Tài liệu Phương trình và hệ phương trình đại số

Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðẠI SỐ I. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0. * Các bước giải và biện luận: i) a = 0 = b : Mọi x là nghiệm a = 0 ≠ b : Vô nghiệm ii) a ≠ 0 : Phương trình gọi là phương trình bậc nhất, có nghiệm duy nhất: x = − b a * Nhận xét: Phương trình ax + b = 0 có hơn một nghiệm khi và chỉ khi mọi x là nghiệm, khi và chỉ khi a = b = 0. * Các phương trình chuyển về phương trình ax + b = 0 : 1. Phương trình có ẩn ở mẫu: PP Giải: ðặt ðK mẫu thức khác không. Quy ñồng, bỏ mẫu. Giải phương trình. ðối chiếu kết quả với ñiều kiện. Kết luận nghiệm. VD1. Giải và biện luận phương trình: x − 2m 2 x + 1 = 2x −1 4x − m 1 m 2 4 x − 2m 2 x + 1 = ⇔ 4 x 2 − 9mx + 2m 2 = 4 x 2 − 1 ⇔ 9mx = 2m2 + 1 (1) 2x −1 4x − m HD. ðK: x ≠ , x ≠ i) m = 0: (1) vô nghiệm 2m 2 + 1 . 9m 2m 2 + 1 là nghiệm của phương trình ñã cho x= 9m  2m 2 + 1 1 1 1    9m ≠ 2 4m 2 − 9m + 2 ≠ 0 4m 2 + 2 ≠ 9m  m ≠ 2, m ≠ m ≠ ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ 4 ⇔ 4 2 m ≠ 4 8m + 4 ≠ 9m m ≠ ±2  m ≠ ±2  2m + 1 ≠ m  9m 4 1  2m 2 + 1 m ≠ 0, m ≠ x KL: •  : = 4 9m m ≠ ±2 1 • m = 0 ∨ m = ∨ m = ±2 : Vô nghiệm. 4 ii) m ≠ 0 : (1) ⇔ x = VD2. Giải và biện luận phương trình: a b a+b + = ax − 1 bx − 1 (a + b) x − 1 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 1 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình ax-1 ≠ 0 ax ≠ 1   ⇔ bx ≠ 1 HD. ðK: bx-1 ≠ 0 (a+b)x-1 ≠ 0 (a+b)x ≠ 1   (1) (2) (3) Phương trình tương ñương: ⇔ a+b 2abx − (a + b) = 2 abx − (a + b) x + 1 (a + b) x − 1 ⇔ 2ab(a + b) x 2 − (a + b) 2 x − 2abx + (a + b) = ab(a + b) x 2 − (a + b) 2 x + (a + b) ⇔ ab(a + b) x 2 − 2abx = 0 ⇔ x [ ab(a + b) x − 2ab] = 0 x = 0 ⇔  ab(a + b) x − 2ab = 0 (4) (5) i) (4) cho x = 0 là nghiệm với mọi a, b. ii) Giải (5): + a = 0: ∀ x là nghiệm của (5). b = 0: ∀ x là nghiệm của phương trình ñã cho. b ≠ 0 : ∀x ≠ 1 của phương trình ñã cho. b + b = 0: ∀ x là nghiệm của (5). a = 0: ∀ x là nghiệm của phương trình ñã cho. 1 của phương trình ñã cho. a + a = - b: (5) ⇔ 0x + 2b2 = 0. b = 0: ∀ x là nghiệm của phương trình ñã cho. b ≠ 0 : (5) vô nghiệm. Phương trình ñã cho có nghiệm x = 0. 2 + a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ∧ a ≠ −b : (5) ⇔ x = . a+b 2 x= là nghiệm của phương trình ñã cho khi chỉ khi: a+b 1  2 a + b ≠ a  1  2 ≠ ⇔a≠b.  a + b b 1  2 a + b ≠ a + b  KL. • a = b = 0: ∀ x 1 • a = 0 ≠ b: ∀x ≠ b 1 • b = 0 ≠ a: ∀x ≠ a a ≠ 0 : ∀x ≠ Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 2 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình • a ≠ 0, a ≠ 0, a ≠ b, a ≠ - b: x = 2 a+b • a ≠ 0, a ≠ 0, a = b, a = - b: x = 0 * Bài tập luyện tập. (m − 1) x (m − 1) x + 1 − =0 x+3 x−m ax + b x − b = Bài 2. Giải và biện luận theo a, b phương trình : x−a x+a a b Bài 3. Giải và biện luận theo a, b phương trình : = x−b x −a ax − 1 b a( x 2 + 1) Bài 4. Giải và biện luận theo a, b phương trình : + = 2 x −1 x +1 x −1 Bài 1. Giải và biện luận theo m phương trình : Bài 5. Giải và biện luận theo a, b phương trình : x−a x − a −1 x−b x − b −1 − = − x − a −1 x − a − 2 x − b −1 x − b − 2 a−x b−x a+ x b+ x Bài 6. Giải và biện luận theo a, b phương trình : + = + . a+ x b+ x a−x b−x 2. Phương trình có giá trị tuyệt ñối. Dạng 1. f ( x) = g ( x)  f ( x) = g ( x) PP Giải: Phương trình tương ñương   