Tài liệu Skkn một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số Tên sáng kiến kinh nghiệm:     MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI         Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là một trong những  bài toán quen thuộc, thường xuyên xuất hiện trong cấu trúc đề thi tuyển sinh của  Bộ Giáo dục, xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh Thành trong cả  Nước. Tuy nhiên đây lại là một dạng bài toán khó đối với học sinh bởi vì các dạng  bài toán  rất  phong  phú,  phạm  vi  nghiên  cứu  của  vấn  đề  lại  rất  rộng.  Thế  nhưng,  sách giáo khoa lại có rất ít các bài tập dạng này và đồng thời do những điều kiện  khách quan  mà  sách  giáo  khoa  không  hệ  thống  lại  các phương  pháp  giải  cụ  thể.  Chính vì vậy việc cần thiết phải cung cấp cho học sinh các phương pháp cơ bản  giải dạng toán “tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số”, việc này sẽ giúp cho học  sinh dễ dàng tiếp cận được các bài toán này.         Trong quá trình dạy học, tôi thấy không phải học sinh nào cũng tự nghiên cứu  hay đọc hiểu được tài liệu một cách dễ dàng. Với mong muốn bằng kinh nghiệm  trong  vận  dụng  phương  pháp  của  mình,  tôi  viết  chuyên  đề  này  với  mục  đích  là  hướng  dẫn  cho  học  sinh  của  lớp  mình  giảng  dạy  một  cách  chi  tiết  nhất,  dễ  hiểu  nhất để các em có thể vận dụng và giải các bài toán thuộc dạng này một cách hiệu  quả.         Trong chuyên đề này các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  được vận dụng theo từng phương pháp cụ thể. Các ví dụ được phân tích và có lời  giải chi tiết, ví dụ được áp dụng từ mức độ cơ bản tới nâng cao, để mọi học sinh có  thể tham khảo và từ đó có thể giải quyết các bài toán tương tự.         Hy vọng rằng qua chuyên đề này, học sinh có thể biết “quy lạ về quen” khi  đứng trước một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Do thời gian  thực hiện chuyên đề chưa được nhiều, vì vậy không thể tránh khỏi những thiếu  sót. Tôi rất mong được Quý thầy cô và các em học sinh đóng góp ý kiến để nội  dung của chuyên đề hoàn thiện hơn.   II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn Dựa trên tinh thần đổi mới của phương pháp dạy học đó là: dựa vào hoạt  động tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh với sự tổ chức và hướng dẫn thích  hợp của giáo viên nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo góp phần hình thành  phương pháp và nhu cầu, khả năng tự học, bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm  tin, niềm vui trong học tập. Và thực sự tạo được  môi trường “Trường  học  thân  thiện. Học sinh tích cực”. Thực hiện phương châm giáo dục “Học phải đi đôi với  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 1 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số hành”,  nếu  việc  học  không  được  vận  dụng  vào  thực  tế,  không  giải  quyết  được  những vấn đề mà thực tế đặt ra thì việc học cũng trở nên vô ích.           Trên  những  tiêu  chí  đổi  mới  đó,  đồng  thời  với  việc  nắm  bắt  thực  trạng  học  sinh trong trường THCS-THPT Bàu Hàm, tôi thấy đa phần các em chỉ mới áp dụng  các  dạng toán  cơ  bản của  sách  giáo khoa,  khi gặp  các  bài  toán nâng cao  các em  thường bối rối, sợ hãi. Việc sợ hãi này nguyên nhân sâu xa là do các em chưa tìm  được  phương  pháp  tốt  nhất  hoặc  là  có  phương  pháp  nhưng  quá  trình  vận  dụng  phương pháp còn khó khăn. Chính vì thế  mà mỗi khi dạy  học về vấn đề này  bản  thân tôi luôn cố gắng tìm những giải pháp đơn giản và hiệu quả để truyền đạt cho  các  em.  Mỗi  nội  dung  của  chuyên  đề  này  cũng  là  một  trong  những  giải  pháp  đã  được  tôi  thực  hiện  tại  trường  THCS-THPT  Bàu  Hàm  trong  các  năm  học  20132014, năm học 2014-2015, năm học 2015-2016. Trong quá trình áp dụng chuyên  đề  “MỘT  SỐ  PHƯƠNG  PHÁP  TÌM  GIÁ  TRỊ  LỚN  NHẤT  VÀ  GIÁ  TRỊ  NHỎ  NHẤT CỦA HÀM SỐ” tại trường THCS-THPT Bàu Hàm mặc dù đã đem lại hiệu  quả trong giảng dạy. Tuy nhiên phương pháp trên cũng chỉ thay thể một phần các  giải pháp khác. 2. Các biện pháp thực hiện         Để đề tài thực hiện tốt và có hiệu quả, trong quá trình giảng dạy từng nội dung  đối với các khối lớp 9, khối lớp 10 và khối lớp 12. Bản thân tôi cùng các em rất  nghiêm túc tiến hành từng bước thực hiện các nội dung đề tài đó là: thứ nhất khi  giảng dạy tới nội dung nào và phù hợp với đối tượng học sinh nào, tôi gửi tới học  sinh  trong  lớp  bản  tài  liệu  của  từng  nội  dung  chuyên  đề  để  cho  các  em  về  nhà  nghiên cứu kỹ các nội dung lý thuyết. Thứ hai, trong các tiết học trên lớp giáo viên  cùng học sinh hệ thống các kiến thức lý thuyết cơ bản. Thứ ba, sau khi nắm được  lý thuyết tôi yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị bài tập. Thứ tư, trong những tiết học  bài tập tôi cùng các em sửa bài tập để các em nắm được phương pháp. Sau khi nắm  được phương pháp và kiến thức cơ bản giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác, mở  rộng bài toán, biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ giúp học sinh có khả năng tổng  hợp, khái quát hoá các vấn đề.   III. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ        Trong  chương  trình  Toán  học  Phổ  thông,  khi  nghiên  cứu  về  hàm  số  thường  người ta chỉ quan tâm nhiều về tập xác định của hàm số mà ít chú ý đến miền giá  trị (tập giá trị của hàm số) của nó. Vậy miền giá trị của hàm số là gì ? Miền giá trị  của hàm số  y  f ( x) xác định trên D là tập hợp tất cả các giá trị của y sao cho  x  D   mà  y  f ( x) .  Đối  với hàm  số  cho bởi  công  thức  để  tìm  miền  giá  trị của  hàm  số,  thường ta tiến hành theo cách sau: coi đẳng thức  y  f ( x) là một phương trình ẩn x  còn y là tham số rồi đi tìm điều kiện của y để phương trình có nghiệm  x  D .         Do đặc thù của trường là trường học hai cấp (cấp 2 và cấp 3) nên việc áp dụng  phương pháp thuận lợi cho cả học sinh khối THCS và khối THPT. Sau đây tôi xin  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 2 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số đưa ra một cách tổng quát cho việc áp dụng phương pháp với học sinh THCS và  THPT.  1.1. Một số ví dụ áp dụng phương pháp miền giá trị Bài toán thường gặp: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  y  A( x) ;  B ( x) trong đó bậc cao nhất của  A( x)  và  B ( x)  là bậc hai.   Lời giải  Gọi  yo  là giá trị của hàm số đã cho   yo  A( x)  phương trình có nghiệm  x  D   B( x)  yo .B ( x)  A( x)  0(*)   + Xét trường hợp  y  0  suy ra  A( x)  0  ta tìm được nghiệm x  + Xét trường hợp  y  0 , phương trình (*) là phương trình bậc hai nên phương trình  có nghiệm     0 , từ đó ta tìm được nghiệm x.  Kết hợp cả hai trường hợp ta tìm được miền giá trị của hàm số. Từ đó kết luận giá  trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.  2 x  1  Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số   y  x2  1 Lời giải  Ta có  x 2  1  1  với mọi x, nên hàm số xác định trên     2  x  1 có nghiệm x  Với  y0  là một giá trị của hàm số khi đó phương trình  y0  2 x 1 Ta có:   y0  x  12 2 x 1     2  y 0 x 2  1  x 2  1  y0  1x 2  2 x  y0  1  0 (*)  + Nếu  y0  1 , thì phương trình (*) có nghiệm  x  0 .  + Nếu  y0  1 , thì phương trình (*) có nghiệm đối với x khi và chỉ khi:          0  y0  1 2          1   y0  1  0   y0 2  2 y0  0   1  y0  2 Kết hợp cả hai trường hợp ta được:  0  y  2.       Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2, đạt được khi x  1  và giá trị nhỏ nhất bằng  0, đạt được khi  x  1 .  Ví dụ 2: ( Trích đề thi tuyển sinh đại học khối B-2008)  Cho hai số thực  x  0, y  0  thỏa mãn và thỏa mãn hệ thức  x 2  y 2  1.   Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 3 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P  2  x 2  6 xy  1  2 xy  2 y 2 .  Lời giải                Ta có:  P  2  x 2  6 xy  1  2 xy  2 y 2  2  x 2  6 xy  x 2  2 xy  3 y 2  ( vì  x 2  y 2  1. )                Đặt  y  tx  điều kiện  t  0 .                Khi đó:   P  2 1  6t  1  2t  3t 2  P 1  2t  3t 2   2  12t                                                          3Pt 2  2  P  6  t  P  2  0     P  0 P  0               Phương trình    có nghiệm     P  0    P  0     P  6 2  3P  P  2   0    0                                                    P  0                                              P  0  6  P  3      P 2  3P  18  0  2   t   3 x   2 2 Vậy P có giá trị nhỏ nhất bằng - 6,  đạt được    x  y  1     y  tx x     3 2 ;y 13 13   3 2 ;y 13 13 Ví dụ 3: Cho số thực  x  tùy ý.   Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:  P  3  4 x 2  3x 4 .  (1  x 2 ) 2 Lời giải  Do  (1  x 2 )2  0 x   , nên  P  3  4 x 2  3x 4  ( P  3) x 4  2( P  2) x 2  P  3  0  (1)  2 2 (1  x ) + Nếu  P  3 , khi đó (1) có dạng:  2 x 2  0  x  0   + Nếu  P  3 , khi đó  (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (ẩn  t  x 2 )             ( P  3)t 2  2( P  2)t  P  3  0  có ít nhất một nghiệm t không âm.  c a Mà ta thấy ngay tỉ số:   P 3  1  0 , nên phương trình ẩn t có nghiệm cùng dấu  P 3 Do vậy phương trình có nghiệm t không âm khi và chỉ khi:  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 4 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số  '  0 5    P  3  và  P  3    2( P  2) 2  P  3  0 5 2 Kết hợp lại ta được nghiệm:   P  3   Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 3, đạt được khi x = 0 và giá trị nhỏ nhất  5 2 của biểu thức P bằng   đạt được khi  x  1 .  Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  y  2sin x  cos x  1   s inx  2 cos x  3 Nhận xét: để giải quyết bài toán này ta sẽ đi áp dụng một kết quả rất quen thuộc  đối với học sinh lớp 11 đó là: Phương trình:  a sin x  b cos x  c (với  a, b, c   ). Điều  kiện để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:  a 2  b2  c 2 .  Lời giải  Thật vậy: Ta có   5  s inx  2 cos x  5; x    s inx  2 cos x  3  0 x   .  Vậy hàm số có tập xác định  D     Gọi y0 là một giá trị của hàm số trên khi và chỉ khi phương trình    y0  2sin x  cos x  1  (1) có nghiệm x  sin x  2 cos x  3 Ta có:  (1)  ( y0  2) sin x  (1  2 y0 ) cos x  1  3 y0 .  Áp dụng bài toán trên ta được:  ( y0  2)2  (1  2 y0 )2  (1  3 y0 )2                                                      2 y02  3 y0  2  0    1 2                                                      y0  2 .  1 2 Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng   khi  x    k 2 ;  k    và giá trị lớn nhất  2 bằng 2 khi  x  k 2 ;  k   .  Bài tập đề nghị Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  y  2( x 2  x  1)   x2  1 (Trích đề thi học sinh giỏi lớp 9, huyện Trảng Bom năm 2014) Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  y  Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  y  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn cos x  2 sin x  3 2 cos x  sin x  4 x2 x4  1 Trang - 5 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số 1.2. Kết quả áp dụng nội dung chuyên đề tại cơ sở trong các năm học (20132014 và 2014- 2015)  Trong năm học 2013 – 2014, cũng như trong năm học 2014 – 2015, bản thân  tôi  có tham gia  bồi  dưỡng kiến thức  cho học  sinh lớp 9  của trường, để  chọn  đội  tuyển  dự  thi  môn  toán  9  cấp  huyện.  Trong  quá  trình  bồi  dưỡng  và  lựa  chọn  đội  tuyển tôi  có hướng  dẫn các  em  phần  kiến thức này.  Tôi  thấy  đa số học sinh  đều  hiểu dạng toán và vận dụng tốt. Kết quả thi chọn học sinh giỏi cấp trường thì tổng  số 10 học sinh dự thi, tất các các em đều làm đúng phần bài tập dạng này. Kết quả  học sinh tham gia thi cấp huyện cũng khả quan.        Năm  2013-2013  số  học  sinh  tham  dự  thi  06  học  sinh  và  đạt  03  giải  khuyến  khích.        Năm  2014-2015  số  học  sinh  tham  dự  thi  06  học  sinh  và  đạt  03  giải  khuyến  khích và 01 giải ba.  Đề bài (Trích đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 cấp trường THCS-THPT Bàu Hàm năm 2013-2014).  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ của hàm số  y  8x  3   4 x2  1 Đáp án                               Nội dung  Thang điểm  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ của hàm số  y  8x  3 4 x2  1  2 đ  Ta có  4 x 2  1  0,   x   , do đó hàm số có tập xác định  D     0, 25  Gọi  yo  là một giá trị của hàm số, khi đó phương trình  0, 25  yo    8x  3   có nghiệm  x  D    4 x2  1            0, 25  2  4 yo x  8 x  yo  3  0   (*)  3 8 + Nếu  yo  0 , phương trình (*) có nghiệm   x                         0, 25  a  0     0 + Nếu  yo  0 , để phương trình (*) nghiệm     yo  0  yo  0  yo  0     16  4 yo ( yo  3)  0 4 yo  12 yo  16  0 1  yo  4       Kết hợp hai trường hợp ta được :   1  yo  4   Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn 0,5    0,25  Trang - 6 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng  1 , đạt tại   x  1   1 4 Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4, đạt tại   x      0, 25  2. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 2.1. Kiến thức cơ bản        Lượng giác hóa là  một trong những phương pháp hay sử dụng để tìm giá trị  lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Bằng phương pháp biến đổi lượng giác (ví dụ đặt  x  sin u;  x  cos u;  x  tan u ,... )  ta  đưa  biểu  thức  và  điều  kiện  của  bài  toán  về  dạng  lượng giác. Từ đó dựa vào phép tính lượng giác ta sẽ dễ dàng hơn trong việc giải  toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của bài toán ban đầu.         Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có thể sử dụng  phương pháp lượng giác hóa thường có các dấu hiệu dễ nhận biết là:  x  sin u       1. Nếu trong bài toàn có điều kiện x2 + y 2 = 1 thì ta có thể đặt      y  cos u       2. Nếu trong bài toán có biểu thức:  a 2  x 2  thi có thể đặt:             x  a sin u    hoặc  x  a cos u        3. Nếu trong bài toán có biểu thức            a 2  x 2  hoặc  a 2  x 2  thì đặt: x = atanu  hoặc x = acotu          Trong  một  số  bài  toán  thì  các  dấu  hiệu  này  không  xuất  hiện  ngay  từ  đầu,  người giải phải tìm cách biến đổi các điều kiện hoặc các hàm số đã cho để làm xuất  hiện các dấu hiệu đó.  2.2. Một số ví dụ minh họa phương pháp Ví dụ 1: (trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2008 – Khối B) 2(6xy  x 2 ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  1  2 y 2  2 xy với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức  x 2  y 2  1   Nhận xét và lời giải Hệ thức  x 2  y 2  1  giúp chúng ta liên tưởng đến công thức lượng giác:  sin 2 u  cos 2 u  1 . Vì vậy, ta đặt: x = sinu, y = cosu, với  u  [0; 2 ]   Dưới hình thức lượng giác, ta có:   Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 7 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số P 2(6 sin u cos u  sin 2 u )   1  2 cos 2 u  2 sin u cos u P 6 sin 2u  cos 2u  1    sin 2u  cos 2u  2 (*)  Do  sin 2u  cos 2u  2  2, u [0;2 ] , nên  sin 2u  cos 2u  2  0,  u  [0; 2 ]   Để tìm miền giá trị của P, ta biến đổi (*) thành:(phương pháp miền giá trị)      (P – 6)sin2u + (P + 1)cos2u = 1 – 2P    (**)  Điều kiện có nghiệm của phương trình (**) là:      P  6        P  1  1  2P   2P 2  6P  36  0   2 2     2          6  P  3   Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng – 6 và đạt được khi  cặp (x; y) thỏa mãn x 2  y 2  1 .  Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  y  2 x  5 với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức:  36x 2  16 y 2  9   Nhận xét và lời giải 2 2  6x   4 y  Biến đổi  36x  16 y  9  về dạng:        1    3   3  2 2 1  6x   cos u x  cos u  3  2 Ta nghĩ đến việc đặt:     với  u  [0; 2 ]     4 y  sin u  y  3 sin u   3 4 3 4 3 4 Khi đó, dưới dạng lượng giác thì:  P  sin u  cos u  5  sin u  cos u  P  5  (*)  Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình (*) ta có:  2 3 15 25 2                   1   P  5   P      4 4 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng  4 25 15 , giá trị nhỏ nhất của P bằng   và đạt được khi  4 4 cặp (x; y) thỏa mãn  36x 2  16 y 2  9 .  Ví dụ 3: Cho x, y là hai số thực thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất  x  y 1  xy  của biểu thức:  P  1  x 2 1  y 2  Nhận xét và lời giải Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 8 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số Từ điều kiện x, y   R  và sự có mặt của biểu thức: 1+ x2 và 1+ y2 ,      ;  .   2 2  Ta đặt:  x  tan u  và  y  tan v , với  u, v   Lúc đó, Biểu thức P dưới hình thức lượng giác là:  P (tan u  tan v)(1  tan u.tan v) sin(u  v)  sin u sin v  2 2  . 1   .cos u cos v   2 2 cos u cos v cos u cos v   (1  tan u )(1  tan v) 1 2                                                   sin(u  v).cos(u  v)  sin(2u  2v)   1 2    ;    2 2  1 2 Suy ra    P   với mọi  u, v   1 1 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng  , giá trị nhỏ nhất của P bằng  .  2 2 Ví dụ 4: Tìm a và b sao cho hàm số  y  ax  b x2 1 đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị  nhỏ nhất bằng -1. Nhận xét và lời giải Do hàm số y xác định với mọi x và sự có mặt của đại lượng 1 + x2 cho nên ta có     ;    2 2  thể lượng giác hóa bằng cách đặt;   x  tan u , với  u   Khi đó, hàm số trở thành  y  y a tan u  b  a sin u cos u  b cos 2 u   2 1  tan u a b b a b b sin 2u  cos 2u   sin 2u  cos 2u  y  (*)  2 2 2 2 2 2 Điều kiện có nghiệm của phương trình (*) là:  2     2 2 b 1 2 b 1 2 b a b  a  b2  y   a  b2        y    2 2 2 2 2  2  2  Vậy giá trị lớn nhất  y max  b 1 2 b 1  a  b 2 , giá trị nhỏ nhất  y min   a 2  b 2   2 2 2 2 Đến đây, việc tìm a và b thỏa yêu cầu bài toán quy về việc giải hệ phương trình:  b 1 2 2  2  2 a  b  4 a  4 a  4       b  3  b  1 a 2  b 2  1 b  3  2 2 Vậy tồn tại hai cặp (a, b) thỏa yêu cầu bài toán.  Ví dụ 5: Cho a, b, c là ba số dương thay đổi luôn thỏa: abc + a + c = b Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 9 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P  2 2 3     2 2 1  a 1  b 1  c2 Nhận xét và lời giải + Bài toán ban đầu nhìn có vẻ khó, tuy nhiên quan sát kỹ chúng ta lại gặp các biểu  thức dạng 1 + x2, dấu hiệu của lượng giác xuất hiện.   + Quan sát giả thiết bài toán ta có thể biến đổi thành b  của công thức  tan(x  y)  tanx  tany 1  tanx. tan y Cho nên ta đặt:  a  t anx;  c  tan y    0  x          P  ac , giống hình thức  1  ac    thì  b  tan( x  y) và ta được:  2 2 2 3   2 2 1  tan x 1  tan ( x  y) 1  tan 2 y      2 cos 2 x  2 cos 2 ( x  y)  3 cos 2 y       =  cos2 x  cos(2 x  2 y)  3cos2 y       =  2sin(2 x  y ).sin y  3  3sin 2 y   1 1     =   3sin 2 y  2 sin(2x  y) sin y  sin 2 (2x  y)  3  sin 2 ( 2x  y)   3 3 2 1 1       =    3 sin y  sin(2x  y)   3  sin2 (2x  y)   3 3   1 3 Suy ra  P  3   10 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:  3 1 sin(2x  y)  1  sin(2 x  y)  0   3 sin y    3  1 sin y  sin(2x  y)  1  3  Vậy biểu thức P có giá trị lớn nhất bằng  1   1 x  4  2 arcsin3  k  y  arcsin1  3 k  Z   10 .  