ĐA THỨC HAI BIẾN
A - MỞ ĐẦU
Đa thức là một nội dung rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông và được bắt
đầu giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp trung học cơ sở.
Các bài toán về đa thức thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia,
Olympic quốc tế và luôn được đánh giá là bài toán khó.
Hiện nay, đa thức đã được trình bày ở mức độ hệ thống, các bài tập về đa thức đã được
phân loại và khái quát một cách tương đối chi tiết theo các tiêu chí cụ thể. Tài liệu về
đa thức tuy có nhiều nhưng thường chỉ dừng lại ở phân loại theo dạng toán như:
Nghiên cứu tính chất về các hệ số của đa thức, tính chất về nghiệm của nó hoặc những
bài toán về đa thức nguyên, đa thức bất khả quy.
Đa thức hai biến cũng được đề cập, nhưng không có nhiều tài liệu và bài toán về đa
thức hai biến.
Với mong muốn cùng chia sẻ, tìm hiểu và khảo sát sâu hơn các đặc trưng đại số và số
học của đa thức hai biến, tôi mạnh dạn viết chuyên đề nhỏ này để bạn bè, đồng nghiệp
tham gia, trao đổi góp phần hoàn thiện hơn về đa thức hai biến.
B - NỘI DUNG
Ta xét hàm số
1. Định nghĩa1:
với
của hai biến số thực
.
là một đa thức hai biến số
sao cho chỉ có hữu hạn số
Tập hợp các đa thức
như trên ký hiệu là
nếu tồn tại họ các số thực
và
và ta có định nghĩa về bậc của
:
2. Định nghĩa 2: Đa thức
đổi khi đổi chỗ và
nghĩa là
3. Định nghĩa 3: Giả sử
;
. Khi đó
được gọi là đối xứng, nếu nó không thay
.
với ít nhất một cặp số
gọi là đa thức thuần nhất bậc nếu
và
.
4. Định lý: Hai khẳng định sau là tương đương
i)
là đa thức thuần nhất bậc
ii) Tồn tại
.
số thực không đồng thời bằng 0
sao cho
;
Chứng minh
dễ thấy
. Ta có
Mà theo giả thiết
.
Với mỗi
cố định, mỗi vế của (1) là các đa thức của biến số
hệ số tương ứng bằng nhau.
ta suy ra các
So sánh hệ số của
(đpcm)
5. Định lý Bơ du cho đa thức thuần nhất.
Giả sử
là đa thức thuần nhất bậc
và
là hai số thực không đồng thời
bằng
thỏa mãn
. Khi đó tồn tại một đa thức thuần nhất bậc
là
sao cho
(nếu
)
Chứng minh
Do vai trò của
là như nhau, giả sử
Chú ý đa thức
là đa thức của biến với bậc nhỏ hơn hoặc bằng . Theo định
lý Bơdu cho đa thức một biến số, tồn tại một đa thức bậc không vượt quá
sao
cho:
.
Mà
Thay vào ta có
với
,
Bài 1: ( IMO -1975)
Cho
1)
tìm tất cả các đa thức
thuần nhất bậc
thỏa mãn.
2)
Giải
Nếu
thì
Nếu
, giả sử
là đa thức thuần nhất bậc
thỏa mãn đề bài. Từ 2) cho
Theo định lý Bơdu đối với đa thức thuần nhất hai biến thì tồn tại đa thức thuần nhất
bậc
thỏa mãn
+)
+)
là đa thức thuần nhất bậc
thỏa mãn điều kiên 1), 2)
Nếu
Nếu
là đa thức thuần nhất bậc
với
và
thỏa mãn 1), 2).
Lập luận tương tự như
ta được
hoặc
Cứ như vậy ta được
Thử lại trực tiếp đk 1), 2) thỏa mãn. Vậy
Ta cũng có
và
mãn điều kiện 1), 2) như
Bài 2 : Tìm tất cả các đa thức
(1)
xác định bởi (1)
. Nhưng
thỏa mãn
không thỏa
Giải
Từ (1) suy ra
là đa thức thỏa mãn đầu bài.
Giả sử
cố định, ta xét đa thức một biến .
Với
nhận một giá trị tại vô số điểm, suy ra
với
Thử lại với
là một đa thức thỏa mãn đề bài do
tùy ý,
Bài 3: (VMO -2011)
Cho
là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức
thể viết dưới dạng
trong đó
với hệ số thực, khác đa thức hằng.
và
không
là các đa thức
Giải
Nhận xét
không thể phân tích được.
thì
Giả sử tồn tại các đa thức
(*).
và
thỏa mãn
, sao cho
, từ giả thiết có
và
Tồn tại
Với
,
cố định ta có
(1)
(2),
trong đó
Thay (1), (2) vào (*)
Hay
(**)
Cho
Nếu
:
(3)
đều lớn hơn 1. Xảy ra các trường hợp sau
và
+) Cả hai đa thức
đều đồng nhất bằng 0, suy ra
và
+) Một trong hai đa thức
và
có bậc
(vô lý)
.
Giả sử
, khi đó bậc của hạng tử cao nhất của đa thức ở vế phải của
(3) là 1, còn vế trái của (3) là
(vô lý).
Do vậy trong hai số
Nếu
phải có 1 số nhỏ hơn hoặc bằng . Giả sử
và
.
từ (3) suy ra
nên
vô lý vì
Nếu
.
từ (3) suy ra
nên
(vì
+)
;
suy ra
quy trên
là đa thức bất khả
(vô lý). Vậy
.
Sử dụng kết quả: Đa thức một biến
Bài 4:
Cho
và
thỏa mãn
.
