ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
LÊ MỸ ANH
PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU
CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT
HỌ HỮU HẠN ÁNH XẠ KHONG GIÃN
CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ
: 60.46.36
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Công trình đựoc hoàn thành tại :
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG
Phản biện 1:
GS.TS. Trần Vũ Thiệu
Phản biện 2:
TS. Nguyễn Thị Thu Thủy
Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn họp tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Ngày 07 tháng 11 năm 2010
Có thể tìm hiểu luận văn tại Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên
và thư viện Trường Đại học Khoa học
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
Líi c£m ìn
Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i
håc Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TS. Nguy¹n B÷íng. T¡c
gi£ xin b y tä láng k½nh trång v bi¸t ìn s¥u sc tîi th¦y v· sü tªn t¼nh
h÷îng d¨n trong suèt thíi gian t¡c gi£ l m luªn v«n.
Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v l m luªn v«n, thæng qua c¡c b i gi£ng
v x¶mina, t¡c gi£ th÷íng xuy¶n nhªn ÷ñc sü quan t¥m gióp ï v
âng gâp nhúng þ ki¸n quþ b¡u cõa PGS.TS. L¶ Thà Thanh Nh n, TS.
Nguy¹n Thà Thu Thõy, Th.s Tr÷ìng Minh Tuy¶n v c¡c th¦y c¡c cæ
trong tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. Tø ¡y láng
m¼nh, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n c¡c th¦y c¡c cæ.
T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn tîi c¡c th¦y, c¡c cæ, Ban gi¡m hi»u
nh tr÷íng, BCH o n, c¡c çng nghi»p, nìi t¡c gi£ cæng t¡c ¢ luæn
t¤o i·u ki»n thuªn lñi nh§t gióp ï t¡c gi£ trong thíi gian håc tªp v
l m luªn v«n cao håc.
Xin ch¥n th nh c£m ìn anh chà em håc vi¶n cao håc To¡n K2 v b¤n
b± çng nghi»p g¦n xa ¢ trao êi, ëng vi¶n v kh½ch l» t¡c gi£ trong
qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v l m luªn v«n.
Luªn v«n s³ khæng ho n th nh ÷ñc n¸u khæng câ sü thæng c£m,
gióp ï cõa nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh t¡c gi£. ¥y l mân qu
tinh th¦n, t¡c gi£ xin k½nh t°ng gia ¼nh th¥n y¶u cõa m¼nh vîi t§m láng
bi¸t ìn ch¥n th nh v s¥u sc.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
Líi nâi ¦u
Nhi·u v§n · khoa håc, cæng ngh», kinh t¸, sinh th¡i,... d¨n ¸n vi»c
gi£i c¡c b i to¡n m nghi»m cõa chóng khæng ên ành theo dú ki»n ban
¦u, ngh¾a l b i to¡n (khi dú ki»n thay êi nhä) ho°c khæng tçn t¤i
nghi»m ho°c nghi»m khæng duy nh§t ho°c nghi»m khæng phö thuëc li¶n
töc v o dú ki»n ban ¦u. Do t½nh khæng ên ành n y cõa b i to¡n °t
khæng ch¿nh n¶n vi»c gi£i sè cõa nâ g°p khâ kh«n. Lþ do l mët sai sè
nhä trong dú ki»n cõa b i to¡n câ thº d¨n ¸n mët sai sè b§t ký trong
líi gi£i. Ng÷íi ta nâi nhúng b i to¡n â °t khæng ch¿nh.
ành ngh¾a b i to¡n °t ch¿nh theo Hadamard: Cho ¡nh x¤ A : X −→
Y , b i to¡n t¼m nghi»m x cõa ph÷ìng tr¼nh Ax = y ÷ñc gåi l °t ch¿nh
n¸u:
i) B i to¡n câ nghi»m, tùc l vîi méi y ∈ Y tçn t¤i x ∈ X sao cho
Ax = y .
ii) Nghi»m ÷ñc x¡c ành duy nh§t, tùc l n¸u
Ax1 = Ax2 = y ⇒ x1 = x2 .
iii) Nghi»m phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n ¦u v o cõa b i to¡n.
