Tài liệu Phương pháp giải toán 12-chuyên đề hàm số

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 NGUYEÃN PHUÙ KHAÙNH -----oOo----- Phöông phaùp giaûi Toaùn 12 CHUYEÂN ÑEÀ: HAØM SOÁ PHOÅ THOÂNG TRUNG HOÏC 1 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 LÖU HAØNH NOÄI BOÄ 2 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 GIÔÙI HAÏN VAØ LIEÂN TUÏC I. GIÔÙI HAÏN 1. Caùc ñònh nghóa cô baûn Ñònh nghóa 1: Ta noùi raèng daõy soá (Un) coù giôùi haïn L neáu moïi soá döông ε cho tröôùc, toàn taïi soá töï nhieân N sao cho ∀n > N ta coù U n − L < ε . Ta vieát: lim U n = L , vieát taét laø lim U n = L n→∞ Ñònh nghóa 2: Cho haøm soá f(x) xaùc ñònh treân moät khoaûng I, coù theå loaïi tröø taïi ñieåm x0 ∈ I . Ta noùi raèng f(x) coù giôùi haïn laø L (hay tieán daàn tôùi L), khi x tieán daàn tôùi x0 neáu moïi daõy soá: (xn); ( xn ∈ I , xn ≠ x0 , ∀n ∈ N + ) sao cho lim xn = x0 thì lim f ( xn ) = L . Ta vieát lim f ( x) = L hay x →∞ f ( x) → L khi x → x0 Ñònh nghóa 3: Ta noùi raèng haøm soá f(x) tieán daàn tôùi voâ cöïc khi khi x daàn tôùi x0, neáu vôùi moïi daõy soá (xn); ( xn ≠ x0 ) sao cho: lim xn = x0 thì lim f ( xn ) = ∞ ta vieát lim f ( xn ) = ∞ hoaëc x → x0 f ( x) → ∞ khi x → x0 Ñònh nghóa 4: Soá L ñöôïc goïi laø giôùi haïn beân phaûi (hoaëc beân traùi) cuûa haøm soá f(x) khi x daàn tôùi x0, neáu vôùi moïi daõy soá (xn) vôùi xn > x0 hoaëc (xn < x0) sao cho lim xn = x0 thì lim f(xn) = L. Ta vieát: lim+ f ( xn ) = ∞ (hoaëc lim− f ( xn ) = ∞ ) x → x0 x → x0
Chuù yù: Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå lim f ( xn ) = L vaø giôùi haïn lim+ f ( xn ) vaø lim f ( xn ) ñeàu toàn taïi vaø x → x0 x → x0 x → x0 ñeàu baèng L Ví duï 1: Tìm lim x →∞ x2 − 4 2x lim x →∞ 4 x 2 + x + 5 + 3x 9x2 + 2 − x  4 x 1− 2  4 x =1 x 1 − 2 lim 2 x −4 2x 2 x =  x→∞ * lim =  x →∞ 2x 2x 4  −x 1− 2  x =1 lim x →∞ 2x 2  1 5   x 2  4 + + 2  + 3x x x  4 x + x + 5 + 3x  * lim = lim x →∞ x →∞ 2 9x2 + 2 − x  x2  9 + 2  − x x   2 3 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008  1 5 1 5 x 4 + + 2 + 3x 4+ + 2 +3  5 x x x x  lim = lim = x →+∞ 2 2 2  x →+∞ x x 9 9 + 2 −1 + − 2  x x = 1 5 1 5  − x 4 + + 2 + 3x − 4+ + 2 +3  1 x x x x = lim =−  xlim →−∞ x →−∞ 4 2 2  x 9+ 2 − x − 9 + 2 −1  x x 2. Caùc ñònh lí cô baûn: Ñònh lí 1: Giôùi haïn cuûa toång, hieäu, tích, thöông (vôùi giôùi haïn cuûa maãu thöùc khaùc 0) cuûa hai haøm soá khi x x0 (hay x ∞ ) baèng toång, hieäu, tích, thöông cuûa caùc giôùi haïn khi x x0 (hay x ∞ ) Ñònh lí 2: Cho 3 haøm soá f(x), g(x), h(x) cuøng xaùc ñònh treân moät khoaûng I chöùa ñieåm x0 (coù