Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo án - Bài giảng Sáng kiến kinh nghiệm Skkn từ định lý talet đến chứng minh ba đường thẳng đồng quy ( dành cho học sinh...

Tài liệu Skkn từ định lý talet đến chứng minh ba đường thẳng đồng quy ( dành cho học sinh lớp 8)

.DOC
43
3223
110

Mô tả:

TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY A. MỞ ĐẦU I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn chuyên đề: Trong cuộc cách mạng về giáo dục, quan trọng hơn cả là sự đổi mới về phương pháp. Giáo dục được cải tiến theo xu hướng phát triển của phương pháp dạy học hiện đại: Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làm trung tâm sang dạy học lấy học sinh làm trung tâm hợp lý hơn là đặt người học vào trung tâm của quá trình dạy học, coi học sinh là trung tâm của nhà trường. Giáo dục phải chuyển từ “cung cấp kiến thức” sang mục đích “luyện cách tự mình tìm ra kiến thức” bằng con đường tự học, tự nghiên cứu, tự trau dồi nghề nghiệp. Trong sự cạnh tranh và “bùng nổ thông tin” của thời đại, sự tư duy năng động sáng tạo nổi lên hàng đầu. Vì vậy, giáo dục phải đề cao việc rèn óc thông minh sáng tạo, giảm sự “nhồi nhét”, “bắt chước”, “ghi nhớ”. Giáo viên từ vị trí truyền thụ kiến thức chuyển sang vị trí người hướng dẫn học trò tự tìm lấy kiến thức, còn học trò từ vị trí thụ động tiếp thu kiến thức phải trở thành người chủ động tìm học, tự học tự nghiên cứu. Theo nhà giáo người Đức - Distetverg đã nói “Người thầy tồi truyền đạt chân lý, người thầy giỏi dạy cách tìm ra chân lý”. Khắc phục loại bỏ lối dạy học thụ động “độc giảng”, “kinh viện”, (thầy nói là chủ yếu, trò nghe và ghi chép). Dạy kiến thức phải phát huy lòng say mê ham thích học tập của người học. Xét cho cùng giáo dục là quá trình cung cấp kiến thức, hướng dẫn tìm kiến thức mới để làm cơ sở cho sự phát triển năng lực tư duy và hành động . Đổi mới phương pháp dạy học nói chung phải phát huy tính tích cực trong dạy học, tích cực hoá hoạt động của người học. Quá trình giáo dục là một quá trình nhận biết - thuyết phục - vận dụng để tiếp thu những kiến thức mới từ chưa biết, chưa biết sâu sắc đến biết, biết sâu sắc và vận dụng vào thực tiễn, “phải biết kết hợp giữa học đi đôi với hành, học hành phải kết hợp với nhau; học và hành ở mọi lúc mọi nơi”, lý thuyết phải gắn với thực tế. Người giáo viên phải thực hiện chủ trương đưa hơi thở của cuộc sống vào bài giảng, Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 1 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY phải cập nhật “thông tin” thường xuyên, liên tục đổi mới nội dung, phương pháp phù hợp với sự phát triển, những biến đổi to lớn của thời đại. Mỗi giáo viên cần phải tự xây dựng cho mình một phong cách dạy học thích hợp với nội dung bài học không thể dạy học theo kiểu “dạy chay”, và biến thầy giáo thành “thợ dạy” nhất là trong dạy học các môn khoa học ứng dụng các phương pháp dạy học tích cực hoá người học để nâng cao chất lượng dạy và học. Hơn nữa, toán học ở trường trung học cơ sở là môn khoa học có vị trí quan trọng trong hệ thống giáo dục đào tạo góp phần trang bị cho thế hệ trẻ - đội ngũ những người lao động trong tương lai những kiến thức toán học phổ thông cơ bản, hiện đại gần gũi với đời sống làm cơ sở cho việc tiếp thu những kiến thức về khoa học công nghệ hiện đại tiên tiến trên thế giới. Với mong muốn góp phần nhỏ bé vào việc đổi mới phương pháp dạy học nói chung và dạy môn toán nói riêng, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn toán học, đào tạo những con người yêu lao động có vốn kiến thức hiểu biết sâu sắc về hững thành tựu khoa học mới nhất, tiên tiến nhất trên thế giới hoà nhập với quốc tế trong xu hướng hiện nay. Bắt nguồn từ những lý do nói trên, đã thôi thúc tôi mạnh dạn tiến hành nghiên cứu chuyên đề “Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”. 