Tài liệu Skkn tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức

Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức I. PHẦN MỞ ĐẦU I.1 Lý do chọn đề tài: Ban chấp hành Trung ương 8, khóa XI ban hành nghị quyết “đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo”. Nâng cao chất lượng toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời. Hưởng ứng tinh thần đó, trong những năm gần đây Bộ giáo dục và đào tạo tổ chức cuộc thi giải toán qua mạng hay còn gọi là violympic toán cho học sinh phổ thông. Tham gia cuộc thi, các em học sinh có cơ hội trải nghiệm với những bài toán hấp dẫn, thú vị, sát với chương trình đào tạo, phù hợp với kiến thức từng khối lớp. Nội dung cuộc thi gồm có 9 dạng bài thi cơ bản: Bài thi sắp xếp, Bài thi Tìm cặp bằng nhau, Bài thi Hoàn thành phép tính, Bài thi Khỉ con thông thái, Bài thi Vượt chướng ngại vật, Bài thi Đi tìm kho báu, Bài thi Cóc vàng tài ba, Bài thi Đỉnh núi trí tuệ, Bài thi Điền vào chỗ trống. Đặc biệt bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức luôn hiện hữu trong các bài thi. Trong chương trình Toán cấp 2 tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức là một dạng toán khó hơn nữa toán violympic hạn chế về mặt thời gian nên khi gặp các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức học sinh rất lúng túng không tìm ra cách giải và hay mắc sai lầm khi giải. Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh, giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và kiến thức mở rộng, hình thành các phương pháp giải một cách kịp thời. Với mỗi bài toán cần để cho học sinh nhận dạng phát hiện ra cách giải và tìm ra cách giải phù hợp nhất, nhanh nhất. Qua mỗi dạng tổng quát cách giải và hướng dẫn học sinh đặt đề toán tương tự, từ đó khắc sâu cách làm cho học sinh. Nếu biết phân dạng, chọn các ví dụ tiêu biểu, hình thành đường lối tư duy cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao hiệu quả giáo dục. Với những lí do trên nên bản thân tôi xin mạnh dạn đưa ra đề tài “TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC”. I.2 Mục đích nghiên cứu: Phương pháp giải các bài toán “Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức” với mục đích định ra hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giải đối với các dạng có chứa dấu giá trị tuyệt đối; phân thức đại số; căn bậc hai; biểu thức đại số thỏa mãn các điều kiện cho trước. Ngoài ra còn đưa ra cho học sinh phương pháp phân tích bài toán một cách nhanh chóng, đọc ra quy luật giải nhanh nhất, hợp lí nhất. Nội dung của đề tài này góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, tính toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương pháp hợp lí, phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh. Chia sẻ đồng nghiệp về các dạng toán có tính quy luật. Bản thân tự rèn luyện và bồi dưỡng chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm. Trang bị cho học sinh đường hướng “Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức” từ dạng tổng quát đến bài toán cụ thể, từ bài toán cơ bản sang bài toán ở dạng tương tự. I.3 Đối tượng nghiên cứu: Là học sinh lớp 6,7,8,9 trung bình khá, khá, giỏi trường THCS Phú Xuân. I.4 Phạm vi nghiên cứu: Đề tài này được xây dựng, nghiên cứu và triển khai trong chương trình môn toán cấp THCS. I.5 Phương pháp nghiên cứu: 1 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức Phương pháp đọc tài liệu: Đây là phương pháp chủ yếu trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài này. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua một số năm giảng dạy, kiểm tra, đánh giá và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán văn hóa, thi toán trên máy tính cầm tay, thi toán qua mạng internet. II. PHẦN NỘI DUNG II.1. Cơ sở lý luận để thực hiện đề tài: Trong chương trình sách giáo khoa hiện nay thì không phải bất cứ người học nào cũng có thể đáp ứng được những yêu cầu đưa ra, nhất là đối với những đối tượng là học sinh ở vùng sâu vùng xa, ở địa phương có điều kiện kinh tế còn khó khăn nói chung cũng như học sinh trường THCS Phú Xuân nói riêng và thêm vào đó học sinh phải học nhiều bộ môn và phải đáp ứng được yêu cầu kiến thức cho các môn học đó. Môn toán là môn khoa học đòi hỏi học sinh phải có khả năng hệ thống kiến thức, tư duy sáng tạo. Với từng đơn vị kiến thức cụ thể các em không thể giải quyết vấn đề khó một cách nhanh chóng và hiệu quả được mà đòi hỏi học sinh phải liên hệ, phối hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau mới giải được một bài toán. Bên cạnh đó giáo viên là người đóng vai trò định hướng giúp các em xây dựng bài toán tổng quát, từ đó tạo nên điều kiện để học sinh học tốt, lĩnh hội tốt những kiến thức liên quan sau này. II.2 Thực trạng: a. Thuận lợi, khó khăn: * Thuận lợi: Trong những năm gần đây, được sự quan tâm của Đảng, Nhà nước và ngành Giáo dục. Đội ngũ giảng viên nói chung, giáo viên bộ môn Toán nói riêng đã được chuẩn hóa về chuyên môn, nghiệp vụ, đáp ứng nhu cầu giảng dạy môn toán trong nhà trường phổ thông. Ban giám hiệu nhà trường luôn quan tâm, động viên và tạo điều kiện để bản thân có cơ hội tham gia các chuyên đề, tham gia bồi dưỡng nhằm tích lũy kinh nghiệm trong giảng dạy và giáo dục. *Khó khăn: Tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh còn nhiều hạn chế. Chưa đảm bảo chất lượng về mặt nội dung. Học sinh bị dàn trải ở nhiều môn, nên thời gian đầu tư cho môn Toán còn hạn chế. Dẫn đến số học sinh đam mê môn Toán rất ít. Với nhiều học sinh có tư tưởng xem môn Toán vẫn là một môn học nặng nề và khó, độc lập không liên kết với nhiều môn học khác. b. Thành công, hạn chế: * Thành công: Với nội dung đề tài được áp dụng vào thực tiễn, tôi thấy học sinh đã giải bài toán nhanh hơn và hiệu quả hơn. Thông qua đó đã phát hiện ra được nhiều em có tư duy tốt trong lĩnh vực toán học, các em tự tổng quát hóa bài toán và xử lí được nhiều bài toán có dạng tương tự. Đề tài này áp dụng được cho cả 4 khối lớp ở THCS. * Hạn chế: Mỗi bài toán chỉ đưa ra một cách giải phù hợp để xây dựng bài toán tổng quát, chưa xây dựng nhiều cách giải. c. Mặt mạnh – mặt yếu của đề tài: * Mặt mạnh: Đề tài xây dựng trong bối cảnh toàn ngành đang hưởng ứng thực hiện đổi mới căn bản toàn diện giáo dục nên việc thay đổi phương pháp dạy học, cải tiến phương pháp giảng dạy để đạt kết quả về nâng cao chất lượng giáo dục. Đặc biệt đề tài này là xây dựng phương pháp “Tính giá trị lớn nhất 2 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức và nhỏ nhất của một biểu thức”để các em chủ động lĩnh hội kiến thức theo năng lực của mình dưới sự hướng dẫn của giáo viên mà hiện nay sự phân cấp trình độ nhận thức của học sinh là rất đa dạng. * Mặt yếu: Đối với giáo viên còn ít kinh nghiệm, xử lý tình huống sư phạm trong giảng dạy chưa thật linh hoạt thì việc áp dụng đề tài có thể gặp khó khăn. d. Nguyên nhân, các yếu tố tác động: Do bản thân của hầu hết các em học sinh còn nhiều hạn chế trong thực hành “Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức”, còn thụ động trong việc tiếp thu kiến thức mới, không tự tìm tòi, kiến thức, dựa trên gợi ý, ví dụ, dẫn đến việc các em làm một bài toán gần như là mò mẫm, không có cơ sở không biết cách giải, điều này dẫn đến kết quả học tâp còn thấp. Sau khi các em được định hướng giải quyết thì bài toán trở nên đơn giản, dễ dàng và mang lại hiệu quả giáo dục cao. Nên đã tạo cho các em một thái độ và hứng thú nhất định.Bài toán có liên quan đến nhiều đơn vị kiến thức số học và đại số, nên đã giúp các em liên thông được nhiều đơn vị kiến thức khác nhau. Tạo cho các em hệ thống kiến thức vững vàng. e. Phân tích đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra: Ở trường THCS “Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức” chỉ là một trong những nội dung kiến thức mà học sinh được học với thời lượng không nhiều trong chương trình đại số, nhưng nó lại được ứng dụng rộng rãi và xuyên suốt chương trình học tập của các em, học sinh thường xuyên phải sử dụng đến kĩ năng này trong việc xây dựng một số các nội dung kiến thức sau này trong việc giải toán. Các phương pháp được nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống các kĩ xảo “Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức”. Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức. Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp “Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức” phù hợp với từng dạng bài toán là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên, không chỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương pháp học tập cho bản thân, rèn luyện cho các em khả năng thực hành. Nếu làm được điều đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn. II. 3 Giải pháp – biện pháp: a. Mục tiêu của giải pháp – biện pháp: Việc thực hiện với một kiến thức toán học nói chung và dạng toán “Tính nhanh giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức” nói riêng phụ thuộc vào nhiều yếu tố như: Hệ thống hóa chương trình giảng dạy phù hợp với trình độ thực tiễn của học sinh. Chọn lọc một số phưng pháp giảng dạy về “Tính nhanh giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức”. Công tác soạn bài, thiết kế bài giảng, tìm hiểu và nắm vững nội dung kiến thức theo mục tiêu, phương pháp dạy học, phương tiện dạy học, nắm vững các đối tượng học sinh… Do đó, để tổ chức dạy có hiệu quả cho nhiều đối tượng học sinh nhưng vẫn đáp ứng đủ yêu cầu về nội dung kiến thức thì giáo viên với vai trò là người chủ đạo hướng dẫn cần thực hiện có hiệu quả một số kiến thức về căn bậc hai. b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp: Dạng I:Biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1) Phương pháp: -Sử dụng bất đẳng thức k  A  x   k hoặc k  A  x   k Dấu “=” xảy ra  A(x)  0 3 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức -Sử dụng bất đẳng thức : a  b  a  b  a  b CM: 2 2 Ta có: a  b  a  b   a  b    a  b   a2  2 ab  b2  a2  2ab  b2   ab  ab (*) (*) luôn đúng nên ta có đpcm Dấu “=” xảy ra  ab  0 Chứng minh tương tự ta được a  b  a  b Dấu “=” xảy ra  ab  0 2) Ví dụ: Bài 1: a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Giải: 1 a) Amin  1  1  3x  0  x  3 b) Qmax  7  3  0,25.x  0  x  12 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1 x2 4 Giải: 1 1  Pmax   x  2  0  x  2 4 4 Bài 3: Giá trị lớn nhất của biểu thức y  6  2x  2 4  x Giải: y  6  2x  2 4  x  6  2x  8  2x  6  2x  8  2x  14 Ta có: x  2  4  4  P   ymax  14 Bài 4: Cho y = x  2008  x  2009 .Tìm giá trị nhỏ nhất của y. Giải: y = x  2008  x  2009  x  2008  2009  x  x  2008  2009  x  1 Dấu “=” xảy ra  (x  2008)(2009  x)  0  2008  x  2009  ymin  1  2008  x  2009 3) Bài tập: 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  Pmin  5 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  Mmin  86 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  Qmax  19,5 4) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  2  2,5.x  3  Amax  2 5)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  2  x  3  Pmin  1  2  x  3 6) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  25x2  20x  4  25x2  30x  9 (Bài 3 vòng 16 lớp 9 năm 2014) Giải: 4 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức 5x  22  5x  32  5x  2  5x  3  5x  2  3  5x  5x  2  3  5x  1 A 2 3 Dấu “=” xảy ra  (5x  2)(3  5x)  0   x  5 5  Amin  1 7) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 5  ymin  8   x  1 3 Dạng II: Các bài toán mà biểu thức là đa thức 1.Dạng đa thức 1 biến: a) Phương pháp: -Sử dụng bất đẳng thức A2m  0 hoặc A2m  k  k ( với m * ,k là hằng số) -Biến đổi đưa dần về hằng đẳng thức (a  b)2 hoặc (a  b)2 -Nếu đa thức có dạng f ( x)  ax2  bx  c ta có thể biến đổi như sau:  2 c b b2 c b2   2 b 2 f ( x)  ax  bx  c  a  x  x    a  x  2. x  2   2  a a 2a 4a a 4a    b  4ac  b2   a x    4a  2a  4ac  b2 4ac  b2 Nếu a  0 thì f  x    GTNN của f  x   4a 4a 2 4ac  b 4ac  b2 Nếu a  0 thì f  x    GTLN của f  x   4a 4a b b Dấu “=” xảy ra  x   0  x   2a 2a b) Ví dụ: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2  x 3 1 Giải: 3 1 1 A  x2  x 3  1  ( x  )2   