theå tröø taïi ñieåm x0). Neáu trong khoaûng ñoù: g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) vaø neáu lim g ( x) = lim h( x) = L x → x0 x → x0 thì lim = L x → x0 Nhôø ñònh lí treân, ta chöùng minh ñöôïc: lim a →0 sin a a = lim =1 a → 0 a sin a sin 9 x 2 x →0 3x 2 Ví duï 2: Tính lim 2 sin 9 x 2 sin 9 x 2 sin 9 x 2  sin(3 x)  lim = lim = 3lim = 3lim   =3 2 2 x →0 x → x → x → 0 0 0 1 2 3x 9x  3x  9x 3 Ñònh lí 3: Haøm soá ñôn ñieäu taêng vaø bò chaën treân thì coù giôùi haïn haøm soá ñôn ñieäu giaûm vaø bò chaën döôùi thì coù giôùi haïn Nhôø ñònh lí treân ta chöùng minh ñöôïc lim (1 + a ) a →0 lim a →0 ln (1 + a ) a • • a  1 = e hoaëc lim 1 +  = e a →∞  a ea − 1 =1 a →0 a = 1 vaø lim  x+3 Ví duï 3: Tính lim   x →∞ x − 2   • 1 a x+4 1 lim (1 − cos x ) x2 − π42 x→ π 2 x+3 5 Ta coù: = 1+ x+2 x−2 5 5 Ñaët a = ⇒ x + 4 = + 6 . Khi x ∞ thì a  0 x−2 a Do vaäy 5  x + 3 a lim   x →∞ x − 2   +6 = lim (1 + a ) a →0 5 +6 a 5 a = lim (1 + a ) . (1 + a ) a→0 5 6 1 6   = lim (1 + a ) a  .lim (1 + a ) = e5 .1 = e5 a→0   a →0 4 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 • Ñaët t = π 2 ⇒ (1 − cos x ) − x khi x → 1 2 x2−π 4 π 2 thì t  0 vaø x 2 −   = (1 − sin t )  
 1 − sin t ( − sin t ). π2 4 = −t ( π − t ) 1 − t (π − t ) U (t ) 1 Theo coâng thöùc: lim U (t ) = e (vì lim (1 + a ) a = e ) t →0 a →0 − sin t sin t 1 1 Maët khaùc: lim = lim . = t →0 −t ( π − t ) t →0 t π −t π Vaäy limπ (1 − cos x ) x→ 2 1 2 x 2 −π 4 1 =e π BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ Daïng 1: Daïng voâ ñònh 0 . Tính caùc giôùi haïn sau: 0 5 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 lim x →2 x2 − 5x + 6 x3 − x 2 − 4 lim x →0 1 − 2 x2 + 1 lim x →0 1 − cos x cos 4 x − sin 4 x − 1 x2 + 1 − 1 1 + 2 x − 3 1 + 3x lim x →0 x2 Daïng 2: Daïng voâ ñònh 3 lim x →0 x 2 + x + 1 − 3 x3 + 1 x 2 e−2 x − 3 1 + x 2 lim x →0 ln 1 + x 2 ( ∞ . Tính caùc giôùi haïn sau ∞ 3x 2 − 7 x + 8 x →∞ 11x 2 + 3 x − 9 lim ( lim ( lim x →+∞ x →+∞ Daïng 3: Daïng voâ ñònh ∞ − ∞ . Tính caùc giôùi haïn sau ) 9 x + 7 x + 2 + 3x ) 16 x 2 − x + 7 − 4 x 2 Daïng 4: Daïng voâ ñònh 0.∞ hay ∞.0 . Tính caùc giôùi haïn sau lim ( 2 x − 5 ) 2 x − 4 x 2 + 3   x →+∞   ) ( lim (π − 4 x ) .tg 2 x x→ π 4 Daïng 5: Daïng voâ ñònh 1∞ . Tính caùc giôùi haïn sau  2 x2 + 7 x − 8  lim  2  x →∞ 2 x − 2 x + 5   ( 2 x −1) 6 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 ) Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 II. HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC: 1. Moät soá ñònh nghóa: Ñònh nghóa 1: Haøm soá y = f(x) goïi laø lieân tuïc taïi ñieåm x0, neáu x0 laø moät ñieåm thuoäc taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá vaø lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0
