FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO
SÁT HÀM SỐ
§1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
VAÁN ÑEÀ 1: Xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá
Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau:
x2
5
x
4
4
a) y 2 x 2 4 x 5
b) y
d) y x3 2 x 2 x 2
e) y (4 x)( x 1)2
f) y x3 3x 2 4 x 1
1
4
h) y x 4 2 x 2 3
i) y
k) y
2x 1
x5
l) y
n)
2 x 2 x 26
x2
o)
g) y x 4 2 x 2 1
y
c) y x 2 4 x 3
x 1
2 x
1 4 1 2
x x 2
10
10
m) y 1
y x 3
1
1 x
p)
y
1
1 x
4 x 2 15 x 9
3x
Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau:
a) y 6 x 4 8x3 3x 2 1 b) y
d) y
2x 1
e) y
x2
g) y 2 x 1 3 x
2
x2 1
c) y
x2 4
x
x2 x 1
f) y x 3 2 2 x
x 2 3x 2
h) y x 2 x 2
i) y 2 x x 2
2
x2 x 1
k) y sin 2 x x l) y sin 2 x x x
2
2
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá luoân ñoàng bieán hoaëc nghòch bieán
treân taäp xaùc ñònh (hoaëc treân töøng khoaûng xaùc ñònh)
Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân töøng khoaûng xaùc
ñònh (hoaëc taäp xaùc ñònh) cuûa noù:
a) y x3 5x 13
d)
x2 2x 3
y
x 1
b) y
x3
3x 2 9 x 1
3
e) y 3 x sin(3 x 1)
c) y
f)
2x 1
x2
x 2 2mx 1
y
xm
Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc
ñònh (hoaëc taäp xaùc ñònh) cuûa noù:
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
a) y 5 x cot( x 1)
b) y cos x x
c) y sin x cos x 2 2 x
Tìm m ñeå caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân taäp xaùc ñònh (hoaëc töøng
khoaûng xaùc ñònh) cuûa noù:
a) y x3 3mx 2 (m 2)x m
d)
b) y
mx 4
y
xm
e)
x 3 mx 2
2x 1
3
2
c) y
x 2 2mx 1
y
xm
f)
xm
xm
x 2 2mx 3m 2
y
x 2m
Tìm m ñeå haøm soá:
a) y x3 3x 2 mx m nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 1.
1
3
1
2
b) y x 3 mx 2 2mx 3m 1 nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 3.
1
3
c) y x 3 (m 1) x 2 (m 3) x 4 ñoàng bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 4.
Tìm m ñeå haøm soá:
a) y
x3
(m 1) x 2 (m 1) x 1
3
ñoàng bieán treân khoaûng (1; +).
b) y x3 3(2m 1)x 2 (12m 5)x 2 ñoàng bieán treân khoaûng (2; +).
c) y
mx 4
(m 2)
xm
d) y
xm
xm
e) y
x 2 2mx 3m 2
x 2m
f) y
2 x 2 3 x m
2x 1
ñoàng bieán treân khoaûng (1; +).
ñoàng bieán trong khoaûng (–1; +).
ñoàng bieán treân khoaûng (1; +).
1
2
nghòch bieán treân khoaûng ; .
VAÁN ÑEÀ 3: ÖÙng duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc
Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:
a)
x3
x
sin x x , vôùi x 0
6
c) x tan x, vôùi 0 x
b)
2
1
sin x tan x x , vôùi 0 x
3
3
2
d) sin x tan x 2 x, vôùi 0 x
2
2
Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:
a)
tan a a
, vôùi 0 a b
tan b b
2
b) a sin a b sin b, vôùi 0 a b
c) a tan a b tan b, vôùi 0 a b
2
2
Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:
a) sin x
2x
, vôùi 0 x
b) x
2
c) x sin x cos x 1, vôùi 0 x
2
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
x3
x3 x5
sin x x
, vôùi x 0
6
6 120
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:
a) e x 1 x, vôùi x 0
b) ln(1 x ) x, vôùi x 0
c) ln(1 x ) ln x
d) 1 x ln x 1 x 2 1 x 2
1
, vôùi x 0
1 x
Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:
a) tan 550 1,4
b)
1
7
sin 200
3
20
c) log2 3 log3 4
HD: a) tan 550 tan(450 100 ) . Xeùt haøm soá f ( x )
1 x
.
1 x
b) Xeùt haøm soá f ( x) 3x 4 x3 .
1 1
2 2
1
3
f(x) ñoàng bieán trong khoaûng ; vaø ,sin 200 ,
7
1;1 .
20
2 2
c) Xeùt haøm soá f ( x ) log x ( x 1) vôùi x > 1.
