SỬ DỤNG DÃY SỐ ĐỂ XÂY DỰNG NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Có nhiều bài toán không yêu cầu tìm tất cả các nghiệm của phương trình nghiệm
nguyên, mà chỉ yêu cầu chứng minh phương trình có vô số nghiệm. Trong trường hợp
như thế, ta có thể dùng dãy số để xây dựng một họ nghiệm thỏa mãn phương trình. Dưới
đây, ta xét một số dạng phương trình nghiệm nguyên mà nghiệm của nó được xây dựng
bởi dãy.
I. Sử dụng dãy số để xây dựng nghiệm của một số phương trình đối xứng bậc hai.
1. Cơ sở lý thuyết:
u ; u1
Xét dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai 0
. (*)
un1 aun un1 , n 1,2,...
u u b
Ta có: n1 n1
a, n 1,2,...
un
Suy ra
un 1 un 1 b un 2 un b
un
un 1
u 2 n 1 un 1.un 1 bun 1 u 2 n un 2 .un bun
u 2 n 1 un 2 .un bun 1 u 2 n un 1.un 1 bun
u 2 n 1 (aun 1 un b)un bun 1 u 2 n (aun un 1 b).un 1 bun
u 2 n 1 u 2 n aun 1un b(un 1 un ) u 2 n u 2 n 1 aun un 1 b(un un 1 )
Từ đó, ta có: u 2n u 2n1 aunun1 b(un un1 ) = 2 2 a b( ), n 1;2...
Suy ra với mọi số nguyên dương n thì ( un 1 , un ) là nghiệm của phương trình:
x 2 y 2 axy b( x y ) 2 2 a b( ) (**)
Như vậy, nếu phương trình có dạng (**) thì ta nên xây dựng dãy số có dạng (*). Từ đó, ta có thể
giải quyết được khá nhiều các bài phương trình có dạng đối xứng sau đây.
2. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương:
x 2 y 2 5 xy 5 . (1)
Nhận xét:
Phương trình này có dạng (**), trong đó a = 5, b = 0. Khi đó: 2 2 5 5 , chọn
1; 2 thỏa mãn. Ta xây dựng dãy số (un ) : u0 1, u1 2, un1 5un un1 ; mỗi cặp (un1 , un ) là
một nghiệm của (1).
Lời giải:
Xét dãy số (un ) : u0 1, u1 2, un1 5un un1 , n 1,2,... .
Ta có
un1 un1
5, n 1,2,...
un
Suy ra
un 1 un 1 un 2 un
u 2 n 1 unun 2 u 2 n un 1un 1
un
un 1
u 2 n 1 un (5un 1 un ) u 2 n un 1 (5un un 1 )
u 2 n 1 u 2 n 5un 1un u 2 n u 2 n 1 5un un 1 , n 1,2,...
Từ đó, ta có:
u 2n u 2n1 5unun1 u 21 u 20 5u1u0 5
Như vậy, mỗi cặp ( un 1 , un ) với mọi số nguyên dương n là nghiệm của (1). Mặt khác, dễ thấy un
là số nguyên dương với mọi n và ( un ) là dãy số tăng nghiêm ngặt. Từ đó suy ra phương trình có
vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 2: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương:
x 2 y 2 10 3( x 1)( y 1) . (2)
Hướng dẫn:
(2) x 2 y 2 10 3( xy x y 1)
x 2 y 2 3xy 3( x y ) 7
Phương trình này có dạng (**), trong đó a = 3, b = 3.
Khi đó: 2 2 3 3( ) 7 , chọn 1; 1 thỏa mãn. Ta xây dựng dãy số
(un ) : u0 1, u1 1, un1 3un un1 3 ; mỗi cặp (un1 , un ) là một nghiệm của (2). Dễ thấy, un là số
nguyên dương với mọi n; u2 5 u1 , bằng qui nạp ta chứng minh được ( un ) là dãy số tăng
nghiêm ngặt. Từ đó suy ra phương trình có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 3: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương:
( x 1)2 ( y 1) 2 5( xy 1) . (3)
Hướng dẫn:
(3) x 2 y 2 5 xy 2( x y ) 3
Phương trình này có dạng (**), trong đó a = 5, b = -2.
