Tài liệu Skkn hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong sách giáo khoa toán 9

Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK PHÒNG GD & ĐT KRÔNG ANA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 9 Họ và tên : 1) Nguyễn Anh Tuấn 2) Nguyễn Thị Cẩm Linh Đơn vị công tác: Trường THCS Buôn Trấp Trình độ chuyên môn : Đại học sư phạm Môn đào tạo : Toán Krông Ana, tháng 1 năm 2016 Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 1 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 I. PHẦN MỞ ĐẦU I.1. Lý do chọn đề tài : - Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao. Đặc biệt là với hình học nó giúp cho học sinh khả năng tính toán, suy luận logíc và phát triển tư duy sáng tạo. Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng và thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học. - Qua nhiều năm công tác và giảng dạy Toán 9 ở trường THCS Buôn Trấp chúng tôi nhận thấy việc học toán nói chung và bồi dưỡng học sinh năng lực học toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì việc cần làm ở mỗi người thầy, đó là giúp học sinh khai thác đề bài toán để từ một bài toán ta chỉ cần thêm bớt một số giả thiết hay kết luận ta sẽ có được bài toán mới phong phú hơn, vận dụng được nhiều kiến thức đã học nhằm phát huy nội lực trong giải toán nói riêng và học toán nói chung. Vì vậy tôi ra sức tìm tòi, giải và chắt lọc hệ thống lại một số các bài tập mà ta có thể khai thác được đề bài để học sinh có thể lĩnh hội được nhiều kiến thức trong cùng một bài toán. - Với mong muốn được góp một phần công sức nhỏ nhoi của mình trong việc bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh hiện nay và cũng nhằm rèn luyện khả năng sáng tạo trong học toán cho học sinh để các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi toán của ngành giáo dục Krông Ana ngày một khả quan hơn. Chúng tôi xin cung cấp và trao đổi cùng đồng nghiệp đề tài kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9” . Đề tài này ta có thể bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh và cũng có thể dùng nó trong việc dạy chủ đề tự chọn toán 9 trong trường THCS hiện nay. Mong quý đồng nghiệp cùng tham khảo và góp ý. I.2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn Hình học và đặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư duy của học sinh, nếu vấn đề này tiếp tục được khai thác hàng năm và được sự quan tâm góp ý của các thầy cô thì chắc hẳn nó sẽ là kinh nghiệm quý dành cho việc dạy học sinh khá giỏi.Vì đây là đề tài rộng nên trong kinh nghiệm này chỉ trình bày một vài chủ đề của môn Hình lớp 9, chủ yếu là phần đường tròn do chương này gần gũi với học sinh và xuất hiện nhiều trong các kỳ thi. Chỉ có thể thấy được sự thú vị của những bài toán này trong thực tế giảng dạy, những bài toán cơ bản nhưng cũng có thể làm cho một số học sinh khá lúng túng do chưa nắm phương pháp giải dạng toán này. Khi đi sâu tìm tòi những bài toán cơ bản ấy không những học sinh nắm sâu kiến thức mà còn tìm được vẻ đẹp của môn Toán nói chung và phần Hình học nói riêng. Vẻ đẹp đó được thể hiện qua những cách giải khác nhau, những cách kẻ đường phụ, những ý tưởng mà chỉ có thể ở phần Hình học mới có, làm được như vậy học sinh sẽ yêu thích môn Toán hơn. Đó là mục đích của bất kì giáo viên dạy ở môn nào cũng cần khêu gợi được niềm vui, sự yêu thích và niềm đam mê của học sinh ở môn học đó. Nhưng mục đích lớn nhất trong việc dạy học là phát triển tư duy của học sinh và hình thành nhân cách cho học sinh. Qua mỗi bài toán học sinh có sự Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 2 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo và tự tin qua việc giải bài tập Hình đó là phẩm chất của con người mới. I.3. Đối tượng nghiên cứu Một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 (tập 1,2). I.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu. Phạm vi nghiên cứu học sinh trường THCS Buôn Trấp, chủ yếu là học sinh khối 9 và ôn luyện thi vào 10, thi vào các trường chuyên, cũng như trong bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp qua nhiều năm học. Thời gian thực hiện trong các năm học 2009 - 2016. I.5. Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy, học tập, bồi dưỡng học sinh giỏi trong nhà trường. Tra cứu tài liệu, tham khảo nghiên cứu các tài liệu trên mạng. Thực nghiệm, đối chiếu so sánh. Nhận xét. II. PHẦN NỘI DUNG II.1.Cơ sở lí luận Qua việc giảng dạy thực tế nhiều năm ở THCS chúng tôi thấy hiện nay đa số học sinh sợ học phần Hình học. Tìm hiểu nguyên nhân tôi thấy có rất nhiều học sinh chưa thực sự hứng thú học tập bộ môn này vì chưa có phương pháp học tập phù hợp với đặc thù bộ môn, sự hứng thú với phần Hình học là hầu như ít có. Có nhiều nguyên nhân, trong đó ta có thể xem xét những nguyên nhân cơ bản sau: - Đặc thù của bộ môn Hình học là mọi suy luận đều có căn cứ, để có kĩ năng này học sinh không chỉ phải nắm vững các kiến thức cơ bản mà còn phải có kĩ năng trình bày suy luận một cách logic. Kĩ năng này đối với học sinh là tương đối khó, đặc biệt là học sinh lớp 9 các em mới được làm quen với chứng minh Hình học. Các em đang bắt đầu tập dượt suy luận có căn cứ và trình bày chứng minh Hình học hoàn chỉnh. Đứng trước một bài toán hình học học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu, trình bày chứng minh như thế nào. - Trong quá trình dạy toán nhiều giáo viên còn xem nhẹ hoặc chưa chú trọng việc nâng cao, mở rộng, phát triển các bài toán đơn giản ở SGK hoặc chưa đầu tư vào lĩnh vực này, vì thế chưa tạo được hứng thú cho học sinh qua việc phát triển vấn đề mới từ bài toán cơ bản. - Việc đưa ra một bài toán hoặc phát triển một bài toán cho phù hợp với từng đối tượng học sinh để có kết quả giáo dục tốt còn hiều hạn chế. - Học sinh THCS nói chung chưa có năng lực giải các bài toán khó, nhưng nếu được giáo viên định hướng về phương pháp hoặc kiến thức vận dụng, hoặc gợi ý về phạm vi tìm kiếm thì các em có thể giải quyết được vấn đề. - Ngay cả với học sinh khá giỏi cũng còn e ngại với phân môn Hình học do thiếu sự tự tin và niềm đam mê. II.2. Thực trạng a) Thuận lợi, khó khăn: *) Thận lợi: Tôi đã được trực tiếp giảng dạy môn Toán khối 9 được 7 năm, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10, thi vào Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 3 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 trường chuyên nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện đề tài "Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 ". Chúng tôi được các đồng nghiệp có nhiều kinh nghiệm góp ý kiến trong quá trình giảng dạy, tham khảo các tài liệu liên quan trên mạng, ... Học sinh ở độ tuổi này luôn năng động sáng tạo, luôn thích khám phá học hỏi những điều mới lạ. Điều kiện kinh tế xã hội ngày càng phát triển. Từ đó sự quan tâm của các bậc phụ huynh học sinh ngày một nâng lên, luôn tạo điều kiện tốt nhất, trang bị đầy đủ cho con em mình các thiết bị và đồ dùng học tập. *) Khó khăn: Trong chương trình Toán THCS “Các bài toán về hình học” rất đa dạng, phong phú và trừu tượng, mỗi dạng toán có nhiều phương pháp giải khác nhau. Học sinh khi học toán đã khó, đối với Hình học lạ càng khó hơn bởi vì: Để làm bài toán Hình học thì học sinh phải vận dụng tất cả các định nghĩa, định lí, tính chất ..., mà mình đã được học một cách linh hoạt. Bên cạnh đó để giải một bài toán Hình học lớp trên thì học sinh phải nắm vững tất cả kiển thức, các bài toán cơ bản ở lớp dưới. Kinh tế từng gia đình không đồng đều, một số gia đình chưa có điều kiện nên còn mải lo làm kinh tế, không có thời gian quan tâm đến việc học hành của con em mình, phó mặc cho con cái cho thầy, cô và nhà trường. Tác động xã hội đã làm một số học sinh không làm chủ được mình nên đã đua đòi, ham chơi, không chú tâm vào học tập mà dẫn thân vào các tệ nạn xã hội như chơi game, đánh bài, hút Shisha ... dẫn đến các em hư hỏng. b) Thành công, hạn chế *) Thành công: Vận dụng các bài tập trong sáng kiến vào các tiết ôn tập và bồi dưỡng học sinh giỏi rất hiệu quả. Các bài tập Hình đều phát triển dựa trên những bài toán cơ bản trong sách giáo khoa nên mục đích cần hướng đến là học sinh trung bình cần phải làm tốt những bài tập này. *) Hạn chế: Giải bài tập Hình học là lúc học sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư duy. Các bài tập Hình trong sách giáo khoa rất đa dạng nhưng làm sao để cho phần lớn các học sinh khá và trung bình nhớ lâu, hiểu vấn đề đó mới là quan trọng. Do đặc điểm của môn Hình học khó, phải tư duy trừu tượng và kèm thêm việc vẽ hình phức tạp, khi giải một bài toán hình thì học sinh phải vận dụng tất cả các định nghĩa, định lí, tính chất, ... mà mình đã được học một cách linh hoạt. Nên giáo viên phải tạo cho học sinh kĩ năng vẽ hình và hướng dẫn học sinh tư duy dựa trên những bài toán cơ bản. c) Mặt mạnh, mặt yếu *) Mặt mạnh: Giúp cho học sinh hiểu được một số bài toán phát triển từ bài toán cơ bản, nhưng quan trọng hơn giáo viên cần giúp cho học sinh hiểu được hướng phát triển một bài toán. Tại sao phải làm như vậy? Làm như thế đạt được mục đích gì? Qua đó giúp các em say mê môn Toán. Cho dù là học sinh giỏi hay học sinh trung bình khi nhìn một bài toán dưới nhiều góc độ thì học sinh đó sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với môn học, yếu tố đó rất Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 4 