S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
§Ò tµi:
Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9
Gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
A.
NhËn thøc cò- Gi¶i ph¸p cò:
Ph¬ng tr×nh v« tû lµ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu c¨n .Trong ch¬ng
tr×nh ®¹i sè 9 ,ph¬ng tr×nh v« tû lµ mét d¹ng to¸n khã. Khi gÆp c¸c ph¬ng tr×nh
cã chøa c¨n t¬ng ®èi phøc t¹p, häc sinh rÊt lóng tóng kh«ng t×m ra c¸ch gi¶i vµ
hay m¾c sai lÇm khi gi¶i .. Cã nh÷ng ph¬ng tr×nh kh«ng thÓ gi¶i b»ng c¸c
ph¬ng ph¸p quen thuéc. Khi gÆp ph¬ng tr×nh v« tû , häc sinh thêng chØ quen
mét ph¬ng ph¸p lµ n©ng luü thõa 2 vÕ ®Ó lµm mÊt dÊu c¨n. Nhng trong qu¸
tr×nh gi¶i sÏ thêng m¾c ph¶i mét sè sai lÇm trong phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng
ph¬ng tr×nh ,v× vËy dÉn ®Õn thõa hoÆc thiÕu nghiÖm. Cã mét sè ph¬ng tr×nh sau
khi lµm mÊt dÊu c¨n sÏ dÉn ®Õn ph¬ng tr×nh bËc cao, mµ viÖc nhÈm nghiÖm ®Ó
®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc 2 ®Ó gi¶i l¹i rÊt lµ khã kh¨n . V× vËy häc sinh sÏ
rÊt lóng tóng vµ kh«ng t×m ra lêi gi¶i .
B. NhËn thøc míi
gi¶i ph¸p míi
I. NhËn thøc míi:
§Ó kh¾c phôc nh÷ng tån t¹i trªn khi d¹y cho häc sinh gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû ,
gi¸o viªn cÇn trang bÞ cho häc sinh c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n trong s¸ch gi¸o khoa vµ
kiÕn thøc më réng, h×nh thµnh c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i mét c¸ch kÞp thêi. Víi mçi
ph¬ng tr×nh cÇn ®Ó cho häc sinh nhËn d¹ng ph¸t hiÖn ra c¸ch gi¶i vµ t×m ra c¸ch
gi¶i phï hîp nhÊt , nhanh nhÊt. Qua mçi d¹ng tæng qu¸t c¸ch gi¶i vµ híng dÉn
häc sinh ®Æt ®Ò to¸n t¬ng tù, tõ ®ã kh¾c s©u c¸ch lµm cho häc sinh. NÕu biÕt
ph©n d¹ng , chän c¸c vÝ dô tiªu biÓu , h×nh thµnh ®êng lèi t duy cho häc sinh th×
sÏ t¹o nªn høng thó nghiªn cøu, gióp häc sinh hiÓu s©u, nhí l©u vµ n©ng cao hiÖu
qu¶ gi¸o dôc .
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
1
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
II. Gi¶i ph¸p míi:
A- HÖ thèng ho¸ c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n liªn quan vµ bæ sung mét sè kiÕn thøc
më réng .
1. C¸c tÝnh chÊt cña luü thõa bËc 2, bËc 3, tæng qu¸t ho¸ c¸c tÝnh chÊt cña luü
thõa bËc ch½n vµ luü thõa bËc lÎ.
2. C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö , c¸c h»ng ®¼ng thøc .
3. C¸c bÊt ®¼ng thøc C«si, Bunhiacopski, bÊt ®¼ng thøc cã chøa gi¸ trÞ tuþªt ®èi.
4. C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt , bËc 2 mét Èn, c¸ch gi¶i hÖ
ph¬ng tr×nh.
5. Bæ sung c¸c kiÕn thøc ®Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n:
*
A 0
A = B B 0
A B2
A 0
A B
* A B
* A B 0 AB0
B. Cung cÊp cho häc sinh c¸c ph¬ng ph¸p thêng dïng ®Ó gi¶i ph¬ng ttr×nh
v« tû .
Ph¬ng ph¸p 1. N©ng lªn luü thõa ®Ó lµm mÊt c¨n ë 2 vÕ cña ph¬ng
tr×nh( thêng dïng khi 2 vÕ cã luü thõa cïng bËc).
VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh
x 1 5 x 1 3x 2
(1)
+ ë ph¬ng tr×nh (1) hai vÕ ®Òu cã c¨n bËc hai, häc sinh cã thÓ m¾c sai lÇm ®Ó
nguyªn hai vÕ nh vËy vµ b×nh ph¬ng hai vÕ ®Ó lµm mÊt c¨n . V× vËy gi¸o viªn
cÇn ph©n tÝch kü sai lÇm mµ häc sinh cã thÓ m¾c ph¶i tøc cÇn kh¾c s©u cho häc
sinh tÝnh chÊt cña luü thõa bËc 2:
a = b a2 = b2 ( Khi a, b cïng dÊu )
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
2
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
V× vËy khi b×nh ph¬ng hai vÕ ®îc ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng
tr×nh ban ®Çu khi hai vÕ cïng dÊu.
