KẾT HỢP HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
ĐỂ TẠO RA BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM MỚI
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Nguyên hàm và tích phân là một nội dung cơ bản, luôn được đưa vào
giảng dạy trong chương trình toán phổ thông. Và nguyên hàm và tích phân
lại thường xuyên có mặt trong các đề thi tốt nghiệp, tuyển sinh đại học.
Trong quá trình giảng dạy phần nguyên hàm và tích phân, giáo viên
thường lấy bài toán có sẵn mà ít khi tự mình tạo ra các bài toán mới. Do đó
bài tập được đưa ra có thể không phong phú về thể loại. Đặc biệt trong việc
kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh nếu giáo viên chỉ dựa vào các bài toán
có sẵn thì việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh sẽ thiếu tính khách quan
và chính xác.
Ngoài ra tôi nhận thấy sách giáo khoa nói về vấn đề này còn ít, còn
nhiều hạn chế. Chưa thực sự giúp cho giáo viên và học sinh định hướng
được về vấn đề này trong quá trình dạy và học của mình.
Chính vì những lí do trên mà tôi viết đề tài này với mục đích giúp
học sinh lớp 12 và học sinh luyện thi cao đẳng, đại học có nhiều bài tập
tham khảo về dạng toán này để ôn luyện tốt hơn. Qua đó học sinh có định
hướng tốt trong quá trình làm các bài toán về dạng này. Đồng thời giúp
giáo viên tự mình tạo được những đề toán phục vụ cho việc dạy học, kiểm
tra, đánh giá trình độ học sinh của mình.
Trong quá trình viết đề tài có thể không tránh khỏi những thiếu sót.
Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô để đề tài này của
tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
1
B. NỘI DUNG
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Định nghĩa nguyên hàm
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số
y f ( x ) xác định trên K . Ta nói:
Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K nếu
F / ( x ) f ( x ), x K .
1.2 Định lí
Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì với mỗi
hằng số C, hàm số G(x)= F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số
f ( x ) trên K.
Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì mọi
nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K đều có dạng F(x) +C , với C là một
hằng số.
Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì
F(x) +C ,C � là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K.
Kí hiệu:
f ( x )dx F ( x ) C
.
1.3 Tính chất của nguyên hàm
f
+
+
/
( x )dx f ( x ) C
.
kf ( x )dx k f ( x)dx (k 0).
2
+
f ( x ) g( x) dx f ( x )dx g( x)dx.
+
f ( x )dx F( x ) C f (u)du F(u) C (u=u(x)).
1.4 Sự tồn tại nguyên hàm
Mọi hàm số y f ( x ) liên tục trên K đều có một nguyên hàm trên K.
1.5 BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
dx x C
x dx
x 1
C ( 1)
1
1
1
dx
C
x 2
x
dx
2 x C
x
cos xdx s inx C
sinxdx cos x C
1
cos
2
x
dx tan x C
Nguyên hàm của hàm số hợp
(dưới đây u=u(x)=ax+b)
kdx kx C (k 0)
(ax b) dx
1
(ax b)
dx
ax b
2
1 (ax b) 1
C
a 1
1
dx a (ax b) C
1
2 ax b C
a
1
cos(ax b)dx a sin(ax b) C
sin(ax b)dx
dx
1
cos( ax b) C
a
1
cos (ax b) a tan(ax b) C
2
1
sin 2 x dx cot x C
3
dx
sin (ax b)
2
e dx e
x
x
1
cot(ax b) C
a
1 ( ax b)
( ax b )
e
dx
e
C
a
C
ax
a dx ln a C(0 a 1)
x
a
dx
x ln x C(x 0)
( bx c )
1 a ( bx c )
dx
C
b ln a
dx
1
ax b a ln ax b C
1.6 Phương pháp đổi biến số
Nếu
f (u )du F (u ) C và u u( x ) là hàm số có đạo hàm liên tục
f (u( x ))u ( x )dx F (u( x )) C
trên K thì
.
/
Từ đó ta có hệ quả
f (ax b)dx
1
F (ax b) C
a
.
1.7 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u u( x ) và v v ( x ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
u( x)v ( x)dx u( x)v( x) v( x)u ( x )dx .
/
/
4
II. KẾT HỢP HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
ĐỂ TẠO RA BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM MỚI
2.1 Cách giải quyết vấn đề
a. Cách 1
- Bước 1: Thiết lập hai bài toán nguyên hàm theo hai phương pháp đổi biến
và từng phần.
- Bước 2: Cộng hoặc trừ hai bài nguyên hàm trên và biến đổi(nếu có thể)
để có được bài toán nguyên hàm mới. Ở bước này ta không có hai phép
toán nhân và chia vì nguyên hàm không có hai tính chất về hai phép toán
nhân và chia.
b. Cách 2
- Bước 1: Thiết lập một bài toán nguyên hàm theo phương pháp từng phần.
- Bước 2: Thay biến x trong bài toán ở bước một bởi biến f(x) (là một hàm
/
số thích hợp). Đồng thời nhân với f ( x ) vào bài toán ở bước một ta có bài
toán nguyên hàm mới.
c. Cách 3
/
- Bước 1: Thiết lập hai lượng u u( x ) và dv v ( x )dx sao cho thỏa mãn
hai ý:
+ Hàm số v v ( x ) tìm được bằng phương pháp đổi biến.
v ( x )u ( x )dx
+ Nguyên hàm
/
tìm được.
- Bước 2: Với hai lượng thiết lập được ta lập được bài toán nguyên hàm
mới.
Nhận xét: Ba cách tạo ra bài toán nguyên hàm mới trên được đưa ra với
mức độ thực hiện từ dễ đến khó. Nên các bài toán tạo ra cũng với mức độ
từ dễ đến khó. Sau đây ta sẽ lần lượt tạo ra các bài toán nguyên hàm bằng
ba cách trên.
5
2.2 Các ví dụ
a. Cách 1
*Ví dụ 1
- Bước 1: Ta có hai bài toán nguyên hàm sau:
x
Bài toán
Bài toán
2
x 3 1dx
3
theo phương pháp đổi biến (Đặt t x 1 ).
x s inxdx theo phương pháp từng phần.
- Bước 2: Cộng hai bài toán nguyên hàm trên và đặt x làm thừa số chung ta
có bài toán mới sau:
x sinx x
Bài toán 1: Tìm nguyên hàm
x 3 1 dx
.
*Ví dụ 2
- Bước 1: Ta có hai bài toán nguyên hàm sau:
3ln x
dx
x
theo phương pháp đổi biến (Đặt t ln x ).
Bài toán
Bài toán
2 x ln xdx
theo phương pháp từng phần.
- Bước 2: Trừ hai bài nguyên hàm trên và đặt lnx làm thừa số chung ta có
bài toán mới sau:
3
2
x
x ln xdx
Bài toán 2: ĐH khối B – 2010 Tìm nguyên hàm
.
6
*Ví dụ 3
- Bước 1: Ta có hai bài toán nguyên hàm sau:
ex
dx
x
x
e
1
Bài toán
theo phương pháp đổi biến (Đặt t e 1 ).
xe dx
Bài toán
theo phương pháp từng phần.
x
- Bước 2: Trừ hai bài nguyên hàm trên và quy đồng ta có bài toán mới sau:
xe2 x ( x 1)e x
e x 1 dx .
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm
b. Cách 2
*Ví dụ 4
x
dx
- Bước 1: Ta có bài toán cos x
theo phương pháp từng phần.
2
- Bước 2: Thay biến x trong bài toán ở bước một bởi biến f ( x ) x . Đồng
thời nhân với
f / ( x)
1
2 x vào bài toán ở bước một ta có bài toán mới
sau:
1
Bài toán 4: Tìm nguyên hàm
2cos
2
x
dx
.
Hướng giải
7
2
Ta dùng phương pháp đổi biến bằng cách đặt t x t x 2tdt dx .
1
Khi đó
2cos
2
t
dx 2 dt
cos t .
x
u t
du dt
1
dv cos2 t dt v tan t
Ta dùng phương pháp từng phần bằng cách đặt
.
1
Suy ra
2cos
2
t
dx 2 dt t tan t tan tdt t tan t ln cost C
cos t
x
.
x tan x ln cos x C
*Ví dụ 5
2 xe dx
- Bước 1: Ta có bài toán
theo phương pháp từng phần.
x
- Bước 2: Thay biến x trong bài toán ở bước một bởi biến f ( x ) s inx .
/
Đồng thời nhân với f ( x ) cosx vào bài toán ở bước một ta có bài toán
nguyên hàm mới sau:
s in2xe
Bài toán 5: Tìm nguyên hàm
sinx
dx
.