Chuù yù: - Neáu ta chæ coù: lim− f ( x) = f ( x0 ) thì haøm soá y = f(x) goïi laø lieân tuïc beân traùi ñieåm x0 x → x0 - Neáu ta chæ coù lim+ f ( x) = f ( x0 ) thì haøm soá y = f(x) goïi laø lieân tuïc beân phaûi ñieåm x0 x → x0 Ví duï 1: Xeùt tính lieân tuïc moät beân cuûa caùc haøm soá sau ñaây taïi ñieåm x = 0  x 2 + x vôù i x > 0 vôù i x ≠ 0 2 + y = f ( x) =  2 y = f ( x) =  x  x − 1 vôù i x ≤ 0 3 vôù i x = 0  2 + x vôù i x > 0 * y = f ( x) =  2  x − 1 vôù i x ≤ 0 Ta coù: f(0) = -1 lim f ( x) = lim+ ( 2 + x ) = x ≠ f (0)  x → 0+ x →0   2 lim− f ( x) = lim− x − 1 = −1 = f (0)  x →0 x →0  ( ) => y = f(x) lieân tuïc beân traùi taïi ñieåm x = 0 vaø khoâng lieân tuïc beân phaûi taïi ñieåm ñoù  x vôù i x ≠ 0 2 + * y = f ( x) =  x 3 vôù i x = 0  Ta coù: f(0) = 3  x  lim f ( x) = lim+  2 +  = 3 = f (0)  x →0  x   −x    lim− f ( x) = lim−  2 +  = 1 ≠ f (0)  x →0 x →0  x   x → 0+ => y = f(x) lieân tuïc beân phaûi taïi ñieåm x = 0 vaø khoâng lieân tuïc beân traùi taïi ñieåm ñoù  1 − x2 −1  Ví duï 2: Cho haøm soá y = f ( x) =  x A  Tìm A ñeå haøm soá y = f(x) lieân tuïc taïi ñieåm x = 0 1 − x 2 ≥ 0  −1 ≤ x < 0 Ñieàu kieän:  ⇔ 0 < x ≤ 1 x ≠ 0 Ta coù: vôù i x ≠ 0 vôù i x = 0 7 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 1 − x2 −1 lim f ( x) = lim = lim x →0 x →0 x →0 x ( )( 1 − x2 − 1 x ( ) = lim 1 + x2 + 1 ) x →0 1− x +1 2 x ( 1 − x2 − 1 ) 1− x +1 2 = lim x →0 −x 1 − x2 + 1 =0 Ñeå haøm soá lieân tuïc taïi x = 0 ⇔ A = lim f ( x ) = 0 x →0 Vaäy neáu A = 0 thì haøm soá ñaõ cho lieân tuïc taïi x = 0 Ñònh nghóa 2: - Haøm soá y = f(x) goïi laø lieân tuïc treân khoaûng (a,b) neáu coù lieân tuïc taïi moïi ñieåm thuoäc khoaûng ñoù - Haøm soá y = f(x) goïi laø lieân tuïc treân ñoaïn [a, b] neáu coù lieân tuïc taïi moïi ñieåm thuoäc khoaûng ñoù vaø: + lieân tuïc veà beân phaûi ñieåm a + lieân tuïc veà beân traùi ñieåm b 2. Caùc ñònh lí quan troïng veà haøm soá lieân tuïc: • Hai haøm soá y = f(x) vaø y = g(x) lieân tuïc taïi ñieåm x0 thì toång, hieäu, tích, thöông ( g ( x0 ) ≠ 0 ) laø • nhöõng haøm soá lieân tuïc taïi x0 Haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân khoaûng (a, b) vaø coù x1 < x2 ∈ (a, b) f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) . Khi ñoù, vôùi moãi soá A naèm trong khoaûng (f(x1), f(x2)) thì ñeàu toàn taïi ñieåm c ∈ ( a, b ) sao cho f(c) = A Ñònh lí naøy khaúng ñònh söï toàn taïi, nhöng khoâng khaúng ñònh söï duy nhaát cuûa