ë ph¬ng tr×nh (1), VP 0 , nhng vÕ tr¸i cha ch¾c ®· 0 v× vËy ta nªn
chuyÓn vÕ ®a vÒ ph¬ng tr×nh cã 2 vÕ cïng 0.
(1)
x 1 5 x 1 3x 2
§Õn ®©y häc sinh cã thÓ b×nh ph¬ng hai vÕ:
x 1 5 x 1 3x 2
2 7 x 2 15 x 2 13x 2
(*)
Ta l¹i gÆp ph¬ng tr×nh cã mét vÕ chøa c¨n , häc sinh cã thÓ m¾c sai lÇm lµ b×nh
ph¬ng tiÕp 2 vÕ ®Ó vÕ ph¶i mÊt c¨n mµ kh«ng ®Ó ý hai vÕ ®· cïng dÊu hay cha.
4 14 x 49 x 2 4(15 x 2 13x 2)
11x 2 24 x 4 0
(11x 2)( x 2) 0
2
x
2
11 Vµ tr¶ lêi ph¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm : x1 ; x 2 2
11
x 2
Sai lÇm cña häc sinh lµ g×? T«i cho häc sinh kh¸c ph¸t hiÖn ra nh÷ng sai lÇm :
+ Khi gi¶i cha chó ý ®Õn ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c c¨n thøc cã nghÜa nªn sau khi gi¶i
kh«ng ®ã chiÕu víi ®iÒu kiÖn ë (1) : §K : x 1 v× vËy x1
2
kh«ng ph¶i lµ
11
nghiÖm cña (1)
+ Khi b×nh ph¬ng hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (*) cÇn cã ®iÒu kiÖn 2 7 x 0 x
vËy
2
7
x 2 2 kh«ng lµ nghiÖm cña (1)
- Sau khi ph©n tÝch sai lÇm mµ häc sinh thêng gÆp , tõ ®ã t«i cho häc sinh t×m ra
c¸ch gi¶i ®óng kh«ng ph¹m sai lÇm ®· ph©n tÝch .
C1: Sau khi t×m ®îc x
2
vµ x 2 thö l¹i (1) kh«ng nghiÖm ®óng VËy (1) v«
11
nghiÖm.
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
3
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
( c¸ch thö l¹i nµy lµm khi viÖc t×m TX§ cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ t¬ng ®èi
phøc t¹p )
x 1
1
x x 1
5
3
x 2
C2: §Æt ®iÒu kiÖn tån t¹i cña c¸c c¨n thøc cña (1)
Sau khi gi¶i ®Õn (*) khi b×nh ph¬ng hai vÕ ®Æt thªm ®iÒu kiÖn x
2
vËy x tho¶
7
2
x
m·n : 7 nªn ph¬ng tr×nh (1)v« nghiÖm
x 1
C3: Cã thÓ dùa vµo ®iÒu kiÖn cña Èn ®Ó xÐt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .
§iÒu kiÖn cña (1) : x 1 do ®ã x 5 x x 1 5 x 1 x 1 5 x 1
VÕ tr¸i <0. VP 0 nªn ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm .
Sau ®ã t«i ra mét sè bµi tËp t¬ng tù cho häc sinh tr×nh bµy lêi gi¶i.
Bµi tËp t¬ng tù : Gi¶i ph¬ng tr×nh
a)
4 x 1 3x 4 x 2
b) x 2 x 1 2 x 1 x 3
VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh :
3
x 1 3 7 x 2
(2)
ë ph¬ng tr×nh (2) häc sinh còng nhËn xÐt cã chøa c¨n bËc 3 nªn nghÜ ®Õn viÖc
lËp ph¬ng hai vÕ :
Chó ý: + ë c¨n bËc lÎ:
2 n 1
A cã nghÜa víi A nªn kh«ng cÇn ®Æt ®iÒu kiÖn
x 1 0
7 x 0
+ ë luü thõa bËc lÎ: a=b a2n+1=b2n+1; (n N) nªn kh«ng cÇn xÐt ®Õn dÊu
cña hai vÕ.
Gi¶i:+ LËp ph¬ng hai vÕ
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
4
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
x 1 7 x 3 x 1 . 7 x 3 x 1. 7 x 8 (**)
2
3
3
2
3
§Õn ®©y cã thÓ häc sinh rÊt lóng tóng v× sau khi lËp ph¬ng hai vÕ, vÕ tr¸i nh×n
rÊt phøc t¹p, gi¸o viªn híng dÉn häc sinh nghÜ ®Õn h»ng ®¼ng thøc:
( a+b)3 =a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b)
VËy (**) cã thÓ viÕt :
x 1 7 x 33 ( x 1)(7 x) . 3 x 1 3 7 x 8 (I)
(®Õn ®©y thay
3
x 1 3 7 x 2 vµo ph¬ng tr×nh) ta ®îc:
8 33 ( x 1)(7 x) .2 8 ( x 1)(7 x) 0
( II)
Gi¶i ra: x1 1; x2 7 ; Thay l¹i vµo PT ®· cho ta thÊy nghiÖm ®óng , nªn ®ã lµ 2
nghiÖm cña PT ban ®Çu. VËy (2) cã nghiÖm
x1 1; x 2 7
+ ë ph¬ng tr×nh (2) ngoµi viÖc lËp ph¬ng hai vÕ cÇn sö dông h»ng ®¼ng thøc
mét c¸ch linh ho¹t ®Ó ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ®¬n gi¶n a.b = 0 råi gi¶i.
