BM 01-Bia SKKN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
THPT CHU VĂN AN
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN TƯ DUY SUY LUẬN THÔNG QUA BÀI TOÁN
KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN TRONG
CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 11
Người thực hiện: Nguyễn Đăng Thịnh
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục
- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán
(Ghi rõ tên bộ môn)
- Lĩnh vực khác: .......................................................
(Ghi rõ tên lĩnh vực)
Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
Mô hình
Đĩa CD (DVD)
Phim ảnh Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)
Năm học: 2016 - 2017
BM02-LLKHSKKN
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
––––––––––––––––––
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Nguyễn Đăng Thịnh
2. Ngày tháng năm sinh: 13/05/1986
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ:
5. Điện thoại:
(CQ)/
6. Fax:
(NR); ĐTDĐ:0902312328
E-mail:
[email protected]
7. Chức vụ: Bí thư đoàn trường
8. Nhiệm vụ được giao : Giảng dạy bộ môn toán lớp 11A1 và 12A2
9. Đơn vị công tác: THPT Chu Văn An
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ
- Năm nhận bằng: 2014
- Chuyên ngành đào tạo: Toán giải tích
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy bộ môn toán
Số năm có kinh nghiệm: 7
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1 sáng kiến kinh
nghiệm
2
MỤC LỤC
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI........................................................................ trang 4
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN...................................................trang 5
III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP.......................................
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
......................................................................................................trang 6
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt
phẳng song song...........................................................................trang 13
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau....................... trang 15
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI................................................................ trang 23
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG.....................trang 23
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................trang 23
3
BM03-TMSKKN
ĐỀ TÀI :
RÈN LUYỆN TƯ DUY SUY LUẬN QUA BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
TRONG KHÔNG GIAN TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 11
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hình học không gian luôn là một phần học khó đối với nhiều học sinh ở bậc
học phổ thông, và trong phần hình học không gian này thì phần học sinh cảm thấy
khó khăn khi làm bài đó lại là phần khoảng cách trong không gian. Rất nhiều học
sinh thấy khó khăn và trở nên chán nản khi học môn học này. Khi được hỏi hầu
như các em đều trả lời “Lý thuyết em hiểu bài nhưng lại không thể áp dụng vào
làm bài tập”, có rất nhiều học sinh thậm chí khi gặp bài toán khoảng cách là các em
bỏ qua luôn vì nghĩ mình không thể làm được có làm cũng sai và mất thời gian. Vì
vậy, khi giảng dạy phần hình học không gian lớp 11 đặc biệt là phần khoảng cách
trong không gian giáo viên phải kiên nhẫn hướng dẫn các em từng bước để xác
định cũng như tính được khoảng cách trong từng loại bài toán. Qua nhiều năm dạy
lớp 11 tôi nhận thấy rằng để giúp các em làm được phần khoảng cách thì việc dạy
phương pháp với từng loại bài khoảng cách, hướng dẫn các em từng bước trong
việc xác định khoảng cách sẽ giúp các em có được sự định hướng và đặc biệt là tự
giải quyết được các bài toán về khoảng cách.
Hiện nay, khi việc thi trung học phổ thông quốc gia đã được chuyển sang
hình thức thi trắc nghiệm, điều đó có nghĩa là thời gian để giải quyết các bài toán
ít hơn đòi hỏi học sinh phải xử lí các bài toán nhanh hơn. Vì vậy, khi dạy giáo viên
phải chú trọng hơn đến việc rèn luyện tư duy cho học sinh.
Kì thi trung học phổ thông quốc gia từ năm 2018 trở đi sẽ mở rộng giới hạn
chương trình, do đó bài toán khoảng cách là bài toán không thể thiếu trong đề thi.
Chính vì vậy, việc dạy cho học sinh cách giải, cách tư duy bài toán khoảng cách là
điều hết sức cần thiết.
4
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Một trong những trọng tâm của đổi mới chương trình và sách giáo khoa giáo
dục phổ thông là tập chung vào việc đổi mới phương pháp dạy học, thực hiên việc
dạy học dựa trên sự tích cực, chủ động của học sinh với sự tổ chức và hướng dẫn
của giáo viên nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo, tạo niềm tin và niềm vui
trong quá trình học của học sinh.