Amin   0, 25 2 4 4 Bài 2:Giá trị lớn nhất của hàm số y = x2  4x  3 Giải: 2 y   x2  4x  3  1   x  2  ymax  1 2 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A   x2  2 x   x  2 x  4 (Bài 2 vòng 18 lớp 8 năm 2013) Giải: A   x2  2x   x  2 x  4   x2  2x  x 2  2x  8   2     2  x2  2x  8 x2  2x 16 16  x2  2x  4 16  16  Amin  16 c) Bài tập: 1)Hàm số y = 2x2 12x  21đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 3 2)Giá trị lớn nhất của hàm số y = 3x2  6mx 1 là 3m2 1 5 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức 3)Tìm x để biểu thức B   x 1 x  2 x  3 x  6 đạt giá trị nhỏ nhất . (Bài 2 vòng 16 lớp 8 năm 2012) Giải:   2 B  ( x 1)( x  6)( x  2)( x  3)  ( x2  5x  6)( x2  5x  6)  x2  5x  36  36  Bmin  36  x  0 hoặc x  5 2.Dạng đa thức nhiều biến: a) Phương pháp: -Sử dụng bất đẳng thức A2m  B2n ...  0 hoặc A2m  B2n  ...  k  k ( với m, n,... *, k là hằng số) -Biến đổi đưa dần về hằng đẳng thức (a  b)2 hoặc (a  b)2 b)Ví dụ: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x2  xy  y2  3(x  y)  2001 (Bài 2 vòng 16 lớp 9 năm 2014) Giải: Ta có: 2P  2x2  2xy  2 y2  6( x  y)  4002 =  ( x2  y2  4  2xy  4x  4 y)  ( x2  2x 1)  ( y2  2 y 1)  3996  ( x  y  2)2  (x 1)2  ( y 1)2  3996  3996 3996 P  1998 2 Vậy: Pmin  1998  x  y  1 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x2  2 y2  2xy  6x  4 y  25 (Bài 2 vòng 16 lớp 9 năm 2014) Giải: Ta có: P  x2  2 y2  2xy  6x  4 y  25  ( x2  y2  9  2xy  6x  6 y)  ( y2  2 y 1) 15  (x  y  3)2  ( y 1)2 15  15 x  y  3  0 x  4 Vậy: Pmin  15     y 1  0  y  1 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  2  x (Bài 2 vòng 19 lớp 9 năm 2014) Giải: Đặt t  2  x (t  0)  t 2  2  x  x  2  t 2  1 2 9  9  1 2 9 1 9  Khi đó: P  2  t 2  t    t 2  t       t        t    4 4   2  4  4  2  4 9 1 7 Vậy: Pmax   t   x  4 2 4 c) Bài tập: 1)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x2  2 y2  2xy  6x  4 y 13 (Bài 1 vòng 17 lớp 8 năm 2013) Giải: Pmin  3 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  4a2  4b2  4ab 12a 12b 12 (Bài 2 vòng 15 lớp 8 năm 2012) 6 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức Giải: Pmin  0  a  b  1 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  x2  3y2  2xy 10x 14 y 18 (Bài 3 vòng 15 lớp 8 năm 2012) Giải: P  9  ( x  y  5)2  2( y 1)2  9  Pmax  9  x  4 và y  1 4) Tìm x để biểu thức A  x  2013  x đạt giá trị lớn nhất (Bài 3 vòng 19 lớp 9 năm 2013) Giải: Amax  2013,25  x  2012,75 5)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  3  a  a (a  3) (Bài 3 vòng 16 lớp 9 năm 2014) 13 11 Giải: Amax   a  4 4 Dạng III : Các bài toán mà biểu thức là phân thức 1) Phương pháp: k a) Nếu đa thức có dạng f  x  (với k là hằng số) thì: (Điều kiện: k và A(x) > 0) A x  f  x min  A x max và f  x max  A x min A x  b) Nếu đa thức có dạng f  x   với  B( x)  0 thì ta đưa f  x  về một trong các dạng sau: B  x P  x   0  P  x  - f  x  k    ( k là hằng số)  f  x min  k hoặc f  x max  k   Q  x   0  Q  x   P  x   0 [P( x)]2 - f  x  k  ( k là hằng số)  f  x min  k hoặc f  x max  k   Q x Q  x   0 ax2  bx  c c) Nếu đa thức có dạng f  x  2 thì ta đưa về dạng: dx  ex  f  a  d. f ( x) x2  b  e. f (x) x  c  f  x   0 (1) 2 Sau đó ta sử dụng điều kiện để (1) có nghiệm    0 để suy ra GTNN hoặc GTLN của f  x  2) Ví dụ: 1 2 x 9 x  3 2 x 1 Bài 1: Cho P = . Tìm giá trị nhỏ nhất của .   P x 5 x  6 x  2 3 x Giải: 2 x 9 x  3 2 x 1 x 1 P= =   x 5 x  6 x  2 3 x x 3 1 x 3 4 4 1    1    max  x min  x  0 P x 1 x 1  P min x 1 1    min  1  4  3  P 12  x  x Bài 2:Tìm giá trị lớn nhất của Q = (với x  0 ) x 4 7 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức Giải: 12  x  x Q=  3  x  Qmax  3  x  0 x 4 x4 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của P = (với x  0; x  4 ) x 2 Giải: x  4 ( x  2)( x  2) P=   x  2  Pmin  2  x  0 x 2 x 2 3x( x  4) Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 (Bài 3 vòng 18 lớp 8 năm 2013) x 9 Giải: 2 2 2 3x( x  4) 3x2 12x (4x 12x  9)   x  9  2x  3 P 2  2   2 1  1 x 9 x 9 x2  9 x 9 3  Pmin  1  2x  3  0  x  2 x2  x  1 