Tài liệu Phương pháp dùng hàm biến thực để nghiên cứu các không gian nội suy

LỜI CẢM ƠN Luận văn này của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.TSKH Nguyễn Minh Trí. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lòng thành kính nhất đến Thầy. Thầy không chỉ hướng dẫn em nghiên cứu khoa học mà còn thông cảm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình làm luận văn. Cũng nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên tôi trong quá trình học tập. Tôi xin cảm ơn vợ của tôi, người đã bên tôi, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tâp và nghiên cứu. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy, cô giáo trong viện Toán học Việt Nam và các thầy, cô giáo trong khoa sau Đại học, khoa Toán trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình em học tập tại trường. Bản luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Em rất mong được sự góp ý của các thầy cô và các đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010 Học viên Bùi Văn Anh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết các không gian nội suy được bắt đầu nghiên cứu một cách có hệ thống bởi J.Peetre [6], J.L.Lions [5] và A.P.Calderon [2] và các chuyên gia khác từ những năm 1960. Những định lý của Riesz - Thorin và Marcinkiewicz là những kết quả sơ khai, nền tảng cho lý thuyết nội suy. Lý thuyết nội suy được ứng dụng trong nhiều nhánh của Giải tích. Gần đây trong công trình của T.Tao, một bất đẳng thức nội suy cũng đã được dùng bởi [4]. Trong luận văn này tôi sẽ giới thiệu phần cơ sở của lý thuyết nội suy. Tài liệu tham khảo chính được sử dụng là quyển sách [3]. Trong quyển sách này nhiều định lý không được chứng minh trọn vẹn, bởi vậy có nhiều chỗ chúng tôi phải chứng minh chi tiết và chặt chẽ. Luận văn gồm ba chương. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày các khái niêm và tính chất cơ bản của không gian Sobolev. Trong Chương 2, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính tính chất cơ bản của không gian nội suy. Chương 3 là chương quan trọng nhất của luận văn, trình bày phương pháp nội suy thực. Chúng tôi trình bày phương pháp - K và phương pháp - J, Định lý tương đương của hai phương pháp đó, những tính chất cơ bản của không gian Aθ,q , Định lý quan hệ, Định lý đảo, một công thức cho phương pháp nội suy - K, Định lý compact và các ứng dụng của phương pháp nội suy vào không gian Sobolev, không gian Lp . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời nói đầu Mục lục Chương 1. Không gian Sobolev 1 2 3 4 1.1. Định nghĩa 4 1.2. Các tính chất 4 Chương 2. Những tính chất cơ bản của không gian nội suy 8 2.1.Phạm trù và hàm tử 8 2.2. Không gian vectơ định chuẩn 8 2.3. Cặp không gian 10 2.4. Định nghĩa không gian nội suy 12 2.5. Định lý Aronszajn-Gagliardo 14 2.6. Một điều cần thiết cho không gian nội suy 17 2.7. Định lý đối ngẫu 18 Chương 3. Phương pháp nội suy thực 21 3.1. Phương pháp - K 21 3.2. Phương pháp - J 26 3.3. Định lý tương đương 30 3.4. Những tính chất cơ bản của không gian Aθ,q 32 3.5.Định lý đảo 36 3.6. Một công thức cho phương pháp nội suy - K 41 3.7.Định lý đối ngẫu 45 3.8. Định lý compact 47 3.9. Một số ứng dụng 49 Kết luận Tài liệu tham khảo 54 55 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 Định nghĩa. 1.1.1. Chuẩn Sobolev. Chúng ta định nghĩa một hàm ||.||m,p , ở đây m là một số nguyên dương và 1 ≤ p ≤ ∞, như sau  X  p1 α p ||u||m,p = ||D u||p nếu 1 ≤ p < ∞ (1) 0≤|α|≤m ||u||m,∞ = max ||Dα u||∞ (2) 0≤|α|≤m với mọi hàm u mà vế phải có nghĩa, ||.||p là chuẩn trên Lp (Ω). Trong một số trường hợp tránh nhầm lẫn ta sử dụng ||u||m,p,Ω thay cho ||u||m,p . 