Việc thay đổi cách thi từ tự luận sang trắc nghiệm cũng đòi hỏi người học và
người dạy phải thay đổi để phù hợp với cách thi mới. Nếu như trước đây một bài
toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau học sinh cứ theo phương pháp
tìm đường vuông góc chung để tính khoảng cách vẫn có thể khả thi vì thời gian
làm tự luận sẽ nhiều hơn, còn đối với trắc nghiệm thì việc lựa chọn đúng phương
pháp sẽ phù hợp với thời gian của trắc nghiệm.
Sách giáo khoa Hình học lớp 11 cơ bản và nâng cao đều viết bài “KHOẢNG
CÁCH” rất đơn giản về lí thuyết tuy nhiên phần bài tập đối với học sinh thì lại
không đơn giản đối với học sinh. Nếu người dạy chỉ đưa ra các định nghĩa như
sách giáo khoa và cho học sinh làm bài tập thì chắc chắn nhiều học sinh không thể
làm được. Học sinh thường lúng túng khi tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên
mặt phẳng thì điểm đó nằm ở đâu? Tại sao lại nằm ở đó? Tìm ra điểm đó như thế
nào ?. Trong sách giáo khoa nâng cao lớp 11, phần lý thuyết có bài toán tìm đường
vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, nhưng rõ ràng trong thực tế khi
giải bài toàn khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau không phải lúc nào ta
cũng phải bắt buộc tìm đường vuông góc chung.
Toán là môn khoa học rèn luyện tư duy cho học sinh và hình học không gian
là một chương rất tốt để thực hiện nhiệm vụ này.
Xuất phát từ những lí do trên, nên tôi đã chọn đề tài: Rèn luyện tư duy suy
luận qua bài toán khoảng cách trong không gian trong chương trình hình học
lớp 11.
5
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Phần khoảng cách trong không gian ở hình học lớp 11 thường là một bài
toán khó cho học sinh. Chính vì vậy nếu người giáo viên chỉ đưa ra các khái niệm
về khoảng cách ở các mục trong sách giáo khoa rồi đưa ví dụ áp dụng sẽ rất khó để
một số học sinh có thể tự làm được các bài toán về khoảng cách. Nhiều học sinh
không biết bắt đầu từ đâu, dùng phương pháp nào, tại sao lại nghĩ đến kẻ đường
thẳng này, vẽ đường thẳng kia...Một số học sinh khá hơn thì mày mò tìm được
cách giải theo kiểu thử sai, có khi được có khi không, một số học sinh khác gần
như không có hướng giải quyết cho loại bài toán này. Đề tài này mong muốn giúp
các em từng bước tự giải quyết vấn đề trên.
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và đến một mặt
phẳng:
1.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
M
H
d
Phần này chỉ lưu ý học sinh cách tính độ dài đoạn MH, người ta thường xem đoạn
MH là đường cao của tam giác MAB với A,B nằm trên đường thẳng d.
1.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
M
P
H
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H,
trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P)
Chú ý : Khi tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
1. Nếu đã có sẵn đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chỉ cần dựng
đường thẳng qua A và song song với .
6
d A, d B,
2. Nếu AB / /mp thì
.
d A,
d B,
3. Nếu AB cắt mp tại I thì
IA
IB
.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B. Cạnh SA
vuông góc với đáy, biết SA 2a, AB a . Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Bài giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.
BC SA
BC AH
BC AB
AH SB
AH SBC d A, SBC AH
AH BC
1
1
1
SA2 . AB 2
2
= 2+
� AH =
=
a
2
2
2
2
AH
SA
AB
SA + AB
5 .
Qua ví dụ trên, học sinh sẽ trả lời cho các câu hỏi AH chứa trong mặt phẳng
nào? và mặt phẳng đó có quan hệ như thế nào với mặt phẳng (SBC).
