Tài liệu Chuyên đề khảo sát hàm số-ttlt vĩnh viễn

TTLT ĐH VĨNH VIỄN  Chuyeân ñeà 1: KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ  Vaán ñeà 1: GIÔÙI HAÏN CUÛA HAØM SOÁ A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI 0  ; ;    ; .0 . 0  1/ Moät soá daïng voâ ñònh thöôøng gaëp: Chuù yù: Caùc tröôøng hôïp sau khoâng phaûi laø daïng voâ ñònh (+) + (+) = +   (+) – (–) = + a   (a  0) 0   (–) + (–) = – a  0 (a  0)   a.   (a  0) 2/ Khöû daïng voâ ñònh  Haøm soá coù chöùa caên: Nhaân vaø chia vôùi bieáu thöùc lieân hôïp.  Haøm soá coù chöùa löôïng giaùc: Bieán ñoåi ñeå söû duïng ba giôùi haïn quen thuoäc sin x 1 x 0 x tan x 1 x 0 x , lim , lim lim x 0 1  cos x x 2  1 2 0  Daïng voâ ñònh khi x  a: Phaân tích töû soá vaø maãu soá ñeå coù (x – a) laøm 0 nhaân töû chung.  Daïng voâ ñònh  : Ñaët soá haïng baäc cao nhaát cuûa töû soá vaø maãu soá laøm thöøa  soá chung.  Daïng voâ ñònh    , .0 : Bieán ñoåi ñöa veà daïng 0  hoaëc . 0  B. ÑEÀ THI Baøi 1: Tìm giôùi haïn I  lim x 0 x 1  3 x 1 . x Giaûi Giôùi haïn I coù daïng voâ ñònh Ta coù: I  lim x 0 I1  lim x 0 0 . 0  x  1  1 3 x  1  1 x  1 1 1 3 x 1 = lim  +  x 0  x x x   x 1 1  lim x 0 x    x 1 1 x 1 1   x x 1 1 3 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –  lim x 0 x I2  lim  3 x 11  x 1 1 1  lim x 1 1 x 0 x 1 1  lim x 0 x 1 2   3 x  1  1  3  x  12  3 x  1  1 2   x  3  x  1  3 x  1  1   1 x 1 1 1  lim  lim  x 0  3 2  x 0 3 x  1 2  3 x  1  1 3   x   x  1  3 x  1  1   1 1 5 Vaäy I = I1 + I2 =   . 2 3 6 x 0 Baøi 2: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 Tìm giôùi haïn I = lim 3 x 0 3x2  1  2x2  1 . 1  cos x Giaûi Giôùi haïn I coù daïng voâ ñònh  Ta coù I  lim 3  3x2  1  1  x 0 I1  lim x 0 3 0 . 0 2sin2   lim  2x2  1  1 x 2 3x2  1  1 2x2  1  1    x x  x 0  2sin2 2sin2  2 2  3 3x2  1  1 3x2  1  1  lim 2 x 0 x    3 3x2  1  1 2 x 3 2 2sin2 2sin 3x  1    2 2     2  x    1 6  lim .6  2    2 2 x 0 3 3  3x2  1   3 3x2  1  1  sin x     2    2  x    2x 1 4  lim 4 2    2 .  I2  lim x 0 x  0 x x 2 2 2x  1  1  sin  2sin2  2x2  1  1 2  2  2 Vaäy I = I1 + I2 = 4. Baøi 3: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 Tìm giôùi haïn L = lim x 1 4 x6  6x  5  x  12 . TTLT ĐH VĨNH VIỄN Giaûi Giôùi haïn L coù daïng voâ ñònh Ta coù L = lim x6  6x  5 x1 = lim  x  12 0 . 0  lim  x  1  x5  x4  x3  x2  x  5  x  12 x1  x  12  x4  2x3  3x2  4x  5  x  12 x1   = lim x4  2x3  3x2  4x  5  15 . x1  Vaán ñeà 2: TÍNH CHAÁT ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI 1/ Ñònh nghóa: Haøm soá f xaùc ñònh treân khoaûng (ñoaïn hoaëc nöûa khoaûng) K vaø x1, x2  K.  Haøm soá f goïi laø ñoàng bieán treân K neáu x1 < x2  f(x1) < f(x2).  Haøm soá f goïi laø nghòch bieán treân K neáu x1 < x2  f(x1) > f(x2). Ñònh nghóa naøy keát hôïp vôùi ñònh lyù döôùi ñaây ñöôïc söû duïng ñeå chöùng minh moät baát ñaúng thöùc. 2/ Ñònh lí: Haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng K.  Neáu f'(x) > 0, x  K thì haøm soá f ñoàng bieán treân K.  Neáu f'(x) < 0, x  K thì haøm soá f nghòch bieán treân K. Ñònh lyù naøy thöôøng ñöôïc öùng duïng cho caùc daïng toaùn sau: Daïng 1: Tìm tham soá ñeå haøm soá luoân ñoàng bieán (hoaëc nghòch bieán). Thöôøng söû duïng daáu cuûa tam thöùc baäc hai P(x) = ax2 + bx + c (a  0)   0 a  b  0 * P(x)  0, x  .  