1.1.2 Không gian Sobolev. Với mọi số nguyên dương m và 1 ≤ p ≤ ∞ chúng ta xét ba không gian sau (a) H m,p (Ω) ≡ làm đầy {u ∈ C m (Ω) : ||u||m,p < ∞}, với chuẩn ||u||m,p , (b) W m,p (Ω) ≡ {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω) với 0 ≤ |α| ≤ m}, ở đây Dα u là đạo hàm suy rộng, (c) W0m,p (Ω) là bao đóng của không gian C0∞ (Ω) trong không gian W m,p (Ω). Hiển nhiên W 0,p (Ω) = Lp (Ω), và nếu 1 ≤ p < ∞ thì W00,p (Ω) = Lp (Ω) bởi vì C0∞ (Ω) trù mật trong Lp (Ω). Với mọi m, chúng ta có dãy phép nhúng W0m,p (Ω) → W m,p (Ω) → Lp (Ω). 1.2. Các tính chất. 1.2.1. Định lý. W m,p (Ω) là một không gian Banach. Chứng minh. Cho un là một dãy Cauchy trong không gian W m,p (Ω). Thì Dα un là một dãy Cauchy trong không gian Lp (Ω) với 0 ≤ |α| ≤ m. Vì Lp (Ω) là không gian định chuẩn đầy đủ nên tồn tại hàm u và uα , 0 ≤ |α| ≤ m, sao cho un → u và Dα un → uα trong Lp (Ω) khi n → ∞. Ta có Lp (Ω) ⊂ L1loc (Ω) vì vậy un xác định một dãy Tun ∈ D0 (Ω). Với mọi φ ∈ D(Ω), theo bất đẳng thức Hölder ta có Z |Tutâm − liệu Tu (φ)| |unNguyên (x) − u(x)||φ(x)|dx ≤ ||φ|| Số hóa bởi Trung Học - Đại≤ học Thái http://www.lrc-tnu.edu.vn p0 ||un − u||p , n (φ) Ω 4 ở đây p0 là số liên hợp của p. Do đó Tun (φ) → Tu (φ) với mọi φ ∈ D(Ω) khi n → ∞. Tương tự, TDα un (φ) → Tuα (φ) với mọi φ ∈ D(Ω). Do đó Tuα (φ) = lim TDα un (φ) = lim (−1)|α| Tun Dα (φ) với mọi φ ∈ D(Ω). n→∞ n→∞ Do đó uα = Dα u với 0 ≤ |α| ≤ m, u ∈ W m,p (Ω). Vì vậy lim ||un − u||m,p = 0, n→∞ suy ra W m,p (Ω) là không gian định chuẩn đầy đủ.  1.2.2. Hệ quả. H m,p (Ω) ⊂ W m,p (Ω). Chứng minh. Xét tập hợp S = {φ ∈ C m (Ω) : ||φ||m,p < ∞}, thì S là tập con của W m,p (Ω). Vì W m,p (Ω) là đầy đủ, nên ánh xạ đồng nhất trên S có thể thác triển lên một phép đẳng cự từ bao đóng của S trong W m,p (Ω) đến H m,p (Ω)(làm đầy của S). Vì vậy ta có thể đồng nhất H m,p (Ω) với bao đóng đó.  1.2.3. Định lý. Cho A là một tập con của Rn và cho A là lớp các tập mở trong Rn S phủ A, nghĩa là, A ⊂ U ∈A U. Thì có một lớp Ψ của các hàm ψ ∈ C0∞ (Rn ) có những tính chất dưới đây (i) Với mọi ψ ∈ Ψ và với mọi x ∈ Rn , 0 ≤ ψ(x) ≤ 1. (ii) Nếu K b A, mọi hàm ψ ∈ Ψ đều triệt tiêu trên K. (iii) Với mọi ψ ∈ Ψ tồn tại U ∈ A sao cho supp(ψ) ⊂ U. P (iv) Với mọi x ∈ A, ta có ψ∈Ψ ψ(x) = 1. Ta gọi Ψ là một C ∞ -phân hoạch đơn vị của A theo phủ mở A. Chứng minh. Trước hết giả sử A là compact. Khi đó có một lớp hữu hạn các S tập hợp trong A sao cho nó phủ A, tức là A ⊂ N j=1 Uj . Ta có thể xây dựng được các tập compact Kj , j = 1, 2, ..., N mà Kj ⊂ Uj , j = 1, 2, ..., N sao cho S ∞ A ⊂ N j=1 Kj . Với mỗi j ta tìm được một hàm không âm φj ∈ C0 (Uj ) sao cho φj (x) > 0, ∀x ∈ Kj . Một hàm φ trong C ∞ (Rn ) được xây dựng sao cho φ(x) > 0 trên P φj (x) Rn và φ(x) = N j=1 φj (x), ∀x ∈ A. Ta thấy Ψ = {ψj : ψj (x) = φ(x) , 1 ≤ j ≤ N } thoả mãn những tính chất của định lý. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Nếu A là một tập mở bất kì, thì A = S∞ j=1 Aj , ở đây 1 Aj = {x ∈ A : |x| ≤ j, dist(x, ∂A) ≥ } là tập compact. j Đặt A0 = A−1 = ∅, với mỗi j ≥ 1 chọn Aj = {U ∩ (Aj+1 ∩ Acj−2 )0 : U ∈ A}, ở đậy kí hiệu A0 là phần trong của tập A. Hiển nhiên Aj là một phủ của Aj và vì vậy có một C ∞ - phân hoạch đơn vị Ψj của Aj theo phủ mở Aj . Tổng P P σ(x) = ∞ j=1 φ∈ψj φ(x) chỉ gồm hữu hạn những số hạng khác không với mỗi x ∈ A. Khi đó Ψ = {ψ : ψ(x) = φ(x) , σ(x) với φ ∈ Ψj nếu x ∈ A, ψ(x) = 0, x ∈ / A} có những tính chất của định lý. Cuối cùng, nếu A bất kì, thì A ⊂ B, với B là hợp tất cả các tập U ∈ A, B là tập mở. Với mọi phân hoạch đơn vị của B thì cũng là phân hoạch đơn vị của A.  1.2.4. Bổ đề. Cho Jε được định nghĩa