MỤC LỤC
CHUYÊN ĐỀ . THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ............................................
2
DẠNG 1. KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY .......
2
DẠNG 2. KHỐI CHÓP CÓ HÌNH CHIẾU CỦA ĐỈNH LÊN MẶT PHẲNG ĐÁY
17
DẠNG 3. KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁ ....
31
DẠNG 4. KHỐI CHÓP ĐỀU ...............................................................
42
DẠNG 5. TỈ LỆ THỂ TÍCH ..................................................................
50
1
CHUYÊN ĐỀ 2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
1
3
Công thức chung: V Bh
Trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao
DẠNG 1. KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY
Một số chú ý khi giải toán
Một hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là
đường cao.
Một hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì cạnh bên là
giao tuyến của hai mặt đó vuông góc với đáy.
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 300. Tính theo a thể tích
khối chóp S.ABC .
A. V
a 3 13
2
B. V
a3
12
C. V
3a 3 13
2
D. V
5a 3 13
2
Phân tích: Bài toán yêu cầu tính thể tích của khối chóp khi có đáy là tam giác đều ABC
cạnh a, hiển nhiên từ đây ta có thể suy ra được ngay diện tích của ABC . Ta cần tìm thêm
chiều cao SA thông qua việc xác đinh góc giữa SB, ABC . Góc giữa đường thẳng SB và
mặt phẳng (ABC) là SBA 30 .
Hướng dẫn giải
S ABC
S
a 3
a2 3
; SA tan SBA. AB
4
3
1
a3
.
VS.ABC S ABC .SA
3
12
Vậy chọn đáp án A.
C
A
a
300
B
Chú ý: Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bước 1: Tìm giao điểm O của a với
a
A
Bước 2: Chọn A a và dựng
AH , với H .
Khi đó: AOH a,
O
H
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA bằng a. Mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
góc ABC bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
2
A.
a3 3
6
B.
a3 3
3
C.
a3
D.
3
2a 3
3
Phân tích: Đề bài yêu cầu tính thể tích khối chóp khi đã cho chiều cao có độ dài là a. Ta chỉ
cần tìm diện tích đáy, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC bằng 600 nên ABC là tam
giác đều (tam giác cân có 1 góc bằng 600 ). Từ đây ta suy ra được diện tích của hình thoi
ABCD.
Hướng dẫn giải
Tam
giác
S ABC a 2
ABC
đều cạnh
a
nên
S
3
4
Diện tích đáy: SABCD 2.SABC a 2
3
2
A
1
3
a3 3
Thể tích khối chóp V .a 2
.a
3
2
6
D
600
B
C
a
Vậy chọn đáp án A.
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với AC
a 2
. Cạnh bên SA
2
vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SB hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc 600.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A.
a3 3
24
B.
3a 3 3
24
C.
a3 3
8
D.
Phân tích: Đề bài cho đáy là hình vuông biết đường chéo AC
được cạnh hình vuông là
3a 3 3
8
a 2
, ta suy ra được ngay
2
a
, từ đây tính được diện tích hình vuông ABCD. Ta thấy AB là
2
hình chiếu của SB lên mặt phẳng ABCD nên SB, ABCD SBA 600 ; SA ABCD
SA là chiều cao của khối chóp S.ABCD
Hướng dẫn giải
Ta tính được
S
a
a 3
a2
AB ; SA
; S ABCD
2
2
4
1
a3 3
(đvtt)
VS.ABCD .SA.SABCD
3
24
A
Vậy chọn đáp án A.
60
0
D
a 2
2
B
C
Câu 4. Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB = a, OC = a 3 , (a > 0) và
đường cao OA a 3 . Tính thể tích khối tứ diện theo a.
A. V
a3
3
B. V
a3
2
C. V
a3
6
D. V
a3
12
3
Phân tích: Đề bài đã cho đường cao OA a 3 , đáy OBC là tam giác vuông tại O có độ dài
hai cạnh của góc vuông từ đây ta suy ra trực tiếp diện tích đáy OBC .
Hướng dẫn giải
1
2
1
2
Ta có: SOBC OB.OC a(a 3)
a2 3
2
1 a2 3
a3
.