f ( x) = − g ( x) Dạng 2. f ( x) = g ( x) PP Giải:   f ( x ) = g ( x)  g ( x) ≥ 0 Cách 1: Phương trình tương ñương    f ( x) = − g ( x)    g ( x) ≥ 0   f ( x ) = g ( x)  f ( x) ≥ 0 Cách 2: Phương trình tương ñương   − f ( x) = g ( x)    f ( x) ≤ 0 Vấn ñề là ở chỗ, ở cách 1, ta phải giải bất phương trình g ( x) ≥ 0 ; ở cách 2, ta phải giải bất phương trình f ( x) ≥ 0 . Tuỳ thuộc vào bậc của f(x) hay g(x) ñể lựa chọn thích hợp. Dạng 3. Nhiều giá trị tuyệt ñối. Ta phá giá trị tuyệt ñối theo ñịnh nghĩa, và giải phương trình trên từng tập con. Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 3 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình VD. Giải phương trình 2 x − 1 + 3 − x − 2 2 x + 3 = 10 1 2 HD. 2 x − 1 = 0 ⇔ x = ; 3 − x = 0 ⇔ x = 3; 2 x + 3 = 0 ⇔ x = − − 3 2 1 - 2x 3-x - 4x - 6 x + 10 2x −1 3− x 2 2x + 3 VT 3 2 1 2 1 - 2x 3-x 4x + 6 - 7x - 2 2x - 1 3-x 4x + 6 - 3x - 4 3 2x - 1 x-3 4x + 6 - x - 10 3 2 i) x ≤ − : x + 10 = 1 ⇔ x = - 9 : Thoả 3 1 3 2 2 7 1 5 3i) ≤ x ≤ 3 : - 3x - 4 = 1 ⇔ x = − : Không thoả 2 3 4i) x > 3 : - x - 10 = 1 ⇔ x = - 11: Không thoả ii) − < x < : - 7x - 2 = 1 ⇔ x = − : Thoả 3. Phương trình có căn thức. Dạng 1. f ( x) = g ( x) Biến ñổi tương ñương  f ( x) = g ( x) f ( x) = g ( x) ⇔  ("hay" ở ñây  f ( x) ≥ 0 (hay g(x) ≥ 0) có nghĩa là sự thay thế, lựa chọn một trong hai, lựa chọn bất phương trình ñơn giản hơn) Dạng 2. f ( x) = g ( x) Biến ñổi tương ñương  f ( x) = g 2 ( x) f ( x) = g ( x) ⇔   g ( x) ≥ 0 Dạng 3. Nhiều căn thức không thuộc các dạng trên. • Bình phương hai vế nhiều lần theo nguyên tắc: A ≥ 0, B ≥ 0 : A ≥ B ⇔ A2 ≥ B 2 A ≤ 0, B ≤ 0 : A ≥ B ⇔ A2 ≤ B 2
Ngoài phương pháp biến ñổi tương ñương nói trên, các phương trình chuyển về bậc nhất có thể giải bằng cách biến ñổi về tích,ñặt ẩn phụ hay sử dụng các phương pháp khác (Xem Phương trình không mẫu mực) (XBang) VD. Giải phương trình: x + x + 1 = 1 HD. Cách 1(Biến ñổi tương ñương): x+ x +1 = 1 ⇔ Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 4 x +1 = 1− x Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  x + 1 = (1 − x) 2  x + 1 = 1 − 2 x + x 2  x 1 + 2 x − x x = 0 ⇔ ⇔ ⇔ 1 − x ≥ 0 1 − x ≥ 0  x ≤ 1 x = 0 x = 0    ⇔  1 + 2 x − x x = 0 ⇔   x = −1, x = 1 ± 5 ⇔ x = 0  2   x ≤ 1    0 ≤ x ≤ 1 ( ) Cách 2(Biến ñổi tương ñương): x+ 1 x +1 = 1 ⇔ x + x + = x +1− 4 2 1 1   x +1 + ⇔  x +  =  4 2   1 x +1 −  4 2 Cách 3(Biến ñổi về dạng tích): x+ x + 1 = 1 ⇔ x − ( x + 1) + x + x +1 = 0 ⇔ ( x+ x +1 )( x− ) x+ y )( y − x −1 = 0 x +1 +1 = 0 Cách 4(ðặt ẩn phụ): ðặt y=  y = x + 1 ⇒ y−x= x + y ⇔ x +1 ⇒   x = 1 − y ( ) II. PHƯƠNG TRÌNH ax2 + bx + c = 0. 1. Các bước giải và biện luận. i) a = 0: Phương trình trở thành: bx + c = 0 b = 0 = c : Mọi x là nghiệm b = 0 ≠ c : Vô nghiệm b ≠ 0 : Phương trình trở thành phương trình bậc nhất, có nghiệm duy nhất: x = − c b ii) a ≠ 0: Phương trình ñã cho gọi là phương trình bậc hai. 2 1  ∆ = b − 4ac, ∆ ' =  b  − ac 2  • ∆ < 0 ( ∆ ' < 0): Phương trình vô nghiệm. • ∆ = 0 ( ∆ ' = 0): Phương trình có hai nghiệm bằng nhau 2 x=− b 2a • ∆ > 0 ( ∆ ' > 0): Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  1  − b ± ∆' −b ± ∆  2  x1,2 = = 2a a * Nhận xét: Phương trình ax2 + bx + c = 0 có hơn hai nghiệm khi và chỉ khi mọi x là nghiệm, khi và chỉ khi a = b = c = 0. 2. Dấu các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0). Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 5 Phương trình và Hệ phương trình ðại số Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình c b ,S= − a a • P < 0: Phương trình có hai nghiệm x1 < 0 < x2 ðặt P = 0 < x1 ≤ x2 ∆ ≥ 0 ⇔ • x1 ≤ x2 < 0 P > 0  ∆ ≥ 0  • 0 < x1 ≤ x2 ⇔  P > 0 , S > 0  ∆ ≥ 0  • x1 ≤ x2 < 0 ⇔  P > 0 S < 0  *** Chú ý: i) P = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = S P < 0  x1 < 0 < x2 ; ⇔ S > 0  x1 < x2 ii)  P < 0  x1 < 0 < x2 ⇔  S < 0  x1 > x2 S = 0 ⇔ x1 = − x2 ∆ ≥ 0 3i)  4i) Các dấu hiệu cần, nhiều khi rất cần cho việc xét dấu các nghiệm: i S < 0 : Nếu phương trình có nghiệm thì có ít nhất một nghiệm âm. i S > 0 : Nếu phương trình có nghiệm thì có ít nhất một nghiệm dương VD. Tìm tất cả các giá trị m sao cho phương trình sau có không ít hơn 2 nghiệm âm phân biệt: x 4 + mx3 + x 2 + mx + 1 = 0 . HD. Thấy ngay x = 0 không thoả phương trình. Chia hai vế của phương trình cho x 2 ≠ 0 : 1 1 1 1  x 2 + mx + 1 + m + 2 = 0 ⇔ x 2 + 2 + m  x +  + 1 = 0 x x x x  1 ðặt x + = X ⇒ x 2 − Xx + 1 = 0 x 1 ⇒ x 2 + 2 = X 2 − 2, X ≥ 2 x (1) trở thành X 2 + mX − 1 = 0 (1) (2) (3) (3) có hai nghiệm trái dấu với mọi m. Với X ≥ 2 thì (2) có hai nghiệm cùng dấu, nên ñể có nghiệm âm thì X < 0 Suy ra X < -2. Tóm lại phương trình (3) phải có hai nghiệm X 1 < −2 < 0 < X 2 Nếu ñược dùng ñịnh lý ñảo về dấu của tam thức bậc hai thì cần và ñủ là: Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 6 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  f (−2) < 0 3 ⇔ 3 − 2m < 0 ⇔ m >  2 2  f ( X ) = X + mX − 1 Nhưng chương trình hiện hành không có ñịnh lý ñảo về dấu của tam thức bậc hai, nên: Cách 1: ðặt X + 2 = Y ⇒ Y < 0: X 2 + mX − 1 = 0 ⇔ (Y − 2)2 + m(Y − 2) − 1 = 0 ⇔ Y 2 + (m − 4)Y + 3 − 2m = 0 Phương trình này có hai nghiệm trái dấu chỉ khi 3 - 2m < 0 ⇔ m > 3 . 2 1− X 2 Cách 2: X + mX − 1 = 0 ⇔ m = X 2 2 1− X −2 X − 1 + X 2 − X 2 − 1 ðặt f ( X ) = ⇒ f '( X ) = = < 0, ∀X ≠ 0 . X X2 X2 x -∞ -2 2 +∞ 2 f '(X) - - +∞ f(X) - 3 2 3 2 -∞ Thấy ngay phương trình có nghiệm X < - 2 khi chỉ khi m > 3 . 2 3. So sánh nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) với một số thực khác không. 3.1. Nếu dùng ñịnh lý ñảo về dấu của tam thức bậc hai. ðặt f(x) = ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) af(α )<0 ⇔ x1 < 0 < x2 α < x1 ≤ x2 af(α )>0 ⇔  x1 ≤ x2 < α ∆ ≥ 0   af(α )>0  ∆ ≥ 0 ⇔ α < x1 ≤ x2 ; S  >α 2  af(α )>0  ∆ ≥ 0 ⇔ x1 ≤ x2 < α S  <α 2 ***Một số ñiều kiện cần và ñủ về nghiệm của f(x) = ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) 3.1.1. f(x) có nghiệm thuộc [α ; β ] : Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 1 nghiệm thuộc [α ; β ] là một trong 4 ñiều kiện: Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 7 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình • f (α ) f ( β ) < 0  f (α ) = 0 •  S − α ∉ [α ; β ]  f ( β ) = 0 •  S − β ∉ [α ; β ] Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 2 nghiệm thuộc [α ; β ] ∆ = 0  • b − 2a ∈ [α ; β ] ∆ > 0  af (α ) ≥ 0  •  af ( β ) ≥ 0 :  S α < < β  2 • f (α ) f ( β ) ≤ 0   ∆ ≥ 0  af (α ) ≥ 0 •   af ( β ) ≥ 0   S  α ≤ ≤ β 2   Nếu không cần phải tách bạch như thế thì cần và ñủ ñể f(x) có nghiệm thuộc [α ; β ] : 3.1.2. f(x) có nghiệm thuộc (α ; β ) : Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 1 nghiệm thuộc (α ; β ) là một trong bốn ñiều kiện: • f (α ) f ( β ) < 0  f (α ) = 0 •  S − α ∈ (α ; β )  f ( β ) = 0 •  S − β ∈ (α ; β ) Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 2 nghiệm thuộc (α ; β ) là : ∆ = 0  • b − 2a ∈ (α ; β ) ∆ > 0  af (α ) > 0  •  af ( β ) > 0  α < S < β  2 3.1.3. f(x) có nghiệm thuộc (α ; +∞ ) : Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 1 nghiệm thuộc (α ; +∞ ) là một trong ba ñiều kiện: • af (α ) < 0 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số  f (α ) = 0 • S − α > α 8 ∆ = 0  • b − 2a > α Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 2 nghiệm thuộc (α ; +∞ ) :  ∆ > 0  •  af (α ) > 0  S α < < β  2 3.1.4. f(x) có nghiệm thuộc [α ; +∞) : Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 1 nghiệm thuộc [α ; +∞) là một trong ba ñiều kiện: • af (α ) < 0  f (α ) = 0 • S − α < α Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 2 nghiệm thuộc [α ; +∞) : ∆ = 0  • b − 2a ≥ α  ∆ > 0  •  af (α ) ≥ 0  S α < < β  2 3.1.5. f(x) có nghiệm thuộc ( −∞;α ) : Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 1 nghiệm thuộc ( −∞;α ) là một trong ba ñiều kiện: • af (α ) < 0  f (α ) = 0 • S − α < α Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 2 nghiệm thuộc ( −∞;α ) : ∆ = 0  • b − 2a < α  ∆ > 0  •  af (α ) > 0 S  <α 2 3.1.6. f(x) có nghiệm thuộc (−∞;α ] : Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 1 nghiệm thuộc (−∞;α ] là một trong ba ñiều kiện: • af (α ) < 0  f (α ) = 0 • S − α > α Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 2 nghiệm thuộc (−∞;α ] : Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 9 ∆ = 0  • b − 2a ≤ α  ∆ > 0  •  af (α ) ≥ 0 S  <α 2 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 3.2. Nếu không dùng ñịnh lý ñảo về dấu của tam thức bậc hai. • Phương pháp tốt nhất là khảo sát sự biến thiên của hàm số (xem VD ở phần trên) • Nếu chỉ so sánh nghiệm với một số thực α khác không thì có thể ñặt y=x-α. π VD. Tìm a ñể phương trình sau có hơn 1 nghiệm thuộc  0;  :  (1 − a) tan 2 x − 2 2 + 1 + 3a = 0 cos x 2 2  1  + 1 + 3a = 0 ⇔ (1 − a)  − 1 − + 1 + 3a = 0 2 cos x  cos x  cos x 1 2 ⇔ (1 − a) − + 4a = 0 (1) 2 cos x cos x 1 ðặt = X ⇒ X ∈ (1; +∞) cos x (2) (1) ⇔ (1 − a) X 2 − 2 X + 4a = 0 HD. (1 − a) tan 2 x − π Phương trình ñã cho có hơn một nghiệm thuộc  0;  ⇔ phương trình (2) có  2 hai nghiệm X ∈ (1; +∞) . Cách 1. ðặt X - 1 = Y > 0 : (2) trở thành (1 − a)(Y + 1) 2 − 2(Y + 1) + 4a = 0 ⇔ (1 − a)Y 2 − 2aY + 3a − 1 = 0 (3) a ≠ 1 1 − a ≠ 0 1  2  a≠ 4a − 4 a + 1 > 0 ∆ ' > 0     2 (3) có hai nghiệm dương ⇔  ⇔ 3a − 1 > 0 ⇔ P > 0  1 < a < 1 2 a   3 >0  S > 0 1 − a Cách 2. Không phải khi nào cũng có thể nhận ra X = 2 là một nghiệm của (2). Nhưng nếu nhận ra ñược thì: 2 2a −2= . 1− a 1− a 1 < a <1  3a − 1 >0   3 ⇔  1− a ⇔  2a ≠ 1 a ≠ 1  2 Với a ≠ 1 thì nghiệm kia là  2a 1 − a > 1 Ta phải có   2a ≠ 2 1 − a • Có thể dùng phương pháp phần bù: Tìm các giá trị tham số ñể phương trình có nghiệm thì ta tìm các giá trị làm cho phương trình vô nghiệm. VD. Tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm: x 4 + 4 x3 + 2mx 2 + 4 x + 1 = 0 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 10 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình HD. Phương trình ñã cho tương ñương với :  X 2 + 4 X + 2m − 2 = 0  2  x − Xx + 1 = 0 X ≥2  (1) (2) (3) Phương trình ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm thoả (3) Ta tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình (1) không có nghiệm thoả (3). ðiều này chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm thuộc (- 2 ; 2) i) Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ 4 − 2m + 2 < 0 ⇔ m > 3 ii) Phương trình (1) có hai nghiệm thuộc (- 2 ; 2). Trường hợp này không b = - 2 không thuộc khoảng (- 2 ; 2). Suy luận này khá hay: Nếu 2a b hai nghiệm thuộc khoảng (- 2 ; 2) thì − = - 2 thuộc khoảng (- 2 ; 2).Vô lý. 2a Bỏ những m > 3 ta còn tất cả các giá trị cần tìm là m ≤ 3 . xảy ra vì − ** Bạn nên luôn luôn hướng tới việc dùng ñạo hàm ñể khảo sát phương trình nếu có thể thì bạn sẽ tránh ñược nhiều rắc rối.
Các phương trình chuyển về bậc hai, tương tự như ñã nói về các phương trình chuyển về bậc nhất. VD. Giải phương trình x 2 + x + 7 = 7 HD. Cách 1(Biến ñổi tương ñương) 2 1 1 1  1  x + x+7 = 7 ⇔ x + x+ = x+7− x+7 + ⇔x+  = x+7 −  4 4 2  2  2 2 2 Cách 2(Biến ñổi về dạng tích) x 2 + x + 7 = 7 ⇔ x 2 − ( x + 7) + ( x + x + 7 ) = 0 ⇔ ( x + x + 7)( x − x + 7 + 1) = 0 Cách 3(ðặt ẩn phụ, ñưa về hệ phương trình)  y2 = x + 7 ðặt y = x + 7 ⇒  2  x = 7 − y ⇒ y 2 − x 2 = x + y ⇔ ( x + y )( y − x − 1) = 0 * Bài tập luyện tập. Bài 1. Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 , x2 . ðặt S = x1n + x2n . Chứng minh: aSn + bS n−1 + cSn −−2 = 0, (n ≥ 3) Bài 2. Cho phương trình x 2 + 2mx + 4 = 0 . a) Tìm m ñể phương trình có hai nghiệm không âm x1 , x2 . Khi ñó tính theo m: M = x1 + x2 , N = x1 − x2 b) Tìm m ñể phương trình có hai nghiệm x1 , x2 sao cho: x14 + x24 ≤ 32 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 11 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Bài 3. Tìm nghiệm (x; y) sao cho y lớn nh ất: x 2 − yx 2 − y + 8 x + 7 = 0 Bài 4. Biết rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có ñúng một nghiệm dương ( gọi là x1 ). Chứng minh rằng phương trình cx 2 + bx + a = 0 có ñúng một nghiệm dương ( gọi là x2 ), ñồng thời : x1 + x2 ≥ 2. Bài 5. Gọi x0 là nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 . Chứng minh: b c  x0 < 1 + max  ;  , a ≠ 0. a a 2 + 1 + 3a = 0 Bài 6. Cho phương trình (1 − a) tan 2 x − cos x 1 a) Giải phương trình khi a = . 2 b) Tìm tất cả các giá trị a ñể phương trình có hơn một nghiệm thuộc π khoảng  0;  2   Bài 7. Tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm: ( x 2 − 1)( x + 5)( x + 3) − m = 0 Bài 8. Tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm: x − 1 ( x − 2) + m = 0 Bài 9. Tìm tất cả các giá trị p ñể phương trình sau có nghiệm: 4 x2 2 px + + 1 − p2 = 0 2 4 2 1+ 2x + x 1+ x Bài 10. Giải và biện luận theo m phương trình: x2 + x + m = − x2 + x + 2 Bài 11. Tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất: lg mx =2 lg( x + 1) Bài 12. Tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm: ( x + 2) 4 + x 4 = m Giải phương trình khi m = 82. Bài 13. Tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm: 2 x 4 − 3 x 3 + mx 2 − 3 x + 2 = 0 III. PHƯƠNG TRÌNH ax + by + c = 0. a = b = c = 0: Mọi (x; y) là nghiệm. a = b = 0 ≠ c: Vô nghiệm. a = 0, b ≠ 0: x tuỳ ý; y = − c b Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 12 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình c , y tuỳ ý. a ax c by c a ≠ 0, b ≠ 0: x tuỳ ý, y = − − (hay x = − − , y tuỳ ý) b b a a a ≠ 0, b = 0: x = - IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.  