Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Toán học Chuyên đề ôn thi môn toán vào lớp 10 thpt-phần đại số...

Tài liệu Chuyên đề ôn thi môn toán vào lớp 10 thpt-phần đại số

.PDF
72
2905
83
  • .: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.
    Biên soạn: Trần Trung Chính 88
    CHUÛ ÑEÀ 5
    PHÖÔNG PHAÙP CHÖÙNG MINH "QUY NAÏP TOAÙN HOÏC"
    1. Kiến thức cơ bản:
    Quy nạp không hoàn toàn:
    Là sự suy luận đi tnhững sự kiện riêng lẻ đến một kết luận tng quát. Phƣơng pháp này không
    phải phép chứng minh nhƣng là phƣơng pháp tìm tòi quan trọng, giúp ta dự đoán những giả
    thiết có thể đúng hoặc sai.
    Quy nạp hoàn toàn:
    Là phép suy luận sau khi đã xem xét tất cả mi trƣờng hợp thxy ra mi rút ra kết luận tổng
    quát.
    Bài toán:
    Chng minh P(n) đúng với mi n nguyên và n a, a nguyên.
    Phương pháp 1:
    Bƣớc 1: Thử với n = a
    Thay n = a P(a) đúng.
    Do đó P(n) đúng khi n = a.
    Bƣớc 2: Lập giả thiết quy nạp.
    Giả sử P(n) đúng với n = k, k Z và k a nghĩa là P(k) đúng.
    Bƣớc 3: Chng minh
    Ta chứng minh rằng P(n) khi n = k + 1 nghĩa là ta chứng minh rằng:
    P(k + 1) đúng.
    Bƣớc 4: Kết luận.
    Vậy P(n) đúng với mi n N và n a, a Z.
    Phương pháp 2:
    Khi n = a P(a) đúng.
    Khi n = a + 1 P(a + 1) đúng.
    Giả sử P(k - 1) đúng và P(k) đúng, với k kZ và k a + 1
    Chng minh P(k + 1) đúng.
    Vậy P(n) đúng với mi n N và n a, a Z.
    Phương pháp 3:
    Khi n = a P(a) đúng.
    Giả sử P(a), P(a + 1), P(a + 2), ..., P(k - 1), P(k) đúng.
    Chng minh P(k + 1) đúng.
    Vậy P(n) đúng với mi n N và n a, a Z.
    dụ 1: Sử dụng phƣơng pháp chứng minh quy nạp chứng minh rằng:
    n(n 1)
    1 2 3 ... n
    2
    dụ 2: Tính tổng :
    n
    S =1+3+5+...+(2n -1)
    Các tổng bản cần nhớ:
    a)
    n(n 1)
    1 2 3 ... n
    2
    b.
    2 2 2 2
    n(n 1)(2n 1)
    1 2 3 ... n
    6
    
    c.
    3
    3 3 3
    n(n 1)
    1 2 ... n
    2
    
    
    
    2. Bài tập áp dụng:
    Bài tập 1: Tính tổng: S
    n
    = 1
    3
    + 2
    3
    + 3
    3
    + ... + n
    3
    Giải
    Trang 1
  • .: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.
    Biên soạn: Trần Trung Chính 89
    Ta có:
    S
    1
    = 1
    3
    = 1 = 1
    2
    S
    2
    = 1
    3
    + 2
    3
    = 9 = (1 + 2)
    2
    S
    3
    = 1
    3
    + 2
    3
    + 3
    3
    = (1 + 2 + 3)
    2
    Giả sử:
    S
    k
    = 1
    3
    + 2
    3
    + 3
    3
    + ... + k
    3
    = (1 + 2 + 3 + ... + k)
    2
    Ta có:
    1 + 2 + 3 + ... + k =
    k k 1
    2
    2
    k
    k k 1
    1S
    2
    
    
    
    
    
    (1')
    Cộng (k + 1)
    3
    vào hai vế của (1'), ta đƣợc:
    2
    33
    k
    k k 1
    S k 1 k 1
    2
    
    
    