trong 2.28[1], 1 ≤ p < ∞ và u ∈ W m,p (Ω). Nếu Ω0 là một tập con compact đóng trong Ω, thì limε→0+ Jε ∗ u = u trong W m,p (Ω0 ). Chứng minh. Cho ε < dist(Ω0 , ∂Ω), và ũ là sự mở rộng của u bên ngoài Ω. Nếu φ ∈ D(Ω0 ), thì Z Z α Jε ∗ u(x)D φ(x)dx = Z ũ(x − y)Jε (y)Dα φ(x)dxdy Z Z |α| Dxα u(x − y)Jε (y)φ(x)dxdy = (−1) n 0 ZR Ω Jε ∗ Dα u(x)φ(x)dx. = (−1)|α| Ω0 Rn Rn Ω0 Vì vậy D Jε ∗ u = Jε ∗ D u là đạo hàm suy rộng trong Ω0 . Từ Dα u ∈ Lp (Ω) với α α 0 ≤ |α| ≤ m và Định lý 2.29(c)[1] ta có lim ||Dα Jε ∗ u − Dα u||p,Ω0 = lim ||Jε ∗ Dα u − Dα u||p,Ω0 = 0. ε→0+ ε→0+ Vì vậy limε→0+ ||Jε u − u||m,p,Ω0 = 0.  1.2.5. Định lý. Nếu 1 ≤ p < ∞, thì Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên H m,p (Ω) = W m,p (Ω). 6 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh. Theo Hệ quả 1.4 ta chỉ cần chứng minh W m,p (Ω) ⊂ H m,p (Ω), tức là phải chứng minh {φ ∈ C m (Ω) : ||φ||m,p < ∞} trù mật trong W m,p (Ω). Thật vậy nếu u ∈ W m,p (Ω) và ε > 0, thì luôn tồn tại φ ∈ C ∞ (Ω) sao cho ||φ − u||m,p < ε, do đó C ∞ (Ω) trù mật trong W m,p (Ω). Với k = 1, 2... xét Ωk = {x ∈ Ω : |x| < k và dist(x, ∂Ω) > 1/k}, và cho Ω0 = Ω−1 = ∅. Thì A = {Uk : Uk = Ωk+1 ∩ (Ωk−1 )c , k = 1, 2, ...} là một lớp các tập con mở của Ω mà phủ Ω. Cho Ψ là một C ∞ - là một phân hoạch đơn vị của Ω theo phủ mở A. Cho ψk là tổng của hữu hạn của các hàm ψ ∈ Ψ mà P giá của chúng chứa ttrong Uk . Thì ψk ∈ C0∞ (Uk ) và ∞ k=1 ψk (x) = 1 trên Ω. Nếu 0 < ε < 1 , (k+1)(k+2) thì Jε ∗ (ψk u) có giá trong Vk = Ωk+2 ∩ (Ωk−2 )c b Ω. Vì ψk u ∈ W m,p (Ω) nên chúng ta có thể chọn εk thoả mãn 0 < εk < 1 , (k+1)(k+2) ||Jεk ∗ (ψk u) − ψk u||m,p,Ω = ||Jεk ∗ (ψk u) − ψk u||m,p,Vk < Đặt φ = P∞ k=1 sao cho ε . 2k Jεk ∗ (ψk u). Trên một tập bất kỳ Ω0 b Ω chỉ có hữu hạn số hạng của tổng đó khác không. Vì vậy φ ∈ C ∞ (Ω). Với mọi x ∈ Ωk , ta có u(x) = k+2 X ψj (x)u(x), và φ(x) = j=1 k+2 X Jεj ∗ ψj u(x). j=1 Vì vậy ||u − φ||m,p,Ωk ≤ k+2 X ||Jεj ∗ (ψj u) − ψj u||m,p,Ω < ε. j=1 Theo Định lý 1.48[1] về sự hội tụ đều thì ||u − φ||m,p,Ω < ε.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 CHƯƠNG 2. NHỮNG TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN NỘI SUY Trong chương này chúng ta đưa ra một số định nghĩa và kí hiệu cơ bản. Chúng ta thảo luận một vài kết quả tổng quát của không gian nội suy. Một điều quan trọng là định lý Aronszajn-Gagliardo. 2.1. Phạm trù và hàm tử. Một phạm trù C cấu tạo từ các vật A, B, C, ... và các cấu xạ R, S, T, .... Giữa các vật và các cấu xạ có quan hệ được định nghĩa, T : A → B và S : B → C thì có một cấu xạ ST là tích của S và T, sao cho ST : A → C thoả mãn luật kết hợp sau (1) T (SR) = (T S)R. Hơn nữa, với mọi vật A trong C, có một cấu xạ I = IA , sao cho với mọi cấu xạ T : A → A ta có (2) T I = IT = T. Trong phần này chúng ta thường làm việc với phạm trù các không gian vectơ tôpô. Cấu xạ là các ánh xạ liên tục, ST là ánh xạ tích, I là ánh xạ đồng nhất. Với phạm trù các không gian vectơ tôpô chúng là các toán tử tuyến tính liên tục. Cho C1 và C là hai phạm trù. Hàm tử F từ C1 vào C, nghĩa là, mọi vật A trong C1 và F (A) trong C, mọi cấu xạ T trong C1 tương ứng với cấu xạ F (T ) trong C. Nếu T : A → B thì F (T ) : F (A) → F (B) và (3) F (ST ) = F (S)F (T ), (4) F (IA ) = IF (A) . 2.2. Không gian vectơ định chuẩn. Trong phần này chúng ta xét phạm trù các không gian vectơ tôpô. Cho A là một không gian vectơ thực hoặc phức. Thì A được gọi là một không gian vectơ định chuẩn nếu có một hàm(một chuẩn) ||.