ñieåm c, nghóa laø coù theå coù nhieàu ñieåm khaùc nhau vaø khaùc c thuoäc khoaûng (a, b) nghieäm ñuùng f(x) = A * Heä quaû: Haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân khoaûng (a, b) coù giaù trò aâm vaø coù caû giaù trò döông treân khoaûng ñoù, thì phöông trình f(x) = 0 toàn taïi ít nhaát moät nghieäm x = c maø c ∈ ( a, b ) Ví duï 3: Chöùng minh raèng caùc phöông trình sau coù ít nhaát moät nghieäm x3 – 5x2 + 6x – 1 = 0 x4 – 2x3 – 3x2 – 5 = 0 2x + 3x – 6x = 0 ln x + x = 0  f (0) = −1 < 0 a) Ñaët f(x) = x3 – 5x2 + 6x – 1 coù  ⇒ f (0). f (1) < 0  f (1) = 1 > 0 => Haøm soá f(x) lieân tuïc treân R neân noù lieân tuïc treân [0, 1] => toàn taïi ít nhaát moät soá thöïc c ∈ [ 0,1] a) b) c) d) sao cho: f(c) = 0 => c laø moät nghieäm thöïc cuûa phöông trình ñaõ cho  f (0) = −5 < 0 ⇒ f (−2). f (0) < 0 b) Ñaët f(x) = x4 – 2x3 – 3x2 – 5 coù   f (−2) = 15 > 0 => Haøm soá f(x) lieân tuïc treân R neân noù lieân tuïc treân [-2, 0] => toàn taïi ít nhaát soá thöïc c ∈ [ −2, 0] sao cho f(c) = 0 => c laø moät nghieäm thöïc cuûa phöông trình ñaõ cho 8 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008  f (0) = 1 > 0 c) Ñaët f(x) = 2x + 3x – 6x coù  ⇒ f (0). f (1) < 0  f (1) = −1 < 0 => Haøm soá f(x) lieân tuïc treân R neân noù lieân tuïc treân [0, 1] => toàn taïi ít nhaát soá thöïc c ∈ [ 0,1] sao cho f(c) = 0 => c laø 1 nghieäm thöïc cuûa phöông trình ñaõ cho  f (1) = 1 > 0  1 d) Ñaët f(x) = ln x + x coù   1  ⇒ f   . f (1) < 0 1 e  f  e  = −1 + e < 0    1  => Haøm soá f(x) lieân tuïc treân ( 0, +∞ ) neân noù lieân tuïc treân ñoaïn  ,1 => toàn taïi ít nhaát soá thöïc e  1  c ∈  ,1 sao cho f(c) = 0 => c laø moät nghieäm thöïc cuûa phöông trình ñaõ cho e  9 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 ÑAÏO HAØM I. ÑAÏO HAØM 1. Ñònh nghóa: Haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a, b) vaø laáy x0 ∈ ( a, b ) . Neáu toàn taïi giôùi haïn f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) ∆y hoaëc lim thì ta goïi giôùi haïn ñoù laø ñaïo haøm cuûa haøm soá = lim x → x0 ∆x → 0 ∆x ∆x →0 x − x0 ∆x ∆y y = f(x) taïi ñieåm x0, kí hieäu f '( x0 ) = lim ∆x →0 ∆x
Chuù yù: 1/ Duøng khaùi nieäm soá gia cuûa haøm soá ( ∆y ) thì tính ñaëc tröng cuûa haøm soá lieân tuïc y = f(x) taïi ñieåm lim x0 ñöôïc neâu: Haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a, b) vaø lieân tuïc taïi ñieåm x0 ∈ ( a, b ) khi vaø chæ khi lim ∆y = 0 ∆x → 0 2/ Neáu haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x0 thì noù lieân tuïc taïi ñieåm ñoù. Ñaûo laïi: Neáu moät haøm soá lieân tuïc taïi ñieåm x0 coù theå khoâng