Chó ý: Do tõ (I) suy ra (II) ta thùc hiÖn phÐp biÕn ®æi kh«ng t¬ng ®¬ng , v× nã
chØ t¬ng ®¬ng khi x tho¶ m·n :
3
x 1 3 7 x 2 . V× vËy viÖc thay l¹i nghiÖm
cña (II) vµo ph¬ng tr×nh ®· cho lµ cÇn thiÕt . NÕu kh«ng thö l¹i cã thÓ sÏ cã
nghiÖm ngo¹i lai.
Bµi tËp t¬ng tù : Gi¶i ph¬ng tr×nh :
a) 3 x 1 3 x 1 3 5 x
b)
3
2x 1 3 3 2x 4
c) 3 2 x 1 3 2 x 1 3 10 x ( §Ò thi vµo to¸n tin -2000)
Ph¬ng ph¸p 2: Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸
trÞ tuþªt ®èi.
Ph¬ng ph¸p nµy lµ: Khi gÆp ph¬ng tr×nh mµ biÓu thøc trong c¨n cã thÓ viÕt
®îc díi d¹ng b×nh ph¬ng cña mét biÓu thøc th× sö dông h»ng ®¼ng thøc :
A 2 A ®Ó lµm mÊt dÊu c¨n ®a vÒ ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
5
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh :
(3)
2 x 2 2 2 x 3 2 x 13 8 2 x 3 5
NhËn xÐt: + ë ph¬ng tr×nh (3) häc sinh cã thÓ nhËn xÐt vÕ tr¸i cã cïng c¨n bËc
hai nªn cã thÓ b×nh ph¬ng hai vÕ. Nhng ë ph¬ng tr×nh nµy sau khi b×nh
ph¬ng (lÇn 1) vÉn cßn chøa c¨n nªn rÊt phøc t¹p.
+ biÓu thøc trong c¨n cã thÓ viÕt ®îc díi d¹ng b×nh ph¬ng cña mét biÓu thøc
.
3
2
Gi¶i : §K: 2 x 3 0 x ;
2 x 2 2 2 x 3 2 x 13 8 2 x 3 5
( 2 x 3) 2 2 x 3 1 ( 2 x 3) 2 2 x 3.4 16 5
2x 3 1
2
2x 3 1
2x 3 4
2
5
2 x 3 4 5; (* * *)
C1: §Õn ®©y ®Ó gi¶i (***) ta cã thÓ ph¸ dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, tríc khi ph¸ dÊu A th×
cÇn xÐt dÊu cña A
NhËn xÐt: 2 x 3 1 0 vËy chØ xÐt dÊu 2 x 3 4
NÕu
2 x 3 16
19
2x 3 4 0
x
3
2
x 2
Th× 2 x 3 1 2 x 3 4 5 2 2 x 3 8 2 x 3 4
Gi¶i ra x
9
(Kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
2
+ NÕu 2 x 3 4
Th×
3
19
x
2
2
2 x 3 1 2 x 3 4 5 0 x 0 v« sè nghiÖm x tho¶ m·n
KÕt luËn:
3
19
x
2
2
3
19
x
2
2
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
6
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
C2:
( §Ó gi¶i (***) còng cã thÓ sö dông bÊt ®¼ng thøc gi¸ trÞ tuyÖt ®èi .
A B A B . dÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi A.B 0)
Gi¶i: (***)
2x 3 1
2x 3 4 5
2x 3 1 4 2x 3 5
Ta cã:
2x 3 1 4 2x 3
VËy:
2 x 3 1 4 2 x 3 5 Khi
4 2 x 3 0
3
x
2
2x 3 1 4 2x 3 5
Gi¶i ra:
2x 3 1 4 2x 3 0
3
19
x
2
2
Bµi tËp t¬ng tù: Gi¶i ph¬ng tr×nh
a)
x 24 x2 x7 6 x 2 1
b)
x 2 x 1 x 2 x 1 2 (Nh©n 2 vÕ víi
2 th× trong c¨n sÏ xuÊt hiÖn h»ng
®¼ng thøc)
Ph¬ng ph¸p 3: §Æt Èn phô:
Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô lµ ph¬ng ph¸p hay mµ t«i rÊt t©m ®¾c , ph¬ng ph¸p nµy
cã thÓ dïng ®Ó gi¶i ®îc rÊt nhiÒu ph¬ng tr×nh
ë ph¬ng ph¸p nµy dïng c¸ch ®Æt Èn phô ®Ó ®a vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh v« tû ®¬n
gi¶n
C¸ch ®Æt Èn phô: + §Æt 1 Èn phô
+ §Æt 2 Èn phô
+ §Æt nhiÒu Èn phô
A) C¸ch ®Æt 1 Èn phô :
C1: Chän Èn phô thÝch hîp ®Ó ®a ph¬ng tr×nh vÒ ph¬ng tr×nh cã mét Èn lµ Èn
phô ®· ®Æt .Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m Èn phô , tõ ®ã t×m Èn chÝnh.