Chứng minh rằng, tồn tại đa thức
sao cho
Giải
Nếu
Mà
thức hằng, với
với
cố định:
khi đó
và
nên là đa
thỏa mãn đầu bài.
Nếu
. Ta chứng minh bài toán bằng quy nạp theo số bậc của
Giả sử bài toán đúng với mọi đa thức
(nghĩa là
cho
thỏa mãn có đa thức
thì tồn tại đa thức
sao
sao cho
.
Thật vậy, do
tồn tại
sao cho
;
Ta chứng minh
thỏa mãn điều kiện như
+)
Với cố định, ta có
bé hơn bậc
.
trong đó bậc của
theo biến
suy ra
suy ra
chia hết cho
với
mà bậc của
cố định,
nhỏ hơn bậc
theo biến
hay
chia hết
, mà bậc của
theo biến
(
bé hơn bậc
nên
.
+)
suy ra
nên
chia hết
hay
chia hết
Với
cố định, suy ra
chia hết
với
+
thỏa mãn giả thiết quy nạp, suy ra tồn tại
Xét đa thức
mà
xác định
Khi đó
Bài 5: (Chọn đội tuyển VN - 2008)
Hãy xác định tất cả các số nguyên dương
sao cho tồn tại các đa thức với hệ số thực
và
thỏa mãn: Với mọi số thực
mà
thì
Giải
Với
Nếu
Ta tìm
, xét hai trường hợp
chẵn:
;
hoặc
sao cho các đa thức
thỏa mãn hai điều kiện
Xét đa thức một biến
(1)
Giả sử
Từ (1) suy ra
và
Mà
, suy ra
;
(2)
thỏa mãn
. Nhưng theo
. Mâu thuẫn này cho thấy giá trị
trong trường
điều kiện đầu bài thì
có thể
hợp này không thỏa mãn.
Hoặc từ (2) ta có thể suy ra
(vô lý)
nên
chẵn không thỏa mãn đề bài
Nếu
lẻ:
Xác định
thỏa mãn
Đặt
+)
2 (*)
+)
mà m lẻ, suy ra
Từ (*), suy ra
lẻ.
và
Đa thức
, bậc đạt giá trị nhỏ nhất là
,
.
là giá trị thỏa mãn đề bài.
Ta chứng minh
Xét
,
Vậy
.
là giá trị cần tìm.
Bài 6 : Cho đa thức
không phải là đa thức hằng, thỏa mãn
Chứng minh rằng đa thức
;
chia hết cho ít nhất một trong hai đa thức
.
Giải
Nếu
Nếu
thì bài toán luôn đúng.
, giả sử
không chi hết cho
, với
và
(1).
và đa thức
Ta có
(2)
ta được
Từ (2) cho
Giả sử
(3)
thay vào (2) ta được
thì với
(4)
Nếu có
mà
thì từ (4) suy ra
mà
nên
mâu thuẫn với (1)
Nếu
thì
mà
Nên
mâu thuẫn (1)
Chứng tỏ giả sử sai , do đó
Do đó
từ (3) ta được
.
khác đa thức hằng nên
Vì
.
chia hết cho ít nhất một trong hai đa thức
Suy ra
và
Bài 7. Cho
là đa thức hai biến thỏa mãn
minh rằng tồn tại đa thức
sao cho
. Chứng
Giải
+) Ta cố định
, xét đa thức
biến
, hệ số chứa
.
Đặt
)=0
có nghiệm
có nghiệm
là đa thức biến
, hệ số phụ thuộc
Tương tự ta cố định
Xét đa thức
biến
, ở đây
là đa thức biến
, với
hệ số còn chứa
, hệ số phụ thuộc
.
là đa thức của
đúng với vô hạn giá trị
và
đúng
Bài 8. Tìm tất cả các đa thức
thỏa mãn.
sao cho tồn tại tương ứng duy nhất đa thức
là đa thức đối xứng hai biến.
và
Giải:
là đa thức đối xứng hai biến nên
;
Với
thay (1):
Giả sử
So sánh bậc hai vế của (2)
+ Nếu
(1)
(1)
;
(2)
Vậy với
+ Nếu
, mà
.
thì tồn tại duy nhất
thỏa mãn bài toán.
(a là hằng số)
Từ (2) :
(1)
;
Vậy
tồn tại
thỏa mãn bài toán.
+ Nếu
Giả sử
So sánh hệ số lũy thừa cao nhất hai vế của (2) ta được.
hoặc
+) Với
(2)
Vô lý
+)Với
(2)
Đặt
(2)
với
Do
Mà
suy ra
là hàm chẵn.
vì
Với
đã cho tồn tại
chứa toàn bậc chẵn.
thỏa mãn
Xét
+)Với
là đa thức
không duy nhất trong trường hợp này, chẳng hạn
Ta chứng minh
Xét
, trong đó
thỏa
mãn
thì
xác định duy nhất.
Vậy với
thì tồn tại duy nhất
thỏa mãn đề bài.
--------------------C. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nguyễn Văn Mậu, 2004, Đa thức đại số và phân thức hữu tỉ, NXB Giáo dục.
[2]. Nguyễn Sinh Nguyên - Nguyễn Văn Nho - Lê Hoành Phò, 2003, Tuyển tập các
bài dự tuyển Olynpic Toán học quốc tế 1991 - 2001, NXB Giáo dục.
[3]. Tủ sách Toán học và Tuổi trẻ, Các bài thi Olympic Toán trung học phổ thông
(1990 - 2006), NXB Giáo dục.
[4]. Titu Andresscu, Problem from the book, 2007.
[5]. Các nguồn tài liệu từ Internet: www.mathscope.org, www.mathlinks.org,
www.imo.org.yu.
- Xem thêm -