N¸u ½t nh§t mët trong ba i·u ki»n tr¶n khæng thäa m¢n, th¼ ta
nâi r¬ng b i to¡n â °t khæng ch¿nh. Hadamart cho r¬ng b i to¡n °t
khæng ch¿nh khæng câ þ ngh¾a Vªt lþ v¼ nghi»m khæng phö thuëc v o
dú ki»n cõa b i to¡n. Tuy nhi¶n nh÷ ¢ nâi ð tr¶n, r§t nhi·u b i to¡n
cõa thüc ti¹n, khoa håc, cæng ngh» d¨n tîi b i to¡n °t khæng ch¿nh.
Do t½nh khæng ên ành cõa b i to¡n °t khæng ch¿nh n¶n vi»c gi£i sè
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
cõa nâ g°p khâ kh«n do c¡c sè li»u (dú li»u) thu ÷ñc b¬ng c¡ch o ¤c,
quan s¡t,... khæng thº tr¡nh khäi sai sè. V¼ th¸ n£y sinh v§n · t¼m c¡c
ph÷ìng ph¡p gi£i ên ành cho c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh, sao cho khi
sai sè cõa dú ki»n ¦u v o c ng nhä th¼ nghi»m x§p x¿ t¼m ÷ñc c ng
g¦n vîi nghi»m óng cõa b i to¡n ban ¦u. N«m 1963, A.N.Tikhonov
÷a ra ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh nêi ti¸ng v kº tø â lþ thuy¸t c¡c b i
to¡n °t khæng ch¿nh ÷ñc ph¡t triºn h¸t sùc sæi ëng v câ m°t ð h¦u
h¸t c¡c b i to¡n thüc t¸.
Tuy nhi¶n trong khuæn khê cõa luªn v«n n y, chóng tæi ch¿ câ thº
tr¼nh b y mët · t i "Ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh hi»u ch¿nh
t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ khæng gi¢n". ¥y
l b i to¡n g°p trong r§t nhi·u l¾nh vüc khoa håc v ùng döng. ¢ câ r§t
nhi·u c¡c nh khoa håc trong n÷îc v ngo i n÷îc nghi¶n cùu v· v§n ·
n y nh÷: Martinet ÷a ra º gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, sau â ÷ñc
Rockafellar mð rëng º gi£i bao h m thùc bi¸n ph¥n vîi to¡n tû ìn
i»u. G¦n ¥y ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· ÷ñc sû döng º gi£i b i to¡n
b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n hén hñp v b i to¡n c¥n b¬ng. V mët trong
nhúng k¸t qu£ µp v· v§n · n y ¢ ÷ñc GS.TS Nguy¹n B÷íng v Th.s
Tr÷ìng Minh Tuy¶n ÷a ra â l "Thuªt to¡n iºm g¦n k· qu¡n t½nh
t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ khæng gi¢n" v
"Hi»u ch¿nh thuªt to¡n iºm g¦n k· qu¡n t½nh cho b i to¡n ch§p nhªn
lçi trong khæng gian Banach". Luªn v«n n y tæi s³ tr¼nh b y chi ti¸t v·
k¸t qu£ â.
Bè cöc cõa luªn v«n gçm câ 2 ch÷ìng:
Ch÷ìng I: Mët sè kh¡i ni»m cì b£n.
Chóng tæi tr¼nh b¦y v· : Khæng gian Hilbert, mët sè t½nh ch§t h¼nh
håc cõa khæng gian Banach, ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh trong
khæng gian Hilbert, b i to¡n °t khæng ch¿nh, b i to¡n t¼m iºm b§t
ëng chung.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
Ch÷ìng II: Thuªt to¡n iºm g¦n k· qu¡n t½nh t¼m iºm b§t ëng
chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ khæng gi¢n.
Trong â bao gçm c¡c thuªt to¡n: L°p xoay váng, hi»u ch¿nh Tikhonov,
iºm g¦n k· qu¡n t½nh.