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
7
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
VD1:Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2 x 2 +6x+12+ x 2 3x 2 =9 (4)
-NhËn xÐt:+ ë ph¬ng tr×nh nµy nÕu b×nh ph¬ng 2 vÕ sÏ ®a vÒ mét ph¬ng tr×nh
bËc 4 mµ viÖc t×m nghiÖm lµ rÊt khã
+ BiÓu thøc trong vµ ngoµi c¨n cã mèi liªn quan :
2x2+6x+12=2(x2+3x+2)+8
Híng gi¶i:+ §Æt Èn phô lµ y= x 2 3x 2
+ Chó ý: §èi víi §K: x2+3x+2 0 cã thÓ gi¶i ®îc nhng víi nh÷ng
bµi to¸n mµ biÓu thøc trong c¨n phøc t¹p th× cã thÓ t×m gi¸ trÞ cña x råi thö l¹i
xem cã tho¶ m·n §K hay kh«ng
x 2
Gi¶i: §K: x2+3x + 2 0 ( x+1) (x+2) 0
x 1
§Æt :
x 2 3x 2 =y 0
PT (4) 2y2+y+8=9
2y2+y -1=0
Gi¶i ra:y1=1/2 ( Tho¶ m·n §K); y2=-1( Lo¹i)
Thay vµo: x 2 3x 2 =1/2 x2+3x+2=1/4
Gi¶i ra:x1=
3 2
; x2=
2
§èi chiÕu víi §K: x=
3 2
2
3 2
tho¶ m·n lµ nghiÖm cña PT (4)
2
VD2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2 x x 2 6 x 2 12 x 7 0
( §Ò thi häc sinh giái tØnh líp 10 n¨m 2003-2004)
Híng dÉn : §K : 6 x 2 12 x 7 0; x
Ta biÕn ®æi ®Ó thÊy ®îc mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÓu thøctrong ph¬ng tr×nh:
2 x x 2 6( x 2 2 x ) 7 0
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
8
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
§Æt : x 2 2 x a
Ta cã ph¬ng tr×nh:
6a 7 a (I)
Gi¶i(I) t×m a tõ ®ã t×m x.
VD2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
( 1 x 1)( 1 x 1) 2 x
HD: ë bµi nµy ta t×m mèi liªn hÖ c¸c biÓu thøc b»ng c¸ch ®Æt :
1 x u ;
Rót x theo u thay vµo c¸c biÓu thøc cßn l¹i trong ph¬ng tr×nh ®Ó ®a vÒ ph¬ng
tr×nh Èn u.
Gi¶i: §K : -1 x 1 ;
C1: §Æt:
1 x u
(0 u 2 )
x u2 1
(5) (u 1)( 2 u 2 1) 2(u 2 1) (u 1) ( 2 u 2 1) 2(u 1)
u 1 0
2
2 u 1 2(u 1) 0
+ NÕu : u 1 0 u 1( tho¶ m·n) x 1 1 x 0 (Tho¶ m·n §K)
2 u 2 1 2(u 1)
2u 1 0
5u 2 4u 1 0
2
2
2 u (2u 1)
2
Gi¶i ra:
1
24
1
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
u1 1( lo¹i); u 2 x 1
5
25
5
VËy x 0; x
24
lµ nghiÖm cña (5)
25
c2:ë bµi nµy cã thÓ ®Æt : 1 x a; 1 x b ;
§a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh:
(a 1)(b 1) a 2 b 2
2
a b 2 2
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
9
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
C2: §Æt Èn phô ®a ph¬ng tr×nh vÒ 2 Èn: Èn chÝnh vµ Èn phô, t×m mèi quan hÖ
gi· Èn chÝnh vµ Èn phô.
VD3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 x 2 2 x
(6)
NhËn xÐt:- NÕu b×nh ph¬ng hai vÕ ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc 4 khã nhÈm nghiÖm v«
tû.V× vËy ta cã thÓ ®Æt Èn phô nhng cha ®a ®îc vÒ ph¬ng tr×nh chØ chøa mét Èn.
-H·y t×m c¸ch ®a vÒ mét hÖ ph¬ng tr×nh cã 2 Èn lµ Èn chÝnh vµ Èn phô. T×m mèi
quan hÖ gi÷a Èn chÝnh vµ Èn phô tõ ®ã ® a vÒ ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n.
2 x 0
Gi¶i: §K:
2
2 x 0
2 x 2 y
§Æt: y 2 x x 2 y 2 ;Ta cã hÖ:
2 y 2 x
§©y lµ hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng
( y x)( y x 1) 0
x y
1 x y
+ NÕu x=y ta cã ph¬ng tr×nh: 2 x x gi¶i ra x 1 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
+ NÕu1-x=y ta cã ph¬ng tr×nh:
2 x 1 x gi¶i ra: x
1 5
2
( Tho¶ m·n ®iÒu
kiÖn)
VËy ph¬ng tr×nh (6) cã 2 nghiÖm x1 1; x 2
1 5
2
VD4: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 2 x 2006 2006
C¸ch 1: §Æt x 2006 y ta cã hÖ ph¬ng tr×nh
x 2006 y 2
gi¶i ra
2
x y 2006
x 2006 x
x y
x y 1
x 2006 x 1
tõ ®ã sö dông ph¬ng ph¸p 1 ®Ó gi¶i tiÕp.
