Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Toán học Hệ bất phương trình trong các đề thi thử thpt quốc gia năm 2016 có đáp án...

Tài liệu Hệ bất phương trình trong các đề thi thử thpt quốc gia năm 2016 có đáp án

.PDF
92
1377
77

Mô tả:

Hệ bất phương trình trong các đề thi thử thpt quốc gia năm 2016 có đáp án
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT HỆ - BẤT - PHƢƠNG TRÌNH TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016  3  x  y  1  x 3  2 y 2  9 x  5 Bài 1: Giải hệ phƣơng trình:  . 3 3 2 2  x  y  12 x  3 y  3 y  6 x  7 Lần 2 – THPT ANH SƠN 2 Lời giải tham khảo x  3 Điều Kiện :   y  1 Phương trình thứ 2 tương đương với ( x  2)3  ( y  1)3  y  x  1 (3) Thay (3) v|o phương trình thứ nhất ta được: 3  x  x  2  x3  2 x 2  5 x  3 điều kiện 2  x  3  3  x  x  2  x3  2 x 2  5 x  3  3  x  x  2  3  x3  2 x 2  5 x  6  2( (3  x)( x  2)  2)  x3  2 x 2  5 x  6 3 x  x  2 3 2( x 2  x  2)   ( x  1)( x  2)( x  3) ( 3  x  x  2  3)( (3  x)( x  2)  2) 2( x 2  x  2)  ( x 2  x  2)( x  3) ( 3  x  x  2  3)( (3  x)( x  2)  2) 2  ( x 2  x  2)(  ( x  3))  0 ( 3  x  x  2  3)( (3  x)( x  2)  2) 2  ( x  3)  0 Do điều kiện 2  x  3 nên ( 3  x  x  2  3)( (3  x)( x  2)  2)  Suy ra x2  x  2  0  x  1; x  2 thoả mãn điều kiện. Khi x  1  y  0 TMĐK Khi x  2  y  3 TMĐK Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (-1;0), (2;3) Bài 2: Giải phƣơng trình x3  x  2  x 2  1 x  6 . Lần 1 – THPT BẮC YÊN THÀNH Lời giải tham khảo ĐK: x  0 . Nhận thấy (0; y) không l| nghiệm của hệ phương trình. Xét x  0 . 1 1 1  1 (1) Xét hàm số f  t   t  t t 2  1 Từ phương trình thứ 2 ta có 2 y  2 y 4 y 2  1   2 x x x 2 1 t 1 có f '  t   1  t 2  1   0 nên h|m số đồng biến. Vậy 1  f  2 y   f    2 y  . x  x t 2 1 Xét h|m số f  t   t  t t 2  1 có f '  t   1  t 2  1  1  f  2 y   t2 t 2 1  0 nên h|m số đồng biến. Vậy 1 1 f    2y  . x  x VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 1 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Thay v|o phương trình (1): x  x  2  x  1 x  6 3 2 Vế tr{i của phương trình l| h|m đồng biến trên  0;   nên có nghiệm duy nhất  1 x  1 v| hệ phương trình có nghiệm  1;  .  2 2x 2  y 2  x  3( xy  1)  2 y  Bài 3: Giải hệ phƣơng trình:  2 2 9  3  2 x  y  3  4  5x  2 x  y  9   x, y   . Lần 1– THPT BẢO THẮNG SỐ 3 Lời giải tham khảo 2 x  y  0  ĐK :  4  x  5 Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ ta có : 2x 2  y 2  x  3( xy  1)  2 y   x  y  1 2x  y  3  0  y  x  1 Với y  x 1 thay v|o phương trình thứ hai ta được phương trình sau : 2 2 9   3  x  1 3  4  5x x  10     2  x  10  6  x  1  4  5x  9 9  3 x  1  3 4  5x  x  1 4  5x     x  1  4  5x  3 9 x  1  9 4  5x  4x  41  0  4 ( Do x   1;  nên 9 x  1  9 4  5x  4x  41  0 )  5  x  1  4  5x  3  0  x  1  4  5x  3  2 x  1. 4  5x  4  4x  x 1  0  x  1  x  1. 4  5x  2 x  1  0    x  0  4  5x  2 x  1   Với x  0  y  1; x  1  y  2 Đối chiếu với điều kiện v| thay lại hệ phương trình ban đầu ta thấy hệ đã cho có nghiệm : ( x; y)  (0; 1);( x; y)  (1; 2) Bài 4: Giải phƣơng trình: x 1 x2 x 3 2x 2 3 2x 1 3 1 . Lần 1 – THPT BÌNH MINH Lời giải tham khảo Điều kiện: x 1, x 13 x  x6 ( x  2)( x  1  2)  1  ( x=3 không l| nghiệm) 3 3 2x 1  3 2x 1  3  (2 x  1)  3 2 x  1  ( x  1) x  1  x  1 Pt  x  1  2  2 H|m số f (t )  t 3  t đồng biến trên do đó phương trình  3 2 x  1  x  1 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 2 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  x  1/ 2  x  1/ 2    3 2 2 3 (2 x  1)  ( x  1) x  x  x  0  x  1/ 2 1 5   1  5  x  0, x  2  x  0, x   2 Vậy phương trình có nghiệm S {0, 1 5 2 } 32 x5  5 y  2  y ( y  4) y  2  2 x Bài 5: Giải hệ phƣơng trình:   x, y   . 3 ( y  2  1) 2 x  1  8 x  13( y  2)  82 x  29  Lần 2 – THPT Bố Hạ Lời giải tham khảo 1 Đặt đk x   , y  2 2 +) (1)  (2 x)5  2 x  ( y 2  4 y ) y  2  5 y  2  (2 x)5  2 x    5 y  2  y  2(3) Xét h|m số f (t )  t 5  t , f '(t )  5t 4  1  0, x  R , suy ra h|m số f(t) liên tục trên R. Từ (3) ta có f (2 x)  f ( y  2)  2 x  y  2 Thay 2 x  y  2( x  0) v|o (2) được Thay 2 x  y  2( x  0) v|o (2) được (2 x  1) 2 x  1  8 x 3  52 x 2  82 x  29  (2 x  1) 2 x  1  (2 x  1)(4 x 2  24 x  29)  (2 x  1)   2 x  1  4 x 2  24 x  29  0 1  x  2   2  2 x  1  4 x  24 x  29  0(4) 1 Với x  . Ta có y=3 2 (4)  ( 2 x  1  2)  (4 x 2  24 x  27)  0  2x  3  (2 x  3)(2 x  9)  0 2x 1  2 x  3 / 2  1  (2 x  9)  0(5)  2 x  1  2 3 Với x  . Ta có y=11 Xét (5). Đặt t  2 x  1  0  2 x  t 2  1 . Thay vao (5) được 2 1  29 t 3  2t  10  21  0  (t  3)(t 2  t  7)  0 . Tìm được t  . 2 Xét (5). Đặt t  2 x  1  0  2 x  t 2  1 . Thay vao (5) được t 3  2t  10  21  0  (t  3)(t 2  t  7)  0 . Tìm được t  Từ đó tìm được x  1  29 . 2 13  29 103  13 29 ,y 4 2 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 3 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  x3  y 3  3x 2  3 y 2  24 x  24 y  52  0  Bài 6: Giải hệ phƣơng trình:  x 2 . 2   y 1 4 Lần 1 – THPT CAM RANH Lời giải tham khảo 2  x  2 Đk  . 1  y  1 Đặt t  y  2 . Biến đổi phương trình đầu về dạng. x3  3x2  24x  t 3  3t 2  24t Xét h|m số f  x   x3  3x 2  24 x liên tục trên  2; 2 Chứng minh được x=t=y+2  x  2 x  y  2  x  y  2  2   y  0   Hệ pt được viết lại:  x y  0   2  x  6 / 5   y 1   y  4 / 5  4    y  4 / 5 KẾT LUẬN: x 3 - 6x 2 + 13x = y 3 + y + 10 Bài 7: Giải hệ phƣơng trình:  . 3 2  2x + y + 5 - 3 - x - y = x - 3x - 10y + 6 Lần 2 – THPT CAM RANH Lời giải tham khảo XÉT PT(1): x 3  6x 2  13x  y3  y  10   x  2   ( x  2)  y 3  y (*) 3 Xét h|m số f  t   t 3  t . Ta có f '  t   3t 2  1  0t   f  t  đồng biến trên Do đó (*)  y  x  2 . Thay y  x  2 v|o (2) ta được: 3x  3  5  2 x  x 3  3x 2  10 x  26 5 (ĐK :   x  1 ) 2  3x  3  3  1  5  2 x  x3  3 x 2  10 x  24  3 x  2  2  x  2 3x  3  3 1  5  2 x   x  2   x 2  x  12  x  2  3 2    x 2  x  12 (3)  3x  3  3 1  5  2 x 5 PT (3) vô nghiệm vì với   x  1 thì x2  x 12  0 . 2 x  2 Hệ có nghiệm duy nhất  y  0 Bài 8: Giải bất phƣơng trình: x3 3 x1  x 3  2 9x . x Lần 1– THPT CAO LÃNH 2 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 4 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Lời giải tham khảo Điều kiện: 1  x  9; x  0 (1)     x 2  3x  2 9  x x  3  3 x  1  x x 3 3 x1    0 ( x  3)2  9( x  1)  2 9  x x  3  3 x  1  x x 3 3 x1 x  3  3   x1 x 33 x1 2 9 x  x x  3 3 x1   0  0     x 1 x 1  3  2 1 9  x x 33 x1 2 9 x 0 0 x x  x8 x1 2 x8   00x8    0  x  x  1  3 1 9  x  x Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình l| 0  x  8  Bài 9: Giải bất phƣơng trình: x2 + x – 1  (x + 2) x 2  2 x  2 Lần 1 – THPT chuyên LÊ QÚY ĐÔN - KH Lời giải tham khảo TA CÓ : x2  2x – 7 + (x + 2)(3  x  2 x  2 )  0  (x2  2x – 7) 2 ( x  1)  1  x  1  x  1 nên : 2 Vì: ( x 1)2 1  ( x 1) 3 x 2  2 x  2  ( x 1)2 1  ( x 1) 3 x 2  2 x  2   0. > 0 , x.  x2 – 2x – 7  0  x  1  2 2  1 + 2 2  x Vậy bất pt có tập nghiệm: S = (;1  2 2 ] [1 + 2 2 ;+) Bài 10: Giải bất phƣơng trình: x3  x  2  2 3 3x  2 .. Lần 1 – THPT chuyên NGUYỄN HUỆ Lời giải tham khảo x3  x  2  2 3 3 x  2  x3  3 x  2  2 3 3 x  2  2 x 3 x  2  x3  x  3x  2  2 3 3 2 3x  2  x 3 3x  2  x 2   2  x3  3 x  2 1  0 2  2 3 3 3x  2  x 3x  2  x    2  x3  3 x  2  0 1   0, x  2  2 3 3 3 x  2  x 3 x  2  x        VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 5 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  x 1   x  2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình l|    1 .  x 3  y3  3x 2  3x  6y  4  0  Bài 11: Giải hệ phƣơng trình:  . 3 y 2 x  3  7 y  13  3 x  1     Lần 2 – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ Lời giải tham khảo   Từ phương trình (1) ta có: x3  3 x   y  1  3  y  1 3 Xét h|m số f  t   t 3  3t , f   t   3t 2  3 f   t   0 với mọi t suy ra h|m số f  t  đồng biến trên . f  x   f  y  1  x  y  1 Thế x  y  1 v|o phương trình (2) ta được: Thế x  y  1 v|o phương trình (2) ta được:  x  1   2 x  3  3 7 x  6  3  x  1  3 Ta có x  1 không l| nghiệm phương trình. Từ đó: 3  x  2x  3  3 7 x  6  x 1 3  x  Xét h|m số g  x   2 x  3  3 7 x  6  x 1  3  TXĐ: D      \ 1  2  1 7 6 g  x    2 x  3 33  7 x  6 2  x  12     3  3 g   x   0   ; x  1, g     không x{c định. 2  2  3  H|m số đồng biến trên từng khoảng   ;1 và 1;   .  2  Ta có g  1  0; g  3  0 . Từ đó phương trình g  x   0 có đúng hai nghiệm x  1 và x  3. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  1; 2  và  3; 2  .  xy ( x  1)  x 3  y 2  x  y Bài 12: Giải hệ phƣơng trình:  .  2 2 3 y 2  9 x  3  4 y  2 1  x  x  1  0     Lần 1 – THPT CHUYÊN SƠN LA Lời giải tham khảo       y  x Biến đổi PT (1)   x  y  x  y  1  0   2 2 y  x 1 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 6 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016   3x 2  9 x 2  3   4 x  2  x = y thế v|o PT (2) ta được:   2 x  1 Xét f (t )  t     2 x  1  1  x  x2  1  0    3  2  (3 x) 2  (3 x) 2  3   f  2 x  1  f  3 x  t 2  3  2 có f '(t )  0, t. f l| h|m số đồng biến nên: 2 x  1  3x  x    2  CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT y  x2  1    Thế vào (2) 3( x 2  1) 2  9 x 2  3  4 x 2  1  2 1 1 y  y  x2  1 5 5   1  x  x2  1  0 Vế tr{i luôn dương, PT vô nghiệm.  1  5 Vậy hệ có nghiệm duy nhất:   ;  1 . 5 x  2  x  x  1   y  2   x  1 y  1 Bài 13: Giải hệ phƣơng trình:  3x 2  8 x  3  4  x  1 y  1   x, y   . Lần 1 – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Lời giải tham khảo  x  1 Điều kiện:   y  1 x3  x 2  x   y  2 1  x 1 3  x  1 y  1   x3  x  x  1  x  1 x 1   y  2 y  1  3 x  x     y  1  y 1 .  x 1  x 1  Xét h|m số f  t   t 3  t trên có f   t   3t 2  1  0t   x  f  f  x 1    y 1     2 x  1  x  2 x  1 2 Ta có y   2 suy ra f(t) đồng biến trên . Nên x  y  1 . Thay vào (2) ta được 3x 2  8 x  3  4 x x  1 . x 1   x 1   2  x  3 2 3  x  6x  3  0  2 x 1  x 1      1 5  2 13 x  x  2 x  1  1  3 x  3 9    9 x 2  10 x  3  0 x2 1 x 1 43 3 5  2 13 41  7 13  y . Với x  . 2 9 72 C{c nghiệm n|y đều thỏa mãn điều kiện .   5  2 13 41  7 13  43 3  ; Hệ phương trình có hai nghiệm  x; y    3  2 3;  &  x; y     . 2  9 72    Với x  3  2 3  y  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 7 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT 3 3 2 2   x  y  8 x  8 y  3x  3 y Bài 14: Giải hệ phƣơng trình:  2 . 3 2   5 x  5 y  10  y  7   2 y  6  x  2  x  13 y  6 x  32 Lần 2 – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Lời giải tham khảo x  2  0  x  2 Điều kiện :   y  7  0  y  7 3 3 Từ phương trình 1 ta có  x  1  5  x  1   y  1  5  y  1  3 Thay  4  vào  2  ta được pt:  5 x 2  5 x  10  x  7   2 x  6  x  2  x3  13x 2  6 x  32  5  x  2 5x2  5x  10    x  7  3   2x  6 Xét hàm số f  t   t 3  5t , trên tập .  5x  4 2  5x  10   Đ/K  x  2  2  x3  2 x 2  5 x  10  5  , f   t   3t 2  5  0, t   hàm số f  t  đồng biến trên  3 : f  x  1  f  y  1  x  y x  7  3   2 x  6   x  2  2   x3  2 x 2  5 x  10  5  Từ  5 x 2  5 x  10 2x  6  2   x  2     x  2   x  5 x2 2  x7 3  4  x  2   y  2   x; y    2;2 ( thỏa mãn đ/k)  5 x 2  5 x  10 2 x  6  5 x 2  5 x  10 2x  6    0 5 2  x7 3 x2 2    5 x 2  5 x  10  2x  6  4  y  2   x; y    2;2 ( thỏa mãn    x 2  5   0 x  2   x  2  x2 2  x7 3  đ/k)    1 1  1 1   5 x 2  5 x  10       2x  6     0 (pt n|y vô nghiệm)    x  7  3 5  0,x2  x  2  2 2     0,x2   0,x 2  0,x 2 Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất :  x; y    2; 2  Bài 15: Giải bất phƣơng trình: x2 2 6  x  2x  4  2  x  2 2  1 . 2 Lần 3 – THPT chuyên VĨNH PHÚC Lời giải tham khảo Điều kiện : x  2 Do đó bất phương trình  2   x  2  2  6  x2  2 x  4  2  x  2  2 x  2  2 x  12  x  2   6 x 2 Ta có 2  6  x  2x  4  2  x  2  2 2  x2  2 x  4 6  x2  2 x  4  2  x  2 1  0, x  2 Do đó bất phương trình  x  2  2  6  x2  2 x  4  2  x  2 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 8 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Nhận xét x  2 không là nghiệm của bất phương trình t  1 2  2t  0 2  2t  12  6t 2    t2 2 2 2 2  t  2   0 4  8t  4t  12  6t Khi 2  2 x  2 chia hai vế x  x   12  6    x2  x2  bất 2 phương  2  . Đặt t  trinh 1 cho x2 0 ta được x thì bất phương trình  2  được x2 x x x  x x0  thì bất phương trình  2  được 2t22   12 6    2  . xĐặt  2  2t2 3 .  2 x  2x  2 x2  x x42x 8  0 2 Bất phương trình có nghiệm duy nhất x  2  2 3 .  x 1  97 y 2  y 1  97 x 2  97( x 2  y 2 ) Bài 16: Giải hệ phƣơng trình:  ( x, y  ). . 27 x  8 y  97 Lần 2 – THPT CHUYÊN HẠ LONG Lời giải tham khảo Điều kiện: 0  x , y  1 97    1 1   1 1  Thay ( x; y) bằng một trong c{c cặp số (0; 0),  0; '0  ,  ;  ,  vào (1), (2) ta 97 97 97 97       1 thấy c{c cặp n|y đều không l| nghiệm. Do đó 0  x , y  97 1 Đặt 97 x  a, 97 y  b . Do 0  x , y  nên 0  a, b  1 . Khi đó (1) trở th|nh 97     a 1  b  b 1  a  a2  b2  a a  1  b2  b b  1  a2  0  a b  ( a 2  b 2  1)   2 b  1  a2  a  1 b  1 2 2 2 2 .   0  a  b  1 . Suy ra x  y  97  Với c{c số dương a1 , a2 , b1 , b2 , ta có a1b1  a2 b2  a12  a22 . b12  b22 . Đẳng thức xảy ra khi v| chỉ khi a1b2  a2b1 . Thật vậy,    a1b1  a2 b2  a12  a22 . b12  b22   a1b1  a2 b2   a12  a22 . b12  b22   a1b2  a2 b1   0 2 Do đó 27 x  8 y  97 9 x  4 y  97 Đẳng thức xảy ra khi 4x = 9y v| x 2  y 2  97 x 2  y 2  97 (do x 2  y 2  2 1 ) 97 1 Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của hệ 97  9 4  pt đã cho l|  x; y    ;   97 97   9 4  Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của hệ pt đã cho l|  x; y    ;   97 97  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 9 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT 2x  x 2  3y 2   7 Bài 17: Giải hệ phƣơng trình:  . 2 2  x  6xy  y  5x  3y Lần 1 – THPT CHUYÊN LONG AN Lời giải tham khảo  uv x u3  v3  7(1)  x  y  u  2 Đặt  . Ta có hệ phương trình:  2  2 2u  4u  v  v(2) x  y  v y  u  v  2 Lấy (2) nh}n với −3 rồi cộng với (1) ta được: u3  6u2  12u  8  v3  3v2  3v  1  0   u  2    v  1  0 3 3  u  1  v . Thay vào phương trình (2), ta được: v2  v  2  0 Thay v|o phương trình (2), ta được: v2  v  2  0  v  1 1 3 + v  1 suy ra u = 2. Suy ra  x, y    ,   2 2 v  2 1 3 + v  1 suy ra u = 2. Suy ra  x, y    ,  2 2 1 3 + v  2 suy ra u = −1. Suy ra  x, y    ,   2 2  x 3  y 3  3 y 2  3x  6 y  4  0  Bài 18: Giải hệ phƣơng trình:  . 