ax + by = c Dạng   a'x + b'y = c' Phương pháp giải: 1. Phương pháp thế. 2. Phương pháp cộng ñại số. 3. Dùng máy tính bỏ túi. 4. Phương pháp ñịnh thức Crame. (m − 1) x + y = m mx + (m − 1) y = m VD. Giải và biện luận theo m hệ phương trình:  HD. D= m −1 1 m = m 2 − 2m; Dx = 1 m-1 m 1 m −1 = m 2 − 2m; Dy = m-1 1 m = m 2 − 2m m i) D ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 ∧ m ≠ 2 : x = y = 1 ii) m = 0: D = Dx = Dy = 0 ⇒ Hệ tương ñương với một phương trình: x - y = 0 x = t ⇔  y = t; t ∈ R iii) m = 2: D = Dx = Dy = 0 ⇒ Hệ tương ñương với một phương trình: x + y +2 = 0 x = t ⇔  y = −2 − t ; t ∈ R * Bài tập luyện tập. Bài 1. Cho hệ phương trình: mx + 4 y = m2 + 4   x + (m + 3) y = 2m + 3 a) Với giá trị nào của m rthì hệ có nghiệm duy nhất và nghiệm ñó thoả x≥ y. b) Với m tìm ñược ở a), tìm min(x + y). Bài 2. Cho hệ phương trình: ax + y = 1 − a  2  x + ay = 1 − a Với giá trị nào của a rthì hệ có nghiệm (x ; y) thoả 2x + y > 0. Bài 3. Tìm b sao cho với mọi a hệ sau có nghiệm: Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình 13 Phương trình và Hệ phương trình ðại số Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  x + 2ay = b  2 ax + (1 − a) y = b Bài 4. Cho hệ phương trình: (2a − 1) x − y = 1   x + (1 + a) y = −1 Giải hệ khi a =0, a = - 1 . 2 Bài 5. Giải và biện luận theo a, b hệ phương trình:  ( a + b) x + ( a − b) y = a  (2a − b) x + (2a + b) y = b Bài 6. Giải và biện luận theo a hệ phương trình: 6ax + (2 − a) y = 3  (a − 1) x − ay = 2 Gọi (x; y) là nghiệm. Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc a. Bài 7. Cho hệ phương trình: ax + y = b  2  x + ay = c + c a) Với b = 0, giải và biện luận hệ theo a và c. b) Tìm b sao cho với mọi a, luôn tìm ñược c ñể hệ có nghiệm. Bài 8. Biết rằng hệ phương trình sau có nghiệm: ax + by = c  bx + cy = a cx + ay = b  Chứng minh a 3 + b3 + c3 = 3abc . V. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO. 1. Hệ có một phương trình bậc nhất. Phương pháp: PP thế (Rút x hoặc y từ phương trình bậc nhất thay vào phương trình bậc hai) VD. Cho hệ phương tr×nh  x 3 − y 3 = m( x − y )  x + y = 1 1) Giải hệ khi m = 3. 2) Tìm m ñể hệ có 3 nghiệm (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3)sao cho x1; x2; x3 lập thành một cấp số cộng. HD. Hệ ñã cho tương ñương: ( x − y ( x 2 + y 2 + xy ) = m( x − y ) ( x − y ( x 2 + y 2 + xy − m) = 0 ⇔  x + y = 1 x + y = 1 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 14 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  x − y = 0 1  x= y=−   2 x + y = 1 ⇔ ⇔  2 2   y = −1 − x  x + y + xy − m = 0    x 2 + (−1 − x)2 + x(−1 − x) − m = 0   x + y = 1  1  (1) x = y = − 2 ⇔ 2)   y = −1 − x   2 (3)  x + x + 1 − m = 0 * Bài tập luyện tập. Bài 1. Giải hệ phương trình: x − 2 y +1 = 0  2 2  x − y + xy − 1 = 0 Bài 2. Cho hệ phương trình: x + y = m +1  2 2 2  x y + xy = 2m − m − 3 a) Giải hệ khi m = 3. b) Chứng minh hệ có nghiệm với mọi m. (ðHQuy Nhơn - A99) Bài 3. Giải và biện luận theo a hệ phương trình: x y  + =a y x x + y = 8  (HVQHQT - D97) Bài 4. Giải và biện luận theo m hệ phương trình:  x − y = m  2 y + xy = 0 (ðH ðà Nẵng- B98) Bài 5. Cho hệ phương trình: x + y = m  2 ( x + 1) y + xy = m( y + 2) a) Tìm m ñể hệ có hơn hai nghiệm. b) Giải hệ khi m = 4 (ðHQG Thfố HCM- A97) Bài 6. Cho biết hệ phương trình sau có nghiệm với mọi b: a( x 2 + y 2 ) + x + y = b  y − x = b Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 15 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Chứng minh a = 0. (ðH Luật HN - A97) 2. Hệ phương trình ñưa ñược về dạng tích. Phương pháp: Dạng 1.   