Khi đó: 2 2 5 2( ) 3 , chọn 0; 1 thỏa mãn. Ta xây dựng dãy số
(un ) : u0 0, u1 1, un1 5un un1 2 ; mỗi cặp (un1 , un ) là một nghiệm của (3). Dễ thấy, un là số
nguyên dương với mọi n ; u2 3 u1 , bằng qui nạp ta chứng minh được ( un ) là dãy số tăng
nghiêm ngặt. Từ đó suy ra phương trình có vô số nghiệm nguyên dương trình có vô số nghiệm
nguyên dương.
Bài 4: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương
x 1 y 1
4 . (4)
y
x
Hướng dẫn:
Với x, y nguyên dương thì phương trình (4) tương đương với x 2 y 2 4 xy x y 0 . Phương
trình này có dạng (**), trong đó a = -4, b = -1.
Khi đó: 2 2 4 ( ) 0 , chọn 1; 1 thỏa mãn. Ta xây dựng dãy số
(un ) : u0 1, u1 1, un1 4un un1 1 ; mỗi cặp (un1 , un ) là một nghiệm của (4). Dễ thấy, un là số
nguyên dương với mọi n; u2 2 u1 , bằng qui nạp ta chứng minh được ( un ) là dãy số tăng
nghiêm ngặt. Từ đó suy ra phương trình có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 5: Cho số nguyên dương a > 1. Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên
dương
x2 y 2
a 2 . (5)
xy 1
Hướng dẫn:
Với x, y nguyên dương thì phương trình (5) tương đương với x 2 y 2 a 2 xy a 2 . Phương trình
này có dạng (**), trong đó a = a 2 , b =0.
2 2 a 2 . a 2 , chọn a; a 2 thỏa mãn. Ta xây dựng dãy số
(un ) : u0 a, u1 a3 , un1 a2un un1 ; mỗi cặp (un1 , un ) là một nghiệm của (5). Dễ thấy, do a là số
nguyên dương nên un là số nguyên dương với mọi n và ( un ) là dãy số tăng nghiêm ngặt do a> 1.
Từ đó suy ra phương trình có vô số nghiệm nguyên dương.
Như vậy, từ những biểu thức bậc hai, đối xứng giữa hai biến x, y ta có thể xây dựng nên
những bài tập mà phương trình của nó có thể đưa về dạng (**). Sau đây, ta xét những phương
trình nghiệm nguyên bậc 2 có nhiều hơn hai ẩn mà vẫn đưa được về dạng (**).
Bài 6: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương x 2 y 2 z 2 3xyz . (6)
Hướng dẫn:
Chọn z = 1, phương trình (6) trở thành: x 2 y 2 1 3xy x 2 y 2 3xy 1 (6’). Phương trình
này có dạng (**), trong đó a = -3; b = 0.
Khi đó: 2 2 3. 1 , chọn 1; 1 thỏa mãn. Ta xây dựng dãy số
(un ) : u0 1, u1 1, un1 3un un1 ; mỗi cặp (un1 , un ) là một nghiệm của (6’). Dễ thấy, un là số
nguyên dương với mọi n; u2 2 u1 , bằng qui nạp ta chứng minh được ( un ) là dãy số tăng
nghiêm ngặt. Từ đó suy ra phương trình (6’) có vô số nghiệm nguyên dương. Từ đó, suy ra (6) có
vô số nghiệm dạng (un1 , un ,1) .
Khi đó:
Bài 7: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương x 2 y 2 z 2 xyz . (7)
Hướng dẫn:
Với cách làm tương tự như bài 6, chọn z = 1 ta đưa phương trình (7) về phương trình:
x 2 y 2 1 xy x 2 y 2 xy 1 . Phương trình này lại vô nghiệm, như vậy cách làm ở bài 6
không thể sử dụng tương tự vào đây. Tuy nhiên, ta có thể áp dụng kết quả của bài tập 6 nhờ cách
đặt sau: đặt x 3x1 , y 3 y1 , z 3z1 . Ta có: x12 y12 z12 3x1 y1 z1 . Xét dãy số xác định bởi:
(un ) : u0 1, u1 1, un1 3un un1 , theo kết quả của bài tập 6 thì ( x1 , y1 , z1 ) (un1 , un ,1) . Suy ra
nghiệm của phương trình (7) là ( x, y, z) (3un1,3un ,3) .
Bài 8: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương x 2 y 2 z 2 t 2 4 xyzt .(8)
Hướng dẫn:
Chọn z = t = 1, ta có: x 2 y 2 2 4 xy x 2 y 2 4 xy 2 . Xét dãy số xác định bởi :
(un ) : u0 1, u1 1, un1 4un un1 . Khi đó, ( x, y, z, t ) (un1, un ,1,1) là nghiệm của phương trình. Do
u2 3 u1 , bằng qui nạp ta chứng minh được dãy (un ) tăng nghiêm ngặt. Từ đó suy ra phương
trình có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 9: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương x 2 y 2 z 2 t 2 xyzt .(9)
Hướng dẫn:
Đặt x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 , t 2t1 , ta có: x12 y12 z12 t12 4 x1 y1 z1t1 . Áp dụng kết quả bài tập 8
thì ( x1 , y1 , z1 , t1 ) (un1, un ,1,1) . Trong đó dãy (un ) xác định bởi (un ) : u0 1, u1 1, un1 4un un1 .
Vậy nghiệm của (9) là ( x, y, z, t ) (2un1 ,2un ,2,2) . Từ đó suy ra phương trình (9) có vô số nghiệm
nguyên dương.
Bài 10: Cho số tự nhiên n > 2. Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương
x12 x22 x32 ... xn 2 n.x1.x2 ...xn . (Phương trình Markov)(10)
Hướng dẫn:
Chọn x3 x4 ... xn 1 , ta có: x12 x2 2 n 2 n.x1.x2 . Xét dãy số xác định bởi:
(um ) : u0 1, u1 1, um1 num um1 . Khi đó u2 n 1 u1 , bằng qui nạp ta chứng minh được dãy
là dãy các số nguyên dương và tăng nghiêm ngặt. Vậy ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) (um1 , um ,1,...,1) là nghiệm
của (10). Từ đó suy ra phương trình (10) có vô số nghiệm nguyên dương.
II. Sử dụng dãy số xây dựng nghiệm của phương trình Pell.
1. Phương trình Pell :
Là phương trình Diophantine có dạng x 2 dy 2 1 , trong đó d là một số nguyên dương không
chính phương.
Để mô tả tập hợp nghiệm của phương trình Pell, trước hết ta chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề : Giả sử r s d t u d , trong đó r, s, t, u là những số hữu tỉ, d là số nguyên dương
không chính phương. Khi đó : r = t, s = u.
r t
Chứng minh : Do r s d t u d nên nếu s u , ta có d
. Do d không chính
us
phương nên d phải là số vô tỉ và không thể có sự biểu diễn trên. Vậy s = u, suy ra r = t.
Để giải phương trình Pell khi d không lớn lắm, người ta thường tìm nghiệm nhỏ nhất của nó,
sau đó nhận được tất cả các nghiệm nhờ định lí sau đây.
Định lí: Giả sử x1 , y1 là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell x 2 dy 2 1 , trong
đó d là một số nguyên dương không chính phương. Khi đó mọi nghiệm xk , yk được cho bởi công
thức xk yk d ( x1 y1 d )k , với k = 1, 2, 3, ….
Chứng minh:
Ta chỉ ra các cặp xk , yk xác định như trên là nghiệm của phương trình Pell, đồng thời mọi nghiệm
của phương trình Pell đều có dạng trên.
Dễ thấy rằng nếu xk yk d ( x1 y1 d )k thì xk yk d ( x1 y1 d )k , vì d chỉ xuất hiện ở
các lũy thừa lẻ của y1 d trong khai triển nhị thức.
Mặt khác, xk 2 dyk 2 ( xk yk d )( xk yk d ) ( x1 y1 d )k ( x1 y1 d )k ( x12 dy12 ) k 1.
