Tài liệu Skkn bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở tiểu học, chuyên đề “các bài toán về tính tuổi

A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LỜI MỞ ĐẦU Một trong những yếu tố quyết định sự hình thành và phát triển nhân cách, óc sáng tạo, khả năng tư duy độc lập, sự ham tìm tòi khám phá, giải quyết vấn đề có căn cứ chính xác và khoa học chính là việc học toán. Có thể nói môn toán là môn thể thao của trí tuệ. Do đó, cần phải phát hiện và bồi dưỡng kịp thời những học sinh có năng khiếu toán để tạo điều kiện cho các em phát triển tư duy, khả năng sáng tạo, tạo cơ sở ban đầu cho việc bồi dưỡng và phát triển tài năng sau này. Trong môn toán thì giải toán là một trong những biểu hiện năng động nhất của hoạt động trí tuệ. Giải toán đòi hỏi học sinh phải tư duy một cách linh hoạt, sáng tạo, huy động tổng hợp các kiến thức đã học để giải quyết các tình huống cụ thể, phức tạp khác nhau. Trong thực tế, trong một lớp học luôn luôn có 3 đối tượng khá giỏi - trung bình yếu. Do đó người giáo viên cần phải xác định yêu cầu “phổ cập” đối với diện đại trà đó là những kiến thức kĩ năng cơ bản. Đồng thời phải đặt ra những yêu cầu cao đối với một số học sinh khá giỏi. Đó là những bài toán có nội dung và kiến thức phức tạp hơn, đòi hỏi tư duy cao hơn. Chuyên đề “Các bài toán về tính tuỏi” là một chuyên đề tập hợp rất nhiều các dạng toán cơ bản, điển hình ở Tiểu học. Bên cạnh đó nó còn là một điều kiện tốt để khai thác, sử dụng cho viẹc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở Tiểu học. Song nội dung và phương pháp bồi dưỡng như thế nào để những học sinh khá giỏi phát triển tư duy năng khiếu toán của mình, làm thế nào để các em tự tìm kiếm được phương pháp học tập cho mình khi giải toán khó? Đó chính là những trăn trở của những đồng chí giáo viên đứng lớp ở Tiểu học nói chung và bản thân tôi nói riêng. Băn khoăn với những câu hỏi nêu trên, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài : Bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở Tiểu học, chuyên đề “Các bài toán về tính tuổi”. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: 1. Thực trạng: Trong mấy năm học gần đây, tôi đều được phân công chủ nhiệm, giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 5 tôi thấy có những thuận lợi và khó khăn sau: - Giáo viên dạy bồi dưỡng thường chỉ nhằm giải quyết các bài tập chứ chưa chú ý đến việc rèn kĩ năng giải toán, đặc biệt là chưa chú ý rèn các thao tác tư duy cho học sinh (đây là một việc làm rất cần thiết trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi). - Chuyên đề “ Các bài toán về tính tuổi” có số lượng rất phong phú, kiểu bài đa dạng nên việc nghiên cứu để phân loại và tìm ra cách giải phù hợp là một việc làm không phải dễ dàng đối với giáo viên bởi nó đòi hỏi phải đầu tư thời gian và trí tuệ tương đối nhiều. Học sinh hiểu, ghi nhớ dạng toán và cách giải của dạng toán thiếu bền chặt, khả năng vận dụng trong quá trình giải toán nâng cao lại càng “khiêm tốn “ hơn. Đây là điểm khó khăn cho giáo viên khi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi. - Bên cạnh đó một bộ phận phụ huynh học sinh còn thiếu quan tâm đến việc học bồi dưỡng của con em, chưa mua tài liệu tham khảo cho con em theo yêu cầu và hướng 1 dẫn của giáo viên dạy, việc học sinh nhận dạng các bài toán thuộc chuyên đề “Các bài toán về tuổi” còn rất hạn chế. - Số học sinh có khả năng phát triển về môn toán còn ít. 2. Kết quả của thực trạng: Với thực trạng như đã nêu trên, ngay từ đầu năm học, trước khi bắt tay vào bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra để nắm bắt được kết quả học tập của từng em. Kết quả khảo sát của 10 học sinh lớp 5 cụ thể như sau: Điểm Điểm 9 - 10 Điểm 8 - 9 Điểm 7 - 8 Điểm 6 - 7 Dưới 6 SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 0 0 0 0 2 20 3 30 5 50 TSHS 10 3. Nguyên nhân của thực trạng trên: - Việc dạy của giáo viên còn chưa bài bản, chưa phát huy hết tính tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập. Thêm vào đó việc đầu tư cho nghiên cứu bài dạy chưa nhiều dẫn đến việc nội dung các tiết dạy còn nghèo nàn, đơn điệu, giáo viên lên lớp thường chỉ với mục đích là tiến hành chữa bài tập mà chưa chú ý đến việc rèn các kĩ năng cũng như các thao tác tư duy cho học sinh. - Nội dung của chuyên đề “ Các bài toán về tính tuổi” phong phú nhưng giáo viên chưa tiến hành phân loại mà còn dạy một cách thiếu hệ thống nên việc tiếp nhận của học sinh còn nhiều khó khăn. - Việc học của học sinh còn mang tính thụ động, chưa tự giác, thêm vào đó là việc ghi nhớ các kiến thức, kỹ năng về giải toán (phân tích đề, nhận dạng toán, thiết lập các mối liên hệ toán học trong bài toán...) chưa khoa học và bền vững. Khả năng suy luận, khả năng tư duy của học sinh do đặc điểm tâm lí lứa tuổi nên còn nhiều hạn chế. - Cách học của các em còn thụ động, phụ thuộc nhiều vào truyền tải của giáo viên. - Đứng trước một bài toán các em thường có tâm lí chờ đợi giáo viên hướng dẫn rồi mới bắt tay vào làm, khả năng tự tìm hiểu đề bài, xây dựng chương trình giải, tự kiểm tra bài làm và tự sửa chữa là rất hạn chế. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Từ việc nghiên cứu thực trạng trên tôi đã tìm tòi nghiên cứu và vận dụng một số giải pháp sau: 1. Phân dạng các bài toán thuộc chuyên đề các bài toán về tính tuổi. 2. Lựa chọn nội dung và phương pháp dạy phù hợp với từng dạng bài và đối tượng học sinh. 3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm và rút kinh nghiệm. II. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN 1. Biện pháp 1: Phân dạng các bài toán về tính tuổi. 2 Trong nội dung và phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở Tiểu học, với mỗi chuyên đề tôi đều tìm tòi, nghiên cứu và phân ra từng dạng để dạy cho học sinh. Vì tôi nghĩ rằng dạy theo từng dạng bài học sinh sẽ nắm vững và khắc sâu được kiến thức cũng như cách giải của dạng toán. Từ đó việc vận dụng vào giải toán của các em sẽ thuận tiện hơn rất nhiều. Chuyên đề này chủ yếu để bồi dưỡng học sinh lớp 4 và 5. Có thể phân chia “ Các bài toán về tính tuổi” thành 8 dạng như sau: - Dạng 1: Bài toán về “Trung bình cộng” - Dạng 2: Bài toán về “ T ìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó” - Dạng 3: Bài toán về “ T ìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó” - Dạng 4: Bài toán về “ T ìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” - Dạng 5: Bài toán về “ Tìm hai số khi biết hai tỉ số” - Dạng 6: Cho tỉ số tuổi của hai người ở 3 thời điểm - Dạng 7: Các bài toán về tính tuổi với các số thập phân - Dạng 8: Một số bài toán khác 2. Biện pháp 2: Lựa chọn nội dung và phương pháp dạy phù hợp với từng dạng bài và đối tượng học sinh. Với biện pháp này tôi thường thực hiện các công việc sau: - Hướng dẫn để học sinh hiểu được đặc trưng và nội dung của dạng toán. - Hướng dẫn học sinh ghi nhớ những kiến thức cần thiết phải sử dụng khi giải dạng toán đó. - Lựa chọn phương pháp dạy phù hợp với đối tượng học sinh và nội dung bài. - Hướng dẫn học sinh thực hiện các ví dụ điển hình cho từng dạng toán. Cụ thể: *Dạng 1: Bài toán về “Trung bình cộng” I. NỘI DUNG Dạng toán này có thể mô tả như sau: Tìm một số bằng cách lấy tổng tất cả các số trong tập hợp được xét rồi chia cho số các số đó. II. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý ĐỂ ÁP DỤNG KHI GIẢI DẠNG TOÁN NÀY: 1. Một trong các số đã cho bằng trung bình cộng của các số còn lại thì số đó đúng bằng số trung bình cộng của tất cả các số đã cho. 2. Cho 3 số a, b, c và số chưa biết x. a) Nếu cho biết x lớn hơn số trung bình cộng của 4 số a, b, c, x là n đơn vị thì số trung bình cộng của 4 số đó được tìm như sau: Số trung bình cộng của 4 số a, b, c, x = ( a + b + c + n ) : 3 b) Nếu cho biết x bé hơn trung bình cộng của 4 số a, b, c, x là n đơn vị thì trung bình cộng của 4 số đó được tìm như sau: Số trung bình cộng của 4 số a, b, c, x = ( a + b + c - n) : 3 (Cả 3 điều lưu ý trên giáo viên đều có thể minh hoạ bằng sơ đồ đoạn thẳng và đặt câu hỏi để học sinh tự rút ra). III. PHƯƠNG PHÁP DẠY: 1. Phương pháp áp dụng định nghĩa số trung bình cộng. 3 Nội dung của phương pháp này là lấy tổng tất cả các số trong tập hợp được xét rồi chia cho số các số đó. 2. Phương pháp “Dùng sơ đồ đoạn thẳng”: Nội dung của phương pháp này là có thể diễn đạt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng, dùng đoạn thẳng thay thế các số đã cho, mối liên hệ giữa chúng với số phải tìm. IV. VÍ DỤ MINH HOẠ: Ví dụ 1: Tuổi trung bình cộng của hai anh em nhiều hơn tuổi em là 2 tuổi. Hỏi anh hơn em mấy tuổi? * Với mỗi dạng toán bao giờ tôi cũng hướng dẫn kĩ ví dụ đầu để các em nắm chắc cách giải, sau đó các em vận dụng và làm các ví dụ tương tự. Với bài toán này, tôi hướng dẫn học sinh như sau: - Yêu cầu học sinh đọc đề bài và tìm hiểu yêu cầu của đề bài, mối quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán. ?Bài toán thuộc dạng toán nào ? - Hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải bài toán. ?Bài này giải bằng phương pháp nào? ?Nếu ta coi tuổi em là một phần thì tuổi trung bình cộng của hai anh em là bao nhiêu? ?Thế còn tuổi anh? - Yêu cầu cả lớp vẽ sơ đồ tóm tắt rồi tự giải - 1 học sinh làm trên bảng lớp. Giải: Ta có sơ đồ: 2t Tuổi trung bình: Tuổi em: Tuổi anh: Vậy anh hơn em số tuổi là: 2 x 2 = 4 (tuổi) Đáp số: 4 tuổi - Học sinh nhận xét bài làm của bạn và rút ra cách giải của dạng toán: + Vẽ sơ đồ biểu thị số tuổi của hai người. + Tìm số tuổi của mỗi người (Tìm tuổi anh hơn em). Ví dụ 2: Một lớp ghép của trường Dân tộc nội trú có 4 bạn chơi thân với nhau. trong đó: Nga 9 tuổi; Nam 10 tuổi; Hùng 12 tuổi còn tuổi của Đức hơn tuổi trung bình của cả 4 bạn là 2 tuổi. Hỏi Đức bao nhiêu tuổi? *Ở bài toán này tôi tiến hành như sau: - Cho học sinh đọc kĩ đề bài, suy nghĩ để tìm ra các dữ liệu của bài toán. Cụ thể: +Dữ liệu đã biết: Nga: 9 tuổi; Nam: 10 tuổi; Hùng: 12 tuổi Đức: hơn trung bình tuổi của 4 bạn là 2 tuổi +Dữ liệu cần phải đi tìm: Đức: ...tuổi? - Yêu cầu học sinh xác định dạng toán. - Học sinh suy nghĩ, trao đổi tìm cách giải của bài toán: 4 + Tìm tuổi trung bình của cả 4 bạn + Tìm tuổi của Đức - Học sinh trình bày bài giải Giải: Ta có sơ đồ sau: Trung bình cộng Tổng số tuổi: 2 tuổi Tuổi của Nga, Nam , Hùng Tuổi của Đức Số tuổi trung bình cộng của cả 4 bạn là: ( 9 + 10 + 12 + 2 ) : 3 = 11 (tuổi) Tuổi của Đức là: 11 + 2 = 13 (tuổi) Đáp số: Đức 13 tuổi - Tổ chức cho học sinh chữa bài và củng cố cách giải của dạng toán: Tìm trung bình số tuổi của cả 4 bạn ta đã áp dụng lưu ý 2a (Nếu cho biết x lớn hơn số trung bình cộng của 4 số a, b, c, x là n đơn vị thì số trung bình cộng của 4 số đó được tìm như sau: Số trung bình cộng của 4 số a, b, c, x = (a + b + c + n) : 3 Ví dụ 3: Tuổi trung bình cộng của các cầu thủ một đội bóng đá lớn hơn 1 tuổi so với tuổi trung bình của 10 cầu thủ (không tính tuổi của đội trưởng). Hỏi tuổi của đội trưởng nhiều hơn tuổi trung bình của toàn đội là bao nhiêu? *Vì ở ví dụ 1 và ví dụ 2 giáo viên đã hướng dẫn học sinh nắm vững cách giải của dạng toán nên ở ví dụ này ta chỉ tiến hành: - Cho học sinh đọc kĩ đề bài, suy nghĩ tìm ra cách giải rồi tự giải. - Tổ chức cho học sinh chữa bài, củng cố cách giải và tìm ra các cách giải khác nhau. * Các cách giải cụ thể: Cách 1: Áp dụng phương pháp „Sơ đồ đoạn thẳng“ ta có lời giải sau: Tuổi trung bình của 10 cầu thủ: Tuổi trung bình của 11 cầu thủ: Số tuổi của 10 cầu thủ Số tuổi của 11 cầu thủ: 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi Vì vậy tuổi của đội trưởng gồm: Tuổi trung bình của 10 cầu thủ và 11 cầu thủ. Suy ra: Tuổi của đội trưởng hơn tuổi trung bình của toàn đội là: 11 - 1 = 10 (tuổi) Đáp số: 10 tuổi Cách 2: Nếu bớt đi 11 ở số tuổi của đội trưởng thì tổng số tuổi của 11 cầu thủ (tức toàn đội) bị bớt đi 11. 5 Suy ra: Số tuổi trung bình của cả đội bị bớt đi là: 11 : 11 = 1 (tuổi) vừa bằng tuổi trung bình của 10 cầu thủ (không kể đội trưởng). Vậy tuổi của đội trưởng hơn tuổi trung bình của toàn đội là : 11 - 1 = 10 (tuổi) Đáp số: 10 tuổi V. BÀI TẬP ỨNG DỤNG: (Mức độ khó tăng dần phù hợp cho 3 đối tượng : Trung bình, khá, giỏi). 1. Tuổi trung bình của hai anh em kém anh là 4 tuổi . Hỏi em kém anh mấy tuổi? 2. Gia đình Nam có 4 người: bố, mẹ, anh Dũng và Nam. Hãy tính tuổi của Nam, biết tuổi bố là 35, tuổi mẹ 33, anh Dũng kém mẹ 26 tuổi, tuổi của Nam ít hơn tuổi trung bình của cả gia đình là 18 tuổi. 3. Tuổi trung bình của 30 học sinh ít hơn 1 tuổi so với tuổi trung bình của cô giáo chủ nhiệm và 30 học sinh. Tính xem tuổi của cô giáo chủ nhiệm nhiều hơn tuổi trung bình của 30 học sinh là bao nhiêu? *Dạng 2: Bài toán về „Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó“ I. NỘI DUNG: Cho biét tổng và hiệu số tuổi của hai người. II. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ: - Quy tắc tính số lớn và số bé: Số lớn = (tổng + hiệu) : 2 Số bé = (tổng - hiệu) : 2 - Nhận xét: Hiệu số tuổi của hai người không thay đổi theo thời gian. III. PHƯƠNG PHÁP DẠY: - Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn số tuổi của hai người. IV. VÍ DỤ MINH HOẠ: Ví dụ 1: Hiện nay anh hơn em 5 tuổi. 5 năm nữa tổng số tuổi của hai anh em là 25. Tính tuổi của anh và em hiện nay. *Với bài toán này, tôi tiến hành như sau: - Yêu cầu học sinh đọc đề bài và tìm hiểu yêu cầu của đề bài, mối quan hệ giữa các dữ liệu của bài toán. ?Bài này thuộc dạng toán gì? - Yêu cầu học sinh nhắc lại cách giải của dạng toán này. - Hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải của bài toán: ?Bài này giải bằng phương pháp nào? ?Nếu ta coi tuổi em hiện nay là một phần thì tuổi anh hiện nay sẽ là mấy phần như thế? ?Tổng số tuổi của hai anh em hiện nay là bao nhiêu? Vì sao? - Cả lớp tự làm bài - 1 học sinh làm trên bảng lớp. Giải: Cách 1: 5 năm sau thì số tuổi của hai anh em đã tăng: 5 + 5 = 10 (tuổi) Tổng số tuổi của hai anh em hiện nay là: 25 - 10 = 15 (tuổi) Ta có sơ đồ biểu thị số tuổi của hai anh em hiện nay là: 6 Anh: Em: 5 tuổi 15 tuổi Số tuổi của anh hiện nay là: (15 + 5) : 2 = 10 (tuổi) Số tuổi của em hiện nay là: 10 - 5 = 5 (tuổi) Đáp số: Anh: 10 tuổi; Em: 5tuổi - Học sinh nhận xét bài làm của bạn và nêu cách giải khác. Cách 2: Ta có sơ đồ về tuổi của anh và em sau 5 năm nữa: Tuổi anh: 25 tuổi Tuổi em: 5 tuổi 5 năm sau tuổi em là: (25 - 5) : 2 = 10 (tuổi) Số tuổi của em hiện nay là: 10 - 5 = 5 (tuổi) Số tuổi của anh hiện nay là: 5 + 5 = 10 (tuổi) Đáp số: Anh: 10 tuổi; Em: 5 tuổi *Sau đó tôi tổ chức cho học sinh làm các bài tập tương tự cùng dạng: Ví dụ 2: Tính tuổi của hai cha con biết rằng cha hơn hai lần tuổi con là 16 tuổi và hai lần tuổi cha lớn hơn tổng số tuổi của hai cha con là 27. - Đối với bài toán này, trước hết tôi yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài, tìm hiểu về mối liên hệ giữa dữ kiện đã biết và dữ kiện cần tìm. - Sau đó học sinh độc lập suy nghĩ tìm ra cách giải của bài toán rồi tự giải. (Yêu cầu 1 học sinh lên bảng giải). Giải: Ta có sơ đồ sau: Tuổi con : 16 tuổi Tuổi cha : 27 tuổi Tuổi con là: Tuổi cha là: 27 - 16 = 11 (tuổi) 11 x 2 + 16 = 38 (tuổi) Đáp số: Cha: 38 tuổi; Con: 11 tuổi - Cuối cùng tôi tổ chức cho học sinh chữa bài, rút ra cách giải của bài toán: + Vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị số tuổi của con, của cha và hai lần tuổi cha. + Dựa vào sơ đồ tìm số tuổi của mỗi người. V. BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 1. Tuổi mẹ và 2 lần tuổi con là 52. Biết rằng năm 28 tuổi thì mẹ mới sinh con. Tính số tuổi của mẹ và con. 2. Anh hơn em 8 tuổi. Biết rằng 3 năm trước đây thì tổng số tuổi của hai anh em là 26. Tính tuổi của anh và em hiện nay. 3. Nếu đem số tuổi của mẹ nhân với 2 rồi cộng với số tuổi của con thì được 96 tuổi. Tính số tuổi của hai mẹ con, biết rằng năm sinh con mẹ 30 tuổi. *Dạng 3: Bài toán về “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó”. I. NỘI DUNG: 7 Cho biết tổng số tuổi và tỉ số tuổi của hai người. II. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ: - Nhận xét: tổng số tuổi của hai người bằng tổng số phần bằng nhau trên sơ đồ đoạn thẳng. - Tìm số tuổi ứng với mỗi phần bằng nhau trên sơ đồ. - Tìm số tuổi của mỗi người. III. PHƯƠNG PHÁP DẠY: - Dùng “Sơ đồ đoạn thẳng” để biểu diễn tỉ số tuổi của hai người. IV. VÍ DỤ MINH HOẠ: Ví dụ 1: Tuổi bà gấp đôi tuổi mẹ, tuổi con bằng 1/4 tuổi mẹ. Tính tuổi mỗi người biết tổng số tuổi của mẹ và con là 40. *Ở bài toán này tôi hướng dẫn học sinh giải như sau: ?Bài toán cho biết gì? ?Bài toán yêu cầu gì? ?Bài này thuộc dạng toán gì chúng ta đã học? ?Hãy xác định hai số cần tìm, tổng và tỉ số? (Hai số cần tìm: tuổi mẹ và tuổi con; tổng: 40; tỉ số: 1/4). *Bước tiếp theo tôi yêu cầu học sinh tóm tắt và tự giải bài toán. Giải: Ta có sơ đồ: Tuổi con: 40 tuổi Tuổi mẹ: Tuổi con là : 40 : (1 + 4) = 8 (tuổi) Tuổi mẹ là : 40 - 8 = 32 (tuổi) Tuổi của bà là : 32 x 2 = 64 (tuổi) Đáp số : Bà : 64 tuổi ; Mẹ : 32 tuổi ; Con : 8 tuổi *Sau khi học sinh giải xong, tôi tổ chức cho học sinh nhận xét, rút ra cách giải của dạng toán để từ đó các em vận dụng làm các bài tập tương tự. Như : Ví dụ 2: Trước đây, vào lúc anh bằng tuổi em hiện nay thì tuổi anh gấp 3 lần tuổi em. Biết rằng hiện nay tổng số tuổi của hai anh em là 32. Tính tuổi của anh và em hiện nay. - Bài toán này cho biết tuổi anh và tuổi em ở hai thời điểm. Vì vậy để học sinh giải được, giáo viên phải hướng dẫn để học sinh vẽ được sơ đồ biểu thị số tuổi của hai anh em ở hai thời điểm : trước đây và hiện nay. Từ đó các em tìm ra được mối quan hệ về tỉ số giữa số tuổi của anh và tuổi của em hiện nay. - Sau khi học sinh đã vẽ được sơ đồ đoạn thẳng biểu thị số tuổi của hai anh em ở hai thời điểm, giáo viên tổ chức cho học sinh dựa vào sơ đồ rồi giải bài toán thuộc dạng Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Giải : Vì hiệu số phần bằng nhau giữa tuổi anh và tuổi em không thay đổi theo thời gian. Như vậy tuổi anh hiện nay bằng 5 lần tuổi em trước đây. 8 Theo bài ra ta có sơ đồ biểu diễn tuổi anh và tuổi em trước đây và hiện nay : Tuổi em trước đây: Tuổi anh trước đây: Tuổi em hiện nay : Tuổi anh hiện nay : 32 tuổi Tuổi em trước đây là : 32 : (3 + 5) = 4 (tuổi) Tuổi em hiện nay là : 4 x 3 = 12 (tuổi) Tuổi anh hiện nay là : 4 x 5 = 20 (tuổi) Đáp số : Anh : 20 tuổi ; Em : 12 tuổi - Giáo viên tổ chức cho học sinh chữa bài và củng cố quy trình giải của bài toán : vẽ sơ đồ đoạn thẳng, đưa bài toán về dạng quen thuộc rồi giải bài toán. V. BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 1. Tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi anh, tuổi anh gấp 3 lần tuổi em. Tuổi mẹ cộng với tuổi anh là 48 tuổi. Tính tuổi mỗi người. 2. Hiện nay tổng số tuổi của hai anh em là 27 tuổi. 5 năm sau thì 1/4 tuổi em ít hơn 1/5 tuổi anh là 2 tuổi. Tính tuổi hiện nay của mỗi người. 3. Tuổi Lan, tuổi mẹ Lan và tuổi bà ngoại cộng lại được 140 tuổi. Tính tuổi của mỗi người. Biết tuổi của Lan có bao nhiêu ngày thì tuổi mẹ có bấy nhiêu tuần, tuổi Lan có bao nhiêu tháng thì tuổi bà có bấy nhiêu năm. *Dạng 4 : Bài toán về « Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó ». Loại 1 : Cho biết hiệu số tuổi của hai người. I.NỘI DUNG : Cho biết hiệu số tuổi của hai người. II. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ : - Hiệu số tuổi của hai người không thay đổi theo thời gian. - Hiệu số tuổi của hai người bằng hiệu số phần bằng nhau trên sơ đồ đoạn thẳng. - Tìm số tuổi ứng với mỗi phần bằng nhau trên sơ đồ. - Tìm số tuổi của mỗi người. III. PHƯƠNG PHÁP DẠY: Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn tỉ số tuổi và hiệu số tuổi của hai người ở thời điểm đã cho. IV. VÍ DỤ MINH HOẠ : Ví dụ 1 : Mẹ hơn con 27 tuổi. Tính tuổi hiện nay của mỗi người. Biết rằng 3 năm nữa thì tuổi con bằng 1/4 tuổi mẹ. *Ở loại toán này quy trình hướng dẫn tương tự như ở dạng toán 3. 9 Giải : Ta có sơ đồ khi tuổi mẹ gấp 4 lân tuổi con là : Tuổi con : 27 tuổi Tuổi mẹ: Tuổi con khi tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con là: 27 : 3 = 9 (tuổi Tuổi con hiện nay là: 9 - 3 = 6 (tuổi) Tuổi mẹ hiện nay là: 27 + 6 = 33 (tuổi) Đáp số: Mẹ: 33 tuổi; Con: 6 tuổi Loại 2: Phải giải bài toán phụ để tìm số tuổi của hai người. I. CÁCH GIẢI: - Trước hết, ta phải giải bài toán phụ để tìm hiệu số tuổi của hai người (đưa về dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó”). - Sau đó giải như loại 1. II. VÍ DỤ MINH HOẠ: Ví dụ 2: Sau 5 năm nữa thì tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con và tổng số tuổi của hai mẹ con lúc đó là 60. Hỏi cách đây mấy năm tuổi mẹ gấp 7 lần tuổi con? * Để học sinh giải được bài toán này, tôi hướng dẫn các em bằng phương pháp phân tích, tổng hợp như sau: ? Muốn biết cách đây mấy năm tuổi mẹ gấp 7 lần tuổi con ta phải biết gì và làm như thế nào? ? Muốn biết tuổi mẹ hoặc tuổi con hiện nay ta phải biết gì và làm như thế nào? ? Vì sao ta cần tìm tuổi mẹ và tuổi con sau 5 năm nữa? ? Cách giải bài toán này có gì khác với cách giải bài toán ở loại 1? (Ở bài toán này trước hết chúng ta phải giải bài toán phụ để tìm hiệu số tuổi của hai người). *Học sinh tự làm - Giáo viên theo dõi và hướng dẫn thêm số học sinh còn chưa nắm vững. Giải: Ta có sơ đồ biểu thị số tuổi của hai mẹ con khi tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con: Tuổi con: 60 tuổi Tuổi mẹ : Tuổi con khi tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con là: 60 : ( 1 + 4 ) = 12 (tuổi) Tuổi mẹ khi tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con là: 60 - 12 = 48 (tuổi) Mẹ hơn con là: 48 - 12 = 36 (tuổi) Tuổi con hiện nay là: 12 - 5 = 7 (tuổi) Ta có sơ đồ biểu thị số tuổi của hai mẹ con khi tuổi mẹ gấp 7 lần tuổi con: 10 Tuổi con: Tuổi mẹ: 36 tuổi Tuổi con khi tuổi mẹ gấp 7 lần tuổi con là: 36 : 6 = 6 (tuổi) Thời gian từ khi tuổi mẹ gấp 7 lần tuổi con đến nay là: 7 - 6 = 1 (năm) Đáp số: 1 năm V. BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 1. Tuổi con bao nhiêu ngày thì tuổi mẹ bấy nhiêu tuầntuổi mẹ và tuổi con. Biết rằng khi sinh con mẹ 32 tuổi. 2. Hiện nay mẹ hơn con 28 tuổi. 5 năm nữa thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Tính tuổi hiện nay của mỗi người. 3. Mẹ hơn con 24 tuổi. Biết 1/7 tuổi mẹ bằng ½ tuổi con và bằng 1/8 tuổi bố. Hỏi tuổi hiện nay của mỗi người là bao nhiêu? *Dạng 5: Bài toán về “Tìm hai số khi biết hai tỉ số” I. NỘI DUNG: Bài toán cho biết tỉ số tuổi của hai người ở hai thời điểm khác nhau. II. CẤCH GIẢI: Vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị mối quan hệ về tuổi của hai người ở hai thời điểm rồi dựa vào đó để phân tích tìm ra lời giải. Ngoài ra còn có thể kết hợp với một số phương pháp giải toán khác như: phương pháp khử, phương pháp giả thiết tạm... Trong một số trường hợp có thể đưa về dạng “Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng”. III. VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 1: Hiện nay anh 36 tuổi, trước đây khi tuổi anh bằng tuổi em hiện nay thì hồi đó anh gấp đôi tuổi em. Tính tuổi em hiện nay. *Hướng dẫn học sinh làm bài: - Yêu cầu học sinh đọc đề bài, phân tích tìm hiểu mối quan hệ giữa các dữ kiện trong bài toán. - Hướng dẫn học sinh tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng. ? Nếu ta coi tuổi em trước đây là một phần thì tuổi anh trước đây là mấy phần như thế? ? Vậy tuổi em hiện nay là mấy phần? Vì sao? ? Thế còn tuổi anh hiện nay sẽ là mấy phần như vậy? Vì sao? - Tổ chức cho học sinh tự tóm tắt và giải bài toán. Giải: Cách 1: Theo bài ra ta có sơ đồ biểu diễn tuổi anh và tuổi em trước đây và hiện nay: 11 Tuổi em trước đây: Tuổi anh trước đây: Tuổi em hiện nay: Tuổi anh hiện nay: 36 tuổi Nhận xét : Hiệu số phần bằng nhau giữa tuổi anh và tuổi em không thay đổi theo thời gian. Như vậy, tuổi anh hiện nay bằng 3 lần tuổi em trước đây. Tuổi em hiện nay là : 36 : 3 x 2 = 24 (tuổi) Đáp số : 24 tuổi * Sau khi tổ chức cho học sinh chữa bài, rút ra cách giải của dạng toán, tôi cho học sinh suy nghĩ và tìm ra cách giải khác nhau cho bài toán. Cụ thể như sau : Cách 2 : (Giải bằng phương pháp suy luận) : Giải : Gọi tuổi em trước đây là 1 phần thì : - Tuổi anh trước đây là 2 phần như thế. - Tuổi em hiện nay là 2 phần như thế. - Tuổi anh hiện nay là (2 + 1) = 3 phần như thế. - Tuổi em hiện nay là : 36 : 3 x 2 = 24 (tuổi) Đáp số : 24 tuổi. Cách 3 : (Giải bằng phương pháp giả thiết tạm): Giả sử tuổi em trước đây là 1 tuổi thì tuổi anh là 2 tuổi (vì lúc đó tuổi anh gấp đôi tuổi em). Do đó, anh hơn em 1 tuổi. Theo đề bài : Tuổi em hiện nay bằng tuổi anh trước đây nên tuổi em hiện nay là 2 tuổi và tuổi anh hiện nay là 3 tuổi (vì 2 + 1 = 3). Nhưng tuổi anh hiện nay là 36 tuổi nên số tuổi của mỗi người phải tăng lên một số lần là : 36 : 3 = 12 (lần) Vậy tuổi em hiện nay là : 2 x 12 = 24 (tuổi) Đáp số : 24 tuổi * Sau khi làm xong bài toán ví dụ 1 học sinh đã nắm tương đối vững cách giải và quy trình giải của dạng toán, tôi tiến hành tổ chức cho học sinh độc lập suy nghĩ và vận dụng làm một số bài tập cùng dạng nhưng nâng dần mức độ khó. Cụ thể : Ví dụ 2 : Năm nay tuổi em bằng 1/3 tuổi anh. Sau 21 năm nữa tuổi em bằng 2/3 tuổi anh. Hỏi hiện nay tuổi của mỗi người là bao nhiêu ? * Đối với bài toán này, tôi tiến hành như sau : - Cho học sinh đọc kĩ đề bài, phân tích và tìm ra mối quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán. - Học sinh trao đổi, thảo luận nêu cách giải của bài toán : + Vẽ sơ đồ biểu thị tuổi của 2 anh em ở các thời điểm khác nhau (Giải thích cách vẽ sơ đồ). + Học sinh dựa vào sơ đồ và giải bài toán. Giải: Ta có sơ đồ: 12 Tuổi em hiện nay: Tuổi anh hiện nay : 21 tuổi Tuổi em 21 năm sau : 21 tuổi Tuổi anh 21 năm sau: Tuổi em hiện nay là: 21 : 3 = 7 (tuổi) Tuổi anh hiện nay là: 3 x 7 = 21 (tuổi) Đáp số: Anh: 21 tuổi; Em: 7 tuổi. - Hướng dẫn học sinh chữa bài nêu quy trình giải của bài toán. V. BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 1. Hiện nay tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con, 5 năm trước tuổi mẹ gấp 7 lần tuổi con. Tính tuổi mẹ và con hiện nay. 2. Năm nay bà 72 tuổi. Trước đây, khi tuổi bà bằng tuổi mẹ hiện nay thì tuổi bà gấp đôi tuổi mẹ. Hỏi năm nay mẹ bao nhiêu tuổi? 3. Hiện nay tỉ số tuổi tôi và tuổi bố tôi là 2/9. Đến khi tuổi tôi bằng tuổi bố tôi hiện nay thì tổng số tuổi của hai bố con tôi là 125 tuổi. Đố bạn biết năm nay tôi bao nhiêu? *Dạng 6: Cho tỉ số tuổi của hai người ở 3 thời điểm khác nhau. Cách giải : Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diền quan hệ tuổi của hai người ở từng thời điểm, sau đó ta có thể sử dụng các phương pháp giải đã nêu trên. Ví dụ : Tuổi hiện nay của người em gấp 4 lần tuổi em lúc anh bằng tuổi em hiện