hay  a  0 c  0 * P(x)  0, x    0 a  b  0 .  hay  a  0 c  0 Daïng 2: Tìm tham soá ñeå haøm soá ñoàng bieán (hoaëc nghòch bieán) treân khoaûng (a; b). Haøm soá y = f(x, m) ñoàng bieán (hoaëc nghòch bieán) treân khoaûng (a; b)  y'  0 (hoaëc y'  0), x(a; b) vaø daáu "=" xaûy ra ôû höõu haïn ñieåm (*) Thoâng thöôøng ñieàu kieän (*) bieán ñoåi ñöôïc veà moät trong hai daïng: (*) h(m)  g(x), x(a; b)  h(m)  max g(x)  a; b  5 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – (*) h(m)  g(x), x(a; b)  h(m)  min g(x)  a; b  (Xem Vaán ñeà 4: GTNN – GTLN cuûa haøm soá, ñeå xaùc ñònh max g(x)  a; b  vaø min g(x) )  a; b  Daïng 3: Tìm tham soá ñeå phöông trình (heä phöông trình) coù nghieäm. Bieán ñoåi phöông trình ñaõ cho veà daïng g(x) = h(m). Laäp baûng bieán thieân cho haøm soá y = g(x) vaø döïa vaøo baûng bieán thieân naøy ñeå keát luaän. Chuù yù: Neáu baøi toaùn coù ñaët aån soá phuï thì phaûi xaùc ñònh ñieàu kieän cho aån soá phuï ñoù. B. ÑEÀ THI Baøi 1: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2009 Cho a vaø b laø hai soá thöïc thoûa maõn 0 < a < b < 1. Chöùng minh raèng: a2lnb  b2lna > lna  lnb Giaûi Baát ñaúng thöùc ñaõ cho töông ñöông vôùi: ln b ln a  2 (a2 + 1)lnb > (b2 + 1)lna  2 . b 1 a 1 ln x ; 0  x 1 Xeùt haøm soá f(x)  2 x 1  f (x)  x2  1  2x2 ln x x(x2  1)2  0, x  (0; 1)  f đñoàng bieán treân (0; 1) Maët khaùc 0 < a < b < 1 neân: ln b ln a  2 f(b) > f(a)  2 (Ñieàu phaûi chöùng minh). b 1 a 1 Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2008 Tìm caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå phöông trình sau coù ñuùng hai nghieäm thöïc phaân bieät: 4 2x  2x  24 6  x  2 6  x  m Giaûi 4 4 Xeùt haøm soá f(x)  2x  2x  2 6  x  2 6  x .  Taäp xaùc ñònh: D = [0; 6] 1 1 1 1 1 1  f (x)     2 4 (2x)3 2x 2 4 (6  x)3 6x 6 (m  ) TTLT ĐH VĨNH VIỄN 3 3     1 2  1 2  1  1   1            2  4 (2x)   4 (6  x)    4 2x   4 6  x          1 1  1  1 1 1      4 4 4 4  6  x  2  4 (2x)2 2x 6  x 4 (6  x)2  2x   Vì  1 1 1 1   4 4 2  4 (2x)2 2x 6  x 4 (6  x)2  Neân f (x)  0   Baûng bieán thieân: x 0 f'(x) f(x) 2 1 4 2x  1 4 6x 3   1  1 > 0, x  (0; 6)  4 2x 4 6  x   0  4 2x  4 6  x  x  2 2 0 +    1  1 .  4 2x 4 6  x    6 4 4  4  4 6  6 4 12  12 Döïa vaøo baûng bieán thieân ta coù: Phöông trình f(x) = m coù 2 nghieäm phaân bieät 2  4 6 6   m  3 4  4 4 . CAÙCH KHAÙC Ñaët g(u)  4 u  u g/ (u)  3 1 7 3 1  4 1  2 // 3 4 1 2 u  u ; g (u)   u  u  0, u  (0;6) 4 2 16 4 Vaäy g / laø 1 haøm giaûm ( nghieâm caùch ), Ta coù f(x)  g(2x)  2g(6  x) Suy ra f / (x)  2g/ (2x)  2g/ (6  x) Neân) f (x)  0  g/ (2x)  g/ (6  x)  2x  6  x ( do g / giaûm )  x  2 Suy ra f / (x)  2g/ (2x)  2g/ (6  x)  0  2x  6  x  x  2 vaø f / (x)  0  g/ (2x)  g/ (6  x)  2x  6  x (do g / giaûm)  x  2 Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2007 Tìm giaù trò cuûa tham soá m ñeå heä phöông trình sau coù nghieäm thöïc: 1 1  x  x  y  y  5   x3  1  y3  1  15m  10  x3 y3 Giaûi 7 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –  Ñaët x  1 1  u, y   v (Ñk : u  2, v  2). x y  Heä ñaõ cho trôû thaønh: u  v  5 u  v  5     3 3  u  v u2  v2  uv  3(u  v)  15m  10    u  v  3(u  v)  15m  10    u  v  5   2    u  v   u  v   3uv   3(u  v)  15m  10  u  v  5 u  v  5  .   2    uv  8  m 5  5  3uv   3(5)  15m  10   Khi ñoù u, v (neáu coù) seõ laø nghieäm cuûa phöông trình: t2  5t + 8 – m = 0 hay t2  5t + 8 = m (1).  Heä ñaõ cho coù nghieäm khi vaø chæ khi phöông trình (1) coù nghieäm t = t 1, t = t2 thoûa maõn: t1  2, t 2  2 (t1, t2 khoâng nhaát thieát phaân bieät).  Xeùt haøm soá f(t)  t 2  5t  8 vôùi t  2 : Suy ra f'(t) = 2t – 5 vaø f'(t) = 0  t = 5 2 Baûng bieán thieân t  2 2  f'(t) 5/2 0  + f(t) + + + 22 2 7/4  Töø baûng bieán thieân cuûa haøm soá suy ra heä ñaõ cho coù nghieäm khi vaø chæ khi 7  m  2 hoaëc m  22. 4 Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2007 b 1  1    Cho a  b > 0. Chöùng minh raèng:  2a  a    2b  b   2   2  a Giaûi Baát ñaúng thöùc ñaõ cho töông ñöông vôùi: (1  4a )b  (1  4b )a  b ln(1  4a )  a ln(1  4 b )  8 ln(1  4a ) ln(1  4b )  a b TTLT ĐH VĨNH VIỄN Xeùt haøm soá f(x)  ln(1  4x ) vôùi x > 0. x 4x ln 4 x Ta coù: f (x)  1  4  x  ln 1  4x  x2  x.4x ln 4  (1  4x )ln(1  4x ) x2 (1  4x ) 4x  ln 4x  ln(1  4x )  ln(1  4x )    2 x x (1  4 ) Nhaän xeùt :  4x < 1 + 4x  ln 4x  ln(1  4x )  1 + 4x > 1  ln(1  4x )  0 Do ñoù f'(x) < 0, x > 0 Suy ra f(x) nghòch bieán treân khoaûng (0; +). Maët khaùc a  b > 0 neân: f(a)  f(b)  ln(1  4a ) ln(1  4b )  a b (Ñieàu phaûi chöùng minh). Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2007 4 Tìm m ñeå phöông trình sau coù nghieäm thöïc: 3 x  1  m x  1  2 x2  1 Giaûi  Ñieàu kieän: x  1.  Chia hai veá cuûa phöông trình cho 3 x 1 x 1 m2  Ñaët t  4 Vì t  4 4 x2  1 x 1  3 x  1 , phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi x 1 x 1  24 m x 1 x 1 x 1 , khi ñoù phöông trình (1) trôû thaønh 3t2 + 2t = m x 1 (1) (2) x 1 4 2 vaø x  1 neân 0  t < 1  1 x 1 x 1  Xeùt haøm soá f(t) = 3t2 + 2t, vôùi 0  t < 1 Suy ra : f'(t) = – 6t + 2 vaø f'(t) = 0  t = 1 3  Baûng bieán thieân: 9 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 1 3 0 t 1 1 3 f(t) 0 1  Döïa vaøo baûng bieán thieân ta coù: Phöông trình ñaõ cho coù nghieäm  (2) coù nghieäm t  [0; 1)  1  m  1 . 3 Baøi 6: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2007 Chöùng minh raèng vôùi moïi giaù trò döông cuûa tham soá m, phöông trình sau coù hai nghieäm thöïc phaân bieät: x2  2x  8  m(x  2) Giaûi  Ñieàu kieän: m(x – 2)  0  x  2 (Do xeùt m > 0).  Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi 2  x  2 x  4   m  x  2    x  2  x  4   m  x  2  x  2 2   x  2   x  2  x  4   m   0   3  x  6x2  32  m  0  Nhaän xeùt: Phöông trình ñaõ cho luoân coù moät nghieäm döông x = 2, neân töø yeâu caàu baøi toaùn, ta chæ caàn chöùng minh phöông trình: x3 + 6x2 32 = m (1) coù moät nghieäm trong khoaûng (2; +).  Xeùt haøm soá f(x) = x3 + 6x2 32, vôùi x > 2. Ta coù: f'(x) = 3x2 + 12x > 0, x  2 Baûng bieán thieân: x 2 f'(x) f(x) + + + 0  Töø baûng bieán thieân ta thaáy vôùi moïi m > 0, phöông trình (1) luoân coù moät nghieäm trong khoaûng (2; +). Vaäy vôùi moïi m > 0 phöông trình ñaõ cho luoân coù hai nghieäm thöïc phaân bieät. Baøi 7: 10 TTLT ĐH VĨNH VIỄN Xaùc ñònh m ñeå phöông trình sau coù nghieäm. m  1 x 2   1  x2  2  2 1  x 4  1  x2  1  x2 Giaûi  Ñieàu kieän: 1  x  1.  Ñaët t = 1  x2  1  x 2  0  t 2  2  2 1  x 4  2 Ñieàu kieän: 0  t  2  Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh: m (t + 2) = 2  t2 + t  m   Xeùt haøm soá f(t) =  f'(t) = t 2  4t  t  2 2 t 2  t  2 , vôùi 0  t  t2 t 2  t  2 t2 2. , f'(t) = 0  t = 0, t = 4  Baûng bieán thieân t 0 f’(t) 2  f(t) 1 2 1 Töø baûng bieán thieân cuûa haøm soá suy ra phöông trình ñaõ cho coù nghieäm khi vaø chæ khi 2  1  m  1. Baøi 8: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 x2  5x  m2  6 (1) (m laø tham soá) x3 Tìm m ñeå haøm soá (1) ñoàng bieán khoaûng (1; +). Cho haøm soá y  Giaûi Ta coù: y  2 x  6x  9  m 2 (x  3)2  Haøm soá y ñoàng bieán treân (1; +)  y'  0, x  1  x2 + 6x + 9  m2  0, x  1  x2 + 6x + 9  m2, x  1 .  Xeùt haøm soá g(x) = x2 + 6x + 9, x  1 g'(x) = 2x + 6 > 0, x  1 Do ñoù yeâu caàu baøi toaùn töông ñöông vôùi 11 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – min g(x)  m 2  g(1) = 16  m2  4  m  4. x1 Baøi 9: Chöùng minh raèng: ex  cosx  2  x  x2 , x  2 Giaûi Ta chöùng minh hai baát ñaúng thöùc sau: 1/ ex  1  x, x  2/ cosx  1  x2 , x  2  Chöùng minh ex  1  x, x  Xeùt haøm soá f(x) = ex  x  1  f'(x) = ex  1  f'(x) = 0  x = 0 Baûng bieán thieân: x  0 + f'(x)  0 + f(x) 0 Döïa vaøo baûng bieán thieân ta thaáy f(x)  0, x   ex  x  1, x   Chöùng minh: cosx  1  (1) x2 , x  2 Xeùt haøm soá g(x) = cosx  1 + x2 2 Vì g(x) laø haøm soá chaün neân ta chæ caàn xeùt x  0 laø ñuû.  g'(x) = sinx + x  g"(x) = cosx + 1  0  g'(x) ñoàng bieán, x  0  g'(x)  g'(0) = 0, x  0  g(x) ñoàng bieán, x  0  g(x)  0, x  0  cosx + x2 x2  1  0, x  0  cosx  1  ; x  2 2 Töø (1) vaø (2) suy ra ex + cosx  2 + x  12 x2 ; x  2 (2) . TTLT ĐH VĨNH VIỄN Baøi 10: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 Cho haøm soá y = x2  2x  m (1) (m laø tham soá) x2 Xaùc ñònh m ñeå haøm soá (1) nghòch bieán treân ñoaïn [1; 0].  y  x2  4x  4  m  x  2 2  Haøm soá nghòch bieán treân ñoaïn [1; 0]  y'  0, x  [1; 0]  x2 – 4x + 4 – m  0, x  [1; 0]  x2 – 4x + 4  m, x  [1; 0]  Xeùt haøm soá g(x) = x2 – 4x + 4, x  [1; 0]; g'(x) = 2x – 4 Baûng bieán thieân: x  1 0 2 +   g'(x)  0 + g(x) 9 4  Döïa vaøo baûng bieán thieân, suy ra: m  Max f(x)  m  9  1; 0  Baøi 11: CAO ÑAÚNG GTVT III Tìm giaù trò cuûa tham soá m ñeå phöông trình sau coù ñuùng 2 nghieäm döông: x2  4x  5  m  4x  x2 Giaûi x2  Ñaët t  x2  4x  5 , ta coù t   x 0 2 t' t x2  4x  5  vaø t’ = 0  x = 2. + 0 + 5 + 1  Töø baûng bieán thieân suy ra: + Ñieàu kieän cho aån phuï laø: t  1.  + ÖÙng vôùi moät giaù trò t  1;  5 thì cho hai giaù trò x döông.  + ÖÙng vôùi moät giaù trò t   5; + thì cho moät giaù trò x döông.  Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh: m = t2 + t  5 (1).  Xeùt haøm soá f(t) = t2 + t  5 (t  1) thì f’(t) = 2t + 1 > 0,  t  1. 13 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – t 5 1 f'(t) + + + f(t) + 5 3 Nhaän xeùt raèng phöông trình (1) coù nhieàu nhaát 1 nghieäm t  1. Vaäy phöông trình ñaõ cho coù ñuùng 2 nghieäm x > 0 khi vaø chæ khi  phöông trình (1) coù ñuùng 1 nghieäm t 1;  5  3  m  5 . Baøi 12: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ ÑOÁI NGOAÏI Xaùc ñònh m ñeå phöông trình sau coù nghieäm thöïc: 2 x 1 = x + m Giaûi  Ñaët t = x  1 . Ñieàu kieän t  0  Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh : 2t = t2 – 1 + m  m = t2 + 2t + 1  Xeùt haøm soá y = t2 + 2t + 1, t  0. Ta coù y' = 2t + 2 vaø y' = 0  t = 1. t 0 1 + y' + y 0  2 1   Töø baûng bieán thieân cuûa haøm soá suy ra phöông trình ñaõ cho coù nghieäm khi vaø chæ khi m  2.  