Vậy xk , yk là nghiệm với k = 1, 2, 3, ….
Ngược lại, giả sử X, Y là một nghiệm nguyên dương khác với xk , yk . Khi đó tồn tại số n sao cho
( x1 y1 d )n X Y d ( x1 y1 d )n1
Nhân bất đẳng thức với ( x1 y1 d )n , ta được
1 ( x1 y1 d )n ( X Y d ) x1 y1 d
Vì x12 dy12 1 nên x1 y1 d ( x1 y1 d )1 . Bây giờ giả sử s t d ( x1 y1 d )n ( X Y d ) .
Ta lại có
s 2 dt 2 ( s t d )( s t d )
( x1 y1 d )n ( X Y d )( x1 y1 d ) n ( X Y d )
( x12 dy12 )n ( X 2 dY 2 ) 1
Như vậy, cặp s, t là một nghiệm của phương trình. Hơn nữa, 1 s t d x1 y1 d . Mặt khác,
do s t d 1 nên 0 (s t d )1 s t d . Do đó
1
1
s [(s+t d )+(s-t d )]>0, t=(
)[(s+t d )-(s-t d )] 0 .
2
2 d
Điều đó có nghĩa là s, t là nghiệm nguyên dương, s x1 , t y1 , vì x1 , y1 là nghiệm nhỏ nhất. Điều
này mâu thuẫn với bất đẳng thức s t d x1 y1 d . Mâu thuẫn này chứng tỏ X, Y phải là một
cặp xk , yk với k nào đó.(Đpcm)
Nhận xét:
Ta có
1
xk [( x1 y1 d )k ( x1 y1 d ) k ]
k
x
y
d
(
x
y
d
)
2
k
k
1
1
k
xk yk d ( x1 y1 d )
yk 1 [( x1 y1 d )k ( x1 y1 d ) k ]
2 d
Từ đó, ta có thể biểu diễn nghiệm của phương trình Pell dưới dạng dãy số như sau:
xn 2 2 x1.xn1 xn , x0 1, x1 x1
.
y
2
x
.
y
y
,
y
0,
y
y
n
2
1
n
1
n
0
1
1
2. Bài tập áp dụng.
Bài 11: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình x 2 15 y 2 1 .
Hướng dẫn:
Dễ thấy nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là x = 4, y = 1. Như vậy mọi nghiệm
( xk , yk ) của phương trình được xây dựng bởi công thức:
xk 2 8xk 1 xk , x0 1, x1 4
.
yk 2 8 yk 1 yk , y0 0, y1 1
Từ quan hệ truy hồi này ta thiết lâ]j được tất cả các nghiệm của phương trình.
Bài 12: Tìm các số x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình ( x 1)3 x3 y 2 .
Hướng dẫn:
Ta có: ( x 1)3 x3 y 2 3x 2 3x 1 y 2 .
Nhân 4 vào hai vế của phương trình ta được: (2 y ) 2 3(2 x 1) 2 1 .Đặt u = 2y, v = 2x +1, ta được
phương trình Pell: u 2 3v 2 1 . Nghiệm (un , vn ) của phương trình được cho bởi công thức:
un 3vn (2 3)n . Từ đó ta có un 3vn (2 3)n . Mặt khác, chỉ có các nghiệm (un , vn ) với
un chẵn, vn lẻ là thích hợp với bài toán. Từ đó ta chọn được các nghiệm sau đây:
x
1
[(2+ 3) 2 k 1 -(2- 3) 2 k 1 -2 3]
4 3
.
1
2 k 1
2 k 1
y [(2+ 3) + (2- 3) ], k 1
4
Bài 13: Tìm tất cả các số chính phương dạng
m( m 1)
, với m là số nguyên dương.
3
Hướng dẫn:
Giả sử m, n là những số nguyên dương thỏa mãn
m( m 1)
n2 .