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 quan trọng trong quá trình tự học, nó giúp quá trình rèn luyện hình thành tư duy cho học sinh tốt hơn. *) Mặt yếu: Số học sinh hiểu được một số bài toán phát triển từ bài toán cơ bản là không nhiều vì đây là vấn đề khó cần sự kiên trì và cố gắng của cả học sinh và giáo viên, mặc dù vậy tôi hướng đến 1/3 số học sinh đạt được điều này, có thể học sinh sẽ không tạo ra những dạng mà thầy đã làm vì vốn kinh nghiệm của học sinh còn rất hạn chế nên giáo viên cần phải động viên giúp các em tự tin hơn. Việc sáng tạo đó không những cần có kiến thức vô cùng chắc chắn mà học sinh cần có sự nhạy cảm của toán học. Điều này chỉ phù hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng yêu cầu này trong quá trình dạy học sinh giỏi. d) Các nguyên nhân, các yếu tố tác động *) Học sinh không giải được: - Học sinh chưa biết liên hệ giữa kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao. - Chưa có tính sáng tạo trong giải toán và khả năng vận dụng kiến thức chưa linh hoạt. *) Học sinh giải được: - Trình bày lời giải chưa chặt chẽ, mất nhiều thời gian. - Chưa sáng tạo trong vận dụng kiến thức. Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…để nâng cao kiến thức chưa nhiều, nên khả năng học môn Toán giữa các em trong lớp học không đồng đều. Bên cạnh đó một bộ phận không nhỏ học sinh còn yếu trong kỹ năng phân tích và vận dụng … Một số bộ phận phụ huynh học sinh không thể hướng dẫn con em mình giải các bài toán hình. Vì vậy chất lượng làm bài tập ở nhà còn thấp. e) Phân tích đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra. Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, đối với bộ môn hình học nói riêng thì vấn đề khai thác, nhìn nhận một bài toán cơ bản dưới nhiều góc độ khác nhau nhiều khi cho ta những kết quả khá thú vị. Ta biết rằng ở trường phổ thông, việc dạy toán học cho học sinh thực chất là việc dạy các hoạt động toán học cho họ. Cụ thể như khi truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho học sinh tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức đó thì một việc không kém phần quan trọng là vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào các hoạt động toán học. Đây là một hoạt động mà theo tôi, thông qua đó dạy cho học sinh phương pháp tự học - Một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên đứng lớp . Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khai thác và cùng học sinh khai thác một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa để từ đó xây dựng được một hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao đến bài toán khó là một hoạt động không thể thiếu đối với người giáo viên. Từ những bài toán chuẩn kiến thức, giáo viên không dừng ở việc giải Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 5 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 toán. Việc khai thác một số bài toán hình học cơ bản trong SGK không những gớp phần rèn luyện tư duy cho HS khá giỏi mà còn tạo chất lượng, phù hợp với giờ học, gây hứng thú cho HS ở nhiều đối tượng khác nhau. + Để giải quyết vấn đề trên trong quá trình giảng dạy cần chú trong các bài toán ở SGK. Biết phát triển các bài toán đơn giản đã gặp để tăng vốn kinh nghiệm vừa phát triển năng lực tư duy toán học, vừa có điều kiện tăng khả năng nhìn nhận vấn đề mới từ cái đơn giản và từ đó hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán sau này. + Việc phát triển một bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh là rất cần thiết và quan trọng, nó vừa đảm bảo tính vừa sức và là giải pháp có hiệu quả cao trong việc giải toán vì nó không tạo cho học sinh sự nhụt chí mà là động lực thúc đẩy giúp cho học sinh có sự tự tin trong quá trình học tập, bên cạnh đó còn hình thành cho các em sự yêu thích và đam mê bộ môn hơn. - Các em phải được tập suy luận từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. - Phát huy được khả năng sáng tạo, phát triển khả năng tự học, hình thành cho học sinh tư duy tích cực ,độc lập và kích thích tò mò ham tìm hiểu đem lại niềm vui cho các em. II.3. Giải pháp, biện pháp a. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp : - Tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều dạng trên cơ sở vận dụng được các kiến thức cơ bản đã học. - Hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề bài. - Giải hoặc hướng dẫn học sinh cách giải. - Khai thác bài toán và giúp học sinh hướng giải bài toán đã được khai thác - Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp. - Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao. - Kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể. Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo. - Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra. Qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy. - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích các dạng toán hình học, thông qua các bài toán có tính tư duy. b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp Trong đề tài này tôi chỉ đưa ra 4 bài toán trong Sách giáo khoa Toán 9 (tập 1& tập 2): Bài 1: ( Bài tập 11 trang 104 SGK – Toán 9 tập 1) Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh CH = DK (Gợi ý kẻ OM  CD ). Giải: AB GT KL Cho (O, 2 ), dây CD không cắt AB C/m: CH = DK Chứng minh: Ta có AH  CD và BK  CD (gt) nên AH// BK  Tứ giác AHKB là hình thang. Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 6 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 Kẻ OM  CD tại M  MC = MD (1) ( ĐL quan hệ giữa vuông góc giữa đường kính và dây). Xét hình thang AHKB có OA =OB = R ; OM // AH // BK (  CD )  OM là đường trung bình của hình thang  MH  MK (2) Từ (1) và (2), ta có CH = DK Từ bài toán trên chúng ta có thể phát triển dưới dạng một bài toán khác như sau: Bài 1.1: Thêm vào bài tập 1 câu b như sau: Chứng minh H và K ở bên ngoài đường tròn (O). Giải : ( Dùng phương pháp phản chứng) Giả sử chân đường vuông góc hạ từ A đến đường thẳng CD là H’. H’ là điểm nằm giữa hai điểm C và D. 0 0 � � � � � Xét ACH , ta có : ACH'  ACB  BCD  90  BCD  ACH'  90 0 � Mà ACH'  90 (theo giả sử)  Tổng các góc trong của ACH lớn hơn 1800 là điều vô lí. Vậy H’ phải nằm ngoài đường tròn(O) hay H nằm ngoài đường tròn (O). Chứng minh tương tự đối với điểm K. * Nhận xét: Từ việc vẽ OM  CD ta có MH = MK ta dễ nhận thấy rằng SOMH  SOMA  SOMK  SOMB  S OHK  S AMB  HK.OM = AB.MM’(với MM '  AB tại M’) Bài 1.2: Qua nhận xét trên ta có thể thêm vào bài 1 câu b: Chứng minh S AHKB  S ACB  SADB . Vẽ thêm CC '  AB, DD '  AB ( C ', D '  AB ) CC ' DD '  MM ' 2 Ta có (MM’ là đường trung bình của hình thang CDD’C’)  HK.OM  AB. CC ' DD ' 1  AB  CC ' DD '   SACB  S ADB 2 2 Mặt khác HK.OM = SAHKB ( Vì OM là đường trung bình của hình thang AHBK, nên OM  AH  KB 2 ) Từ đó S AHKB  SACB  S ADB (đpc/m) Bài 1.3: Từ bài toán trên ta lại có bài toán quỹ tích: C H a/ Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng CD khi C (hoặc A C' D) chạy trên đường tròn (O). b/ Tìm quỹ điểm H và K khi C ( hoặc D) chạy trên đường tròn O đường kính AB. c/ Gọi E là giao điểm của BK và (O). Chứng minh OM  AE. K D M E O B D' Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 7 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 Hướng dẫn giải: � � a) Dùng quỹ tích cung chứa góc ( OMC  OMD  90 ) b) Khi điểm C cố định, điểm D chạy trên (O). Gọi C’ là hình chiếu của C trên AB  C, C’ cố định, ta có: Tứ giác AHCC’ và 0 AC BC H   I  K   I ' BKCC’ lần lượt nội tiếp đường tròn (I, 2 ) và (I’, 2 )  , � c) Chứng minh AEB  90  AE  BK  AE // HK  đpc/m +) Nhận xét : Từ bài toán 1 nếu dây cung CD cắt đường kính AB thì kết luận CH = DK có còn đúng nữa không? Kết luận đó vẫn đúng và chúng ta có bài toán khó hơn bài toán (*) một chút như sau: Bài 1.4: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt đường kính AB tại G. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh rằng CH = DK. Hướng dẫn giải: Để chứng minh CH = DK ta chứng minh CD và HK có chung trung điểm. Qua O vẽ đường thẳng song song với AH và BK cắt CD tại I, cắt AK tại F. Lập luận để có OI là đường trung trực của đoạn CD và FI là đường trung bình của tam giác AHK  I là trung điểm của HK  đpc/m. Bài 1.5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của các cạnh đối diện của tứ giác trên đường chéo CD bằng nhau. (Cách giải hoàn toàn tương tự như bài 1) Bài 1.6: Gọi G là điểm thuộc đoạn thẳng AB (G không trùng với A và B). Lấy AB, AG và BG làm đường kính, dựng các đường tròn tâm O, O1, O2. Qua G vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) tại C và D, cắt (O1) tại H, cắt (O2) tại K. Chứng minh CH = DK. Hướng dẫn giải: Lập luận để có AH  CD và BK  CD  Cách giải hoàn toàn tương tự như bài 1) Bài 1.7: Đặc biệt khi CD không phải là một dây mà CD trở thành 0 tiếp tuyến của (O) như hình vẽ bên ta vẫn có S AMB  SHOK và HK .OM  AB.MM ' ( lúc này M thuộc nửa đường tròn (O) nên AB = 2OM. Do đó ta có HK.OM = 2OM.MM’  MM '  HK 2 Dựa vào điều kiện một điểm thuộc đường tròn ta có M '  (M ; HK HK )  (M ; ) 2 2 tiếp xúc với AB tại M’. Từ bài toán 1 chúng ta có thể phát biểu bài toán đảo như sau : Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 8 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 Bài 1.8 : Trên đường kính AB của đường tròn tâm (O) ta lấy hai điểm H và K sao cho AH = KB. Qua H và K kẻ hai đường thẳng song với nhau lần lượt