Tài liệu Chuyên đề bất đẳng thức tích phân-nguyễn phú khánh

Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Chöùng minh raèng : 3π π 1 π 1.
∫π 4 dx
2 2 4 4 3 − 2 sin x 3 cot g 1
∫π 3 dx
12 x 3 4 1 π 1 1 3.
∫ 2 dx
6 0 2 6 1− x 2. 1 1 0 1+ x x 4. ln 2 < ∫ π 5. ∫ 1 0 6. dx < π 4 1 π dx
x + x+1 8 2 1 π π x
∫ 5 dx
4 3 0 x +x +x +3 18 9 3 Baøi giaûi : π 3π 1 1 1 1 1.
x
⇒
sin x
1 ⇒
sin 2 x
1 ⇒ 1
2 sin 2 x
2 ⇒ 1
3 − 2 sin 2 x
2 ⇒

1 4 4 2 2 3 − 2 sin 2 x 2 3π 3π 3π 1 3π 1 1 π π dx
∫ π 4 dx ⇒
∫π 4 dx
⇒ ∫π 4 dx
∫π 4 2 2 2 4 4 2 4 3 − 2 sin x 4 4 3 − 2 sin x  1  3
cot gx
1 π cot gx π π 3 cot gx 4 3 π3 4 π3 3 2.
x
⇒  dx dx dx ⇒ ⇒



∫π 4 x 3 π π π ∫π 4 π ∫π 4 4 x 3
1
4  π x π π cot gx 3 1
∫π 3 dx
12 x 3 4 Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm. 1 3. 0
x
< 1 ⇒ 0
x 6
....
x 2 < 1 ⇒ −1
− x 2
− x 6
0 ⇒ 0
1 − x 2
1 − x 6
1 ⇒ 1 − x 2
1 − x 6
1 2 1 1 1 1 1
dx
I ⇒ 1
⇒ ∫ 2 dx
∫ 2 6 2 0 0 1− x 1− x 1 − x6 1 1  π π Vôùi I = ∫ 2 − ;  ⇒ dx = cos tdt dx Ñaët x = sin t ; t ∈   0  2 2 1 - x2 1 1 1 1 x 0 1 1 π cos tdt π 2 dx
⇒I=∫ 2 = ∫ 2 dt = Vaäy
∫ 2 0 0 0 π 6 2 6 t 0 1 − x6 1 − sin 2 t 6 4. 0
x
1 ⇒ x
x
1 ⇒ x 2
x x
x ⇒ 1 + x 2
1 + x x
1 + x 1 1 1 ⇒

( 1) ; ∀x ∈ [ 0,1] x + 1 1 + x x 1 + x2 ⇒ Daáu ñaúng thöùc trong (1) xaûy ra khi : VT(1)
VG(1) x = 0 ⇒ x∈∅  VG(1)
VP(1) x = 1 1 1 dx 1 1 1 1 π dx < ∫ dx < ∫ 2 ⇒ ln 2 < ∫ dx < 0 1+ x 0 0 x +1 0 4 1+ x x 1+ x x 1 1 π Chuù yù : ∫ dx = Xem baøi taäp 5 . 0 1 + x2 4 Do ñoù : ∫ 1 1 Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt 5. Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 0
x
1 ⇒ x 2
x ⇒ x2 + x2
x 2 + x ⇒ 2 + 2 x 2
x2 + x + 2 ⇒ 1 1
2 x + x + 2 2( x + 1) 2 1 1 1 1 1 1 dx
∫ 2 dx ; I = ∫ dx 0 x + x+2 0 0 2 x +1 1 + x2 1 dt = (1 + tg 2 t)dt Ñaët x = tgt ⇒ dx = cos 2 t π 1 + tg 2 t π 1 x 0 1 π π 1 π Vaäy ∫ 2 ⇒I=∫ 4 dx
dt = ∫ 4 dt = ⇒ I = 2 0 1 + tg t 0 0 x + x+2 π 4 4 8 0 t 4  0
x 5
x 3 ⇒ 0
x5 + x 4
2 x 3 ⇒ x3 + 3
x 5 + x4 + x3 + 3
3 x 3 + 3 6. 0
x
1 ⇒  4 3 0