VAÁN ÑEÀ 4: Chöùng minh phöông trình coù nghieäm duy nhaát
Giaûi caùc phöông trình sau:
a)
b) x 5 x 3 1 3x 4 0
x x 5 5
c) x x 5 x 7 x 16 14
d) x 2 15 3x 2 x 2 8
Giaûi caùc phöông trình sau:
a) 5 x 1 5 x 2 5 x 3 0
b) ln( x 4) 5 x
c) 3x 4 x 5x
d) 2 x 3x 5x 38
Giaûi caùc baát phöông trình sau:
a) x 1 3 5x 7 4 7 x 5 5 13x 7 8
b) 2 x x x 7 2 x 2 7 x 35
Giaûi caùc heä phöông trình sau:
a)
2 x 1 y 3 y 2 y
2 y 1 z3 z 2 z
2 z 1 x 3 x 2 x
tan x tan y y x
5
d) 2 x 3y
4
x , y
2
2
cot x cot y x y
g) 5 x 7 y 2
0 x , y
b)
x y3 y 2 y 2
y z3 z 2 z 2
z x3 x 2 x 2
e)
sin x sin y 3 x 3y
x y
5
x , y 0
HD: a, b) Xeùt haøm soá f (t) t3 t 2 t
d) Xeùt haøm soá f(t) = tant + t
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
c)
f)
y 3 6 x 2 12 x 8
3
z 6 y 2 12 y 8
x 3 6 z2 12 z 8
sin 2 x 2 y sin 2 y 2 x
2 x 3y
0 x, y
2
c) Xeùt haøm soá f (t) 6t2 12t 8
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
VAÁN ÑEÀ 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá
Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau:
a) y 3x 2 2 x 3
d) y
g)
x4
x2 3
2
x 2 3x 6
y
x2
1
3
b) y x3 2 x 2 2 x 1
c) y x 3 4 x 2 15x
e) y x 4 4 x 2 5
f) y
h)
3x 2 4 x 5
y
x 1
i)
x4
3
x2
2
2
x 2 2 x 15
y
x 3
Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau:
4x2 2x 1
a) y ( x 2)3 ( x 1)4
b) y
d) y x x 2 4
e) y x 2 2 x 5
c) y
2x2 x 3
3x 2 4 x 4
x2 x 1
f) y x 2 x x 2
Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau:
3
x2
2x 1
a) y 3 x 2 1
b) y
d) y x 2 5x 5 2 ln x
e) y x 4sin2 x
c) y e x 4e x
f) y x ln(1 x 2 )
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc trò
Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu:
a) y x3 3mx 2 3(m2 1)x m3 b) y 2 x3 3(2m 1)x 2 6m(m 1)x 1
c) y
x 2 m(m 2 1) x m 4 1
xm
d) y
x 2 mx m 2
x m 1
Tìm m ñeå haøm soá:
a) y (m 2)x3 3x 2 mx 5 coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu.
b) y x3 3(m 1)x 2 (2m2 3m 2)x m(m 1) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu.
c) y x3 3mx 2 (m2 1)x 2 ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2.
1
2
d) y mx 4 2(m 2)x 2 m 5 coù moät cöïc ñaïi x .
e)
x 2 2mx 2
y
xm
f) y
ñaït cöïc tieåu khi x = 2.
x 2 (m 1) x m 2 4m 2
x 1
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu.
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
g) y
x2 x m
x 1
coù moät giaù trò cöïc ñaïi baèng 0.
Tìm m ñeå caùc haøm soá sau khoâng coù cöïc trò:
a) y x3 3x 2 3mx 3m 4
c) y
b) y mx3 3mx2 (m 1)x 1
x 2 mx 5
x 3
d) y
x 2 (m 1) x m 2 4m 2
x 1
Tìm a, b, c, d ñeå haøm soá:
a) y ax3 bx 2 cx d ñaït cöïc tieåu baèng 0 taïi x=0 vaø ñaït cöïc ñaïi baèng
4
27
taïi x=
1
3
b) y ax 4 bx 2 c coù ñoà thò ñi qua goác toaï ñoä O vaø ñaït cöïc trò baèng –9 taïi x= 3 .
c) y
d)
x 2 bx c
x 1
ñaït cöïc trò baèng –6 taïi x = –1.
ax 2 bx ab
y
bx a
e) y
ax 2 2 x b
x2 1
ñaït cöïc trò taïi x = 0 vaø x = 4.
ñaït cöïc ñaïi baèng 5 taïi x = 1.
Tìm m ñeå haøm soá :
a) y x3 2(m 1)x 2 (m2 4m 1)x 2(m2 1) ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x1, x2 sao cho:
1 1 1
(x x ) .
x1 x2 2 1 2
1
3
1
1
y mx 3 (m 1) x 2 3(m 2) x
3
3
b) y x 3 mx 2 mx 1 ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x1, x2 sao cho: x1 x2 8 .
c)
ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x1, x2 sao cho: x1 2 x2 1 .