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức y  2 x  x 1 Giải: x2  x  1 Gọi y0 là một giá trị bất kì của y . Khi đó tồn tại giá trị x để y0  2 x  x 1 2  ( y0 1) x  ( y0 1) x  y0 1  0 (*)  y0 1  0  y0  1  x  0 1  Nếu y0  1 thì để tồn tại y0 (*) phải có   0  3 y02 10 y0  3  0   y0  3 3 1 Vậy: ymin   x  1 và ymax  3  x  1 3 3) Bài tập: x 3 6 x 4 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q    x 1 x 1 x 1 (Bài 3 vòng 19 lớp 9 năm 2014) Giải: ĐKXĐ: x  0 và x  1 x 3 6 x 4 x 1 2 Q     1  1 2  1 (do x 1  1) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  Qmin  1  x  0 2x2  7 x  23 2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A  2 x  2x  10 5 3  Amax   x  2 và Amin   x  4 2 2 x2  4 2 x  3 3) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B  x2  1 8 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức 2 và Bmin  1  x   2 2 Dạng IV: Các bài toán mà biểu thức là căn thức 1) Phương pháp: Khi đa thức có dạng f  x  A x  Bmax  5  x   A  x   0 thì : Nếu A x   [B(x)]2  k thì f  x min  k  B( x)  0 (k  0) Nếu A x   k  [B(x)]2 thì f  x max  k  B( x)  0 (k  0) 2)Ví dụ: Bài 1: Cho P = 3  2x  x2 . Tìm giá trị lớn nhất của P. Giải: P = 3  2x  x2 = ( x2  2 x  3)  4  ( x  1)2  Pmax  4  2  x 1  0  x  1 Bài 2:Cho Q = x2  4x 13 . Tìm giá trị nhỏ nhất của Q. Giải: Q = x2  4x 13 = ( x  2)2  9  Qmin  9  3  x  2  0  x  2 3) Bài tập: 1)Tìm giá trị lớn nhất của y =  ymax  6  x  1 5  2x  x2 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y  x2  6x  13  ymin  2  x  3 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y   x2  2x  8  ymax  3  x  1 4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y  4 x2  4 x  17 1  ymin  4  x  2 5) Tìm x để P  4x2  2x  2014 đạt giá trị nhỏ nhất (Bài 2 vòng 18 lớp 9 năm 2014) 1 x 4 Dạng V: Bất đẳng thức Cô-si: 1) Phương pháp: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si: a b Với mọi a  0, b  0 ta có  ab 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b CM: Ta có:  a b  2  0 a, b  0 a b  ab (đpcm) 2 Dấu “=” xảy ra  a  b  0  a  b  a  2 ab  b  0  a  b  2 ab  9 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức *Tổng quát: Với n số không âm a1, a2 ,..., an ta có: a1  a2  ...  an n  a1a2 ....an n Dấu “=” xảy ra  a1  a2  ...  an Hệ quả: -Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. - Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. 2) Ví dụ: 180 Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  5x  (với x  1 ) x 1 Giải: 180 36 36 = 5( x  A  5x  )  5( x 1 1) x 1 x 1 x 1 36  36   Amin  (x 1)  ( )  x 1   x2  2x  35  0 x 1 min x 1   x1  7; x2  5 (loại) 36  Amin  5(7 1 1)  5.13  65 7 1 Cách 2:  180 36 36  36   = 5( x  A  5x  )  5( x 1 1)  5 2 ( x 1).   1  5(2.6 1)  65 x 1 x 1 x 1 x  1      Amin  65 8x4  19 x2  2 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  ( với x  0 ) (Bài 2 vòng 18 lớp 8 năm x2 2012) Giải: 8x4  19x2  2 2 2 A  8x2  19  2  8x2  2  19 2 x x x 2 2 1   Amin   8x2  2   8x2  2  x2  x min x 2  1 1  Amin  8.  2: 19  27 2 2 Bài 3: Với 2  x  4 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  2  4  x Giải: P2  x  2  4  x  2 ( x  2).(4  x)  2  2 ( x  2).(4  x)  P2max  ( x  2).(4  x)max  x  2  4  x  x  3  P2max  4  Pmax  4  2 Bài 4: Cho a là một số thực bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a2  2 a2  1 (Bài 1 vòng 18 lớp 9 năm 2014) 10 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương 1 và a2 1 ta được: a2  2  1  (a2  1)  2 1.(a2  1)  2 a2  1 Do đó: P  a2  2 2 a2  1  2 a2  1 a2  1 Vậy: Pmin  2  a2 1  1  a  0 Bài5: Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  2 vòng 16 lớp 9 năm 2014) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương bc ca ab   (Bài a b c bc ca và ta được: a b bc ca bc ca  2 .  2c (1) a b a b ca ab ab bc Tương tự:   2a (2) và   2b (2) b c c a Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta được:  bc ca ab  2      2(a  b  c) a b c  bc ca ab  A     a  b  c 1 a b c 1 Vậy: Amin  1  a  b  c  3 x2 y2 z2 Bài6: Cho biểu thức A  với x, y, z  0 thỏa mãn xy  yz  zx  2 . Tìm giá   x y z y zx trị nhỏ nhất của biểu thức A .(Bài 1 vòng 18 lớp 9 năm 2014) Giải: x y x2 Cách 1:Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương và ta được: 4 x y x2 x y x2 x  y x2  2 . 2 x x y 4 x y 4 4 x2 x  y 3x  y  x  x y 4 4 z2 z  x 3z  x y2 y  z 3y  z  z  Tương tự: và  y  zx 4 4 yz 4 4 2 2 2 x y z 3x  y 3y  z 3z  x x  y  z Do đó: A  (1)       x y yz zx 4 4 4 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:  11 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức 2  xy  yz  zx   x y z  2 Từ (1) và (2)  A  Vậy: Amin  1 Cách 2: x y yz zx    x yz 2 2 2 2 1 2 Bài toán phụ: Cho 4 số dương a,b,x,y.Chứng minh rằng: a2 b2 (a  b)2 (1)   x y x y a2 y  b2 x (a  b)2 (1)   xy x y 2   a2 y  b2 x  ( x  y)  xy  a  b   a2 xy  a2 y2  b2 x2  b2 xy  a2 xy  2abxy  b2 xy 2  a2 y 2  2abxy  b2 x2  0   ay  bx   0 (Bất đẳng thức đúng) a b Dấu “=” xảy ra  ay  bx   x y 2 2 a b c2 (a  b)2 c2 (a  b  c)2 Áp dụng (1) ta được: (2)      x y z x y z x yz a b c Dấu “=” xảy ra    x y z x2 y2 z2 ( x  y  z)2 x  y  z Áp dụng (2) ta được: A      x  y z  y z  x 2(x  y  z) 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: x y yz zx 2  xy  yz  zx     x yz 2 2 2  x y z  2  Amin  1 Bài 7:Cho x, y, z  0 thỏa x  y  z  xy  yz  xz  6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x2  y2  z2 (Bài 1 vòng 16 lớp 9 năm 2014) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: x2  1 y 2  1 z 2  1 x2  y 2 y 2  z 2 x2  z 2 6  x  y  z  xy  yz  xz       2 2 2 2 2 2 3  6   x2  y2  z 2  1  4  x2  y 2  z 2  1 2 2  x  y2  z 2  3  A  3 Vậy: Amin  3  x  y  z  1 Bài 8: Cho a, b  0 thỏa a  b  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  3a2 3b2  a 1 b 1 (Bài 1 vòng 16 lớp 9 năm 2014) 12 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức Giải: a2 a 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương và ta được: a 1 9 a2 a  1 a2 a  1 2a  2 .  a 1 9 a 1 9 3 2 a 2a a  1 5a 1     a 1 3 9 9 2 b 5b 1  Tương tự: b 1 9 2  a2 3a 3b2 b2   5a 1 5b 1   5(a  b)  2    3   3 1 Do đó: A  3 a 1 b 1  a 1 b  1   9 9   9  1 Vậy: Amin  1  a  b  2 1 Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  9x2  3x  1420 với x  0 x (Bài 1 vòng 19 lớp 9 năm 2014) Giải: 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 5 số dương 9x2 ;3x; ; ; ta được: 3x 3x 3x 1 1 1 1 1 1 1 9x2  3x   9x2  3x     55 9x2.3x. . .  5 x 3x 3x 3x 3x 3x 3x 1 M  9x2  3x  1420  5 1420  1425 x 1 Vậy: M min  1425  x  3 Bài10: Cho 2 số a,b thỏa mãn a  3 và b  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 b2 A  (Bài 3 vòng 19 lớp 9 năm 2013) b 3 a 3 Giải: a2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương và 4(b 3) ta được: b3 a2 a2  4(b  3)  2 .4(b  3)  4a b 3 b 3 a2   4a  4b  12 (1) b 3 b2  4b  4a  12 (2) Tương tự: a 3 Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: a2 b2 A   24 b 3 a 3 13 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức Vậy: Amin  24 Bài11:Cho 3 số x, y, z  0 thỏa mãn x  y  z  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C  1 1  (Bài yz xz 2 vòng 19 lớp 9 năm 2015) Giải: 1  1 1  1 x  y 1 3 z Ta có: C      . (1) (do x  y  z  3)  . z  y x  z xy z xy Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương x và y ta được: 2 1 4  x  y  (3  z)2 (2) xy       4 xy (3  z)2  2  1 4 4  Từ (1) và (2)  C  .(3  z). 2 z (3  z) z(3  z) 3  Cmin  z(3  z)max  z  3  z  z  2 16 3 3 Vậy: Cmin   x  y  và z  9 4 2 x 1 Bài 12:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q   1 x  2x2 (với 1  x  ) 2 2 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm 1 và 1 x  2x2 ta được: 2  x  2 x2 1  x  2x2  1.(1  x  2x2 )  2 2 x 2  x  2x Q    1  x2  1 2 2  Qmax  1  x  0 Bài 13: Cho 2 số x, y thỏa mãn x  0, y  0 và x  y  4 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6 10 A  2x  3 y   x y Giải: 6 10 1 3x 6 5 y 10 3x 6 5 y 10 A  2x  3 y     x  y       2     (do x  y  4 ) x y 2 2 x 2 y 2 x 2 y Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: 5 y 10 5 y 10 3x 6 3x 6  2 .  10  2 .  