cắt đường tròn tại hai điểm C và D ( C, D cùng thuộc nửa đường tròn tâm O). Chứng minh rằng HC  CD , KD  CD . Bài 1.9: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây CD cắt bán kính OA ở I. Kẻ AE, BH cùng vuông góc với CD. Qua O kẻ đường kính vuông góc với CD tại G và cắt EB ở M. Chứng minh: a) M là trung điểm của EB và G là trung điểm của EH. b) EC = HD Hướng dẫn tìm lời giải: a) Hãy chứng minh OM là đường trung bình của tam giác AEB và MG là đường trung bình của tam giác EHB. b) Áp dụng định lý về đường kính và dây cung và lưu ý G là trung điểm của EH (theo câu a) để được đẳng thức cần chứng minh. Cách giải D a) Xét AEB , có: OM // AE( CD)   AO  OB  gt   OM là đường trung bình của AEB  M là trung điểm của EB (đpc/m) Xét EHB , có: GM // BH ( CD)   BM  EM  gt   MG là đường trung bình của EHB H G I A O E B M C Hình 6  G là trung điểm của EH (đpc/m. b) Xét (O) có: OG  CD (gt)  GC = GD (đ/l). Mà GE = GH (c/mt)  EC = HD(đpc/m) Khai thác bài toán: Bài này có thể thêm câu hỏi sau đây: Chứng minh rằng: c) AE. IG = IE .OG; b) OG.IH = IG.BH ( cho học sinh tự chứng minh) Bài toán 2 ( bài 30 – trang 116 SGk – toán 9, tập 1) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB ( Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phảng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng: � a) COD  900 b) CD = AC + BD c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. AB Cho (O, 2 ), Ax  AB tại A; GT M   O By  tại B;Thị Cẩm Linh . Nguyễn Anh Tuấn & AB Nguyễn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 9 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 KL C/mr: 0 � a) COD  90 b) CD = AC + BD c) AC.BD không đổi a) Xét (O) có CA, CM là tiếp tuyến của (O) � � �  OC là tia phân giác của AOM hay O1  O2 ( t/c tiếp tuyến) (1) � � Tương tự DB, DM là tiếp tuyến của (O)  O3  O4 (2) � � � � Từ (1) và (2)  O1  O4  O2  O3 0 0 � � � � � � � � 0 � Mà O1  O2  O3  O4  180  O1  O4  O2  O3  90 hay COD  90 (đpc/m) b) Theo t/c tiếp tuyến , ta có: CA = CM và DB = DM Mà M  CD  CD  CM  MD  CD  CA  BD Vậy CD  CA  BD (đpc/m) 2 c) Xét COD vuông tại O (c/mt), có: OM  CD (gt)  OM  CM .DM ( đ/l) Mà CA = CM và DB = DM  OM  AC.BD mà OM = R (gt)  AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. (đpc/m) Từ bài toán trên ta khai thác bài toán như sau: 1) Đối với học sinh trung bình: Bài 2.1: OC và OD cắt AM và BM theo thứ tự tại E và F. Xác định tâm P của đường tròn đi qua bốn điểm O, E, M, F. Bài 2.2: Chứng minh tứ giác ACBD có diện tích nhỏ nhất khi nó là hình chữ nhật và tính diện tích nhỏ nhất đó. Tìm hiểu đề bài: Bài ra cho nủa đường tròn tâm O và ba tiếp tuyến theo thứ tự tạ A, B và M bất kì trên (O). Yêu cầu chứng minh một đẳng thức, bốn điểm thuốc đường tròn và diện tích nhỏ nhất của một tứ giác tạo thành. Hướng dẫn cách tìm lời giải: 1) Chứng minh tứ giác OEMF là hình chữ nhật nên giao điểm P của hai đường chéo cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật 2 y D t x N Q M C E A 2) Tứ giác ACDB là hình thang  S ACDB  P F O B Hình 11 1  AC  BD  AB 2 . AB không đổi  chứng minh AC + BD nhỏ nhất khi CD // AB. Cách giải: 0 � � � 1) Tứ giác EMFO có OEM  EMF  OFM  90  Tứ giác EMFO là hình chữ nhật.  OM  P; 2 Mà OM  EF tại P  OP = OE =OM = OF . Vậy 4 điểm O, E, M, F    . Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 10 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 2) Tứ giác ACBD có  S ACDB  Vậy AC / / BD   AB   Tứ giác ACBD là hình thang vuông. 1  AC  BD  AB  ON .AB  OQ.AB 2 (ON là đường trung bình của hình thang).  S ACDB  MIN  OQ. AB  1 AB 2 2 .Khi đó N trùng với Q và ACDB là hình chữ nhật (tiếp tuyến CD // AB). 2) Đối với học sinh khá, giỏi: Bài 2.3: Gọi K là giao điểm của BC và AD. Chứng minh: MK // AC // BD. Bài 2.4: Gọi H là giao điểm của MK và AB. Chứng minh rằng K là trung điểm của MH. Bài 2.5: Gọi E, F lần lượt là giao điểm của OC và AM, OD và BM. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng. Chứng minh : KD KB DB   3) Xét AKC có AC // BD (gt)  KA KC AC ( đ/l talet) (1) CA, CM là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) nên CM = CA, DB = DM (t/c) (2) KD MD  Từ (1) và (2)  KA MC  MK / / AC ( theo định lí K H talet đảo) Vậy MK // AC // BD (đpc/m)  Sau khi chứng minh được MK // AC ta có thể có thêm yêu học sinh chứng minh: CD.MK = CM.DB. Chứng minh: Theo chứng minh trên MK //AC  CKM CBD CD DB   CM MK  đpc/m. Bài 2.6: Ta có thể đặt thêm các câu hỏi sau đây: Khi M chạy trên nửa đường tròn (O). 