Vaán ñeà 3: CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI A. TOÅNG QUAÙT 1. Haøm soá f coù cöïc trò  y' ñoåi daáu. 2. Haøm soá f khoâng coù cöïc trò  y' khoâng ñoåi daáu. 3. Haøm soá f chæ coù moät cöïc trò  y' ñoåi daáu 1 laàn. 4. Haøm soá f coù 2 cöïc trò (cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu)  y' ñoåi daáu 2 laàn. 5. Haøm soá f coù 3 cöïc trò  y' ñoåi daáu 3 laàn. 6. Haøm soá f ñaït cöïc ñaïi taïi x0 neáu 14 f (x 0 ) 0 f (x 0 ) 0 TTLT ĐH VĨNH VIỄN 7. Haøm soá f ñaït cöïc tieåu taïi x0 neáu f (x 0 ) 0 f (x 0 ) 0 8. Haøm soá f coù ñaïo haøm vaø ñaït cöïc trò taïi x0  f (x0 ) 0 9. Haøm soá f coù ñaïo haøm vaø ñaït cöïc trò baèng c taïi x = x0  f (x 0 ) 0 f(x 0 ) c Chuù yù : Ñoái vôùi moät haøm soá baát kì, haøm soá chæ coù theå ñaït cöïc trò taïi nhöõng ñieåm maø taïi ñoù ñaïo haøm trieät tieâu hoaëc ñaïo haøm khoâng xaùc ñònh. B. CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ BAÄC 3 y = ax3 + bx2 + cx + d, y' = 3ax2 + 2bx + c. 1. Ñoà thò coù 2 ñieåm cöïc trò naèm cuøng moät phía ñoái vôùi Ox a  0   Haøm soá coù hai giaù trò cöïc trò cuøng daáu  y  0 y .y  0  CÑ CT 2. Ñoà thò coù 2 ñieåm cöïc trò naèm 2 phía ñoái vôùi Ox a  0   Haøm soá coù hai giaù trò cöïc trò traùi daáu  y  0 y .y  0  CÑ CT 3. Cho ñöôøng thaúng d: Ax + By + C = 0 Goïi M1(x1; y1) vaø M2(x2; y2) laø ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa ñoà thò. Khoaûng caùch ñaïi soá töø M1 vaø M2 ñeán ñöôøng thaúng d laø : Ax  By1  C Ax  By2  C t1 = 1 t2 = 2 A2  B2 A2  B2  Ñoà thò coù 2 ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu ôû hai phía cuûa d y  0 coù 2 nghieä m phaâ n bieä t x1, x2   t1.t 2  0  Ñoà thò coù 2 ñieåm cöïc trò cuøng phía ñoái vôùi moät ñöôøng thaúng d y  0 coù 2 nghieä m phaâ n bieä t x1, x2   t1.t 2  0 4. Haøm soá ñaït cöïc trò taïi x1, x2 thoûa heä thöùc F(x1, x2) = 0 (1)  Ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu laø: a  0 y' = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2    ñieàu kieän cuûa m y  0 15 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – x  x   b 2  1 a   x1 vaø x2 thoûa heä thöùc (1)   c x .x   1 2 a Heä thöù c (1)   Giaûi heä suy ra m. So vôùi ñieàu kieän nhaän hay loaïi giaù trò cuûa m. 5. Ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá baäc ba Laáy y chia cho y' giaû söû ta ñöôïc: y = (ux + v).y' + mx + n (*) Goïi A(x0; y0) laø cöïc trò cuûa ñoà thò thì y'(x0) = 0 vaø toïa ñoä ñieåm A thoûa phöông trình (*): y0 = (ux0 + v).y'(x0) + mx0 + n  y0 = mx0 + n. Do ñoù ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò coù phöông trình y = mx + n C. CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ BAÄC 4 TRUØNG PHÖÔNG y = ax4 + bx2 + c y' = 4ax3 + 2bx x  0 y' = 0  2x(2ax2 + b) = 0  2ax2  b  0 (1)  Haøm soá coù 3 cöïc trò  (1) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 0  a.b < 0.  Haøm soá coù ñuùng moät cöïc trò  (1) voâ nghieäm hoaëc coù nghieäm keùp hoaëc coù nghieäm baèng 0 a  0 vaø b  0  a  0 vaø ab  0 Chuù yù : Neáu ñoà thò cuûa haøm soá baäc 4 truøng phöông coù 3 cöïc trò thì 3 cöïc trò naøy luoân taïo thaønh moät tam giaùc caân taïi ñænh naèm treân truïc tung. D. CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ HÖÕU TÆ y = y' = ab'x2  2ac'x  bc' cb'  b'x  c' 2 ax2 + bx + c bx + c , y' = 0  g(x) = ab'x2 + 2ac'x + bc' – cb' = 0 (b'x +c'  0) 1. Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu  y' = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät ab  0   g  0 ( Khi g(x) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät thì hieån nhieân 2 nghieäm ñoù thoûa b'x +c'  0) 2. Haøm soá khoâng coù cöïc trò  y' = 0 voâ nghieäm hoaëc coù nghieäm keùp. 3. Ñoà thò coù 2 ñieåm cöïc trò ôû cuøng moät phía ñoái vôùi Ox 16 TTLT ĐH VĨNH VIỄN ab  0   g  0 y .y  0  CÑ CT   ab  0     hoaë c g  0  y  0 coù 2 nghieäm phaâ n bieät      4. Ñoà thò coù 2 ñieåm cöïc trò naèm veà hai phía ñoái vôùi Ox ab  0   ab  0   g  0  hoaë c   y  0 voâ nghieä m  y .y  0   CÑ CT 5. Ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá höõu tæ ax2  bx  c u(x) uv  vu y= (*)  y' =  ax  b v(x) v2 Goïi A(x0; y0) laø cöïc trò cuûa ñoà thò thì  Toïa ñoä ñieåm A thoûa phöông trình (*): y 0   y'(x0) = 0  u  x0  v  x0   v  x0  u  x0  v2  x 0  u(x 0 ) v(x 0 ) 0  u  x0  v  x0   v  x0  u  x0   u  x0  v  x0   u  x 0  2ax0  b  y0  a v  x 0  Vaäy ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò coù phöông trình y  2ax  b . a B. ÑEÀ THI Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2011 Cho haøm soá y  x4  2(m  1)x2  m (1), m laø tham soá. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) coù ba ñieåm cöïc trò A, B, C sao cho OA = BC, O laø goác toïa ñoä, A laø ñieåm cöïc trò thuoäc truïc tung, B vaø C laø hai ñieåm cöïc trò coøn laïi. Giaûi Ta coù: y' = 4x3 – 4(m + 1)x. y' = 0  x = 0 hoaëc x2 = m + 1.  Haøm soá coù ba cöïc trò  Phöông trình y' = 0 coù ba nghieäm  m + 1 > 0  m > –1.  Khi m > –1 thì y' = 0  x = 0 hoaëc x =  m  1 .   Suy ra A(0; m), B  m  1; m2  m  1 vaø C   m  1; m2  m  1 . Ta coù: OA = BC  m2 = 4(m + 1)  m  2  2 2 (thoûa m > –1) Vaäy: m  2  2 2 . 17 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Baøi 2: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2009 Cho haøm soá y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 – m)x + 2 (1), vôùi m laø tham soá thöïc Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå haøm soá (1) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø caùc ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá (1) coù hoaønh ñoä döông. Giaûi  Taäp xaùc ñònh: D  , y' = 0  3x2 – 2(2m – 1)x + 2 – m = 0 (*)  Yeâu caàu baøi toaùn töông ñöông vôùi Phöông trình (*) coù hai nghieäm döông phaân bieät 4m 2  m  5  0 5   m  1 hay m  4   0 2m  5   0  m  2  m2.  P  0   3 4  S  0  1  m   2  2m  1  0 2  3  Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2007 Cho haøm soá: y = – x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – 1 (1), m laø tham soá. Tìm m ñeå haøm soá (1) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø caùc ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá (1) caùch ñeàu goác toïa ñoä O. Giaûi  Taäp xaùc ñònh: D  Ta coù: y' = 3x2 + 6x + 3(m2  1) y' = 0  x2  2x  m2 + 1 = 0 (2)  Haøm soá (1) coù cöïc trò  (2) coù 2 nghieäm phaân bieät  ∆' = m2 > 0  m  0.  x  1  m  y   2  2m3 Khi ñoù y' = 0   .  x  1  m  y   2  2m3  Goïi A, B laø 2 ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá (1) thì A(1  m; 2  2m3), B(1 + m; 2 + 2m3).  O caùch ñeàu A vaø B  OA = OB  8m3 = 2m  m   Baøi 4: CAO ÑAÚNG KYÕ THUAÄT CAO THAÉNG NAÊM 2007 Cho haøm soá y  x2  mx  1 , (1) (m laø tham soá) xm 1/ Tìm m ñeå haøm soá (1) coù hai giaù trò cöïc trò traùi daáu nhau. 2/ Tìm m ñeå haøm soá (1) ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2. Giaûi 18 1 (vì m  0). 2 TTLT ĐH VĨNH VIỄN 1/ Hai giaù trò cöïc trò traùi daáu nhau  Ñoà thò haøm soá (1) khoâng caét truïc hoaønh  x2 + mx + 1 = 0 voâ nghieäm   = m2 – 4 < 0  2 < m < 2. Caùch khaùc: Nghieäm cuûa y' = 0 laø x1 = m + 1, x2 = m – 1 Ta coù y(x1) =  m + 2, y(x2) =  m – 2 Hai giaù trò cöïc trò traùi daáu nhau  y(x1).y(x2) < 0  ( m + 2)(  m – 2) < 0  2 < m < 2. \ m vaø y  2/  Taäp xaùc ñònh: D = x2  2mx  m 2  1 (x  m)2 Haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2 thì y'(2) = 0. Nghóa laø: m2 + 4m + 3 = 0  m = 1  m = 3 x2  2x Khi m = 1 thì y  (x  1)2 , y' = 0  x = 0  x = 2 Baûng bieán thieân: x 0  y' + 1 0 2  + 0  + y +  Haøm soá khoâng ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2. Khi m = 3 thì y  x2  6x  8 (x  3)2 , y' = 0  x = 2  x = 4 Baûng bieán thieân: x 2  y' + y 0 3  4  1 0 + + +  Haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2. Keát luaän m = 3, khi ñoù giaù trò cöïc ñaïi töông öùng laø y(2) = 1. Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2007 Cho haøm soá y  x2  2(m  1)x  m2  4m (1), m laø tham soá x2 Tìm m ñeå haøm soá (1) coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu, ñoàng thôøi caùc ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò cuøng vôùi goác toïa ñoä O taïo thaønh moät tam giaùc vuoâng taïi O. Giaûi 19 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –  Taäp xaùc ñònh: D = \ 2 vaø y  x2  4x  4  m2 (x  2)2  Haøm soá (1) coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu  g(x) = x2 + 4x + 4  m2 coù 2 nghieäm phaân bieät ( Khi g(x) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät thì 2 nghieäm ñoù thoûa x  2)    4  4  m2  0  m  0  x  2  m  y   2  y' = 0    x  2  m  y  4m  2 Goïi A, B laø caùc ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá (1)  A(2 m; 2), B(2 + m; 4m  2). Do OA  ( m  2;  2)  0 , OB  (m  2; 4m  2)  0 Neân ba ñieåm O, A, B taïo thaønh tam giaùc vuoâng taïi O  OA.OB  0  m2  8m + 8 = 0  m  4  2 6 (thoûa maõn m  0). Vaäy giaù trò caàn tìm laø: m  4  2 6 . Baøi 6: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2005 x2  (m  1)x  m  1 (m laø tham soá). x 1 Goïi (Cm) laø ñoà thò cuûa haøm soá y = Chöùng minh raèng vôùi m baát kyø, ñoà thò (Cm) luoân coù ñieåm cöïc ñaïi, ñieåm cöïc tieåu vaø khoaûng caùch giöõa hai ñieåm ñoù baèng Giaûi 1 Ta coù: y = x + m + x 1 Taäp xaùc ñònh : D = y' = 1  1 2 (x  1) 20 . \{1}.  x(x  2) (x  1)2 ; y' = 0  x =  2 hay x = 0. Ñoà thò haøm soá luoân coù hai ñieåm cöïc trò laø M(2; m3) vaø N(0; m + 1) ñoàng thôøi MN = 2 2  0  (2)  (m  1)  (m  3)  20 (Ñieàu phaûi chöùng minh) Baøi 7: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 Cho haøm soá y = x4  2m2x2 + 1 (1) vôùi m laø tham soá. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) coù 3 ñieåm cöïc trò laø 3 ñænh cuûa moät tam giaùc vuoâng caân. Giaûi  Tìm m ñeå haøm soá coù 3 cöïc trò.  y' = 4x3 – 4m2x 20 TTLT ĐH VĨNH VIỄN x  0  y  1   y' = 0  x(x2 – m2) = 0   x  m  y  1  m 4  4  x  m  y  1  m  Haøm soá coù 3 cöïc trò  y' = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät  m  0.  Ba ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò A(0; 1), B(m; 1 – m4), C(m; 1 – m4)      Ta coù: AB  m;  m4 , AC  m; m 4 .  Vì y laø haøm chaún neân tam giaùc ABC luoân caân ôû A. Do ñoù: Tam giaùc ABC vuoâng caân  AB  AC  AB.AC  0  m  0  loaï i   m2 + m8 = 0   .  m  1 Vaäy m =  1. Baøi 8: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 Cho haøm soá y  x2   2m  1 x  m 2  m  4 2x  m (1) (m laø tham soá). Tìm m ñeå haøm soá (1) coù cöïc trò vaø tính khoaûng caùch giöõa hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá (1). Giaûi  Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc trò Taäp xaùc ñònh: D = y' = 2 \{m}. 2 x  2mx  m  4 2x  m 2 ; y' = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät  g(x) = x2 + 2mx + m2 – 4 = 0 (*) coù 2 nghieäm phaân bieät ( Khi g(x) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät thì 2 nghieäm ñoù thoûa x  m) Haøm soá coù cöïc trò  (*) coù 2 nghieäm phaân bieät  g  m2  m2  4  0 . Vaäy vôùi moïi m haøm soá luoân coù hai cöïc trò.  Tính ñoä daøi hai ñieåm cöïc trò. Goïi A(x1; y1), B(x2; y2) laø hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá. Khi ñoù:  x1, x2 laø nghieäm (*). Theo Vieùt ta coù: x1 + x2 = 2m, x1.x2 = m2 – 4. 2x  2m  1 2x2  2m  1  y1 = 1 vaø y2 = . 2 2 21 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Ta coù AB   x 1  x2 2   y1  y2 2  2 2  2  x1  x2   2  x1  x2   8x1x2   8m2  8 m2  4  32  4 2 . Baøi 9: Cho haøm soá y = x3 + 3mx2 + 3(1  m2) x + m3  m2 (1) (m laø tham soá). Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá (1). Giaûi  Taäp xaùc ñònh: D  Ta coù y' = 3x2 + 6mx + 3 (1  m2) y' = 0  x2  2mx + m2  1 = 0 coù ' = 1 > 0, m. Do ñoù phöông trình y' = 0 luoân coù 2 nghieäm phaân bieät, nghóa laø haøm soá (1) luoân coù 2 cöïc trò vôùi moïi m. 1  Ta coù y   x  m  y  2x  m  m2 (*) 3 Goïi A(x0; y0) laø cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá (1) thì y'(x0) = 0 vaø toïa ñoä ñieåm A thoûa phöông trình (*): y0  1  x  m  y'  x0   2x0  m  m2  y0  2x0  m  m2 3 0 Vaäy ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá (1) coù phöông trình y = 2x + m  m2. Baøi 10: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 Cho haøm soá y = (x  m)3  3x (m laø tham soá) Xaùc ñònh m ñeå haøm soá ñaõ cho ñaït cöïc tieåu taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = 0. Giaûi  Taäp xaùc ñònh: D = , y' = 3(x – m)2 – 3, y" = 6(x – m)  Haøm soá ñaõ cho ñaït cöïc tieåu taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = 0 2  y(0)  0 3  0  m   3  0     m  1 6 0  m  0 y(0)  0     Baøi 11: Cho haøm soá y = mx4 + (m2  9)x2 + 10 (1) (m laø tham soá). Tìm m ñeå haøm soá (1) coù 3 ñieåm cöïc trò. Giaûi  Taäp xaùc ñònh: D = 22