3 Bài tập đề nghị Bài 1: Cho hàm số  y  x  4  x 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm  số trên miền xác định.  Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 10 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số y 2( xy  y 2 )   với điều kiện  x 2  y 2  1   2 1  2 x  2 xy Bài 3: Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ  x  y 1  xy    nhất của biểu thức  P  1  x 2 1  y 2 (Trích đề tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D – 2008) 2.3. Kết quả áp nội dung phương pháp tại cơ sở         Nội dung  này  trong năm  học  2015- 2016  này tôi  mới  viết  thành  chuyên  đề,  đây là nội dung mà khi còn là học sinh trung học phổ thông tôi đã được thầy cô của  mình giới thiệu, phương pháp tuy cũ nhưng việc áp dụng phương pháp không cũ  chút nào. Có những bài toán nếu áp dụng phương pháp bất đẳng thức hoặc chiều  biến  thiên…,  thì  khó  khăn.  Nhưng  nếu  phát  hiện  dấu  hiệu  lượng  giác,  áp  dụng  phương pháp lượng giác hóa rất thuận lợi.           Do  đặc thù học sinh trường  THCS-THPT  Bàu Hàm, đối  tượng  học sinh đa  phần  là  học  sinh  người  dân  tộc  thiểu  số,  đa  phần  trình  độ  học  sinh  ở  mức  trung  bình, trung bình khá. Do vậy nội dung này tôi viết làm tài liệu tham khảo để dạy  đối tượng là học sinh lớn 11A1(lớp nguồn), bồi dưỡng học sinh giỏi và là tài liệu  ôn thi trung học phổ thông Quốc Gia.   3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ          Kiến thức vectơ là một trong những nội dung rất cơ bản, quan trọng và được  học ngay từ đầu học kỳ I của toán hình học lớp 10. Từ khái niệm vectơ người ta  xây dựng được các tính chất rất đẹp của vectơ, một trong số đó có các tính chất bất  đẳng  thức  vectơ.  Dựa  vào  các  tính  chất  bất  đẳng  thức  này,  chúng  ta  có  thể  xây  dựng  được  một  phương  pháp  để  giải  quyết  các  dạng  toán  như:  chứng  minh  bất  dẳng thức bằng vectơ; giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp vectơ  và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phương pháp vectơ.  3.1. Kiến thức cơ bản Tính chất cơ bản của bất đẳng thức vectơ         Tính chất 1: Cho  u  (a; b), v  ( x; y ) . Ta có    u  v  u  v  u  v  .     dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  u ,  v  cùng phương   ax = by.           Tính chất 2: Cho  u  (a; b), v  ( x; y ), w  (m; n).  Ta có    u  v  w  u  v  w .  a b y  x    dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  u ,  v  ,  w  cùng phương      m  n  y x Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 11 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số      Tính chất 3:   u.v  u . v , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  u ,  v  cùng hướng.  Chú ý: Tính chất này có thể mở rộng trong không gian.  3.2. Một số ví dụ áp dụng phương pháp  Ví dụ 1: Cho x là số thực tùy ý.   Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x 2  2 x  5  x 2  2 x  5    Nhận xét và cách giải + Một số học sinh có sai lầm như sau   Ta có  f ( x)  ( x  1)2  22  ( x  1) 2  22  4 , suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng  4. Tuy nhiên không tồn tại giá trị của x để dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra. Lời  giải đúng bài toán như sau:      Ta có  f ( x)  ( x  1) 2  22  ( x  1) 2  22 . Đặt   u  (1  x; 2), v  ( x  1; 2)  u  v  (2; 4)       Ta có :  ( x  1) 2  22  ( x  1)2  22  u  v  u  v  2 5     Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :  u;   v  cùng hướng  1  x  x  1  x  1   Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng  2 5  khi  x  1 .  Ví dụ 2: Cho x, y  là hai số thực tùy ý.   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  ( x  1)2  y 2  4  x 2  ( y  1) 2  1   Lời giải  + Trong bài toán này ta sẽ mở rộng khái niệm vectơ trong không gian Oxyz.      Xét hai vectơ :  u  ( x  1; y; 2), v  ( x;  y  1;1)    u  v  (1; 1;3)       Do  u  v  u  v  ta có        P  ( x  1)2  y 2  22  x 2  ( y  1) 2  12  u  v  u  v  11 .    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :  u  ( x  1; y; 2), v  ( x;  y  1;1)  cùng hướng   Tức là :  x 1 y 2 1 2    x ,y   x  y 1 1 3 3 1 3 2 3 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng  11  khi  x   , y     2 5 Ví dụ 3: Cho x, y, z là các số thực thỏa  x, y, z   , x  y  z  6 .   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P  5 x  2  5 y  2  5 z  2   Lời giải  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 12 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số   Xét hai  vectơ :  u  1;1;1  và  v  5 x  2; 5 y  2; 5 z  2       Ta có  u  3, v  5( x  y  z )  6  6                 u.v  5 x  2  5 y  2  5 z  2       2 5 Áp dụng tính chất  u.v  u . v  ta có  5 x  2  5 y  2  5 z  2  6 3, x, y, z     Suy ra  P  5 x  2  5 y  2  5 z  2  6 3     Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :  u  1;1;1 , v   5 x  2; 5 y  2; 5 z  2   cùng hướng    5y  2 5x  2 5z  2    x  y  z  2  1 1 1 Vậy P có giá trị lớn nhất bằng  6 3 , đạt được khi  x  y  z  2   Ví dụ 4:  Cho  x,  y,  z  là  các  số thực  dương  thỏa  xy  yz  zx  xyz .  Tìm  giá  trị nhỏ  nhất của biểu thức   P  x2  2 y2  xy y2  2z2 z 2  2 x2    yz zx Lời giải  Ta biến đổi biểu thức P để xuất hiện dấu các độ dài các vectơ. Thật vậy  2 2 2 2 2 1  2 1  2  1  2 P                    z   y   x   z   y  x   2   2    1 2    1 2      1 1 1 2 2 2    ; v   ;  ; w   ;   u  v  w     ;    y x z y x z x y z x y z               Ta có tính chất   u  v  w  u  v  w   1 Chọn  u   ; 2 2 2 2 2 2                               1    2    1    2    1    2   3  1  1  1  z  b   x  z   y  x  x y z 1 x 1 y 2   1 z Mặt khác từ giả thiết  xy  yz  zx  xyz     1 . Suy ra  P  3 . Dấu bằng xảy  ra khi và chỉ khi :  x  y  z  3 .  Vậy P có giá trị nhỏ nhất bằng  3 , đạt được khi  x  y  z  3 .  3.3. Kết quả áp dụng nội dung tại cơ sở trong các năm học (2015- 2016)   Vận dụng  phương  pháp vectơ  trong giải phương trình,  chứng  minh bất đẳng  thức, tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, cũng là kiến thức khó, nhưng rất thú vị.  Trong năm học 2015 – 2016, tôi được tổ chuyên môn giao cho bồi dưỡng học sinh  giỏi toán lớp 10, trong quá trình bồi dưỡng và hướng dẫn học sinh ôn tập nội dung  Vectơ và phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tôi có giới thiệu phương pháp  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 13 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số tọa độ vectơ cho học sinh, nhận thấy các em rất hứng thú và thực hiện rất tốt các  yêu cầu. Sau khi học xong nội dung bất đẳng thức, tôi có kiểm tra để đánh giá chất  lượng. Kết quả đạt được cũng khả quan, 5 học sinh tham gia kiểm tra thì các em  đều biết vận dụng phương pháp và có 2 em làm đúng nội dung đánh giá.  Đề bài (Trích đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 10 cấp trường THCS-THPT Bàu Hàm năm 2015-2016).  Bài 2a:(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ của hàm số  f ( x)  x 2  2 x  5  x 2  2 x  10   Đáp án                               Nội dung  Thang điểm   2 đ  Tìm giá trị nhỏ của hàm số  f ( x)  x 2  2 x  5  x 2  2 x  10       Giải:  Hàm số có tập xác định  D     0, 25              f ( x)  ( x  1)2  22  ( x  1) 2  32             Đặt   u  ( x  1; 2)  u  ( x  1)2  22             0, 25          v  ( x  1;3)  v  ( x  1) 2  32          Suy ra  u  v  (2;5)  u  v  29               0, 25      0, 5  Áp dụng tính chất vectơ  u  v  u  v  29       Suy ra  f ( x)  29 , dấu ‘‘= ’’ xảy ra khi  u; v  cùng hướng  0,5          1                                3( x  1)  2( x  1)  0  x    5 1 5 0,25   Hàm số  f ( x) có giá trị nhỏ nhất bằng  29 , đạt tại x      4. PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC       Phương pháp này sử dụng trực tiếp định nghĩa của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất  của hàm số. Để làm được điều này ta cần tìm các giá trị của M, m để có được bất  đẳng thức  f ( x)  M x  D  hoặc  f ( x)  m   x  D , ở đây D là miền mà trên đó ta cần  tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số  f ( x) , sau đó ta cần phải chỉ ra dấu  bằng xảy ra nếu như chọn được  xo  D  để cho  f ( xo )  M  hoặc  f ( xo )  m .  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 14 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số        Có rất nhiều bất đẳng thức có thể vận dụng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị  nhỏ  nhất  của  hàm  số  f ( x) ,  tuy  nhiên  trong  giới  hạn  kiến  thức  chương  trình  phổ  thông, cũng như thời gian nghiên cứu chuyên đề còn ít, tôi chỉ trọng tâm hai bất  đẳng  thức  thường  gặp  đó  là:  bất  đẳng  thức  AM-GM  (arithmetic and geometric means) và bất đẳng thức BCS (Bunyakovski–Cauchy - Schwart). 4.1. Kiến thức cơ bản Hai bất đẳng thức thường gặp trong chương trình toán phổ thông.   