)(a 3)
3 2
2
1
3
Thế tích khối tứ diện V SOBC .OA (
Vậy chọn đáp án B.
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC 600 cạnh SA vuông
góc với đáy và SC tạo với đáy một góc 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
A. V
a3
2
B. V
a3
3
C. V
2a 3
3
D. V
a3
9
Phân tích: Đề bài cho đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC 600 nên ABC đều cạnh a, từ
đây suy ra được diện tích của hình thoi. Để tính chiều cao SA ta phải xác định được góc
tạo bởi SC, ABCD SCA 60 0
Hướng dẫn giải
SABCD 2S ABC
a2 3
2
S
Ta có ABC đều nên AC a.
SA AC.tan60 a 3.
1
3
Suy ra: VS.ABCD SA.SABCD
a3
.
2
A
600
600
B
Vậy chọn đáp án A.
D
a
a
C
Lời bình: Việc nhận định được tam giác ABC đều cạnh a từ đó giúp ta tính nhanh
1
2
đượcdiện tích hình thoi . Nếu dùng công thức tính diện tích hình thoi SABCD AC.BD {
1
}
2
sẽ lâu hơn và buộc ta phải tính thêm BD AB2 AD2 2AB.AD.cos120 BD a 3
1
2
Suy ra SABCD AC.BD
a2 3
2
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3 , BAD 1200 và
cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600. Tính theo a thể
tích khối chóp S.ABCD.
A. V
a3 3
4
B. V
3.a 3 3
4
C. V
3.a 3
4
D. V
3.a 3 3
5
Phân tích: Do dáy ABCD là hình thoi có BAD 1200 nên các tam giác ABC, ADC đều cạnh
a 3 , từ đây ta suy ra được diện tích của hình thoi ABCD.
Để tính được chiều cao của SA ta phải tính thông qua góc tạo bởi (SBC) và đáy. Gọi H là
trung điểm của BC, ta có: AH BC, SA BC BC SH
4
Do đó:
SBC ; ABCD AH;SH SHA 600
Hướng dẫn giải
Tam giác SAH vuông tại A:
SA AH.tan 600
S
3a
2
Ta có:
S ABCD 2S ABC
a 3
2
2
3
4
3a 2 3
.
2
Suy
A
H
ra:
1
3a 3 3
.
VS.ABCD SA.S ABCD
3
4
B
600
1200
D
a 3
C
Vậy
chọn đáp án B.
Lưu ý: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
Tìm trong (P) đường thẳng a (d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng
b (d)
Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b
Bài toán về góc sẽ được đề cập sâu hơn trong chủ đề 8.
Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB 2a, BAC 600 .
Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA a 3 . Tính theo a thể tích khối
chóp S.ABC .
A. V a 3
B. V 3a 3
C. V 2a 3
D. V 4a 3
Phân tích: Đề bài đã cho độ dài chiều cao SA a 3 , nên ta chỉ cần tìm diện tích đáy nữa là
xong. Mặt khác, đáy ABC là tam giác vuông tại B và đã cho AB 2a , ta tìm thêm AC
thông qua AB và BAC 600 .
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC có:
S
BC AB.tan 600 2a 3
1
S ABC AB.AC 2a 2 3
2
a 3
1
VSABC S ABC .SA 2a 3
3
A
C
600
2a
Chọn đáp án C
B
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có góc BAC 300 , SA a ,
SCA 450 và SA vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABC là V. Tỉ số
A.
3
13
B.
3
14
C.
3
24
D.
V
a3
là
3
34
5
Phân tích: Đề bài đã cho độ dài chiều cao SA a , ta chỉ cần tìm thêm diện tích đáy là ABC
1
2
là tam giác vuông tại B { SABC AB.AC }.
SCA 450 AC SA.tanSCA a ; AB AC.cosBAC a.cos300
3a
2
Hướng dẫn giải
Ta có:
S
1
AB.ACsin BAC
2
1 a. 3.a 1 a 2 3
.
.
2
2
2
8
S ABC
45
Vậy
A
1
1 a2 3
a3 3
VS.ABC .SABC .SA
.a
3
3 8
24
V
a
3
C
30
B
3
. Vậy chọn đáp án C
24
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có AB 2a,AD a . Hai mặt
phẳng SAB và SAD c ng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBD
bằng 450. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số
A. 0,25
B. 0,5
V
a3
gần nhất giá trị nào dưới đây:
C. 0,75
D. 1,5
Phân tích: Yêu cầu bài toán thật ra chỉ cần tìm thể tích khối chóp S.ABCD là xong. Đề bài
đã cho đáy là hình chữ nhật với kích thích các cạnh thì hiển nhiên tính dễ dàng SABCD .
Mặt khác:
SAB ABCD
và SAD ABCD ,
SAB SAD SA SA ABCD
SA chính là đường cao. Để tìm SA ta phải thông qua
hay
SAB , SBD.
Ta có: AD AB,AD SA AD SAB AD SB .
Kẻ AH SB SB AHD SB HD .
AH SB,HD SB
SAB , SBD AHD 450
SAB
SBD
SB
Ta có:
Hướng dẫn giải
6
Ta có: SABCD AB.AD 2a 2
S
AHD vuông cân tại A
AH AD a .
H
Xét tam giác SAB vuông tại S có:
1
AH
2
SA
1
SA
2
1
AB2
AB.AH
D
A
2a.a
AB2 AH2
4a 2 a 2
1
3
1
3
Vậy VS.ABCD .SABCD .SA .2a 2.
2a 3
3
C
B
V 4 3
2a 3 4a 3 3
3
0,77
9
3
9
a
Vậy chọn đáp án C.
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và AB = a, AC = 2a,
BAC 1200 . Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
A. V
a 3 21
14
B. V
a 3 21
13
C. V
2a 3 21
13
D. V
3.a 3 21
14
Phân tích: Đề bài cho đáy là tam giác ABC có độ dài hai cạnh và góc xen giữa ta sẽ tính
được diện tích đáy. Để tính chiều cao SA ta chỉ cần xác định góc giữa
SBC , ABC
và
tính SA thông qua yếu tố này.
Gọi F là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Khi đó SF BC , suy ra:
SBC , ABC SFA 600
Hướng dẫn giải
Ta có:
S
1
a2 3
S ABC .AB.AC.sin BAC
2
2
a 21
3a 7
BC=a 7 , AF
, SA
7
7
1
1 a 2 3 3a 7
VSABC .S ABC .SA .
.
3
3 2
7
3
a 21
14
A
a
2a
C
1200
F
B
Vậy chọn đáp án A.
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD), SB a 3 . Tính
theo a thể tích khối chóp S.ABCD .
A.
a3 2
2
B.
a3 2
4
C.
a3 2
5
D.
a3 2
3
Phân tích: Đề bài cho đáy là hình vuông cạnh a diện tích đáy ABCD.
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông SAB để tìm SA.
Hướng dẫn giải
7
Ta có:
S
SABCD a 2
SA SB2 AB2 3a 2 a 2 a 2
a 3
3
1
a . 2
V SABCD .SA
3
3
Chọn đáp án D.
A
D
a
B
C
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 3a, AD = 4a,
SA (ABCD) , SC tạo với đáy góc 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A. V 20a 3
B. V 20a3 2
C. V 30a 3
D. V 22a 3
Phân tích: Đề bài cho đáy là hình chữ nhật với kích thước các cạnh SABCD . Để tính chiều
cao SA, ta cần xác định đúng góc tạo bởi SC với đáy và tính thông qua yếu tố này là được.
Do SA (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC lên đáy SC, ABCD SCA 450 .
Hướng dẫn giải
Ta có
S
SABCD 3a.4a 12a 2
SA AC.tan 450 5a
1
VS.ABCD SA.SABCD 20a 3
3
A
4a
45
3a
Vậy chọn đáp án A.
B
D
0
C
Câu 13. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng
ABC
và
AB 3a, BC 4a, AC 5a,AD 6a. Thể tích khối tứ diện ABCD là:
A. 6a 3
B. 12a 3
C. 18a 3
D. 36a 3
Phân tích:
Nhận thấy Tam giác ABC có: AB2 BC2 3a 4a 25a 2 AC2 ABC vuông tại B
2
2
SABC . Chiều cao đề bà đã cho AD 6a. Áp dung công thức thể tích khối chóp ta được
đáp án bài toán.