coù ñaïo haøm taïi ñieåm ñoù Ví duï 1: Chöùng minh raèng haøm soá y = |x| lieân tuïc taïi ñieåm x = 0 nhöng khoâng coù ñaïo haøm taïi ñieåm ñoù Thaät vaäy, ta coù: ∆y = f ( 0 + ∆x ) − f (0) = f (∆x) = ∆x lim ∆y = lim ∆x = 0 => haøm soá lieân tuïc taïi ñieåm x = 0 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆y −∆x = lim− = lim− = −1 ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆ x ∆x →0 ∆x Nhöng: ∆x ∆y ∆x = lim+ = lim+ =1 f '(0+ ) = lim+ ∆x → 0 ∆ x ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x => f '(0− ) ≠ f '(0+ ) neân haøm soá cho khoâng coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 0 f '(0− ) = lim− 2 vôù i x ≤ x0  x Ví duï 2: Cho haøm soá y = f ( x) =  ax + b vôù i x > x0 Tìm a vaø b ñeå haøm soá lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm taïi x = x0 * Muoán haøm soá lieân tuïc taïi ñieåm x = x0, ta coù: lim− f ( x) = lim+ f ( x) = f ( x0 ) x → x0 x → x0   f ( x0 ) = x0 2  Ta coù:  lim+ f ( x ) = lim+ ( ax + b ) = ax + b ⇒ ax0 + b = x0 2 (1) x → x0  x→ x0  lim− f ( x ) = lim− x 2 = x0 2 x → x0  x→ x0 * Ñeå haøm soá coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = x0, ta coù f '( x0 + ) = f '( x0 − ) 10 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008  f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) a ( x0 + ∆x ) − ax0 + = lim + =a  f '( x0 ) = ∆xlim + → x0 ∆x → x0 ∆x ∆x  Ta coù:  2 x0 + ∆x ) − x0 2 (  − = 2 x0  f '( x0 ) = ∆xlim → x0 − ∆x (2) => a = 2x0 ax + b = x0 2  a = 2 x0 Töø (1), (2) ta coù:  0 ⇔ 2 a = 2 x0 b = − x0 2. Baûng coâng thöùc ñaïo haøm (u + v –w)' = u' + v' – w' (u.v)' = u'v + uv' => (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw' cv '  c ′  u ′ u ' v − uv ' => =   = − 2 (c: haèng soá)   2 v v v v Ñaïo haøm caùc haøm soá cô baûn (a)' = 0 (ax)' = a (xm)' = m.xm-1; ∀x ∈ R 1 ′ x = ; ∀x ∈ R + 2 x (sin x)' = cos x (cos x)' = - sin x 1 π ( tgx )′ = 2 ; x ≠ + kπ cos x 2 1 ( cotgx )′ = − 2 ; x ≠ kπ sin x x x (a )' = a ln a; ( 0 < a ≠ 1 ) (ex)' = ex 1 (logax)' = ; (o < a ≠ 1) x ln a 1 (ln x)' = ; ∀x ∈ R x ( ) Ñaïo haøm caùc haøm soá hôïp U = U(x) (aU)' = a.U' (Um)' = m.Um-1(U') U' ′ U = 2 U (Sin U)' = cos U. (U)' (cos U)' = -sin U. (U)' U' π ( tgU )′ = 2 ;U ≠ + kπ cos U 2 U ' ( cot gU )′ = − 2 ;U ≠ kπ sin U U U (a )' = a ln a. (U)'; ( 0 < a ≠ 1 ) (eU)' = eU. U' U' (logaU)' = ;(o < a ≠ 1) U ln a U' (ln U)' = U ( ) Ví duï 3: a. Cho y = f ( x) = x ( x − 1)( x − 2 ) ... ( x − 2003) Tính f '(0) b. Cho y = e 2 x +1 . Tính f '(0) 11 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 π  c. Cho y = 1 + cos  5 x +  . Tính y’ 5  d. Cho y = x ln x − x ln 2003 . Tính y’ a. f '( x) = ( x − 1)( x − 2 ) ... ( x − 2003) + x ( x − 2 )( x − 3) ... ( x − 2003) + ... + x ( x − 1)( x − 2 ) ... ( x − 2003) f '(0) = (−1)(−2)...