
.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.
Biên soạn: Trần Trung Chính 88
CHUÛ ÑEÀ 5
PHÖÔNG PHAÙP CHÖÙNG MINH "QUY NAÏP TOAÙN HOÏC"
1. Kiến thức cơ bản:
Quy nạp không hoàn toàn:
Là sự suy luận đi từ những sự kiện riêng lẻ đến một kết luận tổng quát. Phƣơng pháp này không
phải là phép chứng minh nhƣng là phƣơng pháp tìm tòi quan trọng, nó giúp ta dự đoán những giả
thiết có thể đúng hoặc sai.
Quy nạp hoàn toàn:
Là phép suy luận sau khi đã xem xét tất cả mọi trƣờng hợp có thể xảy ra mới rút ra kết luận tổng
quát.
Bài toán:
Chứng minh P(n) đúng với mọi n nguyên và n a, a nguyên.
Phương pháp 1:
Bƣớc 1: Thử với n = a
Thay n = a P(a) đúng.
Do đó P(n) đúng khi n = a.
Bƣớc 2: Lập giả thiết quy nạp.
Giả sử P(n) đúng với n = k, k Z và k a nghĩa là P(k) đúng.
Bƣớc 3: Chứng minh
Ta chứng minh rằng P(n) khi n = k + 1 nghĩa là ta chứng minh rằng:
P(k + 1) đúng.
Bƣớc 4: Kết luận.
Vậy P(n) đúng với mọi n N và n a, a Z.
Phương pháp 2:
Khi n = a P(a) đúng.
Khi n = a + 1 P(a + 1) đúng.
Giả sử P(k - 1) đúng và P(k) đúng, với k kZ và k a + 1
Chứng minh P(k + 1) đúng.
Vậy P(n) đúng với mọi n N và n a, a Z.
Phương pháp 3:
Khi n = a P(a) đúng.
Giả sử P(a), P(a + 1), P(a + 2), ..., P(k - 1), P(k) đúng.
Chứng minh P(k + 1) đúng.
Vậy P(n) đúng với mọi n N và n a, a Z.
Ví dụ 1: Sử dụng phƣơng pháp chứng minh quy nạp chứng minh rằng:
n(n 1)
1 2 3 ... n
2
Ví dụ 2: Tính tổng :
Các tổng cơ bản cần nhớ:
a)
n(n 1)
1 2 3 ... n
2
b.
2 2 2 2
n(n 1)(2n 1)
1 2 3 ... n
6
c.
3
3 3 3
n(n 1)
1 2 ... n
2
2. Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Tính tổng: S
n
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ ... + n
3
Giải