x x  ⇒∫ ⇒ 1 2 1 1 1 x x x ⇒ 3
5
3
5
3 4 3 4 3 3x + 3 x + x + x + 3 x + 3 3x + 3 x + x + x + 3 x + 3 3 1 1 x x x dx
∫ 5 dx
∫ 3 dx ( 1 ) 4 3 0 3x + 3 0 x + x + x +3 0 x +3 ⇒∫ 1 3 x 0 1 1 1 x x = dx dx ; Ñaë t x = t 2 ;( t  0) ⇒ dx = 2 tdt 3 ∫ 0 3 x3 + 3 0 3 x +1 t 0 1 2 1 1 1 1 2t 2 3 t . dt t 0 1 2 du π I1 = ∫ 6 dt = ∫ 3 2 Ñaët u = t 3 ⇒ du = 3t 2 dt ⇒ I1 = ∫ 2 = 0 0 0 3 t +1 9 (t ) + 1 0 1 9 u + 1 18 u π Keát quaû : I = (baøi taäp 5) 4 1 1 x π x °I2 = ∫ 3 = (töông töï) Vaäy (1) ⇔ I1
∫ 5 dx
I2 4 0 x +3 0 x + x + x3 + 3 9 3 ° I1 = ∫ 1 1 π π x
∫ 5 dx
4 3 0 18 x + x + x +3 9 3 1,Chöùng minh raèng : ∫ π 0 2.Neáu : I ( t ) = ∫ t 0 2 sin x .cos x (1 + sin x ) (1 + cos x ) 4 4 dx  π 12 2 tg 3t + 3 tgt tg 4 x  π  π ) ( dx > 0 , ∀t ∈  0 ,  ; thì : tg  t +  > e 3 cos 2 x 4  4  Baøi giaûi : 1. Ta coù : ⇒ 3 2 + cos2 x + sin2 x 2 + sin 4 x + cos 4 x =  (1 + sin 4 x)(1 + cos4 x) (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 3 1 + sin 4 x + 1 + cos 4 x 1 1  = + 4 4 4 4 4 (1 + sin x)(1 + cos x) (1 + sin x)(1 + cos x) 1 + sin x 1 + cos 4 x 2 Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt ⇒ Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 3 sin x. cos x sin x. cos x sin x. cos x sin x. cos x 1  sin 2 x sin 2 x   + ⇒   +  4 4 4 4 4 4 4 (1 + sin x)(1 + cos x) 1 + sin x 1 + cos x (1 + sin x)(1 + cos x) 6  1 + sin x 1 + cos 4 x  π 3 sin x. cos x 1  π 2 sin 2 x sin 2 x  2  + dx dx dx   4 4 ∫ ∫ 0 0 0 (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x ) 6 1 + sin x 1 + cos x  π sin 2 x °J1 = ∫ 2 dx Ñaë t t = sin 2 x ⇒ dt = sin 2 xdx 0 1 + sin 4 x π 0 x 2 ⇒ J = 1 dt = π (keát quaû I= π baøi taäp 5) 1 ∫0 t 2 + 1 4 0 1 t 4 π sin 2 x °J2 = ∫ 2 dx Ñaë t u = cos 2 x ⇒ du = − sin 2 xdx 0 1 + cos 4 x π x 0 1 du π π 2 ⇒ J2 = ∫ 2 = (keát quaû I= baøi taäp 5) 0 u u +1 4 1 0 4 π π sin x. cos x 1 sin x. cos x π ⇒∫ 2 dx  ( I + J ) Vaäy ∫ 2 dx  4 4 0 0 (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 6 (1 + sin x)(1 + cos x) 12 dt 2. Ñaët t = tgx ⇒ dt = (1 + tg 2 x) dx ⇒ dx = 1 + t2 ⇒∫ π 2 tgt tgt t 4 tgt t 4 dt tgt  2 dt 1   1 3 1 t-1  1 3 1 tgt - 1 I =∫ t 0 1 - t 2 . 1 + t 2 = ∫0 1 - t 2 = ∫0  -t - 1 + 1 - t 2 dt =  - 3 t - t - 2 ln t + 1  0 = - 3 tg t - tgt - 2 ln tgt + 1 1 + t2 Vì 1 1 tgt - 1 I > 0 neân : - tg 3 t - tgt - ln >0 (t) 3 2 tgt + 1 3  tg t + 3 tgt  1 tgt − 1 1 π 1 π    ⇔ ln = ln tg  t +  > tg 3 t + tgt ⇒ tg  t +  > e 3  2 tgt + 1 2 4 3 4   1 1 1 x2 Chöùng minh : vaø lim In dx = 0 ≤ ∫ In dx ≤ 1. I n = 0 n→+∞ 2( n + 1) n+1 x +1 1 2 vaø lim J n dx = 0 2. J n = x n ( 1 + e-x ) Chöùng minh : 0 < ∫ J n dx
0 n→+∞ n +1 Baøi giaûi : n 1 x 1 xn xn 1 1 1 1 1. 0
x
1 ⇒ 1
x + 1
2 ⇒

1 ;