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
10
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
Chó ý : C¸ch nµy thêng sö dông khi quan hÖ Èn chÝnh vµ Èn phô ®a ®îc vÒ hÖ
ph¬ng tr×nh ®èi xøng.
C¸ch 2: §a 2 vÕ vÒ cïng bËc:
x2 x
1
1
x 2006 x 2006
4
4
2
1
x
2
1
x 2
x 1
2
1
x 2006
2
1
x 2006
2
1
x 2006
2
2
§Õn ®©y tiÕp tôc gi¶i theo ph¬ng ph¸p 1
Bµi tËp t¬ng tù : Gi¶i ph¬ng tr×nh
3
x 1 2 y
a) x 3 1 23 2 x 1 ; HD: §Æt Èn phô y 3 2 x 1 ta cã hÖ : 3
y 1 2 x
b) 2 x 2 2 x 1 4 x 1 ; HD : §Æt Èn phô y x 2 x
c) 4 x 2 6 x 7 2 x 2 3x 9 15
B) §Æt 2 Èn phô:
ë d¹ng nµy ta ®Æt 2 Èn phô ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh 2 Èn phô, gi¶i hÖ t×m gi¸ trÞ
cña Èn phô, tõ ®ã tõ mèi quan hÖ gi÷a Èn chÝnh vµ Èn phô ®Æt lóc ®Çu ®a vÒ ph¬ng
tr×nh ®¬n gi¶n.
VD1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 2 x x 1 1
(7)
NhËn xÐt: ë vÕ tr¸i cã c¨n bËc 2 vµ c¨n bËc 3 nªn viÖc n©ng luü thõa 2 vÕ ®Ó lµm mÊt
dÊu c¨n lµ rÊt khã.
+ Hai biÓu thøc trong c¨n cã mèi quan hÖ: 2 x x 1 1 (h»ng sè)
+ §Æt 2 Èn phô: SÏ ®a vÒ hÖ 2 ph¬ng tr×nh kh«ng chøa c¨n vµ gi¶i.
Gi¶i: §K: x 1
3
§Æt:
2 x u; x 1 v
Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
11
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
u v 1
3
3
u v 1
gi¶i ra u1 0; u 2 1; u 3 2
Tõ ®ã: x1 1; x 2 2; x3 10 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
VËy ph¬ng tr×nh (7) cã 3 nghiÖm: x1 1; x 2 2; x3 10
VD2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
3
x 2 x 1 3
( §Ò thi vµo Phan Béi Ch©u 2005)
a b 3
HD: §Æt 3 x 2 a; x 1 b ; Ta cã hÖ:
3
2
a b 3
Gi¶i ra:a=1; b=1 ; tõ ®ã gi¶i ra t×m x=3
Tæng qu¸t: §èi víi ph¬ng tr×nh cã d¹ng:
n
a f ( x) m b f ( x ) c
Ta thêng ®Æt: u n a f ( x) ; v m b f ( x) Khi ®ã ta ®îc hÖ ph¬ng tr×nh:
u v c
hoÆc
n
m
u
v
a
b
u v c
n
m
u v a b
Gi¶i hÖ nµy t×m u, v sau dã t×m x
VD3: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
3
3x 12
3 3x 1 3 9 x 2 1 0
2
(9)
NhËn xÐt: NÕu lËp ph¬ng hai vÕ th× còng rÊt phøc t¹p v× kh«ng ®a ®îc vÒ d¹ng
a.b=0 nh ë ph¬ng tr×nh (2)
9 x 2 1 (3 x 1)(3 x 1) . Nªn cã thÓ ®Æt 2 Èn phô
Gi¶i: §Æt u 3 3x 1
v 3 3x 1
u 2 v 2 uv 1
(9) trë thµnh: 3 3
u v 2
u 1
v 1
Gi¶i ra:
vËy ta cã:
3 3x 1 1
x 0 VËy (9) cã nghiÖm x=0
3
3x 1 1
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
12
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
Bµi tËp t¬ng tù: Gi¶i ph¬ng tr×nh :
a)
3
1
1
x
x 1
2
2
b)
3
x a 3 x b 1
Ngoµi c¸ch trªn cã mét sè bµi khi ®Æt 2 Èn phô nhng kh«ng ®a ®îc vÒ hÖ PT
th× ta cã thÓ t×m quan hÖ cña 2 Èn phô , thay vµo hÖ thøc ®· ®Æt lóc ®Çu ®Ó ®a vÒ
ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n. Nh c¸c VD sau:
VD4: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2( x 2 2) 5 x 3 1
(10)
NhËn xÐt: NÕu b×nh ph¬ng hai vÕ cña ph¬ng tr×nh sÏ ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc 4 rÊt
khã gi¶i:
Híng dÉn: + NhËn xÐt g× vÒ biÓu thøc x3+1 ?