1) Tìm quỹ tích của N; 2) Tìm quỹ tích của P; Cách giải như sau: 1) Vì ON là đường trung bình của hình thang ACBD nên ON // Ax // By. Do đó quỹ tích N là tia Qt song song và cách đều hai tia Ax và By Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 11 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 2) Giao điểm P các đường chéo của hình chữ nhật OEMF cách O một khoảng 1 R PO  OM  2 2 điểm O cố định, khoảng cách PO không đổi nên quỹ tích của P là nửa đường tròn đồng tâm với (O) bán kính bằng nửa bán kính của (O). Từ bài toán trên ta có thể ra bài toán mới như sau: Bài 2.7: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Từ B và C kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (A) tại D, E. Chứng minh rằng: a) D, A, E thẳng hàng. b) BD.CE = AH2 ( không đổi) c) DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. Bài toán 3( Bài 39/123 (SGK toán 9 tập 1) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC (. B   O  ; C  (O ')), tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I. �  900 a) Chứng minh rằng : BAC � ' b) Tính số đo OIO c) Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O’A = 4cm. Giải Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A OB  BC tại B; CO’  BC tại C; GT KL B I B   O  C   O ' , C AI  OO’ tại A ( I  BC ) C/mr: 0 � a) BAC  90 O' A O � b) Tính OIO ' ? c) Tính BC ? Chứng minh: a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: IA  IB; IB  IC (đ/l) �  IA  IB  IC  1 BC  ABC vuông 2 tại A (đ/l đường trung tuyến) Vậy BAC  90 (đpc/m) b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: 0 � OI là tia phân giác của BIA � O’I là tia phân giác của AIC � '  900  OIO (đ/l) � � Mà BIA + AIC = 1800 (kề bù) c) Xét OIO ' vuông tại I (c/mt), Có : IA  OO ' tại A (t/c)  IA2 = OA. AO’ ( đ/l) = 9.4 = 36  IA = 6cm. Mà BC = 2AI = 2.6 = 12cm. B I C Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana O' A O D 12 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 Khai thác và phát triển bài toán : Bài 3.1: Chứng minh rằng: OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. Vì (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Nên IA  OO ' tai A  t/c    IA  IB  IC (t / c)   BC  I;  OO’ là tiếp tuyến của đường tròn  2  tại A. (đpc/m) Bài 3.2: Gọi D là giao điểm của CA với đường tròn tâm O ( D  A). Chứng minh rằng : Ba điểm B, O, D thẳng hàng. Ta có � �  O'CA  O'AC � �   ODA  O'CA �  OAD �  ODA Mà hai góc này ở vị trí so le trong  O’C // OD. Mặt khác O’C // OB (  BC ) (gt)  Ba điểm B, O, D thẳng hàng (tiên đề Ơclít) Bài 3.3: Giả sử OA = R, O’A = r . B I a. Tính độ dài BC theo R, r. C R b. Tính độ dài OI và O’I theo R, r. r c. Tính các cạnh của ABC theo R, r. O' A O d. Gọi H là giao điểm của OO’ và BC. Tính độ dài OH, O’H theo R, r. Lời giải: 0 0 � � a) Ta có : BAC  90 và OIO '  90 .Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có: IA2 = OA. AO’ = R.r  IA  R.r B I C Mà BC = 2.IA = 2 R.r b) Ta có : R r OI  IA  OA  R.r  R  R  R  r  2 2 2 2 O A O'  OI  R  R  r  D O ' I 2  IA2  O ' A2  R.r  r 2  r  R  r   O'I  r  R  r c) Gọi . CA   O    D . Khi đó ba điểm B, O, D thẳng hàng. Xét CBD vuông tại B, ta có : BC = 2 R.r ; BD = 2R. Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có: 1 1 1 1 1 Rr      2 2 2 2 4 Rr 4 R 2 r AB BD BC 4R Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 13 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9  AB  2R r R  r Tương tự AC  Vậy các cạnh của ABC là : 2r R AB  Rr 2R r Rr ; AC  2r R R  r ; BC = 2 R.r . d) Xét HO ' C và HOB có : � chung  OHB  �  O'CH � OBH  900 ( gt )  HO ' C B HOB (g.g) C R r  OH OB OH OB  hay  O ' H O 'C OH  O ' H OB  O ' C  OH  O H O' A R( R  r ) r(R  r) ; O'H  Rr Rr Bài 3.4: ( Bài toán đảo) Cho ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm (O’) đi qua A và tiếp xúc với BC tại C. Chứng minh rằng: a) (O) và (O’) tiếp xúc với nhau. b) Trung tuyến AI của ABC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A. Giải : a) Vì các AOB và AO ' C là các tam giác cân. B � � � � Nên AOB  OBA và O ' AC  O ' CA � � �' CA  � OBA ABC  900 & O ACB  900 I C Ta có �' AC  BAO �  900  O A O � � � O' Do đó O ' AC  CAB  BAO  180  ba điểm O, A, O’ thẳng hàng và OO’ = OA + O’A. Vậy (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A. (đpc/m) b) Vì AI là trung tuyến của ABC vuông tại A, nên IA = IC  IO ' A  IO ' C (c.c.c) 0 � '  ICO � '  900  AI  OO '  IAO tại A. Vậy AI là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) tại A.(đpc/m) +) Nhận xét : Nếu hai đường tròn (O) và (O’) ngoài nhau, thì ta có bài toán sau: Bài 3.5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B   O  , C   O ' , đường nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và (O’) tại các B điểm D và E. Các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại A. Gọi I Ilà trung điểm của BC. C Chứng minh rằng: 0 � a) BAC  90 . c1 O D E O' Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn ATrấp – Krông Ana 14 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 b) AD.AB = AE.AC c) Tứ giác BCED nội tiếp. d) IA  OO ' . Chứng minh: a) Theo tính chất của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: 1� � ABC  BOD 2 - Xét (O) có : ( t/c) 1� � ACB  CO 'E 2 - Xét (O’) có : ( t/c) 0 � � Mà BOD  CO ' E  180 ( vì OB // O’C) 0 0 � � � Nên ABC  ACB  90  BAC  90 .