Nhắc lại định lí 2, hai mặt phẳng vuông góc với nhau theo giao tuyến d,
trong mặt này kẻ đường thẳng a vuông góc với d thì a sẽ vuông góc với mặt phẳng
kia.
7
Từ đó giáo viên cho học sinh ghi nhớ “Các bước xác định khoảng cách từ
một điểm M đến một mặt phẳng (P)” như sau:
+ Tìm mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (P).
+ Tìm giao tuyến d của (P) và (Q).
+ Trong (Q), Kẻ MH vuông góc với d (H thuộc giao tuyến d). Khi đó
d M , P MH
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Cạnh SA
vuông góc với mặt đáy, SA 2a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC .
Bài giải: Cho học sinh tìm kiếm lời giải thông qua
các bước của phương pháp đã nêu ở trên
+ Mp(SAM) đi qua A và vuông góc với mp(SBC)
(M là trung điểm của BC);
(
+ SM = ( SAM ) � SBC ) ;
+ Trong mp(SAM), kẻ AH vuông góc với SM cắt
SM tại H.
do tam giác ABC đều suy ra AM BC
BC SA
BC AH
BC AM
8
AH BC
AH SBC d A, SBC AH
AH SM
AM
Vậy
a 3 1
1
1
3
,
AH 2
a
2 AH 2 AS 2 AM 2
19
d A, SBC 2
3
a
19 .
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật
AD 4a, AB 2a . Cạnh SA 2a và vuông góc với mặt đáy, lấy M là trung điểm
BC. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SMD
Trước khi giải quyết bài toán, giáo viên yêu cầu học sinh tìm mặt phẳng
qua A và vuông góc với mặt phẳng SMD . Ở yêu cầu này các em có thể tìm được
ngay mặt phẳng SAM . Tiếp tục yêu cầu học sinh tìm mặt phẳng đi qua B và
vuông góc với mặt phẳng SMD . Đối với yêu cầu thứ 2 gần như các em không
thể tìm ra ngay hoặc tìm sai mặt phẳng.
Như vậy, học sinh sẽ thấy rằng việc tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
SMD
sẽ dễ hơn việc tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SMD , công việc
còn lại là tìm mối quan hệ giữa hai khoảng cách này.
9
Trong mặt phẳng ABCD : E AB DM , theo chú ý 3, ta có:
d B, SMD
d A, SMD
EB 1
1
d B, SMD d A, SMD
EA 2
2
GV yêu cầu học sinh sử dụng các bước đã hướng dẫn để tìm khoảng cách
+ Mặt phẳng qua A và vuông góc với mp SMD là mp SAM ;
(
AM 2 DM 2 AD 2 AM DM 2a 2
(
+ Giao tuyến SM = ( SAM ) � SDM ) ;
+ Trong mặt phẳng SAM : kẻ AH SM H SM . Ta có AH SMD
suy ra
d A, SMD AH
AH là đường cao tam giác nào ?
Xét tam giác vuông SAM có:
1
1
1
SA2 . AM 2
2a
a
2
AH
d B, SMD
AH 2 SA
AM 2
SA2 AM 2
3
3
Thông qua ví dụ 2 giải pháp mà giáo viên đưa ra cho học sinh đó là việc
linh động chuyển đổi khoảng cách từ điểm tính khoảng cách không thuận về điểm
khác mà tại điểm đó thuận lợi hơn cho việc tính khoảng cách. Giáo viên cũng cần
nhấn mạnh lí do chuyển về điểm A vì điểm A là chân đường cao hình chóp nên đã
có sẵn yếu tố vuông góc SA ABCD nên việc tìm mặt phẳng thỏa phương pháp
là dễ dàng tìm.
Ví dụ 4: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đội một vuông góc, OA a,
OB b, OC c . Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC theo a,b,c.