3 7 y  13  3( x  1) y 2 x  3   Lần 1 – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ Lời giải tham khảo 3 Điều kiện: x   2 3 Từ pt(1) ta có x  3x  ( y  1)3  3( y  1)   f (t)  0 với mọi t suy ra h|m số đồng Xét h|m số f (t )  t 3  3t ; f (t )  3t 2  3  0, t  biến trên f (t)  0 với mọi t suy ra h|m số đồng biến trên Mà f ( x)  f ( y  1) nên x  y  1 Thế x  y  1 v|o pt(2) ta được: ( x  1)  Ta có x  1 không l| nghiệm của pt(3). Từ đó Xét h|m số g( x)  2 x  3  3 7 x  6   2x  3  3 7 x  6  3( x  1) (3) 3( x  1) x 1 2x  3  3 7 x  6  3( x  1) x 1  3  Tập x{c định D    ;   \1  2  1 7 6 g( x)    2 2 x  3 3 3 (7 x  6)2 ( x  1) VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 10 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT 3  3 g( x)  0, x   ; x  1, g    không x{c định. 2  2  3  H|m số đồng biến trên từng khoảng   ;1  và  1;   . Ta có g( 1)  0; g(3)  0 . Từ đó pt  2  g( x)  0 có đúng hai nghiệm x  1 và x  3. Ta có g( 1)  0; g(3)  0 . Từ đó pt g( x)  0 có đúng hai nghiệm x  1 và x  3. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1; 2) và (3; 2) 1 Bài 19: Giải bất phƣơng trình: x 1 2  1 3x  5 2 2  x  2 1 2 . Lần 1 – THPT ĐA PHÚC +) Đặt t = x2 – 2, bpt trở th|nh: Lời giải tham khảo 1 1 2 ĐK: t  0 với đk trên, bpt tương đương   t 3 3t  1 t 1 1 1  )  2 . Theo Cô-si ta có: t 3 3t  1 t 1 2t 11 2t   .     2 3t  1 2  2 3t  1  3t  1 t t t 1 1  t t 1   .     t 1 t  3 2  t 1 t  3  1 1 t 1 1  1 t 1  t 3  .     t  1 3t  1 2  t  1 3t  1  3t  1 1 1 2 11 2   .      VT  2t  0. 2 t 3 2 2 t 3 t 3 ( t  1)( t 1 2t 11 2t   .     2 3t  1 2  2 3t  1  3t  1 1 1 t 1 1  1 t 1   .     t  1 3t  1 2  t  1 3t  1  3t  1  VT  2t  0. +) Thay ẩn x được x2  2  x  (;  2]  [ 2; )  T  (;  2]  [ 2; ). Bài 20: Giải phƣơng trình: 32 x  16 x  9 x  9 2 x  1  2  0 . 4 2 Lần 2 – THPT ĐA PHÚC Lời giải tham khảo 1 , phương trình đã cho tương đương 2 32 x 4  32 x 2  16 x 2  16 x  7 x  7  9  9 2 x  1  0 Điều kiện x     32 x 2  x 2  1  16 x  x  1  7( x  1)  9 1  2 x  1  0  32 x 2  x  1 ( x  1)  16 x  x  1  7( x  1)  9  2  2x 1  2x 1 18     x  1 32 x 2 ( x  1)  16 x  7  0 1  2x 1   18     x  1 32 x3  32 x 2  16 x  7    0 (*) 1  2x 1   0 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 11 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Ta có 32  3 32 x  8  4  1 32  x   32 x 2   8  32 x 3  32 x 2  16 x  7  27 2 4  16  16 x  2  8 18 1  2x 1  1    18 1  2x 1 18  32 x 3  32 x 2  16 x  7   9  0. 1  2x 1 Vậy (*)  x  1 . Kết luận: Phương trình có nghiệm x =1. 2   x  3 xy  x  y  y  5 y  4 Bài 21: Giải hệ phƣơng trình:  . 2 4 y  x  2  y  1  x  1   Lần 1 – THPT PHƢỚC BÌNH Lời giải tham khảo  xy  x  y 2  y  0  Đk: 4 y 2  x  2  0 . Ta có (1)  x  y  3  y 1  0   x  y  y  1  4( y  1)  0 Đặt u  x  y , v  y  1 ( u  0, v  0 ) u  v Khi đó (1) trở th|nh : u 2  3uv  4v2  0   Với u  v ta có x  2 y  1, thay vào (2) u  4v(vn) ta được : 4 y2  2 y  3  y 1  2 y 4 y2  2 y  3  y 1  2 y Với u  v ta có x  2 y  1, thay v|o (2) ta được :  4 y 2  2 y  3   2 y  1    y 1 1  0  2   y  2   2  4 y  2 y  3  2 y 1  ( vì  2 4 y  2 y  3  2 y 1 2  2  y  2 4 y2  2 y  3  2 y 1  y2 0 y 1  1  1 0  y2 y  1  1  1  0y  1 ) y 1 1 Với y  2 thì x  5 . Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ PT l|  5; 2  Bài 22: Giải bất phƣơng trình: x 1  x2  x  2 3 2 x  1 . 3 2x 1  3 Lần 2 – THPT PHƢỚC BÌNH Lời giải tham khảo VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 12 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT - ĐK: x  1, x  13 x 1  - Khi đó: x2  x  2 3 2 x  1 x2  x  6  x  1  2  3 3 2x 1  3 2x 1  3 1  x  2  3 x 1  2 2x 1  3  ,  * - Nếu 2 x  1  3  0  x  13 (1) thì (*)   2 x  1  3 2 x  1   x  1 x  1  x  1 3 Do hàm f (t )  t 3  t l| h|m đồng biến trên f  3   2x  1  f , mà (*):  x  1  3 2 x  1  x  1  x3  x 2  x  0  1  5   1  5  DK(1) Suy ra: x   ;  VN    0;   2   2   - Nếu 3 2 x  1  3  0  1  x  13 (2) thì (2*)   2 x  1  3 2 x  1   x  1 x  1  x  1 Do hàm f (t )  t 3  t l| h|m đồng biến trên f  3   2x 1  f , mà (2*): 1   1  x   2  x  1  3 2 x  1  x  1    1  x  13  2  2 3   2 x  1   x  1  1  5  DK(2) 1  5  ;    ;13  Suy ra: x   1;0    x   1;0    2   2  1  5  ;13  -KL: x   1;0    2   x 2  xy  2y  1  2y3  2y 2  x Bài 23: Giải hệ phƣơng trình:  . 6 x  1  y  7  4x y  1    Lần 3 – THPT PHƢỚC BÌNH Lời giải tham khảo ĐK: x  1 . 1   2y2  x  1  x  y   0  y  x  1 vì 2y2  x  0, x  1 Thay v|o (2) ta được 6 x  1  x  8  4x 2    x  1  3   2x   2x  x  1  3 2 2 4x 2  13x  10  0   2x  3  x  1    x 2  y 3 3 x   2 Vậy nghiệm của phương trình l| ( x; y)  (2;3) . 2 x3  4 x 2  3x  1  2 x 3  2  y  3  2 y  Bài 24: Giải hệ phƣơng trình:  3   x  2  14  x 3  2 y  1 1  2 . VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 13 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Lần 4 – THPT PHƢỚC BÌNH Lời giải tham khảo Ta thấy x  0 không phải l| nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho x3 ta được 4 3 1 1  2   2  3  2  2  y  3  2 y x x x 3  1  1   1     1     3  2 y  3  2 y  3  2 y  *  x  x Xét hàm f  t   t 3  t luôn đồng biến trên 1  3 2y  3 x Thế (3) v|o (2) ta được x  2  3 15  x  1  x  2  3  2  3 15  x  0     1 1     x  7   0 2  x  2  3 4  2 3 x  15  3 x  15     0    111  Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y    7; .  98  *  1     2 x  y  6  1  y Bài 25: Giải hệ phƣơng trình:   9 1  x  xy 9  y  0 2 . Lần 5 – THPT PHƢỚC BÌNH Lời giải tham khảo x  y  6  0  x  1 Đk:  +) Nếu y  0 , để hệ có nghiệm thì 1  y  0 . VT (1)  2 x  y  6  2 5     VT (1)  VP(1) hệ vô nghiệm. VP(1)  1  y  1   +) Nếu y<0, từ (2) suy ra x>0 2  3   3  2 9 1  x  xy 9  y  0    9     y  9    y  (3)  x  x 9  2t 2 2 Xét h|m số f (t )  t 9  t , t  0; f '(t )   0t  0 9  t2 3 9  3  (3)  f   y  x  2   f ( y )  y x  x 2 9 9  y  6  1  y (4). H|m số g ( y )  2 2  y  6 2 y y đồng biến trên  ;0  ; h|m số h(y)=1-y nghịch biến trên  ;0  v| phương trình có ngiệm Thế v|o pt(1) ta có phương trình 2 y=-3 nên pt(4) có nghiệm duy nhất y=-3. Vậy, hệ có nghiệm duy nhất (1;-3). VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 14 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x Bài 26: Giải hệ phƣơng trình: x2 x 2 x y x y CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x3 4 x2 2x 2 3 y x y 3 1 . Lần 1 – THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC Lời giải tham khảo x  y  4  0 Điều kiện  x  y  4  0  2   y  x  1 thế (1) ta được:  x  2 2x  3  x3  x2  x  2   x  1 2    2 x  3  x  1 4 2 x  3  2 x  8  0  x  1  x  2 Hệ có nghiệm  x; y    1; 2  ,   2; 2  1  Bài 27: Giải bất phƣơng trình: x 2  x  6 x 2 x 6  x    x 1  x 2   x 1  x 2   x  1  3x 2  9x  2 . Lần 2 – THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC Lời giải tham khảo  x  1  3x 2  9x  2   x  1  1  x  2  x  1  2  2x  10x  12  x  6   x  2   x  2  x  3    2x  10x  12  x2  x  6 2  2 2 x 1 1 x  5x  6 x  2 2   x 1 2 x 2  5x  6  2 x  x 1 2 2  5x  6 x 1 1  x 2  1  x 2  5x  6    2  0 x 1 2  x 1 1  2    x 1 1  1 2  x  5x  6   0 x  1  2  x 1 1    x  1;2   3;          2 2   y  1  2 y  1  x  x  xy  3 y Bài 28: Giải hệ phƣơng trình:  . 