Mô tả:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
KHAI THÁC CÁC ỨNG DỤNG
TỪ MỘT BÀI TOÁN LỚP 8
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8
PhÇn I:
giíi thiÖu ®Ò tµi:
A.Lý do chän ®Ò tµi:
“Gi¶i to¸n lµ mét nghÖ thuËt thùc hµnh;gièng nh− b¬i léi,tr−ît tuyÕt,hay
ch¬i ®µn …”V× vËy ®Ó cã kü n¨ng gi¶i bµi tËp ph¶i qua qu¸ tr×nh luyÖn tËp .Tuy
r»ng,kh«ng ph¶i lµ cø gi¶i bµi tËp lµ cã kü n¨ng.ViÖc luyÖn tËp sÏ cã hiÖu
qu¶,nÕu nh− biÕt khÐo lÐo khai th¸c tõ mét bµi tËp sang mét lo¹t bµi tËp t−¬ng
tù,nh»m vËn dông mét tÝnh chÊt nµo ®ã,nh»m rÌn luyÖn mét ph−¬ng ph¸p chøng
minh nµo ®ã. Thùc tiÔn cho thÊy häc sinh th−êng häc to¸n kh«ng chó ý ®Õn
ph−¬ng ph¸p gi¶i nªn khi gÆp nh÷ng bµi to¸n cã sö dông ph−¬ng ph¸p t−¬ng tù
gÆp nhiÒu lóng tóng.
VËy kh«ng ngoµi t©m huyÕt víi c¸c em häc sinh,niÒm ®am mª dµnh cho
bé m«n to¸n häc vµ sù mong muèn n©ng cao chÊt l−îng –t«i ®Q tiÕn hµnh häc
tËp tÝch luü so¹n ra ®Ò tµi nµy”….”
B.nhiÖm vô:
+C¬ së lý luËn cña ®Ò tµi:
viÖc khai th¸c bµi tËp to¸n cã ý nghÜa hay kh«ng?
+VËn dông lý luËn vµo thùc tiÔn:
khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8
C.Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu:
+ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu thùc tiÔn,lý thuyÕt
+ph−¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm
+ph−¬ng ph¸p thùc nghiÖm s− ph¹m
D.Giíi h¹n ®Ò tµi vµ môc ®Ých nghiªn cøu:
-Giíi h¹n ®Ò tµi khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8:¸p dông ®Ó d¹y
häc sinh líp 6,7,8
-Môc ®Ých ®Ò tµi:Phôc vô cho c«ng t¸c båi d−ìng c¸c khèi 6,7,8 vµ lµm tµi liÖu
tù häc cho c¸c em gióp c¸c em t×m cho m×nh ph−¬ng ph¸p häc tËp tÝch cùc.
PhÇn 2: néi dung
A.C¬ së lý luËn cña ®Ò tµi:
Gi¶i bµi tËp to¸n lµ qu¸ tr×nh suy luËn,nh»m kh¸m ph¸ ra quan hÖ l«gic gi÷a c¸i
®Q cho (gi¶ thiÕt) víi c¸i ph¶i t×m (.kÕt luËn).Nh−ng c¸c quy t¾c suy luËn,còng
nh− c¸c ph−¬ng ph¸p chøng minh ch−a ®−îc d¹y t−êng minh.Do ®ã,häc sinh
th−êng gÆp nhiÒu khã kh¨n khi gi¶i bµi tËp.Thùc tiÔn d¹y häc còng cho thÊy:HS
kh¸ giái th−êng ®óc kÕt nh÷ng tri thøc,ph−¬ng ph¸p cÇn thiÕt cho m×nh b»ng con
®−êng kinh nghiÖm;cßnHS trung b×nh ,yÕu, kÐm gÆp nhiÒu lóng tóng.§Ó cã kÜ
n¨ng gi¶i bµi tËp ph¶i qua qu¸ tr×nh luyÖn tËp.Tuy r»ng,kh«ng ph¶i cø gi¶i nhiÒu
bµi tËp lµ cã nhiÒu kÜ n¨ng.ViÖc luyªn tËp sÏ cã nhiÒu hiÖu qu¶,nÕu nh− biÕt
khÐo lÐo khai th¸c tõ mét bµi tËp sang mét lo¹t bµi tËp t−¬ng tù,nh»m vËn dông
Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn
1
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8
mét tÝnh chÊt nµo ®ã,nh»m rÌn luyÖn mét ph−¬ng ph¸p chøng minh nµo®ã.