Tìm m ñeå haøm soá :
a) y
b)
x 2 mx m 2
x m 1
coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø caùc giaù trò cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuøng daáu.
x 2 (m 1) x m 2 4m 2
y
x 1
coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø tích caùc giaù trò cöïc ñaïi, cöïc
tieåu ñaït giaù trò nhoû nhaát.
c) y
x 2 3x m
x4
d) y
2 x 2 3x m 2
x2
coù giaù trò cöïc ñaïi M vaø giaù trò cöïc tieåu m thoaû M m 4 .
coù yCÑ yCT 12 .
Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá :
a) y x3 mx 2 4 coù hai ñieåm cöïc trò laø A, B vaø AB 2
900m 2
729
.
b) y x 4 mx 2 4 x m coù 3 ñieåm cöïc trò laø A, B, C vaø tam giaùc ABC nhaän goác toaï
ñoä O laøm troïng taâm.
c) y
x 2 mx m 2
xm
coù hai ñieåm cöïc trò naèm hai phía ñoái vôùi truïc tung. Chöùng
minh hai ñieåm cöïc trò luoân luoân naèm cuøng moät phía ñoái vôùi truïc hoaønh.
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
d) y
x 2 mx
1 x
e) y
x 2 2mx 5
x 1
coù khoaûng caùch giöõa hai ñieåm cöïc trò baèng 10.
coù hai ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu naèm veà hai phía ñoái vôùi ñöôøng
thaúng y = 2x.
x2 2x m 3
xm
f) y
coù hai ñieåm cöïc trò vaø khoaûng caùch giöõa chuùng nhoû nhaát.
Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá :
a) y 2 x3 mx 2 12 x 13 coù hai ñieåm cöïc trò caùch ñeàu truïc tung.
b) y x3 3mx 2 4m3 coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu ñoái xöùng nhau qua ñöôøng phaân
giaùc thöù nhaát.
c) y x3 3mx 2 4m3 coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu ôû veà moät phía ñoái vôùi ñöôøng
thaúng (d): 3 x 2 y 8 0 .
x 2 (2m 1) x m 2 1
x 1
d) y
coù hai ñieåm cöïc trò naèm ôû hai phía ñoái vôùi ñöôøng thaúng
(d): 2 x 3y 1 0 .
Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá :
x 2 (m 1) x 2m 1
xm
a) y
coù hai ñieåm cöïc trò ôû trong goùc phaàn tö thöù nhaát cuûa maët
phaúng toaï ñoä.
b)
2mx 2 (4m2 1) x 32m2 2m
y
x 2m
coù moät ñieåm cöïc trò naèm trong goùc phaàn tö thöù
hai vaø ñieåm kia naèm trong goùc phaàn tö thöù tö cuûa maët phaúng toaï ñoä.
mx 2 (m 2 1) x 4m 2 m
xm
c) y
coù moät ñieåm cöïc trò naèm trong goùc phaàn tö thöù nhaát
vaø ñieåm kia naèm trong goùc phaàn tö thöù ba cuûa maët phaúng toaï ñoä.
d)
y
x 2 (2m 1) x m 2 1
x 1
coù hai ñieåm cöïc trò naèm ôû hai phía cuûa truïc hoaønh
(tung).
VAÁN ÑEÀ 3: Ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá :
a) y x3 2 x 2 x 1
d)
2x2 x 1
y
x 3
b) y 3x 2 2 x 3
e
c) y x3 3x 2 6 x 8
x2 x 1
y
x 2
Khi haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu, vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai
ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá:
a) y x3 3mx 2 3(m2 1)x m3
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
b) y
x 2 mx 6
xm
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
c) y x3 3(m 1)x 2 (2m2 3m 2)x m(m 1)
d) y
x 2 mx m 2
x m 1
Tìm m ñeå haøm soá:
a) y 2 x3 3(m 1)x 2 6(m 2)x 1 coù ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò song song
vôùi ñöôøng thaúng y = –4x + 1.
b) y 2 x3 3(m 1)x 2 6m(1 2m)x coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa ñoà thò naèm treân
ñöôøng thaúng y = –4x.
c) y x3 mx 2 7x 3 coù ñöôøng thaúng ñi qua caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu vuoâng goùc
vôùi ñöôøng thaúng y = 3x – 7.
d) y x3 3x 2 m2 x m coù caùc ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñoái xöùng nhau qua ñöôøng
1
2
5
2
thaúng (): y x .