Hướng dẫn giải
Ta có: AD 6a.
1
1
SABC AB.BC 3a.4a 6a 2
2
2
1
1
VABCD SABC AD .6a 2 .6a 12a 3
3
3
Vậy chọn đáp án B.
D
6a
3a
A
5a
B
4a
C
8
Câu 14. Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , hai mặt phẳng SAB
và SBC vuông góc với nhau, SB a 3 , BSC 45o , ASB 30o . Thể tích tứ diện SABC là V.
Tỉ số
A.
a3
là:
V
8
3
B.
8 3
3
C.
Phân tích: Ta có: SA ABC SAB ABC
2 3
3
D.
4
3
SBC SAB , ABC SAB
BC SAB
SBC
ABC
BC
ABC, SBC là các tam giác vuông tại B. Từ đây để tính diện tích tam giác ABCD ta chỉ
cần tính AB, BC thông qua SB a 3 , BSC 45o , ASB 30o .
Hướng dẫn giải
SA SB.cos ASB
3a
2
AB SB.sin ASB
a 3
,
2
S
450
300
BC SB.tan BSC a 3
a 3
1
1 a 3
3a 2
SABC AB.BC .
.a 3
2
2 2
4
Vậy
C
A
1
1 3a 2 3a 3a 3
VS.ABC .S ABC .SA .
.
3
3 4 2
8
3
a
8
V 3
B
Vậy chọn đáp án A.
Tổng quát: Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , hai mặt phẳng
SAB và SBC vuông góc với nhau,
VS.ABC
BSC , ASB . Thể tích tứ diện SABC là:
SB3 .sin 2.tan .
12
Thật vậy
9
Xét SAB vuông tại A có : AB SB.sin ,
S
SA SB.cos
β
Xét SBC vuông tại B có :
α
BC SB.tan
1
1
SABC AB.BC .SB2 .sin .tan
2
2
Vậy
VS.ABC
C
A
1
.S ABC .SA
3
1 1
. .SB2 .sin .tan .SB.cos
3 2
SB3 .sin 2.tan
12
B
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, cạnh bên SD
vuông góc với đáy, cho AB AD a , CD 3a,SA a 3 . Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A.
2a 3
3
4a 3
3
B.
a3 2
3
C.
D.
2a 3 2
3
Phân tích: Đề bài cho đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D AD a là chiều cao của
hình thang, có thêm hai đáy là AB a và CD 3a SABCD . Để tìm chiều cao SD của hình
chóp ta áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông SAD .
Hướng dẫn giải
Ta có:
S ABCD
S
AB CD .AD a 3a .a 2a2
2
2
a 3
SD SA AD 3a a a 2
2
2
2
2
3a
D
Vậy
C
a
1
1
2a 3 2
VS.ABCD .SABCD .SD .2a 2 .a 2
3
3
3
A
a
B
Vậy Chọn đáp án D
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng SAB
và SAD c ng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 300.
Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số
A.
3
3
B.
3V
a3
3
là:
C.
3
2
D.
3
6
Phân tích: Để bài đa cho đáy là hình vuông cạnh a SABCD .
SAB ABCD
Ta có: SAD ABCD SA ABCD
SAB SAD SA
10
Để tìm chiều cao SA ta cần xác định đúng góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD và
tính thông qua yếu tố này. Dễ dàng xác định được: SBC , ABCD SBA 30 0 .
Hướng dẫn giải
Ta có:
S
SA AB.tan SBA
a 3
3
1
1
a 3 a3 3
VS.ABCD .S ABCD .SA .a 2 .
3
3
3
9
3V
3
3
3
a
A
30
D
0
B
Vậy chọn đáp án A.
C
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a, BC 3a . Hai mặt
phẳng SAB và SAD c ng vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600. Thể
tích khối chóp S.ABCD là:
B. 2a 3
A. a 3
C.
D. 2 3a 3
3a 3
Phân tích: Đề bài đã cho đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a, BC 3a . Từ đây ta suy ra
được SABCD . Mặt khác:
SAB ABCD
SA ABCD
SAD ABCD
SAB SAD SA
Để tìm chiều cao SA ta cần xác định đúng góc giữa hai mặt phẳng SC và ABCD và tính
thông qua yếu tố này. Dễ dàng xác định được: SC, ABCD SCA 60 0 .