nay. Đến khi tuổi em bằng tuổi anh hiện nay thì tuổi em và tuổi anh cộng lại bằng 102. Hãy tính tuổi hiện nay của mỗi người. * Đây là một dạng toán tương đối phức tạp, tôi tiến hành hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước sau đây : - Hướng dẫn học sinh phân tích đề. - Hướng dẫn học sinh tóm tắt bài toán bằng các câu hỏi gợi mở. - Yêu cầu học sinh tự tóm tắt bài toán rồi giải bài toán. Giải : Ta có sơ đồ đoạn thẳng biểu thị số tuổi của hai anh em ở các thời điểm như sau: Tuổi em trước đây: Tuổi em hiện nay : Tuổi anh trước đây: Tuổi anh hiện nay : Tuổi em sau này : 102 Tuổi anh sau này : tuæi Nhìn vào sơ đồ ta có : Tuổi em hiện nay là : 102 : (7 + 10) x 4 = 24 (tuổi) 13 Tuổi anh hiện nay là : 102 : (7 + 10) x 7 = 42 (tuổi) Đáp số : Anh : 42 tuổi ; Em : 24 tuổi. * Sau khi học sinh giải xong tôi yêu cầu các em nêu cách giải của dạng toán : Ta phải dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn quan hệ tuổi của hai người ở từng thời điểm, sau đó dựa vào sơ đồ để giải bài toán. V. BÀI TẬP ỨNG DỤNG : 1. Tuổi cháu hiện nay gấp 3 lần tuổi cháu khi cô bằng tuổi cháu hiện nay. Khi tuổi cháu bằng tuổi cô hiện nay thì tổng số tuổi của hai cô cháu là 108. Tính tuổi hiện nay của cô và cháu. 2. Trên một chuyến tàu hỏa hai bạn Đào và Lý mới quen nhau. Đào hỏi Lý: “Năm nay bạn bao nhiêu tuổi?”. Lý đáp: “Năm mà anh trai mình bằng tuổi mình hiện nay thì tuổi mình lúc đó chỉ bằng 1/5 tuổi anh mình lúc đó. Còn đến khi mình bằng tuổi anh mình hiện nay thì tổng số tuổi của hai anh em lúc đó sẽ là 44”. Đào vốn giỏi toán nên tính ra ngay tuổi của Lý. Đố em tuổi Lý là bao nhiêu? 3. Khi tuổi anh bằng tuổi em hiện nay tài tuổi anh lớn hơn 2 lần tuổi em là 3 tuổi. Đến khi anh 33 tuổi thì tuổi em bằng tuổi anh hiện nay. Tính tuổi của hai anh em hiện nay. *Dạng 7 : Các bài toán tính tuổi với các số thập phân. * Dạng toán này tương đối mới lạ đối với các em, các em thường cho rằng đã là tuổi thì tất cả đều phải là số tự nhiên. Vì vậy để các em giải được bài toán này, giáo viên phải hướng dẫn để học sinh tìm ra cách giải : - Trước hết phải dẫn dắt để đưa bài toán về dạng tính tuổi với các số tự nhiên. - Sau đó vận dụng các phương pháp giải khác nhau (như đã trình bày ở trên) để tìm ra kết quả cho bài toán. Ví dụ 1 : Năm nay tuổi ông gấp 11,2 lần tuổi cháu. 10 năm sau tuổi ông gấp 4,4 lần tuổi cháu. Tính tuổi ông hiện nay. Giải : Coi tuổi cháu hiện nay là 1 phần thì tuổi ông là 11,2 phần. Năm nay ông hơn cháu là : 11,2 - 1 = 10,2 (lần tuổi cháu hiện nay) Coi tuổi cháu 10 năm sau là 1 phần thì tuổi ông là 4,4 phần. 10 năm sau ông hơn cháu là : 4,4 - 1 = 3,4 (lần tuổi cháu 10 năm sau) Hiệu số tuổi của hai người không thay đổi theo thời gian nên 10,2 lần tuổi cháu hiện bẳng 3,4 lần tuổi cháu sau này. Vậy tuổi cháu sau này gấp : 10,2 : 3,4 = 3 (lần tuổi cháu hiện nay). Ta có sơ đồ : Tuổi cháu hiện nay: 10 tuổi Tuổi cháu 10 năm nữa: Tuổi cháu hiện nay là : 10 : 2 = 5 (tuổi) Tuổi ông hiện nay là : 5 x 11,2 = 56 (tuổi) Đáp số : Ông : 56 tuổi. 14 * Sau khi học sinh đã nắm được cách giải của dạng toán thông qua ví dụ 1, tôi tiến hành cho các em thực hành làm các bài tập khác cùng dạng với nhiều cách giải khác nhau như: Ví dụ 2 : Cháu hỏi ông : « Ông ơi, Năm nay ông bao nhiêu tuổi ? ». Ông trả lời : « Năm nay tuổi ông gấp 4,4 lần tuổi cháu, 10 năm về trước tuổi ông gấp 11,2 lần tuổi cháu. Ông ước gì sống đến 100 tuổi để nhìn thấy cháu ông thành đạt ». Bạn hãy tính tuổi của hai ông cháu hiện nay. Bài này ngoài cách giải như ví dụ 1, tôi còn cho học sinh tìm tòi, suy nghĩ để tìm ra cách giải (Nếu học sinh không tìm được, giáo viên mới hướng dẫn) bằng phương pháp thử chọn như sau : Giải : - Tuổi ông năm nay gấp 4,4 lần tuổi cháu. Để tuổi ông là 1 số tự nhiên thì tuổi cháu phải có số tận cùng bằng 0 hoặc 5. - 10 năm về trước tuổi ông gấp 11,2 lần tuổi cháu nên tuổi cháu phải lớn hơn 10. - Ông ước sống đến 100 tuổi, vậy năm nay tuổi ông nhỏ hơn 100 (tức là 4,4 lần tuổi cháu nhỏ hơn 100). Vậy tuổi cháu năm nay nhỏ hơn 25. Từ nhận xét trên, ta suy ra tuổi cháu hiện nay là 15 hoặc 20. + Nếu cháu 15 tuổi thì ông 15 x 4,4 = 6 (tuổi) 10 năm trước cháu 5 tuổi, ông 56 tuổi : 56 : 5 = 11,2 (lần) (thoả mãn đề bài) + Nếu cháu 20 tuổi thì ông : 20 x 4,4 = 88 (tuổi) 10 năm trước cháu 10 tuổi, ông 78 tuổi và : 78 : 10 = 7,8 (lần) (loại) Vậy năm nay ông 66 tuổi và cháu 15 tuổi. Đáp số : Ông : 66 tuổi ; Cháu : 15 tuổi V. BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 1. Tuổi dì Nga năm nay gấp 2,4 lần tuổi lần tuổi , 15 năm về trước tuổi dì Nga gấp 6,6 lần tuổi Lan. Tính tuổi hiện nay của dì Nga và Lan. 2. Tuổi bố hiện nay gấp 9,4 lần tuổi con, 25 năm sau tuổi bố gấp 2,4 lần tuổi con. Tính tuổi hiện nay của bố và con. 3. Tuổi mẹ hiện nay gấp 3,4 lần tuổi con. Mười năm về trước tuổi mẹ gấp 8,2 lần tuổi con. Hỏi khi nào tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con? *Dạng 8 : Một số bài toán khác . *Với dạng toán này tôi cũng áp dụng cách thức tiến hành tương tự như ở các dạng toán trên. Ví dụ 1 : Năm nay mẹ 38 tuổi, con trai 12 tuổi, con gái 7 tuổi. Hỏi mấy năm sau tuổi mẹ bằng tổng số tuổi hai con ? Giải : Tổng số tuổi của hai con là : 12 + 7 = 19 (tuổi) Tuổi mẹ hơn tuổi hai con là : 38 - 19 = 19 (tuổi) Mỗi năm mỗi người đều tăng thêm một tuổi nên 1 năm mẹ tăng thêm 