3
Khi đó ta có: (2m 1)2 3(2n)2 1 . Như vậy 2m+1 và 2n là các nghiệm của phương trình Pell:
X 2 3Y 2 1 . Dễ thấy phương trình có nghiệm nhỏ nhất X = 2, Y = 1. Do đó m, n xác định bởi:
(2m 1) 2n 3 (2 3)k . Suy ra k chẵn, đặt k = 2j. Khi đó (2m 1) 2n 3 (7 4 3) j . Vì
chỉ xuất hiện trong các lũy thừa lẻ của 4 3 trong khai triển nhị thức (7 4 3) j nên ta có:
(2m+1) - 2n 3 = (7 4 3) j . Như vậy, các số m cần tìm là
3
(7 4 3) j (7 4 3) j 2
, j 1,2,3...
4
III. Sử dụng dãy số để xây dựng nghiệm của một số phương trình bậc hai dạng
ax2 bxy cy 2 dx ey f 0 .
1. Cơ sở lý thuyết
Xét phương trình ax 2 bxy cy 2 dx ey f 0 . Sử dụng các biến đổi đại số, ta đưa phương
m
trình trên về dạng X 2 kY 2 m . (***) Nếu k là số chính phương thì (***) được giải dễ dàng
bằng cách đưa vào phương trình tích. Nếu k không phải là số chính phương, khi đó nếu (***) có
nghiệm nguyên dương thì có sẽ có vô số nghiệm nguyên dương. Nếu ( , ) là một nghiệm của
phương trình Pell X 2 kY 2 1 thì xét các dãy số ( xn ),( yn ) như sau:
x0 ¥ , y0 ¥
xn 1 xn k yn .
y x y
n
n
n 1
Khi đó:
x2n1 ky 2n1 ( xn k yn )2 k ( xn yn )2 ( 2 k 2 ) x2n k ( 2 k 2 ) y 2n x 2n ky 2n .
Do đó nếu ( x0 , y0 ) là một nghiệm của (***) thì ( xn , yn ) cũng là nghiệm của (***), với mọi n.
2. Bài tập áp dụng
Bài 14: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương
x 2 y 2 4( x 1)( y 1) .(14)
Hướng dẫn:
(14) x 2 y 2 4 xy 4 x 4 y 4 0
( x 2 y ) 2 3 y 2 4( x 2 y ) 4 y 4 0
( x 2 y 2) 2 3 y 2 4 y 0
3( x 2 y 2) 2 (9 y 2 12 y 4) 4 0
(3 y 2)2 3( x 2 y 2) 2 4
Xét phương trình Pell: x 2 3 y 2 1 có một nghiệm nguyên dương là x = 2, y = 1.
Đặt X = 3y -2, Y = x - 2y +2. Xét phương trình: X 2 3Y 2 4 có một nghiệm nguyên dương là
X = 4 , Y = 2. Xét các dãy ( xn ),( yn ) xác định bởi công thức:
x0 4, y0 2
xn 1 2 xn 3 yn
y x 2y
n
n
n 1
Ta có:
x2n1 3 y 2n1 (2xn 3 yn )2 3( xn 2 yn )2 x2n 3 y 2n , n 0,1,2,....
Vậy
x2n 3 y 2n x2n1 3 y 2n1 x2n2 3 y 2n2 ... x20 3 y 20 4 . Do đó ( xn , yn )
là nghiệm của
phương trình X 2 3Y 2 4 .
Hơn nữa xn1 2 xn 4 xn1 xn1 (mod3), n . Suy ra: x2k x2k 2 ... x2 x0 (mod3), k . Ta chọn:
x 2
y 2k
3
y
2
x
3
2k
x 2 y 2 y2 k
x y 2( x2 k 1)
2k
3
2( x2 k 1) x2 k 2
Như vậy, ( x, y ) ( y2 k
,
) là nghiệm của phương trình đã cho với mọi k=0, 1, ….