(−2003) = −2003! b. y′ = e 2 x +1 ( 2 x + 1)′ = 2e 2 x +1 ; y '(0) = 2e π  π ′ π   c. y ′ = − sin  5 x +  5 x +  = −5sin  5 x +  5  5 5   ex d. y ' = x ( ln x )′ + ln x − ln 2003 = 1 + ln x − ln 2003 = ln ( x > 0) 2003 12 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 3. Ñaïo haøm caáp n cuûa haøm soá y = f(x) • Ñaïo haøm caáp 1: y′ = f ′( x) • Ñaïo haøm caáp 2: y′′ = f ′′( x) • Ñaïo haøm caáp 3: y′′′ = f ′′′( x) vieát y ( 3) = f ( 3) ( x) • Ñaïo haøm caáp 4: y ( 4) = f ( 4) ( x) • Ñaïo haøm caáp n: y ( n ) = f ( n ) ( x); n ≥ 2 Ví duï 4: Tính ñaïo haøm caáp n cuûa y = xe x y ' = e x (1 + x ) y " = ex ( 2 + x ) … y ( n) = e x ( n + x ) II. ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM • Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá • Chöùng minh baát ñaúng thöùc • Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình, phöông trình, heä vaø heä baát phöông trình • Giaù trò lôùn nhaát, nhoû nhaát • Tính giôùi haïn baèng quy taéc L’Hopitale (Loâpitan) Phaàn naøy taùc giaû coù hai chuyeân ñeà rieâng: (hoïc sinh tìm ñoïc) Chuyeân ñeà: ÖÙng duïng ñaïo haøm Chuyeân ñeà: Giaù trò lôùn nhaát, nhoû nhaát cuûa haøm soá ** Chuù yù quy taéc L’Hopitale: 0 1. Quy taéc thöù nhaát cuûa L’Hopitale: Khöû giôùi haïn daïng . 0 f ( x) f '( x ) Neáu lim f ( x ) = lim ϕ ( x ) = 0 thì lim = lim x→a x→a x →a ϕ ( x) x → a ϕ '( x ) ∞ 2. Quy taéc thöù hai cuûa L’Hopitale: Khöû giôùi haïn daïng ∞ f ( x) f '( x) = lim Neáu lim f ( x ) = lim ϕ ( x) = ∞ thì lim x→a x→a x →a ϕ ( x) x → a ϕ '( x ) 3. Caùc giôùi haïn daïng 0.∞; ∞ − ∞,1∞ , 00 seõ ñöa veà giôùi haïn treân f ( x) , do vaäy noù khoâng theå thay 4. Quy taéc L’Hopitale chæ laø ñieàu kieän ñuû ñeå toàn taïi giôùi haïn lim x →a ϕ ( x) theá toaøn boä phöông phaùp thoâng thöôøng 13 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 Vaán ñeà: DUØNG ÑÒNH NGHÓA TÍNH ÑAÏO HAØM Cho haøm soá y = f ( x ) xaùc ñònh trong laân caän x0 f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆y = lim ∆ x → 0 ∆x ∆x • Haøm soá f(x) coù ñaïo haøm trong khoaûng (a, b) neáu vaø chæ neáu haøm soá coù ñaïo haøm taïi moïi f ( x + ∆x ) − f ( x) x ∈ ( a, b ) : f '( x0 ) = lim ; x ∈ ( a, b ) ∆x → 0 ∆x ∆y  Ñaï o haø m beâ n phaû i x0 : f '( x0 + ) = lim+ ∆x →0 ∆x   + −  ⇒ Haø m soá coù ñaï o haø m taï i x0 ⇔ f '( x0 ) = f '( x0 ) ∆y  Ñaï o haø m beâ n traù i x0 : f '( x0 − ) = lim− ∆x →0 ∆x   + − Khi ñoù: f '( x0 ) = f '( x0 ) = f '( x 0 ) • Ñaïo haøm taïi ñieåm x0: f '( x0 ) = lim ∆x → 0 Cô sôû phöông phaùp giaûi toaùn 1. Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi moät ñieåm f ( x) − f ( x0 ) Caùch 1: f '( x0 ) = lim x → x0 x − x0 f ( x ) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x0 ) Caùch 2: f '( x0 ) = lim+ = lim− x → x0 x → x0 x − x0 x − x0 2. Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù ñaïo haøm taïi x0 * Neáu f coù ñaïo haøm taïi x0 thì f lieân tuïc taïi x0: lim− f ( x) = lim+ f ( x) = f ( x0 ) (1) x → x0 x → x0 * Neáu f coù ñaïo haøm taïi x0 thì f '( x0 ) = f '( x0 ) (2) − + Töø (1) vaø (2) suy ra ñieàu kieän caàn tìm Duøng ñònh nghóa ñeå tính ñaïo haøm caùc haøm soá sau taïi x0 π Hoïc sinh coù theå giaûi theo 3 böôùc sau: 1. f ( x) = sin x taï i x0 = 3 Böôùc 1: Tính ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) 2. f ( x) = x taï i x0 = 2 ∆y Böôùc 2: Laäp tæ soá: π ∆x 3. f ( x) = tgx taï i x0 = ∆y 4 Böôùc 3: Tìm lim ∆ x → 0 4. f ( x) = x sin x + 3cos x taï i x = x0 ∆x 14 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 π  π  x π sin x − sin   2 cos  +  f ( x) − f    3  = lim  3  = lim 2 6 1. lim π π π π π π x→ x→ x→ x− x− x− 3 3 3 3 3 3 x π  sin  −   2 6  .lim cos  x + π  = cos π = 1 ⇒ f '  π  = 1 = lim     π π x π 3 2 x→ x→ 2 6 3 2 − 3 3 2 6 15 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 2. lim x →2 f ( x) − f (2) = lim x →2 x−2 x− 2 ( x) −( 2) 2 2 = lim x→2 1 1 2 = ⇒ f '( 2) = 4 x+ 2 2 2 π π   π f ( x) − f   sin  x −  tgx − tg 1 4 π   4  = lim  4 = lim 3. lim . = 2 ⇒ f '  = 2 π π π π π π π x→ x→ x→ 4 cos x.cos x− x− x− 4 4 4 4 4 4 4 4. lim x → x0 = lim f ( x) − f ( x0 ) x − x0 x ( sin x − sin x0 ) x → x0 x − x0 x sin x + 3cos x − ( x0 sin x0 + 3cos x0 ) = lim x − x0 x → x0 + lim x → x0 ( x − x0 ) sin x0 + 3 lim cos x − cos x0 x − x0 x − x0 x → x0  x − x0   x − x0  sin  sin     x + x0   2  + sin x + 3 lim (−2).sin  x + x0  .  2  = lim x.cos  . 0   2  x → x0 x → x0 x − x0 x − x0  2    2 2 = x0 cos x0 + sin x0 − 3sin x0 = x0 cos x0 − 2sin x0 f ' ( x0 ) = x0 cos x0 − 2sin x0 1. Duøng ñònh nghóa, tính ñaïo haøm caùc haøm soá sau taïi x0 = 0 1 − cos x  a. f ( x) =  x 0 c. f ( x ) = neá u x ≠ 0 neá u x = 0 x 1+ x 1  2  x sin b. f ( x) =  x 0 d. f ( x) = neá u x ≠ 0 neá u x = 0 x 1+ x  sin ( 2x )  1 f ( x) − f (0) 1 − cos x 1 1 a. Ta coù: f '(0) = lim = lim = lim  x  = ⇒ f '(0) = 2 x →0 x x → → 0 0 2 2 2 x−0 x  (2)  2 b. Ta coù: f '(0) = lim x →0 f ( x) − f (0) 1 = lim x sin   = 0 x → 0 x−0 x 16 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 