Quan s¸t ®Æc ®iÓm bµi to¸n,kh¸i qu¸t ®Æc ®iÓm ®Ò môc lµ v« cïng quan
träng,song quan träng h¬n lµ sù kh¸i qu¸t h−íng suy nghÜ vµ ph−¬ng ph¸p
gi¶i.Sù thùc lµ khi gi¶i bµi tËp th× kh«ng chØ lµ gi¶i mét vÊn ®Ò cô thÓ mµ lµ gi¶i
®Ò bµi trong mét lo¹t vÊn ®Ò nµo ®ã.Do ®ã h−íng suy nghÜ vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i
bµi tËp còng nhÊt ®Þnh cã mét ý nghÜa chung nµo ®ã.NÕu ta chó ý tõ ®ã mµ kh¸i
qu¸t ®−îc h−íng suy nghÜ vµ c¸ch gi¶i cña vÊn ®Ò nµo ®ã lµ g× th× ta sÏ cã thÓ
dïng nã ®Ó chØ ®¹o gi¶i vÊn ®Ò cïng lo¹i vµ sÏ më réng ra.Nhµ to¸n häc §Òc¸c
nãi rÊt ®óng r»ng: “Mçi vÊn ®Ò mµ t«i gi¶i quyÕt ®Òu sÏ trë thµnh vÝ dô mÉu mùc
dïng ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò kh¸c”.Do ®ã sau khi gi¶i mét bµi to¸n nªn chó ý khai
th¸c h−íng suy nghÜ vµ c¸ch gi¶i.
B.VËn dông lý luËn vµo thùc tiÔn:
xÐt bµi to¸n 28 trang 21 s¸ch bµi tËp to¸n 8 –tËp 1:
a.Chøng minh:
1
1
1
−
=
x x + 1 x( x + 1)
(1)
b.§è: §è em tÝnh nhÈm ®−îc tæng sau:
1
1
1
1
1
+
+
+
+
x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5)
1
1
1
x +1− x
=
-H−íng dÉn:a.BiÕn ®æi vÕ tr¸i thµnh vÕ ph¶i : −
=
x x + 1 x( x + 1) x( x + 1)
b.XÐt ®Æc ®iÓm ®¼ng thøc ë c©u a:VP cã mÉu lµ 1tÝch 2biÓu thøc c¸ch nhau 1;1
1
1
1
−
=
.T−¬ng tù víi ®Æc ®iÓm nh− VP ë c©u a;ta cã:
x x + 1 x( x + 1)
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
=
x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + 5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
=
x x +1 x +1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5 x + 5 x
chÝnh lµ tö th× cã
-C¸ch ph¸t biÓu kh¸c cña bµi to¸n:
a.ViÕt ph©n thøc
1
thµnh hiÖu cña hai ph©n thøc cã tö bµng 1
x( x + 1)
b.VËn dông kÕt qu¶ c©u a,hQy rót gän biÓu thøc sau:
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + 5
I.khai th¸c øng dông bµi 28 trong tÝnh to¸n;trong to¸n
rót gän;to¸n chøng minh ®¼ng thøc:
Tõ(1),nÕu thay x=1 th× ta cã c¸c bµi to¸n sau:
Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn
2
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8
Bµi1:TÝnh:
1
2
a. +
1
1
1
1
1
+
+
+
+ ..... +
2 .3 3 .4 4 .5 5 .6
99.100
H−íng dÉn:
1 1
1
1
1
1
=
+
+
+
+
+ ..... +
2 2 .3 3 .4 4 .5 5 .6
99.100
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
99
+ − + − + − + ... +
−
= 1−
=
2 2 3 3 4 4 5
99 100
100 100
1
2
1
1
1
+
+ ...... +
víi n ≥ 1
2 .3 3 .4
n(n + 1)
1
n
=
H−íng dÉn:t−¬ng tù c©u a;ta cã kÕt qu¶ lµ:1n +1 n +1
+ Tõ ®ã cã bµi to¸n tæng qu¸t :b.TÝnh tæng +
*)NhËn xÐt ®Æc ®iÓm mÉu c¸c ph©n thøc ®Ó tõ ®ã ta cã c¸c d¹ng bµi to¸n
kh¸c:c¸c h¹ng tö trong tæng trªn ®Òu lµ nh÷ng ph©n thøc cã d¹ng:mÉu lµ mét tÝch
2nh©n tö c¸ch nhau 1 ®¬n vÞ chÝnh b»ng tö.VËy mÉu lµ tÝch 2nh©n tö c¸ch nhau 2
hay 3 hay 4…th× gi¶i bµi to¸n nh− thÕ nµo?ch¼ng h¹n:
Bµi2:TÝnh tæng:
a.
1
1
1
1
+
+
+ .... +
1 .3 3 .5 5 .7
2005.2007
b.
1
1
1
1
+
+
+ .... +
víi n ≥ 0
2.5 5.8 8.11
(3n + 2)(3n + 5)
H−íng dÉn:a.ViÕt mçi h¹ng tö trong tæng d−íi d¹ng hiÖu 2ph©n thøc:
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1
1 1
1
= ( − );
= ( − );
= ( − );......