Hướng dẫn giải
Ta có: SABCD AB.BC a2 3
S
Xét tam giác SAC vuông tại S có:
SA AC.tan600 2a. 3
Vậy
VS.ABCD
A
1
1
.S ABCD .SA a 2 3.2 3a 2a 3
3
3
D
a
60
B
a 3
0
C
Vậy chọn đáp án B.
Câu 18. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B , AB a, ACB 600 , cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450 . Thể tích khối
chóp S.ABC là:
A.
a3 3
6
B.
a3 3
18
C.
a3 3
9
D.
a3 3
12
11
Phân tích: Đề bài cho đáy là tam giác ABC vuông tại B , có AB a , ACB 600 BC . Từ đó
suy ra được S ABC . Để tìm chiều cao SA ta cần xác định chính xác góc SB, ABC và tính
SA thông qua yếu tố này.
Ta có AB là hình chiếu vuông góc của SB trên ABC
SB, ABC SB,AB SBA 45o
Hướng dẫn giải
BC AB.cot ACB a.cot 600
SABC
S
a 3
3
1
1 a 3 a2 3
BA.BC a.
2
2
3
6
SAB vuông tại A nên
SA AB.tanSBA AB.tan 45o a
Vậy VS.ABC
A
1
1 a2 . 3
a3 3
SABC .SA
.a
3
3 6
18
C
600
450
a
Chọn đáp án B
B
Câu 19. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với mặt phẳng
ABC , góc giữa BD và mặt phẳng DAC là 300. Thể tích khối tứ diện
ABCD là V. Tỉ số
a3 6
là:
V
A. 1
B. 3
C. 4
D. 12
Phân tích: Đề bài cho đáy ABC là tam giác đều cạnh a S ABC
a2 3
4
Gọi M là trung điểm AC. Ta có : BM AC,BM DA BM DAC
BD, DAC BDM 300 . Để tìm chiều cao AD ta cần tìm DM bằng cách áp dụng định
lý pitago trong tam giác vuông DAM
Hướng dẫn giải
S ABC
a2 3
4
D
Xét BMD vuông tại M có :
DM BM.cot 300
a 3
3a
. 3
2
2
300
Xét DAM vuông tại A có :
9a 2 a 2
DA DM AM
a 2
4
4
2
2
2
Vậy
VABCD
1
1 a2 3
a3 6
.S ABC .DA .
. 2a
3
3 4
12
M
A
C
a
B
12
a3 6
12 . Chọn đáp án D
V
Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC a 2 ,
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên SBC tạo với mặt đáy một góc bằng
450 . Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A.
a3 2
12
B.
a3 2
24
C.
a3 2
36
D.
a3 2
48
Phân tích: Đề bài cho đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, có cạnh huyền BC a 2
AB AC a . Để tìm chiều cao SA ta cần xác định đúng
SBC , ABC và tính SA thông
qua yếu tố này.
Ta có SA ABC SA BC và BC AM nên BC SAM BC AM
AM BC ( vì ABC cân tại A)
SBC , ABC (SM,AM) SMA 45o
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm BC
AM
S
1
a 2
BC
2
2
1
1
a2
SABC AM.BC BC2
2
4
2
Ta có SAM vuông tại A
C
A
SA AM.tan SMA AM
450
a 2
2
M
a 2
1 a2 a 2 a3 2
.
3 2 2
12
1
3
B
Vậy VS.ABC .SABC .SA .
Chọn đáp án C
Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ASB 900 , BSC 1200 , ASC 900 . Thể
tích khối chóp S.ABC là:
A.
a3
2
B.
a3
6
C.
a3 3
4
D.
a3 3
12
Phân tích: Mấu chốt bài toán này là xác định được chiều cao SA.
Ta có SA AB,SA AC SA SBC . Đáy là tam giác ABC cho độ dài hai cạnh và góc xen
giữa nên suy ra được diện tích đáy.
Hướng dẫn giải
13
Ta có:
A
SA a
1
1
3 a2 3
SSBC SB.SB.sin1200 a 2 .
2
2
2
4
a
1
VS.ABC VA.SBC S SBC .SA
3
2
3
1 a 3
a 3
.