x n ⇒ ∫ x n dx
∫ dx
∫ x n dx 0 0 0 2 x +1 x +1 x +1 2 2 2 1 1 n n 1 x 1 x x n+1 x n+1 1 1 ⇒
∫ dx
⇒
∫ dx
0 x +1 0 x +1 n +1 0 2 ( n +1) n +1 2 ( n + 1) 0 3  Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt 1  =0  nlim →∞ 2 ( n + 1) Ta coù :   lim 1 = 0  n→∞ n + 1 ⇒ lim Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân xn n→∞ x + 1 =0 2. 0
x
1 ⇒ 0
e − x
e 0 = 1 ⇒ 1
1 + e − x
2 ⇒ x n
x n (1 + e − x )
2. x n hay 0
x n (1 + e − x )
2 x n ⇒ 0
∫ x n (1 + e − x ) dx
2∫ x ndx ⇒ 0
∫ x n (1 + e − x ) dx
1 1 1 0 0 0 Ta coù : lim 2 ⇒ lim xn (1 + e− x ) dx = 0 =0 n→∞ n + 1 2 n +1 n→∞ Chöùng minh raèng : π 1. ∫ π cos x(4 − 3 cos x)(2 cos x + 2)dx ≤ 8π - 2 π 3. ∫π 2. ∫ 2 3 sin x(1 + 2 sin x )(5 − 3 sin x)dx < 4 π 5. ∫ sin 4 x. cos6 xdx ≤ 0 2π 3 4. ∫ 2 ln x(9 − 3 ln x − 2 ln x)dx ≤ 8(e − 1) 1 π 0 4 tgx(7 − 4 tgx)dx ≤ 49π 64 243π 6250 Baøi giaûi : Ñaët f(x) = cosx(4 - 3 cosx )(2 cosx + 2) 3  cos x + 4 − 3 cos x + 2 cos x + 2   = 8 f(x)
   3  cauchy ⇒∫ π −π 2 2 f(x)dx
8∫ π −π 2 2 dx ⇒ ∫ π −π 2 cos x(4 − 3 cos x )(2 cos x + 2)dx
8π 2 2. Ñaët f ( x) = ln x (9 − 3 ln x − 2 ln x) = ln x (3 + ln x )(3 − 2 ln x ) 3  ln x + 3 + ln x + 3 − 2 ln x   = 8 f ( x)
   3  ⇒∫ 1 e e f ( x) dx
8∫ dx ⇒ ∫ 1 e 1 ln x (9 − 3 ln x − 2 ln x) dx
8( e −1) 3 3. Ñaët f ( x) = sin x (1 + 2 sin x)(5 − 3 sin x )  sin x + 1 + 2 sin x + 5 − 3 sin x  
8 ; f(x)
   3   sin x = 1 + 2 sin x  sin x = −1 Ñaúng thöùc ⇔  ⇔ x∈∅ ⇔  4 sin x = 5  sin x = 5 − 3 sin x ⇒ f(x) < 8 ⇒ ∫ π π 4 3 f(x)dx < 8∫ π π 4 3 dx ⇒∫ π π 3 sin x(1 + 2 sin x )(5 − 3 sin x)dx < 4 1 4. Ñaët f(x) = tgx(7 − 4 tgx) = .4 tgx( 7 − 4 tgx) 4 4 2π 3 Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 2 1  4 tgx + 7 − 4 tgx  49 f ( x) ≤   =  4 2 16  ∏ ∏ 49 ∏ 4 49 ∏ 4 ⇒ ∫ 4 f ( x ) dx
⇒ dx tgx 7 − 4 tgx dx
∫ ∫ 0 0 16 0 16 ( ) 5. sin 4 x.cos 6 x = (1 − cos 2 x).(1 − cos 2 x).cos 2 x . cos 2 x . cos 2 x = 1 (2 − 2 cos 2 x)(1 − cos 2 x).cos 2 x.cos 2 x.cos 2 x 2 1  2 − 2 cos 2 x + 1 − cos 2 x + cos 2 x + cos 2 x + cos 2 x  ≤   2 5  ∏ 243 243 ∏ ⇒ sin 4 x.cos 6 x ≤ ⇒ ∫ sin 4 x.cos 6 xdx ≤ 0 6250 6250 5 Chöùng minh raèng : 1. ∫ ∏ 2 −∏ 3 2. ∫ e 1 3. − ( ) ( cos 2 x + 3sin 2 x + sin 2 x + 3cos 2 x dx
) 5∏ 2 3 3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x dx
4 ( e − 1) ∏
4 ∫ 3 cos x + sin x ∏ dx
2 4 x +4 Baøi giaûi : 1. Ñaët f ( x ) = 1 cos 2 x + 3sin 2 x + 1. sin 2 x + 3cos 2 x f 2 ( x )
2 ( cos 2 x + 3sin 2 x + 3cos 2 x + sin 2 x ) ⇒ f ( x )
2 2 ∏ ∏ ∏ − − − ⇒ ∫ ∏2 f ( x ) dx
2 2 ∫ ∏2 dx ⇒ ∫ ∏2 3 3 3 ( ) cos 2 x + 3sin 2 x + sin 2 x + 3cos 2 x dx
2. Ñaët f ( x ) = 1 3 + 2 ln 2 x + 1 5 − 2 ln 2 x f ( x ) 2 ≤ 2 ( 3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x ) ⇒ f ( x ) ≤ 4 e e e ⇒ ∫ f ( x ) dx
4 ∫ dx ⇒ ∫ 3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x dx ≤ 4 ( e − 1) 1 1 1 ( ) 3. 3 cos x + sin x ≤ ( 3)2 + 1 ( cos 2 x + sin 2 x ) ⇒ 3 cos x + sin x x +4 2 ≤ 2 2 ⇒ ∫0 x2 + 4 3 cos x + sin x x +4 2 ≤ 2∫ 2 0 5 dx x +4 2 5∏ 2 3 Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Ñaët x = 2tgt ⇒ dx = 2 (1 + tg 2 t ) dt x 0 t 0 ⇒∫ 2 0 1 ∏ 4 ⇒∫ 2 0 3 cos x + sin x dx
x +4 2 ∏ 2 (1 + tg 2t ) ∏ dx 1 ∏4 =∫ 4 = dt dt = 2 ∫ 2 0 0 2 8 x +4 4 (1 + tg t ) 2 3 cos x + sin x ∏ ∏ ∏ ⇒−
∫ dx
2 0 4 4 x +4 4 ÑAÙNH GIAÙ TÍCH PHAÂN DÖÏA VAØO TAÄP GIAÙ TRÒ CUÛA HAØM DÖÔÙI DAÁU TÍCH PHAÂN Chöùng minh raèng : 1.∫ ∏ 4 0 2.∫ 2 3.∫ 2 1 ∏ sin 2 xdx
2∫ 0 sin xdx 5. ∫ (ln x) 2 dx < ∫ ln xdx 2 6. ∫ ∏ 0 Baøi giaûi :  ∏  0 ≤ sin x ≤ 1 1.∀x ∈  0;  ⇒  ⇒ 2sin x.cos x ≤ 2 cos x  4  0 ≤ cos x ≤ 1 ∏ 0 2 1 2x − 1 x −1 dx < ∫ dx 1 x x +1 ⇒∫ 2 0 2 ⇔ sin 2 x ≤ 2 cos x ∏ sin x sin x dx > ∫∏ dx x x 2 4..∫ ∏ 2 ∏ cos xdx 4 0 ∏ 0 sin 2 xdx ≤ 2∫ 4 sin 2 xdx ≤ 2 ∫ ∏ 0 4 cos xdx 6 1 4 sin xdx < ∫ ∏ 0 4 cos xdx Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt  ∏  cos x ≤ 1 2. ∀x ∈  0;  ⇒   2  0 ≤ sin x ⇔ sin 2 x ≤ 2sin x ⇒ ∫ ∏ 0 2 Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân ⇒ 2 sin 2 x.cos x ≤ 2sin x sin 2 xdx ≤ 2 ∫ ∏ 0 2 sin xdx x -1 2 x − 1 −x 2 + x − 1 − = <0 x x +1 x ( x + 1) 2 x −1 2 2 x −1 x −1 2x −1 ⇒ < ⇒∫ dx < ∫ dx 1 1 x x +1 x x +1 3. ∀x ∈ [ 1;2  ] Xeùt hieäu : ⇒ dx = -du 4. Ñaët x = ∏ -u ∏ ∏ ∏ x ∏ sin x 0 sin(∏−u) 2 sin x 2 (−du) = ∫ ⇒ ∫∏ dx = ∫∏ dx 0 ∏ ∏−u ∏−x 2 2 x 0 u 2 ∏ 1 1 < 0 < x < ⇒ 0 < x < ∏−x ⇒ ∏−x x 2 ∏ ∏ sin x sin x 2 sin x 2 sin x Vì : sin x > 0 ⇒ dx < ∫ dx < ⇒∫ 0 ∏ ∏−x x ∏−x x ∏ ∏ sin x 2 sin x ⇒∫ dx > ∫∏ dx 0 x x 2 5. Haøm soá y = f(x) = lnx lieân tuïc treân [1,2] neân y = g(x) = (lnx)2 cuõng lieân tuïc treân [1,2] 1
x
2 ⇒ 0
ln x
ln 2 < 1 (*) ⇒ 0
(ln x )2 < ln x 2 2  ] ⇒ ∫ (ln x )2 dx < ∫ ln xdx ∀x ∈ [ 1,2 1 1 Chuù yù : daáu ñaúng thöùc (*) xaûy ra taïi x0 = 1⊂ [1,2] ∏ ∏ sin x ⇒ 0 < tgx < tg = 1 ⇔ <1 4 4 cos x 6. 0 < x < ⇔ sin x < cos x ⇔ ∫ ∏ 0 4 sin xdx < ∫ Chöùng minh raèng : 1. 2
∫ 2. 3. 1 2 1
∫ 1 26 3 2 1 1 x8 + 1 0
∫ 0 dx
1 x 25 1 3 x 10 + 1 dx
0 4 cos xdx x.sin x dx
1 − ln 2 0 1 + x .sin x 3 e− x .sin x ∏ 5. 0 < ∫ dx
2 1 12e x +1 x + 4 dx
5  2 0 ∏ 1 26 1 4. ∫ 6. 1 ∏ ∏ 2 dx
∫
0 6 8 4 − x2 − x3 7 Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Baøi Giaûi: 1. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x 2 ≤ 1 ⇒ 4 ≤ x 2 + 4 ≤ 5 ⇒ 2
x 2 + 4 ≤ 5 1 1 0 0 ⇒ 2 ∫ dx ≤ ∫ 1 1 0 0 x 2 + 4 dx ≤ 5 ∫ dx ⇒ 2 ≤ ∫ x 2 + 4 dx ≤ 5 2. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x 8 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ x 8 + 1 ≤ 2 1 ⇒ 0 ≤ x8 + 1 ≤ 2 ⇒ ⇒ 1 ∫ 2 1 0 dx ≤ ∫ 1 0 1 ≤1 x8 + 1 1 1 1 dx dx ≤ ∫ dx ⇒ ≤∫ ≤1 0 0 2 x8 + 1 x8 + 1 2 ≤ 3. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 1
x10 + 1
2 ⇒ 1
3 x10 + 1
3 2 ⇒ ⇒ 1 3 2 1 3
∫ 2 1 0 1 3 x +1 10
1 ⇔ x 25 dx
∫ 1 0 3 x x 25 3 2 25 x +1 10
x 25 3 x +1 10
x 25 1 1 0 26 2 dx
∫ x 25 dx ⇒ 4. Tröôùc heát ta chöùng minh : 3
∫ 1 0 3 x 25 x +1 10 dx
1 26 x sin x x
;(1) ∀x ∈ [ 0,1] . 1 + x sin x 1 + x Giaû söû ta coù : (1). 1 1 1 1 (1) ⇔ 1 −
1− ; ∀x [ 0.1] ⇔  1 + x sin x 1+ x 1 + x sin x 1 + x ⇔ 1 + x  1 + x.sin x ⇔ x (1 − sin x )  0 ñuùng ∀x ∈ [ 0,1] 1 1 x sin x x 1  dx
∫ dx = ∫ 1 −  dx 0 x + x sin x 0 1+ x 0   1 + x  1 x .sin x 1 ⇔∫ dx
( x − ln 1 + x ) = 1 − ln 2 0 0 1 + x sin x 1 x.sin x ⇒∫ dx
1 − ln 2. 0 1 + x .sin x (1) ⇔ Vaäy (1) ñaúng thöùc ñuùng , khi ñoù: ∫ 1 1 1  −x 1 e− x sin x 0 < e = x
