Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Toán học Bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán thpt chuyên đề đa thức hai biến...

Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán thpt chuyên đề đa thức hai biến

.PDF
13
1590
73

Mô tả:

ĐA THỨC HAI BIẾN A - MỞ ĐẦU Đa thức là một nội dung rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông và được bắt đầu giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp trung học cơ sở. Các bài toán về đa thức thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic quốc tế và luôn được đánh giá là bài toán khó. Hiện nay, đa thức đã được trình bày ở mức độ hệ thống, các bài tập về đa thức đã được phân loại và khái quát một cách tương đối chi tiết theo các tiêu chí cụ thể. Tài liệu về đa thức tuy có nhiều nhưng thường chỉ dừng lại ở phân loại theo dạng toán như: Nghiên cứu tính chất về các hệ số của đa thức, tính chất về nghiệm của nó hoặc những bài toán về đa thức nguyên, đa thức bất khả quy. Đa thức hai biến cũng được đề cập, nhưng không có nhiều tài liệu và bài toán về đa thức hai biến. Với mong muốn cùng chia sẻ, tìm hiểu và khảo sát sâu hơn các đặc trưng đại số và số học của đa thức hai biến, tôi mạnh dạn viết chuyên đề nhỏ này để bạn bè, đồng nghiệp tham gia, trao đổi góp phần hoàn thiện hơn về đa thức hai biến. B - NỘI DUNG Ta xét hàm số 1. Định nghĩa1: với của hai biến số thực . là một đa thức hai biến số sao cho chỉ có hữu hạn số Tập hợp các đa thức như trên ký hiệu là nếu tồn tại họ các số thực và và ta có định nghĩa về bậc của : 2. Định nghĩa 2: Đa thức đổi khi đổi chỗ và nghĩa là 3. Định nghĩa 3: Giả sử ; . Khi đó được gọi là đối xứng, nếu nó không thay . với ít nhất một cặp số gọi là đa thức thuần nhất bậc nếu và . 4. Định lý: Hai khẳng định sau là tương đương i) là đa thức thuần nhất bậc ii) Tồn tại . số thực không đồng thời bằng 0 sao cho ; Chứng minh dễ thấy . Ta có Mà theo giả thiết . Với mỗi cố định, mỗi vế của (1) là các đa thức của biến số hệ số tương ứng bằng nhau. ta suy ra các So sánh hệ số của (đpcm) 5. Định lý Bơ du cho đa thức thuần nhất. Giả sử là đa thức thuần nhất bậc và là hai số thực không đồng thời bằng thỏa mãn . Khi đó tồn tại một đa thức thuần nhất bậc là sao cho (nếu ) Chứng minh Do vai trò của là như nhau, giả sử Chú ý đa thức là đa thức của biến với bậc nhỏ hơn hoặc bằng . Theo định lý Bơdu cho đa thức một biến số, tồn tại một đa thức bậc không vượt quá sao cho: . Mà Thay vào ta có với , Bài 1: ( IMO -1975) Cho 1) tìm tất cả các đa thức thuần nhất bậc thỏa mãn. 2) Giải Nếu thì Nếu , giả sử là đa thức thuần nhất bậc thỏa mãn đề bài. Từ 2) cho Theo định lý Bơdu đối với đa thức thuần nhất hai biến thì tồn tại đa thức thuần nhất bậc thỏa mãn +) +) là đa thức thuần nhất bậc thỏa mãn điều kiên 1), 2) Nếu Nếu là đa thức thuần nhất bậc với và thỏa mãn 1), 2). Lập luận tương tự như ta được hoặc Cứ như vậy ta được Thử lại trực tiếp đk 1), 2) thỏa mãn. Vậy Ta cũng có và mãn điều kiện 1), 2) như Bài 2 : Tìm tất cả các đa thức (1) xác định bởi (1) . Nhưng thỏa mãn không thỏa Giải Từ (1) suy ra là đa thức thỏa mãn đầu bài. Giả sử cố định, ta xét đa thức một biến . Với nhận một giá trị tại vô số điểm, suy ra với Thử lại với là một đa thức thỏa mãn đề bài do tùy ý, Bài 3: (VMO -2011) Cho là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức thể viết dưới dạng trong đó với hệ số thực, khác đa thức hằng. và không là các đa thức Giải Nhận xét không thể phân tích được. thì Giả sử tồn tại các đa thức (*). và thỏa mãn , sao cho , từ giả thiết có và Tồn tại Với , cố định ta có (1) (2), trong đó Thay (1), (2) vào (*) Hay (**) Cho Nếu : (3) đều lớn hơn 1. Xảy ra các trường hợp sau và +) Cả hai đa thức đều đồng nhất bằng 0, suy ra và +) Một trong hai đa thức và có bậc (vô lý) . Giả sử , khi đó bậc của hạng tử cao nhất của đa thức ở vế phải của (3) là 1, còn vế