2. Phạm vi nghiên cứu của chuyên đề: - Chuyên đề này được tôi tiến hành nghiên cứu tại trường THCS Nguyễn Thiện Thuật, huyện Khoái Châu, tỉnh Hưng Yên. - Đối tượng được tôi áp dụng để tiến hành nghiên cứu là các em học sinh của khối lớp 8 của trường. Chia làm hai thành phần đối tượng gồm học sinh đại trà và học sinh giỏi, áp dụng phù hợp theo từng phần của chuyên đề. - Nội dung nghiên cứu của chuyên đề thuộc lĩnh vực khoa học nghiên cứu về chuyên môn – môn Toán. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã có sự trao đổi kinh nghiệm với các bạn bè, anh, chị, em đồng nghiệp. Đọc và nghiên cứu kĩ nhiều tài liệu có liên quan. Có rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp và học sinh. Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 2 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: 1. Cơ sở lí luận: - Quy luật của quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng. Song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay không, có bền vững hay không còn phụ thuộc vào tính tích cực, chủ động sáng tạo của chủ thể. Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có xu hướng vươn lên làm người lớn, muốn tự mình tìm hiểu, khám phá trong quá trình nhận thức. Ở lứa tuổi học sinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnh hoạt động học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau. Các em có nguyện vọng muốn có các hình thức học tập mang tính chất “Người lớn” tuy nhiên nhược điểm của các em là chưa biết cách thực hiện nguyện vọng của mình, chưa nắm được các phương thức thực hiện các hình thức học tập mới. Vì vậy cần có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của các thầy cô . - Trong lý luận về phương pháp dạy học cho thấy. Trong môn toán sự thống nhất giữa điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò có thể thực hiện được bằng cách quán triệt quan điểm hoạt động, thực hiện dạy học toán trong và bằng hoạt động. Dạy học theo phương pháp mới phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, tham gia nhiều hơn trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học. Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư duy quan điểm này cho rằng dạy toán là phải dạy suy nghĩ, dạy bộ óc của học sinh thành thạo các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá ... Trong đó phân tích tổng hợp có vai trò trung tâm. Phải cung cấp cho học sinh có thể tự tìm tòi, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải quyết một bài toán, hướng chứng minh một định lý ... - Hình thành và phát triển tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy học toán cho học sinh là một quá trình lâu dài, thông qua từng tiết học, thông qua nhiều năm học, thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nội khoá cũng như ngoại khoá. Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 3 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY 2. Cơ sở thực tiễn: - Hiện nay trong nhà trường phổ thông nói chung còn nhiều học sinh lười học, lười tư duy trong quá trình học tập. - Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, chưa có những hoạt động đích thực của bản thân để chiếm lĩnh kiến thức một cách chủ động trong những năm qua các trường trung học cơ sở dã có những chuyển đổi tích cực trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy trên cơ sở thay sách giáo khoa từ khối 6 đến khối 9. Học sinh cũng đã chủ động nghiên cứu tìm tòi khám phá kiến thức xong mới chỉ dừng lại những bài tập cơ bản đơn giản ở sách giáo khoa. - Định lý Talét là một phần kiến thức khó đối với các em, đặc biệt là khi vận dụng vào giải quyết các bài tập. Việc vận dụng ngay những lý thuyết đã được học trong sách giáo khoa vào giải bài tập còn khó khăn làm sao các em có khả năng sáng tạo khi vận dụng vào các bài tập có nội dung mở rộng, nâng cao. Ví dụ: Giải bài tập sau “ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy của hình thang”. Khi chưa thực hiện chuyên đề này, tôi cho học sinh làm thì thấy kết quả như sau : + Lúc đầu 100% số học sinh trong lớp không xác định được dùng kiến thức gì để chứng minh. Do đó các em không giải được. Sau đó tôi gợi ý rằng “Bài toán đề cập đến hình thang mà không phải là tứ giác lồi bất kì thì chúng ta có được gợi ý gì ?” lúc này đã có khoảng 20% học sinh nghĩ đến việc dùng định lý Talét (vì hình thang có 2 cạnh đáy song song). Nhưng các em cũng không thể giải được, bởi vì để giải được bài tập này không phải dùng trực tiếp định lý Talét hay hệ quả của định lý Talét mà gián tiếp thông qua tính chất của chùm đường thẳng đồng quy. + Sau đó tôi nghiên cứu, hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì 80% số học sinh trong lớp đã xác định được ngay hướng chứng minh bài toán và có khoảng 60% - 70% học sinh chứng minh được. Ngoài ra các em còn có khả năng áp dụng chùm đường thẳng đồng quy vào giải một số bài tập khó Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 4 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY hơn, phức tạp hơn. Đặc biệt các em còn biết áp dụng vào giải những bài tập như chứng minh đường thẳng vuông góc,các điểm thẳng hàng, tia phân giác, diện tích, đặc biệt là các đường thẳng đồng quy ... 3. Biện pháp tiến hành: Dựa trên cơ sở lí luận và tình hình thực tiễn đã nêu, biện pháp mà tôi sẽ áp dụng cho đề tài được tiến hành như sau: - Trước tiên là kiểm tra nắm tình hình nhận thức của các em về các kiến thức cơ bản của định lí Talet nói chung trong đó có tính chất liên quan đến điểm thẳng hàng, đường đồng quy nói riêng. Giới thiệu cho các em thấy được sự cần thiết của việc học đề tài. - Việc đầu tiên phải làm cho chuyên đề là củng cố thật chắc các kiến thức cơ bản về sử dụng định lí Talet thuận và đảo, cách chứng minh điểm thẳng hàng, đường đồng quy. - Sau đó dẫn dắt các em đến với từng dạng bài cụ thể, hướng dẫn các em phương pháp, giải cùng các em các ví dụ điển hình, bổ sung một số kiến thức có liên quan, bước đầu hình thành cho các em có được những phương pháp cơ bản nhất để có thể giải và làm bài tập tương tự. - Trước khi vào mỗi dạng toán, các em đều được định hình qua phần phương pháp giải, phù hợp với từng dạng bài. Các ví dụ minh họa khá đầy đủ đặc trưng cho nhiều dạng, loại được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Tất cả các ví dụ đều có sự móc xích lẫn nhau, ví dụ trước là cơ sở cho các ví dụ tiếp sau, ví dụ nào cũng đều có sự phân tích thật kĩ cho cách giải và có lời giải chi tiết. - Sau các ví dụ minh họa, trong từng dạng bài đều có bài tập tương tự cho học sinh thực hành, tự giải. - Kết thúc chuyên đề các em được thử sức qua các bài kiểm tra 15 phút, 30 phút, 60 phút, … để một lần nữa chắc chắn rằng các em đã được học chuyên đề một cách bài bản, và có sự tổng hợp kiến thức như thế nào. Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 5 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY 4. Thời gian tạo ra giải pháp: - Tôi bắt đầu tiến hành cho các em học sinh khối lớp 8 của trường THCS Nguyễn Thiện Thuật làm một bài kiểm tra khảo sát từ ngày 25 tháng 2 năm 2015, ngay sau khi kết thúc phần kiến thức lý thuyết về chương III – Tam giác đồng dạng - SGK Hình học 8. Nội dung đề kiểm tra dành cho cả đối tượng đại trà và học sinh giỏi. - Căn cứ một phần trên kết quả của bài kiểm tra, tôi chia các em học sinh khối 8 thành hai nhóm đối tượng: nhóm 1 gồm các em học sinh Trung bình – Khá; nhóm 2 gồm các em học sinh Khá – Giỏi. Mỗi nhóm tôi chia thành hai lớp và bắt đầu dạy các em học chuyên đề “Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy” từ ngày 01 tháng 3 năm 2015. - Sau 6 buổi học chuyên đề, đến ngày 15 tháng 4 năm 2015 thì cả bốn lớp học theo đối tượng mà tôi chia ra ban đầu đều kết thúc chuyên đề “Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”. Trong các buổi học chuyên đề tôi đều có xen các bài kiểm tra nhanh 15 phút, 30 phút để kiểm tra đánh giá việc tiếp thu kiến thức của từng dạng bài riêng lẻ. - Ngày 22 tháng 4 năm 2015 tôi tổ chức cho cả bốn lớp làm chung một bài kiểm tra tổng hợp các dạng bài trong chuyên đề đã học. Kết thúc chuyên đề “Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”. Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 6 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY B. NỘI DUNG I. MỤC TIÊU: - Cung cấp cho học sinh một cách hệ thống các kiến thức về Định lí Talet, cách chứng minh điểm thẳng hàng, đường đồng quy. Biết sử dụng định lí Talet để chứng minh đường thẳng đồng quy. - Hướng dẫn các em làm quen với việc phát hiện ra điểm thẳng hàng, các đoạn thẳng tỉ lệ rồi dựa vào định lí Talet để lập luận đi đến chứng minh các đường thẳng đồng quy. - Hình thành cho học sinh khả năng tư duy tìm tòi, sáng tạo khi giải toán, biết vận dụng các kiến thức một cách linh hoạt trong những trường hợp khác nhau. - Góp phần trang bị kiến thức cho các em học sinh, nhất là các em thuộc đội tuyển Toán, hành trang trong các kì thi học sinh giỏi các cấp. - Là một tài liệu tham khảo cho học sinh và các giáo viên khi tìm hiểu các kiến thức về giải toán sử dụng định lí Talet. - Là tài liệu tham khảo cho giáo viên tổ toán trong trường khi dạy đại trà, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 về lĩnh vực hình học mà cụ thể là giải toán sử dụng định lí Talet. II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: 1. Giải pháp của chuyên đề: a) Mô tả giải pháp: Phần một. Kiến thức cần nhớ 1. Nội dung kiến thức sách giáo khoa đã được chứng minh 2. Khai thác từ kiến thức cơ bản Phần hai. Các ví dụ điển hình Phần ba. Bài tập tự giải Phần bốn. Một số đề tự kiểm tra b) Giải pháp cụ thể: Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 7 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Phần một. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Nội dung kiến thức trong sách giáo khoa đã chứng minh được là: a) Định lý Talet trong tam giác: - Định lí Ta-let: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. Cụ thể: A Nếu: B’C’ // BC B' AB AC AB AC AB AC = ; = ; = Thì: AB AC BB CC BB CC C' B C - Định lí Ta-let đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của. Cụ thể: Nếu AB AC AB AC AB AC = = = hoặc hoặc Thì B’C’ // BC AB AC BB CC BB CC b) Hệ quả của định lý Talét: - Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. Cụ thể: a cắt AB tại B’, cắt AC tại C’. Nếu a // BC thì: AB AC BC = = AB AC BC 2. Khai thác từ kiến thức cơ bản: Từ định lý Talét, ta đã chứng minh được hệ quả, vậy thì một vấn đề đặt ra là: Từ đỉnh A của tam giác ABC ở trên ta kẻ thêm một số đường thẳng cùng Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 8 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY cắt đường thẳng a và đường thẳng BC thì có những điều gì xảy ra. Chẳng hạn từ A ta vẽ thêm đường thẳng cắt BC tại D và cắt đường thẳng a tại D’. Ta dễ dàng suy ra rằng: B ' C ' C ' D'  AC '     BC CD  AC  Ngược lại: Nếu có B' C ' C ' D'   k (k  1) BC CD thì ba đường thẳng BB’, CC’, DD’ có còn đồng quy tại một điểm A nữa hay không? Nếu C là trung điểm của BD thì C’ có là trung điểm của B’C’ hay không ? Từ những suy nghĩ đó tôi thấy có thể giúp học sinh giải được những bài tập về đường thẳng đồng quy, các điểm thẳng hàng ... Nhưng vấn đề quan trọng là ở chỗ phải sắp xếp hệ thống bài tập sao cho học sinh có thể tích cực, độc lập suy nghĩ, tự xây dựng, tự khái quát hoá, tổng hợp kiến thức cần thiết cho việc giải bài tập có nội dung nói trên . Sau đây là hệ thống các câu hỏi, bài tập cơ bản dẫn dắt học sinh. Phần hai. CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH Ví dụ 1. Cho ba tia Oa, Ob, Oc cắt hai đường thẳng song song m, m’ lần lượt tại A, A’; B, B’; C, C’ (A, A’  OA; B, B’  OB ; C, C’ OC). Chứng minh rằng: AB BC  . A ' B ' B 'C ' Giải: Xét tam giác OAB ta có: AB OB  A ' B ' OB ' (Hệ quả của định lý Talét) Xét tam giác OBC ta có: AB OB  A ' B ' OB ' (Hệ quả của định lý Talét) Từ đó suy ra: AB BC  OB     A ' B ' B ' C '  OB '  (đpcm) Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 9 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY * Khai thác bài toán: - Bài toán trên vẫn đúng không nếu có bốn tia Oa, Ob, Oc, Od cắt hai đường thẳng song song m và m’. Học sinh đã có thể dựa vào bài toán 1 để chứng minh được điều này. - Ta có thể tổng quát hóa bài toán cho n đường thẳng: Nếu các đường thẳng đồng quy tại một điểm và cắt hai đường thẳng song song thì chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. Tính chất này gọi là “Tính chất ba đường đồng quy”. Chúng ta hãy cùng xem xét vấn đề ngược lại? Ví dụ 2. Cho ba đường thẳng a, b, c cắt hai đường thẳng song song m, m’ lần lượt tại A, A’OA; B, B’ OB ; C, C’ OC sao cho: AC BC   k ( k  1) A' C ' B ' C ' Chứng minh rằng các đường thẳng a, b, c đồng quy tại một điểm. Giải: Giả sử hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O ta cần chứng minh đường thẳng c đi qua O. Gọi giao điểm của đường thẳng OC với m’ là C”. Theo định lý Talet, ta có: Mặt khác ta lại có: AC BC  AC ' ' B' C ' AC BC  A' C ' B ' C ' (gt) Từ đó suy ra A’C” = A’C’ và B’C’ = B’C”  C '  C ' ' Vậy c đi qua O hay a, b, c đồng quy tại O. * Nhận xét: - Đến đây GV cho học sinh phát biểu khái quát bài toán trên “Nếu ba đường thẳng cắt hai đường thẳng song song và định ra trên hai đường thẳng đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì ba đường thẳng đó đồng quy”. Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 10 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY - Bằng cách làm sử dụng kết quả trên với ba đường thẳng một một cách liên tiếp ta thấy kết quả đúng với n – đường thẳng. Ta có tính chất với chùm đường thẳng. - Như vậy học sinh đã được phát triển tư duy độc lập, khái quát lên hai nội dung kiến thức cần thiết cho việc chứng minh một số bài tập có liên quan đến định lý Talét. Từ nay trở đi, khi làm bài tập, các em được phép vận dụng những điều vừa chứng minh vào giải quyết bài tập . Ví dụ 3. Chứng minh rằng hai đường thẳng chứa hai cạnh bên và đường thẳng nối trung điểm của hai đáy của một hình thang đồng quy. Giải: Vì M là trung điểm của AB nên: MA = MB Vì N là trung điểm của CD nên : NC = ND Từ đó suy ra: AM MB  DN NC Theo kết quả ví dụ 2 ta được AD, BC, MN đồng quy. Ví dụ 4. Chứng minh rằng: Trong hình thang giao điểm hai cạnh bên ,giao điểm hai đường chéo và trung điểm của hai đáy thẳng hàng . Giải: Gọi: Giao điểm của AD và BC là O Giao điểm của AC và BD là I. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD. Ta có: O, M, N thẳng hàng (theo ví dụ 3) Cũng theo ví dụ 3, tương tự, ta có I, M, N thẳng hàng. Suy ra: O, M, N, I thẳng hàng (đpcm) Ví dụ 5. Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 11 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY a) Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy của hình thang. b) Hãy nêu ra cách dùng chỉ một cái thước (không dùng com pa) để dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước khi cho một đường thẳng d song song với AB và dựng qua điểm M cho trước một đường thẳng song song với đoạn thẳng AB cho trước mà đã biết trung điểm I của AB. Giải: a) Giả sử hình thang ABCD có hai cạnh bên AD, BC cắt nhau tại E và hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại F. Gọi giao điểm của EF với AB, CD theo thứ tự là M,N . Với hai đường thẳng song song AB, CD và ba đường thẳng đồng quy ED, EN, EC, ta có: AM MB  DN NC Do đó : AM DN  MB NC (1) Với hai đường thẳng song song AB, CD và ba đường thẳng đồng quy AC, MN, BD, ta có: AM MB  NC DN Do đó AM NC  MB ND Từ (1) và (2) suy ra (2) DN NC  do đó DN = NC NC DN Nên N là trung điểm của CD. Từ DN = NC và (2) suy ra AM = MB nên M là trung điểm của AB . b) Nếu có đường thẳng d song song với đoạn thẳng AB thì ta lần lượt nối A, B với cùng một điểm E nào đó ở ngoài D và khác phía đối với A. Gọi giao điểm của d với EA, EB theo thứ tự là C, D. Nối AD, BC và gọi giao điểm Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 12 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY của hai đường thẳng đó là F. Nối F với E thì theo chứng minh ở phần a giao điểm của EF với AB là trung điểm M của đoạn thẳng AB Nếu điểm M nằm trên đường thẳng AB thì không thể có đường thẳng song song với AB và đi qua M. Nếu điểm M không nằm trên đường thẳng AB thì ta chọn một điểm O tuỳ ý trên đường thẳng AM (không trùng với A, M). Gọi K là giao điểm của OI và MB, gọi N là giao điểm của AK và OB. Khi đó MN // AB. Thật vậy giả sử đường thẳng song song với AB sẽ qua M cắt OB tại N’ và hai đường thẳng MB, AN’ cắt nhau tại K’. Khi đó, theo chứng minh ở phần a đường thẳng OK’phải đi qua trung điểm I của AB. Do đó K’ trùng với K và vì vậy N’ trùng với N nên MN // AB. * Khai thác vấn đề: Đến đây giáo viên đặt câu hỏi: Hãy phát biểu khái quát phần a của bài toán trên: “Nếu ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song, tạo ra trên đường thẳng thứ nhất hai đoạn thẳng bằng nhau thì cũng tạo ra trên đường thẳng thứ hai hai đoạn thẳng bằng nhau”. Làm xong bài tập trên học sinh đã nắm chắc về tính chất của ba đường thẳng đồng quy. Tôi tiếp tục cho học sinh làm một số bài tập vận dụng có yêu cầu cao hơn, phức tạp hơn trong đó có sử dụng đến tính chất của ba đường thẳng đồng quy mà các em đã được chứng minh ở trên. Ví dụ 6. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA. Chứng minh rằng bốn điểm I, K, M, N thẳng hàng. Giải: Gọi H là giao điểm của AD, BE, CF Vì ID // CF, nên: BI BD  IF DC Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 13 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Vì DK // CE, nên: Suy ra: BD BK  DC KE BI BK  khi đó, theo định lí Talet đảo ta có: IK // EF (1) IF KE Tương tự ta cũng chứng minh được: MN // FE Hoàn toàn tương tự như trên, ta chứng minh được: (2) IF NE  DH     FA EA  HA  Cũng theo định lí Talet đảo, ta có: IN // EF (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra I, K, M, N thẳng hàng. Ví dụ 7. Cho hình thang ABCD(AB // CD; AB, CD). Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD tại E, đường thẳng qua B song song với AD cắt CD tại H, đường thẳng qua H song song với BD cắt BC tại I. Chứng minh rằng: a) EI // AB. b) Ba đường thẳng EI, BH, AC đồng quy. Giải: Gọi F là giao điểm của BH và AC, G là giao điểm của AE và CD a) Áp dụng định lí Talet: Vì HI // BD  BI DH  IC HC Vì DG // AB  BE AE AB   ED EG DG (1) (2) Các tứ giác ABHD, ABCG là hình bình hành Nên DH = AB = GC suy ra DG = HC Thay vào (1)  BI AB  IC DG Từ (2) và (3)  BI BE  IC ED (3) Từ đó, theo định lí Talet đảo suy ra EI // DC hay EI // AB b) Từ (2) và (3) ta có Lại có HC // AB  (4) BI BE AB AB    IC ED DG HC AB AF  HC FC Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 14 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Do đó BI AF  suy ra FI // AB hay FI // CD IC FC (5) Từ (4) và (5)  EI, BH, AC đồng quy. Ví dụ 8. Cho M, N, P lần lượt nằm trên ba cạnh AB, BC, CA (hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng là: MA NB PC . .  