1 Vì − x ≤ x sin   ≤ x vaø lim ( − x ) = lim x = 0 x →0 x →0  x f ( 0 + ∆x ) − f (0) c. f '(0) = lim d.  x  x + 1 f ( x) =   −x  x + 1 ∆x → 0 ∆x = lim ∆x → 0 ∆x 1 = lim =1 ∆ x → 0 1 + ∆x ∆x (1 + ∆x ) neá u x ≥ 0 ; f (0) = 0 neá u x < 1 f '(0+ ) = lim+ x f ( x ) − f (0) 1 = lim+ x +1 = lim+ =1 x x → 0 → 0 x−0 x x +1 f '(0− ) = lim− −x f ( x ) − f (0) −1 = lim− x +1 = lim− = −1 x →0 x x →0 x + 1 x−0 x →0 x →0 Vì f '(0+ ) ≠ f '(0− ) Vaäy f khoâng coù ñaïo haøm taïi x0 = 2 2. Tính ñaïo haøm caùc haøm soá sau  x 2 a. f ( x) =  2  − x + 4 x − 2  sin 2 π x  b. f ( x) =  x − 1 0  neá u x ≥ 1 neá u x < 1 neá u x ≠ 1 neá u x = 1 taï i x0 = 1 taï i x0 = 1 a. Ta coù: f (1) = 0 f '(1+ ) = lim+ x →1 f ( x ) − f (1) x2 − 1 = lim+ = lim+ ( x + 1) = 2 x →1 x − 1 x →1 x −1 ( ) − x2 + 4 x − 2 − 1 f ( x ) − f (1) f '(1 ) = lim− = lim− = lim− ( 3 − x ) = 2 x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 − Vì f '(1+ ) = f '(1− ) = 2 Vaäy f '(1) = 2 17 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 b. Ta coù: f (1) = 0 sin π x f ( x ) − f (1) sin 2 π x lim = lim x −1 = lim 2 x →1 x →1 x − 1 x →1 x −1 ( x − 1) 2 Ñaët t = x – 1 => x = t + 1 khi x1 thì t 0 Vaäy lim x →1 sin 2 π x ( x − 1) 2 = lim t →0 sin 2 π ( t + 1) t2 2 sin 2 π t  sin π t  2 2 2 = lim = lim   .π = π ⇒ f '(1) = π 2 t →0 t → 0 t  πt  18 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008  4x − 2  1. Cho f ( x ) =  x − 1 1  neá u x ≠ 1 neá u x = 1 CMR: haøm soá lieân tuïc taïi x = 1. Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi x = 1  − x 2 + a 2. Cho f ( x ) =  2  x + bx vôù i x ≥ -1 vôù i x < −1 Xaùc ñònh a, b ñeå haøm soá coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = -1 3. CM haøm soá f ( x ) = x2 − 2 x + 3 3x − 1 lieân tuïc taïi x = -3 nhöng khoâng coù ñaïo haøm taïi ñieåm aáy  α 1  x sin   4. Cho haøm soá f(x) xaùc ñònh bôûi: f ( x ) =  x 0  neá u x ≠ 0 neá u x = 0 Xaùc ñònh soá thöïc α ñeå haøm soá: a. Lieân tuïc taïi x = 0 b. Coù ñaïo haøm taïi x = 0 c. Ñaïo haøm f ' (x) lieân tuïc taïi x = 0 1. * f (1) = 1; lim f ( x ) = lim x →1 x →1 4 ( x − 1) 4x − 2 = lim =1 x → 1 x −1 ( x − 1) 4 x + 2 ( ) Vaäy f (1) = lim f ( x ) = 1 Do ñoù, f(x) lieân tuïc taïi x = 1 x →1 * Cho bieán soá 1 soá gia ∆x ≠ 0 taïi x = 1 Ta coù: ∆y = ( x + ∆x ) − f ( x ) = 2 1 + ∆x − 2 2 −1 = −1 (1 + ∆x ) − 1 1 + ∆x + 1 19 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 lim ∆x → 0 ∆y 1 − 1 + ∆x −1 = lim = lim ∆ x → 0 ∆ x → 1 ∆x ∆x 1 + 1 + ∆x 1 + 1 + ∆x Vaäy f '(1) = − ( ) ( ) 2 =− 1 4 1 4 20 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10