3
3
Bài 15: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương
2x 1 4 y 1
8 .(15)
y
x
Hướng dẫn:
(15) 2 x 2 4 y 2 8 xy x y 0
4( y x) 2 2 x 2 x y 0
64( y x) 2 16( y x) 8(4 x 2 4 x 1) 8 0
(8 y 8 x 1) 2 8(2 x 1) 2 7
Xét các dãy ( xn ),( yn ) xác định bởi công thức
x1 1, y1 1
xn 1 3xn 8 yn
y x 3y
n
n
n 1
Ta có
xn21 8 yn21 (3xn 8 yn )2 8( xn 3 yn )2 xn2 8 yn2 7
Suy ra ( xn , yn ) là nghiệm của phương trình X 2 8Y 2 7 .
Hơn nữa xn1 3xn 9 xn1 xn1 (mod8), n . Suy ra x2k 1(mod8) . Mặt khác
yn1 xn 3 yn 3xn1 8 yn1 3( xn1 3 yn1 ) 6 xn1 17 yn1 yn1 (mod 2), n
Suy ra y2k 1(mod 2) . Chọn
x 1 y2 k 1
y 2k
8
y
8
x
1
x
2k
8
2
2 x 1 y2 k
x y2 k 1
2
y 1 x 1 y2 k 1
) là nghiệm của phương trình với mọi k = 0, 1, 2, ….
Như vậy, ( x, y ) ( 2 k , 2 k
2
8
2
Bài 16: Cho a, b là các số nguyên dương không đồng thời bằng 0. Chứng minh phương trình sau
có vô hạn nghiệm nguyên dương
xa y b
3 (16).
y
x
Hướng dẫn:
(16) x 2 y 2 ax by 3xy 0
4 x 2 4 y 2 12 xy 4ax 4by 0
(2 x 3 y ) 2 5 y 2 2a(2 x 3 y ) 2(3a 2b) y 0
(2 x 3 y a) 2 5 y 2 2(3a 2b) y a 2 0
5(2 x 3 y a) 2 [25 y 2 10(3a 2b) y (3a 2b) 2 ]+(3a+2b) 2 5a 2 0
5(2 x 3 y a) 2 (5 y 3a 2b) 2 4(a 2 b 2 3ab) 0
(5 y 3a 2b) 2 5(2 x 3 y a) 2 4(a 2 b 2 3ab)
Xét các dãy ( xn ),( yn ) xác định như sau
x0 2a 3b, y0 b
xn 1 9 xn 20 yn
y 4x 9 y
n
n
n 1
Ta có
xn21 5 yn21 (9xn 20 yn )2 5(4xn 9 yn )2 xn2 5 yn2 4(a2 b2 3ab)
Suy ra ( xn , yn ) là nghiệm của phương trình X 2 5Y 2 4(a 2 b 2 3ab) .
Hơn nữa xn1 9 xn 81xn1 xn1 (mod10) với mọi n. Suy ra x2k x0 2a 3b(mod10) và
x2k 1 x1 x0 (2a 3b)(mod10) . Mặt khác, yn1 yn (mod 2) . Suy ra yn1 y0 b(mod 2) . Ta
chọn
x 3a 2b
y 2k
5
y
3
a
2
b
x
5
2k
3 y 2 x a y2 k
x 3x2 k 5 y2 k 4a 6b
10
Ta có
x2k 3a 2b 2a 3b 3a 2b 5(a b) 0(mod5)
3x2k 5 y2k 4a 6b 3(2a 3b) 4a 6b 5 y2k 5(b y2k ) 0(mod10) .
Như vậy ( x, y ) (
3 x2 k 5 y2 k 4a 6b x2 k 3a 2b
,
) là nghiệm của phương trình đã cho với mọi
10
5
k nguyên dương, ta có điều phải chứng minh.
IV. Bài tập tự luyện
Bài 1: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên
x2 y 2 6
8.
xy
Bài 2: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên
( x 1)2 ( y 1) 2 5( xy 1) .
Bài 3: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên
x 1 y 1
4.
y
x
Bài 4: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên
( x y 5) 2 9 xy .
Bài 5: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên
x 1 y 3
6.
y
x
Bài 6: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên
2x 1 2 y 1
6.
y
x
Bài 7: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên
x 2 3y 4
10 .
y
x
dương
dương
dương
dương
dương
dương
dương
Bài 8:Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương
x 3 y 1
4.
y
x
- Xem thêm -