10
GV yêu cầu mỗi học sinh làm 1 bước (theo các bước đã hướng dẫn)
+ Tìm mặt phẳng qua O vuông góc với ABC : đó là mặt phẳng AOH trong đó
H là hình chiếu vuông góc của O lên BC;
+ Giao tuyến của mp AOH và mp ABC là AH;
+ Trong mp AOH , kẻ OK vuông góc với AH
BC OH
BC OK
BC OA
OK AH
OK ABC d O, ABC OK
OK BC
1
1
1
2
2
OB
OC 2
Tam giác OBC vuông tại O: OH
Tam giác AOH vuông tại O:
1
1
1
1
1
1
1
1 1
2 2 2
2
2
2
2
2
2
OK
OH
OA OA OB
OC
a b c .
Hiện nay, hình thức thi quốc gia là thi trắc nghiệm việc đưa ra kết quả của bài tập
này giúp học sinh có thể làm nhanh kết quả một số bài tập khoảng cách.
Chú ý: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đội một vuông góc, OA a,
OB b, OC c . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC là:
1
1
1
1
1
1 1
2 2 2
2
2
2
2
OK
OA OB
OC
a b c
d O, ABC
a 2 .b 2 .c 2
a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2
11
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại
0
�
B, AB a, ACB 30 , AA ' 2a 2 .
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng
A ' BC ;
b) Gọi M là trung điểm BB’. Tính khoảng cách từ M đến A ' BC ' .
a)
AC
AB
2a, BC AC 2 AB 2 a 3
0
sin 30
+ Từ những ví dụ đã cho ở trên học sinh có thể dễ dàng nhận thấy là việc
tìm mặt phẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng A ' BC là dễ dàng vì
AA ' ABC . Nên thay vì tìm mặt phẳng qua G vuông góc với mặt phẳng
A ' BC
ta sẽ tìm mặt phẳng qua A và vuông góc với A ' BC : đó là mặt phẳng
AA ' B ;
d G, A ' BC
Ta có
d A, A ' BC
EG 1
1
d G, A ' BC d A, A ' BC
EA 3
3
+ Giao tuyến của mặt phẳng AA ' B và ABC là: A’B;
+ Trong mặt phẳng
AA ' B
kẻ
AH A ' B (H thuộc A’B) thì
AH A ' BC d A, A ' BC AH
12
+ Mà AH là chiều cao của tam giác nào? Dựa vào tam giác A’AB học sinh
1
1
1
AH
2
2
AA '
AB 2
sẽ đưa ra hướng tính AH: AH
AA '2 . AB 2
2 2
a
2
2
AA ' AB
3
.
1
2 2
d G, A ' BC d A, A ' BC
a
3
9
Vậy,
b) AC 2a, BC a 3
Từ chú ý của ví dụ 3, ta thấy tứ diện B’A’BC’ có B’A’, B’B, B’C’ đội một
vuông góc nên khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng là:
d B ', A ' BC '
2a 6
35
d B ', A ' BC '
Mặt khác,
d M , A ' BC '
2 d M , A ' BC '
a 6
35
Nhận xét: Trong câu b) việc tính khoảng cách vẫn có thể tuân theo các bước như
các ví dụ 1,2,3. Tuy nhiên việc học không phải là rập khuôn, việc quan sát để ý đến
các đặc trưng của bài toán sẽ cho ta cách làm ngắn gọn hơn, phù hợp hơn với yêu
cầu thi trắc nghiệm hiện nay.
Bài toán thực tế
Một nhóm học sinh khi du lịch tại Ai Cập có đến thăm kim tự tháp Kê-ốp,
nhóm học sinh này thắc mắc kim tự tháp này cao bao nhiêu. Họ tiến hành đo đạc
và có được một vài kết quả, Đáy kim tự tháp là hình vuông có cạnh 230 m, tam
0
giác ở các mặt bên có 2 góc ở đáy bằng nhau và bằng 60 . Vậy kim tự tháp này
cao bao nhiêu
Đây là một bài toán tuy đơn giản nhưng nó phù hợp với hình thức thi trắc
nghiệm hiện nay, nó là một bài toán ứng dụng thực tế.
13
Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
hình vuông ABCD, khoảng cách từ đỉnh S đến mặt đáy (ABCD) khi đó là SO.