.
.a
3 4
12
S
a
C
1200
a
B
Vậy chọn đáp án D
Câu 22. Cho hình chóp SABC có tam giác SBC đều cạnh a , CA a . Hai mặt ABC và
ASC
A.
cùng vuông góc với (SBC). Thể tích hình chóp là
a3 3
12
B.
a3 3
2
C.
a3 3
4
D.
a3
12
Phân tích: Đề bài cho đáy là tam giác SBC đều cạnh a SSBC .
Mặt khác:
(ABC) (SBC)
(ASC) (SBC) AC (SBC) . Suy ra AC là chiều cao của hình chóp
(ABC) (ASC)
Hướng dẫn giải
Ta có:
CA a ; SSBC
A
a2 3
4
a
Do đó
1
1 a2 3
a3 3
V SSBC .AC
a
3
3 4
12
Vậy chọn đáp án A.
B
C
a
S
Câu 23. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA
vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o. Thể tích hình chóp là
A.
a3
24
B.
a3 6
24
C.
a3 6
12
D.
a3
12
Phân tích: Ta có: SA (ABC) AB là hình chiếu của SB trên (ABC).
Vậy góc SB, ABC SAB 60o . ABC vuông cân nên BA = BC =
a
;
2
Hướng dẫn giải
14
Ta có:
S ABC
S
1
a2
BA.BC
2
4
SA AB.tan 60o
a 6
.
2
1
3
Vậy V SABC .SA
a
1 a2 a 6 a3 6
.
3 4 2
24
a
C
A
600
Vậy chọn đáp án B
B
Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với
đáy ABC và SBC hợp với ABC một góc 60o. Thể tích hình chóp là
A.
a3
8
B.
a3 3
4
C.
a3 3
8
D.
3a 3 3
8
Phân tích: Gọi M là trung điểm của BC, vì tam giác ABC đều nên AM BC SA BC.
Mặt khác: SBC ; ABC SMA 60o . Từ đay ta suy ra được chiều cao SA.
Hướng dẫn giải
Ta có
S
SA AM tan 60o
S ABC
3a
2
a2 3
4
a
Vậy
1
V = VS.ABC SABC .SA
3
a3
8
3
C
A
.
600
M
a
Vậy chọn đáp án C.
B
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc
đáy ABCD và mặt bên SCD hợp với đáy một góc 60o. Thể tích hình chóp S.ABCD là
A.
a3
8
B.
a3
3
C.
3a 3 3
8
D.
a3 3
3
Phân tích: Ta có SA (ABC) và CD AD CD SD (1)
Vậy góc SCD , ABCD SDA 60o. Từ đây ta suy ra được chiều cao SA.
Hướng dẫn giải
15
Ta có
S
SAD vuông nên
SA AD.tan60o a 3
1
3
1
3
Vậy V SABCD .SA a 2a 3
a3 3
3
A
600
a
Vậy chọn đáp án D.
B
D
C
16
DẠNG 2. KHỐI CHÓP CÓ HÌNH CHIẾU CỦA ĐỈNH LÊN MẶT PHẲNG ĐÁY
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC a 3 , H là
trung điểm của cạnh AB. Biết hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) c ng vuông góc với mặt
đáy, đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp a.
A. V
a 3 13
2
B. V
a 3 13
3
C. V
3a 3 13
2
D. V
5a 3 13
2
Phân tích:
Theo đề ta có
(SHC) (ABCD)
SH (ABCD) SH là chiều cao của hình chóp
(SHD) (ABCD)
(SHC) (SHD) SH
Ta có HD là hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD)
SD,ABCD SD,HD SDH 600 . Từ đây ta sẽ tính được độ dài chiều cao SH.
Hướng dẫn giải
Ta có:
S
SH HD.tan 600
a 39
2
1
Vậy VS.ABCD S ABCD .SH
3
1
a 39 a3 13
1
AB.AD.SH a.a 3.
3
3
2
2
A
600
D
a
H
B
C
a 3
Vậy chọn đáp án A.
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của đoạn AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
(ABC) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC .
B. V a 3 3
A. V a 3
D. V 3.a 3 3
C. V 2a 3
Hướng dẫn giải
Ta có: SC, ABC SCH 600
SH CHtan 600
S ABC
2a
VS.ABC
2
4
3
S
2a 3
. 3 3a
2
a2 3 .
1
1
SH.S ABC .3a.a 2 3 a 3 3
3
3
Vậy chọn đáp án B.
600
2a
A
C
H
B
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có góc giữa SC và mặt đáy bằng 450, đáy ABC là tam giác
vuông tại A có AB 2a , góc ABC 600 và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung
điểm AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
17
A. V
2.a 3 39
3
B. V
a 3 39
3
C. V
2.a 3 37
3
D. V
4.a 3 39
3
Phân tích: Để bài cho đáy ABC là tam giác vuông tại A có AB 2a , góc ABC 600 . Ta suy ra
được AC thông qua hai yếu tố này SABC .
Mặt khác: SC, ABC SCH 450 SHC vuông cân tại H.
Hướng dẫn giải
Tam giác ABC vuông tại A:
S
AC 2a 3
1
S ABC AB.AC 2a 2 3
2
Tam giác AHC vuông tại H : HC a 13 .
Ta có: SH HC a 13
VS.ABC
2a
3
39
3
450
A
2a
60
H
C
0
B
. Vậy chọn đáp án A.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB = 2a, AC = 4a. Hình
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của đoạn AC. Góc giữa
cạnh bên SA và mp(ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A. V 3a 3
B. V a 3
D. V 3a 3 5
C. V 4a 3
Phân tích: Đề bài cho đáy đáy ABC là tam giác vuông tại B và cho thêm AB 2a,AC 4a ,
1
2
từ đây suy ra được BC và SABC AB.BC .
Ta có: SH (ABC) góc giữa SA và (ABC) là SAH 600 . Ta tính chiều cao SH thông qua
AH (H là trung điểm của AC nên AH
AC
) và SAH 600 .
2
Hướng dẫn giải
Ta có :
S
BC AC2 AB2 2a 3
1
SABC AB.AC 2a 2 3
2
Mặt khác : SH AH.tan600 2a 3
Vậy VSABC
600
1
.SH.S ABC 4a 3
3
2a
B
A
H
Chọn đáp án C.
4a
C
Câu 5. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a . Trên
a
2
cạnh AB lấy điểm M sao cho AM , cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) và SH a . Tính thể tích khối chóp S. HCD
A. V
4a 3
5
B. V
a3
15
C. V
4a 3
15
D. V
2a 3
15
18
Phân tích: Mấu chốt bài toán này là phải nhìn ra được DHC 90 0 .
Hai tam giác vuông AMD và DAC có
AM
AD
AD
DC
1
2
nên đồng dạng.
Suy ra ADH DCH , mà ADH HDC 900 DHC 900 .
1
2
Do đó: SHCD DH.HC . Đề bài đã cho chiều cao SH a , như vậy chỉ cần tính được SHCD
kết quả bài toán.
Hướng dẫn giải
ADC vuông tại D:
S
AC2 AD2 DC2 AC a 5
Áp dụng hệ thức lượng trong
ADC : DH.AC DA.DC
Suy ra: DH
DC.DA 2a
AC
5
A
a
HC DC DH
2
D
4a
B
H
DHC vuông tại H:
2
M
2a
C
5
1
2
Do đó diện tích HCD: SHCD DH.HC
4a2
5
1
3
Thể tích khối chóp S.HCD: VS.HCD SH.SHCD
4a3
.
15
Vậy chọn đáp án C.
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B, AB a 3 , ACB 600 , hình
chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung
điểm AC biết SE a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A. V
a 3 . 78
18
B. V
5a 3 . 78
18
C. V
a 3 . 77
18
D. V
7a 3 . 78
18
Phân tích: Đề bài cho đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 3 , ACB 600 . Ta sẽ tính
1
2
được BC thông qua hai yếu tố này. Từ đó suy ra SABC AB.BC . Gọi G là trọng tâm tam
giác ABC.
Theo giả thiết có SG ABC . Để tính SG ta áp dụng định lý pitago SGE (vuông tại G).
Hướng dẫn giải
19
- Xem thêm -
.PDF 
61 
2100 
98 