1 tuổi thì hai con sẽ tăng thêm 2 tuổi. Do đó, mỗi năm tuổi hai con tăng hơn so với tuổi mẹ là : 2 - 1 = 1 (tuổi) 15 Muốn tuổi mẹ bằng tổng số tuổi của hai con thì cần số năm là : 19 : 1 = 19 ( năm) Tuổi mẹ lúc đó là : 38 + 19 = 57 (tuổi) Đáp số : 19 năm ; Mẹ : 57 tuổi. Chú ý : Đây là dạng toán « Tìm hai số khi biết hai hiệu số ». Ví dụ 2 : Anh hơn em 3 tuổi. Tuổi anh hiện nay gấp rưỡi tuổi em lúc tuổi anh bằng tuổi em hiện nay. Tính tuổi anh và tuổi em hiện nay. Giải : Coi tuổi em trước đây là 1 phần thì : - Tuổi anh trước đây là : 1 phần + 3 tuổi - Tuổi em hiện nay cũng là : 1 phần + 3 tuổi - Tuổi anh hiện nay là : 1 phần + 3 + 3 = 1 phần + 6 tuỏi. - Vì (1phần + 6 tuổi) này cũng chính là 1,5 phần nên 0,5 phần là 6 tuổi. Suy ra 1 phần là : 6 : 0,5 = 12 (tuổi) Vậy tuổi em hiện nay là : 12 + 3 = 15 (tuổi) Tuổi anh hiện nay là : 15 + 3 = 18 (tuổi) Đáp số : Anh : 18 tuổi ; Em : 15 tuổi. Chú ý : Cách giải trên là cách giải đơn vị quy ước. V. BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 1. Năm nay ông tôi 76 tuổi, mẹ tôi 38 tuổi, anh tôi 12 tuổi còn tôi 10 tuổi. Đố bạn khi nào thì tuổi ông tôi bằng tổng số tuổi của ba mẹ con tôi? Lúc đó mẹ tôi bao nhiêu tuổi? 2. Nam hỏi chú: “Chú ơi! Năm nay chú bao nhiêu tuổi?” Chú tôi trả lời: “Năm 1995tuổi của chú bằng tổng các chữ số của năm sinh của chú.” Hãy tính xem năm nay (2008) chú bao nhiêu tuổi? 3. Tính tuổi của hai anh em, biết 62,5% tuổi của anh hơn 75% tuổi của em là 2 tuổi và 50% tuổi của anh hơn 37,5% tuổi của em là 7 tuổi. 3. Biện pháp 3 : Rèn kỹ năng phân tích đề và phân loại các bài toán về tuổi. Việc rèn kỹ năng phân tích đề và phân loại bài toán là một trong những việc làm rất quan trọng trong giải toán nói chung và giải toán về tính tuổi nói riêng. Không hiểu đề, không nắm được dạng toán thì không bao giờ học sinh giải được bài toán đó. Vì vậy ở bất cứ loại toán nào khi hướng dẫn học sinh giải tôi cũng chú trọng rèn kỹ năng phân tích đề và phân loại các bài toán. Làm được việc này học sinh sẽ có kĩ năng và thuận tiện hơn rất nhiều trong giải toán. Ví dụ : Tuổi trung bình của cô giáo chủ nhiệm và 30 học sinh lớp 5C là 12. Nếu không tính tuổi của cô giáo chủ nhiệm thì tuổi trung bình của 30 học sinh là 11. Hỏi cô giáo chủ nhiệm bao nhiêu tuổi ? *Phân tích đề bài : - Học sinh đọc thầm đề bài nhiều lần. - Yêu cầu học sinh tìm hiểu đề bài. Cụ thể : + Dữ kiện đã biết : Tuổi trung bình của cô giáo chủ nhiệm và 30 học sinh là 12 Tuổi trung bình của 30 học sinh là 11 16 + Dữ kiện cần phải tìm : Tuổi của cô giáo chủ nhiệm - Học sinh tìm ra mối quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán : + Nếu không tính tuổi của cô giáo chủ nhiệm thì tuổi trung bình của 30 học sinh là 11 nên tuổi trung bình của cô giáo chủ nhiệm và 30 học sinh hơn tuổi trung bình của 30 học sinh là 1. + Vì vậy tuổi cô giáo chủ nhiệm bằng tổng tuổi trung bình của 30 học sinh với 31 tuổi. - Học sinh nêu các cách giải khác nhau của bài toán. Cách 1 : Áp dụng phương pháp « Sơ đồ đoạn thẳng « ta có lời giải sau : Tuổi trung bình của 30 học sinh : 1tuổi Tuổi trung bình của cô giáo chủ nhiệm và 30 học sinh Số tuổi của 30 học sinh 30 phần Số tuổi của cô giáo chủ nhiệm và 30 học sinh: 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 31 phần Vì vậy tuổi của cô giáo chủ nhiệm gồm : Tuổi trung bình của 30 học sinh và 31 tuổi. Suy ra : Tuổi của cô giáo chủ nhiệm là : 11 + 31 = 42 (tuổi) Đáp số : 42 tuổi Cách 2 : Tổng số tuổi của cô giáo chủ nhiệm và 30 học sinh là : (30 + 1) x 12 = 372 (tuổi) Tổng số tuổi của 30 học sinh là : 30 x 11 = 330 (tuổi) Tuổi của cô giáo chủ nhiệm là : 372 - 330 = 42 (tuổi) Đáp số : 42 tuổi *Nhận dạng bài toán : - Việc nhận dạng bài toán là một khâu rất quan trọng, bởi có nhận dạng được bài toán các em mới tìm ra được cách giải. Vì vậy thường thì tôi cho học sinh nhận dạng toán sau khi các em tìm hiểu, phân tích đề. Nhưng cũng có khi sau khi học sinh giải (trường hợp các em đã làm tương đối thuần thục dạng toán đó). 4. Biện pháp 4 : Tổ chức thực nghiệm sư phạm và rút kinh nghiệm : Với cách phân loại các bài toán như đã trình bày, tôi đã tổ chức thực nghiệm sư phạm trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tại đơn vị trường Tiểu học Nga An. Với mỗi dạng toán tôi thường tổ chức thực nghiệm như sau : - Thứ nhất : Củng cố, cung cấp hoặc hướng dẫn để học sinh nhận ra và nhớ lại những kiến thức có liên quan đến từng dạng. 17 - Thứ hai : Tổ chức hướng dẫn cho học sinh giải một số bài toán có tính chất điển hình cho từng loại. - Thứ ba : Hướng dẫn học sinh kiểm tra kết quả bài làm, khai thác, khái quát hoá bài toán, dạng toán. - Thứ tư : Tổ chức cho học sinh làm các bài kiểm tra dưới nhiều hình thức : trình bày miệng, trắc nghiệm hoặc kiểm tra 15 phút, 90 phút khi các em tham gia học bồi dưỡng ở buổi 2... Trên cơ sở bài làm của học sinh, giáo viên rút kinh nghiệm cho những bài dạy tiếp theo. Ví dụ : Khi dạy cho học sinh dạng toán về trung bình cộng tôi tiến hành như sau : *Thứ nhất : - Yêu cầu học sinh nhắc lại quy tắc về tìm số trung bình cộng, các công thức có liên quan như : Tìm số trung bình cộng của n số khi đã biết n số đó ; biết số trung bình cộng của n số đi tìm tổng của n số đó... - Hướng dẫn để học sinh nhận thấy : + Số tuổi của hai người không thay đổi theo thời gian. + Một trong các số đã cho bằng trung bình cộng của các số còn lại thì số đó đúng bằng số trung bình cộng của tất cả các số đã cho. + Cho 3 số a, b, c và số chưa biết x. . Nếu cho biết x lớn hơn trung bình cộng của 4 số a, b, c, x là n đơn vị thì số trung bình cộng của 4 số đó được tìm như sau : Số trung bình cộng của 4 số a, b, c, x = (a + b + c + n) : 3 . Nếu cho biết x bé hơn trung bình cộng của 4 số a, b, c, x là n đơn vị thì số trung bình cộng của 4 số đó được tìm như sau : Số trung bình cộng của 4 số a, b, c, x = (a + b + c - n) :3 *Thứ hai : Tổ chức cho học sinh giải các bài toán điển hình trong từng loại (cách sắp xếp bài tập phải theo hệ thống từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao). Ví dụ 1 : Tuổi trung bình cộng của hai anh em nhiều hơn tuổi em là 2 tuổi. Hỏi anh hơn em mấy tuổi ? Ví dụ 2 : Một lớp ghép của trường Dân tộc nội trú có 4 bạn chơi thân với nhau. Trong đó : Nga 9 tuổi, Mai 10 tuổi, Hùng 12 tuổi còn tuổi của Đức hơn tuổi trung bình của cả bốn bạn là 2 tuổi. Hỏi Đức bao nhiêu tuổi ? Ví dụ 3 : Tuổi trung bình cộng của các cầu thủ một đội bóng đá lớn hơn 1 tuổi so với tuổi trung bình của 10 cầu thủ (không tính tuổi của đội trưởng). Hỏi tuổi của đội trưởng nhiều hơn tuổi trung bình của toàn đội là bao nhiêu ? *Với mỗi bài tập nêu trên thường thì tôi hướng dẫn các em tìm ra cách giải ở ví dụ 1. Sau đó các em tự rút ra cách giải của dạng toán rồi vận dụng làm các bài tập tiếp theo. Tiếp đó giáo viên tổ chức cho các em chữa bài để củng cố cách giải của dạng toán. Thứ ba : Hướng dẫn học sinh kiểm tra kết quả bài làm, khai thác, khái quát hoá bài toán, dạng toán. 18 Ví dụ : Sau khi học sinh giải xong bài tập ở ví dụ 2, giáo viên hướng dẫn học sinh kiểm tra xem kết quả bài làm đã thoả mãn yêu cầu bài toán chưa, tìm thêm cách giải khác (nếu có) rồi hướng dẫn học sinh khai thác bài toán như sau : Em hãy ra một đề toán tương tự bài 2 nhưng áp dụng trung bình cộng của 3 số. Biết các số đó là 8, 10 , 12. Đề ra có thể là : Xóm em có ba bạn chơi thân với nhau là Hồng, Hoa và Mai. Năm nay Hồng 8 tuổi, Hoa 10 tuổi còn Mai có số tuổi nhiều hơn trung bình cộng số tuổi của 3 bạn là 2 tuổi. Hỏi Mai bao nhiêu tuổi ?.... Thứ tư : Kiểm tra, đánh giá việc hiểu bài của học sinh : Giáo viên có thể ra những bài toán tương tự những bài học sinh vừa làm ở lớp chỉ khác số để học sinh luyện tập thêm ở nhà ; ra đề kiểm tra 15 phút với các yêu cầu tái hiện lại bài vừa học, kiểm tra 1 tiết với các kiến thức tổng hợp hơn. C. KẾT LUẬN I. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU : Sau khi áp dụng cách dạy như trên vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi trong các năm học qua, tôi đã thu được một số kết quả như sau : Điểm Điểm 9 - 10 Điểm 8 - 9 Điểm 7 - 8 Điểm 6 - 7 Dưới 6 TSHS 10 SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 1 10 1 10 2 20 3 30 3 30 Qua quá trình thực hiện đề tài, bản thân rút ra được một số bài học kinh nghiệm sau : 1. Về cách chọn học sinh để bồi dưỡng : - Thông qua giờ học trên lớp và trong hoạt động chữa bài tập, bài kiểm tra có yêu cầu nâng cao, giáo viên có thể phát hiện ra được học sinh có năng khiếu học toán. Biểu hiện như tiếp thu bài nhanh, hăng hái phát biểu ý kiến, diễn đạt dễ hiểu theo ý của mình, có cách giải hợp lí, nhanh và biết kiểm tra kết quả qua việc thử lại bài làm. - Bên cạnh đó giáo viên cần bồi dưỡng, rèn luyện thêm cho các em tính cẩn thận, chịu khó, chăm chỉ. Có như vậy các em mới có khả năng tiếp cận và vươn xa hơn. 2. Lựa chọn nội dung và phương pháp : - Lựa chọn nội dung bồi dưỡng phải đảm bảo yêu cầu nâng cao nhưng phải vừa sức học sinh tuỳ vào đối tượng học sinh mà vận dụng để lựa chọn nội dung cho phù hợp nhưng phải đảm bảo phát huy tối đa khả năng tư duy, óc sáng tạo của học sinh. - Vận dụng triệt để đổi mới phương pháp trong dạy học phát huy tính tích cực chủ động của học sinh. Tạo điều kiện cho học sinh tự học, tự tìm tòi, tự rút ra cách giải 19 giúp các em nhớ lâu kiến thức và là cơ sở sau này các em học tập nghiên cứu kiến thức cao hơn. - Hạn chế tối đa việc giảng giải của giáo viên. 3. Cách tổ chức : - Phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi ngay từ lớp 1 với việc ra thêm nhiệm vụ cho các em. Tiến hành bồi dưỡng mọi lúc, mọi nơi với nhiều hình thức như hoạt động nội khoá, hoạt động ngoại khoá. - Khuyến khích động viên khen thưởng kịp thời đối với học sinh giỏi và giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi. - Quan tâm giáo dục các em niềm say mê học toán, yêu thích toán. Đó là yêu cầu thiết yếu quyết dịnh sự thành công trong công tác bồi dưỡng. II. KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT : Do điều kiện thời gian và năng lực có hạn nên chắc chắn sẽ không tránh khỏi những hạn chế nhất định. Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý của các đồng nghiệp, các đồng chí giáo viên giàu kinh nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và các đồng chí cán bộ quản lí để đề tài hoàn chỉnh hơn. Bên cạnh đó tôi đề nghị Nhà trường - Phòng giáo dục cần tăng cường hơn nữa việc tổ chức các chuyên đề về đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt là các chuyên đề về bồi dưỡng học sinh giỏi. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Nga An ngày 18 tháng 4 năm 2011 Người thực hiện Mai Thị Nguyệt 20