Do thíi gian câ h¤n n¶n luªn v«n mîi ch¿ døng l¤i ð và¶c t¼m hiºu,
tªp hñp t i li»u, sp x¸p v tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu ¢ câ theo
chõ · °t ra. Trong qu¡ tr¼nh vi¸t luªn v«n công nh÷ trong qu¡ tr¼nh
xû lþ v«n b£n chc chn khæng thº tr¡nh khäi sai sât, r§t mong nhªn
÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp cõa Th¦y cæ v b¤n åc.
T¡c gi£
L¶ Mÿ Anh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
Möc löc
Líi c£m ìn
2
Líi nâi ¦u
3
Möc löc
7
Mët sè kþ hi»u v chú vi¸t tt
8
1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n
9
1.1
Khæng gian Hilbert
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2
Mët sè t½nh ch§t h¼nh håc cõa khæng gian Banach . . . .
14
1.3
Ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh trong khæng gian
Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.4
B i to¡n °t khæng ch¿nh . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.5
B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung . . . . . . . . . . . .
26
2 Thuªt to¡n iºm g¦n k· qu¡n t½nh hi»u ch¿nh t¼m iºm
b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ khæng gi¢n 29
2.1
Thuªt to¡n l°p xoay váng . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.2
Thuªt to¡n hi»u ch¿nh Tikhonov . . . . . . . . . . . . .
32
2.3
Thuªt to¡n iºm g¦n k· qu¡n t½nh hi»u ch¿nh t¼m iºm
b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ khæng gi¢n .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
37
7
K¸t luªn
42
T i li»u tham kh£o
43
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
Mët sè kþ hi»u v chú vi¸t tt
E
khæng gian Banach thüc
E∗
khæng gian li¶n hñp cõa E
Rn
khæng gian Euclide n chi·u
∅
tªp réng
x := y
x ÷ñc ành ngh¾a b¬ng y
∀x
vîi måi x
∃x
tçn t¤i x
I
¡nh x¤ ìn và
AT
ma trªn chuyºn và cõa ma trªn A
a∼b
a t÷ìng ÷ìng vîi b
A∗
to¡n tû li¶n hñp cõa to¡n tû A
D(A)
mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A
R(A)
mi·n gi¡ trà cõa to¡n tû A
xk → x
d¢y {xk } hëi tö m¤nh tîi x
xk * x
d¢y {xk } hëi tö y¸u tîi x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
Ch֓ng 1
Mët sè kh¡i ni»m cì b£n
Ch÷ìng n y gçm 5 möc. Trong möc 1.1, chóng tæi giîi thi»u mët sè
kh¡i ni»m v ki¸n thùc li¶n quan ¸n khæng gian Hilbert. Trong möc 1.2,
chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· t½nh trìn v lçi cõa mët khæng
gian Banach v cho c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian n y. Möc 1.3, tr¼nh b y
v· ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh trong khæng gian Hilbert. Möc
1.4, ph¡t biºu v minh håa v· b i to¡n °t khæng ch¿nh. Trong möc 1.5,
chóng tæi giîi thi»u v· b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå
húu h¤n c¡c to¡n tû khæng gi¢n x¡c ành tr¶n mët tªp âng lçi.
Gi£ sû X l khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n tr÷íng sè K (K = R ho°c
C). C¡c kh¡i ni»m v k¸t qu£ trong ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o trong
c¡c t i li»u [1], [2], [3].
1.1
Khæng gian Hilbert
ành ngh¾a 1.1. Mët d¤ng song tuy¸n t½nh èi xùng d÷ìng x¡c
ành trong X l mët ¡nh x¤ ϕ : X × X → K tho£ m¢n c¡c i·u ki»n:
a) ϕ(x + y, z) = ϕ(x, z) + ϕ(y, z) (∀x, y, z ∈ X);
b) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y) (∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K);
c) ϕ(y, x) = ϕ(x, y) (∀x, y ∈ X), trong â ϕ(x, y) l sè phùc li¶n hñp
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
cõa sè ϕ(x, y);
d) ϕ(x, x) ≥ 0
(∀x, y ∈ X).