trái của (3) là (vô lý). Do vậy trong hai số Nếu phải có 1 số nhỏ hơn hoặc bằng . Giả sử và . từ (3) suy ra nên vô lý vì Nếu . từ (3) suy ra nên (vì +) ; suy ra quy trên là đa thức bất khả (vô lý). Vậy . Sử dụng kết quả: Đa thức một biến Bài 4: Cho và thỏa mãn . Chứng minh rằng, tồn tại đa thức sao cho Giải Nếu Mà thức hằng, với với cố định: khi đó và nên là đa thỏa mãn đầu bài. Nếu . Ta chứng minh bài toán bằng quy nạp theo số bậc của Giả sử bài toán đúng với mọi đa thức (nghĩa là cho thỏa mãn có đa thức thì tồn tại đa thức sao sao cho . Thật vậy, do tồn tại sao cho ; Ta chứng minh thỏa mãn điều kiện như +) Với cố định, ta có bé hơn bậc . trong đó bậc của theo biến suy ra suy ra chia hết cho với mà bậc của cố định, nhỏ hơn bậc theo biến hay chia hết , mà bậc của theo biến ( bé hơn bậc nên . +) suy ra nên chia hết hay chia hết Với cố định, suy ra chia hết với + thỏa mãn giả thiết quy nạp, suy ra tồn tại Xét đa thức mà xác định Khi đó Bài 5: (Chọn đội tuyển VN - 2008) Hãy xác định tất cả các số nguyên dương sao cho tồn tại các đa thức với hệ số thực và thỏa mãn: Với mọi số thực mà thì Giải Với Nếu Ta tìm , xét hai trường hợp chẵn: ; hoặc sao cho các đa thức thỏa mãn hai điều kiện Xét đa thức một biến (1) Giả sử Từ (1) suy ra và Mà , suy ra ; (2) thỏa mãn . Nhưng theo . Mâu thuẫn này cho thấy giá trị trong trường điều kiện đầu bài thì có thể hợp này không thỏa mãn. Hoặc từ (2) ta có thể suy ra (vô lý) nên chẵn không thỏa mãn đề bài Nếu lẻ: Xác định thỏa mãn Đặt +) 2 (*) +) mà m lẻ, suy ra Từ (*), suy ra lẻ. và Đa thức , bậc đạt giá trị nhỏ nhất là , . là giá trị thỏa mãn đề bài. Ta chứng minh Xét , Vậy . là giá trị cần tìm. Bài 6 : Cho đa thức không phải là đa thức hằng, thỏa mãn Chứng minh rằng đa thức ; chia hết cho ít nhất một trong hai đa thức . Giải Nếu Nếu thì bài toán luôn đúng. , giả sử không chi hết cho , với và (1). và đa thức Ta có (2) ta được Từ (2) cho Giả sử (3) thay vào (2) ta được thì với (4) Nếu có mà thì từ (4) suy ra mà nên mâu thuẫn với (1) Nếu thì mà Nên mâu thuẫn (1) Chứng tỏ giả sử sai , do đó Do đó từ (3) ta được . khác đa thức hằng nên Vì . chia hết cho ít nhất một trong hai đa thức Suy ra và Bài 7. Cho là đa thức hai biến thỏa mãn minh rằng tồn tại đa thức sao cho . Chứng Giải +) Ta cố định , xét đa thức biến , hệ số chứa . Đặt )=0 có nghiệm có nghiệm là đa thức biến , hệ số phụ thuộc Tương tự ta cố định Xét đa thức biến , ở đây là đa thức biến , với hệ số còn chứa , hệ số phụ thuộc . là đa thức của đúng với vô hạn giá trị và đúng Bài 8. Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn. sao cho tồn tại tương ứng duy nhất đa thức là đa thức đối xứng hai biến. và Giải: là đa thức đối xứng hai biến nên ; Với thay (1): Giả sử So sánh bậc hai vế của (2) + Nếu (1) (1) ; (2) Vậy với + Nếu , mà . thì tồn tại duy nhất thỏa mãn bài toán. (a là hằng số) Từ (2) : (1) ; Vậy tồn tại thỏa mãn bài toán. + Nếu Giả sử So sánh hệ số lũy thừa cao nhất hai vế của (2) ta được. hoặc +) Với (2) Vô lý +)Với (2) Đặt (2) với Do Mà suy ra là hàm chẵn. vì Với đã cho tồn tại chứa toàn bậc chẵn. thỏa mãn Xét +)Với là đa thức không duy nhất trong trường hợp này, chẳng hạn Ta chứng minh Xét , trong đó thỏa mãn thì xác định duy nhất. Vậy với thì tồn tại duy nhất thỏa mãn đề bài. --------------------C. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Nguyễn Văn Mậu, 2004, Đa thức đại số và phân thức hữu tỉ, NXB Giáo dục. [2]. Nguyễn Sinh Nguyên - Nguyễn Văn Nho - Lê Hoành Phò, 2003, Tuyển tập các bài dự tuyển Olynpic Toán học quốc tế 1991 - 2001, NXB Giáo dục. [3]. Tủ sách Toán học và Tuổi trẻ, Các bài thi Olympic Toán trung học phổ thông (1990 - 2006), NXB Giáo dục. [4]. Titu Andresscu, Problem from the book, 2007. [5]. Các nguồn tài liệu từ Internet: www.mathscope.org, www.mathlinks.org, www.imo.org.yu.
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan