Tài liệu Skkn hướng dẫn học sinh tiếp cận bài toán chứng minh họ các đường đi qua điểm cố định

.DOC

990

135

Gi¶i ph¸p : Híng dÉn häc sinh tiÕp cËn bµi to¸n
" chøng minh hä c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh"
PhÇn I: ®Æt vÊn ®Ò
1- lÝ do chän ®Ò tµi
H×nh häc lµ m«n häc cã tÝnh tæng hîp cao, ®ßi hái häc sinh kh«ng nh÷ng ph¶i
biÕt n¾m ch¾c c¸c kiÕn thøc, mµ cÇn ph¶i biÕt suy luËn vµ vËn dông kiÕn thøc mét
c¸ch hîp lÝ.
Trong c¸c k× thi häc sinh giái c¸c cÊp, thi tuyÓn sinh vµo c¸c trêng Trung häc
phæ th«ng ë tØnh ta, rÊt nhiÒu n¨m trong bµi tËp h×nh cã yªu cÇu "Chøng minh hä
c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh" nh : §Ò thi chän häc sinh giái to¸n 8 cÊp tØnh n¨m
häc 2001-2002; §Ò thi tuyÓn sinh vµo THPT n¨m häc 2000- 2001; Thi tuyÓn sinh
vµo THPT Chuyªn Th¸i B×nh n¨m häc 2003-2004; 2007-2008; §Ò thi chän häc
sinh giái to¸n 7 cÊp huyÖn n¨m häc 2013-2014; ...
"Chøng minh hä c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh" trong h×nh häc lµ mét d¹ng
to¸n t¬ng ®èi khã, bëi d¹ng to¸n nµy rÊt phong phó, nhng kh«ng cã kiÕn thøc riªng
®Ó gi¶i, mµ luyÖn tËp kÜ n¨ng nµy kh«ng ®îc ph©n phèi thµnh tiÕt riªng trong ph©n
phèi ch¬ng tr×nh to¸n cña bé gi¸o dôc ®µo t¹o.
Thùc tr¹ng cßn cã mét bé phËn kh«ng nhá häc sinh häc ng¹i häc m«n h×nh,
mét lÝ do phæ biÕn lµ c¸c em cha cã ph¬ng ph¸p t duy thÝch hîp, nªn hiÖu qu¶ häc
tËp bé m«n nãi chung vµ chuyªn ®Ò "Chøng minh hä c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè
®Þnh " nãi riªng cßn cha cao.
VÊn ®Ò trªn ®Æt ra cho gi¸o viªn cÇn cã gi¶i ph¸p hîp lý c¶ vÒ mÆt thêi gian vµ
ph¬ng ph¸p truyÒn ®¹t nh»m n©ng cao chÊt lîng gi¶ng d¹y nãi riªng , chÊt lîng
gi¸o dôc nãi chung.
1i- môc ®Ých nghiªn cøu ®Ò tµi
§· cã nhiÒu t¸c gi¶ nghiªn cøu vÒ ®Ò tµi nµy, nhng phÇn lín chØ ®a ra vÝ dô vµ
lêi gi¶i bµi to¸n, mµ cha chØ râ ®Þnh híng chung ®Ó gi¶i quyÕt ®îc bµi to¸n.
§Ó gióp c¸c em dÔ dµng tiÕp cËn víi bµi to¸n "chøng minh hä c¸c ®êng ®i
qua ®iÓm cè ®Þnh" trong h×nh häc, ®ång thêi ph¸t huy c¸c n¨ng lùc s¸ng t¹o cho
häc sinh, trong ®Ò tµi nµy t«i xin trao ®æi víi c¸c ®ång chÝ ®ång nghiÖp mét gi¶i
ph¸p híng dÉn häc sinh tiÕp cËn bµi to¸n trªn mµ t«i ®· thö nghiÖm, thÊy cã tÝnh
kh¶ thi vµ bíc ®Çu ®· ®¹t nh÷ng kÕt qu¶ nhÊt ®Þnh.
III- ®èi tîng nghiªn cøu
C¸c bµi to¸n " Chøng minh hä c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh " trong h×nh
häc ph¼ng vµ c¸ch tiÕp cËn ®Ó gi¶i quyÕt ®îc bµi to¸n trong ch¬ng tr×nh Trung häc
c¬ së
IV- ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
- Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch, tæng hîp; ®Æc biÖt ho¸; tæng qu¸t ho¸
- Ph¬ng ph¸p tÝch hîp
- Ph¬ng ph¸p thùc nghiÖm
- Ph¬ng ph¸p ®¸nh gi¸
* §Ó tiÕp tôc hoµn thiÖn h¬n n÷a, t«i rÊt mong ®îc sù gióp ®ì vµ c¸c ý kiÕn ®ãng
gãp ch©n thµnh cña c¸c ®ång chÝ
Xin tr©n träng c¶m ¬n c¸c ®ång chÝ!
PhÇn 2: Néi dung
A- C¬ së ®Ò tµi
1. C¬ së lÝ luËn :
- Trong ch¬ng tr×nh gi¸o dôc hiÖn nay ®ßi hái häc häc sinh cÇn ph¶i biÕt tù häc tù
nghiªn cøu rÊt cao, tøc lµ cÇn ph¶i biÕn qu¸ tr×nh gi¸o dôc thµnh qu¸ tr×nh tù gi¸o
dôc. Nh vËy míi ph¸t huy ®îc n¨ng lùc s¸ng t¹o, t duy khoa häc tù xö lÝ ®îc c¸c
t×nh huèng trong thùc tÕ. Trong thùc tÕ vµ khoa häc, viÖc dù ®o¸n mét sù viÖc - hiÖn
- 1 -
Trang 1
tîng nµo ®ã ®ãng vai trß quan träng hµng ®Çu, viÖc dù ®o¸n chÝnh x¸c lµ kim chØ
nam cho nh÷ng ngêi nghiªn cøu
§Ó gióp häc sinh ®¹t ®îc môc tiªu ®ã th× c¸c m«n häc nãi chung vµ m«n to¸n nãi
riªng cÇn ph¶i khÝch lÖ ®îc häc sinh t×m tßi, nghiªn cøu s©u h¬n, tù gi¶i quyÕt ®îc
vÊn ®Ò t¬ng tù, tõ ®ã thóc ®Èy c¸c em ph¸t hiÖn ra c¸c tri thøc vµ kÜ n¨ng mãi cho
b¶n th©n, yªu thÝch m«n häc vµ say mª nghiªn cøu khoa häc
-"Chøng minh hä c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh " còng t¬ng tù, c¸c em cÇn biÕt
dù ®o¸n ®óng ®iÓm cè ®Þnh, tõ ®ã míi cã híng gi¶i quyÕt bµi to¸n.
II. Cơ s ở thùc tiÔn
- Trong bµi to¸n h×nh, c¸c yÕu tè thêng liªn quan chÆt chÏ víi nhau. Khi mét yÕu tè
trong bµi to¸n di ®éng th× kÐo theo ®êng d nµo ®ã trªn h×nh vÏ còng di ®éng. §êng
d di ®éng nhng lu«n ®i qua ®iÓm S cè ®Þnh th× ë mäi vÞ trÝ d còng ®i qua S, tõ ®ã ta
nghÜ tíi x¸c ®Þnh S lµ giao ®iÓm 2 vÞ trÝ cña d vµ chøng minh S cè ®Þnh
- §iÓm S cè ®Þnh thêng lµ giao ®iÓm cña 2 ®êng cè ®Þnh, tõ ®ã cÇn x¸c định xem
điểm S di động trªn nh÷ng ®êng cè ®Þnh nµo?
§Õn ®©y ta thÊy bµi to¸n "Chøng minh hä c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh " cã nÐt
t¬ng ®ång víi bµi to¸n to¸n "t×m tËp hîp ®iÓm".
* Trªn c¬ së ®ã, t«i ®· x©y dùng cho häc sinh híng tiÕp cËn bµi to¸n "Chøng minh
hä c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh " nh sau:
B/ Néi dung §Ò TµI
I- gi¶i ph¸p H íng dÉn häc sinh tiÕp cËn bµi to¸n
"Chøng minh hä c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh"
§Ó gióp häc sinh tiÕp cËn dÔ dµng h¬n víi bµi to¸n "Chøng minh hä c¸c ®êng ®i
qua ®iÓm cè ®Þnh" trong häc h×nh, t«i híng dÉn häc sinh suy nghÜ vµ lµm theo quy
tr×nh sau:
I-1. NghÜ:
* §iÓm cè ®Þnh thêng n»m trªn nh÷ng ®êng cè ®Þnh, nh vËy nã ph¶i quan hÖ tíi c¸c
yÕu tè cè ®Þnh vµ yÕu tè kh«ng ®æi trong bµi, nªn ta cÇn
1/ X¸c ®inh yÕu tè cè ®Þnh: Häc sinh tù suy nghÜ vµ tr¶ lêi: Trªn h×nh vÏ cã:
- Nh÷ng ®iÓm nµo cè ®Þnh?
- Nh÷ng ®êng nµo cè ®Þnh?
- Nh÷ng h×nh nµo kh¸c cè ®Þnh? (gãc cè dÞnh; cung trßn cè ®Þnh; ...)
2/ X¸c ®inh yÕu tè kh«ng ®æi: Häc sinh tù suy nghÜ vµ tr¶ lêi: Trªn h×nh vÏ cã
- §o¹n th¼ng nµo cã sè ®o kh«ng ®æi.
- Gãc nµo cã sè ®o kh«ng ®æi.
- Cung trßn nµo cã sè ®o kh«ng ®æi.
- Chu vi, diÖn tÝch h×nh nµo kh«ng ®æi.
- Nh÷ng ®¹i lîng nµo kh¸c kh«ng ®æi?
3/ X¸c ®Þnh ®iÓm cÇn chøng minh cè ®Þnh:
Cho yÕu tè di ®éng ch¹y ®Õn vÞ trÝ thø hai (thêng lµ vÞ trÝ ®Æc biÖt), khi ®ã ®êng
d ch¹y ®Õn vÞ trÝ ®Æc biÖt d
1
vµ d
1
sÏ c¾t d ë vÞ trÝ lóc ®Çu ë ®iÓm S, ta cÇn chøng
minh S lµ ®iÓm cè ®Þnh
- 2 -
Trang 2
4/ X¸c ®Þnh quan hÖ cña S víi c¸c yÕu tè cè ®Þnh
- §iÓm cè ®Þnh thêng lµ giao cña 2 ®êng cè ®Þnh, nªn ta cÇn x¸c ®Þnh xem S cã
quan hÖ nh thÕ nµo víi c¸c yÕu tè cè ®Þnh vµ yÕu tè kh«ng ®æi (gåm c¸c quan hÖ
song song, vu«ng gãc, b»ng nhau, ®ång d¹ng, t¹o thµnh h×nh ®Æc biÖt, c¸ch ®Òu 1
®iÓm hay 1 ®êng cè ®Þnh; ...), tõ ®ã chØ ra S thuéc ®êng d
2
cè ®Þnh.
- S lµ giao ®iÓm cña 2 ®êng cè ®Þnh d
1
vµ d
2
suy ra S cè ®Þnh.
I-2. Lµm
1/ CÊp ®é 1: Chøng minh hä ®êng d lu«n ®i qua ®iÓm S cè ®Þnh ®· cã s½n trªn
h×nh vÏ:
C¸ch lµm:
B íc 1: ChØ ra S thuéc d
B íc 2: LËp luËn yÕu tè cè ®Þnh, yÕu tè kh«ng ®æi ®Ó suy rs S lµ ®iÓm cè ®Þnh
B íc 3: KÕt luËn
* Chó ý: NÕu S cha thuéc d, ®Ó lµm bíc 1 ta cã thÓ lµm theo mét trong c¸c ph¬ng
¸n sau:
a/ Ph ¬ng ¸n 1: Chøng minh trùc tiÕp ®iÓm S thuéc ®êng d
* NÕu d lµ ®êng th¼ng, ta cã thÓ chøng minh b»ng 1 trong c¸c c¸ch sau:
- C¸ch 1: ChØ ra S cïng víi 2 ®iÓm kh¸c trªn d lµ 3 ®iÓm th¼ng hµng
- C¸ch 2: ChØ ra S còng cã tÝnh chÊt cña nh÷ng ®iÓm n»m trªn d (thêng dïng khi d
lµ ®êng ®Æc biÖt nh: ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng; tia ph©n gi¸c cña gãc; ...)
* NÕu d lµ ®êng trßn (O; R) ta cã thÓ chøng minh b»ng 1 trong c¸c c¸ch sau:
- C¸ch 1: ChØ ra OS = R
- C¸ch 2: ChØ ra S cïng víi 3 ®iÓm ph©n biÖt kh¸c trªn d t¹o thµnh mét tø gi¸c néi
tiÕp
- C¸ch 3: Dùa vµo quü tÝch cung chøa gãc
b/ Ph ¬ng ¸n 2: ChØ ra S ®· n»m trªn ®êng d
1
cè ®Þnh, gäi giao ®iÓm cña d vµ d
1
lµ
S
1
råi ta chøng minh cho S trïng víi S
1

c/ Ph ¬ng ¸n 3: ChØ ra S lµ giao ®iÓm cña hai ®êng cè ®Þnh d
1
vµ d
2
, råi ta chøng
minh cho d; d
1
; d
2
lµ ba ®êng ®ång quy
2/ CÊp ®é 2: :"Chøng minh hä ®êng d lu«n ®i qua ®iÓm S cè ®Þnh " mµ S cha
cã trªn h×nh vÏ
- B íc 1: VÏ ®êng d
1
(ë bíc nghÜ thø 3 trªn), ®êng d
1
c¾t ®êng d t¹i S
- B íc 2: ChØ ra quan hÖ cña S víi c¸c yÕu tè cè ®Þnh vµ yÕu tè kh«ng ®æi ë
bíc nghÜ thø 4 trªn, tõ ®ã suy ra S thuéc ®êng d
2

- B íc 3: LËp luËn yÕu tè cè ®Þnh, yÕu tè kh«ng ®æi suy ra d
1
; d
2
cè ®Þnh, tõ
®ã suy ra S cè ®Þnh
- B íc 4: KÕt luËn
* Ngoµi ra ta cã thÓ lÊy S lµ ®iÓm cè ®Þnh tríc råi chøng minh cho S thuéc ®êng
th¼ng d cÇn chøng minh ®i qua ®iÓm cè ®Þnh
II- vÝ dô minh häa
- 3 -
Trang 3
Bµi 1: Cho ∆ABC c©n t¹i A; trªn c¹nh BC lÊy D (D ≠ b; D ≠ C), trªn tia ®èi cña tia
CB lÊy E sao cho CE = BD. §êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D c¾t AB t¹i M, §-
êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ E c¾t AC t¹i N. Chøng minh:
a/ DM = EN
b/ MN > BC
c/ Khi D thay ®æi trªn c¹nh BC th× ®êng trung trùc cña MN lu«n ®i qua mét
®iÓm cè ®Þnh (TrÝch ®Ò thi häc sinh giái to¸n líp 7 n¨m häc 2013- 2014)
Gi¶i: + C©u a vµ c©u b t«i xin phÐp kh«ng tr×nh bµy ë ®©y
a/ Häc sinh dÔ dµng chøng minh ®îc
∆MBD = ∆NCE (g-c-g) → DM = EN
b/ LÊy giao ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MN vµ c¹nh BC
dùa vµo quan hÖ ®êng vu«ng gãc- ®êng xiªn-
h×nh chiÕu vµ®iÓm n»m gi÷a 2 ®iÓm ta
chøng minh ®îc MN > BC.
c/ H íng dÉn ph©n tÝch
1- X¸c ®Þnh yÕu tè cè ®Þnh:
+ §iÓm cè ®Þnh: A; B; C
+ §êng cè ®Þnh: ®êng th¼ng AB; BC; AC vµ
c¸c ®êng chñ yÕu trong ∆ABC (®êng cao;®êng trung trùc; ®êng trung tuyÕ; ®êng
ph©n gi¸c cña ∆ABC)
2- X¸c ®Þnh yÕu tè kh«ng ®æi
+ §é dµi c¸c c¹nh vµ ®é lín c¸c gãc cña ∆ABC
+ C¸c gãc 90
0

3- X¸c ®Þnh ®iÓm cè ®Þnh mµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng MN ®i qua
V× D di ®éng trªn c¹nh BC (D ≠ b; D ≠ C), ta cã thÓ cho D ®Õn vÞ trÝ ®Æc biÖt lµ
trung ®iÓm c¹nh BC
* NÕu cho D trïng víi trung ®iÓm cña c¹nh BC th× M ≡ A → MB = AB
Do BM = CN (v× ∆MBD = ∆NCE) )vµ ∆ABC c©n → AB = AC nªn ta suy ra ®îc
AC = CN → C lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AN → ®êng trung trùc d cña ®o¹n
th¼ng MN khi ®ã trïng víi ®êng th¼ng Cx vu«ng gãc víi AC t¹i C
- NÕu ®æi chç cña B vµ C (V× B; C cã vai trß nh nhau) th× ta còng thÊy ®êng th¼ng
By vu«ng gãc víi AB t¹i B còng lµ mét vÞ trÝ cña d
- NÕu gäi S lµ giao ®iÓm cña Cx vµ By th× ta dÔ dµng chøng minh ®îc
∆ABS = ∆ACS → SB = SC vµ tõ ®ã chøng minh ®îc ∆MBS = ∆NCS (c-g-c)
→ SM = SN→ S thuéc ®êng trung trùc d cña ®o¹n th¼ng MN
+ Vãi sù ph©n tÝch trªn ta cã híng gi¶i quyÕt sau:
C¸ch 1: KÎ Cx ┴ AC t¹i C; KÎ By ┴ AB t¹i B;
gäi giao ®iÓm cña Cx vµ By lµ S
)1(90
0
 ACSABS
XÐt ∆ABS vµ ∆ACS cã:







ACAB
ACSABS
0
90

∆→ ABS = ∆ACS (c¹nh huyÒn-c¹nh gãc vu«ng)
→ SB = SC (2) (2 c¹nh t¬ng øng)
- 4 -
S
A
B
D
C
E
M
N
I
C¹nh huyÒn AS chung
(V× ∆ABC c©n t¹i A (gt))
(theo c¸ch vÏ)
S
A
B
D
C
E
M
N
I
Trang 4
XÐt ∆MBS vµ ∆NCS cã:








NCMB
SCNMBS
theoSCSB
0
90
))2((
∆→ MBS = ∆NCS (c-g-c) → SM = SN (3)(2 c¹nh t¬ng øng)
Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MN → IM = IN (4)
XÐt ∆MIS vµ ∆NIS cã:







))4((
))3((
theoINIM
theoSNSM

∆→ MIS = ∆NIS (c-c-c)
)5(NISMIS 
(2 gãc t¬ng øng)
Mµ
)6(180
0
 NISMIS
(Tæng 2 gãc kÒ bï)
Tõ (5); (6)
0
90 NISMIS
→ SI ┴ MN t¹i trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN
→ SI lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng MN
V× A; B; C cè ®Þnh → ®êng th¼ng AC vµ ®êng th¼ng BC cè ®Þnh
→ By vµ Cx cè ®Þnh (V× Cx ┴ AC t¹i C; By ┴ AB t¹i B)
→ S cè ®Þnh (V× S lµ giao ®iÓm cña Cx vµ By).
VËy khi D thay ®æi trªn c¹nh BC th× ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng MN lu«n ®i
qua ®iÓm S cè ®Þnh
* NÕu ®Æc biÖt ho¸ cho D ≡ B th×






CNE
BM
→ ®êng trung trùc d cña ®o¹n th¼ng
MN trïng víi ®êng trung trùc d
1
cña ®o¹n th¼ng BC, tõ ®ã ta nghÜ tíi vÏ thªm ®êng
trung trùc d
1
cña ®o¹n th¼ng BC; d
1
c¾t ®êng trung trùc d cña ®o¹n
th¼ng MN t¹i S, dÔ thÊy ®îc








(*)ACSABSACSABS
SCSB
SNSM

Tõ ®ã → ∆MBS = ∆NCS (c-c-c)
NCSMBS 
0
90 NCSACS
(theo (*) vµ cã
0
180 NCSACS
)
→ CS ┴ AC, v× AC cè ®Þnh → S cè ®Þnh. Ta cã c¸ch chøng minh thø hai
C¸ch 2: T«i xin phÐp ®îc tr×nh bµy tãm t¾t nh sau:
- VÏ d
1
lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng BC, d
1
c¾t ®êng trung trùc d cña ®o¹n
th¼ng MN t¹i S . Gäi I; K thø tù lµ trung ®iÓm c¸c
®o¹n th¼ng MN vµ CB
- Chøng minh ∆MIS = ∆NIS (c-g-c) → MS = NS
- Chøng minh ∆BKS = ∆CKS (c-g-c) → BS = CS
- Chøng minh ∆MBS = ∆NCS (c-c-c)
)1(NCSMBS 
- Chøng minh:∆ABS = ∆ACS (c-c-c)
ACSABS 

ACSNCS 
(theo (1))
Mµ
0
180 AC SNCS
(Tæng 2 gãc kÒ bï)
0
90 ACSNCS
→ CS ┴ AC
- V× A; B; C cè ®Þnh → ®êng trung trùc d
1
cña ®o¹n th¼ng BC cè ®Þnh vµ ®êng th¼ng
- 5 -
(v× ∆MBD = ∆NCE)
C¹nh SI chung
(theo c¸ch vÏ)
S
B
A
D
C
E
M
N
IK
d
d
1
Trang 5

Tài liệu liên quan

Tài liệu vừa đăng

Tài liệu xem nhiều nhất