1 (định lý Mêlênaúyt) MB NC PA Giải: - Điều kiện cần: Giả sử M, N, P thẳng hàng Từ A kẻ AQ // BC cắt MN ở Q, áp dụng hệ quả của định lí Talet: Với MBN ta được: MA AQ  MB NB PC NC Với PNC ta được: PA  AQ Nhân từng vế hai đẳng thức trên ta được: Tiếp tục nhân 2 vế với NB . Ta được: NC MA PC NC .  MB PA NB MA NB PC . . 1 MB NC PA - Điều kiện đủ: Cho ba điểm M,N,P trên ba cạnh tam giác thoả mãn điều kiện MA NB PC . . 1 MB NC PA (1) Nối MP kéo dài cắt BC ở N’, theo (cmt) thì MA N ' B PC . . 1 MB N ' C PA Từ (1) và (2) suy ra (2) N ' B NB  N ' C NC Vì N’ và N cùng ở trong đoạn BC nên N’  N Vậy: M, P, N thẳng hàng. Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 15 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Ví dụ 9. Trên hai cạnh AB, AD của hình bình hành ABCD, Lấy hai điểm tương ứng M, N. Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là giao điểm của BN với MD. Chứng minh rằng ba điểm C, P, Q thẳng hàng. Giải: Áp dụng định lí Mêlênauyt cho ba điểm N, Q, B thẳng hàng, ta có NA QD BM . . 1 ND QM MA Gọi K là giao điểm của CD với đường thẳng MP. Khi đó BCKM, NDKP là các hình bình hành nên NA PM BM CK   và BA CD ND PK Do đó 1  NA QD BM PM QD CK PM CK QD . .  . .  . . ND QM BA PK QM CD PK CD QM Vì C, P, Q nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác MDK theo định lí Mêlênauyt và đẳng thức trên suy ra C, P, Q thẳng hàng . Ví dụ 10. Cho ba điểm P, Q, R theo thứ tự ở trên các cạnh BC, CA, AB (hay các đường thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC nhưng không trùng đỉnh nào của tam giác đó. Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy là PB QC RA . .  1 (định lí Céva) PC QA RB Giải: Giả sử ba đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy tại I. Áp dụng định lí Mêlênauyt: - Vào ABP và đường thẳng RIC, ta có: CB IP RA . . 1 CP IA RB - Vào ACP và đường thẳng BIQ, ta có: BP QC IA . . 1 BC QA IP Nhân các vế tương ứng của hai đẳng thức đó với nhau, ta được Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 16 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY CB IP RA BP QC IA . . . . . 1 CP IA RB BC QA IP Từ đó suy ra: PB QC RA . . 1 PC QA RB Ngược lại, giả sử ba đường thẳng AP, BQ, CR thoả mãn điều kiện: PB QC RA . . 1 PC QA RB Khi đó, hai trường hợp có thể xảy ra: - Trường hợp thứ nhất: trong ba đường thẳng AP, BQ, CR cắt nhau Chẳng hạn AP cắt BQ tại I. Khi đó CI phải cắt AB tại điểm R’ nào đó. Theo kết quả đã chứng minh trên, ta có: PB QC R' A . . 1 PC QA R' B Từ hai đẳng thức trên suy ra R ' A RA  nên R’ trùng với R. R ' B RB Do đó ba đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy. - Trường hợp thứ hai: là trường hợp ba đường thẳng AP, BQ, CR song song với nhau - trường hợp này không thể xảy ra. Ví dụ 11. Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh đối diện với đường tròn nội tiếp thì đồng quy . Giải: Gọi P, Q, R theo thứ tự là tiếp điểm của BC, CA, AB với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó PB = RB, PC = QC, QA = RA nên: Áp dụng định lí CéVa, ta có: PB QC RA RB QC RA . .  . . 1 PC QA RB QC RA RB Do đó, cũng theo định lí CéVa ta được ba đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy. Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 17 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Ví dụ 12. Cho tam giác ABC, một điểm D trên cạnh AB, một điểm E trên cạnh AC và trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng DE // BC khi và chỉ khi ba đường thẳng AM, BE, CD đồng quy. Giải: Vì M là trung điểm của BC nên Do đó: MB 1 MC DA MB EC DA EC . .  . DB MC EA DB EA Vì vậy, ba đường thẳng AM, BE, CD đồng quy khi và chỉ khi: DA MB EC DA EC DA EA . .  .  1 hay  DB MC EA DB EA DB EC Theo định lí Talet đảo. Vậy: DE // BC Ví dụ 13. Chứng minh rằng nếu ba tam giác đều ABD, BCE, CAF nằm phía ngoài tam giác ABC thì ba đường thẳng AE, BF, CD đồng quy. Giải: Gọi: P là giao điểm của AE và BC, Q là giao điểm của BF và CA, R là giao điểm của CD và AB. Hai tam giác ABE và ACE có chung cạnh AE nên tỷ số diện tích của chúng bằng tỉ số các khoảng cách từ B và C đến cạnh chung AE. Theo định lý Talét trong tam giác, tỉ số khoảng cách đó bằng PB PB . PC S ABE Do đó PC  S ACE QC S RA S FCB ,  CAD Tương tự, ta có QA  S RB S DBC AFB Do đó PB QC RA S ABE S FCB SCAD . .  . . . PC QA RB S ACE S FAB S DBC Dễ dàng chứng minh được: ABE = DBC (c.g.c), ACE = FCB (c.g.c), FAB = CAD (c.g.c) Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 18 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY PB QC RA S S S FCB CAD ABE 1 Nên: PC . QA . RB  S . S . S ACE FAB DBC Theo định lý Céva, ba đường thẳng AE, BF, CD đồng quy. Ví dụ 14. Cho ABC vuông tại A. Về phía ngoài của tam giác ta vẽ các hình vuông ABDE và ACGH. a) Chứng tỏ tứ giác BCHE là hình thang cân b) Kẻ đường cao AH1 của tam giác ABC. Chứng tỏ các đường thẳng AH1, DE, GH đồng quy. Giải: �  BHC � a) Ta có: EBH = 450 (tính chất đường chéo hình vuông)  EB // HC Mặt khác ta có: EA = AB; AC = AH Nên: EC + AC = AB + AH hay EC = BH  Tứ giác BCHE là hình thang cân. b) Gọi: P là giao điểm của DE và HG  AEPH là hình chữ nhật Gọi O là giao điểm của AH1 với EH. Vẽ HQ  AO, EK  AO 0 � B = � Xét ABH1 và AEK có: AH AEK = 90 ; 1 � � = EAK (cùng phụ với góc BAH1) ABH AB = AE (ABDE là hình vuông) Suy ra: ABH1 = AEK (cạnh huyền – góc nhọn)  AH1 = EK (hai cạnh tương ứng) (1) Tương tự: ACH1 = HAQ  AH1 = HQ (2) Từ (1) và (2)  EK = HQ Xét OEK và OHQ vuông có: � � EK = HQ; KEO = QHO (so le trong)  OEK = OHQ (gcg) Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 19 TỪ ĐỊNH LÍ TALET ĐẾN CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY  OE = OH  O là trung điểm của EH. Do đó O là trung điểm của AP (AEPH là hình chữ nhật)  P thuộc AO nên P thuộc AH1 Vậy: Ba đường thẳng AH1, DE, GH đồng quy tại một điểm. Ví dụ 15. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ đường cao AD. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của D qua các cạnh AB, AC. Đường thẳng EF cắt AB ở M và cắt AC ở N. Chứng minh 2 đường thẳng CM và BN cắt nhau tại một điểm H nằm trên đường cao AD và BN  AC , CM  AB. Giải: � M � Xét tam giác MDN có: M 1 2  AB là phân giác ngoài của góc M Tương tự AC là phân giác ngoài của góc N 1 2  Điểm A, giao điểm của hai phân giác ngoài AB, AC phải nằm trên đường phân giác trong của góc D Vì BC  AD  BC là phân giác ngoài của góc D Từ đây ta có: AB là phân giác ngoài của góc M BC là phân giác ngoài của góc D  BN là phân giác ngoài của góc N Tương tự: CM là phân giác trong của góc M. Các đường phân giác trong cắt nhau tại một điểm  BM và CN cắt nhau tại một điểm thuộc AD AC là phân giác ngoài của góc N; BN là phân giác trong của góc N  BN  AC. Tương tự: CM  AB Ví dụ 16. Cho tam giác vuông ABC và AH là đường cao thuộc cạnh huyền. Vẽ về phía ngoài tam giác hai hình vuông ABDE và ACFG. Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 20
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan

Tài liệu vừa đăng