cã d¹ng H§T: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1)
+ T×m mèi quan hÖ gi÷a x2+2 vµ x3 +1
x2 +2 =(x2-x+1)+(x+1)
+ Tõ ®ã ta cã thÓ ®Æt 2 Èn phô: a x 1; b x 2 x 1 vµ t×m mèi quan hÖ a, b tõ ®ã
t×m x
Gi¶i:
§K : x 1
2( x 2 1) 5 ( x 1)( x 2 x 1)
§Æt a x 1; b x 2 x 1
Ta cã: a2=x+1 ; b2= x2-x+1 ; x2+2=a2+b2
Ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh:
2(a 2 b 2 ) 5ab
a 2b
(2a b)(a 2b) 0
b 2a
* Víi a= 2b ta cã: x 1 2 x 2 x 1
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
13
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
x 2 5x 3 0
5 37
x1
2
( Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
5 37
x2
2
+ Víi b=2a Ta cã: x 2 x 1 2 x 1 . Tõ ®ã gi¶i ra t×m x
( ë d¹ng nµy viÖc t×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÓu thøc ë hai vÕ lµ rÊt quan träng .
V× vËy tríc khi gi¶i ph¶i quan s¸t nhËn xÐt ®Ó t×m ra ph¬ng ph¸p gi¶i phï hîp).
VD5:Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2(3x 5) x 2 9 3x 2 2 x 30
( §Ò thi vµo Phan Béi Ch©u 2004-2005)
HD : H·y biÓu diÔn ®Ó thÊy mèi quan hÖ c¸c biÓu thøc:
32 x 3 1
x 2 9 3( x 2 9) 2 x 3
§Æt: 2 x 3 a; x 2 9 b ;
Ta cã PT: (3a 1)b a 3b 2 (3b 1)(b a) 0
1
2
b a
x
9
3
Gi¶i ra: 1
; Gi¶i ra: x=0
b
2
2 x 3 x 9
3
VD5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 5 2 x 3 16 2( x 2 8);
( §Ò thi vµo Phan Béi Ch©u 2005)
HD: BiÕn ®æi
5 2( x 2)( x 2 2 x 4) 2( x 2 8)
Mèi liªn hÖ: x 2 8 ( x 2 2 x 4) (2 x 4) ;
§Æt:
2( x 2) a; x 2 2 x 4 b
Ta cã ph¬ng tr×nh: 5ab 2(a 2 b 2 ) (2a b)(a 2b) 0
Tõ ®ã t×m a,b, vµ t×m ®îc x
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
14
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
BT T¬ng tù: Gi¶i ph¬ng tr×nh
a) 2( x 2 3x 2) 3 x 3 8
b) 2 x 3 x 1 3x 3 2 x 2 5 x 3 16
Híng dÉn:NhËn xÐt: (2 x 3)( x 1) 2 x 3 5 x 3
§Æt : u 2 x 3 0; v x 1 0
u 2 v 2 3x 4 3x 2 u 2 v 2 4
Nªn ta cã ph¬ng tr×nh: u v u 2 v 2 20 2uv (u v) 2 (u v) 20 0
§Æt: u+v=t. Ta cã ph¬ng tr×nh: t2-t-20=0
t 5
Gi¶i ra:
Do ®ã:
t 4(loai )
2x 3 x 1 5
§Õn ®©y dïng ph¬ng ph¸p 1 ®Ó gi¶i: x=3
C) §Æt nhiÒu Èn phô:
VD1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2 x 2 1 x 2 3x 2 2 x 2 2 x 3 x 2 x 2
NhËn xÐt: + Ph¬ng tr×nh nµy nh×n rÊt phøc t¹p , nÕu nghÜ ®Õn ph¬ng ph¸p b×nh
ph¬ng 2 vÕ th× sÏ ®a vÒ mét ph¬ng tr×nh phøc t¹p .
+ ViÖc ®Æt ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c c¨n thøc cã nghÜa cã thÓ phøc t¹p , nªn ta gi¶i ph¬ng
tr×nh t×m x råi thö l¹i.