= (
−
) .VËy
1 .3 2 1 3 3 .5 2 3 5 5 .7 2 5 7
2005.2007 2 2005 2007
1
1
1
1
+
+
+ .... +
=
1 .3 3 .5 5 .7
2005.2007
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1003
( − + − + − + .... +
−
) = (1 −
)=
2 1 3 3 5 5 7
2005 2007
2
2007
2007
b.Ph−¬ng ph¸p lµm t−¬ng tù nh− c©u a.
1
1
1
1
= (
−
) nªn ta cã:
(3n + 2)(3n + 5) 3 3n + 2 3n + 5
1
1
1
1
+
+
+ .... +
=
2.5 5.8 8.11
(3n + 2)(3n + 5)
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1 1
1
n +1
( − + − + − + ... +
−
)= ( −
)=
3 2 5 5 8 8 11
3n + 2 3n + 5
3 2 3n + 5 3n + 5
XÐt h¹ng tö tæng qu¸t:
+T−¬ng tù nh− vËy cã thÓ ®Ò xuÊt mét lo¹t bµi to¸n cïng lo¹i vµ gi¶i quyÕt víi
cïng ph−¬ng ph¸p.
*)Chó ý ®Õn ®Æc ®iÓm tö vµ mÉu c¸c ph©n thøc ta cã bµi to¸n tæng qu¸t
h¬n:tö lµ mét sè(biÓu thøc) bÊt kú,mÉu lµ tÝch cña 2 sè(biÓu thøc) c¸ch ®Òu nhau
th× gi¶i quyÕt bµi to¸n nh− thÕ nµo?ch¼ng h¹n:
Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn
3
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8
Bµi3:TÝnh tæng:
5
5
5
5
5
+
+
+
+ .... +
2.4 4.6 6.8 8.10
98.100
n
n
n
n
+
+
+ ......
b.
víi a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k =b
a1a 2 a 2 a 3 a 3 a 4
a k a k +1
a.
H−íng dÉn:a.Ph−¬ng ph¸p lµm:viÕt c¸c h¹ng tö trong tæng d−íi d¹ng hiÖu(t−¬ng
5
5 1 1 5
5 1 1 5
5 1 1
5
5 1
1
) do ®ã:
= ( − );
= ( − );
= ( − );....;
= ( −
2 .4 2 2 4 4 .6 2 4 6 6 .8 2 6 8
98.100 2 98 100
5
5
5
5
5
5 1 1 1 1 1 1
1
1
= ( − + − + − + .... + −
)=
+
+
+
+ .... +
2.4 4.6 6.8 8.10
98.100 2 2 4 4 6 6 8
98 100
5 1
1
49
= ( − )=
2 2 100
20
tù bµi 2)
b.Ph−¬ng ph¸p lµm t−¬ng tù c©u a.§©y chÝnh lµ bµi to¸n tæng qu¸t rót ra tõ c¸c
bµi to¸n trªn.VËy ta xÐt c¸c tr−êng hîp sau:
+Tr−êng hîp 1:NÕu a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k =n
Bµi to¸n nµy gi¶i ®−îc dÔ dµng theo c¸ch ph©n tÝch cña bµi 1 v× khi ®ã:
n
1 1
= −
a 1a 2 a 1 a 2
……………………….
n
1
1
= −
a k a k +1 a k a k +1
1
1
n
n
n
n
+
+
+ ......
= −
a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4
a k .a k +1 a k a k +1
+Tr−êng hîp 2:NÕu a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k = b ≠ n
n
n
n
n
n
b
b
b
b
+
+
+ ......
Ta cã
= (
+
+
+ .... +
)
a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4
a k .a k +1 b a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4
a k .a k +1
Céng tõng vÕ ta cã:
Bµi to¸n nµy thùc chÊt ®Q ®−a vÒ d¹ng bµi 2;bµi3.Do ®ã ta cã kÕt qu¶ lµ
n 1
1
( −
)
b a k a k +1
-NÕu mÉu lµ tÝch cña 3 sè tù nhiªn c¸ch ®Òu nhau th× sao?Tõ ®ã ta cã c¸c bµi
to¸n khã h¬n :
1
1
1
1
+
+
+ .... +
víi
1.2.3 2.3.4 3.4.5
(n − 1).n.(n + 1)
1
1
1
1
B=
+
+
+ .... +
víi n ∈ N ; n ≥ 2
1.3.5 3.5.7 5.7.9
(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3)
Bµi4:TÝnh tæng :A=
n≥1
,n ∈ N
H−íng dÉn: Ph−¬ng ph¸p gi¶i t−¬ng tù nh− c¸c bµi trªn:viÕt c¸c h¹ng tö d−íi
d¹ng hiÖu.
Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn
4
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8
2
1
1
=
−
Do ®ã ta cã:
(n − 1)n(n + 1) (n − 1).n n.(n + 1)
NhËn xÐt:
1 1
1
1
1
1
1
1 1
1
−
+
−
+ ... +
−
)= ( −
)
2 1.2 2.3 2.3 3.4
(n − 1).n n.(n + 1) 2 2 n.(n + 1)
4
1
1
=
−
NhËn xÐt:
Do ®ã ta cã:
(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3)
1 1
1
1
1
1
1
1
1
+ ... +
−
)
B= ( − + − + −
4 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9
(2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3)
1 1
1
)
= ( −
4 3 (2n + 1)(2n + 3)
A= (
1 1 b −a
*)NhËn xÐt: Tõ (1) ta cã ®¼ng thøc tæng qu¸t h¬n: − =
víi a ≠ 0; b ≠ 0 th×
a b a.b
viÖc ¸p dông ng−îc c«ng thøc trªn trong thùc tÕ ®−îc sö dông rÊt nhiÒu. Ch¼ng
h¹n víi bµi to¸n sau:
Bµi 5: Cho biÕt a,b,c lµ c¸c sè thùc kh¸c nhau.Chøng minh:
b−c
c−a
a−b
2
2
2
+
+
=
+
+
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) a − b b − c c − a
H−íng dÉn:§èi víi ®Ò nµy nÕu dïng c¸ch hoµ ®ång mÉu sè vÕ tr¸i ®Ó
chøng minh th× qu¸ tr×nh tÝnh phøc t¹p.Cã c¸ch g× ng¾n gän kh«ng?Quan s¸t c¸c
sè h¹ng ë vÕ tr¸i ta thÊy tö sè võa ®óng b»ng hiÖu cña 2 thõa sè ë mÉu sè:
b-c=(a-c)-(a-b);c-a=(b-a)-(b-c);a-b=(c-b)-(c-a).§iÒu ®ã gîi cho ta nhí ®Õn dïng
b−a 1 1
b−c
1
1
= −
tøc
=
−
. Do ®ã:
a.b
a b
(a − b)(a − c) a − b a − c
b−c
c−a
a−b
1
1
1
1
1
1
+
+
=
−
+
−
+
−
=
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) a − b a − c b − c b − a c − a c − b
1
1
1
1
1
1
2
2
2
+
+
+
+
+
=
+
+
(§PCM)
a−b c−a b−c a−b c−a b−c a−b b−c c−a
*)Chó ý ®Õn mÉu: nÕu ta thay x.(x+1)= x 2 + x ; (x+1)(x+2)= x 2 + 3x + 2 ;….ta sÏ cã
ng−îc
c«ng
thøc
c¸c bµi to¸n luyÖn cho häc sinh kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
Bµi6:Rót gän c¸c biªñ thøc sau:
1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
x + x x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20
1
1
1
1
b. N= 2
+ 2
+ 2
+ 2
x − 5x + 6 x − 7x + 12 x − 9x + 20 x − 11x + 30
a. M=
2
H−íng dÉn:a.§Ó rót gän M cÇn ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh©n tö
Ta cã: x 2 +x = x(x+1); x 2 + 3x + 2 = x 2 + x + 2x + 2 = (x+1)(x+2);
x 2 + 5x + 6 = x 2 + 2x + 3x + 6 = (x+2)(x+3); x 2 + 7x + 12 = x 2 + 3x + 4x + 12 =(x+3)(x+4);
x 2 + 9x + 20 = x 2 + 4x + 5x + 20 =(x+4)(x+5) Do ®ã:
Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn
5
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8
1
1
1
1
1
+
+
+
+
(x + 1)x (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= −
+
−
+
−
+
−
+
−
x x +1 x +1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5
1
1
5
= −
=
x x + 5 x(x + 5)
M=
b.T−¬ng tù ta cã:
1
1
1
1
+
+
+
(x − 2)(x − 3) (x − 3)(x − 4) (x − 4)(x − 5) (x − 5)(x − 6)
1
1
1
1
1
1
1
1
=
−
+
−
+
−
+
−