||A xác định trên A sao cho (1) ||a||A ≥ 0 và ||a||A = 0 nếu a = 0, (2) ||λa||A = |λ|||a||A , (3) ||a + b|| ≤ ||a|| + ||b|| . λ là một hằng số, A Số hóa bởi Trung tâm A Học liệu - A Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Nếu A là một không gian vectơ định chuẩn thì có một tôpô trên A. Một lân cận của phần tử a là tập hợp tất cả các phần tử b thuộc A sao cho ||b − a||A < ε với hằng số ε > 0. Cho A và B là hai không gian vectơ định chuẩn. Một ánh xạ T từ A vào B gọi là một toán tử tuyến tính bị chặn nếu với mọi a, b ∈ A và mọi λ ∈ K ta có T (λa) = λT (a), T (a + b) = T (a) + T (b) và ||T ||A,B = sup a6=0 ||T a||B . ||a||A Hiển nhiên toán tử tuyến tính bị chặn là liên tục và ta cũng dễ dàng chứng minh được không gian tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ từ A vào B là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn ||.||A,B . Chúng ta xét phạm trù N tất cả các không gian vectơ định chuẩn. Các vật trong N là các không gian vectơ định chuẩn và các cấu xạ là các toán tử tuyến tính bị chặn. Hiển nhiên N là phạm trù con của phạm trù các không gian vectơ tôpô. 2.2.1. Bổ đề. Giả sử A là một không gian vectơ định chuẩn. Thì A là đầy đủ nếu và PN P chỉ nếu ∞ n=1 an ||A → 0 k=1 ||an ||A < ∞ kéo theo có một phần tử a ∈ A sao cho ||a− khi N → ∞. Chứng minh. Giả sử A là đầy đủ và P ||an ||A hội tụ. Xét dãy bν = Pν n=1 an thì (bν ) là một dãy Cauchy trong A, do A đầy đủ nên (bν ) hội tụ về a ∈ A, suy ra P∞ n=1 an = a ∈ A. Ngược lại, giả sử (aν ) là một dãy Cauchy trong A. Khi đó với mỗi n ∈ N, tồn tại kn sao cho với mọi l, m ≥ kn ta đều có ||al − am ||A < 21n , như vậy ta được dãy (aνj ) sao P P∞ 1 P∞ cho ||al − am ||A < 21j suy ra ∞ j=1 ||aνj − aνj−1 ||A < j=1 2j j=1 ||aνj − aνj−1 ||A P∞ hội tụ, theo giả thiết thì j=1 aνj − aνj−1 thuộc A, suy ra dãy Sνj = j X aνk − aνk−1 = aνj − aν0 hội tụ, k=1 Sốsuy hóa ra bởi aTrung tâmtụ. Họcliệu - Đại học Thái Nguyên hội http://www.lrc-tnu.edu.vn νj 9 2.3. Cặp không gian. Cho A0 và A1 là hai không gian vectơ tôpô. Ta nói A0 và A1 là cặp so sánh được nếu có một không gian vectơ tôpô Hausdorff A sao cho A0 và A1 là không gian con của A. Thì có các tổng A0 + A1 và giao A0 ∩ A1 . Tổng xét tất cả các phần tử a ∈ A sao cho có thể viết dưới dạng a = a0 + a1 với a0 ∈ A0 và a1 ∈ A1 . 2.3.1. Bổ đề. Giả sử A0 và A1 là một cặp không gian vectơ định chuẩn so sánh được. Thì A0 ∩ A1 là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn được định nghĩa như sau (1) ||a||A0 ∩A1 = max(||a||A0 , ||a||A1 ). Hơn nữa, A0 + A1 cũng là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn, (2) ||a||A0 +A1 = inf a=a0 +a1 (||a0 ||A0 + ||a1 ||A1 ). Nếu A0 và A1 là đầy đủ thì A0 ∩ A1 và A0 + A1 cũng là các không gian đầy đủ. Chứng minh. *) Chứng minh A0 ∩ A1 là không gian vectơ định chuẩn. Với mọi a ∈ A0 ∩A1 , ta có ||a||A0 ∩A1 ≥ 0 và ||a||A0 ∩A1 = 0 ⇔ ||a||A0 = 0 và ||a||A1 = 0 ⇔ a = 0. Với mọi a ∈ A0 ∩ A1 , λ ∈ K, ta có ||λa||A0 = |λ|||a||A0 và ||λa||A1 = |λ|||a||A1 , suy ra ||λa||A0 ∩A1 = max(|λ|||a||A0 |λ|||a||A1 ) = |λ|||a||A0 ∩A1 . Với mọi a, b ∈ A0 ∩ A1 , ta có ||a + b||A0 ≤ ||a||A0 + ||b||A0 và ||a + b||A1 ≤ ||a||A1 + ||b||A1 . Từ đó suy ra ||a + b||A0 ∩A1 ≤ max(||a||A0 + ||b||A0 , ||a||A1 + ||b||A1 ) ≤ ||a||A0 ∩A1 + ||b||A0 ∩A1 . Vậy A0 ∩ A1 là không gian vectơ định chuẩn. *)Chứng minh A0 + A1 là không gian vectơ định chuẩn. Hiển nhiên ||a||A0 +A1 ≥ 0 với mọi a ∈ A0 + A1 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 10 http://www.lrc-tnu.edu.vn Với mọi λ ∈ K, a ∈ A0 + A1 ta có ||λa||A0 +A1 = inf (||λa0 || + ||λa1 ||) a=a0 +a1 = |λ| inf (||a0 || + ||a1 ||) a=a0 +a1 = |λ|||a||A0 +A1 . Với mọi a, b ∈ A0 + A1 , a = a0 + a1 , b = b0 + b1 ,ta có ||a0 + b0 ||A0 + ||a1 + b1 ||A1 ≤ ||a0 ||A0 + ||a1 ||A1 + ||b0 ||A0 + ||b1 ||A1 nên ||a + b||A0 +A1 ≤ ||a||A0 +A1 + ||b||A0 +A1 . *)Bây giờ ta sử dụng Bổ đề 2.3.1 để chứng minh A0 + A1 là đầy đủ. P 1 0 Giả sử ∞ n=1 ||an ||A0 +A1 < +∞, ta viết an = an + an sao cho ||a0n ||A0 + ||a1n ||A1 ≤ 2||a||A0 +A1 . Vì chuỗi P∞ n=1 ||an ||A0 +A1 hội tụ nên hai chuỗi P∞ n=1 ||a0n ||A0 và P∞ n=1 ||a1n ||A1 cũng P 0 hội tụ, vì A0 và A1 là không gian đầy đủ nên chuỗi ∞ n=1 an hội tụ trong A0 và chuỗi P∞ 1 P∞ 0 P∞ 1 0 1 1 0 n=1 an và a = a + a thì n=1 an và a = n=1 an hội tụ trong A1 . Đặt a = PN 1 P PN 0 1 0 a ∈ A0 + A1 và ||a − N n=1 an ||A1 → 0 n=1 an ||A0 +A1 ≤ ||a − n=1 an ||A0 + ||a − khi N → +∞. Như vậy chuỗi P∞ n=1 an hội tụ trong A0 + A1 , suy ra A0 + A1 là không gian định chuẩn đầy đủ. *)Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được A0 ∩ A1 là không gian định chuẩn đầy đủ.  Cho C là phạm trù con của của phạm trù các không gian tuyến tính định chuẩn N , chúng ta giả sử ánh xạ T : A → B là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ không gian tuyến tính định chuẩn A vào không gian tuyến tính định chuẩn B. Gọi C1 là phạm trù các cặp so sánh được A = (A0 , A1 ) nghĩa là A0 và A1 là so sánh được và A0 + A1 và A0 ∩ A1 là các không gian trong C1 , cấu xạ T : (A0 , A1 ) → (B0 , B1 ) trong C1 là toán tử tuyến tính bị chặn từ A0 + A1 vào B0 + B1 sao cho TA0 : A0 → B0 và TA1 : A1 → B1 là các ánh xạ trong C. Ở đây, TA có nghĩa là hạn chế của T trên không gian con A. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 11 http://www.lrc-tnu.edu.vn Với a = a0 + a1 , ta có ||T a||B0 +B1 = ||T a0 + T a1 ||B0 +B1 ≤ ||T a0 ||B0 + ||T a1 ||B1 ≤ ||T ||A0 ,B0 ||a0 ||A0 + ||T ||A1 ,B1 ||a1 ||A1 (Kí hiệu ||T ||A,B là chuẩn của toán tử T : A → B.) Chúng ta có kết quả sau (3) ||T ||A0 +A1 ,B0 +B1 ≤ max(||T ||A0 ,B0 , ||T ||A1 ,B1 ), (4) ||T ||A0 ∩A1 ,B0 ∩B1 ≤ max(||T ||A0 ,B0 , ||T ||A1 ,B1 ). Chúng ta định nghĩa hai hàm cơ sở P Chúng ta viết (T ) = 4(T ) = T và (5) (6) P (tổng) và 4(giao) từ C1 vào C. 4(A) = A0 ∩ A1 , P (A) = A0 + A1 . Ví dụ 1. Pham trù C = B các không gian Banach và coi C1 là tất cả các cặp so sánh được (A0 , A1 ). Theo Mệnh đề 2.3.1 chúng ta có, nếu A0 và A1 là cặp so sánh được thì A0 + A1 và A0 ∩ A1 cũng là các không gian Banach. Ví dụ 2. Phạm trù C tất cả các không gian L1,w định nghĩa bởi chuẩn Z ||f ||L1,w = |f (x)|w(x)dx ở đây w(x) > 0. Ta có L1,w0 ∩ L1,w1 = L1,w0 , với w0 (x) = max(w0 (x), w1 (x)) và L1,w0 + L1,w1 = L1,w00 , trong đó w00 (x) = min(w0 (x), w1 (x)), chúng ta coi C1 là tất cả các cặp (L1,w0 , L1,w1 ). 2.4. Định nghĩa không gian nội suy. Trong phần này C có nghĩa là phạm trù con của N sao cho C là đóng đối với toán P tử tổng và giao 4. Chúng ta coi C1 là phạm trù tất cả các cặp so sánh được A của không gian C. Số2.4.1. hóa bởi Trung Học liệuCho - ĐạiA học=Thái Địnhtâm nghĩa. (ANguyên C1 . Khi đó, một không 0 , A1 ) là một cặp trong http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 gian A sẽ được gọi là một không gian trung gian giữa A0 và A1 nếu P (1) 4(A) ⊂ A ⊂ (A). Với bao hàm liên tục. Không gian A được gọi là không gian nội suy giữa A0 và A1 (hay đối với cặp A) nếu thêm điều kiện (2) T : A → A kéo theo T : A → A. Tông quát, cho A và B là hai cặp trong C1 . Ta nói rằng hai không gian A và B là không gian nội suy với cặp A và B nếu A và B là các không gian trung gian đối với A và B và (3) T : A → B kéo theo T : A → B. Chú ý rằng (3) có nghĩa là, nếu T : A0 → B0 và T : A1 → B1 thì T : A → B. Ví dụ. Định lý Riesz-Thorin nói rằng Lp là không gian nội suy giữa Lp0 và Lp1 nếu p0 < p < p 1 . Nhận xét. +) 4(A) và 4(A) là các không gian nội suy đối với cặp A và B. P P +) (A) và (A) là các