2 2 x  y  3  y  3 x  7   Lần 1 – THPT ĐỒNG XOÀI Lời giải tham khảo 2 Đk: y  1, x  0, y  3 x   1  2 y 1 x   0 Từ pt (2) ta có :  y  x  1   y 1  x    Suy ra, y = x + 1 Thay vào pt (1) ta được x2  x  1  x2  x  1  7  3 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 15 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Xét h|m số: f ( x)  x2  x  1  x2  x  1 Chứng minh h|m số đồng biến Ta có nghiệm duy nhất x = 2 Vậy nghiệm của hệ l| (2;3) Bài 29: Giải hệ phƣơng trình: x2 y2 x y 2xy x y x2 y 1 . Lần 2 – THPT ĐỒNG XOÀI Lời giải tham khảo Điều kiện: x  y  0 . 1  2 2   0  ( x  y  1)( x  y  x  y )  0 xy  (1)  ( x  y)2  1  2 xy  1    x  y  1  0 (vì x  y  0 nên x 2  y 2  x  y  0 )  Thay x  1  y vào (2) ta được: 1  x 2  (1  x )  x 2  x  2  0   x  1  y  0  x  2  y  3 Vậy hệ có 2 nghiệm: (x;y) = (1; 0), (x;y) = (–2; 3) x Bài 30: Giải hệ phƣơng trình: x 2y 3 1 2xy y 2x 2 x 5 5x 1 10y 8x 2y 2 4y (y 6 0 1) . Lần 3 – THPT ĐỒNG XOÀI Lời giải tham khảo + Điều kiện: x 2y 5 x x x 2y x2 Dễ thấy x 2 y 2x x 2y 2 x 2x 2 8x 5 2y 2 2y 2y 2 2 1 x x 1 2y 2y 8x 2y 5 0 6 6 0 0 0 y Do đó hệ 2x 2 x 5 2xy 2xy 2 1 2y x 2 1 2xy x 2y x 2y 0 0 x +Ta có hệ 1 5 0 2y 5 4 2y 0 x2 y2 2xy y2 0 : vô nghiệm với x, y R. 2x 2 6 x 1 5 2x 2 7x 8x 2y 2y 1 4 0 0 2y 5 x 6 0 (*) x 2x 2 2y Giải phương trình: +) Điều kiện: 2x 1 1 2 x 5 7x 7 0 (*) 5 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 16 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016  +) Phương trình  2x 2x 8 x 4 2x 1 3 1 1 (x x 5 x 4  3 Vậy hệ có nghiệm x ; y 4)(2x 1 x 1) 2x 2 7x 4 (2x 1) 0 4 y 0 0 1 1 1 1 5 2 2 2x 1 0 2x Dễ thấy 3 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT 5 x 3 1 (2x 5 1) x 0 nên x 2 4;2 .  x x2  y 2  x2  2 x  y 2 3      Bài 31: Giải hệ phƣơng trình:   x, y  3 x3  2 x  y 2  x 2  y 2  2 2   y  1  x   x 2x  1 . Lần 2 – THPT CHUYÊN QUANG TRUNG Lời giải tham khảo ĐK: x  y 2  0 Từ PT(1) tìm được x  x  y 2  x 2  x  y 2 Thế v|o (2) đưa về pt chỉ có ẩn x 3  1 1 2 2 Đưa được về h|m  1    1   1   3 1  x x x x  Xét hàm f  t   t 3  t đồng biến trên »từ đó được pt 1  1 3 2  1  giải được x x 5 1 5 1  L , x  N 2 2 æ 5 -1 ö Nghiệm ç ; ± 5 - 2÷ è 2 ø x  x  y  x  y  2 Bài 32: Giải hệ phƣơng trình:  . 2 2 2 2  x  y  1  3  x  y Lần 1 – THPT NGUYỄN HỮU CẢNH Lời giải tham khảo Điều kiện: x+y  0, x-y  0  u  v  2 (u  v)  u  v  2 uv  4 u  x  y     u 2  v2  2 Đặt:  ta có hệ:  u 2  v 2  2 v  x  y  uv  3   uv  3  2 2    u  v  2 uv  4 (1)    (u  v) 2  2uv  2 . Thế (1) v|o (2) ta có:  uv  3 (2)  2  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 17 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT uv  8 uv  9  uv  3  uv  8 uv  9  (3  uv ) 2  uv  0 .  uv  0 Kết hợp (1) ta có:   u  4, v  0 (vì u>v). u  v  4 Từ đó ta có: x =2; y =2.(Thỏa đ/k) KL: Vậy nghiệm của hệ l|: (x; y)=(2; 2).. ( x  y )( x 2  xy  y 2  3)  3( x 2  y 2 )  2 Bài 33: Giải hệ phƣơng trình:  . 