Hướng giải
Ta dùng phương pháp đổi biến bằng cách đặt t s inx dt cos xdx .
s in2xe
Khi đó
sinx
dx 2tet dt
.
8
u 2t
du 2dt
t
t
dv
e
dt
v e
Ta dùng phương pháp từng phần bằng cách đặt
.
s in2xe
Suy ra
sinx
dx 2tet dt 2tet 2e t C 2esinx (sinx 1) C
.
*Ví dụ 6
3 ln x
- Bước 1: Từ đề ĐH khối B – 2009 ta có bài toán
( x 1)
2
dx
theo phương
pháp từng phần.
2
- Bước 2: Thay biến x trong bài toán ở bước một bởi biến f ( x ) x . Đồng
f / ( x)
x
thời nhân với 2
vào bài toán ở bước một ta có bài toán mới sau:
x (3 ln x 2 )
( x 2 1)2 dx
Bài toán 6: Tìm nguyên hàm
.
Hướng giải
2
Ta dùng phương pháp đổi biến bằng cách đặt t x dt 2 xdx .
9
x (3 ln x 2 )
1 (3 ln t )
( x 2 1)2 dx 2 (t 1)2 dt
Khi đó
. Ta dùng phương pháp từng phần
bằng cách đặt
u 3 ln t
1
dv
dt
(t 1) 2
1
du
dt
t
v 1
t 1 .
x (3 ln x 2 )
1 (3 ln t )
1 (3 ln t ) 1
1
dx
dt
( x 2 1)2
(t 1)2
t(t 1) dt
2
2
(
t
1)
2
Suy ra
.
1 (3 ln t ) 1
t
1 (3 ln x 2 ) 1
x2
ln
C
ln
C
2 (t 1)
2 t 1
2 ( x 2 1)
2 x2 1
c. Cách 3
*Ví dụ 7
- Bước 1: Chọn u x 1 và
dv v / ( x )dx
s inx
dx
cos2 x . Khi đó ta tìm v bằng
sinx
v 2 dx
cos x
phương pháp đổi biến như sau:
Đặt t cosx dt sin xdx . Suy ra
sinx
dt 1
1
v 2 dx 2
cos x
t
t cosx .
10
- Bước 2: Với hai lượng chọn được ta lập được bài toán mới sau:
( x 1)s inx
dx
cos2 x
.
Bài toán 7: Tìm nguyên hàm
Hướng giải
u x 1
sinx
dv
dx
cos2 x
Đặt
du dx
1
sinx
v 2 dx
v cosx
cos x
(với
tìm ở trên).
( x 1)sinx
x 1
1
dx
dx
2
cos x
cosx
cosx .
Khi đó
1
cosx
dx 1 s in x dx bằng cách đặt t s inx
Ta tìm cosx
2
1
dt
1
1 t
cosx dx (1 t )(1 t ) 2 ln 1 t
dt cosxdx
1 1 s inx
C ln
C
2 1 sinx
.
( x 1)s inx
x 1 1 1 sinx
dx
ln
C
2
cos x
cos
x
2
1
s
in
x
Vậy
.
Nhận xét:
Qua lời giải bài toán trên ta thấy bài toán dành cho học sinh khá giỏi
và phù hợp với ôn thi.
Nếu ta biến đổi
cos2 x
1 cos2x
2
ta được bài toán khó hơn sau
11
( x 1)s inx
Bài toán 7’: Tìm nguyên hàm 1 cos2 x
dx
.
*Ví dụ 8
- Bước 1: Chọn u 2 x và
dv v / ( x )dx
1 cotx
dx
s in 2 x
. Khi đó ta tìm v bằng
1 cotx
v
dx
2
sin
x
phương pháp đổi biến như sau:
Đặt
t cotx dt
1
dx
sin 2 x . Suy ra
1 cotx
t2
cot 2 x
v
dx (1 t )dt t
cotx
sin 2 x
2
2
.
- Bước 2: Với hai lượng chọn được ta lập được bài toán mới sau:
2 x (1 cotx )
dx
2
sin
x
Bài toán 8: Tìm nguyên hàm
.
Hướng giải
u 2x
(1 cotx )
dv
dx
2
s
in
x
Đặt
du 2dx
cot 2 x
1 cotx
v
dx
v 2 cotx
sin 2 x
(với
tìm ở
trên).
12
2 x (1 cotx )
dx xcot 2 x 2 xcotx (cot 2 x 2cotx )dx
2
sin x
.
Khi đó
x (cotx 1) 2 cotx 2 ln sinx C.
Nhận xét: Nếu ta biến đổi
s in 2 x
1 cos2x
2
ta được bài toán khó hơn sau:
4 x (1 cotx )
dx
1
cos2
x
Bài toán 8’: Tìm nguyên hàm
.
*Ví dụ 9
- Bước 1: Chọn u ln x và
dv v / ( x )dx
x
dx
( x 2 1)2 . Khi đó ta tìm v
x
v 2
dx
2
(
x
1)
bằng phương pháp đổi biến như sau:
Đặt
t x2 1
dt
xdx
2
. Suy ra
x
1 dt
1 1
1 1
v 2
dx
.
.
( x 1)2
2 t 2
2 t
2 x2 1 .
- Bước 2: Với hai lượng chọn được ta lập được bài toán mới sau:
13
Bài toán 9: Tìm nguyên hàm
x ln x
dx
2
1) 2 .
( x
Hướng giải
Đặt
u ln x
x
dv
dx
2
2
( x 1)
1
du
dx
x
x
v 1 . 1
v
dx
2
( x 1) 2
2 x 2 1 (với
tìm ở trên).
x ln x
1 1
1
1
dx
.
ln
x
2
( x 2 1)2
x( x 2 1)dx
2
x
1
2
Khi đó
.
1
1 2
2x
1
1
1
ln x 2
ln x ln x ln( x 2 1) C
dx
2
2
2( x 1)
4 x x 1
2( x 1)
2
4
*Ví dụ 10
e x1
dv v ( x )dx
dx
2
x
1
u
x
2
x
- Bước 1: Chọn
và
. Khi đó ta tìm v
/
bằng phương pháp đổi biến như sau:
Đặt
t x 1 2dt
v
v
e x 1
dx
x 1
1
dx
x 1 . Suy ra
e x 1
dx 2 et dt 2et 2e
x 1
x 1
.
14
- Bước 2: Với hai lượng chọn được ta lập được bài toán mới sau:
( x 2 2 x )e
x 1
Bài toán 10: Tìm nguyên hàm
x 1
dx
.
Hướng giải
u x2 2 x
du 2( x 1)dx
x 1
e
e x 1
x 1
v
2
e
dx
v
dx
dv
x
1
x
1
Đặt
(với
tìm ở trên).
( x 2 2 x )e
x 1
Khi đó
( x 1)e
Ta tìm
( x 1)e
x 1
x 1
x 1
dx
dx 2( x 2 2 x )e
x 1
4 ( x 1)e
x 1
dx
.
bằng cách đặt t x 1 2tdt dx .
dx 2t 3e t dt
. Đến đây ta tiếp tục dùng phương pháp từng
phần ba lần liên tiếp ta sẽ tìm được nguyên hàm.
*Ví dụ 11
/
- Bước 1: Chọn u ln(cosx ) và dv v ( x )dx tanxdx . Khi đó ta tìm v
bằng phương pháp đổi biến như sau:
v tanxdx
Đặt t cosx dt s inxdx . Suy ra
v
dt
ln t ln(cosx )
t
.
- Bước 2: Với hai lượng chọn được ta lập được bài toán mới sau:
15
Bài toán 11: Tìm nguyên hàm
tan x ln(cosx )dx .
Hướng giải
u ln(cosx ) du tanxdx
dv
tan
xdx
v ln(cosx ) (với v tanxdx tìm ở trên).
Đặt
tan x ln(cosx )dx ln
Khi đó
2
(cosx ) tan x ln(cosx )dx
.
1 2
tan
x
ln(cos
x
)
dx
ln (cosx ) C
2
.
III. CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bằng cách thêm cận thích hợp vào những bài toán nguyên hàm đã
tạo ra ở trên ta được các bài toán tích phân. Sau đây là một số bài tập được
tạo nên từ hướng đã nêu trên:
2
*Bài 1: Tốt nghiệp 2004 – 2005 Tính tích phân
( x s in x )cosxdx
2
0
.
1
x 2 e x 2 x 2e x
0 1 2e x dx
*Bài 2: ĐH Khối A – 2010 Tính tích phân
.
4
ln x
dx
2
x
*Bài 3: Tính tích phân 1
.
3
1 x s inx
dx
2
cos
x
*Bài 4: ĐH Khối B – 2011 Tính tích phân 0
.
16
3
xcosx
s in x dx
*Bài 5: Tính tích phân
3
4
.
4 x2
0 x ln 4 x 2 dx
*Bài 6: Tính tích phân
.
1
3
4 cos2 x
K s in2x (1 cos2 x ) ln
dx
4 cos2 x
MR
3
*Bài 7: Tính tích phân
4 x (1 cotx )
1 cos2x dx
6
.
2
cotx ln(s inx)dx
*Bài 8: Tính tích phân
K 4 x s in 2
6
.
x
x
cos2
dx x s in 2 xdx
2
2
C. KẾT LUẬN
Như vậy với cách giải quyết đã nêu trên, chúng ta đã tạo ra được
nhiều bài toán tìm nguyên hàm và tích phân mới. Bằng cách làm tương tự
17
giáo viên có thể tạo ra nhiều bài toán nguyên hàm và tích phân mới để cung
cấp bài tập cho học sinh luyện tập. Đồng thời có thể dùng vào việc kiểm
tra, đánh giá trình độ học sinh.
Trong quá trình dạy học, tôi đã đưa những bài tập đã tạo ra ở trên
vào dạy ở Chương III giải tích 12 và định hướng cho các em làm các bài
tập này. Đồng thời khi kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh lớp 12 về
Chương III giải tích 12, tôi cũng dùng các bài tập tự mình tạo ra ở trên. Tôi
nhận thấy việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh của mình khách quan và
chính xác hơn. Còn với các em học sinh thì nắm vững kiến thức hơn và biết
cách vận dụng kiến thức đã học để giải các bài tập dạng này. Qua đó các
em cũng được ôn luyện một phần kiến thức cho hai kì thi tốt nghiệp và cao
đẳng, đại học.
Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp từ quý thầy, cô và
bạn đọc để đề tài này được hoàn thiện hơn nhằm mục đích phục vụ tốt hơn
cho việc dạy và học.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Chư Sê, ngày 20 tháng 02 năm 2013
Người viết: Võ Ngọc Minh.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
18
1)
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Liên
Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất, Giải tích 12, NXB Giáo dục,
2008.
2)
Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Liên Hương, Nguyễn Thu Nga, Phạm
Thu, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất, Bài tập giải tích 12, NXB Giáo
dục, 2008
3)
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Trần
Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12
nâng cao, NXB Giáo dục, 2008.
4)
Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Đoàn Quỳnh, Trần Phương Dung,
Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị Bạch Ngọc, Đặng Hùng Thắng, Bài
tập giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục, 2008.
5)
ThS. Lê Hồng Đức (Chủ biên), NGƯT. Đào Thiện Khải, Lê Bích
Ngọc, Lê Hữu Trí, Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân và
ứng dụng, NXB Đại học sư phạm, 2006.
6)
Đề thi tuyển sinh Đại học từ năm 2002 đến năm 2012 của Bộ giáo dục
và đào tạo.
MỤC LỤC
19
A. ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………………………………………..1
B. NỘI DUNG...............................................................................................2
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ………………………………………………2
1.1 Định nghĩa nguyên hàm …..……………………………………..2
1.2 Định lí …………………………………………………………..2
1.3 Tính chất của nguyên hàm ………………………..…………….2
1.4 Sự tồn tại nguyên hàm ……………………………..…………....2
1.5 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.……………...3
1.6 Phương pháp đổi biến số.……………………………...………...3
1.7 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần…………...……..…...3
II. KẾT HỢP HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM ĐỂ TẠO RA
BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM MỚI……………………………..
………….4
2.1 Cách giải quyết vấn đề……………………………..………………......4
a. Cách 1……………………………..……………….......................4
b. Cách 2……………………………..……………….......................4
c. Cách 3……………………………..……………….......................4
2.2 Các ví dụ…………………….……………………..………………......5
a. Cách 1……………………………..……………….......................5
b. Cách 2……………………………..……………….......................6
c. Cách 3……………………………..……………….......................8
III. CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ…………………………………………12
C. KẾT LUẬN……………………………………………………………13
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………..14
20
- Xem thêm -
.DOC 
20 
692 
62 