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
VAÁN ÑEÀ 1: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch laäp baûng bieán thieân
Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau:
a) y x 4 x 3
b) y 4 x3 3x 4
c) y x 4 2 x 2 2
2
d) y x x 2
e) y
2
1
x
g) y x 2 ( x 0)
h) y
x 1
f) y
x2 2x 2
x2 x 1
i) y
x2 x 1
2x2 4x 5
x2 1
x4 x2 1
x3 x
( x 0)
Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau:
a) y 2 x3 3x 2 12 x 1 treân [–1; 5]
b) y 3x x3 treân [–2; 3]
c) y x 4 2 x 2 3 treân [–3; 2]
d) y x 4 2 x 2 5 treân [–2; 2]
e) y
3x 1
x 3
g) y
4 x2 7x 7
x2
treân [0; 2]
f) y
treân [0; 2]
h) y
i) y 100 x 2 treân [–6; 8]
x 1
x 1
treân [0; 4]
1 x x2
1 x x2
treân [0; 1]
k) y 2 x 4 x
Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau:
a) y
2 sin x 1
sin x 2
b) y
d) y cos 2 x 2 sin x 1
1
c) y 2sin2 x cos x 1
2
cos x cos x 1
e) y sin3 x cos3 x
f) y
x2 1
x4 x2 1
g) y 4 x 2 2 x 5 x 2 2 x 3 h) y x 2 4 x x 2 4 x 3
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch duøng baát ñaúng thöùc
Giaû söû D ( x; y; z) / x 0, y 0, z 0, x y z 1 . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu
thöùc: P
x
y
z
.
x 1 y 1 z 1
1
1
1
x 1 y 1 z 1
HD: P 3
1
1
1
9
x 1 y 1 z 1
Söû duïng baát ñaúng thöùc Coâ–si: ( x 1) ( y 1) (z 1)
P
3
. Daáu
4
“=” xaûy ra x = y = z =
5
4
1
3
. Vaäy min P .
D
3
4
Cho D = ( x; y) / x 0, y 0, x y . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc:
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
S
4 1
.
x 4y
1
x
1
x
1
x
1
x
HD: x x x x 4 y
1
25
4y
S 5. Daáu “=” xaûy ra x = 1, y =
1
.
4
4 1
4( x y) 25
x 4y
Vaäy minS = 5.
Cho D = ( x; y) / x 0, y 0, x y 1 . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc:
P
HD: P (1 x )
x2
y2
1
xy
.
1 x 1 y
xy
x2
y2
1
(1 y)
2
1 x
1 y x y
=
1
1
1
2.
1 x 1 y x y
1
1
1
9
1 x 1 y x y
Söû duïng baát ñaúng thöùc Coâ–si: (1 x ) (1 y) ( x y)
1
1
1
9
1 x 1 y x y 2
P
5
. Daáu
2
“=” xaûy ra x = y =
1
. Vaäy
3
minP =
5
.
2
Cho D = ( x; y) / x 0, y 0, x y 4 . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc:
P
3x 2 4 2 y2
.
4x
y2
x
1
1
HD: P 2
4 x
y
2
y y xy
8 8
2
Theo baát ñaúng thöùc Coâ–si:
1
y2
P
9
. Daáu
2
(1)
x 1
x 1
2 . 1
4 x
4 x
y y
1 y y 3
33
. .
8 8
y2 8 8 4
(2)
(3)
“=” xaûy ra x = y = 2. Vaäy minP =
9
2
.
VAÁN ÑEÀ 3: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch duøng mieàn giaù trò
Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá sau:
a) y
c)
2
x x 1
x2 x 1
2 sin x cos x 1
y
sin x 2 cos x 3
b) y
d)
2 x 2 7 x 23
x 2 2 x 10
2sin x cos x 3
y
2 cos x sin x 4
VAÁN ÑEÀ 4: Söû duïng GTLN, GTNN cuûa haøm soá trong PT, HPT, BPT
Giaûi caùc phöông trình sau:
a) 4 x 2 4 4 x 2
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
b) 3x 5x 6 x 2
c) x 5 (1 x )5
1
16
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm:
a) x 2 x 2 1 m
b) 2 x 2 x (2 x )(2 x ) m
c) 3 x 6 x (3 x )(6 x ) m
a)
d) 7 x 2 x (7 x )(2 x ) m
Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi moïi x R:
b) m 2 x 2 9 x m
c) mx 4 4 x m 0
x 2x2 1 m
Cho baát phöông trình: x3 2 x 2 x 1 m 0 .
a) Tìm m ñeå baát phöông trình coù nghieäm thuoäc [0; 2].
b) Tìm m ñeå baát phöông trình thoaû moïi x thuoäc [0; 2].
Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau:
a) mx x 3 m 1 coù nghieäm.
b) (m 2) x m x 1 coù nghieäm x [0; 2].
c) m( x 2 x 1) x 2 x 1 nghieäm ñuùng vôùi moïi x [0; 1].
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
§4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN
Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:
a) y
d)
2x 5
x 1
b) y
x2 4x 3
y
x 1
e)
10 x 3
1 2x
c) y
( x 2)2
y
1 x
f)
2x 3
2 x
7x2 4 x 5
y
2 3x
Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:
a) y
d) y
x
b) y
x2 4x 5
2 x 2 3x 3
e) y
x2 x 1
2 x
c) y
9 x2
x3 x 1
f) y
x2 1
x2 4x 5
x2 1
x4 x 4
x3 1
Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:
a) y x 2 4 x
b) y
x 1
x 1
d) y x
4x 2
1
c) y
x2 9
e) y 3 3x 2 x 3
x2 4x 3
x 2 3x 2
x 2
f) y
Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:
a) y
2x 1
b) y ln
x
2 1
e x e x
2
c) y ln( x 2 5x 6)
Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù ñuùng hai tieäm caän ñöùng:
3
a) y
d)
b) y
4 x 2 2(2m 3) x m2 1
x 3
y
2
x 2(m 2) x m 2 1
e) y
2 x2
3 x 2 2(m 1) x 4
x 1
x 2 2(m 1) x m 2 2
c) y
f) y
x 3
x2 x m 2
3
2 x 2 2mx m 1
Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù tieäm caän xieân:
a) y
2
x (3m 2) x 2m 1
x5
b) y
mx 2 (2m 1) x m 3
x2
Tính dieän tích cuûa tam giaùc taïo bôûi tieäm caän xieân cuûa ñoà thò caùc haøm soá
sau chaén treân hai truïc toaï ñoä:
a) y
3x 2 x 1
x 1
b) y
3 x 2 x 4
x2
c) y
x2 x 7
x 3
Tìm m ñeå tieäm caän xieân cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau taïo vôùi caùc truïc toaï ñoä
moät tam giaùc coù dieän tích S ñaõ chæ ra:
a)
x 2 mx 1
y
;
x 1
c) y
S=8
2 x 2 2(2m 1) x 4m 5
;
x 1
b)
S = 16
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
x 2 (2m 1) x 2m 3
y
;
x 1
d) y
2 x 2 mx 2
;
x 1
S=4
S=8
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
§5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:
a) y x3 3x 2 9x 1
b) y x3 3x 2 3x 5
c) y x3 3x 2 2
d) y ( x 1)2 (4 x)
e) y
x3
1
x2
3
3
f) y x3 3x 2 4 x 2
Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:
x4
5
3x 2
2
2
a) y x 4 2 x 2 1
b) y x 4 4 x 2 1
c) y
d) y ( x 1)2 ( x 1)2
e) y x 4 2 x 2 2
f) y 2 x 4 4 x 2 8
Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:
x 1
x2
1 2x
y
1 2x
2x 1
x 1
3x 1
y
x 3
3 x
x4
x 2
y
2x 1
a) y
b) y
c) y
d)
e)
f)
Nguồn bài tập: Thầy Trần Sỹ Tùng
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
§1. LŨY THỪA
Thöïc hieän caùc pheùp tính sau::
a)
7
A 1
8
3
c) C
3
2
4
3
2
2
7
. . 7 .
7
14
2
83
i)
f) F
2
23.21 53.54 0,01 .102
0
0,013
103 :102 0,25 102
4.4 64. 3 2
I
3
32
5
6
3
2
32
2
5
3
3
18 .24. 50
E
4
5
2
25 . 4 . 27
g) G
b)
d) D
7
e)
2
3 . 15 .84
B
6
4
92. 5 . 6
3
1256. 16 . 2
2
253 5
1
4
1
1
1
1
h) H 4 3 10 3 253 2 3 53
4
k) K
5
81.5 3.5 9. 12
2
3 3 . 18 5 27. 6
Vieát caùc bieåu thöùc sau döôùi daïng luyõ thöøa vôùi soá muõ höõu tæ:
b3 a
, a, b 0
a b
a) 4 x 2 3 x , x 0
b)
5
23 3 2
3 2 3
e)
4 3
d)
3
c) 5 2 3 2 2
f)
a8
5
b2 b
3
b b
Ñôn giaûn caùc bieåu thöùc sau:
a1,5 b1,5
a) a
0,5
b
0,5
a0,5b0,5
ab
2b0,5
a0,5 b0,5
1
1
1 3 1
1
x2 y2
x2 y2 x2 y2
2y
c) 1 1 1 1 .
2
xy xy
xy x 2 y xy 2 x 2 y
e) a
1
3
2
b3
. a
2
3
1 2
a 3 .b 3
4
3
b
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
a 0,5 2 a0,5 1
.
a 1 a0,5
a 2a 0,5 1
1
1
1 1
1
1
x 2 3y 2
x 2 3y 2 x 2 y 2
.