2 4 x  2  16  3 y  x  8 Lần 2 – THPT NGUYỄN HỮU CẢNH Lời giải tham khảo 16 ĐK: x  2, y  3 3 (1)  ( x  1)  ( y  1)3  y  x  2 Thay y=x-2 vao (2) được 4( x  2) 3( x  2) 4 x  2  22  3x  x 2  8   ( x  2)( x  2)  x22 22  3x  4 x  2  4 3   ( x  2)   0(*)  x  2  2 22  3 x  4 Xét f(x)=VT(*) trên [-2;21/3],có f’(x)>0 nên h|m số đồng biến. suy ra x=-1 l| nghiệm duy nhất của (*) KL: HPT có 2 nghiệm (2;0),(-1;-3)  x  x  2  x  4  Bài 34: Giải hệ phƣơng trình:  2 2  x  y  x  y  44 y 1  y  3  y  5 . Lần 3– THPT NGUYỄN HỮU CẢNH Lời giải tham khảo Xéth|m số f  t   t  t  2  t  4 trên  0;    , có f  t   1 2 t  1 1   0, t   0;    2 t 2 2 t 4 Nên (1)  x  x  2  x  4  Thay (*) vào (2):  y  5  4   y  5  2  y 3  y  2 1 Nh}n (3) với lượng liên hợp: 5  y  5  x  y  5 (*) (3) y  3  y  2 (4) (3), (4)  y  3  3  y  6 ĐS: 1; 6 x x2  y  y  x 4  x3  x  Bài 35: Giải hệ phƣơng trình:  9.  x  y  x  1  y( y  1)  2  Lần 1– THPT HÀ HUY TẬP Đk: x  1; y  0 Lời giải tham khảo VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 18 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 pt(1)  x x 2  y  y  x x 2  x  x  x   CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x2  y  x2  x  x  y   x   y  x  1  0  x2  y  x2  x    x L}̣p lu}̣n x2  y  x2  x  1  0 với x  1; y  0 Với x  y thay vào pt(2): x  x  x  1      x ( x  1)   2 9 2 x  x  1  8  0 (2’) Giải pt(2’) được: x  x  x 1  2 25 25 y 6 6 25 25 y 6 6  25 25  V}̣y hpt có nghiệm  ;   6 6  Giải pt(2’) được: x  x  2  x  x  1   y  2   x  1 y  1 Bài 36: Giải hệ phƣơng trình:  3x 2  8 x  3  4  x  1 y  1   x, y  R  . Lần 2 – THPT HÀ HUY TẬP Lời giải tham khảo  x  1 Điều kiện:   y  1 3 x  x2  x   y  2 1  x 1 3  x  1 y  1   x3  x  x  1  x  1 x 1   y  2 y  1  3 x  x     y  1  y 1 .  x 1  x 1  Xét hàm số f  t   t 3  t trên R có f   t   3t 2  1  0t  R suy ra f(t) đồng biến trên R. Nên    y 1  x  x  f  y  1 . Thay vào (2) ta được 3x 2  8 x  3  4 x x  1 .   f y 1  x 1  x 1  3 Xét h|m số f  t   t  t trên R có f   t   3t 2  1  0t  R suy ra f(t) đồng biến trên R. Nên  x  f  f  x 1      2 x  1  x  2 x  1 2 Ta có y   2 x  y  1 . Thay vào (2) ta được 3x 2  8 x  3  4 x x  1 . x 1   x 1   2  x  3 2 3  x  6x  3  0  2 x 1  x 1      1 5  2 13 x  x  2 x  1  1  3 x  3 9    9 x 2  10 x  3  0 x2 1 x 1 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 19 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT 43 3 5  2 13 41  7 13 . Với x  .  y 2 9 72 C{c nghiệm n|y đều thỏa mãn điều kiện .  43 3  KL: Hệ phương trình có hai nghiệm  x; y    3  2 3;  2    5  2 13 41  7 13  &  x; y    ;  . 9 72   Với x  3  2 3  y  Bài 37: Giải bất phƣơng trình: 1  x x2  1  x2  x  1(1  x2  x  2) . Lần 2 – THPT ANH SƠN 2 Lời giải tham khảo Bất phương trình đã cho tương đương ( x x2  1  x2  x  1 x2  x  2)  (1  x2  x  1)  0 ( x  1)(2 x 2  x  2) x(1  x)   0 x x2  1  x2  x  1 x2  x  2 1  x2  x  1 2 x2  x  2 x  ( x  1)(  )0 x x2  1  x2  x  1 x2  x  2 1  x2  x  1 2 x2  x  2 x   ( x 1).A  0 (1) với A  x x2  1  x2  x  1 x2  x  2 1  x2  x  1 2 2   x  x 1  x 1  x2  x  1 x2  x  2   x x2  1 Nếu x  0 thì  2   x  x  2  x  x2  x  1 x2  x  2  x x2  1  0  A  0 Nếu x>0 , {p dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  2 x2  x  1  x2  x  2 3 2  x2  x   x  x  1 x  x  2  2 2  2 2  x x2  1  x  x  1  x2  1  2 2  x2  x  1 x2  x  2  x x2  1  2 x2  x  2 x x  A  1  0 vì 1 1  x2  x  1 1  x2  x  1 Tóm lại , với mọi x  ta có A>0. Do đó (1) tương đương x 1  0  x  1 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho l| (1; ) . Chú ý : Cách 2. Phƣơng pháp hàm số Đặt u  x 2  x  1  u 2  x 2  x  1 thế v|o bpt đã cho ta có u 2  x 2  x  x x 2  1  u (1  u 2  1)  u2  u  u u2 1  x2  x  x x2 1 Xét f (t )  t 2  t  t t 2  1 ) f ' (t )  (t  t 2  1) 2  t 2  1  0t nên h|m nghịch biến trên R Do đó bpt  u  x  x  1 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 20
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan