Phương trình lượng giác
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
1.CÔNG THỨC CỘNG
2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos2a = cos2a – sin2a
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
= 2cos2a –1
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
= 1 – 2sin2a
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
sin2a = 2.sina.cosa
tan(a + b) =
tan2a =
tan(a - b) =
cos2a =
3.CÔNG THỨC HẠ BẬC
1 cos 2a
2
sin2a =
4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
cosa + cosb = 2.cos .cos
cosa - cosb = -2.sin .sin
sina + sinb = 2.sin .cos
sina - sinb = 2.cos .sin
sin(a b)
tan a tan b
cosacosb
tan a tan b
sin(a b)
cosacosb
5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)]
sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)]
1
sin(a b) sin(a b)
2
1
cosasinb= sin(a b) sin(a b)
2
sin acosb=
6.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
ra
-
d
x
đ
-180o
ộ
-150o
-
-
-135o -120o
-
-
90o
-60o
-
sin
0
-
-
-
-1
cos
tan
cot
-1
0
||
-
1
1
-
0
||
0
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
-
-
-
0
-45o
-30o
0
-
-
0
1
-
1
0
||
0
||
0
-1
-1
1
30o
45o
1
1
60o
90o
120o
135o
150o
180o
0
-
-1
-1
tr êng thpt
-
-1
0
||
Phương trình lượng giác
II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1.Phương trình sinx=a.( -1 a 1)
� x arcsina+k2
;kZ
x arcsina+k2
�
� x +k2
; k Z ( a = sin)
x +k2
�
sinx = a �
+sinx = sin �
sinx = 0 x = k; k Z
sinx = 1 x = + k2; k Z
sinx = -1 x = -+ k2; k Z
2.Phương trình cosx=a.( -1 a 1)
�x +k2
; k Z ( a = cos)
x +k2
�
�x arccosa+k2
;kZ
x arccosa+k2
�
cosx = a �
+cosx = cos �
cosx = 0 x = + k; k Z
cosx = 1 x = k2; k Z
cosx = -1 x = + k2; k Z
3.Phương trình tanx=a.
�2
+ t anx=a � x=arctana+k ,k ��
tanx=1 � x= k , k ��
4
tanx=-1 � x=- k , k ��
4
t anx=0 � x=k , k ��
�
�
TXĐ: �\ � k , k ���
+ tanx=tan � x= +k ,k ��
4.Phương trình cotx=a.
TXĐ: �\ k , k ��
+ co t x=a � x=arccota+k ,k ��
+ cotx=cot � x= +k ,k ��
k , k ��
4
cotx=-1 � x=- k , k ��
4
co t x=0 � x= k , k ��
2
cotx=1 � x=
III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
1.Phương trình a.sinx+bcosx=c ( a 2 b 2 �0 )
�
đặt:
a
s inx+
a b
a
�
�cos = 2
a b2
�
�
b
�
sin
2
�
a b2
�
2
2
b
a b
2
2
cosx=
phương trình trở thành: s inxcos cosx sin
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
2
c
a b2
2
c
a 2 b2
tr êng thpt
Phương trình lượng giác
� sin( x )
c
a b2
2
*Chú ý
+Phương trình có nghiệm khi c 2 �a 2 b 2
+Nếu a.b �0, c 0 thì: a sin x b cos x 0 � tan x
b
a
2.Phương trình : asin 2 x b s inxcosx+ccos 2 x 0 (1)
+Nếu a = 0: b s inxcosx+ccos 2 x 0
� cosx=0
� cosx(bsinx+ccosx)=0 � �
bsinx+ccosx=0
�
+Nếu c = 0: asin 2 x b s inxcosx=0
� sinx=0
� sinx(asinx+bcosx)=0 � �
asinx+bcosx=0
�
2
2
sin x
s inxcosx
cos x
c
0
+Nếu a �0, c �0, cos x �0 : (1) � a 2 b
2
2
cos x
cos x
2
� a tan x b t anx+c=0
cos x
BÀI TẬP.