6 và 2 y 2 y 2 x 2 x  A  2  6  10  18  Amin  18  x  y  2 3) Bài tập: Bài 1: a)Với 5  x  13 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  5  13  x b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x  2  6  x (Bài 2 vòng 15 lớp 9 năm 2015) Giải: a) Pmax  4  x  9 b) Amax  8  x  4 14 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức Bài 2: Cho Q = x x 3 2( x  3) x 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.   x  2 x 3 x 1 3  x Giải: Q  x 1 9  2 =  2 9 2  4 x 1  Qmin  4 Bài 3: Cho P = 1 x  x . Tìm giá trị lớn nhất của a để P  a . x Giải: 1 1 x  x P= =  x 1  2 x x `  P 1 a 1 1 . x 1  2 1  1 x x 2 Bài 4:a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   (với x  2 ) 2 x2 8x 2  2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  với x  0 x 4 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  (x  0) (Bài 2 vòng 18 lớp 8 năm 2012) 9x Giải: x2 2 x2 2  1  2 . 1  2.11  3 2 x2 2 x2  Pmin  3 1 b) Pmin  8  x  2 4 2 c) Pmin   x  3 3 a) P  Bài5:a) Cho số thực x thỏa mãn: 4  x  9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  1 1  9 x x4 (Bài 2 vòng 16 lớp 9 năm 2014) 1 1 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M   (0  x 12) x 12  x Giải: 1 1 13   a) P  9  x x  4 (9  x)( x  4) 4 5  Pmin   x  13 2 1 b) Mmin   x  6 3 15 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức x6 y6 z6 với x, y, z  0 thỏa mãn   x3  y3 z3  y3 z3  x3 xy xy  yz yz  zx zx  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B Giải: Đặt X  x3 ,Y  y3 , Z  z3 X2 Y2 Z2   Bài toán trở thành: Cho biểu thức B  với X ,Y, Z  0 thỏa mãn X Y Z Y Z  X XY  YZ  ZX  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 1  Bmin  2 1 1 1  3  3 Bài 7:Cho biểu thức C  3 với x, y, z  0 thỏa mãn xyz  1 . Tìm giá trị x ( y  z) y ( x  z ) z ( x  y) nhỏ nhất của biểu thức C (Bài 1 vòng 19 lớp 9 năm 2015) Bài6: Cho biểu thức B  Giải: 1 1 1 Đặt X  , Y  , Z  x y z X 3YZ Y 3 XZ Z 3 XY 1   1 Khi đó: C  và XYZ  Y  Z X  Z X Y xyz X2 Y2 Z2 C    Y  Z X  Z X Y X  Y  Z 3 3 XYZ 3 C    2 2 2 3  Cmin   x  y  z  1 2 Bài 8:Cho 2 số a, b  0 thỏa 3a  5b  12 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  ab (Bài 3 vòng 16 lớp 9 năm 2014) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: 12  3a  5b  2 15ab 12  15ab  6  P  5 12 6  Pmax   a  2 và b  5 5  1  1  Bài 9:Cho 2 số dương a,b thỏa a  b  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  1  1   (Bài 1  a  b  vòng 18 lớp 9 năm 2015) Giải: 2  1  1  S  1  1    1  (do a  b  1) ab  a  b  1  Smin  9  a  b  2 16 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức Bài10:Cho 2 số a, b  0 thỏa mãn: a 2b   1 (1). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  a2b3 1 a 1 b (Bài 2 vòng 19 lớp 9 năm 2012) Giải: Từ (1)  b  2ab  1  1  b  ab  ab  33 a2b3 1 1  Pmax   a  1 và b  27 3 1  1  Bài11: Cho hai số x  0, y  0 và x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  1 2  1 2   x  y  Giải: 1 2  1  M  1 2  1 2    x   y  xy 1  Mmin  9  x  y  2 Bài12:Cho 2 số dương x, y thỏa x  y  1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x3  y3 Giải: P  x3  y3  1 3xy (do x  y  1 ) 1 1  Pmin   x  y  4 2 Dạng VI: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: 1) Phương pháp:Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Với 2 cặp số thực a,b và x,y ta có: (ax  by)2   a2  b2  x2  y 2  (1) CM: 2 (1)  a2 x2  2abxy  b2 y2  a2 x2  a2 y2  b2 x2  b2 y2  a2 y2  2abxy  b2 x2  0   ay  bx   0 (2) Vì (2) luôn đúng a, b, x, y  nên (1) luôn đúng a b Dấu “=” xảy ra  ay  bx  0  ay  bx   x y *Tổng quát: Cho 2 dãy số bất kì a1, a2 ,..., an và b1, b2 ,..., bn .Khi đó ta có:  a1b1  a2b2  ...  anbn 2  a12  a22  ...  an2 b12  b22  ...  bn2  Dấu “=” xảy ra  a a1 a2   ...  n b1 b2 bn 2) Ví dụ: Bài 1:Giá trị lớn nhất của biểu thức A = x 1  y  2 với x  y  4 Giải: (1. x 1 1. y  2)2  (12 12 )( x 1  y  2)  2(x  y  3)  2(4  3)  2  Amax  2 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y  z , biết năm 2014) Giải: x  y  z  1 (Bài 3 vòng 17 lớp 9 17 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 6 số 1;1;1; x ; y ; z ta được: (1. x  1. y  1. z )2  (12  12  12 )( x  y  z)  ( x  y  z )2  3( x  y  z)  12  3( x  y  z) 1  P  x y z  3  1 x  y  z 1 x yz Vậy: Pmin    3  9  x  y  z 1 Bài 3:Cho hai số thực x,y thỏa mãn 36x2 16 y2  9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  y  2x  2 Giải: 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số ;  ;4 y;6x ta được: 4 3 2 2 2  1 1 1 1  25 25  y  2x2   .4 y  .6x          16 y2  36x2  .9  3   4   3   144 16 4 5 5 5  y  2x     y  2x  4 4 4 5 3  A  y  2x  2    2  4 4 3 Vậy: Amin  4 Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  3  2x  5  x2  4x (với 1  x  5 ) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số 2;1; x  2; 5  x2  4x ta được:  2    2( x  2) 1. 5  x2  4x    22 12  x2  4x  4  5  x2  4x  5.9  45      2x  4  5  x2  4x  3 5  P  2x  4  5  x2  4x 1  3 5 1  10  6 5 2 5  x2  4x  x  2 Vậy: Pmax  3 5 1   x 5  1  x  5 Bài 5: Cho 2 số a, b  0 thỏa mãn: 2a  3b  6ab  168 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  4a2  9b2 (Bài 3 vòng 19 lớp 9 năm 2013) Giải: Ta có: 2a  3b  6ab  168  (2a 1)(3b 1)  169 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương 2a  1 và 3b  1 ta được: 2  2a  3b  2  169  (2a 1)(3b 1)    2    2a  3b  24 18 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số 1;1;2a;3b ta được: (1.2a  1.3b)2  12  12  4a2  9b2   2  4a2  9b2   P  4a  9b 2 2 2 2a  3b 242     288 2 2 b  4 Vậy: Pmin  288  a  6 và Bài 6: Cho 2 số a,b thỏa mãn phương trình x4  ax3  bx2  ax+1=0 (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  a2  b2 (Bài 1 vòng 18 lớp 9 năm 2015) Giải: Ta thấy x  0 không là nghiệm của (1) nên : a 1 (1)  x2  ax  b   2  0 x x 1 1   x2  2  a  x    b  0 (2) x x  1 1 Đặt t  x  ( t  2)  x2  2  t 2  2 x x 2 (2)  t  2  at  b  0  at  b  2  t 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số a; b; t;1 ta được:   a.t  b.12  a2  b2 t 2 1  2  t2   a 2  2  t   2   b2 t 2  1 2 2  A  a 2  b2 t 2 1 Ta lại có: t  2  t 2  4  A  Vậy: Amin  (2  4)2 4  4 1 5 4 5 3) Bài tập: Bài1:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S  x  2  y  4 biết x  y  56 .  Smax  10 Bài2:Cho 2 số a,b thỏa a2  b2 16  8a  6b (1).Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S  4a  3b (Bài 1 vòng 15 lớp 9 năm 2015) Giải: 2 Từ (1)  (a  4)2   b  3  9 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : 4(a  4)  3(b  3)2  (42  32 ) (a  4)2  (b  3)2   25.9  225  4(a  4)  3(b  3) 15  S  4a  3b  40  Smax  40 Bài 3:Cho 2 số a,b thỏa a2  b2  4a  2b  540 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  23a  4b  2013 (Bài 1 vòng 19 lớp 9 năm 2013)  Pmax  2608 19 Tính giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức Dạng VII: Một số dạng toán khác 1) Phương pháp: Vận dụng một hoặc nhiều phương pháp đã học 2) Bài tập: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = sinx.cosx Giải: 1 sin2 x  cos2 x  2 sin2 x.cos2 x  1  2sin x.cosx  sin x.cosx  2 1  ymax  2 Bài 2:Với 00  x  900 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  sin4 x  cos4 x Giải: Ta có: A  sin4 x  cos4 x  (sin2 x  cos2 x)2  2sin2 xcos2 x  1 2sin2 xcos2 x 2  s in 2 x  cos2 x  1 Ta lại có: sin xcos x     2   4 1 1 1  A  1  2.   Amin  4 2 2 0 0 Bài 3: Với 0  x  90 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = tanx +cotx Giải: sin x cos x sin 2 x  cos2 x 1    A = tanx +cotx = cos x sin x sin x.cos x sin x.cos x 1  Amin  sin x.cos xmax  sin x.cos x   Amin  2 2 2x  5 Bài 4: Tìm số giá trị x  Z để T = >0. x 8  3 x 5 Giải:ĐK: x   ; 8  x  3 2 2 x  5  0 5   x  x  8  3  x  0   2 T>0    x   5 2 x  5  0  2  x  8  3  x  0   5  Nếu x   và 8  x  3  x 2; 1;0;1;2 2 5  Nếu x   và 8  x  3  x 7; 6; 5; 4; 3 2 Có 10 giá trị nguyên của x để T>0 Bài 5: Cho điểm A có hoành độ xA  m thuộc đồ thị hàm số (P) : y  x2 và điểm B có tọa độ (3;0). Tìm m để độ dài của AB là nhỏ nhất. (Bài 1 vòng 18 lớp 9 năm 2014) Giải: Vì A(m; yA )  (P) : y  x2 nên yA  m2  A(m; m2 ) 2 2  AB  (xB  xA )2  ( yB  yA )2  (3  m)2  (0  m2 )2 (1) Ta lại có: (3  m)2  (0  m2 )2  9  6m  m2  m4  20