Khi â ta kþ hi»u ϕ(x, y) = hx, yi.
Nhªn x²t 1.1. Tø a) - d) suy ra:
a') hx, y + zi = hx, yi + hx, zi (∀x, y ∈ X);
b') hx, λyi = λ̄hx, yi.
ành ngh¾a 1.2. D¤ng song tuy¸n t½nh èi xùng d÷ìng h., .i x¡c
ành trong khæng gian tuy¸n t½nh X ÷ñc gåi l mët t½ch væ h÷îng trong
X, n¸u nâ tho£ m¢n th¶m i·u ki»n:
hx, xi > 0,
khi x 6= 0.
Nhªn x²t 1.2. T½ch væ h÷îng h., .i tho£ m¢n c¡c i·u ki»n:
1) hx, yi ≥ 0
(∀x ∈ X), hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0;
2) hx, yi = hy, xi ≥ 0
(∀x, y ∈ X);
3) hλx + µy, zi = λhx, zi + µhy, zi (∀x, y, z ∈ X), ∀λ, µ ∈ K.
ành ngh¾a 1.3. Khæng gian tuy¸n t½nh X còng vîi mët t½ch væ
h÷îng ÷ñc gåi l khæng gian ti·n Hilbert.
M»nh · 1.1. (B§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarts)
|hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi (∀x, y ∈ X)
(1.1)
ành ngh¾a sì chu©n
Mët sì chu©n tr¶n khæng gian tuy¸n t½nh X l mët ¡nh x¤ p : X → R
thäa m¢n:
a) p(αx) = αp(x), (∀x ∈ X, ∀α > 0);
b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), (∀x, y ∈ X)
Nhªn x²t:
+ N¸u p l sì chu©n, th¼ p(0) = 0.
ành ngh¾a nûa chu©n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
Mët nûa chu©n tr¶n khæng gian tuy¸n t½nh X l mët ¡nh x¤ p : X →
R thäa m¢n:
a) p(αx) = |α|p(x), (∀x ∈ X, ∀α ∈ K);
b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), (∀x, y ∈ X)
Nhªn x²t:
1) p l nûa chu©n ⇒ p l sì chu©n.
2) N¸u p l mët nûa chu©n tr¶n X , th¼
p(x) ≥ 0.
M»nh · 1.2. Gi£ sû hx, yi l mët d¤ng song tuy¸n t½nh èi xùng
d÷ìng trong khæng gian tuy¸n t½nh X . Khi â p(x) = hx, xi1/2 l mët
nûa chu©n trong X.
Nhªn x²t 1.3. Khæng gian ti·n Hilbert X l mët khæng gian ành
chu©n vîi chu©n:
kxk = hx, xi1/2
(x ∈ X)
(1.3)
Thªt vªy theo M»nh · 1.2 hx, xi1/2 l mët nûa chu©n. V¼ h., .i l t½ch
væ h÷îng n¶n hx, xi = 0 ⇔ x = 0. i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi kxk = 0 ⇔
x = 0. V¼ vªy, kxk = hx, xi1/2 l mët chu©n trong X. Do â, lþ thuy¸t
c¡c khæng gian ành chu©n ¡p döng ÷ñc cho khæng gian ti·n Hilbert.
Nhªn x²t 1.4.
a) B§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarts trð th nh
|hx, yi| ≤ kxkkyk.
(1.4)
b) Ta câ ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ).
Thªt vªy (1.4) suy ra tø (1.1). B¥y gií ta thû l¤i (1.5)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
(1.5)
12
kx + yk2 + kx − yk2 = hx + y, x + yi + hx − y, x − yi
= hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi
+ hx, xi − hx, yi − hy, xi + hy, yi
= 2(kxk2 + kyk2 ).
M»nh · 1.3. Gi£ sû X l khæng gian ti·n Hilbert, c¡c d¢y {xn}
v {yn } hëi tö ¸n x v y trong X . Khi â,
lim hxn , yn i = hx, yi.
n→∞
Nhªn x²t 1.5. T½ch væ h÷îng h., .i l mët h m li¶n töc x¡c ành tr¶n
X × X.