Bài 1.Giải các phương trình:
8
3 sin 3 x cos 3 x 2
a) 2 cot(5 x ) 0
b) 2cos 2 x 3 cos x 0
c)
Giải.
d) sin 2 x sin 2 x 2 cos 2 x 2
k
k � x
8
8 2
5
2
b) 2 cos x 3 cos x 0
�
� cos x 0
x k
�
2
��
, k ��
3��
�
5
cos x
�
x � k 2
�
2
�
6
c) 3 sin 3 x cos 3 x 2
2 k 2
3
1
�
sin 3 x cos 3x 1 � sin (3 x ) = 1 � 3 x k 2 � x
6
6 2
9
3
2
2
2
2
d) sin x sin 2 x 2 cos x 2
sin x 0
�
� x k
� sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0
��
��
tan x 2
x arctan 2 k
�
�
a) 2 cot(5 x ) 0 � 5 x
Bài 2.Giải các phương trình:
a) 3 tan(3x
3
)0
5
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
� 3x
3
k
5
� x
3
k
5 3
tr êng thpt
Phương trình lượng giác
�
�x 2 k 2
�
�sin x 1
�
�
2
x k 2 , k ��
b) 2sin x sin x 1 0 � �
1��
6
sin x
� 7
�
2
�x
k 2
� 6
c) sin 5 x cos 5 x 2
�
1
1
sin 5 x
cos 5 x 1
2
2
� sin (5 x ) = - 1
4
� 5x
3 k 2
k 2 � x
4
2
20
5
d) 3sin 2 x sin 2 x cos 2 x 3
� 2sin x cos x 2cos 2 x 0 � 2cos x(sin x cos x) 0
�
�
x k 2
�
�
cos x 0
��
�� 2
�tan x 1
�x k
�
� 4
�
e. cos 2 x 3sin x 2 0
� 1 2sin 2 x 3sin x 2 0 � 2sin 2 x 3sin x 1 0
�
�x 2 k 2
�
�sin x 1
��
x k 2 , k ��
1��
� 6
�
sin x
�
2
� 5
�
x
k 2
� 6
3
1
2
f. 3 sin x cos x 2 �
sin x cos x
2
2
2
2
� sin( x ) sin
� sin x cos cos x sin
6
4
6
6
2
�
�
�x 6 4 k 2
�x 12 k 2
� �
��
, k ��
3
7
�
�
x
k 2
x
k 2
� 12
� 6 4
3
1
2
g. 3 sin x cos x 2 �
sin x cos x
2
2
2
2
� sin( x ) sin
� sin x cos cos x sin
6
4
6
6
2
�
� 5
�x 6 4 k 2
�x 12 k 2
��
��
, k ��
3
11
�
�
x
k 2
x
k 2
� 12
� 6 4
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
4
tr êng thpt
Phương trình lượng giác
h. 2cos 2 x 3cos x 1 0 � 4cos 2 x 3cos x 1 0
x k 2
�cos x 1
�
��
, k ��
1��
1
�
�
cos x
x �arccos( ) k 2
�
�
4
4
2
2
i. 2sin x 3sin x cos x 5cos x 0 � 2ta n 2 x 3ta n x 5 0
�
x
k
�tan x 1
�
4
��
, k ��
5��
�
5
tan x
�
x arctan( ) k
�
2
�
2
Bài 3.Giải các phương trình:
a. 3sin x sin 2 x 0
b. 2sinx 2cos x 2
c.sin x sin 3 x sin 5 x 0
d.sin x sin 3x sin 5 x cos x cos3x cos5 x
e. 2sin 2 x 5sin x cos x 4cos 2 x 2
f. 2cos 2 2 x 3sin 2 x 2
g. sin 2 2 x cos 2 3x 1
h. tan x.tan 5 x 1
i.5cos 2 x 12sin 2 x 13
j. 2sin x 5cos x 4
k. 2cos x 3sin x 2
Bài 4.Giải các phương trình:
2
a. tan x cot x 2
b. (3 cot x) 5(3 cot x)
c. 3(sin 3 x cos x) 4(cos3 x sin x)
d. 4sin 2 x 3 3 sin 2 x 2cos 2 x 4
e. sin 2 x sin 2 2 x sin 2 3 x sin 2 4 x 2
f. 4sin 4 x 12cos 2 x 7
Bài 5. Giaûi caùc phöông trình sau :
8
3 sin 3 x cos 3 x 2
a) 2 cot(5 x ) 0
b) 2cos 2 x 3 cos x 0
c)
Baøi giaûi :
d) sin 2 x sin 2 x 2 cos 2 x 2
8
a) 2 cot(5 x ) 0
k �
8 2
b) 2 cos2 x 3 cos x 0
� 5x
x
k
5
k
2
�
�
3
5
cos x
x � k 2
2
6
c) 3 sin 3 x cos 3 x 2
2 k 2
3
1
sin 3 x cos 3 x 1 � Sin (3x ) = 1 � 3 x k 2 � x
6
6 2
9
3
2
2
2
2
d) sin x sin 2 x 2 cos x 2
sin x 0
� sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0
�
tan x 2
cos x 0
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
x
5
tr êng thpt
Phương trình lượng giác
x k
� x arctan 2 k
Bài 6. giaûi phöông trìnhlöôïng giaùc :
3
)0
5
3
k
k � x
5
5 3
x k 2
2
sin x 1
� x k 2
b) 2sin 2 x sin x 1 0 �
1
6
sin x
2
7
x
k 2
6
1
1
sin 5 x
cos 5 x 1
� Sin (5 x ) = - 1
c) sin 5 x cos 5 x 2
2
2
4
3 k 2
� 5 x k 2 � x
4
2
20
5
x k
cos x 0
2
�
d) 3sin 2 x sin 2 x cos 2 x 3 �
tan x 1
x k
4
a) 3 tan(3 x
� 3x
Câu 3(3đ) : Giải các phương trình sau:
a. 2sin x 1 0
b. 2 cos x 3 0
�
x k 2
�
6
a) sin x sin � �
5
6
�
x
k 2
�
� 6
b) cos x cos � x � k 2
6
6
2
c) 2sin x 3sin x 1 0
sin x 1
�
�
1
�
sin x
�
2
�
x k 2
�
2
�
�
x l 2
� 6
� 5
�
x
l 2
� 6
0.25đ*2
0.25đ*2
3
1
2
sin x cos x
2
2
2
� 5
x
k 2
�
12
�
11
�
x
k 2
� 12
d. 3 sin x cos x 2
0.25đ*2
d)
0.25đ
0.25đ
Câu 4(3đ) : Giải các phương trình sau:
a. 2sin x 3 0
b. 2 cos x 1 0
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
c. cos 2 x 3sin x 2 0
c. cos 2 x 3sin x 2 0
6
0.25đ
0.25đ*3
d. 3 sin x cos x 2
tr êng thpt
Phương trình lượng giác
�
x k 2
�
3
a) sin x sin � �
2
3
�
x
k 2
�
� 3
b) cos x cos � x � k 2
3
3
2
c) 2sin x 3sin x 1 0
sin x 1
�
�
1
�
sin x
�
2
�
x k 2
�
2
�
�
x k 2
� 6
� 5
�
x
k 2
� 6
0.25đ*2
0.25đ*2
3
1
2
sin x cos x
2
2
2
�
x k 2
�
12
�
7
�
x
k 2
� 12
d)
0.25đ
0.25đ
Câu 5(3đ) : Giải các phương trình sau:
a. 2sin x 1 0
b. 2 cos x 2 0
c. 2 cos2x -3cosx +1 =0
�
x k 2
�
6
a) sin x sin � �
5
6
�
x
k 2
�
� 6
b) cos x cos � x � k 2
4
4
c) 4 cos 2 x 3cos x 1 0
cos x 1
�
�
1
�
cos x
�
4
0.25đ*2
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ*3
d. 3 sin x cos x 2
x k 2
�
�
� 1�
�
x �arccos �
� k 2
�
� 4�
�
3
1
2
sin x cos x
d)
2
2
2
� 5
x
k 2
�
12
�
11
�
x
k 2
� 12
0.25đ*2
0.25đ
0.25đ*3
0.25đ
Câu 6(3đ) : Giải Phương trình
a. 3 sin x cos x 2
b. cos 2 x 3sin x 2 0
2
c. cos x + sinx +1=0
a/
3
1
2
sin x cos x
2
2
2
b 2sin x 3sin x 1 0
2
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
� 5
x
k 2
�
12
� �
�
sin �x � sin
� � 11
x
k 2
4
� 6�
� 12
sin x 1
�
�
1
�
sin x
�
2
�
x k 2
�
2
�
� �
x l 2
� 6
� 5
�
x
l 2
� 6
7
tr êng thpt
Phương trình lượng giác
�
x k
�
4
�
c. �x k
� 6
Câu 7
a. cos 2 x 3sin x 2 0
b.sin2x +3sinx cosx -5 cos2x= 0
c.2 cos2x -3cosx +1 =0
Đáp án
sin x 1
�
�
1
�
sin x
�
2
a 2sin x 3sin x 1 0
2
�
x k 2
�
2
�
� �
x l 2
� 6
� 5
�
x
l 2
� 6
b t sin x cos x, 2 �t � 2
1 t2
sin x.cos x
2
PT � t 12t 11 0
2
�
x k 2
�
2
�
x k 2
�
t 1
�
�
t 11 loai�
�
x k 2
�
c. �
�
x � k 2
3
�
�
�
�
câu 8. a. Giải các Phương trình sau: 2 cos �x � 1 0
3
2
�
2
b.sin x +3sinx cosx -5 cos x= 0