SCD là tam giác đều có cạnh huyền nên SC SD 230m ,
OC
AC 230
230
SO SC 2 OC 2
163m
2
2 ,
2
.
2. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song,
giữa hai mặt phẳng song song.
2.1 Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Định nghĩa: Đường thẳng a song song với mp(P) là khoảng cách từ một điểm M
d a, P MH
bất kì trên đường thẳng a đến mặt phẳng (P). Kí hiệu
Ví dụ 6: Cho hình chóp đều S.ABCD, có AB 2a, SA a 5 . N là trung
điểm của CD.
a) Chứng minh
SON SCD
b) Tính khoảng cách giữa AB và mặt phẳng (SCD).
a) Học sinh tự chứng minh.
14
Do AB / / SCD , nên đây là khoảng cách giữa đường thẳng song song với
mặt phẳng, rất nhiều học sinh rất lúng túng trong việc lựa chọn điểm M bất kì trên
AB để tính khoảng cách đến mp SCD . Vậy làm thế nào để xác định được điểm
M sao cho từ vị trí điểm M đó khoảng cách tính được dễ dàng?
+ Mặt phẳng nào vuông góc được với mặt phẳng SCD : mặt phẳng SNO
;
+ Mặt phẳng SNO cắt đường thẳng AB tại điểm nào: tại điểm M (M là
giao điểm của ON và AB).
+ Như vậy, nếu tính khoảng cách từ điểm M đến mp SCD có thuận lợi gì
so với các điểm khác trên AB : đã có sẵn mặt phẳng qua M và vuông góc với mp
SCD .
+ Mặt phẳng SCD và SNO có giao tuyến là đường nào: đường SN.
+ Trong mp SNO , kẻ MH vuông góc với SN (H nằm trên SN). Suy ra
d AB, SCD d M , SCD MH
2
2
, ta có SM SA AM 2a suy ra
SMN là tam giác đều nên MH a 3 .
Qua ví dụ 5 học sinh có thể dần hình thành “Các bước để tính khoảng cách
giữa đường thẳng và mặt phẳng song song”
Ngoài việc tính khoảng cách như trên ta có thể lựa chọn điểm trên đường
thẳng AB phụ thuộc vào kĩ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cách giải khác: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (O
là giao điểm AC và BD), do hình chóp S.ABCD đều suy ra SO SCD
d AB, SCD d A, SCD 2d O, SCD
Vì AB / / SCD suy ra
Gọi N, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên CD và SN. Khi đó
OK SCD d O, SCD OK
2
2
Ta có OA a 2, SO SA OA a 3, ON a . Xét tam giác SON vuông tại O
15
1
1
1
SO 2 .ON 2
a 3
OK
d AB, SCD a 3
2
2
2
2
2
OK
SO ON
SO ON
2
2.2 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một
d P , Q AH
điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu
.
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy là tam giác vuông tại
B và BC a, AA ' 2a . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AA’, BB’, CC’.
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng A ' B ' P và MNC .
Các bước tiến hành được làm tương tự như tính khoảng cách giữa đường
thẳng và mặt phẳng song song.
+ Tìm mặt phẳng vuông góc với mp A ' B ' P : đó là mp BCC ' B ' học sinh
tự chứng minh;
+ Giao tuyến của BCC ' B ' và A ' B ' P là: đường thẳng B'P ;
+ Giao tuyến của BCC ' B ' và MNC là: đường thẳng NC ;
16
+ Trong mặt phẳng BCC ' B ' kẻ HP NC (H thuộc NC). Khi đó, khoảng
cách phải tìm là HP
PH PC
BC.PC
a
PH
NC
2
Ta có CBN đồng dạng PHC suy ra BC NC
(hoặc CBN vuông cân, nên PHC cũng vuông cân, suy ra
PH
PC
a
2
2)
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Thuật ngữ:
+ Đường thẳng c được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau a và b
+ Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau tại I và J thì đoạn IJ
được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài
đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Kí hiệu d a, b
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .
Cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA = a 2 . Tính khoảng cách giữa các cặp
đường thẳng :
a) SA và BD;
b) AB và SD;
c) AD và SC.
Lời giải:
a) Dựa vào định nghĩa khoảng cách học sinh dễ dàng chỉ ra đường đoạn
vuông góc chung của SA và BD.
17
Gọi O = AC �BD . Khi đó,
Mà AC = a 2 , suy ra
� ^ BD
AO
�
� d ( SA, BD) = AO
�
� ^ SA
AO
�
AO =
a 2
2 .
Qua lời giải của câu a) GV đưa ra câu hỏi cho học sinh “mối quan hệ của
hai đường thẳng SA và BD”, đường vuông góc chung AO nằm trong mp(SAO) và
mp(SAO) có quan hệ như thế nào với hai đường thẳng SA và BD? Từ đó giúp học
sinh đưa ra phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ( trong
trường hợp vuông góc). Từ việc trả lời các câu hỏi của GV học sinh phần nào hình
thành được phương pháp tính khoảng cách trong trường hợp hai đường thẳng chéo
nhau và vuông góc với nhau.
Phương pháp để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a
và b.
Trường hợp 1: Giả sử hai đường thẳng a và b chéo nhau và a b
+ Tìm mặt phẳng (P) thỏa b �( P ) và a ^ ( P ) ;
(
+ M = a � P) ;
+ Trong mp (P), kẻ MH vuông góc với đường thẳng b (H thuộc đường
thẳng b). Khi đó, d ( a, b) = MH
b) Học sinh dễ dàng nhận xét được AB ^ SD , sử dụng phương pháp đã nêu
để tìm đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.
- Mặt phẳng ( SAD) thỏa : SD �( SAD) , AB ^ ( SAD ) ;
(
- A = AB � SAD ) ;
- Trong mp ( SAD) : kẻ AH ^ SD ( H �SD ) . Suy ra d ( AB, SD ) = AH .
18
1
1
1
SA2 . AD 2
6
= 2+
� AH =
=
a
2
2
2
2
SA
AD
SA + AD
3 .
D SAD vuông tại A: AH
c)
Câu hỏi đặt ra ở đây là liệu có thể làm câu c) tương tự như hai câu a và b
hay không? HS sẽ nhận thấy do AD và SC không vuông góc với nhau nên không
tồn tại mặt phẳng chứa một đường và vuông góc với đường còn lại.
Phương pháp dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
a và b nhưng không vuông góc với nhau.
- Ta dựng mặt phẳng ( a ) thỏa: b �( a ) và a / / ( a ) .
- a ' là hình chiếu vuông góc của a lên mp ( a ) và a ' cắt b tại N.
- Qua N dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cắt a tại M. Khi
đó, MN là đoạn vuông góc chung của a và b.
- Mặt phẳng (SBC) chứa SC và song song với AD;
- Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, qua K kẻ KE / / AD (E
thuộc SC). Suy ra, KE là hình chiếu vuông góc của AD lên mp(SBC).
- Qua E dựng EF vuông góc AD cắt AD tại F.
Vậy, EF là đoạn vuông góc chung của AD và SC hay d ( AD, SC ) = EF
19
Mà
EF = AK = AH =
6
6
a
d ( AD, SC ) =
a
3 , nên
3 .
Qua cách dựng đường vuông góc chung của AD và SC, các em có nhận xét
d AD,( SBC ) )
như thế nào về d ( AD, SC ) và (
. HS sẽ đưa ra được nhận xét
d ( AD, SC ) = d ( AD,( SBC ) )
. GV khẳng định lại qua nhận xét:
Nhận xét:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong
hai đường đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.
Nếu
� �( a )
b
�
�
� / /b
a
�
thì
d ( a, b ) = d ( a,( a ) )
Qua bài tập ở trên chúng ta thấy rằng việc tìm khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau không nhất thiết phải dựng
đường vuông góc chung.
Trường hợp 2: a, b chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau.
b P
d a, b d a, P
a / / P
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O,
AB a, � 600 . Cạnh SA vuông góc với đáy và SA a . Tính khoảng cách
ABC
giữa BD và SC.
20
.DOC 
29 
1064 
114 