không gian nội suy đối với cặp A và B. P P Thật vậy, chỉ cần chọn A = 4(A) (hoặc A = (A)) và B = 4(B)(hoặc B = (B)). Ta nói A và B là các không gian nội suy chính xác nếu điều kiện sau xảy ra (4) ||T ||A,B ≤ max(||T ||A0 ,B0 , ||T ||A1 ,B1 ). A và B là các không gian nội suy đều nếu điều kiện sau xảy ra (5) ||T ||A,B ≤ C max(||T ||A0 ,B0 , ||T ||A1 ,B1 ). Không gian nội suy A và B của số mũ θ, (0 ≤ θ ≤ 1) nếu (6) θ ||T ||A,B ≤ C||T ||1−θ A0 ,B0 ||T ||A1 ,B1 . Nếu C = 1 thì ta nói rằng A và B là các không gian nội suy chính xác của số mũ θ. Định lý Riesz-Thorin nói rằng Lp là không gian nội suy giữa Lp0 và Lp1 mà chính xác của số mũ θ nếu 1−θ θ 1 = + p p0 p1 với 0 < θ < 1. lý.Học Xétliệuphạm trù Thái B. Giả sử A và B là các không gian nội suy đối với Số2.4.2. hóa bởi Định Trung tâm - Đại học Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 cặp A và B. Khi đó A và B là các không gian nội suy đều. Chứng minh. Xét tập hợp tất cả các ánh xạ T trong C1 sao cho T : A → B. Vì vậy T là toán tử tuyến tính bị chặn từ A vào B. Biểu thị này được trang bị chuẩn max(||T ||A,B , ||T ||A0 ,B0 , ||T ||A1 ,B1 ) bởi L1 , và tương đương với chuẩn max(||T ||A0 ,B0 , ||T ||A1 ,B1 ) bởi L2 . Dễ dàng kiểm tra L1 và L2 là các không gian Banach.(Sử dụng tính chất không gian trung gian.) Ánh xạ đồng nhất i : L1 → L2 hiển nhiên là song ánh tuyến tính bị chặn. Theo Định lý Banach i−1 : L2 → L1 cũng bị chặn. Điều này có nghĩa là ||T ||A,B ≤ max(||T ||A,B , ||T ||A0 ,B0 , ||T ||A1 ,B1 ) ≤ C max(||T ||A0 ,B0 , ||T ||A1 ,B1 ). Với C độc lập với T, nghĩa là A và B là các không gian nội suy đều.  2.4.3. Định nghĩa. Một hàm tử nội suy (hoặc một phương pháp nội suy) trên C có nghĩa là một hàm tử F : C1 → C thoả mãn nếu A và B là cặp trong C1 , thì F (A) và F (B) là không gian nội suy đối với cặp A và B. Hơn nữa chúng ta có F (T ) = T với mọi T : A −→ B. Ta nói F là hàm tử nội suy đều(tương tự chính xác) nếu F (A) và F (B) là không gian nội suy đều(tương tự chính xác) đối với cặp A và B. Ta nói F là hàm tử nội suy chính xác của số mũ θ nếu F (A) và F (B) là không gian nội suy chính xác của số mũ θ. Theo Định lý 2.4.2 mọi hàm tử nội suy F trên B là đều, có nghĩa là ||T ||F (A),F (B) ≤ C max(||T ||A0 ,B0 , ||T ||A1 ,B1 ) với C là hằng số và nó phụ thuộc vào cặp A và B. Thật vậy, vì F là hàm tử nội suy nên F (A) và F (B) là không gian nội suy, và do ta xét trên pham trù các không gian Banach nên F (A) và F (B) nội suy đều, suy ra F là hàm tử nội suy đều. Nếu C không phụ thuộc vào cặp A và B ta nói rằng F là hàm tử nội suy bị chặn. Chú ý. C = 1 thì F là hàm tử nội suy chính xác. 2.5. Định lý Aronszajn-Gagliardo. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 14 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.5.1. Định lý( Aronszajn-Gagliardo). Xét phạm trù B của tất cả các không gian Banach. Cho A là một không gian nội suy với cặp A. Khi đó tồn tại một hàm tử nội suy đều F0 trên B thoả mãn F0 (A) = A. Chú ý rằng F0 (A) = A có nghĩa là F0 (A) và A có phần tử như nhau và chuẩn trên chúng tương đương. Chứng minh. Trước hết cho X = (X0 , X1 ) là một cặp trong B1 . Nếu T : A → X chúng ta có ||T ||A,X = max(||T ||A0 ,X0 , ||T ||A1 ,X1 ) thì X = F0 (X) được viết bởi x ∈ P P (X) có cách biểu diễn x = j Tj aj , trong đó Tj : A −→ X, aj ∈ A. P Đặt NX (x) = j ||Tj ||A,X ||aj ||A . Ta có NX (x) là một chuẩn trên X. *)Trước hết ta chứng minh X là không gian trung gian đối với cặp X. Để chứng minh 4(X) ⊂ X, chúng ta xét ϕ là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn P trên (A) sao cho ϕ(a1 ) = 1 với a1 ∈ A cố định. Cho x ∈ 4(X) cố định, đặt T1 a = ϕ(a)x (1), khi đó ||T1 a||Xj = ||ϕ(a)x||Xj = |ϕ(a)|||x||Xj ≤ C||a||P(A) ||x||Xj . P (do ϕ bị chặn trên (A) nên ||ϕ|| ≤ C và |ϕ(a)| ≤ ||ϕ||.