x −2 x −3 x −3 x −4 x −4 x −5 x −5 x −6
1
1
−4
=
−
=
x − 2 x − 6 (x − 2)(x − 6)
N=
Bµi 7: Rót gän:
a
a
a
a
1
+ 2
+ 2
+ 2
+
2
2
2
x + a.x x + 3a.x + 2a
x + 5.a.x + 6a
x + 7.a.x + 12a
x + 4a
a
a
a
a
1
b.H= 2
+ 2
+ 2
+ .. + 2
+
2
2
2
x + ax x + 3ax + 2a
x + 5ax + 6a
x + 19ax + 90a
x + 10a
a.K=
2
H−íng dÉn:
a
a
a
a
1
+
+
+
+
x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= −
+
−
+
−
+
−
+
x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a
1
=
x
a
a
a
a
1
b.H=
+
+
+
+
x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a
1
a
1
+ ... +
+
x + 5a
(x + 9a)(x + 10a) x + 10a
1
1
1
1
1
1
1
1
1
H== −
+
−
+
−
+
−
+
x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a
1
1
1
1
+ ... +
−
+
x + 5a
x + 9a x + 10a x + 10a
1
H=
x
2x + 1
1
1
*)XÐt biÓu thøc sau: (x + 1)2 − x 2 = 2x + 1 nªn ta cã: 2
= 2 −
2
x .(x + 1)
x
(x + 1) 2
a.K=
Do ®ã ta cã bµi to¸n sau:
Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn
6
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8
Bµi8:Rót gän biÓu thøc sau:
A=
3
5
2x + 1
+
+ ........ +
2
2
(1.2) (2.3)
[x(x + 1)]2
H−íng dÉn:
2x + 1
=
x .(x + 1)2
1
1
1
1
1
A= 2 − 2 + 2 − 2 + 2 −
1
2
2
3
3
1
x(x + 2)
=1=
2
(x + 1)
( x + 1) 2
-NhËn xÐt:
2
1
1
−
nªn ta cã:
2
x
(x + 1) 2
1
1
1
+ ... + 2 −
2
4
x
(x + 1) 2
II.khai th¸c c¸c øng dông bµi 28 trong chøng minh bÊt
®¼ng thøc:
Bµi9:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 1 :
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + ... +
<
2
2
2
4
6
8
(2n)
2
1
1
1
1
1
b.B = 2 + 2 + 2 + .... +
<
2
3
5
7
(2 n + 1)
4
a.A =
H−íng dÉn:
a.NhËn xÐt:
1
1 1
1
1
1
1
1
= . 2 < .
mµ
=
− nªn ta cã:
2
(2 n )
4 n
4 ( n − 1).n
(n − 1).n n − 1 n
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + ... +
= ( 2 + 2 + 2 + ... + 2 ) nªn
2
2
2
4
6
8
(2n)
4 1
2
3
n
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
) hay
A< (1 +
4
1.2 2.3 3.4
(n − 1).n
1
1 1 1 1 1
1
1
− ) hay
A< (1 + 1 − + − + − + ... +
4
2 2 3 3 4
n −1 n
A=
1
4
1
n
1
2
A< (1 + 1 − ) hay A < −
1
1
hay A<
4n
2
(§PCM)
b.NhËn xÐt:
1
1
1
1
1
1 1
1
<
⇔
<
⇔
< ( −
)
2
2
2
2
(2n + 1)
(2n + 1) − 1
(2n + 1)
2n.(2n + 2)
(2n + 1)
2 2n 2n + 2
nªn ta cã:
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ ... +
hay
3 −1 5 −1 7 −1
(2n + 1)2 − 1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
B<
hay
4.2 4.6 6.8
2n(2n + 2)
B<
2
Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn
7
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8
B<
1 1 1 1 1 1 1
1
1
( − + − + − + ... +
−
) hay
2 2 4 4 6 6 8
2n 2n + 2
B<
1 1
1
1
1
1
( −
)⇒B < −
⇒B<
2 2 2n + 2
4 4(n + 1)
4
(§PCM)
Bµi10:Chøng minh víi n nguyªn,n>1 th×:
1
1
1
1
1
A= 2 + 2 + 2 + .... + 2 < 2 −
1
2
3
n
n
H−íng dÉn:§Ó ¸p dông (1) cÇn sö dông ph−¬ng ph¸p lµm tréi,t−¬ng tù nh− bµi 9.
-NhËn xÐt: Víi k=2;3;4;…;n ta cã:
1
1
1
1
1
<
hay 2 <
−
(2)
2
k
(k − 1).k
k
k −1 k
LÇn l−ît cho k=2;3;4;…;n trong (2) råi céng l¹i vÕ theo vÕ ta ®−îc:
1 1 1 1
1
1 1 1 1
1
1
−
A= 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 1 + − + − + ... +
1 2 3 4
n
1 2 2 3
n −1 n
A<2-
1
n
hay
(§PCM)
-Tõ bµi 10 ta cã thÓ ra bµi tËp sau:
Bµi11: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n ≥ 2 th×:
1
1
1
1
B = 2 + 2 + 2 + .... + 2 < 1
2
3
4
n
H−íng dÉn: ¸p dông kÕt qu¶ bµi 10 ta cã A<2®ã: B+1 < 2-
1
mµ B = A-1 hay A = B+1 khi
n
1
1
hay B < 1- hay B < 1 (§PCM)
n
n
Bµi12: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n; n ≥ 2 th×:
1
1
1
1
2
C = 2 + 2 + 2 + ..... + 2 <
2
3
4
n
3
H−íng dÉn:§Ó ¸p dông (1) cÇn sö dông ph−¬ng ph¸p lµm tréi.VËy vËn dông nã
nh− thÕ nµo?cã gièng víi bµi 11 kh«ng?(víi bµi 11 th× ch−a ®¸nh gi¸ ®−îc
2
3
C< ).HQy xem nhËn xÐt sau:
1
4
4
1
1
1
= 2 < 2
⇔ 2 < 2(
−
) Do ®ã:
2
n
4n
4n − 1
n
2n − 1 2n + 1
1 1 1 1
1
1
−
) hay
C < 2( − + − + ... +
3 5 5 7
2n − 1 2n + 1
1
3
C < 2( −
1
)
2n + 1)
hay
Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn
8
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8
C<
2
3
(§PCM)
Bµi13: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n ≥ 2 ta cã:
1 1 1
1 1
D= 3 + 3 + 3 + ..... + 3 <
2 3 4
n
4
H−íng dÉn:§Ó ¸p dông (1) cÇn sö dông ph−¬ng ph¸p lµm tréi.VËy sö dông nh−
thÕ nµo?HQy xem nhËn xÐt sau:
1
1
1
1
1 1
1
1
< 3
hay 3 <
hay 3 < (
−
) Do ®ã ta cã:
3
k
k −k
k
(k − 1)k(k + 1)
k
2 (k − 1)k k(k + 1)
D<
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
+ 3
+ .... + 3
+
−
+ ... +
−
)
hayD< ( −
2 −2 3 −3
n −n
2 1.2 2.3 2.3 3.4
(n − 1)n n.(n + 1)
3
hay
1 1
2 2
D< ( −
1
1
) hay D <
(§PCM)
n(n + 1)
4
Bµi14: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n ≥ 3 ta cã:
1 1 1
1
1
E= 3 + 3 + 3 + .... + 3 <
3 4 5
n 12
H−íng dÉn:Ta cã:
1
1
1
1
1 1
1
1
<
hay
<
hay
<
(
−
)
n3 n 3 − n
n3 (n − 1)n(n + 1)
n3 2 (n − 1)n n(n + 1)
Do ®ã :
1 1
1
1
1
1
1
−
+
−
+ ... +
−
) hay
E< (
2 2.3 3.4 3.4 4.5
(n − 1)n n(n + 1)
1 1
1
(
−
) hay E < 1 (§PCM)
2 2.3 n(n + 1)
12
Bµi15:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n ≥ 2 ta cã:
1 2 3
n −1
<1
H= + + + ... +
2! 3! 4!
n!
H−íng dÉn:Ta cã:
n −1
1
1
=
−
Do ®ã:
n!
(n − 1)! n!
1
1 1 1
1
1
−
hay H=1H=1- + − + ... +
hay H<1 (§PCM)
2! 2! 3!
(n − 1)! n!
n!
Bµi16:Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d−¬ng n ta cã:
E<
Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn
9
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8
2
n + n −1
1 5 11
K= + + + ….+
<2
n!
2! 3! 4!
n 2 + n − 1 n(n + 1)
1
1
1
=
−
=
−
H−íng dÉn:Ta cã:
(n + 1)!
(n + 1)! (n + 1)! (n − 1)! (n + 1)!
Do ®ã K=
1
1 1
1 1
1 1
1
1
+ ( − ) + ( − ) + ( − ) + ... + (
−
) hay
2! 1! 3!
2! 4!
3! 5!
(n − 1)! (n + 1)!
1
1 1 1
1
1
1
+ ( + + + ... +
) − ( + ... +
) hay
2! 1! 2! 3!
(n + 1)!
3!
(n + 1)!
1 1 1 1
1
1
1
K= + + − −
hay K = 2- −
VËy K < 2 (§PCM)
2! 1! 2! n! (n + 1)!
n! (n + 1)!
Bµi17: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d−¬ng n ta cã:
3 5
7
2n + 1
+ .... + 2
<1
M= + +
4 36 144
n .(n + 1)2
K=
2n + 1
1
1
=
−
Do ®ã:
n 2 .(n + 1)2 n 2 (n + 1)2
1 1 1
1
1
1
=
1
−
M= 1 − 2 + 2 − 2 + ... + 2 −
<1
(§PCM)
2 2 3
n (n + 1)2
(n + 1)2
H−íng dÉn:Ta cã:
Bµi18:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ta cã:
1 1 1
1
9
+ + .... + 2
<
2
5 13 25
n + (n + 1)
20
N= +
H−íng dÉn:Ta cã:
1
1
1
1
1 1
1
= 2
< .
= ( −
)
2
k + (k + 1)
2k + 2k + 1 2 k(k + 1) 2 k k + 1
2
1 1 1 1
< ( − )
13 2 2 3
1 1 1 1
< ( − )
k=3:
25 2 3 4
……………………….
1
1 1
1
< ( −
)
k = n:
2
2
n + (n + 1)
2 n n +1
1 1 1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
) hay
) hay N< + ( −
Do ®ã N< + ( − + − + ... + −
5 2 2 3 3 4
n n +1
5 2 2 n +1
1 1
9
N< + hayN <
(§PCM)
5 4
20
Víi k=2:
Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn
10
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8
III.khai th¸c c¸c øng dông bµi 28 trong gi¶i ph−¬ng
tr×nh,bÊt ph−¬ng tr×nh:
Bµi19:Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
a.(
1
1
1
1
1
1
+
+ ..... +
).x = +
+ ... +
.
1.101 2.102
10.110
11 2.12
100.110
b.(
1
1
1
1
148
98
+
+
+ ... +
).(x − 2) + x =
x−
1.3 3.5 5.7
97.99
99
99
1
3
1 1
1
2007
+ ... +
=
x(x + 1) 2009
6 10
2
c. + +
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
)
+
+ ... +
(1 −
+ −
+ ... + −
1.101 2.102
10.110 100
101 2 102
10 110
1
1 1
1
1 1
1
1
)
=
(1 + + + ... + ) −
(
+
+ ... +
100
2 3
10 100 101 102
110
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
XÐt +
)
+ ... +
= ( − + − + ... +
−
11 2.12
100.110 10 1 11 2 12
100 110
1
1 1
1
1 1
1
1
)
= (1 + + + ... +
− − − ... −
− ... −
10
2 3
100 11 12
100
110
1
1
1
1
1
1
= (1 + + ... + −
) Do ®ã ta cã:
−
− ... −
10
2
10 101 102
110
1 1
x= :
= 10
10 100
1
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
b.XÐt
+
+
+ ... +
= (1 − + − + − + ... +
− )
1 .3 3 .5 5 .7
97.99 2
3 3 5 5 7
97 99
1
1
49
= (1 − ) =
Khi ®ã ta cã:
2
99
99
49
148
98
hay 49(x-2)+99x=148x-98 hay
( x − 2) + x =
x−
99
99
99
49x+99x-148x=0 hay 0.x=0 hay x∈ R
2007
1 1 1
1
=
c. + + + ... +
hay
x
x
+
(
1
)
2009
3 6 10
2
H−íng dÉn:a.XÐt
2
2
2
2
2007
+
+
+ ... +
=
2.3 3.4 4.5
x(x + 1) 2009
1 1 1 1 1 1
1
1
2007
)=
⇔ 2( − + − + − + ... + −
2 3 3 4 4 5
x x + 1 2009
1
1
2007
2
2007
2
2
)=
=
⇔ 2( −
⇔ 1⇔
⇔ x=2008(tho¶ mQn
=
2 x + 1 2009
x + 1 2009
x + 1 2009
x≠ o; x ≠ −1 )
Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn
11
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8
Bµi21:Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
1
1
1
1
1
9
+
+
+ .... +
)( x − 1) + x = x −
1 .2 2 .3 3 .4
9.10
10
10
1
1
1
1
1
1
1
1
b.(
)
+
+
+ .... +
)x = (
+
+
+ ... +
1.51 2.52 3.53
10.60
1.11 2.12 3.13
50.60
1
1
1
1
1
9
H−íng dÉn:a. ( +
+
+ .... +
)( x − 1) + x = x −
1 .2 2 .3 3 .4
9.10
10
10
1 1 1 1 1
1 1
1
9
⇔ ( 1 − + − + − + ... + − ) (x-1)+ x = x −
2 2 3 3 4
9 10
10
10
9
1
9
⇔ ( x − 1) + x = x −
⇔ 0x=0 ⇔ x ∈ R
10
10
10
1
1
1
1
1
1
1
1
)
b. .(
+
+
+ .... +
)x = (
+
+
+ ... +
1.51 2.52 3.53
10.60
1.11 2.12 3.13
50.60
1
1 1 1 1 1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
⇔
(1 − + −
+ − + ... + − ) x = ( − + − + ... +
− )
50
51 2 52 3 53
10 60
10 1 11 2 12
50 60
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1
⇔
(1 + + + ... + − −
− ... − ) x = (1 + + ... +
− − − ... − )
50
2 3
10 51 52
60
10
2
50 11 12
60
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
⇔
(1 + + ... + − −
− ... − ) x = (1 + + ... + − −
− ... − )
50
2
10 51 52
60
10
2
10 51 52
60
1 1
⇔
x= : =5
10 50
a.(
Bµi22:Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:
1
1
1
+ 2
=
a. 2
x + 4x + 3 x + 8x + 15 6
1
2
3
−6
+ 2
+ 2
=
b. 2
x − 5x + 6 x − 8x + 15 x − 13x + 40 5
1
1
1
+ 2
=
x + 9x + 20 x + 13x + 42 18
1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ .... + 2
=
d. 2
x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12
x + 15x + 56 14
c.
2
H−íng dÉn:
a.NhËn xÐt: x 2 +4x+3=(x+1)(x+3)
x 2 +8x+15=(x+3)(x+5)
§KX§:x ≠ −1;x ≠ −3;x ≠ −5
1
1
1
+
=
(x + 1)(x + 3) (x + 3)(x + 5) 6
1 1
1
1
1
1
−
+
−
)=
⇔ (
2 x +1 x + 3 x + 3 x + 5 6
PT ®Q cho ®−îc viÕt:
Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn
12
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8
⇔
1 1
1
1
(
−
)=
2 x +1 x + 5 6
⇒ 3(x + 5 − x − 1) = (x + 1)(x + 5)
2
2
⇔ (x + 3) = 4
⇔ x+3=4 hoÆc x+3=-4
⇔ x=1 hoÆc x=-7 (tho¶ mQn §KX§)
*)C¸c c©u b;c;d ph−¬ng ph¸p lµm hoµn toµn t−¬ng tù c©u a.
Bµi 23:Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:
(
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
+ ... +
)x <
1.51 2.52
10.60
11 2.12 3.13
50.60
H−íng dÉn:C¸ch lµm t−¬ng tù bµi 21b);chØ cã chó ý dÊu bÊt ®¼ng thøc thay cho
dÊu ®¼ng thøc vµ ta cã gi¸ trÞ biÓu thøc sau lu«n d−¬ng :
1 1
1 1 1
1
1 + + + ... + − − − ... −
nªn ta cã kÕt qu¶ lµ x < 5
2 3
10 51 52
60
PhÇn 3:kÕt luËn:
Ph−¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp cã hÖ thèng lµ mét yÕu tè c¬ b¶n gióp häc sinh n¾m
v÷ng kiÕn thøc,gi¶i quyÕt linh ho¹t c¸c bµi tËp to¸n vµ ®¹t kÕt qu¶ cao trong häc
tËp m«n to¸n.§iÒu quan träng nhÊt cÇn ®Ò cËp bµi to¸n theo nhiÒu c¸ch kh¸c
nhau,nghiªn cøu kü ,kh¶o s¸t kü tõng chi tiÕt vµ kÕt hîp c¸c chi tiÕt cña bµi to¸n
theo nhiÒu c¸ch ®Ó më réng cho c¸c bµi to¸n kh¸c.§ång thêi qua ®ã cã thÓ khai
th¸c c¸c øng dông cña mét bµi to¸n c¬ b¶n vµo gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n cïng lo¹i.
Hi väng r»ng víi mét sè vÝ dô t«i ®−a ra trong ®Ò tµi nµy gióp c¸c em häc
sinh sÏ biÕt c¸ch lµm chñ ®−îc kiÕn thøc cña m×nh,thªm yªu mÕn m«n to¸n,tù tin
trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu sau nµy.
§©y míi chØ lµ kinh nghiÖm cña b¶n th©n t«i nªn ch¾c ch¾n cßn nhiÒu
khiÕm khuyÕt,hi väng ®−îc c¸c b¹n ®ång nghiÖp quan t©m vµ gãp ý ®Ó ®Ò tµi
®−îc hoµn chØnh h¬n.
*)Sau ®©y lµ mét sè bµi tËp ®Ò nghÞ:
Bµi 1:TÝnh c¸c tæng sau:
a.
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.5 5.9 9.13
(4n − 3)(4n + 1)
1
1
1
+
+ ... +
4.5 5.6
(n + 3)(n + 4)
7
7
7
1
+
+ ... +
+
c.
1.8 8.15
(7n − 6)(7n + 1) 7n + 1
b.
Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn
13
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8
1
1
1
1
+
+
+ ... +
2.5 5.8 8.11
(3n + 2)(3n + 5)
Bµi 2:Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
2
2
2
2
+
+
+
a.
(x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) x + 4
d.
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
A 1.(2n − 1) 3.(2n − 3) 5(2n − 5)
(2n − 3).3 (2n − 1).1
b. =
1 1
1
B
1 + + + ... +
3 5
2n − 1
Bµi 3:Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
1
1
1
1
149
99
+
+ ... +
)(2x − ) + x =
.x −
a.(
1.2 2.3
99.100
2
50
200
1
1
1
1
+ 2
+ 2
=
x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 6
Bµi 4:Chøng minh r»ng víi n lµ sè nguyªn d−¬ng bÊt kú th×:
1 1 1
1
A= 2 + 2 + 2 + .... + 2 <1,65
1 2 3
n
b.
2
Ngµy 21 th¸ng 5 n¨m 2008
Ng−êi thùc hiÖn:
Lª thÞ hiÒn
Gi¸o viªn:Tr−êng THCS ThÞ TrÊn.
Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn
14
- Xem thêm -