4.1.1. Bất đẳng thức AM-GM (arithmetic and geometric means) Cho hai số thực không âm a, b ta có:      a  b  2 ab ; dấu “=” xảy ra   a  b   Cho ba số thực không âm a, b, c ta có:      a  b  c  3 3 abc ; dấu “=” xảy ra   a  b  c   Tổng quát:cho n số không âm a1 , a2 ,..., an    n  2  , ta luôn có:                      a1  a2  ...  an  n n a1.a2 ...an ; dấu “=” xảy ra   a1  a2  ...  an   n Chú ý: Các trường hợp riêng của bất đẳng thức AM-GM ab  ab , bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng  2 2 (a  b  ) 2 ab  2 2 2 a  b  4 ab khác là:  ab   ,  ,  .  a  b     2  2  * Với a, b không âm ta có:  * a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca   1 a 1 b 4  (a,b>0)  ab 1 a 1 b 1 c *   *    9 (a,b,c>0)  abc 4.1.2. Bất đẳng thức BCS (Bunyakovski–Cauchy - Schwart)  Cho hai bộ số a, b và c, d ta có:      ac  bd 2  a 2  b 2 c 2  d 2 ; dấu “=” xảy ra   a  b   c d Tổng quát: Cho n bộ số  a1 , a2 ,..., an  và  b1 , b2 ,.., bn tùy ý ta có:    2            a1b1  a2b2  ...  anbn    a12  a22  ...  an2  b12  b22  ...  bn2    Dấu “=” xảy ra   a1 a2 a   ...  n  ( quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0)  b1 b2 bn Hệ quả thường dùng của bất đẳng thức BCS Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 15 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số        Từ  bất  đẳng  thức  BCS  tổng  quát  nếu  ta  chọn  ai  xi yi ;  bi  yi ,  với  xi ; yi  ;  yi  0 .  Khi  đó ta  thu được  bất  đẳng  thức  BCS  ở  dạng  Engel.  Tức là  với  xi  ;  yi     (1  i  n)  ta có:     2 x 21 x 2 2 x 2 n  x1  x2  ...  xn                               (**)   ...   y1 y2 yn y1  y2  ...  yn                          x x1 x2   ...  n y1 y2 yn                         Dấu “=” xảy ra khi:         Để dễ sử dụng, do đó trong chuyên đề này, cũng như trong khi dạy học tôi gọi    bất đẳng thức (**)  trên là hệ quả của BCS.   4.2. Vận dụng bất đẳng thức AM-GM 4.2.1 Sử dụng AM-GM tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ví dụ 1: Cho ba số thực dương  a, b, c .   a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  1  1  1      b  c  a Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có               1 a a b b c c ; 1   2 ;  1   2   2 b b c c a a abc a b c Suy ra  P  1   1   1    8 8     b  c  a abc Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi    a  b  c  1   Vậy P có giá trị nhỏ nhất bằng 8, khi  a  b  c  1   1 1   với   0  x  1   x 1 x Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số  f ( x)   1 1 1 x x x   1 1 x   1         x 1 x x 1  x  1  x 1  x   x x  Lời giải: Ta có:   f ( x)                       1 x x  2  x 1 x Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  1 x x 1 x x  . 24  22 x 1 x x 1 x                  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi    f ( x)  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn 1 x x 1  x   x 1 x 2 Trang - 16 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số 1 2 Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4, đạt khi  x    Ví dụ 3: Cho hai số thực dương  x, y  thỏa mãn:  x  y  5 .   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  4x  y 2x  y    xy 4 Lời giải  P 4x  y 2x  y 4 1 x y 4 y 1 x y             xy 4 y x 2 4 y 4 x 2 2 Từ giả thuyết  y  5  x , ta suy ra  P  4 y 1 5   x   y 4 x 2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  P  2 4 y 1 5 3 .  2 .x     y 4 x 2 2 3 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng   khi  x  1; y  4      Nhận xét: Ba ví dụ trên việc áp dụng bất đẳng thức AM- GM là tương đối rõ ràng  và dễ. Tuy nhiên trong các đề thi học sinh giỏi, cũng như các đề tuyển sinh thì nội  dung này học sinh hay lúng túng và để giúp học sinh vận dụng được phương pháp  này tôi hệ thống một số dạng cơ bản sau.  Dạng 1:  Tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức  S  A  m ,  trong  đó  (m  là  hằng  số  B dương, A và B là các biểu thức dương).  Ví dụ: Cho  a  b  c  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  a  81   c(b  c)(a  b) Lời giải: từ giả thiết  a  b  c  0 , suy ra  a  b  0;  b  c  0   Lại có  a  (a  b)  (b  c)  c . Suy ra  S  (a  b)  (b  c)  c  81   c(b  c)(a  b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có  S  4 4 (a  b)(b  c)c 81  12   c(b  c)(a  b) Dấu “=” xảy ra khi  a  9;  b  6;  c  3   Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S bằng 12 khi  a  9;  b  6;  c  3 .  Bài tập đề nghị  Cho  a  b  c  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  a  108   c(b  c) 2 (a  b)3 Dạng 2: Cho A, B và C là các tổng đối xứng với các biến dương x, y, z.  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 17 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  x y z   .  A B C Ví dụ 1: Cho  x, y, z  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức  S  x y z     yz zx x y Lời giải:  Có nhiều  lời giải  cho  ví  dụ này,  tuy  nhiên  để  có lời  giải  tổng quát  cho  dạng 2, ta trình bày theo các đơn giản sau  Đặt  y  z  a;  z  x  b;  x  y  c   (a, b, c  0)   Suy ra:  x  bca a cb abc   ;  y  ;  z  2 2 2 1 bca acb a bc  1  b c a c a b  Khi đó  S              3   2 a b c  b a 2a c a a b a b b c b a c b c c c  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có        6   1 2 3 2 Suy ra  S  (6  3)  , dấu ‘=” xảy ra khi  a  b  c .  3 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S bằng   khi  a  b  c .  Nhận xét: Bài toán trên được trích ra từ một bất đẳng thức quen thuộc đó là:  Với mọi số thực dương a, b, c ta có:  a b c 3     (Nesbit)  bc ca ab 2 Ví dụ 2: (trích đề thi học sinh giỏi lớp 10, tỉnh Đồng Nai năm 2013) Cho  a, b, c  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức  S  a  3c a  3b 2a   ab ac bc Lời giải 1: áp dụng bất đẳng thức Nesbit a  c a  b   2a 2b 2c        ab ac  bc ac ca  Ta có  S   2a 2b 2c      3  bc ac ca Áp dụng bất đẳng thức Nesbit thì   ac ab    2   ab ac  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có   a  c a  b   2a 2b 2c      5   ab ac  bc ac ca  Suy ra  S   Dấu  “=” xảy ra khi  a  b  c   Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S bằng 5, khi  a  b  c     Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 18 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số Lời giải 2: Theo cách làm tổng quát dạng 2  Đặt  a  b  x;  b  c  y;  c  a  z   ( x, y, z  0)   Suy ra:  a  Khi đó S  xz y x yz yzx   ;  b  ;  c  2 2 2 a  3c a  3b 2a 2 y  4z  2x 4x  2 y  2z x  z  y        ab ac bc 2x 2z y y x z z x y                                                      2         3   x y x z y z    y   x z  z x y Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có      2         8   x y x z y z       Suy ra  S  5 , dấu ‘=” xảy ra khi  x  y  z  a  b  c .  Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S bằng 5 khi  a  b  c .  Lời giải tổng quát: qua hai ví dụ trên ta rút ra cách làm tổng quát cho dạng 2 là:  A  u x  u   v   w  Đặt   B  v   y   v   w   u , thực hiện thế vào biểu thức S, ta được S(u, v, w).  C  w  z   w   u   v   Bài tập đề nghị Bài1:Cho  x, y, z  0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức  S  x y z     y  2z z  2x x  2 y Bài 2: Cho  a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC  Tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức  S  a b c     bca c a b a bc Dạng 3: Cho A, B và C là các tổng đối xứng với các biến dương x, y, z.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  x y z .    A B C Ví dụ: Cho tam giác ABC có  AB  c, AC  b, BC  a   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  a b c     2b  2c  a 2a  2c  b 2a  2b  c Lời gải  Ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được khi  a  b  c   a 3a 2 3a   Ta có  2b  2c  a  3a . Suy ra    2b  2c  a 3a  2b  2c  a  3a  2b  2c  a  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 19 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số a 3a 3a     2b  2c  a 3a  2b  2c  a  a  b  c Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có  Tương tự ta cũng có  Suy ra  S  b 3b c 3c ;        2a  2c  b a  b  c 2a  2b  c a  b  c 3 a  b  c a b c     3  2b  2c  a 2a  2c  b 2a  2b  c abc Dấu bằng xảy ra khi  a  b  c , hay tam giác ABC đều.  Vậy biểu thức S có giá trị nhỏ nhất bằng  3 , khi  a  b  c .  Lời giải tổng quát: Qua ví dụ trên ta rút ra cách biến đổi dạng 2 như sau  + Biến đổi biểu thức  S  x  y  z x y z    bằng cách chọn hằng số k mà     A B C  A  kx   x x y z  y z      2 k   ( dạng 2)  ky.B kz.C   kx. A  kx  A ky  B kz  C  + Khi đó  S  k  Bài tập đề nghị Cho  x, y, z   là các số thực không âm.    x y z     yz zx x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  a x b y c z Dạng 4: Cho  x, y, z  0  và thỏa mãn     k  (a, b, c  0)   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  mx  ny  hz  (m, n, h  0)    Chú ý: dạng 4 này cũng có thể gặp hình thức sau  Cho  x, y, z  0  và thỏa mãn  ax  by  cz  k  (a, b, c  0)   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  m n h    (m, n, h  0)    x y z 1 x 4 y 9 z Ví dụ 1: Cho  x, y, z  0  và thỏa mãn     1    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  4 x  y  z    Lời giải: Biến đổi biểu thức S ta có  1 4 9   16 x y   36 x S  4 x  y  z   4 x  y  z         17      x  z x y z   y Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có   Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn z   9 y 4z      x  z y  16 x y 36 x z 9 y 4z   8;     12;     12   y x z x z y Trang - 20