  5. x ∈ 1, 3  ⊂ ( 0, ∏ ) ⇒  < e⇒0< 2 e 2 x +1 e ( x + 1) 0 < sin x < 1 3 e − x sin x 3 dx 1 3 dx 1 ⇒0<∫ < = ; = dx I I ∫1 x 2 + 1 1 e ∫1 x 2 + 1 e x2 + 1 1 Ñaët x = tgt ⇒ dx = dt = (1 + tg 2 t )dt 2 cos t 8 Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt x t 1 ∏ 4 ⇒ Ι = ∫∏ ∏ 4 3 e − x sin x ∏ Vaäy 0 < ∫ dx < 2 1 12e x +1 (1 + tg t )dt = 2 ∏ 3 Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 3 4 1 + tg t 2 ∏ ∫∏ 4 dt = t 3 ∏ ∏ 3 4 = ∏ 12 6. 0
x
1 ⇒ 0
x3
x 2 ⇒ − x 2
− x3
0 ⇒ 4 − 2 x 2
4 − x 2 − x3
4 − x 2 ⇒ 4 − 2 x2
4 − x2 − x3
4 − x2 1 1 1 ⇒   2 2 3 4 − 2x 4− x −x 4 − x2 1 1 1 1 1 1 ⇒I =∫ dx 
∫ dx 
∫ dx = J 0 0 0 4 − x2 4 − x2 − x3 4 − 2 x2 Ñaët x = 2sin t ⇒ dx = 2 cos tdt ∏ ∏ x 0 1 2 cos tdt ∏ ⇒I =∫ 6 = ∫ 6 dt = 2 0 0 ∏ 6 t 0 4 − ( 2sin t ) 6 Ñaët x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos tdt x 0 1 ∏ t 0 4 ⇒J =∫ ∏ 0 ⇒ ∏ 4 2 cos tdt 4−2 ( 2 sin t ) 2 2 = 2 4 = 0 ∏ 2 8 1 ∏ ∏ 2 dx ≤∫ ≤ 0 6 8 4 − x 2 − x3 Chöùng minh raèng : 2 1 e −1 1.
∫ e− x dx
1 0 e ∏ 2 ∏ ∏ 2.
∫ 2 esin x dx
e 0 2 2 ∏ ∏ 1 ∏ 6 ≤ ∫ 2 1 + sin 2 x .dx ≤ 0 2 2 4 1 1 4. 0.88 < ∫ dx < 1 0 1 + x4 3. Baøi giaûi : 9 Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1.°0
x
1 ⇒ 0
x 2
x
1 ⇒ 0 < e x
e x 2 1 1 ⇒ x2  x ⇔ e− x  e− x (1) e e 2 °x 2  0 ⇒ e x  e0 = 1 ⇒ e− x
1( 2 ) 2 2 Töø (1) vaø (2) suy ra : e − x
e− x
1 1 1 1 1 2 2 2 e −1 ⇒ ∫ e − x dx
∫ e− x dx
∫ dx ⇒
∫ e− x dx
1 0 0 0 0 e 2 2 2. 0
sin 2 x
1 ⇒ 1
esin x
e ⇒∫ ∏ 2 0 dx
∫ ∏ 2 0 esin x dx
e.∫ 2 ∏ 2 0 dx ⇒ ∏ 2 ∏ ∏
∫ 2 esin x dx
e 0 2 2 1 1 1 3 3. 0
sin 2 x
1 ⇒ 0
sin 2 x
⇒ 1
1 + sin 2 x
2 2 2 2 ⇒∫ ∏ 2 0 dx
∫ ∏ 2 0 ∏ ∏ ∏ 6 1 3 ∏2 1 dx ⇒
∫ 2 1 + sin 2 x .dx
1 + sin 2 x dx
∫ 0 0 2 2 2 2 4 4. Caùch 1: ∀x ∈ ( 0,1) thì x 4 < x 2 ⇒ 1 + x 4 < 1 + x 2 ⇒ ⇒∫ 1 1 0 1 + x4 dx > ∫ 1 1 0 1 + x2 Vaäy : 0,88 < ∫ 1 1 0 1 + x4 1+ x 1 dx = ln x + 1 + x 2 1+ x 4 <1⇒ ∫ 1 1 0 4 1 > 1 + x2 ( ) = ln 1 + 2 > 0,88 0 1 Maët khaùc : 1 + x 4 > 1 ⇒ 1 1 + x4 dx < 1 dx < 1 Chuù yù : hoïc sinh töï chöùng minh ∫ 1 a +x 2 2 dx = ln x + x 2 + a 2 + C baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn . Caùch 2 : x ∈ ( 0,1) ⇒ x 4 < x 2 ⇒ 1+ x 4 < 1 + x 2 ⇒ 1 1+ x > 4 Vôùi : I = ∫ 1 0 1 1+ x 1 1 + x2 Ñaët x = tgt ⇒ dx = 2 ⇒∫ 1 0 1 1 + x4 dx > I dx 1 dt = (1 + tg 2t ) dt cos 2 10 Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt x 0 t 0 I =∫ ∏ 4 0 (1 + tg t ) dt = I =∫ ∫ (1 + tg t ) I =∫ ∏ 4 0 4 0 2 1 dt cos t cos t dt 1 − sin 2 t 2 0 2 ∏ 1 ∏ 4 Ñaët u = sin t ⇒ du = cos tdt 1 Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 du = ∫ 2 1− u 2 0 1 2 t 0 ∏ u 0 1 1− u + u +1 1 du = ∫ 2 0 (1 − u )(1 + u ) 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ u du + ∫ 2 du = ln = ∫ 2 0 0 2 1+ u 2 1− u 2 1− u 2 1   1 +  du  1+ u 1− u  1 2 0 1 2+ 2 1 ln > 0,88 ⇒ ∫ dx > 0,88 0 2 2− 2 1 + x4 1 Maët khaùc :1 + x 4 > 1 ⇒ <1 1 + x4 1 1 1 ⇒∫ dx < ∫ dx = 1 ( 2 ) 0 0 1 + x4 1 1 dx < 1 Töø (1) vaø (2) suy ra : 0.88 < ∫ 0 1 + x4 1 I= Chöùng minh raèng : ∏2 1. 0 < ∫ x tgx dx < 0 32 1 cos nx 2. ∫ dx
ln 2 0 1+ x ∏ 4. 4 3. 3 ∫ 1 ∫ 3 1 e− x cos x ∏ dx < 2 1+ x 12e cos x 1 dx
100 ∏ x 200 ∏ 1 1  1  1  ex e  dx