2
x
y
2
1
1
x2 y2
a0,5 2
b)
d)
f) a
1
4
1
b4
. a
1
4
1
b4
. a
1
2
1
2
b
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
g)
a 1 b c
1
1
1
2
2
a 2
a 2 (a 2 1)
h)
.
1
1
a 1
2
2
a 2a 1
a
1
b2 c2 a2
2
.1
. a b c
1
2bc
a 1 b c
Ñôn giaûn caùc bieåu thöùc sau:
a)
3
a3b
6
a6 b
b) ab
a2 4 x x a
c) 4
a2 x 2a x
a x ax
e)
g)
4 ab b
:
ab
a ab
ab
a x
4
3
d)
3
a2 x 2
3
3
ax 2 a2 x
3
3
a2 2 3 ax x 2 6 x
6
a6 x
3
a 3 a 2a 3 b 3 a2 b2 3 a2 b 3 ab2
x x x
f)
3
3 2 3
4
4
3
3
a3b
x 1
a ab
x
1
x
x
4
4
x 1
x 1
3 a2 b 3 ab2
1
a b 6
. a 6 b 6 a
3 a2 2 3 ab 3 b2 3 a2 3 b2
So saùnh caùc caëp soá sau:
a) 0,01
2
vaø 10
2
b)
e) 0,001
d) 5300 vaø 8200
g) 2
k)
3
vaø 2
5
1
4
2
vaø
4
4
3 1 vaø 3 1
2
2
4
h)
4
5
l)
3
5
0,3
c) 52 3 vaø 53
3
vaø
5
vaø
4
2
6
100
5
f) 4
2
vaø 0,125
2
2
i) 0,0210 vaø 5011
2
vaø
2
2
2
m)
5
2
vaø
2
10
3
So saùnh hai soá m, n neáu:
a) 3,2 3,2
m
n
m
d)
3
3
2
2
b)
2
e)
n
m
2
n
m
5 1 5 1
n
m
c)
1
1
9
9
f)
c)
1
a
n
m
2 1 2 1
Coù theå keát luaän gì veà soá a neáu:
2
1
1
1 a 3
1
2
1 a
a) a 1 3 a 1 3
d)
g) a
3
e)
h)
Giaûi caùc phöông trình sau:
a
7
a) 4 1024
x
3
1
b) 2a 1 2a 1
b)
5
d) 3 3
2x
1
9
x 2
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
e)
3
2 a4
1
a 17
2
1
a 8
5 2
2 5
x
2 a
0,2
1
2
1
a2
1
a
f)
a
i) a0,25 a
x1
2 8
.
9 27
8
125
x
27
64
c) 81 3 x
3
f)
2
1
2
3
1
32
x 2 5 x 6
1
n
:3 a
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
g)
0,25
1
.322 x 8
0,125
8
x
k) 5x.2 x 0, 001
h) 0,2 0,008
i)
x
l)
x
x
12 . 3
1
6
9
49
3 x 7
7
3
m) 71 x.41 x
7 x 3
1
28
Giaûi caùc baát phöông trình sau:
a) 0,1 100
x
d) 7
x2
. 49 343
g) 3
x
1
.3
27
x
b)
1
3
0,04
5
e)
1
3
x 2
h) 27 .3
x 1 x
1
9
27
1
3
Giaûi caùc phöông trình sau:
a) 2 x 2 x2 20
b) 3x 3x1 12
d) 4 x 1 4 x 4 x 1 84
e) 42 x 24.4 x 128 0
2
g) 3.9x 2.9 x 5 0
h) 3x 5 x 6 1
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
c) 0,3 x
f) 3x
i)
100
9
1
9 3
x
1 3
. 2 1
64
c) 5x 5x1 30
f) 4 x 1 22 x 1 48
i) 4 x 2 x1 24 0
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
§2. HÀM SỐ LŨY THỪA
Tính caùc giôùi haïn sau:
x
a)
x
lim
x 1 x
d)
3x 4
lim
x 3 x 2
b)
x 1
3
ln x 1
x e x e
g) lim
k)
e x e x
lim
x 0 sin x
1
lim 1
x
x
x 1
x
x 1
2x 1
e) lim
x
x
e2 x 1
x 0 3 x
2 x 1
2x 1
x 1
f) lim
x
x
ex e
x 1 x 1
h) lim
l)
x 1
x 2
c) lim
x
i) lim
esin 2 x esin x
lim
x 0
x
m)
lim x e 1
1
x
x
Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
x 1
x 1
a) y 3 x 2 x 1
b) y 4
d) y 3 sin(2 x 1)
e) y cot 3 1 x 2
g) y
3 sin
x 3
4
11
c) y 5
5
h) y 9 6 x
9
Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a) y ( x2 2 x 2)e x
b) y ( x 2 2 x)e x
d) y e
2x x 2
g) y 2 .e
x cos x
e) y x.e
h) y
1
x x
3
3x
2
x x 1
f) y
i) y
x2 x 2
x2 1
1 3 2x
1 3 2x
4
x2 x 1
x2 x 1
c) y e2 x .sin x
f) y
e2 x e x
e2 x e x
i) y cos x.ecot x
Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a) y ln(2 x 2 x 3)
b) y log2 (cos x )
c) y e x .ln(cos x)
d) y (2 x 1)ln(3x 2 x)
f) y log3 (cos x )
e) y log 1 ( x 3 cos x )
2
g) y
ln(2 x 1)
2x 1
h) y
ln(2 x 1)
x 1
i) y ln x 1 x 2
Chöùng minh haøm soá ñaõ cho thoaû maõn heä thöùc ñöôïc chæ ra:
x2
2;
a) y x.e
xy (1 x 2 )y
c) y e4 x 2e x ;
y 13y 12y 0
g) y e x .sin x;
y 2y 2y 0
i) y esin x ;
y cos x y sin x y
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
b) y ( x 1)e x ; y y e x
d) y a.e x b.e2 x ; y 3y 2y 0
h) y e x .cos x; y 4 4y 0
k) y e2 x .sin 5x; y 4y 29y 0
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
1
2
l) y x 2 .e x ;
m) y e4 x 2e x ; y 13y 12y 0
y 2 y y e x
n) y ( x 2 1)(e x 2010);
y
2 xy
2
x 1
e x ( x 2 1)
Chöùng minh haøm soá ñaõ cho thoaû maõn heä thöùc ñöôïc chæ ra:
1
;
1 x
a) y ln
xy 1 e y
c) y sin(ln x) cos(ln x); y xy x 2 y 0
e) y
x2 1
x x 2 1 ln x x 2 1;
2 2
b) y
1
; xy y y ln x 1
1 x ln x
d) y
1 ln x
; 2 x 2 y ( x 2 y 2 1)
x (1 ln x )
2 y xy ln y
Giaûi phöông trình, baát phöông trình sau vôùi haøm soá ñöôïc chæ ra:
a) f '( x) 2 f ( x); f ( x) e x ( x 2 3x 1)
1
x
b) f '( x ) f ( x ) 0;
f ( x ) x 3 ln x
c) f '( x) 0; f ( x) e2 x 1 2.e12 x 7x 5
d) f '( x ) g '( x ); f ( x ) x ln( x 5); g( x ) ln( x 1)
1
2
e) f '( x ) g '( x ); f ( x ) .52 x 1; g( x ) 5x 4 x ln 5
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
§3. LÔGARIT
Thöïc hieän caùc pheùp tính sau:
a) log2 4.log 1 2
b) log5
4
log 3 2
d) 4log2 3 9
g)
log a3 a.log a 4 a1/3
log 1 a
7
1
.log27 9
25
c) loga 3 a
e) log2 2 8
f) 27log9 2 4log8 27
h) log3 6.log8 9.log6 2
i) 92log3 2
l) 25log5 6 49log7 8
m) 532 log5 4
o) 31log9 4 42log2 3 5log125 27
p) log 6 3.log3 36
4log81 5
a
log3 5
k) 81
n) 9
1
log6 3
log9 36
27
4
4log9 7
3
1
log8 2
q) lg(tan10 ) lg(tan 20 ) ... lg(tan890 )
r) log8 log4 (log2 16) .log2 log3 (log4 64)
Cho a > 0, a 1. Chöùng minh: loga (a 1) loga1(a 2)
HD: Xeùt A =
loga1 (a 2)
=
loga1 a(a 2)
loga (a 1)
2
loga1 a.loga1(a 2)
loga1(a 1)2
2
loga1 a loga1(a 2)
2
=
1
So saùnh caùc caëp soá sau:
a) log3 4 vaø log4
d) log 1
3
1
3
b) log0,1 3 2 vaø log0,2 0,34
c) log 3
4
1
1
vaø log 1
80
15 2
2
g) log7 10 vaø log11 13
HD: d) Chöùng minh: log 1
3
f) 2log6 3 vaø
h) log2 3 vaø log3 4
i) log9 10 vaø log10 11
1
1
4 log 1
80
15 2
2
g) Xeùt A = log7 10 log11 13
log7 10.log7 11 log7 13
log7 11
1
10.11.7
10
11
log7 .log7
log7
log7 11
7.7.13
7
7
>0
h, i) Söû duïng baøi 2.
Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc logarit theo caùc bieåu thöùc ñaõ cho:
a) Cho log2 14 a . Tính log49 32 theo a.
b) Cho log15 3 a . Tính log25 15 theo a.
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
2
1
log6
3 2
e) log13 150 vaø log17 290
e) Chöùng minh: log13 150 2 log17 290
=
2
3
vaø log 5
5
4
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
c) Cho lg 3 0, 477 . Tính lg 9000 ; lg 0, 000027 ;
1
log81 100
.
d) Cho log7 2 a . Tính log 1 28 theo a.
2
Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc logarit theo caùc bieåu thöùc ñaõ cho:
a) Cho log25 7 a ; log2 5 b . Tính log 3 5
49
8
theo a, b.
b) Cho log30 3 a ; log30 5 b . Tính log30 1350 theo a, b.
c) Cho log14 7 a ; log14 5 b . Tính log35 28 theo a, b.
d) Cho log2 3 a ; log3 5 b ; log7 2 c . Tính log140 63 theo a, b, c.
Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau (vôùi giaû thieát caùc bieåu thöùc ñaõ cho coù
nghóa):
a) bloga c c loga b
b) logax (bx )
c)
loga c
logab c
loga b loga x
1 loga x
1 loga b
ab 1
(logc a logc b) , vôùi a2 b2 7ab .
3
2
1
loga ( x 2 y ) 2 log a 2 (loga x loga y) , vôùi x 2 4 y2 12 xy .
2
d) logc
e)
f) logbc a logcb a 2 logcb a.logcb a , vôùi a2 b2 c2 .
g)
1
1
1
1
1
k (k 1)
...
.
loga x loga2 x loga3 x loga4 x
log ak x 2 log a x
h) loga N .logb N logb N .logc N logc N .loga N
i) x 10
1
1 lg z
, neáu y 10
1
1 lg x
vaø z 10
1
1 lg y
1
1
1
1
...
log2 N log3 N
log2009 N log2009! N
l)
loga N logb N
logb N logc N
loga N
logc N
logabc N
.
.
k)
loga N .logb N .logc N
.
, vôùi caùc soá a, b, c laäp thaønh moät caáp soá nhaân.
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
FB: http://www.facebook.com/VanLuc168
Ả
§4. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔGARIT
Tính caùc giôùi haïn sau:
x
a)
x
lim
x 1 x
d)
3x 4
lim
x 3 x 2
x 1
3
b)
e)
x 1
lim
x 2 x 1
x
e2 x 1
x 0 3 x
ln x 1
x e x e
g) lim
k)
x 1
x
1
lim 1
x
x
l)
c)
f)
2x 1
lim
x x 1
x
ex e
x 1 x 1
h) lim
e x e x
lim
x 0 sin x
2 x 1
x 1
lim
x x 2
i) lim
esin 2 x esin x
lim
x 0
x
m)
lim x e 1
1
x
x
Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
3
x 1
x 1
a) y x x 1
b) y
d) y 3 sin(2 x 1)
e) y cot 3 1 x 2
f) y
h) y 11 9 6 5 x 9
i) y 4
2
g) y 3 sin
x 3
4
4
c) y
Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a) y ( x2 2 x 2)e x
b) y ( x 2 2 x)e x
d) y e
2x x 2
e) y x.e
g) y 2 x.ecos x
h) y
1
x x
3
3x
2
x x 1
5
x2 x 2
x2 1
1 3 2x
1 3 2x
x2 x 1
x2 x 1
c) y e2 x .sin x
f) y
e2 x e x
e2 x e x
i) y cos x.ecot x
Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a) y ln(2 x 2 x 3)
b) y log2 (cos x )
c) y e x .ln(cos x)
d) y (2 x 1)ln(3x 2 x)
f) y log3 (cos x )
e) y log 1 ( x 3 cos x )
2
g) y
ln(2 x 1)
h) y
2x 1
ln(2 x 1)
x 1
i) y ln x 1 x 2
Chöùng minh haøm soá ñaõ cho thoaû maõn heä thöùc ñöôïc chæ ra:
x2
2;
a) y x.e
xy (1 x 2 )y
c) y e4 x 2e x ;
y 13y 12y 0
g) y e x .sin x;
y 2y 2y 0
i) y esin x ;
y cos x y sin x y
1
2
l) y x 2 .e x ;
y 2 y y e x
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
b) y ( x 1)e x ; y y e x
d) y a.e x b.e2 x ; y 3y 2y 0
h) y e x .cos x; y 4 4y 0
k) y e2 x .sin 5x; y 4y 29y 0
m) y e4 x 2e x ; y 13y 12y 0
- Xem thêm -
.PDF 
50 
1606 
84 