+ Quan s¸t nhËn xÐt c¸c biÓu thøc trong c¨n :
(2 x 2 1) ( x 2 3 x 2) (2 x 2 2 x 3) ( x 2 x 2)
Nªn cã thÓ nghÜ ®Õn ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô :
Gi¶i: §Æt 2 x 2 1 u; x 2 3x 2 v; 2 x 2 2 x 3 z; x 2 x 2 t
u v z t
Ta cã hÖ :
2
2
2
u v z t
2
Tõ ®ã suy ra: u t 2 x 2 1 2 x 2 x 3 Gi¶i ra : x=-2
Thay vµo tho¶ m·n ph¬ng tr×nh ®· cho , VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=-2
( Ph¬ng ph¸p nµy t«i thÊy hay vµ ®éc ®¸o , tõ ®ã GV cã thÓ ®Æt nhiÒu ®Ò to¸n ®Ñp)
Bµi tËp t¬ng tù: Gi¶i ph¬ng tr×nh
2006 x 2 2005 2005 x 2 x 2004 2006 x 2 2 x 2003 2005 x 2 x 2002
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
15
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
Ph¬ng ph¸p 4: §a vÒ d¹ng : A2 + B2 = 0 hoÆc A.B=0
ë ph¬ng ph¸p nµy ta sö dông A2 + B2 = 0 <=> A = B = 0 ; A.B =0
Khi A=0 hoÆc B=0
x 2 4x 5 2 2x 3
VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
NhËn xÐt: + Sö dông c¸c ph¬ng ph¸p 1, 2, 3 ®Òu khã gi¶i
+ BiÕn ®æi ®a vÒ d¹ng A2 + B2 = 0
Gi¶i:§iÒu kiÖn: x
3
2
x 2 4x 5 2 2x 3 0
( x 2 2 x 1) (2 x 3 2 2 x 3 1) 0
( x 1) 2 ( 2 x 3 1) 2 0
x 1 0
2x 3 1 0
Gi¶i ra x=-1
VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2x 2 2x 1 4x 1
NhËn xÐt:
+ ë ph¬ng tr×nh nµy ta cã thÓ ®Æt Èn phô y = x2 + x tõ ®ã ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh
y x 2 x
®èi xøng:
x y 2 y
x y
Tõ ®ã suy ra:
råi gi¶i t×m x
x 2 y
+ Ta còng cã thÓ nh©n 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh víi 2 råi ®a vÒ d¹ng:
4 x 2 ( 4 x 1 1) 2 0 gi¶i ra x=0 ( c¸ch gi¶i nµy ®¬n gi¶n h¬n)
Bµi tËp t¬ng tù: Gi¶i ph¬ng tr×nh
a)
x 2 6 x 26 6 2 x 1
VD: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
b)
x y z 4 2 x2 4 y 3 6 z 5
5 x 2 x 1 1 x 3
( §Ò thi häc sinh giái huyÖn 2005)
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
16
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
HD: T×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÓu thøc: 5 x 3 4( x 1) (1 x) ; PT trë thµnh:
(2 x 1) 2 ( 1 x ) 2 2 x 1 1 x 0 (2 x 1) 1 x 1 0
( x 1) (5 x 1 1) 0
Gi¶i ra: x=-24/25 ( TM§K)
Ngoµi ra ta cã thÓ ®Æt: x 1 a; 1 x b ; ta cã hª:
a 2 b 2 2
; Tõ ®ã gi¶i ra t×m a;b vµ t×m ®îc x
2
2
2a b 4a b 0
Bµi tËp t¬ng tù : Gi¶i ph¬ng tr×nh
4 x 1 3x 2
x3
5
HD: NhËn xÐt x 3 ( 4 x 1) 2 ( 3x 2 ) 2 Tõ ®ã biÕn ®æi ®a vÒ d¹ng :A.B =0
Ph¬ng ph¸p 5: Dïng bÊt ®¼ng thøc
Sö dông ®iÒu kiÖn x¶y ra dÊu “=” ë bÊt ®¼ng thøc kh«ng chÆt.
VD1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
Gi¶i: §K: x
vµ chØ khi a=b
x
4x 1
4x 1
2
x
1
a b
;Sö dông bÊt ®¼ng thøc: 2
4
b a
Ta cã:
x
4x 1
(`11)
víi a, b > 0 dÊu “=” x¶y ra khi
4x 1
2
x
Do ®ã (11) x 4 x 1 Gi¶i ra: x 2 3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
VËy (11) cã hai nghiÖm
x 2 3
VD2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
3x 2 6 x 7 5 x 2 10 x 14 4 2 x x 2
(12)
NhËn xÐt:+ë ph¬ng tr×nh nµy ta kh«ng nªn b×nh ph¬ng hai vÕ
+ XÐt c¸c biÓu thøc trong c¨n vµ ngoµi c¨n.
3x2+6x+7 = 3(x+1)2 +4; 5x2+10x + 14 = 5(x+1)2 + 9; 4-2x-x2=-(x+1)2+5 tõ ®ã cã
lêi gi¶i:
Gi¶i: VT: 3x 2 6 x 7 5 x 2 10 x 14 4 2 x x 2 4 9 5
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
17
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
VP: 4 2 x x 2 5 ( x 1) 2 5
VËy 2 vÕ ®Òu b»ng 5, khi ®ã x 1 0 x 1
KÕt luËn pt (12) cã mét nghiÖm x=-1
BT t¬ng tù: Gi¶i ph¬ng tr×nh
3x 2 6 x 7 5 x 2 10 x 14 4 2 x x 2
a)
x 2 6 x 15
x 2 6 x 18
b) 2
x 6 x 11
VD3: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 4 6 x x 2 10 x 27
NhËn xÐt: NÕu b×nh ph¬ng 2 vÕ sÏ ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc 4, khã gi¶i
Híng dÉn : Sö dông B§T so s¸nh 2 vÕ
Gi¶i: §K: 4 x 6
Ta thÊy: x 2 10 x 27 ( x 5) 2 2 2
MÆt kh¸c ¸p dông B§T Bunhiacopxki ta cã
1.
x 4 1. 6 x
1
2
2
12 x 4 6 x 2.2 4
x4 6 x 2
VËy ta suy ra: x2-10x+27=2
x4 6x 2
(1)
(2)
Gi¶i (1) ta ®îc x=5 thay vµo (2) ta thÊy 2 vÕ b»ng nhau. VËy ph¬ng tr×nh cã
nghiÖm x=5
BT t¬ng tù : Gi¶i ph¬ng tr×nh
a)
b)
4
1 x2 4 1 x 4 1 x 3
2 x2 2
§a vÒ d¹ng:
2 x
2
(HD: ¸p dông B§T c« si)
1
1
4x
2
x
x
1 1
x 2 2 4 råi ¸p dông B§T Bunhiacopxki
x
x
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
18
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
Tæng qu¸t c¸ch gi¶i:
+ BiÕn ®æi pt vÒ d¹ng f(x)=g(x) mµ
f ( x) a; g ( x) a víi a lµ h»ng sè. NghiÖm
cña pt lµ c¸c gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n ®ång thêi f(x)=a vµ g(x) = a
+ BiÕn ®æi pt vÒ d¹ng h(x) =m ( m lµ h»ng sè) mµ ta lu«n cã h(x) m vµ h(x) m
th× nghiÖm cña pt lµ c¸c gi¸ trÞ cña x lµm cho dÊu ®¼ng thøc x¶y ra
+ ¸p dông B§T C«si vµ Bunhiac«pxki
Ph¬ng ph¸p 6: §o¸n nghiÖm, chøng minh nghiÖm duy nhÊt
VÝ dô: Gi¶i pt:
5 x 6 3 3x 4 2 1
NhËn xÐt: NÕu sö dông 5 ph¬ng ph¸p trªn ®Òu khã gi¶i ®îc nªn suy nghÜ ®Ó t×m
c¸ch gi¶i kh¸c.
Híng dÉn: + Thö nhÈm t×m nghiÖm cña pt
+ Chøng minh nghiÖm duy nhÊt
Gi¶i: NhËn thÊy x 1 lµ mét nghiiÖm cña pt
+ XÐt
5 x 6 2
5 x 6 4
x 1 th× 4
5 x 6 3 3x 4 2 1
4
3 x 2 1 3 x 2 1
nªn pt v« nghiÖm
5 x 6 4
+ xÐt x 1 ta cã: 4
5 x 6 3 3 x 4 2 1 nªn pt v« nghiÖm
3x 2 1
VËy pt cã 2 nghiÖm x=-1 vµ x=1
VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
5
x 1 3 x 8 x3 1
Gi¶i: NhËn thÊy x=0 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
+NÕu x<0 th×
5
x 1 1; 3 x 8 2; x 3 1 1
VËy VP <1; VT>1 nªn ph¬ng tr×nh v« nghiÖm .
+ NÕu x>0 th× VP<1; VT>1 nªn ph¬nhg tr×nh v« nghiÖm.
VËy x=0 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
19
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Ph¬ng ph¸p d¹y cho häc sinh líp 9 gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû
BT t¬ng tù: Gi¶i ph¬ng tr×nh
3
x 2 28 23 x 2 23 x 1 x 2 9
Híng dÉn: TX§: x 1
NhËn thÊy x=2 lµ nghiÖm
Chøng tá:
1 x<2 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
x>2 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
(ë nh÷ng ph¬ng tr×nh phøc t¹p mµ viÖc sö dông c¸c ph¬ng ph¸p 1 ®Õn ph¬ng
ph¸p 4 ®Òu kh«ng gi¶i ®îc th× ta nghÜ ®Õn ph¬ng ph¸p 5).
Bµi häc kinh nghiÖm
Trªn ®©y t«i ®· tr×nh bµy c¸ch nhËn d¹ng vµ c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh
v« tû. Tríc khi gi¶i häc sinh nhËn xÐt vµ thö c¸c biÖn ph¸p tõ ®Ô ®Õn khã ®Ó t×m ra
ph¬ng ph¸p phï hîp ®Ó gi¶i. Sau ®ã häc sinh sÏ gi¶i c¸c bµi tËp t¬ng tù cïng
d¹ng, vµ tù ®Æt thªm mét sè bµi tËp ®Ó kh¾c s©u thªm ph¬ng ph¸p gi¶i .
T«i nghÜ r»ng víi mçi vÊn ®Ò , mçi chuyªn ®Ò to¸n häc chóng ta ®Òu d¹y theo tõng
d¹ng , ®i s©u mçi d¹ng vµ t×m ra híng t duy ,híng gi¶i vµ ph¸t triÓn bµi to¸n .Sau
®ã ra bµi tËp tæng hîp ®Ó häc sinh biÖt ph©n d¹ngvµ t×m ra c¸ch gi¶i thÝch hîp cho
mçi bµi th× ch¾c ch¾n häc sinh sÏ n¾m v÷ng vÊn ®Ò . Vµ t«i tin ch¾c r»ng to¸n häc sÏ
lµ niÒm say mª víi tÊt c¶ häc sinh .
Víi kinh nghiÖm nho nhá nh vËy t«i xin ®îc trao ®æi cïng c¸c ®ång
nghiÖp.T«i rÊt mong ®îc sù gãp ý ch©n thµnh cña c¸c ®ång nghiÖp vµ c¸c thÇy c«
®· cã nhiÒu kinh nghiÖm trong gi¶ng d¹y .
DiÔn Ch©u ngµy 25 th¸ng 5 n¨m 2005
Ngêi thùc hiÖn
Hoµng ThÞ BÝch Lai
Ngêi thùc hiÖn: Hoµng ThÞ BÝch Lai –Trêng THCS DiÔn Trêng
20
- Xem thêm -
.PDF 
20 
1403 
138 