6. 1 −  1 − n −1  n n −1  ∫ 0 n −1  2  n −1  2  (1 + x ) 5. ∫ e− x .sin x ∏ dx < 2 1+ x 12e 200 ∏ Baøi giaûi : ∏ ⇒ 0
tgx
1 ⇒ 0
tgx
1 ⇒ 0
x tgx
x 4 ∏ Xeùt : 0 < α < x < β < ta coù : 4 0 < tgx < 1  ⇒ 0 < x tgx
x ∏ 0< x<  4 1. 0
x
I =∫ ∏ 0 4 α β 0 α x tgx dx = ∫ x tgx dx + ∫ x tgx dx + ∫ ∏ β 4 x tgx dx 11 Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân Ta coù : α α  0
∫ x tgx dx
∫ xdx  0 0 ∏ ∏  β β 0 < ∫ x tgx dx < ∫ xdx  ⇒ 0
∫ 4 x tgx dx < ∫ 4 xdx 0 0 α α  ∏ ∏ 0
∫ 4 x tgx dx
∫ 4 xdx   β β ∏ ∏2 ⇒ 0 < ∫ 4 x tgx dx < 0 32 Chuù yù : (α , β ) ⊂ [ a, b ] thì b ∫ a α β b b α β f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f( x ) dx Tuy nhieân neáu : m
f( x )
M thì : b b b b a a a a m ∫ dx
∫ f( x ) dx
M ∫ dx ⇒ m ( b − a )
∫ f( x ) dx
M ( b − a ) Nhöng (α , β ) ⊂ [ a, b ] thì m ∫ dx < ∫ f( x ) dx < M ∫ f( x ) dx b b b a a a (Ñaây laø phaàn maéc phaûi sai laàm phoå bieán nhaát )Do chöa hieåu heát yù nghóa haøm soá f( x ) chöùa (α , β ) lieân tuïc [ a, b ] maø (α , β ) ⊂ [ a, b ] ) 2. 1 cos nx 1 cos nx 1 1 1 cos nx = = + = ln 2 dx dx dx x

ln 1 ∫0 1 + x ∫0 1 + x ∫0 1 + x ∫0 1 + x 0 ⇒ ∫ 1 cos nx dx
ln 2 0 1+ x 1 e − x
e −1 = 1 e 3. 1
x
3 ⇒   sin x
1 ⇒ ⇒ ∫ 3 ∫ 3 1 1 1 −x 3 e .sin x 3 e− x .sin x dx dx

∫ 1 + x 2 ∫1 1 + ex2 dx 1 + x2 e− x .sin x 1 dx
.I 2 1+ x e vôùi I = ∫ 3 1 1 dx 1 + x2 Ñaët x = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2t ) dt x 1 ∏ 3 ⇒ Ι = ∫∏ (1 + tg t )dt = 2 ∏ 3 ∫ ∏ 3 dt = ∏ 12 ∏ 4 1 + tg t 4 4 3 −x 3 e .sin x ∏ ⇒ ∫ dx
(*) (Caùch 2 xem baøi 4 döôùi ñaây ) 1 1+ x 12e t 2 ∏ Ñaúng thöùc xaûy ra khi : 12 Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân  e − x = e −1 x = 1 ⇔ ⇒ x ∈ ∅, ∀x ∈ 1, 3   sin = 1 x sin = 1 x   −x 3 e .sin x ∏ Vaäy : ∫ dx < 2 1 1+ x 12e Xem laïi chuù yù treân , ñaây laø phaàn sai laàm thöôøng maéc phaûi khoâng ít ngöôøi ñaõ voäi keát luaän ñaúng thöùc (*) ñuùng . Thaät voâ lyù 4. ∫ 1 3 −x −x 3 e 3 e e− x cos x cos x dx
dx
∫1 1 + x 2 ∫1 1 + x 2 dx 1 + x2 Do y = e− x giaûm ⇒ max ( e− x ) = e −1 = 1 e −x 3 e 3 cos x 1 1 ∏ ⇒ ∫ dx
∫ dx = 2 2 1 1 e 1+ x 1+ x 12e Daáu ñaúng thöùc : e− x = e −1 x = 1 ⇔  cos x = 1 cos x = 1 Vaäy ∫ 3 1 ;do I baøi 3 ⇔ x ∈ ∅, ∀x ∈ 1, 3  e − x cos x ∏ dx < 2 1+ x 12e u = 1 du = − 1 x 2 dx x 5. Ñaët  ⇒ v = sin x dv = cos xdx 200 ∏ 200 ∏ cos x 200 ∏ sin x 1 ⇒∫ +∫ dx = sin x dx 100 ∏ 100 ∏ x x x2 100 ∏ 200 ∏ 200 ∏ 1 cos x 1 1 = dx
∫ dx = − 2 100 ∏ 100 ∏ x x x 100 ∏ 200 ∏ 200 ∏ cos x 1 Vaäy ∫ dx
100 ∏ x 200 ∏ Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöong phaùp ñaïo haøm . ⇒∫ 200 ∏ 13 Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt 6. 0
x
1 ⇒ 1
e x
e ⇒ ⇒∫ 1 1 0 (1 + x ) n 1 ex 0 (1 + x ) dx
∫ 1− n 1 ( x + 1) ⇔ ex 0 (1 + x )
∫ 1− n Vaäy : 1 0 n 1 (1 + x ) n dx
e ∫
ex (1 + x ) 1 1 0 Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân (1 + x ) n n
e (1 + x ) n dx 1− n 1 n ( x + 1) dx
e. 1− n 0 1 1  1  e e  1  dx
1 − n −1 
∫0 1 − n −1  ; n > 1 n n −1  2  n −1 2  (1 + x ) x Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp nhò thöùc Newton . Chöùng minh raèng : neáu f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá lieân tuïc vaø x xaùc ñònh treân [a,b] , thì ta coù : (∫ b a ) 2 b b a a f ( x ) .g( x ) .dx
∫ f 2( x ) dx . ∫ g 2( x ) dx Caùch 1 : Cho caùc soá α1 , tuyø yù i ∈ 1, n ta coù : ( (α 2 1 ) + α 2 2 + ... + α 2 n )( β 21 + β 2 2 + ... + β 2 n )  (α1β1 + α 2 β 2 + ... + α n β n ) (1) Ñaúng thöùc (1) xaûy ra khi : α α1 α 2 = = ... n β1 β 2 βn Thaät vaäy : phaân hoaïch [a,b] thaønh n ñoaïn nhoû baèng nhau bôûi caùc ñieåm chia : a = x0 < x1 < x2 < …. 0 ⇔ ∆ 'h
0  ∆ h
0 2 b b b ⇔  ∫ f ( x).g ( x)dx  − ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx ≤ 0 a a  a  ⇒ (∫ b a ) 2 b b a a f ( x).g ( x)dx
∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx Chöùng minh raèng : 1. ∫ 1 5 2 3∏ dx > 2 0 1 2. ∫ esin 2 x 0 Baøi giaûi : 1. Ta coù : ⇒ 3. e x − 1 < ∫ 1 + x3 dx < ∫ b a (∫ b a 0 4. ) 2 ∫ b 0 1 1 0 0 a (1 + x ) 0 0 2 x a ∫ b a x 1  − 1)  e x −  2  g 2 ( x)dx dx = ∫ (1 − x + x ) 2 (1 − x + x ) dx < ∫ (1 + x ) dx ∫ ( x 2 1 1 0 0 1 5 2 1 ⇒ ∫ 1 + x3 dx < ∏ a (e 3cos x − 4sin x 5∏ dx
2 1+ x 4  x3 x 2  5  − + x = 2  3  2  0  x2  1 + x3 dx <  + x   2 0 2. ∫ esin b f 2 ( x)dx . 1 ∫ 0 b (1 + x ) . (1 − x + x 2 ) = (1 + x ) . ⇒ ∫ 1 + x3 dx = ∫ 1 ∫ 1 e2 t + e− t dt < f ( x).g ( x)dx
∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx ( ñaõ chöùng minh baøi tröôùc ) f ( x).g ( x)dx
1 + x3 = x ∏ 0 2 esin 2 x x Ñaët t = + t ⇒ dx = dt 2 dx + ∫ ∏ 0 x t 2 esin 2 x ∏ 0 dx 2 ∏ ∏ 2 15 2 − x + 1) dx Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt ∏ ⇒ ∫ esin 2 ∏ x 0 =∫ ∏ 2 esin 0 dx = ∫ 2 esin x dx + ∫ 2 0 2 x dx + ∫ ∏  Ta laïi coù  ∫  0 ecos x dx = 2∫ 2 ∏ 2 0 ( sin 2 ∏ + t 2 ) dt 2 esin x dx ∏ sin 2 x cos 2 x    2 edx  =  ∫ 2 e 2 .e dx    0  <∫ ∏ 2 0 ∏ e 0 2 2 2 2 0 ∏ ∏ Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 2 esin x dx . ∫ 2 ∏ 2 0 2 2 ecos x dx 2 ∏ ∏ 2 2    e dx  <  ∫ 2 esin x dx  ⇒ ∫ 2 e dx < ∫ 2 esin x dx 0 0   0  ∏ ∏ 2 1 3  2 ⇒ ∫ esin x dx > =∏ e ; e >  e 0 0 2 2  ∏ 2 3 ⇒ ∫ esin x dx > 0 2 Chuù yù : baøi naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm .  hay  ∫  0 3. ∫ x ∏ 2 x e 2t + e − t dt = ∫ e 0 t et + e−2t dt 2 0 )
∫ e dt ∫ (e + e )dt vi ( ∫ f ( x).g ( x)dx )
∫ f ( x)dx . ∫ g ( x)dx 1 1  1   ⇒ ( ∫ e + e dt )
( e − 1)  e − −  < ( e − 1)  e −  2 e  2   (∫ x 0 t e 2 2 et + e−2t dt t t t 0 2 b b a b 2 a x 2t −t −2 t t 0 2 a 2 x x x ⇒∫ 1 0 x 2x o e 2t + e − t dt
(e x 1  − 1)  e x −  (1) 2  Maët khaùc : e 2t + e − t > et ; ∀0 < t < x ⇒∫ x 0 x e2t + e− t dt > ∫ et dt = e x − 1 (2) 0 Töø (1) vaø (2) suy ra : e x − 1 < ∫ x 0 4. 3cos x − 4sin x 1
2 1+ x 1 + x2 ⇒ ∫ e 2t + e − t dt < (e x 1  − 1)  e x −  2  32 + ( −4 )2  sin 2 x + cos 2 x  = 5  x2 + 1   1 3cos x − 4sin x 1 3cos x − 4sin x 1 dx
∫ dx
5∫ dx 2 2 0 0 0 1+ x 1+ x 1 + x2 1 Ñaët x = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2t ) dt 16 Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 2 1 1 (1 + tg t ) 1 1 1 ∏ dx = ∫ dt = ∫ dt = ⇒∫ 2 2 0 1+ x 0 1 + tg t 0 ∏ 4 0 t 4 1 3cos x − 4sin x 5∏ ⇒ 4. ∫ dx
2 0 1+ x 4 x 0 Chöùng minh baát ñaúng thöùc tích phaân baèng phöông phaùp ñaïo haøm. Chöùng minh raèng : 1. 54 2
∫ 11 −7 ( ) ( 2. 0 < ∫ x (1 − x 2 )dx < 0 Baøi giaûi : 1. Xeùt f ( x ) = x f’(x) f(x) ( 11 − x dx
108 4 27 1 f '( x) = ) x+7 + ) ( x+7 + ∏ ∏ ∏ 2
∫ 4 ( sin x + cos x )dx
0 4 4 e 2 3 ∏ 4. ∫ esin x dx > 0 2 ) 11 − x ; x ∈ [ −7,11] 11 − x − x + 7 ⇒ f '( x) = 0 ⇔ x = 2 2 11 − x x + 7 -7 + 2 0 6 11 - ր ց 3 2 3 2 11 11 11 −7 −7 −7 ⇒ 3 2
f ( x )
6 ⇒ 3 2 ∫ dx
∫ f ( x ) dx
6 ∫ dx ⇒ 54 2
∫ 11 −7 ( ) x + 7 + 11 − x dx
108 2. Xeùt haøm soá : f(x) = x(1-x2) ; ∀x ∈ [ 0,1] ⇒ f ' ( x) = 3x 2 - 4 x + 1 1 ∨ x =1 3 1 1 +∞ 3 0 4 27 ր ց ⇒ f’(x)=0 ⇔ x = x f’(x) f(x) -∞ 0 + 0 0 17 Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt ⇒ 0
f ( x)
( 4 27 )( Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân ) ∃x ∈ 0, 1 ; 1 , 0 ⇒ 0 < f < 4  ( x) 3 3 27 va   f (0) = f (1) = 0 1 1 4 1 4 ⇒ 0 < ∫ f ( x)dx < dx ⇒ 0 < ∫ f ( x)dx < ∫ 0 0 27 0 27 3. Xeùt haøm soá : ∏   ∏ f ( x) = sin x + cos x = 2 sin  x +  ; x ∈ 0,  4   4 ∏   ∏ f ' ( x) = 2 cos  x +   0 , ∀x ∈  0,  4   4  ∏ ⇒ f(x) laø haøm soá taêng ∀x ∈ 0,  ⇒ f ( 0)
f( x )
f ∏ ( 4)  4 ∏ ∏ ∏ 2 ⇒ 1
sin x + cos x
2 ⇒
∫ 4 ( sin x + cos x )dx
0 4 4 4. Nhaän xeùt ∀x > 0 thì e x > 1 + x ( ñaây laø baøi taäp Sgk phaàn chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng pp ñaïo haøm) Xeùt f (t ) = et − 1 − t ; t  0 ⇒ f '(t ) = et − 1 > 0 ; ∀t > 0 ⇒ haøm soá f(t) ñoàng bieán ∀t  0 Vì x > 0 neân f(x) > f(0) = 0 ⇒ e x − 1 − x > 0 ⇔ e x > 1 + x (1) Do vaäy : ∀x ∈ ( 0, ∏ ) thi esin 2 x > 1 + sin 2 x ⇒ ∫ esin x dx > ∫ (1 + sin 2 x )dx = ∏ + ∫ ∏ 2 0 ∏ ⇒ ∫ esin x dx > 0 2 ∏ ∏ 0 0 ( do(1) ) 1 − cos 2 x dx 2 3∏ 2 Chöùng minh raèng : 2 x 2 1 1.
∫ 2 dx
1 x +1 5 2 ∏ 3 sin x 1 dx

∫∏ 3 2. x 4 2 4 3. ∏ ∏ 3 1 2∏ 3 dx

∫ 2 0 3 3 cos x + cos x + 1 ∏ 3 cot gx 1 dx

∫∏ 3 12 x 3 6 1 2 1 1 dx < 5. < ∫ 3 0 2 + x − x2 2 4. 6. 2 4 2 < ∫ 1 −1 Baøi giaûi : 18 ( 4 ) 1 + x + 4 1 − x dx < 4 Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt 1. Xeùt : f ( x ) = x 2 x +1 ; x ∈ [1, 2] . coù f '( x ) = Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 − x2 (1 + x 2 ) 2
0 ; ∀x ∈ [1, 2] ⇒ haøm soá nghòch bieán ∀x ∈ [1, 2] ⇒ f( 2)
f ( x )
f (1) 2 2 x 1 2 2 x 1 2
2
⇒ ∫ dx
∫ 2 dx
∫ dx 1 x +1 5 x +1 2 5 1 2 1 2 x 2 1 ⇒
∫ 2
1 x +1 2 5 ⇒ sin x x.cos x − sin x ∏ ∏ ; ∀x ∈  ;  ⇒ f '( x ) = x x2 6 3 ∏ ∏  Ñaët Z = x.cos x − sin x ⇒ Z ' = − x x < 0 ; ∀x ∈  ;  6 3 2. Xeùt f ( x ) = ∏ ∏  ⇒ Z ñoàng bieán treân ∀x ∈  ;  vaø : 6 3 ∏ −3 3 ∏ ∏ Z
Z∏ = < 0 ; ∀x ∈  ;  ( 3) 6 6 3 ∏ ∏  ⇒ f '( x ) < 0 ; ∀x ∈  ;  6 3 x -∞ f’(x) f(x) ∏ ∏ 6 3 +∞ − ∏ 3 ց 3 3 ⇒ 3 3 3
f( X )
2∏ ∏ hay : ⇒ 2∏ 3 3 sin x 3

2∏ ∏ x ∏ ∏ 3 ∏3 3 3 ∏3 3 1 3 sin x 3 sin x ⇒ dx dx dx dx



∏ ∏ ∏ ∏ ∫ ∫ ∫ ∫ 2∏ 6 4 2 ∏ 6 x x 6 6 3. Ñaët t = cos x ; x ∈ [ 0, ∏ ] ⇒ t ∈ [ −1,1] vaø f (t ) = t 2 + t + 1; t ∈ [ −1,1] 19 Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 2 1 +∞ f '(t ) = 2t + 1; f '( t ) = 0 ⇔ t = − t - ∞ -1 f’(t) f(t) −1 2 0 − 1 ց + 3 ր 3 4 3
f (t )
3 ; ∀t ∈ [ −1,1] 4 3 ⇒
cos 2 x + cos x + 1
3 ; ∀x ∈ [ 0, ∏ ] 4 3 1 2 1 hay
cos 2 x + cos x + 1
3 ⇒

2 3 3 cos 2 x + cos x + 1 ∏ ∏ ∏ 1 1 2 ⇒ dx
∫ dx
∫ ∫ dx 0 0 cos 2 x + cos x + 1 3 3 0 ⇒ ∏ 1 2∏ 3 ∏ 3
∫ dx
2 0 3 3 cos x + cos x + 1 Chuù yù : thöïc chaát baát ñaúng thöùc treân phaûi laø : ∏ ∏ 3 1 2∏ 3 <∫ dx < (hoïc sinh töï giaûi thích vì sao) 2 0 3 3 cos x + cos x + 1 ⇒ cot gx ∏ ∏ ; lieân tuïc ∀x ∈  ;  x 4 3 − ( 2 x + sin 2 x ) ∏ ∏ = < 0 ; ∀x ∈  ;  2 2 2 x sin x 4 3
f( x )
f ∏ 4. f( x ) = coù f '( x ) ⇒ f∏ ( 3) ∏ ∏  ⇒ f(x) :nghòch bieán treân  ;  4 3 ( 4) ⇒ ∏ 3 cot gx 4 3 ∏3 4 ∏3 3 cot gx

⇒ dx
dx
dx ∫∏ 4 x ∏ ∏ ∏ ∫∏ 4 ∏ ∫∏ 4 x ⇒ ∏ 3 cot gx 1 dx

∫∏ 3 12 3 x 4 5. f( x ) = 2 + x − x 2 ; ∀x ∈ [ 0,1] coù f’(x)=1- 2x ⇒ f '( x ) = 0 ⇔ x = 1 2 x 1 -∞ 0 2 1 +∞ 20