ành ngh¾a 1.4. Khæng gian ti·n Hilbert X ¦y õ ÷ñc gåi l mët
khæng gian Hilbert.
Chó þ r¬ng ð ¥y ta coi khæng gian ti·n Hilbert nh÷ mët khæng gian
ành chu©n vîi chu©n (1.3) v khæng gian ành chu©n â l ¦y õ th¼
ta nhªn ÷ñc khæng gian Hilbert X .
V½ dö 1.1. Trong Rn vîi x = (ξ1, ..., ξn), y = (η1, ...ηn), ta °t
hx, yi =
n
X
ξi η i .
i=1
Khi â, Rn l mët khæng gian Hilbert.
V½ dö 1.2. Trong L2[a, b], ta x²t t½ch væ h÷îng:
b
Z
x(t)y(t)dt (x(t), y(t) ∈ L2 [a, b]).
hx, yi =
a
Khi â,
kxk =
Z
b
1/2
|x(t)| dt
2
(1.6)
a
Khæng gian L2 [a, b] vîi chu©n (1.6) l ¦y õ, do â l khæng gian Hilbert.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
V½ dö 1.3. Trong khæng gian l2, ta ÷a v o t½ch væ h÷îng
hx, yi =
∞
X
ξn η̄n , (x = (ξ1 , ξ2 ....) ∈ l2 , y = (η1 , η2 , ...) ∈ l2 ).
n=1
Khi â,
kxk =
∞
X
2
| ξn |
1/2
.
n=1
Khæng gian l2 ¦y õ èi vîi chu©n â. Vªy l2 l khæng gian Hilbert.
ành lþ 1.1.
Gi£ sû X l mët khæng gian ti·n Hilbert. Khi â, tçn
t¤i mët khæng gian X̂ chùa X , sao cho X̂ l mët khæng gian con trò mªt
trong X.
Chùng minh. Khi coi X l mët khæng gian ành chu©n vîi chu©n
(1.3) th¼ khæng gian X câ khæng gian bê xung X̂ . Nh÷ vªy, X̂ l ¦y õ
chùa X , v X l trò mªt trong X̂ .
L§y x, y ∈ X̂ . Khi â, tçn t¤i c¡c d¢y {xn }, {yn } trong X hëi tö ¸n x, y
(t÷ìng ùng). °t:
hx, yi = lim (xn , yn ).
n→∞
(1.7)
Khi â {(xn , yn )} l d¢y Cauchy v do â v¸ ph£i cõa (1.7) l tçn t¤i.
(1.7) ch¿ phö thuëc v o x, y , v khæng phö thuëc v o c¡c d¢y {xn }, {yn }
trong X hëi tö ¸n x, y. Thªt vªy, n¸u x0n → x, yn0 → y, th¼ c¡c d¢y
{kx0n k}, {kyn0 k} bà ch°n, v kxn − x0n k → 0, kyn − yn0 k → 0. Do â,
|(xn , yn ) − (x0n − yn0 )|
≤ |(xn , yn ) − (x0n − yn )| + |(x0n , yn ) − (x0n − yn0 )|
≤ kxn − x0n k.kyn k + kx0n k.kyn − yn0 k → 0 (khi n → ∞)
Suy ra
lim (x0n , yn0 ) = lim (xn , yn ).
n→∞
n→∞
Tø c¡c t½nh ch§t cõa t½ch væ h÷îng trong X , ta suy ra cæng thùc (1.7)
cho ta mët t½ch væ h÷îng trong X̂.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
M°t kh¡c ta câ mèi quan h» giúa t½ch væ h÷îng v chu©n trong X
kxn k = hxn , xn i1/2 .
Cho n → ∞ ta nhªn ÷ñc mèi quan h» giúa t½ch væ h÷îng v chu©n
trong X̂
kxk = hx, xi1/2 .
Nh÷ vªy chu©n trong X̂ ÷ñc x¥y düng n¶n bði t½ch væ h÷îng (1.7). Do
â, X̂ l khæng gian Hilbert.
1.2 Mët sè t½nh ch§t h¼nh håc cõa khæng gian Banach
Cho E l khæng gian Banach. º ìn gi£n ta kþ hi»u c¡c chu©n tr¶n
E v E ∗ l k.k v vi¸t hx, x∗ i thay cho x∗ (x) vîi x∗ ∈ E ∗ , x ∈ E.
ành ngh¾a 1.5. Mët ¡nh x¤ j tø E v o E ∗ tho£ m¢n i·u ki»n
j(x) = f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 , kf k = kxk
÷ñc gåi l ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc cõa E.
Mæ un trìn cõa E l h m ρE : [0; ∞) → [0; ∞) ÷ñc x¡c ành bði
n1
o
ρE (τ ) = sup (kx + yk + kx − yk) − 1 : kxk ≤ 1, kyk ≤ τ .
2
n¸u
ành ngh¾a 1.6. Mët khæng gian Banach E ÷ñc gåi l trìn ·u
lim (ρE (τ )/τ ) = 0.
τ →0
Khæng gian Hilbert Lp , 1 < p < ∞ v khæng gian Sobolev Wmp , 1 <
p < ∞ c¡c khæng gian Banach trìn ·u.
ành ngh¾a 1.7. Mët khæng gian Banach E ÷ìc gåi l
(i) Lçi ·u n¸u vîi b§t ký ε, 0 < ε ≤ 2, kxk ≤ 1 v kx − yk > ε th¼
tçn t¤i mët δ = δ(ε) ≥ 0 sao cho k(x + y)/2k ≤ 1 − δ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
15
(ii) Lçi ch°t n¸u vîi x, y ∈ SE , x 6= y th¼
k(1 − λ)x + λyk < 1, ∀λ ∈ (0, 1),
trong â SE = x ∈ E : kxk = 1 l m°t c¦u ìn và.
L÷u þ r¬ng mæ un lçi cõa E l h m
δE (ε) = 1 − 2−1 kx + yk : kxk = 1, kyk = 1, kx − yk = ε.
E l lçi ·u n¸u v ch¿ n¸u
δE (ε) > 0, ∀ε > 0,
v E l lçi ch°t n¸u v ch¿ n¸u ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc j cõa E l
ìn i»u ch°t, câ ngh¾a
hx − y, j(x) − j(y)i ≥ 0
v d§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi x = y . Ta th§y khi E l c¡c khæng
gian Lp ho°c lp , 1 < p < ∞ v c¡c khæng gian Sobolev Wmp , 1 < p < ∞
th¼ vîi 0 < ε ≤ 2 ta câ
δE (ε) ≥ 16−1 (p − 1)ε2 , 1 < p ≤ 2
v
δE (ε) ≥ p−1 (p − 1)(ε/2)p , p ≥ 2.
Ta th§y khi E ∗ l lçi ch°t th¼ j l ìn trà. C¡c t½nh ch§t quan trång cõa
j l j(−x) = −j(x) v li¶n töc ·u tr¶n mi·n bà ch°n.
V½ dö 1.4. C¡c khæng gian lo¤i Lp v khæng gian Sobolev Wmp , 1 <
p < ∞ l c¡c khæng gian lçi ·u v ÷ìng nhi¶n chóng l khæng gian
Banach lçi ch°t.
ành ngh¾a 1.8. Mët ¡nh x¤ A tø E v o E ÷ñc gåi l li¶n töc
Lipschitz vîi h¬ng sè Lipschitz L > 0, n¸u
kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
16
Khi L = 1 th¼ A ÷ñc gåi l ¡nh x¤ khæng gi¢n.
ành ngh¾a 1.9. Mët ¡nh x¤ A tø E v o E ÷ñc gåi l :
(i)accretive hay j - ìn i»u, n¸u
hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A),
trong â D(A) l mi·n x¡c ành cõa A;
(ii) m-accretive hay m-j - ìn i»u, n¸u R(A + λI) = E vîi λ > 0
trong â R(A) v I t÷ìng ùng l £nh cõa A v ¡nh x¤ çng nh§t cõa E .
Khi E l khæng gian Hilbert H th¼ A ÷ñc gåi l to¡n tû ìn i»u
ho°c to¡n tû ìn i»u cüc ¤i.
ành ngh¾a 1.10. Mët ¡nh x¤ T tø E v o E ÷ñc gåi l λ-gi£ co
ch°t n¸u vîi ∀x, y ∈ D(T ) tçn t¤i λ > 0 sao cho:
hT (x) − T (y), j(x − y)i
≤ kx − yk2 − λkx − y − (T (x) − T (y))k2 .
(1.8)
Rã r ng (1.8) câ thº ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng
h(I − T )(x) − (I − T )(y), j(x − y)i
≤ λk(I − T )(x) − (I − T )(y))k2 .
(1.9)
Trong khæng gian Hilbert (1.8) v do â l (1.9) t÷ìng ÷ìng vîi b§t
¯ng thùc sau:
kT (x) − T (y)k2 ≤ kx − yk2 + kk(I − T )(x) − (I − T )(y)k2 , k = 1 − λ.
Rã r ng khi k = 0 câ ngh¾a λ = 1 th¼ T l ¡nh x¤ khæng gi¢n.
ành ngh¾a 1.11. Mët ¡nh x¤ A tø E v o E ÷ñc gåi l kh£ vi
Fr²chet t¤i mët iºm x ∈ D(A) n¸u:
A(x + h) − A(x) = B(x)h + ◦(khk), ∀x, ∀h ∈ D(A),
trong â B(x) l mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh bà ch°n tø E v o E kþ hi»u l
A0 (x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
17
ành ngh¾a 1.12. Cho K l mët tªp con lçi âng kh¡c réng cõa E .
Khi â vîi méi x ∈ K tªp IK (x) ÷ñc x¡c ành bði
IK (x) = y ∈ E : y = λ(z − x), z ∈ K, λ ≥ 0
÷ñc gåi l tªp h÷îng v o trong.
Mët ¡nh x¤ S : E → K ÷ñc gåi l tho£ m¢n i·u ki»n h÷îng v o trong
y¸u n¸u Sx ∈ IK (x) vîi méi x ∈ K.
ành ngh¾a 1.13. Cho P : E → K l mët ¡nh x¤. P ÷ñc gåi l
(i) Sunny n¸u vîi méi x ∈ K v t ∈ [0, 1] ta câ
P (tx + (1 − t)P x) = P x;
(ii) Mët co rót cõa E v o K n¸u P x = x vîi måi x ∈ K;
(iii) Mët Sunny co rót khæng gi¢n n¸u P l Sunny, co rót khæng gi¢n
cõa E v o K;
(iv) K ÷ñc gåi l mët Sunny co rót khæng gi¢n n¸u tçn t¤i mët ¡nh
x¤ Sunny, co rót khæng gi¢n cõa E v o K.
Bê · 1.1. N¸u A = I − T ð ¥y T l mët ¡nh x¤ khæng gi¢n, th¼
vîi måi x, y ∈ D(A)-mi·n x¡c ành cõa A,
kA(x) − A(y)k
−1 2
hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ L R δE
, 1 < L < 1.7,
4R
vîi R ≥ M ax{kxk, kyk}, δE (ε) l mæ un lçi cõa khæng gian Banach E
v j l ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc cõa E , câ ngh¾a j l ¡nh x¤ tø E l¶n
E ∗ thäa m¢n
hx, j(x)i = kxkkj(x)k = kxk2
∀x ∈ E.
Bê · 1.2. (Nguy¶n lþ demi- âng). Cho C l mët tªp âng lçi giîi
nëi v khæng réng cõa mët khæng gian Banach lçi ·u E . Cho T : C → E
l mët ¡nh x¤ khæng gi¢n. Khi â, ¡nh x¤ I − T l demi- âng t¤i iºm
0, tùc l tø {xn } hëi tö y¸u ¸n x v xn − T xn → 0 suy ra x = T x.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -
.PDF 
49 
6446 
29 