||a||P(A) ) Ta có ||T1 ||Aj ,Xj ≤ C.||x||Xj , suy ra ||T1 ||A,X = max(||T1 ||Aj ,Xj ) ≤ C max(||x||Xj ) = C.||x||4(X) suy ra ||T1 ||A,X ≤ C.||x||4(X) . Đặt Tj = 0 và aj = 0 nếu j > 1, từ (1) suy ra, T1 a1 = x, chúng ta có P P x = j Tj aj và ||x||X ≤ j ||Tj ||A,X .||aj ||A ≤ C.||x||4(X) .||a1 ||A . Từ đó kéo theo 4(X) ⊂ X. P *)Ta chứng minh X ⊂ (X). P P Ta có A ⊂ (A), nếu x = j Tj aj là biểu diễn của x ∈ X thì P P ||x||P(X) ≤ j ||Tj ||A,X ||aj ||P(A) ≤ C. j ||Tj ||A,X ||aj ||A , P suy ra||x||P(X) ≤ C.NX (x), suy ra x ∈ (X). P P∞ (ν) (ν) P Sử dụng Mệnh đề 2.2.1, giả sử ∞ ν=0 ||x ||X hội tụ thì chuỗi ν=0 ||x || (X) cũng P P P P (ν) hội tụ, vì X ⊂ (X), suy ra chuỗi ∞ = x ∈ (X), (vì (X) là đầy đủ). ν=0 x P Học P (ν) liệu (ν) - Đại học Thái Nguyên (ν) (ν) (ν) −ν SốCho hóa bởi http://www.lrc-tnu.edu.vn x(ν)Trung = tâm j Tj aj là biểu diễn thoả mãn j ||Tj ||A,X .||aj ||A < ||x ||X +2 , 15 với ν = 0, 1, 2, ... thì x = P P ν j Tjν .aνj ∈ X, bởi vì chuỗi P P ν j ||Tjν ||A,X .||aνj ||A hội tụ. Cuối cùng, với sự biểu diễn đó chúng ta có P P∞ P∞ P∞ (ν)||A,X (ν) −ν ||x − nν=0 x(ν) ||X ≤ ||aνj ||A ≤ ν=n+1 j=0 ||Tj ν=n+1 (||x ||X + 2 ) → P (ν) 0(n → ∞). Như vậy x = ∞ ∈ X, suy ra X là không gian định chuẩn đầy đủ. ν=0 x Tiếp theo ta chứng minh F0 là hàm nội suy chính xác. Giả sử S : X → Y . Nếu X = (X0 , X1 ) và Y = (Y0 , Y1 ), ta đặt Mj = ||S||Xj ,Yj , j = 0, 1. Ta cần chứng minh ||S||Y ≤ max(||S||X0 ,Y0 , ||S||X1 ,Y1 ) = max(M0 , M1 ). P Đặt X = F (X) và Y = F (Y ) và giả sử rằng x ∈ X. Nếu x = j Tj aj là một biểu P diễn của x, thì Sx = j STj aj là một biểu diễn của Sx. Ta có ||STj ||A,Y ≤ ||S||Xj ,Yj ||Tj ||A,X ≤ max(M0 , M1 )||Tj ||A,X do đó P j ||STj ||A,Y ||aj ||A ≤ max(M0 , M1 )||Tj ||A,X ||aj ||A với mọi aj ∈ A, suy ra ||Sx||Y ≤ max(M0 , M1 )||x||X , suy ra ||S||Y ≤ max(M0 , M1 ). Vậy F0 là một hàm tử nội suy chính xác. *) Chứng minh F0 (A) = A. Nếu a ∈ F0 (A) có biểu diễn a = P j Tj aj , ở đây Tj : A → A thì ||Tj aj ||A ≤ C.||Tj ||A,A .||aj ||A . Vì vậy A là một không gian nội suy với cặp A và A là đóng phù P P hợp với Định lý 2.4.2 và ||a||A ≤ j ||Tj aj ||A ≤ C. j ||Tj ||A,A .||aj ||A = C.NA (a) điều này chứng tỏ F0 (A) ⊂ A. P Với a ∈ A, ta viết a = j Tj aj , Tj = 0 và aj = 0 với j > 1 và T1 = I, a1 = a, thì P ||a||F0 (A) ≤ j ||Tj ||A,A .||aj ||A = ||a||A , suy ra A ⊂ F0 (A).  2.5.2. Hệ quả. Xét phạm trù B. Cho A là một không gian nội suy với cặp A và cho F0 là một hàm tử nội suy được xây dựng trong chứng minh của Định lý 2.5.1. Thì F0 (X) ⊂ G(X) với bất kì hàm tử nội suy G thoả mãn G(A) = A. Chứng minh. Nếu x = P j Tj aj là một biểu diễn của x ∈ X = F0 (X) thì Tj : A → X. Đặt Y = G(X), vì A và Y là các không gian nội suy đều với cặp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn A và X nên ta có ||Tj aj ||Y ≤ C.||Tj ||A,X .||aj ||A , ở đây ||Tj ||A,X = max(||Tj ||A0 ,X0 , ||Tj ||A1 ,X1 ). Do đó ||x||Y ≤ C. P j ||Tj ||A,X .||aj ||A theo định nghĩa của không gian X thì X ⊂ Y, suy ra F0 (X) ⊂ G(X).  2.6. Một điều cần thiết cho không gian nội suy. Trong phần này chúng ta xét phạm trù C = N của tất cả các không gian tuyến tính định chuẩn. C1 là phạm trù tất cả các cặp so sánh được của C. Với t > 0 cố định, đặt K(t, a) = K(t, a, A) = inf (||a0 ||A0 + t||a1 ||A1 ), a ∈ a=a0 +a1 X (A) J(t, a) = J(t, a, A) = max(||a||A0 , t||a||A1 ), a ∈ 4(A). P Ta chứng minh K(t, a) và J(t, a) là các chuẩn tương ứng trên (A) và 4(A). P *) Chứng minh K(t, a) là chuẩn trên (A). P Với mọi a ∈ (A) có biểu diễn a = a0 + a1 , a0 ∈ A0 , a1 ∈ A1 thì do ||a0 ||A0 ≥ 0 và ||a1 ||A1 ≥ 0 nên K(t, a) ≥ 0, ngoài ra K(t, a) = 0 khi ||a0 ||A0 = ||a1 ||A1 = 0 tức tà a = 0. Với mọi λ ∈ K và mọi a = a0 + a1 , a0 ∈ K(t, λa) = P (A), ta có inf (||λa0 ||A0 + t||λa1 ||A1 ) a=a0 +a1 = |λ| inf (||a0 ||A0 + t||a1 ||A1 ) a=a0 +a1 = |λ|K(t, a). Với mọi a = a0 + a1 , b = b0 + b1 , ∈ P (A), do ||a0 + b0 || + t||a1 + b1 || ≤ ||a0 || + t||a1 || + ||b0 || + t||b1 || nên K(t, a + b) = inf(||a0 + b0 ||A0 + t||a1 + b1 ||A1 ) ≤ inf (||a0 ||A0 + t||a1 ||A1 ) + inf (||b0 ||A0 + t||b1 ||A1 ) a=a0 +a1 b=b0 +b1 = K(t, a) + K(t, b). Vậy K(t, a) là một chuẩn trên P (A). Số*) hóaHoàn bởi Trung Học liệu Đạichứng học Thái Nguyên toàntâm tương tự -ta minh được J(t, a) là chuẩn http://www.lrc-tnu.edu.vn trên 4(A). 17 2.6.1. Định lý. Cho A và B là các không gian nội suy đều với cặp A và B. Khi đó nếu J(t, b) ≤ K(t, a) với mọi t ∈ K, a ∈ A thì b ∈ B, ||b||B ≤ C.||a||A . Hơn nữa nếu A và B là các không gian nội suy chính xác thì C = 1. Chứng minh. Cho a ∈ A, b ∈ B và t ∈ K. Xét toán tử tuyến tính T (x) = f (x)b, ở P đây f là một phiếm hàm tuyến tính trên (A) với f (a) = 1 và |f (x)| ≤ K(t,x) (Sự K(t,a) tồn tại của f là do Định lý Hanh-Banach). Nếu x ∈ Ai , chúng ta có ti ||T x||i ≤ |f (x)|.ti ||b||i ≤ K(t, x) i t ||b||i . K(t, a) Vì J(t, b) = max(||b||B0 , t||b||B1 ) ≥ ti .||b||Bi suy ra, ti .||b||Bi K(t,a) ≤ J(t,b) K(t,a) ≤ 1. Vì A và B là các không gian nội suy đều, nên ||T x||B ≤ C.||x||A , với mọi x ∈ A. Đặt x = a, ta có ||b||B ≤ C.||a||A vì T a = b. Cuối cùng nếu A và B là không gian nội suy chính xác thì đương nhiên C = 1.  2.7. Định lý đối ngẫu. Giả sử B là phạm trù các không gian Banach. 2.7.1. Định lý. Giả sử 4(A) là trù mật trong cả hai A0 và A1 thì 4(A)0 = X (A0 ) và X (A)0 = 4(A0 ). Ở đây A0 = (A00 , A01 ) và A0 là đối ngẫu của A. Hơn nữa, | < a0 , a > | ||a||4(A) a∈4(A) ||a0 ||P(A0 ) = sup và | < a0 , a > | . P (A) ||a|| (A) = sup ||a0 || Thái0 )Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học 4(A P a∈ 18 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh. *) Ta chứng minh ||a0 ||P(A0 ) Với a0 ∈ P | < a0 , a > | = sup . ||a||4(A) a∈4(A) (A0 ) và a0 = a00 + a01 , a00 ∈ A00 , a01 ∈ A01 và a ∈ 4(A) thì | < a0 , a > | ≤ | < a00 , a > | + | < a01 , a > | ≤ ||a00 ||A00 ||a||A0 + ||a01 ||A01 ||a||A1 ≤ (||a00 ||A00 + ||a01 ||A01 ) max(||a||A0 , ||a||A1 ) = (||a00 ||A00 + ||a01 ||A01 )||a||4(A) . Suy ra Suy ra || ||a||4(A) || ||a||4(A) ≤ ||a00 ||A00 + ||a01 ||A01 , với mọi a0 = a00 + a01 ∈ P 0 (A ). ≤ ||a0 ||P(A0 ) . Vậy a0 ∈ 4(A0 ) và ||a0 ||4(A)0 ≤ ||a0 ||P(A0 ) . (*) Ngược lại, lấy l ∈ 4(A)0 nghĩa là |l(a)| ≤ ||l||4(A)0 ||a||4(A) , a ∈ 4(A). Thì toán tử tuyến tính M a0 + a1 ) trên E = {(a0 , a1 ) ∈ A0 A1 : a0 = a1 } 2 L là liên tục với chuẩn max(||a0 ||A0 , ||a1 ||A1 ) trên A0 A1 , E là không gian con của L L A0 A1 . Theo Định lý Hanh-Banach có (a00 ; a01 ) ∈ A00 A01 sao cho λ : (a0 , a1 ) 7→ l( ||a00 ||0A + ||a01 |0A1 ≤ ||l||4(A)0 và λ(a0 , a1 ) =< a00 , a0 > + < a01 , a1 >, (a0 , a1 ) ∈ E. Vì vây, đặt a0 = a1 = a, chúng ta được l(a) = λ(a0 , a1 ) =< a00 , a > + < a01 , a >=< a00 + a01 , a >, a ∈ 4(A). Do tính trù mật nên a00 và a01 xác định bởi giá trị trên 4(A). Đặt l = a00 + a01 , ta có ||l||P(A0 ) ≤ ||l||4(A) . (**) Từ (*) và (**) ta suy ra | < a0 , a > | . ||a||4(A) a∈4(A) ||a0 ||P(A0 )Nguyên = sup Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái 19 http://www.lrc-tnu.edu.vn Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được | < a0 , a > | . P (A) ||a|| (A) ||a0 ||4(A0 ) = sup P a∈ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 20 http://www.lrc-tnu.edu.vn