2 �
� �
� � 1
�x k2
�� 3
2cos �x � 1 0 � cos �
x � cos
3
� 3�
� 3� 2
�
�x k2
a/
b/
t sin x cos x , 2 �t � 2
1 t2
2
2
PT � t 12t 11 0
(0,25)
sin x.cos x
t 1
�
�
t 11 loai�
�
Câu9:
(0,25)
(0,25)
(0,25)
�
x k 2
�
2
(0
�
x k 2
�
Giải các Phương trình sau
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
8
tr êng thpt
Phương trình lượng giác
a. 2sin x 3sin x 1 0
b. 3sin x sin 2x 0
c. 2sin x 2 cos x 2
2
�
x k 2
�
2
Đs a. �
�
x k 2
� 6
b. x=k3600
� 5
x
k
�
24
c. �
13
�
x
k
� 24
Câu 10.(2đ) : Giải Phương trình
1
a. tan(x +200) = 2
b. sinx + sin2x = cosx + cos3x
c.4sin2x -5sinx cosx -6 cos2x= 0
DS
a. x=100 +k1800
x k 2
�
�
2
b. �
x k
3
� 6
x arctan 2 k
�
�
c. �
1
x arctan( ) k
�
2
Câu 11(2đ) : Giải Phương trình
a. 3 sin x cos x 2
b. cos 2 x 3sin x 2 0
1a)
3
1
2
sin x cos x
2
2
2
� 5
x
k 2
�
12
� �
�
sin �x � sin
� � 11
x
k 2
4
� 6�
� 12
1b) 2sin 2 x 3sin x 1 0
sin x 1
�
�
1
�
sin x
�
2
�
x k 2
�
2
�
x l 2
(0,25) � �
� 6
� 5
�
x
l 2
� 6
(0,25*2)
2
) =3
2
k
Đáp án : a. sin(3 x ) �0(0.25) � 3x �k (0.25), x � (0.5)
6
6
18 3
7
�
�
2 x k 2
x
k
�
�
3
4
24
��
(0.25* 4)
b. �
5
11
�
�
2x
k 2
x
k
� 3
� 24
4
�
Câu 12(2đ) a. 4 tan 2 x 7 tan x 3 0
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
b.sin(2x +
9
tr êng thpt
Phương trình lượng giác
2
) =c. 2 cos 2 2 x 3sin 2 2
3
2
2 k
Đáp án : a. cos(3x ) �0(0.25) � 3x � k (0.25), x � (0.5)
6
6 2
18 3
�
cos x 1 �x k
�
�
� 4
�
3�
3
cot x �
�
�
2 �x arc cot k
2
7
�
�
2 x k 2
x
k
�
�
3
4
24
��
(0.25* 4)
b. �
�
�
2 x k 2
x k
� 3 4
�
24
�
Câu 13(2đ) a. 2 cot 2 x 5co t x 3 0
b.cos(2x +
c.
cos 2 x 1
�
�
4 cos 2 x 3cos 2 x 1 0 � �
1
cos 2 x
�
�
4
2 x 2 k
�
�x k
�
�
��
��
k �Z
1
1
1
2
x
�
arccos(
)
2
k
x
�
arccos(
)
k
�
�
�
4
�
2
4
2
h. cos7 x sin 5 x 3(cos5 x sin 7 x)
5sin x sin 5 x 0
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
10
tr êng thpt
Phương trình lượng giác
Phương trình asinx + bcosx = c
2
� 5
�x 84 k 7
Bài 1. cos7 x 3 sin 7 x 2 � �
11
2
�
x
k
� 84
7
Bài 2. 3(sin 5 x cos x) 4(sin x cos5 x) � 3sin 5 x 4cos5 x 4sin x 3cos x
3
4
4
3
� sin 5 x cos5 x sin x cos x
5
5
5
5
3
4
� sin 5 x cos cos5 x sin sin x sin cos x cos , ( cos , sin )
5
5
� sin(5 x ) cos( x ) � sin(5 x ) sin( x )
2
�
�
x k
�
� 5 x 2 x k 2
12 3
3
��
��
� x k
�
5 x x k 2
�
�
2
8
2
Bài 3. 3sin 3 x 3 cos9 x 1 4sin 3 3 x � (3sin 3 x 4sin 3 3 x) 3 cos9 x 1
2
�
x
k
� 18
9
� sin 9 x 3 cos9 x 1 � sin(9 x ) sin � �
7
2
3
6
�
x
k
� 54
9
1
) 0 (1)
Bài 4. tan x sin 2 x cos 2 x 2(2cos x
cos x
0 x
k
Điều kiện: cos x �۹
2
sin x
2
(1) �
sin 2 x cos 2 x 4cos x
0
cos x
cos x
� sin x 2sin x cos 2 x cos 2 x cos x 2(2cos 2 x 1) 0
� sin x(1 2cos 2 x) cos 2 x cos x 2cos 2 x 0
� sin x cos 2 x cos 2 x cos x 2cos 2 x 0
� cos 2 x 0
� cos 2 x(sin x cos x 2) 0 � �
�x k
sin x cos x 2(vn)
4
2
�
Bài 5. 8sin x
3
1
(*)
cos x sin x
2
2
(*) � 8sin x cos x 3 sin x cos x � 4(1 cos 2 x)cos x 3 sin x cos x
0
Điều kiện: sin 2 x �۹
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
x
k
11
tr êng thpt
Phương trình lượng giác
� 4cos 2 x cos x 3 sin x 3cos x � 2(cos3 x cos x) 3 sin x 3cos x
�
� x 6 k
1
3
� cos3x cos x
sin x � cos3x cos( x ) � �
3
2
2
�
x k
�
12
2
C2 (*) � 8sin 2 x cos x 3 sin x cos x � 8(1 cos 2 x)cos x 3 sin x cos x
� 8cos x 8cos3 x 3 sin x 3cos x � 6cos x 8cos3 x 3 sin x cos x
1
3
� 4cos3 x 3cos x cos x
sin x � cos3x cos( x )
3
2
2
�
� x 6 k
��
�
x k
�
12
2
Bài 6. 9sin x 6cos x 3sin 2 x cos 2 x 8
� 6sin x cos x 6cos x 2sin 2 x 9sin x 7 0
� 6cos x(sin x 1) (sin x 1)(2sin x 7) 0
� (sin x 1)(6cos x 2sin x 7) 0
� sin x 1
��
� x k 2
6cos x 2sin x 7
2
�
Bài 7. sin 2 x 2cos 2 x 1 sin x 4cos x
� 2sin x cos x 2(2cos 2 x 1) 1 sin x 4cos x 0
� sin x(2cos x 1) 4cos 2 x 4cos x 3 0
� sin x(2cos x 1) (2cos x 1)(2cos x 3) 0
� (2cos x 1)(2sin x 2cos x 3) 0
1
�
cos x
�
�
� x � k 2
2
�
3
2sin x 2cos x 3,(vn)
�
Bài 8. 2sin 2 x cos 2 x 7sin x 2cos x 4
� 4sin x cos x (1 2sin 2 x) 7sin x 2cos x 4 0
� 2cos x(2sin x 1) (2sin 2 x 7sin x 3) 0
� 2cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 3) 0
� (2sin x 1)(2cos x sin x 3) 0
�
�x 6 k 2
� 2sin x 1 0
��
��
2cos
x
sin
x
3,(
vn
)
5
�
�
x
k 2
� 6
Bài 9. sin 2 x cos 2 x 3sin x cos x 2
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
12
tr êng thpt
Phương trình lượng giác
� 2sin x cos x (1 2sin x) 3sin x cos x 2 0
� (2sin x cos x cos x) (2sin 2 x 3sin x 1) 0
� cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 1) 0
� 2sin x 1
� (2sin x 1)(cos x sin x 1) 0 � �
cos x sin x 1
�
2
�
�x 6 k 2
2sin x 1 � �
5
�
x
k 2
� 6
� x k 2
2
cos x sin x 1 � cos( x )
��
�
4
2
x k 2
� 2
2
Bài 10. (sin 2 x 3 cos 2 x) 5 cos(2 x )
6
1
3
Ta có: sin 2 x 3 cos 2 x 2( sin 2 x
cos 2 x ) 2cos(2 x )
2
2
6
Đặt: t sin 2 x 3 cos 2 x, 2 �t �2
t 2
�
t
2
Phương trình trở thành: t 5 � 2t 2 t 10 0 � � 5
�t
2
� 2
5
t : loại
2
7
t 2 : 2cos(2 x ) 2 � x
k
6
12
Bài 11. 2cos3 x cos 2 x sin x 0 � 2cos 3 x 2cos 2 x 1 sin x 0
� 2cos 2 x(cos x 1) (1 sin x) 0 � 2(1 sin 2 x)(cos x 1) (1 sin x) 0
� 2(1 sin x)(1 sin x)(cos x 1) (1 sin x) 0
� (1 sin x)[2(1 sin x)(cos x 1) 1] 0
� (1 sin x)[1 2sin x cos x 2(sin x cos x)] 0
sin x 1
�
��
1 2sin x cos x 2(sin x cos x) 0
�
sin x 1 � x k 2
2
1 2sin x cos x 2(sin x cos x) 0 � (sin x cos x) 2 2(sin x cos x) 0
� (sin x cos x)(sin x cos x 2) 0 � sin x cos x 0
� tan x 1 � x k
4
NguyÔn trung tiÕn
tr êng thpt
13
kiÕn an
Phương trình lượng giác
1 cos 2 x
sin
2
x
�۹
0
x
k
(*)
Điều
kiện:
sin 2 2 x
2
1
cos 2 x
1
1 cos 2 x
(*) � 1 cot 2 x
�
1
cot
2
x
�
1
1 cos 2 2 x
1 cos 2 x
sin 2 x 1 cos 2 x
� sin 2 x(1 cos 2 x) cos 2 x(1 cos 2 x) sin 2 x
� sin 2 x cos 2 x cos 2 x(1 cos 2 x) 0 � cos 2 x(sin 2 x cos 2 x 1) 0
� cos 2 x 0
��
sin 2 x cos 2 x 1
�
cos 2 x 0 � x k
4
2
�
x
k
�
4
sin 2 x cos 2 x 1 � sin(2 x ) sin( ) � �
4
4
�x k
� 2
Vậy,phương trình có nghiệm: x k
4
2
4
4
Bài 13. 4(sin x cos x ) 3 sin 4 x 2
Bài 12. 1 cot 2 x
� 4[(sin 2 x cos 2 x) 2 2sin 2 x cos 2 x] 3 sin 4 x 2
1
� 4(1 sin 2 2 x) 3 sin 4 x 2 � cos 4 x 3 sin 4 x 2
2
�
x
k
�
2
�� 4
�
x k
�
12
2
1
Bài 14. 1 sin 3 2 x cos 3 2 x sin 4 x
2
� 2 sin 4 x 2(sin 2 x cos 2 x)(1 sin 2 x cos 2 x) 0
� (2 sin 4 x) (sin 2 x cos 2 x)(2 sin 4 x) 0
� (2 sin 4 x)(sin 2 x cos 2 x 1) 0 � sin 2 x cos 2 x 1
�
x
k
4
2 ��
�
� sin(2 x )
4
2
�x k
� 2
Bài 15. tan x 3cot x 4(sin x 3 cos x) (*)
0
Điều kiện: sin 2 x �۹
sin x
cos x
3
4(sin x 3 cos x)
cos x
sin x
� sin 2 x 3cos 2 x 4sin x cos x(sin x 3 cos x) 0
x
k
2
(*) �
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
14
tr êng thpt
Phương trình lượng giác
� (sin x 3 cos x)(sin x 3 cos x) 4sin x cos x(sin x 3 cos x) 0
� (sin x 3 cos x)(sin x 3 cos x 4sin x cos x) 0
�
sin x 3 cos x 0
��
sin x 3 cos x 4sin x cos x 0
�
k
3
sin x 3 cos x 4sin x cos x 0 � 2sin 2 x sin x 3 cos x
sin x 3 cos x 0 � tan x 3 � x
�
x
k 2
�
3
1
3
� sin 2 x sin x
cos x � sin 2 x sin( x ) � �
4
2
3
2
2
�
x
k
� 9
3
4
2
k
Vậy,phương trình có nghiệm là: x k ; x
3
9
3
2
3
3
Bài 16. sin x cos x sin x cos x � sin x(sin x 1) cos3 x cos x 0
2
� sin x cos 2 x cos3 x cos x 0 � cos x( sin x cos x cos x 1) 0
cos x 0
�
��
sin x cos x cos 2 x 1
�
cos x 0 � x k
2
1
1 cos 2 x
1 � sin 2 x cos 2 x 3,(vn)
sin x cos x cos 2 x 1 � sin 2 x
2
2
Vậy,phương trình có nghiệm là: x k , k ��
2
1
1
1
1
Bài 17. cos 4 x sin 4 ( x ) � (1 cos 2 x) 2 [1 cos(2 x )]2
4
4
4
4
2
4
2
2
� (1 cos 2 x) (1 sin 2 x) 1 � sin 2 x cos 2 x 1
�
x k 2
�
3
�� 2
� cos(2 x ) cos
4
4
�
x k
�
4
3
3
Bài 18. 4sin x cos3 x 4cos x sin 3 x 3 3 cos 4 x 3
� 4sin 3 x(4cos 3 x 3cos x) 4cos 3 x(3sin x 4sin 3 x) 3 3 cos 4 x 3
� 12sin 3 x cos x 12cos3 x sin x 3 3 cos 4 x 3
� 4sin x cos x(cos 2 x sin 2 x) 3 cos 4 x 1
� 2sin 2 x cos 2 x 3 cos 4 x 1 � sin 4 x 3 cos 4 x 1
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
15
tr êng thpt
Phương trình lượng giác
�
x k
�
24
2
1
3
1
��
, k ��
� sin 4 x
cos 4 x � sin(4 x ) sin
3
6
2
2
2
�x k
�
8
2
2
2
Bài 19.Cho phương trình: 2sin x sin x cos x cos x m (*)
a.Tìm m sao cho phương trình có nghiệm.
b.Giải phương trình khi m = -1.
Giải.
1
1
(*) � (1 cos 2 x) sin 2 x (1 cos 2 x) m � sin 2 x 3cos 2 x 2m 1
2
2
2
2
a. (*)có nghiệm khi: c �a b 2 � (1 2m) 2 �1 9 � 4m 2 4m 9 �0
1 10
1 10
ۣ
ۣ
�
m
2
2
b.Khi m = -1 phương trình trở thành:
1
3
3
sin 2 x
cos 2 x
sin 2 x 3cos 2 x 3 �
10
10
10
1
3
cos ,
sin )
� sin 2 x cos cos 2 x sin sin , (
10
10
� x k
� 2 x k 2
� sin(2 x ) sin � �
��
�
2 x k 2
x k
�
� 2
3
5 4sin( x)
6 tan (*)
Bài 20. Cho phương trình:
2
sin x
1 tan 2
a.Giải phương trình khi
4
b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm
Giải.
3
Ta có: sin( x) sin( x) cos x
2
2
6tan
6 tan cos 2 3sin 2 ,cos �0
2
1 tan
5 4cos x
(*) �
3sin 2 � 3sin 2 sin x 4cos x 5 (**)
sin x
a. khi phương trình trở thành:
4
3
4
3sin x 4cos x 5 � sin x cos x 1
5
5
3
4
� sin x cos cos x sin 1,( cos , sin )
5
5
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
16
tr êng thpt
Phương trình lượng giác
� sin( x ) 1 � x k 2
2
b.Phương trình có nghiệm khi:
cos �0
�
�cos �0
�cos �0
�
�
� cos 2 0 � k
�
� 2
� 2
2
(3sin 2 ) 16 �25
sin 2 �1
sin 2 1
4
2
�
�
�
Bài 21.Giải các phương trình:
a. 2 2(sin x cos x)cos x 3 cos 2 x
b. (2cos x 1)(sin x cos x) 1
c. 2cos 2 x 6(cos x sin x)
e. 2cos3x 3 sin x cos x 0
3
g. cos x 3 sin x
cos x 3 sin x 1
d. 3sin x 3 3 cos x
f. cos x 3 sin x sin 2 x cos x sin x
h. sin x cos x cos 2 x
6
6
3cos x 4sin x 1
k. cos7 x cos5 x 3 sin 2 x 1 sin 7 x sin 5 x l. 4(cos 4 x sin 4 x) 3 sin 4 x 2
m. cos 2 x 3 sin 2 x 1 sin 2 x
n. 4sin 2 x 3cos 2 x 3(4sin x 1)
x
2
(2 3)cos x 2sin 2 ( )
p.
q. tan x sin 2 x cos 2 x 4cos x
2 4 1
cos x
2cos x 1
i. 4sin 3 x 1 3sin x 3 cos3 x
j. 3cos x 4sin x
m sin x 2 m cos x 2
m 2cos x m 2sin x
a.Giải phương trình khi m = 1
b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm
Bài 23. Cho phương trình: sin x m cos x 2
(*)
a.Giải phương trình khi m 3
b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm
2sin x cos x 1
m (*)
Bài 24. Cho phương trình:
sin x 2cos x 3
1
a.Giải phương trình khi m
3
b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm.
Bài 22. Cho phương trình:
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
17
(*)
tr êng thpt
Phương trình lượng giác
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
cos3 x sin 3 x
) 3 cos 2 x (1)
1 2sin 2 x
�
x � k
�
1
12
, k ��
Điều kiện: sin 2 x � � �
7
2
�x � k
� 12
cos3 x sin 3 x
sin x 2sin 2 x sin x cos3 x sin 3 x
)5
Ta có: 5(sin x
1 2sin 2 x
1 2sin 2 x
sin x cos x cos3x cos3x sin 3 x
5
1 2sin 2 x
(sin 3 x sin x) cos x
2sin 2 x cos x cos x
5
5
1 2sin 2 x
1 2sin 2 x
(2sin x 1)cos x
5
5cos x
1 2sin 2 x
(1) � 5cos x cos 2 x 3 � 2cos 2 x 5cos x 2 0
1
� cos x � x � k 2
3
2
1
1
Bài 2. cos 2 3x cos 2 x cos 2 x 0 � (1 cos6 x)cos2 x (1 cos 2 x) 0
2
2
� cos6 x cos 2 x 1 0 (*)
Cách 1: (*) � (4cos3 2 x 3cos 2 x)cos 2 x 1 0 � 4cos 4 2 x 2cos 2 2 x 1 0
� cos 2 2 x 1 � sin 2 x 0 � x k
2
1
Cách 2: (*) � (cos8 x cos 4 x) 1 0 � cos8 x cos4 x 2 0
2
� 2cos 2 4 x cos 4 x 3 0 � cos 4 x 1 � x k
2
�cos6 x cos 2 x 1
Cách 3: (*) � �
cos6 x cos 2 x 1
�
1
Cách 4: (*) � (cos8 x cos 4 x) 1 0 � cos8 x cos 4 x 2
2
� cos8 x cos 4 x 1
3
Bài 3. cos 4 x sin 4 x cos( x )sin(3 x ) 0
4
4 2
1
3
� (sin 2 x cos 2 x) 2 2sin 2 x cos 2 x [sin(4 x ) sin 2 x] 0
2
2
2
1
1
3
� 1 sin 2 2 x ( cos 4 x sin 2 x) 0
2
2
2
Bài 1. 5(sin x
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
18
tr êng thpt
Phương trình lượng giác
1
1
1
1
� sin 2 2 x (1 2sin 2 2 x) sin 2 x 0
2
2
2
2
� sin 2 2 x sin 2 x 2 0 � sin 2 x 1 � x k
4
2
Bài 4. 5sin x 2 3(1 sin x) tan x (1)
0 x
k
Điều kiện: cos x �۹
2
sin 2 x
sin 2 x
(1) � 5sin x 2 3(1 sin x)
� 5sin x 2 3(1 sin x)
cos 2 x
1 sin 2 x
1
3sin 2 x
� 5sin x 2
� 2sin 2 x 3sin x 2 0 � sin x
2
1 sin x
�
�x 6 k 2
��
5
�
x
k 2
� 6
1
1
2cos3 x
Bài 5. 2sin 3 x
(*)
sin x
cos x
0
Điều kiện: sin 2 x �۹
x
(*) � 2(sin 3x cos3x)
k
2
1
1
sin x cos x
� 2[3(sin x cos x) 4(sin 3 x cos 3 x]
1
1
sin x cos x
� 2(sin x cos x)[3 4(sin 2 x sin x cos x cos 2 x)]
sin x cos x
sin x cos x
sin x cos x
0
sin x cos x
1
� (sin x cos x)(2 8sin x cos x
)0
sin x cos x
2
� (sin x cos x)(4sin 2 x
2) 0
sin 2 x
� (sin x cos x)(4sin 2 2 x 2sin 2 x 2) 0
�
�x �4 k
� tan x 1
�
� sin x cos x 0
�
�� 2
�
sin 2 x 1 � �
x k
�
�
4sin 2 x 2sin 2 x 2 0
12
�
�
sin 2 x 1 / 2
� 7
�
�x
k
� 12
� 2(sin x cos x)( 1 4sin x cos x)
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
19
tr êng thpt
Phương trình lượng giác
cos x(2sin x 3 2) 2cos 2 x 1
Bài 6.
(*)
1
1 sin 2 x
k
Điều kiện: sin 2 x �1۹ x
4
(*) � 2sin x cos x 3 2 cos x 2cos 2 x 1 1 sin 2 x
2
� x � k
4
2
Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm: x k , k ��
4
x
3x
x
3x 1
Bài 7. cos x cos cos sin x sin sin
2
2
2
2 2
1
1
1
� cos x(cos 2 x cos x) sin x(cos 2 x cos x)
2
2
2
2
� cos x cos 2 x cos x sin x cos 2 x sin x cos x 1
� cos 2 x(sin x cos x) 1 sin 2 x sin x cos x 1 0
� cos 2 x(sin x cos x) sin x(sin x cos x) 0
� (sin x cos x)(cos 2 x sin x) 0
� (sin x cos x)( 2sin 2 x sin x 1) 0
� sin x cos x 0
�� 2
2sin x sin x 1 0
�
� 2cos 2 x 3 2 cos x 2 0 � cos x
�
x
k
�
4
�tan x 1
�
�
� sin x 1 � �
x k 2
�
�
2
�
sin
x
1
/
2
�
�
5
�
x k 2 �x
k 2
� 6
6
Bài 8. 4cos3 x 3 2 sin 2 x 8cos x � 4cos3 x 6 2 sin x cos x 8cos x 0
� 2cos x (2cos2 x 3 2 sin x 4) 0 � 2cos x(2sin 2 x 3 2 sin x 2) 0
�
�x 2 k
�cos x 0
�
�
�
� �x k 2
2
�
� 4
sin x
�
� 3
2
�
x
k 2
� 4
Bài 9. cos(2 x
) cos(2 x ) 4sin x 2 2(1 sin x)
4
4
NguyÔn trung tiÕn
kiÕn an
20
tr êng thpt
- Xem thêm -
.DOC 
60 
1159 
149 