F ( x, y ) = 0   F ( x, y ).G ( x, y ) = 0  H ( x, y ) = 0  ⇔   G ( x, y ) = 0  H ( x, y ) = 0    H ( x, y ) = 0 Dạng 2.   F ( x, y ) = 0    H ( x, y ) = 0   F ( x, y ) = 0    K ( x, y ) = 0  F ( x, y ).G ( x, y ) = 0 ⇔   H ( x, y ).K ( x, y ) = 0 = 0  G ( x, y ) = 0   H ( x, y ) = 0   G ( x, y ) = 0   K ( x, y ) = 0  VD 1. Giải hệ phương trình:  x 2 − 5 xy + 6 y 2 = 0  2 2 2 x + y = 1  x − 2 y = 0  2 2 ( x − 2 y )( x − 3 y ) = 0  2 x + y = 1 Hệ ñã cho tương ñương  2 2 ⇔ x − 3y = 0 2 x + y = 1    2 x 2 + y 2 = 1 VD 2. Giải hệ phương trình: log 4 ( x 2 + y 2 ) − log 4 2 x + 1 = log 4 ( x + 3 y ) log 4 4( x 2 + y 2 ) = log 4 2 x( x + 3 y )   ⇔ x x  2 2 log 4 ( xy + 1) − log 4 (4 y + 2 y − 2 x + 4) = log 4 y − 1 log 4 4( xy + 1) = log 4 y (4 y + 2 y − 2 x + 4)   4( x 2 + y 2 ) = 2 x( x + 3 y ) 2 2 ( x − y )( x − 2 y ) = 0   x − 3 xy + 2 y = 0 ⇔ ⇔ ⇔ x 2 2 ( x − y )( y − 2) = 0 4( xy + 1) = y (4 y + 2 y − 2 x + 4) 2 y = xy − x + 2 x  Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 16 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  x − y = 0   x − y = 0 x = y  x − y = 0   x = y x = y = 2  y − 2 = 0  ⇔ ⇔  x = y = 0 ⇔  x = 4   x − 2 y = 0   y = 2 x = 4     x − y = 0    y = 2  x − 2 y = 0  y − 2 = 0  3. Hệ phương trình ñối xứng loại 1.  f ( x, y ) = 0 trong ñó vai trò của x, y trong từng  g ( x, y ) = 0 Là hệ phương trình dạng  phương trình và do ñó trong hệ phương trình như nhau:  f ( x, y ) = f ( y , x )   g ( x, y ) = g ( y, x ) Thấy ngay (x; y) là nghiệm khi và chỉ khi (y; x) là nghiệm. Cách giải: • Dạng 1. Thông thường người ta ñặt ẩn phụ: S = x + y, P = xy Ví dụ: Giải hệ :  x 2 y + xy 2 = 6   xy + x + y = 5 ðặt S = x + y; P = xy và hệ ñã cho trở thành: S = 2  x + y = 2    SP = 6 P = 3  xy = 3  ⇒ nghiệm (1,2); (2,1) ⇔ ⇔  S = 3  x + y = 3 S + P = 5     P = 2   xy = 2 • Dạng 2. Biến ñổi hệ về ϕ ( x) + ϕ ( y ), ϕ ( x).ϕ ( y ) . ðặt S = ϕ ( x) + ϕ ( y ), P = ϕ ( x).ϕ ( y )  xy + x + y = 5 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  3 3 ( x + 1) + ( y + 1) = 35 ( x + 1)( y + 1) = 6 Hệ tương ñương  3 [ ( x + 1) + ( y + 1)] − 3[ ( x + 1) + ( y + 1)] ( x + 1)( y + 1) = 35 (XB) ðặt S = (x + 1) + (y + 1); P =(x +1)(y + 1) hệ phương trình trở thành: Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 17 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình S = 5 x = 3 x = 2  P = 6 =>  =>  ∨  2 P = 6 y = 2 y = 3  S ( S − 3 P ) = 35  x + y + x2 + y 2 = 8 Ví dụ 2:   xy ( x + 1)( y + 1) = 12 S 2 + S − 2P = 8 S = x + y , ta thu ñược hệ sau:  là một hệ phức tạp. Nếu ñặt :   P = xy  P( P + S + 1) = 12  x( x + 1) + y ( y + ) = 8  x( x + 1). y ( y + 1) = 12 Chỉ cần biến ñổi hệ thành  ðặt: S = x(x + 1), P = y(y + 1) Hệ ñã cho tương ñương với : S + P = 8 S = 6 S = 2 =>  ∨   SP = 12 P = 2 P = 6 Như vậy (x, y) là nghiệm của các phương trình sau: i) x 2 + x = 2 => x1 = 1 ∨ x2 = −2 ii) x 2 + x = 6 => x3 = 2 ∨ x4 = −3 Suy ra nghiệm của hệ ñã cho là: (1,-2); (-2,1); (2,-3); (-3,2) • Dạng 3. Hệ ñã cho không ñối xứng ñối với x, y nhưng ñối xứng ñối với ϕ ( x, y ), ψ ( x, y ) nào ñó. Biến ñổi hệ về ϕ ( x, y ) +ψ ( x, y ), ϕ ( x, y ).ψ ( x, y ) . Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  x( xy + 1) + y ( xy − 1) = 14  2 2  xy ( x − y ) = 24 (XB) Thấy ngay hệ không ñối xứng ñối với x,y. Có thể cảm giác ϕ ( x, y ) = x( xy + 1), ψ ( x, y ) = y ( xy − 1) , tiếc rằng không có ñược ϕ ( x, y ).ψ ( x, y ) . 2 2 ( x y + xy ) + ( x − y ) = 14 Ta biến ñổi hệ tương ñương  2 2  x y + xy )( x − y ) = 24 Thấy ngay hệ ñối xứng ñối với ϕ ( x, y ), ψ ( x, y ) 2 trong ñó 2 ϕ ( x, y ) = x y + xy = xy ( x + y ), ψ ( x, y ) = x − y .   x 2 y + xy 2 = 12  y = x − 2  y = x − 2     xy ( x + y ) = 12  x( x − 2)(2 x − 2) = 12  x − y = 2  Hệ tương ñương:  2 ⇔ ⇔ 2   y = x − 12   y = x − 12   x y + xy = 2     xy ( x + y ) = 2   x( x − 12)(2 x − 12) = 2   x − y = 12 Ví dụ 2: Giải và biện luận theo a hệ phương trình Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 18 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  1  x − 2y + x + 2y = 5    x + 2y = a  x − 2 y Thấy ngay hệ ñối xứng ñối với ϕ ( x, y ), ψ ( x, y ) trong ñó 1 , ψ ( x, y ) = x + 2 y . Tuy nhiên tính ñối xứng ở ñây chỉ có tính x − 2y 1 tương ñối vì bạn thấy ñấy ϕ ( x, y ) = ≠ 0, còn ψ ( x, y ) = x + 2 y thì không có x − 2y ϕ ( x; y ) + ψ ( x; y ) = 5 ñiều kiện gì. Ta có hệ:  ϕ ( x; y ).ψ ( x; y ) = a ϕ ( x, y ) = Suy ra ϕ ( x, y ), ψ ( x, y ) là nghiệm của phương trình X 2 − 5 X + a = 0 (*) Vì phuơng trình có thể có nghiệm bằng 0, khi ñó chỉ có ψ ( x, y ) nhận nghiệm ñó thôi. Như thế nên phải xét hai trường hợp: x + 2 y = 0 x + 2 y = 0 ϕ ( x; y ) + ψ ( x; y ) = 5 ψ ( x; y ) = 0   ⇔ ⇔ 1 ⇔ i) a = 0:  1 ϕ ( x; y ).ψ ( x; y ) = 0 ϕ ( x; y ) = 5  x − 2 y = 5  x − 2 y = 5  ii) a = ≠ 0: Phương trình (*) có nghiệm chỉ khi ∆ = 25 − 4a ≥ 0 ⇔ a ≤ nghiệm của (*) là 5 ± 25 − 4a . 2 Hệ tương ñương với:  1 5+ =    x − 2 y  5−   x + 2 y =     1 = 5 −  x − 2 y  5+    x + 2 y =   x − 2 y = 5+    25 − 4a 5−   x + 2 y =  2 ⇔   25 − 4a  x − 2 y =  2 5−  25 − 4a  x + 2 y = 5 +   2 25 − 4a 2 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 2 5 − 25 − 4a = 2a 25 − 4a 25 − 4a 2 2 5 + 25 − 4a = 2a 25 − 4a 25 − 4a 2 19 25 . Hai 4 Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình  5−  x − 2 y =    5−  x + 2 y =  ⇔  5+  x − 2 y =    x + 2 y = 5 +    5−  x =   5− 25 − 4a  y =   2 ⇔ 25 − 4a  x = 5 +   2a  25 − 4a  5+  y = 2  25 − 4a 2a 25 − 4a  1  1 +  4  a 25 − 4a  1  1 −  8  a 25 − 4a  1  1 +  4  a 25 − 4a  1  1 −  8  a * Bài tập luyện tập.  x + y + 2 xy = 1 Bài 1. Giải hệ phương trình  3 3  x + y = 11 2( x + y ) − xy = 1 Bài 2. Giải hệ phương trình  2 2  x y + xy = 1  x − y + x2 + y 2 = 5 Bài 3. Giải hệ phương trình   xy (− x + y + xy − 1) = 6 (XB) (XB) (XB)  x 2 + y 2 = 5 Bài 4. Giải hệ phương trình  4 2 2 4 (ðH Ngoại Thương A98)  x − x y + y = 13 1  ( x + y )(1 + xy ) = 5 (ðH Ngoại Thương A99) Bài 5. Giải hệ phương trình  1 2 2 ( x + y )(1 + ) = 49  x2 y2 1 1  x + y + x + y = 4 Bài 6. Giải hệ phương trình   x2 + y 2 + 1 + 1 = 4  x2 y2  x y 7 + = +1  x xy Bài 7. Giải hệ phương trình  y   x xy + y xy = 78  x + y + xy = m Bài 8. Cho hệ phương trình  2 2 x + y = m a) Giải hệ khi m = 5 b) Tìm tất cả các giá trị m ñể hệ có nghiệm.  x + y + x2 + y 2 = 8 Bài 9. Cho hệ phương trình   xy ( x + 1)( y + 1) = m Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 20 (ðH An Ninh A99) (ðH Hàng Hải A99)