    
    2
    2
    2
    k1
    2
    k1
    k 1 k 2
    k1
    S k 4k 4
    22
    S 1 2 3 ... k 1
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Vậy S
    n
    = 1
    3
    + 2
    3
    + 3
    3
    + ... + n
    3
    = (1 + 2 + 3 + ... + n)
    2
    2
    2
    k k +1
    =
    4
    Bài tập 2: Cho
    là một s nguyên. Chứng minh rằng số
    2005
    2005
    1
    b = x +
    x
    mt snguyên.
    Giải
    Ta chứng minh rằng nếu:
    *
    1
    a x , x R
    x
    mt snguyên t
    n
    n
    n
    1
    Sx
    x
    
    cũng là mt snguyên với mọi n Z.
    Nhận xét: Nếu n nguyên âm, ta đặt:
    n = -m, với m Z
    +
    mm
    n m n
    mm
    11
    S x x S S
    xx
    Do đó ta chỉ cần chứng minh quy nạp.
    Khi n = 0 t S
    0
    = 2 Z
    Khi n = 1
    Ta có:
    1
    1
    S x Z
    x
    Giả sử S
    n
    nguyên với n = k, k N và k 1.
    S
    0
    , S
    1
    , S
    2
    , ..., S
    k
    nguyên.
    Ta chứng minh S
    k+1
    nguyên
    Ta có:
    www.VNMATH.com
    Trang 2
  • .: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.
    Biên soạn: Trần Trung Chính 90
    k k 1 k 1
    k k 1 k 1
    k 1 k 1 k 1
    k 1 k 1 k 1
    1 1 1 1
    x x x x
    x
    x x x
    S .S S S
    S S S S
    
    
    
    
    Suy ra S
    k+1
    nguyên.
    S
    n
    nguyên với mi n N
    Do đó:
    2005
    2005
    2005
    1
    Sx
    x
    
    là mt số nguyên.
    Bài tập 3: Chứng minh rằng tồn tạihạn số tự nhiên n khác 0 sao cho:
    2
    n
    - 1
    n (*)
    Tìm tất cả các số nguyên tố n thỏa mãn (*).
    Giải
    Ta chứng minh rằng với n = 3
    q
    , q N, thì n chia hết số 2
    n
    + 1
    q
    3q
    2 1 3
    (1)
    Khi q = 0, ta có:
    2
    1
    + 1
    1, đúng
    Giả sử (1) đúng với q = k, k N.
    k
    k
    3k
    3 k *
    2 1 3
    2 1 A.3 , A N 2
    Ta chứng minh rằng (1) đúng với q = k + 1 tức là chứng minh
    k1
    3 k 1
    2 1 3
    (3)
    Ta có:
    k 1 k
    3
    3
    3 3 3 k
    3 3k 2 2k 3k
    2 2k 1 k k 1
    2 1 2 1 A .3 1
    A .3 3A .3 3.A.3
    A A .3 A.3 1 3
    
    
    
    Do đó, ta có:
    k1
    3 k 1
    2 1 3
    (3) đã đƣợc chng minh:
    Vậy vô ssố t nhiên n sao cho: 2
    n
    - 1
    n (*)
    Với n = 3
    q,
    q N, n nguyên tố khi q = 1 n = 3.
    Bài tập 4: Cho x và y các số thực khác 0 sao cho các số:
    11
    a = x + ; b = y +
    yx
    đều là số nguyên
    a) Chứng minh rằng số
    22
    22
    1
    c = x y +
    xy
    cũng là mt snguyên.
    b) Tìm mi n nguyên dƣơng sao cho số:
    nn
    nn
    1
    d = x y +
    xy
    cũng số nguyên.
    Giải
    a) Ta có:
    11
    a = x + ; b = y +
    yx
    , với x, y R
    *
    Trang 3
  • .: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.
    Biên soạn: Trần Trung Chính 91
    1 1 1
    a.b x y xy 2
    y x xy
    11
    xy ab 2 xy Z
    xy xy
    Ta có:
    2
    22
    22
    11
    c x y xy 2 c Z
    xy
    xy
    
    
    
    Vậy nếu
    11
    a = x + ; b = y +
    yx
    nguyên thì các số
    1
    xy
    xy
    22
    22
    1
    xy
    xy
    đều là số nguyên.
    b) .Đặt:
    nn
    nn
    nn
    1
    t d t x y , n
    xy
    Z
    Khi n = 1, n = 2 t các số t
    1
    , t
    2
    nguyên.
    Giả sử t
    n
    nguyên cho đến khi n = k.
    t
    1
    , t
    2
    , ..., t
    k-1
    , t
    k
    nguyên.
    Ta chứng minh rằng:
    k 1 k 1
    k1
    k 1 k 1
    1
    t x y , k Z
    xy
    
    
    cũng số nguyên.
    Ta có: t
    k+1
    = t
    k
    .t
    k-1
    t
    k+1
    Z.
    Vậy nếu
    11
    a = x + ; b = y +
    yx
    là các số nguyên thì số
    nn
    nn
    1
    d x y
    xy
    
    nguyên, n Z.
    Bài tập 5: Xemy số:
    A
    1
    = 1
    A
    2
    = 3 + 5
    A
    3
    = 7 + 9 + 11
    A
    4
    = 13 + 15 + 17 + 19
    .....................................
    Chng minh rằng mi số hạng của dãy lập phƣơng của mt s t nhiên.
    Giải
    Số hạng tổng quát của dãy số đã cho có dạng: A
    n
    = a
    k+1
    + a
    k+2
    + ... + a
    k+n
    Với a
    m
    = 2m - 1 k là số các s lẻ có trong các số hng của dãy từ 1 đến n - 1.
    Ta có: k = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) =
    n 1 n
    2
    A
    n
    = (2k + 1) + (2k + 3) + ... + (2k + 2n - 1)
    = (2k + n)n
    = [(n - 1)n + n]n = n
    3
    Do đó, ta có:
    A
    1
    = 1 = 1
    3
    A
    2
    = 3 + 5 = 2
    3
    A
    3
    = 7 + 9 + 11 = 3
    3
    A
    4
    = 13 + 15 + 17 + 19 = 4
    3
    ....................................
    A
    n
    = n
    3
    .
    Bài tập 6: Chứng minh rằng số nguyên tố thứ n thì nhhơn
    n
    2
    2
    .
    Giải
    Gọi P
    n
    là số nguyên tố thứ n.
    Ta chứng minh rằng:
    www.VNMATH.com
    Trang 4
  • .: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.
    Biên soạn: Trần Trung Chính 92
    P
    n
    <
    n
    2
    2
    (1)
    Khi n = 1, ta có:
    P
    1
    = 2 <
    1
    2
    2
    (1) đúng khi n = 1.
    Giả sử (1) đúng khi n = 1, 2, 3, ..., k nghĩa là ta có:
    P
    1
    <
    1
    2
    2
    P
    2
    <
    2
    2
    2
    P
    3
    <
    3
    2
    2
    (2)
    ............
    P
    k
    <
    k
    2
    2
    Ta chứng minh rằng:
    P
    k+1
    <
    k1
    2
    2
    (3)
    Xem số:
    A = P
    1
    P
    2
    ... P
    k
    + 1 A > P
    k
    Gọi d là mt ƣớc s nguyên tố của A d A
    Nếu d P
    k
    thì d chia hết tích P
    1
    P
    2
    P
    3
    ... P
    k+1
    và do đó d chia hết 1, vô lí
    d > P
    k
    d P
    k+1
    Ta có:
    P
    k+1
    d A = P
    1
    P
    2
    P
    3
    ... P
    k
    + 1
    P
    k+1
    1
    2
    2
    .
    2
    2
    2
    .
    3
    2
    2
    ...
    k
    2
    2
    + 1
    P
    k+1
    1 2 3 k
    2 2 2 ... 2
    2
    P
    k+1
    k 1 k 1
    22
    2 2 2
    
    
    (3) đã đƣợc chứng minh.
    Vậy P
    n
    <
    n
    2
    2
    .
    Bài tập 7: Chứng minh rằng số đƣợc tnh lập bởi 3
    n
    chữ số ging nhau t chia hết cho 3
    n
    , trong đó
    n là số tự nhiên.
    Giải
    Ta dùng phƣơng pháp quy nạp:
    Khi n = 1. ta có s
    1
    aaa 3 3
    Giả sử bài toán đúng khi n = k, k N và k 1.
    k
    k
    A aaa...aaa 3
    k
    3 ch÷ sè a
    Ta chứng minh rằng bài toán đúng khi n = k + 1 nghĩa là ta chứng minh:
    k1
    k1
    A aaa...aaa 3
    k+1
    3 ch÷ sè a
    Ta có thể viết:
    kk
    k1
    1
    A aaa...aaa aaa...aaa
    aaa...aaaaaa...aaaaaa...aaa
    aaa...aaa 100 ...000
    
    kk
    kkk
    k
    k
    3 .3 ch÷ a 3 +3 +3 ch÷ sè a
    3 ch÷ sè a 3 ch÷ sè a 3 ch÷ sè a
    3 ch÷ sè a
    3 ch÷
    1
    k k 1
    k
    11
    100 ...0001
    =A .100 ...000 .100 ...000 3 .3 3
    
    k
    kk
    0 3 ch÷ sè 0
    3 ch÷ sè 0 3 ch÷ sè 0
    Trang 5

Mô tả:

Tài liệu liên quan