(đpc/m) � � � b) Ta có: ABC  ACO ' ( phụ với ACB ) Mà � � ' ACO '  CEO ( vì EO ' C cân tạo O’) � ' � CEO AED  � AED  � ABC (đối đỉnh) . Xét ABC và AED có: � chung  CAB  � AED  � ABC (cmt )  ABC AED (g.g)  AE AD   AE. AC  AB. AD AB AC (đpc/m). 0 � � � � c) Vì AED  ABC (cmt)  ABC  DEC  180 � � Mà ABC & DEC là hai góc đối nhau. Vậy tứ giác BCED nội tiếp (đpc/m) d) Vì AI là trung tuyến của ABC vuông tại A, nên IA = IB = IC (đ/l)  ABI cân tại I �  � ABI  BAI (t/c) �  900  IA  OO '  � AED  IAC (đpc/m). +) Nhận xét : Nếu hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau, thì ta có bài toán sau: Bài 3.6: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm M,N. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B   O  , C   O ' , đường nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và (O’) tại các điểm D và E. Các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại A. Chứng minh rằng: B � a) BAC  90 . b) Tứ giác BCED nội tiếp. c) AD.AB = AE.AC Chứng minh: 0 C M A O E D O' N Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 15 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 a) Chứng minh tương tự câu a bài toán 3. � � � b) Ta có: DBC  ECO ' ( phụ với ECB ) � '  CEO � ' ECO ( vì EO ' C cân tạo O’) �  DBC �  DEC và cùng nhìn xuống cạnh DC dưới một góc không đổi. Vậy tứ giác BCED nội tiếp (đpc/m). c) Xét ABC và AED có: �  EAD � CAB � ABC  � AED     ABC AED (g.g) AE AD   AE. AC  AB. AD AB AC (đpc/m). Bài toán 4(Bài tập 95/105( SGK hình học 9 tập 2) Các đường cao hạ từ đỉnh A và B của ABCcắt nhau tại H ( C  900) và cắt đường tròn ngoại tiếp ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: a) CD = CE ; b) BHD cân ; c) CD = CH A Cho ABC nội tiếp (O) BN  AC tại N; AM  BC tại M GT AM   O  BN   O  tại D; tại E; E N H KL C/mr: a) CD = CE b) BHD cân c) CD = CH B M C D Chứng minh: - Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AD với BC và BE với AC. 0 0 � � � � a) Ta có DAC  AHN  90 và CBE  BHM  90 �  AHN �  CBE �  BHM � ( 900 )  DAC � � Mà AHN  BHM (đđ) �  DC � �  CBE �  EC  DAC ( các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau)  CD  CE ( liên hệ giữa cung và dây) (đpc/m). � � � � b)Ta có EC  DC (cmt)  EBC  CBD ( hệ quả góc nội tiếp)  BHD cân ( Vì có BM vừa là đường cao vừa là đường phân giác) (đpc/m). c) Vì BHD cân tại B  BC là đường trung trực của HD.  CD = CH (t/c) (đpc/m). Khai thác và phát triển bài toán : Bài 4.1: Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABMN; CMHN nội tiếp. Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 16 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 b) CN.CA = CM.CB. Chứng minh: 0 � � a) - Xét tứ giác ABMN có: ANB  AMB  90 ( gt ) và cùng nhìn xuống cạnh AB. Vậy tứ giác ABMN nội tiếp. - Xét tứ giác CMHN có: �  CMH � �  CMH � CNH  900 ( gt )  CNH  1800 � � Mà CNH & CMH là hai góc đối nhau của tứ giác. Vậy tứ giác CMHN nội tiếp. b) Xét CAM và CBN có: �  ACB chung  � �  900 ( gt )  AMC  BNC CAM  CBN (g.g) CA CM   CA.CN  CB.CM CB CN (đpc/m). Bài 4.2: Các đường cao AM và BN cắt (O) lần lượt tại D, E. Chứng minh rằng: a) MN // DE. A b) OC  DE. E Chứng minh: � � a) Vì tứ giác ABMN nội tiếp (cmt)  BAM  BNM N F Q � (cùng chắn BM ) � �  BED � Mà BAD (cùng chắn BD ) B � �  BNM  BED mà hai góc ở vị trí đồng vị  DE // MN (đpc/m). H M C D c) Kẻ tiếp tuyến Cx với (O) tại C �  BCx � 1 BAC � 2 sđ BC Ta có: (hệ quả) � � Mà BAC  CMN (vì tứ giác ABMN nội tiếp) �  CMN �  BCx và hai góc ở vị trí so le trong.  MN // Cx  DE // Cx Mặt khác Cx  OC tại C (đ/l)  OC  DE (đpc/m). Bài 4.3: Kẻ đường cao CQ cắt (O) tại F.Chứng minh rằng: a) H là tâm đường tròn nội tiếp QMN b) H là tâm đường tròn nội tiếp DEF Chứng minh: a) - Xét tứ giác AQHN có: Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 17 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 � ANH  � AQH  900 ( gt )  � ANH  � AQH  1800 � � Mà ANH & AQH là hai góc đối nhau của tứ giác. � � � Vậy tứ giác AQHN nội tiếp  BAD  QNH (cùng chắn QH ) � � � Vì tứ giác CMHN nội tiếp (cmt)  BCQ  MNH (cùng chắn MH ) � � � Mặt khác BAD  BCQ (phụ với ABC ) � � �  MNH  QNH hay NH là tia phân giác của QNM . Chứng minh tương tự: � - QH là tia phân giác của NQM � - MN là tia phân giác của QMN  H là trực tâm của đường tròn ngoại tiếp QMN (đpc/m). � � � c) Ta có: BEF  BCF (cùng chắn BF ) � �ED  � B ABD (cùng chắn BD ) � � � Mà BAD  BCF (phụ với ABC ) �EF  BED � �EF  B hay EH là tia phân giác của D . Chứng minh tương tự: � - FH là tia phân giác của DFE � - DH là tia phân giác của EDF  H là trực tâm của đường tròn ngoại tiếp DEF (đpc/m). Nhận xét: Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AQHN và đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMHN cắt nhau tại 2 điểm H và N. Nếu gọi I, K lần lượt là trung điểm của AH, CH  IK là đoạn nối F tâm. Ta có bài toán sau: 1) Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H ( B M  BC; N  AC ; Q  AB  A E I Q N H O K M và lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp C D ABC tại D, E, F. Gọi I là trung điểm của HC. Chứng minh rằng: IK  NH. Nhận xét: Gọi P là trung điểm của BC, T là điểm đối xứng với H qua P. Chứng minh A rằng: a) Tứ giác ABTC nội tiếp đường tròn. E OP  1 AH 2 N F Q b) Chứng minh: H O B M C Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp –P Krông Ana D T 18 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 a) –Xét tứ giác BHCT có:    BC  HT   P ( gt )  Tứ giác BHCT là hình bình hành. HP  PT ( gt ) BP  PC ( gt )  BH // CT (t/c) 0 � Mà BH  AC tại N (gt)  CT  AC tại C hay ACT  90 0 � Tương tự ABT  90  Tứ giác ABTC nội tiếp đường tròn (đpc/m). 0 � b) Xét (O) có ACT  90 (cmt)  AT là đường kính của (O). HP  HT ( gt )   AO  OT ( cmt )  OP là đường trung bình của TAH  TAH - Xét có:  OP / / AH    1  OP  2 AH (t/c) Bài 4.4: Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC , Các đường cao AM, BN, CQ của ABC cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: Nếu AM + BN + CQ = 9r thì ABC đều. Chứng minh: Ta có :  CQ  S ABC  1 1 1 1 a.ha  b.hb  c.hc   a  b  c  .r 2 2 2 2  AB  BC  AC  .r AB ; BN   AB  BC  AC  .r AC ; 1 1   1  AM  BN  CQ   AB  BC  AC     .r  AB BC AC  Áp dụng bất đẳng thức: AM   AB  BC  AC  .r BC (1)  a  b  c   1 1 1    9 a b c  . Dấu “ = ” xảy ra  a = b = c. Chứng minh:Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương a,b,c. Ta có: a  b  c  3 3 abc . Dấu “ = ” xảy ra  a = b = c. (2) 1 1 1 1 1 1    33 . . a b c a b c . Dấu “ = ” xảy ra  a = b = c. (3) Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 19 Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 Từ (2) và (3)   a  b  c   1 1 1    9 a b c  . Dấu “ = ” xảy ra  a = b = c. (4) Từ (1) và (4)  AM  BN  CQ  9r . Dấu “ = ” xảy ra  AB = BC = AC.  ABC đều (đpc/m).  Một số bài tập tham khảo: Bài 1: ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2011 – 2012) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P; đường thẳng CE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai Q. Chứng minh: 1) BEDC là tứ giác nội tiếp. 2) HQ. HC = HP. HB 3) Đường thẳng DE song song với đường thẳng PQ. 4) Đường thẳng OA là đường trung trực của đoạn thẳng PQ. Bài 2 ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2012 – 2013) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn O (AB < AC). Hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. E là trung điểm đoạn AD. EC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng: 1) Tứ giác OEBM nội tiếp. ; 2) MB2 = MA.MD. � � 3) BFC  MOC . ; 4) BF // AM. Bài 3 ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2013 – 2014) Cho đường tròn (O), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn. M là một điểm trên đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax, by lần lượt tại P, Q. 1) Chứng minh rằng : tứ giác APMQ nội tiếp. 2) Chứng minh rằng: AP + BQ = PQ. 3) Chứng minh rằng: AP. BQ = AO2. 4) Khi điểm M di động trên đường tròn (O), tìm các vị trí của điểm M sao cho diện tích tứ giác APQB nhỏ nhất. Bài 4 ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2014 – 2015) Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, lấy điểm M tùy ý thuộc đoạn HC ( M không trùng với H, C). Hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh AB, AC lần lượt là P và Q. 1) Chứng minh rằng APMQ là tứ giác nội tiếp và xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ. 2) Chứng minh rằng : BP. BA = BH. BM. 3) Chứng minh rằng : OH vuông góc PQ. 4) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên HC thì MP + MQ không đổi. Bài 5 ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2015 – 2016) Cho đường tròn (O; R) có đường kính BC và A là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (A khác B và C). Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Đường tròn đường kính AH cắt các dây cung AB, AC lần lượt tại các điểm M và N. 5) Chứng minh rằng: tứ giác AMHN là hình chữ nhật. 6) Chứng minh rằng: AM. AB = AN. AC Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 20