun hữu hạn sinh. Giả sử {x1 , x2 , ..., xm } là một hệ sinh của N . Vì dãy các môđun nhận được là một dãy tăng nên tồn tại k để x1 , x2 , ..., xm ∈ Mk . Khi đó N= m X Rxi ⊆ Mk , i=1 do vậy Mk = N , và như thế thì dãy trên bị dừng bắt đầu tại vị trí thứ k (mâu thuẫn). Vậy trong S phải có một phần tử cực đại. Định nghĩa 1.1.2. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị. Khi đó, một R-môđun M được gọi là môđun Noether nếu nó thoả mãn một trong các 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn điều kiện tương đương trong Định lý 1.1.1. Vành R là một vành Noether nếu nó là một R-môđun Noether. Từ Định nghĩa trên ta dễ dàng có nhận xét sau. Nhận xét 1.1.3. Vì một tập con khác rỗng của R là một R-môđun con của R-môđun R nếu và chỉ nếu nó là một iđêan của R, nên R là một vành Noether khi và chỉ khi R thoả mãn một trong ba điều kiện tương đương sau đây. (i) Mọi tập hợp khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại. (ii) Mọi dãy tăng các iđêan của R I1 ⊆ I2 ⊆ ... ⊆ In ⊆ ... đều dừng, nghĩa là tồn tại m để Ik = Im , ∀k ≥ m. (iii) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh. Ví dụ 1.1.4. (a) Vành các số nguyên Z là vành Noether, vì mọi iđêan của nó đều là iđêan chính nên nó hữu hạn sinh. Tổng quát, mọi vành chính đều là vành Noether. (b) Một trường là vành Noether vì nó có hữu hạn iđêan. (c) Một không gian véctơ là một môđun Noether nếu và chỉ nếu nó hữu hạn chiều. (d) Vành đa thức vô hạn biến trên vành giao hoán R khác không, R [x1 , x2 , ...] không phải là một vành Noether, vì có dãy tăng vô hạn các iđêan của R [x1 , x2 , ...] (x1 ) ⊂ (x1 , x2 ) ⊂ ... ⊂ (x1 , x2 , ..., xn ) ⊂ .... Định lý 1.1.5. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và một dãy khớp ngắn các R-môđun 0 → M 0 → M → M 00 → 0. 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi đó M là môđun Noether nếu và chỉ nếu M 0 và M 00 là các môđun Noether. Chứng minh. Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả thiết thêm rằng M 0 là một R-môđun con của M và M 00 = M/M 0 . Giả sử M là môđun Noether. Vì mọi xích tăng các môđun con của M 0 cũng là xích tăng trong M , nên M 0 là Noether. Cho N1 ⊆ N2 ⊆ ... ⊆ Nn ⊆ ... là một dãy tăng các môđun con của M 00 . Khi đó, tồn tại dãy tăng các môđun con M1 ⊆ M2 ⊆ ... ⊆ Mn ⊆ ... của M sao cho Nn = Mn /M 0 , ∀n. Suy ra tồn tại k ∈ N để Mn = Mk , ∀n ≥ k , tức Nn = Nk , ∀n ≥ k và do đó M 00 là Noether. Ngược lại, cho M1 ⊆ M2 ⊆ ... ⊆ Mn ⊆ ... là một xích tăng tuỳ ý các môđun con của M . Khi đó ta nhận được các xích tăng các môđun con M1 ∩ M 0 ⊆ M2 ∩ M 0 ⊆ ... ⊆ Mn ∩ M 0 ⊆ ... của M 0 và (M1 + M 0 ) /M 0 ⊆ (M2 + M 0 ) /M 0 ⊆ ... ⊆ (Mn + M 0 ) /M 0 ⊆ ... của M/M 0 . Theo giả thiết tồn tại một số tự nhiên k sao cho Mn ∩ M 0 = Mk + M 0 và (Mn + M 0 ) /M 0 = (Mk + M 0 ) /M 0 , ∀n ≥ k . Từ đây ta dễ dàng suy ra Mn = Mk , ∀n ≥ k , tức M là Noether. Sau đây là các hệ quả suy ra trực tiếp từ Định lý 1.1.5. Hệ quả 1.1.6. Vành thương của một vành Noether là Noether. 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ quả 1.1.7. Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các R-môđun Noether là một R-môđun Noether. Hệ quả tiếp theo nói lên mối quan hệ giữa môđun hữu hạn sinh và môđun Noether. Hệ quả 1.1.8. Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether là một R-môđun Noether. Tính Noether của một môđun được bảo tồn qua địa phương hoá, thể hiện qua định lý sau. Định lý 1.1.9. Nếu M là một R-môđun Noether và S là tập đóng nhân trong R thì S −1 M là một S −1 R-môđun Noether. Trong trường hợp M = R, ta có kết quả sau. Hệ quả 1.1.10. Nếu R là một vành Noether và S là tập đóng nhân trong R thì S −1 R là một vành Noether. Sau đây là một kết quả đặc sắc của Hilbert về vành Noether. Định lý 1.1.11. (Định lý cơ sở Hilbert) Vành đa thức một biến R [x] lấy hệ tử trên vành Noether R là một vành Noether. Chứng minh. Cho R là một vành Noether, để chứng minh R [x] là vành Noether, ta sẽ chỉ ra rằng mọi iđêan khác không của nó là hữu hạn sinh. Cho I là một iđêan khác không tuỳ ý của R [x]. Xét tập hợp con của R   I0 = a ∈ R ∃f ∈ I : f = axm + a1 xm−1 + ... + am . Nói cách khác I0 là tập tất cả các hệ số cao nhất của các đa thức thuộc I . Dễ dàng kiểm tra được rằng I0 là một iđêan của R. Vì R là vành Noether nên I0 là hữu hạn sinh. Giả sử I0 = (a1 , ..., an ) , ai ∈ R, i = 1, ..., n. 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi đó tồn tại những đa thức fi (x) ∈ I, i = 1, ..., n có hệ số cao nhất chính là ai . Đặt deg fi (x) = ri và r = max {r1 , ..., rn }. Bằng cách nhân thêm xr−ri vào fi (x) với chú ý rằng xr−ri fi (x) ∈ I, ta suy ra có thể giả thiết thêm mà không làm mất tính tổng quát rằng r = r1 = ... = rn . Tiếp tục đặt J = (f1 (x) , ..., fn (x)) R [x] là iđêan chứa trong I , M = R + xR + ... + xr R và N = I ∩ M . Nếu xem M = R + xR + ... + xr R như là R-môđun thì M chính là tập tất cả các đa thức f (x) ∈ R [x] có deg f (x) ≤ r, nên nó có một hệ sinh hữu hạn trên R là {1, x, ..., xr }. Vì R là vành Noether, M là hữu hạn sinh nên theo Hệ quả 1.1.8, M là R-môđun Noether. Suy ra R-môđun con N của M là hữu hạn sinh. Bây giờ nếu ta chỉ ra được I =J +N thì rõ ràng I là hữu hạn sinh và định lý được chứng minh. Thật vậy, cho g(x) ∈ I, deg g(x) = m là một đa thức tuỳ ý với khai triển g(x) = axm + b1 xm−1 + ... + bm , 0 6= a ∈ I. Nếu m ≤ r thì f (x) ∈ N . Trái lại, giả sử m > r. Vì a ∈ I0 , nên tồn tại n P những phần tử ui ∈ R, i = 1, ..., n sao cho ta có khai triển a = ui ai . i=1 Khi đó đa thức G1 (x) = g(x) − n X fi (x) ui xm−r i=1 sẽ có deg G1 (x) ≤ m − 1 hoặc G1 (x) = 0. Để ý rằng cùng với P1 (x) = n P fi (x) ui xm−r ∈ J thì G1 (x) ∈ I . Vậy ta có i=1 g(x) = P1 (x) + G1 (x), P1 (x) ∈ J, deg G1 (x) ≤ m − 1. Nếu vẫn còn deg G1 (x) > r, thì bằng phương pháp như vừa thực hiện (thay vì g(x) ta xét G1 (x)) và sẽ tìm được các đa thức G2 (x) ∈ I với 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn deg G2 (x) ≤ m − 2 và P2 (x) ∈ J sao cho G1 (x) = P2 (x) + G2 (x). Từ đây suy ra g(x) = P1 (x) + P2 (x) + G2 (x). Nếu deg G2 (x) ≤ r thì quá trình trên được dừng lại, bằng không nhất thiết là sau m−r bước ta sẽ tìm được các đa thức G(x) ∈ I có deg G(x) ≤ r và P (x) ∈ J sao cho g(x) = P (x) + G(x) ∈ J + N. Từ đây ta suy ra rằng I ⊆ J + N . Bao hàm thức ngược lại là hiển nhiên và định lý được chứng minh. Từ đó ta có các hệ quả quan trọng sau. Hệ quả 1.1.12. Nếu R là vành Noether thì vành đa thức R [x1 , ..., xn ] cũng là một vành Noether. Đặc biệt, vành đa thức k [x1 , ..., xn ] trên trường k cũng là một vành Noether. Hệ quả 1.1.13. Giả sử R là vành Noether và A là một R-đại số hữu hạn sinh. Khi đó, A là R-môđun Noether. 1.2 Giới hạn ngược của hệ các môđun Trong mục này, ta sẽ trình bày một số vấn đề rất cơ bản về giới hạn ngược. Định nghĩa 1.2.1. Một tập sắp thứ tự I được gọi là một tập định hướng nếu với mọi i, j ∈ I đều tồn tại k ∈ I sao cho: i ≤ k và j ≤ k . 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.2.2. Cho I là một tập định hướng. Giả sử (Mi )i∈I là một họ các R-môđun và với mỗi cặp i ≤ j có đồng cấu R-môđun θji : Mj → Mi . Khi đó, họ (Mi )i∈I cùng với họ (θji )i≤j được gọi là một hệ ngược nếu các điều kiện sau được thoả mãn: (i) θii là ánh xạ đồng nhất trên Mi , ∀i. (ii) θki = θji ◦ θkj , tức là biểu đồ sau giao hoán θki MkB BB BB B θkj BB! Mj /M > i | | | | || || θji với i ≤ j ≤ k . Ta kí hiệu hệ ngược này là (Mi , θji ) . Định nghĩa 1.2.3. Giới hạn ngược của một hệ ngược các R-môđun (Mi , θji ) là một R-môđun M cùng với một họ các R-đồng cấu (fi ) i∈I , trong đó fi : M → Mi sao cho các điều kiện sau được thoả mãn: (i) fi = θji ◦ fj , ∀i ≤ j , tức biểu đồ sau là giao hoán fi MA AA AA f AA j Mj /M > i | | | | || || θji với i ≤ j . (ii) Nếu M 0 là một R-môđun cùng với một họ các R-đồng cấu (gi ) i∈I , trong đó gi : M 0 → Mi thoả mãn gi = θji ◦ gj , ∀i ≤ j , tức là biểu đồ sau giao hoán M 0B gi BB BB gj BBB Mj /M i |> | | | || || θji thì tồn tại duy nhất một R-đồng cấu λ : M 0 → M sao cho 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn fi ◦ λ = gi , ∀i ∈ I. Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại và tính duy nhất của giới hạn ngược của một hệ ngược các môđun. Định lý 1.2.4. Giới hạn ngược của một hệ ngược các R-môđun (Mi , θji ) luôn tồn tại và duy nhất, sai khác một đẳng cấu. Chứng minh. Tính duy nhất: Thật vậy giả sử M cùng với họ các đồng cấu (fi )i∈I và N cùng với họ các đồng cấu (fi0 )i∈I đều là giới hạn của (Mi , θji ). Khi đó, tồn tại λ1 : N → M và λ2 : M → N sao cho fi ◦ λ1 = fi0 và fi0 ◦ λ2 = fi với mọi i ∈ I . Do đó fi ◦ λ1 ◦ λ2 = fi với mọi i ∈ I . Mặt khác fi ◦ idM = fi với mọi i ∈ I . Nên do tính duy nhất của λ trong định nghĩa, ta suy ra λ1 ◦ λ2 = idM . Tương tự λ2 ◦ λ1 = idN , do đó λ1 và λ2 là các đẳng cấu. Vậy M và N đẳng cấu. Bây giờ chứng minh sự tồn tại. Gọi M là môđun con của tích trực tiếp của họ (Mi )i∈I xác định bởi M = {(xi ) |θji (xj ) = xi , ∀j ≥ i} . Gọi fi : M → Mi là phép chiếu xuống thành phần thứ i của M . Dễ dàng kiểm tra θji ◦ fj = fi với mọi i ≤ j . Giả sử M 0 là một R-môđun cùng với một họ các R-đồng cấu (gi )i∈I , trong đó gi : M 0 → Mi thoả mãn θji ◦ gj = gi với mọi i ≤ j . Do tính chất của các gi , nên (gi (x)) ∈ M với mọi x ∈ M 0 . Vì vậy ta xác định được ánh xạ λ : M 0 → M cho bởi λ (x) = (gi (x)) với mọi x ∈ M 0 . Rõ ràng λ là một R-đồng cấu môđun có fi ◦ λ = gi với mọi i ∈ I . Ta còn phải chứng minh tính duy nhất của λ. Thật vậy giả sử β : M 0 → M sao cho fi ◦ β = gi với mọi i ∈ I ta sẽ chỉ ra λ = β . Chú ý rằng (fi (y)) = y với mọi y ∈ M , do đó ta có λ (x) = (gi (x)) = (fi ◦ β (x)) = (fi [β (x)]) = β (x) . 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Vậy λ = β . Như vậy giới hạn ngược của hệ ngược các R-môđun (Mi , θji ) luôn tồn tại và duy nhất (sai khác một đẳng cấu). Người ta kí hiệu giới hạn ngược này là lim M . ← Chú ý sau nêu lên một trường hợp thường dùng của giới hạn ngược khi mà tập định hướng chính là tập các số tự nhiên N. Chú ý 1.2.5. Trong trường hợp tập định hướng là tập các số tự nhiên, thì họ (Mn )n≥0 cùng họ đồng cấu (θn : Mn → Mn−1 )n≥1 là một hệ ngược và viết gọn là (Mn , θn ). Chú ý rằng khi đó θji : Mj → Mi (i < j) được hiểu là θji = θi+1 ...θj−1 θj . Vậy thực chất (θn ) chỉ là một hệ sinh của họ các đồng cấu (θji ). Khi đó lim Mn = {(xi ) |θi+1 (xi+1 ) = xi , ∀i ≥ 0} . ← Ví dụ 1.2.6. Giả sử R = A [x1 , x2 , ..., xn ] là một vành đa thức n biến trên vành giao hoán A và I = (x1 , x2 , ..., xn ) là iđêan của R. Khi đó, hệ
(R/I n )n≥0 cùng họ toàn cấu tự nhiên θn : R/I n → R/I n−1 n≥1 lập thành một hệ ngược. Và lim (R/I n ) ∼ = A [[x1 , x2 , ..., xn ]] là vành các chuỗi luỹ ← thừa hình thức trên A của n biến x1 , x2 , ..., xn .

0 00 Cho Mi0 , θji , (Mi , θji ) , Mi00 , θji là các hệ ngược của các R-môđun cùng chỉ số hoá bởi một tập định hướng. Giả sử tồn tại các họ R- đồng cấu (fi ) và (gi ) sao cho fi gi 0 → Mi0 → Mi → Mi00 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn là một dãy khớp với mọi i và các biểu đồ 0 fj gj 00 0 fi gi 00 0 −−→ Mj −−→ Mj −−→ Mj     0  00  θji θ θji y y ji y 0 −−→ Mi −−→ Mi −−→ Mi giao hoán với ∀j ≥ i. Đặt M 0 , M, M 00 lần lượt là tích trực tiếp của các họ môđun (Mi0 ) , (Mi ) , (Mi00 ) còn các đồng cấu f , g tương ứng là tích trực tiếp của họ các đồng cấu (fi ) , (gi ). Ký hiệu f ∗ là thu hẹp của f trên lim Mi 0 ← ∗ và g là thu hẹp của g trên lim Mi . Khi đó ta có phức ← f∗ g∗ 0 → lim Mi0 → lim Mi → lim Mi00 . ← ← ← Sau đây ta sẽ chỉ ra rằng phức này là một dãy khớp. Cụ thể hơn, ta có định lý sau đây. Định lý 1.2.7. Giả sử (An ) , (Bn ) , (Cn ) là 3 hệ ngược và các biểu đồ sau giao hoán 0 −−→ An+1 −−→ Bn+1 −−→ Cn+1 −−→ 0    A  B  C  θn+1 y θn+1 y θn+1 y 0 −−→ An −−→ Bn −−→ Cn −−→ 0 A trong đó hệ (An ) là một hệ toàn cấu, tức là các đồng cấu θn+1 là toàn cấu với mọi n. Khi đó qua giới hạn ngược, dãy đồng cấu cảm sinh 0 → lim An → lim Bn → lim Cn → 0 ← ← ← là khớp. Chứng minh. Đặt A là tích trực tiếp của các An , tức là A = ∞ Q An và n=1 A định nghĩa dA : A → A xác định bởi dA (an ) = an − θn+1 (an+1 ). Khi đó   A ker dA = an ∈ A an = θn+1 (an+1 ) = lim An . ← B C Tương tự, ta định nghĩa B , C , d và d . Theo đó, ta có ker dB = lim Bn ← 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn và ker dC = lim Cn . ← Theo giả thiết, ta có biểu đồ giao hoán 0 −−→ A −−→ B −−→ C −−→ 0       A B C d y d y d y 0 −−→ A −−→ B −−→ C −−→ 0. Khi đó, theo Bổ đề Snake ta có dãy khớp 0 → ker dA → ker dB → ker dC → cokerdA → cokerrdB → cokerdC → 0. Suy ra 0 → lim An → lim Bn → lim Cn là khớp. ← ← ← Để hoàn thành chứng minh, ta cần chỉ ra rằng nếu hệ (An ) là toàn cấu thì dA là toàn cấu, tức là cokerdA = 0. Bằng cách quy nạp theo n, nếu các phương trình A xn − θn+1 (xn+1 ) = an thì với mỗi xn ∈ An cho ta an ∈ An ⇒ (an ) ∈ A. Vậy dA là toàn cấu. 1.3 Vành và môđun phân bậc Định nghĩa 1.3.1. Một vành phân bậc là một vành R cùng với một họ các nhóm con (Rn )n≥0 của nhóm cộng R, sao cho R = ⊕ Rn và Rn Rm ⊆ Rn+m , ∀n, m ≥ 0. n≥0 Khi đó ta có R0 R0 ⊆ R0 , do đó R0 là một vành, gọi là vành con của vành R. R0 Rn ⊆ Rn do đó Rn là một R0 - môđun. Định nghĩa 1.3.2. Cho R là một vành phân bậc, một R-môđun phân bậc là một R-môđun M cùng với một họ các môđun con (Mn )n≥0 của M sao cho 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn M = ⊕ Mn và Rn Mm ⊆ Mn+m , ∀n, m ≥ 0. n≥0 Do R0 Mn ⊆ Mn nên mỗi Mn là một R0 -môđun. Định nghĩa 1.3.3. Cho M là một R-môđun phân bậc, mỗi phần tử x ∈ M được gọi là thuần nhất nếu x thuộc một Mn nào đó và n được gọi là bậc của x. Mỗi phần tử x ∈ M , có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổng hữu hạn của các thành phần thuần nhất x = xn1 + xn2 + ... + xnk , xni ∈ Mni , ∀i = 1, k . Cho M , N là các R-môđun phân bậc, một R-đồng cấu môđun phân bậc là một R-đồng cấu môđun f : M → N sao cho f (M n ) ⊆ Nn , ∀n ≥ 0. Ví dụ 1.3.4. a) Mọi vành R đều có thể xem là vành phân bậc với phân bậc tầm thường R = ⊕ Rn . Trong đó: R0 = R và các Rn = 0, ∀n > 0. n≥0 b) Vành đa thức R = k [x1 , x2 , ..., xn ], với k là một trường có cấu trúc phân bậc R = ⊕ Rn . n≥0 Trong đó: R0 = k và Rn = {f ∈ R |f là đa thức thuần nhất bậc n}. Cho R là một vành phân bậc R = ⊕ Rn . Khi đó, đặt R+ = ⊕ Rn thì n≥0 n>0 R+ là một iđêan của R và ta có tính chất quan trọng sau đây. Định lý 1.3.5. Cho R là một vành phân bậc. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: (i) R là vành Noether. (ii) R0 là vành Noether và R là hữu hạn sinh như một R0 -đại số. ∞ ∞ n=0 n=1 Chứng minh. Giả sử R = ⊕ Rn là vành phân bậc và R+ = ⊕ Rn là một iđêan của R. i ⇒ ii) Ta có R0 = R/R+ . Do R là vành Noether, R+ là một iđêan của R suy ra vành thương R0 là vành Noether. 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Do ta luôn có đơn cấu vành f : R0 → R nên R được coi là một R0 -đại số. Ta sẽ chứng minh R là hữu hạn sinh trên R0 . Vì R+ là iđêan của R nên R+ là hữu hạn sinh, giả sử R+ = (x1 , x2 , ..., xs ), trong đó mỗi xi là một thành phần thuần nhất bậc ki , i = 1, s và các ki đều dương vì R+ = ⊕ Rn . n>0 0 Đặt R là vành con của R, sinh bởi x1 , x2 , ..., xs trên R0 , tức R0 = R0 [x1 , x2 , ..., xs ]. Ta sẽ chứng minh R0 = R. + Hiển nhiên R0 ⊆ R. + Ta chứng minh R ⊆ R0 bằng cách chỉ ra rằng Rn ⊆ R0 với ∀n ≥ 0, bằng quy nạp theo n. • Với n = 0, ta có R0 ⊆ R0 [x1 , x2 , ..., xs ] = R0 . Suy ra, khẳng định đúng. • Giả sử Ri ⊆ R0 , ∀i < n. Ta sẽ chứng minh Rn ⊆ R0 . Thật vậy, lấy y ∈ Rn , n > 0. Vì Rn ⊆ R+ nên y ∈ R+ = (x1 , x2 , ..., xs ) suy ra y biểu thị tuyến tính được qua các s P xi , i = 1, s : y = ai xi . Do y ∈ Rn (deg y = n) và xi ∈ Rki (deg xi = ki ), i=1 suy ra ai ∈ Rn−ki , mà các ki > 0 nên n − ki < n. Theo giả thiết quy nạp s P thì các ai ∈ R0 = R0 [x1 , x2 , ..., xs ], ta được ai xi ∈ R0 hay y ∈ R0 . i=1 0 0 Do đó Rn ⊆ R , ∀n ≥ 0 nên ta có ⊕ Rn ⊆ R . n≥0 0 Vậy R = R = R0 [x1 , x2 , ..., xs ] là R0 -đại số hữu hạn sinh. ii ⇒ i) Giả sử R0 là vành Noether và R là R0 -đại số hữu hạn sinh, giả sử R = R0 [a1 , ..., an ]. Theo Hệ quả 1.1.13, suy ra R là vành Noether. 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Topo I-adic trên vành Noether 2.1 Lọc môđun, vành phân bậc liên kết và vành Rees Định nghĩa 2.1.1. (i) Cho R là vành giao hoán, có đơn vị. Một dãy giảm các iđêan của R: (In )n≥0 được gọi là một lọc các iđêan của R nếu In Im ⊆ In+m , ∀n, m ≥ 0. Cho I là một iđêan của R, thì dãy (I n )n≥0 là một lọc các iđêan của R và được gọi là lọc I -adic. (ii) Cho M là một R-môđun, một dãy giảm các môđun con của M : M = M0 ⊇ M1 ⊇ M2 ⊇ ... được gọi là một lọc của M , ký hiệu là (Mn ). Lọc (Mn ) được gọi là tương thích với lọc iđêan (In )n≥0 hay gọi là I -lọc, nếu In Mm ⊆ Mn+m , ∀n, m ≥ 0. Đặc biệt, khi lọc iđêan là I -adic thì lọc (Mn ) gọi là I -lọc tốt nếu (Mn ) là tương thích với lọc I -adic. Tức là tồn tại m0 sao cho I n Mm = Mn+m , ∀m ≥ m0 , ∀n. 19 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn