Tài liệu Skkn một số dạng bài tập số phức

Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 0 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 PHẦN MỞ ĐẦU I.BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI Kể từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức đưa nội dung “ Số phức” vào chương trình lớp 12 cho học sinh dạng đại trà. Đây là vấn đề khá mới lạ đối với không ít giáo viên và học sinh bậc THPT (do thời lượng chương trình và tài liệu nghiên cứu không nhiều), mặc dù nội dung này chiếm một tỉ lệ nhất định trong các đề thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Vì thế, việc dạy và học nội dung “ Số phức” có hiệu quả thật sự là vấn đề cần nghiên cứu. Qua quá trình giảng dạy tôi đã tích lũy một ít kinh nghiệm cho nội dung này. Trong năm học 2010 - 2011, tôi đã hệ thống những kinh nghiệm soạn đề và phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức với hy vọng học sinh sẽ có cái nhìn toàn diện và tự tin hơn khi tiếp cận các vấn đề liên quan đến số phức. II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý do chọn đề tài của tôi xuất phát từ những trải nghiệm sau: * Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên đa phần khi vận dụng còn ảnh hưởng bởi tính chất của tập hợp số thực đã học từ các lớp dưới. Vì vậy thường tỏ ra lúng túng khi đối mặt chúng trong các đề thi. * Trong nhiều trường hợp, có thể vận dụng phương pháp“ Dùng cái phức để giải quyết cái thực” một cách hữu hiệu. * Nghiên cứu dạng toán này còn giúp cho học sinh kết hợp phương pháp đại số và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải quyết một số dạng toán nâng cao. * Đặc biệt, nhằm ứng dụng hiệu quả kiến thức tiếp thu qua các lớp tập huấn về công nghệ thông tin và bồi dưỡng thường xuyên, bên cạnh việc hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay trong việc tính toán số phức, bản thân còn ứng dụng phần mềm Maple để chủ động biên soạn các đề bài toán số phức phù hợp mục tiêu từng dạng bài. Từ những suy nghĩ trên, tôi mạn phép trao đổi cùng các anh chị đồng nghiệp và các em học sinh sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “KINH NGHIỆM SOẠN ĐỀ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC” nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn toán ở trường THPT. III. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU • Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở các trường trung học phổ thông tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp và Cao đẳng Đại học. • Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm: * Một số dạng bài tập thường gặp về số phức. * Ứng dụng số phức tìm để giải quyết một số bài toán về số thực. * Các bài toán tham khảo qua các kì thi. * Minh họa một số đề bài toán được biên soạn bởi sự hỗ trợ phần mềm Maple. IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục tiêu: GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 1 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 * Cùng chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm về phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức. * Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm. * Ứng dụng CNTT trong việc đổi mới phương pháp dạy và học ở trường phổ thông. * Hưởng ứng phong trào viết SKKN của trường THPT chuyên Bến Tre và của Công Đoàn ngành Giáo dục phát động. V. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU * SKKN này đã hệ thống tóm tắt những nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý khi nghiên cứu chương số phức. * Qua SKKN nầy, học sinh được nắm được phương pháp giải một số dạng toán về số phức và các kỹ thuật tính toán đại số.Cụ thể là: + Dạng 1: Các phép tính về số phức và các bài toán định tính. + Dạng 2: Biểu diễn hình học của số phức. + Dạng 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai. + Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai. + Dạng 5: Dạng lượng giác của số phức. + Dạng 6: Nhị thức Niu-tơn và số phức. * SKKN này còn khai thác ý nghĩa hình học về các phép toán cộng, trừ của số phức và ứng dụng dạng lượng giác của số phức. * SKKN này đưa ra nhiều bài toán mẫu và các bài tập tương tự nhằm mục tiêu giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính toán và phát triển tư duy trước mỗi dạng bài. * Qua SKKN này, học sinh sẽ tích lũy thành kinh nghiệm cho bản thân để có thể sáng tạo giải quyết các bài toán nâng cao và tổng hợp khác. * Đặc biệt, điểm mới cần lưu ý trong SKKN này là bản thân đã khai thác ứng dụng phần mềm Maple trong việc sáng tác các bài toán và kiểm tra kết quả theo mục tiêu bài học. PHẦN NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở: * Các kiến thức cơ bản về số phức. * Các kiến thức cơ bản về lượng giác và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. * Một số kĩ thuật biến đổi đại số và ứng dụng của máy tính cầm tay. * Một số lệnh cơ bản của Maple. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Trong suốt 12 năm học từ bậc tiểu học đến bậc THPT, hầu hết thời gian làm toán số của học sinh là yêu cầu giải quyết trên tập số thực. Riêng năm học lớp 12 học sinh được tiếp cận với tập số phức với thời lượng nhất định để nghiên cứu các dạng toán liên quan. Vì thế, nếu không có sự hướng dẫn đầy đủ và cụ thể của giáo viên thì học sinh thường có sự nhầm lẫn trong tính toán và không nắm vững phương pháp giải từng GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 2 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 dạng bài. Đồng thời, học sinh cũng không cảm nhận hết“ cái đẹp” của số phức cũng như không thấy rõ mối liên quan giữa các kiến thức toán học. Do vậy, việc giải các bài toán liên quan đến số phức đòi hỏi có sự kết hợp khéo léo và vận dụng linh hoạt, sáng tạo giữa các kiến thức toán. Sau đây, tôi xin giới thiệu một số phương pháp thường dùng để giải các dạng toán nói trên. III. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1) TÓM TẮT GIÁO KHOA Trước hết, ta cần hệ thống tóm tắt những nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý khi nghiên cứu chương số phức. Phần 1: SỐ PHỨC i Ñònh nghóa 1: Moãi soá phöcù laø moät bieåu thöùc daïng a + bi vôùi a, b ∈ vaø i 2 = −1. Kí hieäu soá phöùc ñoù laø z vaø vieát z = a + bi. i ñöôïc goïi laø ñôn vò aûo, a ñöôïc goïi laø phaàn thöïc vaø b ñöôïc goïi laø phaàn aûo cuûa soá phöùc z = a + bi. Taäp hôïp caùc soá phöùc ñöôïc kí hieäu laø . ⎧a = a′ i Ñònh nghóa 2: a + bi = a′ + b′i ⇔ ⎨ , Suy ra a + bi = 0 ⇔ a = b = 0. ′ b = b ⎩ Chuù yù: Ñaây laø cô sôû cuûa vieäc öùng duïng soá phöùc ñeå giaûi quyeát caùc baøi toaùn trong taäp hôïp soá thöïc. ∗Ví duï: Sau khi hoïc xong coâng thöùc Moivre(Moa- vrô), coù theå tính ñöôïc cos nϕ, sin nϕ nhö sau: iVôùi n = 3, xeùt z = cos3ϕ + i sin3ϕ (1). Ta coù z = (cosϕ + i sin ϕ)3 ⇒ z = (cos3ϕ − 3cos ϕ.sin 2 ϕ) + i(3cos2ϕ.sin ϕ − sin3 ϕ); (2) 3 ⎪⎧icos3ϕ = 4cos ϕ − 3cos ϕ. Töø (1) vaø (2) ta ñöôïc: ⎨ 3 ⎪⎩isin3ϕ = 3sin ϕ − 4sin ϕ. ∗Chuù yù: Trong khoâng coù quan heä thöù töï, nghóa laø khoâng coù khaùi nieäm z > z′, z < z′, z ≥ z′, z ≤ z′. ∗Bieåu dieãn hình hoïc cuûa soá phöùc: iÖÙng vôùi moãi soá z = a + bi coù duy nhaát moät ñieåm M (a; b)/ mp Oxy vaø ngöôïc laïi. Kí hieäu: M (a + bi) hay M ( z). iCaùc ñieåm treân truïc hoaønh Ox bieåu dieãn caùc soá thöïc; Caùc ñieåm treân truïc tung Oy bieåu dieãn caùc soá aûo. GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 3 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 ∗ YÙ nghóa hình hoïc cuûa caùc pheùp toaùn coäng, tröø soá phöùc: Cho z = a + bi coù vectô bieåu dieãn laø u(a; b) z′ = a′ + b′i coù vectô bieåu dieãn laø u′(a′; b′) ⎧⎪u + u′ bieåu dieãn cho z + z′. Khi ñoù : ⎨ ⎪⎩u − u′ bieåu dieãn cho z - z′. ∗Ñònh nghóa pheùp nhaân soá phöùc: Tích cuûa hai soá phöùc z = a + bi vaø z′ = a′ + b′i laø soá phöùc zz′ = aa′ - bb′ + (ab′ + a′b)i. * Chuù yù : "Coù theå thöïc hieän caùc pheùp toaùn coäng, tröø, nhaân hai soá phöùc moät caùch hình thöùc töông töï nhö caùc pheùp toaùn coäng, trö,ø nhaân treân taäp soá thöïc " ∗Khaùi nieäm soá phöùc lieân hôïp vaø moâñun soá phöùc. ∗Pheùp chia soá phöùc: iSoá phöùc lieân hôïp cuûa z = a + bi laø z = a - bi. iMoñun â cuûa soá phöùc z laø z = a 2 + b2 . iPheùp chia cho soá phöùc khaùc khoâng: Soá nghòch ñaûo cuûa soá phöùc z khaùc 0 laø soá Ñònh nghóa: z−1 = 1 z 2 z. z′ cuûa pheùp chia soá phöùc z′ cho soá phöùc z ≠ 0 laø tích cuûa z′ vôùi soá phöùc z z′ nghòch ñaûo cuûa z, töùc laø = z′.z−1. z Thöông Vaäy: Neáu z ≠ 0 thì z′ z′z = 2. z z SƠ ĐỒ TRÌNH BÀY KHÁI NIỆM PHÉP CHIA SỐ PHỨC ⎫ ∗ z = a + bi ⇒ z = a - bi ⎪ ⎪ z′ z′z 2 2⎪ ∗ z = a + bi ⇒ z = a + b ⎬ ⇒ = z′.z−1 = 2 ;( z ≠ 0) z z ⎪ 1 −1 ∗Cho z ≠ 0 ⇒ z = 2 z ⎪ ⎪⎭ z GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 4 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 z′ ta chæ caàn nhaân caû töû vaø maãu soá vôùi z. z Phần 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ∗ Ñònh nghóa: " Caên baäc hai cuûa soá phöùc w laø soá phöùc z sao cho z2 = w " ∗ Chuù yù: Trong thöïc haønh, ñeå tính ∗ Coù theå chöùng minh ñöôïc keát quaû sau: Moãi soá phöùc z ≠ 0 coù ñuùng hai caên baäc hai laø hai soá ñoái nhau (khaùc 0) ∗Chuù yù: Khoâng ñöôïc duøng kí hieäu ñeå chæ caên baäc hai cuûa moät soá phöùc ( khoâng ñöôïc vieát a + bi ) ∗ Chuù yù phöông phaùp tìm caên baäc hai cuûa soá phöùc w = a + bi : iGiaû söû z = x + yi laø caên baäc hai cuûa w. Vaäy ta coù: z2 = w ⇔ ( x 2 − y 2 ) + 2 xyi = a + bi ⎧ x2 − y2 = a iGiaûi heä phöông trình: ⎨ (∗) = xy b 2 ⎩ Vaäy vieäc tìm caên baäc hai cuûa soá phöùc w ñöôïc quy veà vieäc giaûi hpt (∗) baèng phöông phaùp theá trong taäp hôïp soá thöïc. TÓM TẮT CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC ∗ Soá 0 coù ñuùng moät caên baäc hai laø 0. ∗ Moãi soá phöùc khaùc 0 coù hai caên baäc hai laø hai soá ñoái nhau (khaùc 0). Ñaëc bieät, soá thöïc a döông coù hai caên baäc hai laø a vaø - a ; soá thöïc a aâm coù hai caên baäc hai laø −ai vaø - −ai. ∗ Phöông trình baäc hai: Az2 + Bz + C = 0; A ≠ 0 (1) Xeùt bieät thöùc Δ = B 2 − 4 AC. ∗Neáu Δ ≠ 0 thì pt (1) coù 2 nghieäm phaân bieät: −B + δ −B − δ z1 = , z2 = 2A 2A trong ñoù δ laø moät caên baäc hai cuûa Δ. ∗Δ = 0 thì pt (1) coù nghieäm keùp: B z1 = z2 = − . 2A *Chuù yù : HS söû duïng MTCT ñeå kieåm tra nghieäm pt baäc baäc hai trong taäp soá phöùc. GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 5 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 Phần 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG ∗Ñònh nghóa daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc: Daïng z = r (cos ϕ + i sin ϕ) vôùi r > 0. ∗PP tìm daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc z = a + bi (a; b ∈ ) khaùc 0 cho tröôùc: iBöôùc 1:Tìm r = a2 + b2 (moñun cuûa soá phöùc). iBöôùc 2:Tìm ϕ (laø moät acgumen cuûa z); ϕ∈ sao cho cosϕ = a b ; sinϕ = . r r ∗Ñònh lyù nhaân vaø chia soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc: Neáu z = r (cos ϕ + i sin ϕ), z′ = r′(cos ϕ′ + i sin ϕ′) (r ≥ 0, r′ ≥ 0), thì zz′ = rr′[cos(ϕ + ϕ′) + i sin(ϕ + ϕ′)], z′ r′ = [cos(ϕ′ − ϕ) + i sin(ϕ′ − ϕ)](khi r > 0) z r Ghi nhôù: Nhaân: tích moâñun vaø toång acgumen. Chia: thöông moâñun vaø hieäu acgumen. ∗Coâng thöùc Moa-vrô: i [r (cos ϕ + i sin ϕ)]n = r n (cos nϕ + i sin nϕ); n ∈ ∗ i Ñaëc bieät khi r = 1: (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ ∗Caên baäc hai cuûa soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc: Soá phöùc z = r (cos ϕ + i sin ϕ), r > 0 coù hai caên baäc hai laø: ϕ ϕ + isin ) vaø 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ⎛ ⎞ − r (cos + isin ) = r ⎜ cos( +π) + isin( + π) ⎟ . 2 2 2 2 ⎝ ⎠ *Chuù yù : Coù theå keát hôïp coâng thöùc khai trieån nhò thöùc Niu- tôn vaø coâng thöùc Moa-vrô r (cos ñeå tính toång. 2) MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 6 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 Trên đây là những điểm trọng tâm và những điều cần lưu ý của nội dung kiến thức làm cơ sở nghiên cứu SKKN. Qua đó, ta có thể phân loại các dạng bài tập vận dụng như sau: Dạng 1: CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH Yêu cầu cần đạt: - Nắm vững các khái niệm và rèn luyện kỹ năng tính toán. - Biết sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả. Một số bài toán minh họa Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z bieát: (1 + i ) .( 2 − i ) z = 8 + i + (1 + 2i)z 2 (CÑ A,B,D - 2009) iTa coù:(1 + i ) .( 2 − i ) z = 8 + i + (1 + 2i)z 2 2 ⇔ ⎡(1 + i ) .( 2 − i ) − (1 + 2i)⎤ z = 8 + i ⎣ ⎦ ⇔ ⎡⎣2i.( 2 − i ) − 1 − 2i ⎤⎦ z = 8 + i 8 + i ( 8 + i ) .(1 − 2i ) = = 2 − 3i. 2i + 1 5 iVaäy z coù phaàn thöïc baèng 2, phaàn aûo baèng -3. ⇔z= 1/ Cho soá phöùc z thoûa ñieàu kieän:( 2 − 3i ) z + ( 4 + i ) z = −(1 + 3i)2 Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z. (CÑ-A,B,D-2010) 2/ Tìm phaàn aûo cuûa soá phöùc z bieát: z= ( 2 +i ) (1 − 2i ). 2 (ÑH-A-2010) 3/ Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z bieát: 5 + 5i 20 z= + . 3 − 4i 4 + 3i (KT giöõa HKI 2010-2011-chuyeân BT) (1- 3i ) .Tìm moâñun cuûa soá phöùc z + iz Cho soá phöùc z thoûa: z = 3 1− i (ÑH -A- 2010) GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 7 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 Tìm soá phöùc z thoûa maõn z = 2 vaø z2 laø soá thuaàn aûo. (ÑH -D- 2010) Trong một số trường hợp, thực chất yêu cầu của bài toán là thực hiện các phép tính trên tập số phức. Chẳng hạn ∗ Giaûi caùc phöông trình sau: 1) 2+i −1 + 3i z= . 1− i 2−i (KT giöõa HKI 2010-2011-ch BT) ( 2-i ) z − 4 = 0. 2) 3) z − 2 z = 3 − 4i. ⎧ z − 12 5 ⎪ z − 8i = 3 ⎪ ∗ Tìm soá phöùc z thoûa: ⎨ (Giöõa HKI 2010-2011-ch BT) z 4 − ⎪ =1 ⎪⎩ z + 8 ∗ Tính toång: ( ) ( ) ( 2 ) 3 ( S = 1 + 1 − 3i + 1 − 3i + 1 − 3i +...+ 1 − 3i ) 2009 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 8 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 Dạng 2: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Yêu cầu bài toán thường cho dưới dạng: 1) Biểu diễn hình học các số phức trong mặt phẳng Oxy (mặt phẳng phức) 2) Tìm điểm (tập hợp điểm) biểu diễn số phức z thỏa một hoặc vài điều kiện cho trước. Một số bài toán minh họa Xeùt caùc ñieåm A, B, C trong maët phaúng phöùc theo thöù töï bieåu dieãn caùc 4i 2 + 6i ; (1 − i ) . (1 + 2i ) ; . i −1 3−i 1) Chöùng minh tam giaùc ABC vuoâng caân. soá phöùc 2) Tìm soá phöùc z coù ñieåm bieåu dieãn D sao cho ABCD laø hình vuoâng. 4i = 2 − 2i ⇒ A(2; −2) i −1 (1 − i ) .(1 + 2i ) = 3 + i ⇒ B(3;1) 1) Ta coù: 2 + 6i = 2i ⇒ C (0;2) 3−i Töø ñoù: BC = 10; BA = 10 vaø BC.BA = 0. ⎧ BC = BA ⇒⎨ ⎩ BC ⊥ BA Vaäy tam giaùc ABC vuoâng caân taïi B. 2) Töø kq caâu 1) ta coù: ABCD laø hình vuoâng khi ABCD laø hình bình haønh ⇔ CD = BA ⎧ x = −1 ⎧ x = −1 ⇔⎨ D ⇔⎨ D ⎩ yD − 2 = −3 ⎩ yD = −1 Vaäy soá phöùc caàn tìm laø z = −1 − i. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm bieåu dieãn soá phöùc z thoûa moät trong caùc ñieàu kieän sau: 1) z + 2 = i − z . 2) z − 4 + z + 4 = 10. GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 9 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 1) iGoïi M bieåu dieãn soá phöùc z = x + yi; x , y ∈ . iTa coù z + 2 = i − z ⇔ ( x + 2 ) + yi = x + ( y − 1) i ⇔ ( x + 2) 2 + y 2 = x 2 + ( y − 1) ⇔ 4 x + 2 y + 3 = 0 2 (d ) iVaäy taäp hôïp ñieåm M caàn tìm laø ñöôøng thaúng (d ) 1) iTa coù z + 2 = i − z ⇔ z − (−2) = z − i (1) Goïi M laø ñieåm bieåu dieãn soá phöùc z, ñieåm A bieåu dieãn soá − 2, ñieåm B bieåu dieãn soá phöùc i ( nghóa laø M ( x; y ), A(−2;0), B(0;1) Khi ñoù (1) ⇔ MA = MB iVaäy taäp hôïp ñieåm M caàn tìm laø ñöôøng trung tröïc (d ) cuûa ñoaïn AB, vôùi (d ) : 4 x + 2 y + 3 = 0. 2) Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M bieåu dieãn soá phöùc z thoûa: z − 4 + z + 4 = 10. (Thi thöû ÑH -D- ch BT-2010) GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 10 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn soá phöùc z thoûa: z − i = (1 + i ) z . (ÑH-B-2010) Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn soá phöùc z thoûa: 2. z − i = z − z + 2i Keát quaû: x2 Taäp hôïp caùc ñieåm M caàn tìm laø parabol (P ) : y = . 4 Dạng 3: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Yêu cầu bài toán thường cho dưới dạng: 1) Tìm căn bậc hai của số thực âm, căn bậc hai của số phức. 2) Giải phương trình bậc hai với hệ số thực hoặc hệ số phức. Một số bài toán minh họa Giaûi phöông trình sau treân taäp soá phöùc: (1 − i ) z2 − 2 (1 + 2i ) z − 4 = 0. KQ: Pt coù hai nghieäm z = 2i vaø z = −1 + i. GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 11 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 Giaûi phöông trình sau treân taäp soá phöùc: 1) z2 + ( 3 − 2i ) z + 5 − 5i = 0 KQ: z = −1 + 3i vaø z = −2 − i 2) z2 − 8 (1 − i ) z + 63 − 16i = 0 KQ: z = 5 − 2i vaø z = 3 + 4i 3) z2 − ( 3 + i ) z + 1 = 0; KQ: z = vaø z = 3 + 2 + 13 1 + −2 + 13 i + 2 2 3 − 2 + 13 1 − −2 + 13 + i 2 2 Các quy tắc nhẩm nghiệm và định lí Viet vẫn đúng trong trường hợp xét pt bậc hai trên tập số phức. Chẳng hạn: Giaûi phöông trình sau treân taäp soá phöùc: ( 2 − 3i ) z2 + ( 4i − 3) z + 1 − i = 0. Ta coù: ( 2 − 3i ) + ( 4i − 3) + 1 − i = 0. Vaäy pt coù hai nghieäm z = 1 vaø z = 1− i 5 1 = + i. 2 − 3i 13 13 Dạng 4: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI Những dạng phương trình quy về bậc hai thường gặp: - Phương trình có ẩn ở mẫu - Phương trình bậc cao. Một số bài toán minh họa Giaûi phöông trình treân taäp soá phöùc: 4 z − 3 − 7i = z − 2i. (CÑ-A,B-2009) z−i GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 12 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 i Ñieàu kieän: z ≠ i 4 z − 3 − 7i = z − 2i ⇔ 4 z − 3 − 7i = ( z − i ) .( z − 2i ) z−i ⇔ z2 − ( 3i + 4 ) z + 1 + 7i = 0 (1) i iΔ = ( 3i + 4 ) − 4 (1 + 7i ) = 3 − 4i 2 Goïi δ = x + yi (x , y ∈ ) laø moät caên baäc hai cuûa Δ. Ta coù heä phöông trình: ⎡⎧ x = 2 ⎢⎨ ⎧ x 2 − y 2 = 3 ⎢ ⎩ y = −1 ⇔ ⎨ ⎢ ⎧ x = −2 = − xy 2 4 ⎩ ⎢⎨ ⎢⎣ ⎩ y = 1 ⎡z = 3 + i (1) ⇔ ⎢ ( thoûa ñieàu kieän ) = + z 1 2 i ⎣ iVaäy pt (1) coù hai nghieäm: z = 3 + i vaø z = 1 + 2i. Phương trình trên thuộc dạng có ẩn dưới mẫu, khi giải phải chú ý đặt điều kiện cho mẫu thức rồi sau đó biến đổi phương trình quy về bậc hai. Giaûi phöông trình treân taäp soá phöùc: (z 2 + z ) + 4 ( z2 + z ) − 12 = 0. 2 i Ñaët t = z2 + z, phöông trình trôû thaønh: ⎡t = −6 t 2 + 4t − 12 = 0 ⇔ ⎢ ⎣t = 2 iPhöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi ⎡ −1 − 23i ⎢z = 2 ⎢ 2 ⎡z + z + 6 = 0 ⎢ −1 + 23i ⇔ ⎢z = ⎢ 2 2 ⎣z + z − 2 = 0 ⎢ ⎢z = 1 ⎢ z = −2 ⎣ iVaäy phöông trình ñaõ cho coù boán nghieäm treân. GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 13 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 Để giải phương trình bậc bốn trên, ta có thể đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai. Trong nhiều trường hợp, có thể dùng phương pháp giải phương trình đối xứng hoặc tựa đối xứng như trong tập số thực. Bài tập sau đây minh họa cho trường hợp nói trên. Cho pt: z4 − z3 + z2 + z + 1 = 0 (1) 2 SƠ ĐỒ CÁC BƯỚC GIẢI 1)Vì z = 0 khoâng laø nghieäm phöông trình, neân pt ñaõ cho töông ñöông: 1 1 1 z2 − z + + + 2 = 0 2 z z 1 2)Ñaët t = z − ,(1) trôû thaønh: z ⎡ 1 + 3i ⎢t = 2 5 2 ⇔t −t+ =0⇔ ⎢ 2 ⎢t = 1 − 3i ⎢⎣ 2 2 1⎞ ⎛ 1⎞ 5 ⎛ ⇔ ⎜z− ⎟ −⎜z− ⎟+ = 0 z⎠ ⎝ z⎠ 2 ⎝ 1 − 3i 1 1 − 3i 4)Vôùi t = , ta coù z − = 2 2 z 2 ⇔ 2 z − (1 − 3i ) z − 2 = 0 ⎡z = 1 − i ⇔⎢ 1 1 ⎢z = − − i 2 2 ⎣ Vaäy pt ñaõ cho coù 4 nghieäm treân. (1) 1 + 3i 1 1 + 3i , ta coù z − = 2 2 z (2) ⇔ 2 z2 − (1 + 3i ) z − 2 = 0 3)Vôùi t = ⎡ 1 + 3i + 3 + i =1+ i ⎢z = 4 Δ = 8 + 6i,(2) ⇔ ⎢ ⎢ z = 1 + 3i − 3 − i = − 1 + 1 i ⎢⎣ 4 2 2 Dạng 5: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Yêu cầu bài toán thường cho dưới dạng: 1) Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác và ngược lại. 2) Thực hiện nhân, chia và căn bậc hai các số phức dưới dạng lượng giác. 3) Bài toán ứng dụng công thức Moa-vrơ. Một số bài toán minh họa GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 14 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 Vieát caùc soá phöùc sau döôùi daïng löôïng giaùc: ( ) a) z = 1 − i 3 (1 + i ) ; b) w = sin ϕ + i cos ϕ. ⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤ a) iTa coù 1 − i 3 = 2 ⎢ cos ⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ ⎥ ; ⎝ 3 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 3⎠ π π⎞ ⎛ 1 + i = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ 4 4⎠ ⎝ ⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤ iVaäy 1 − i 3 .(1 + i ) = 2 2 ⎢ cos ⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ ⎥ . ⎝ 12 ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ 12 ⎠ b) z = sin ϕ + i cos ϕ ( ) ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ = cos ⎜ − ϕ ⎟ + i sin ⎜ − ϕ ⎟ . ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ Để giải được dạng bài tập trên, ngoài việc nắm vững định nghĩa dạng lượng giác của số phức, học sinh còn phải biết vận dụng công thức giá trị lượng giác của các góc (cung) có mối liên quan đặc biệt. Tìm moät acgumen cuûa soá phöùc sau: π⎞ ⎛ z = 1 − sin ϕ + i cos ϕ ⎜ 0 < ϕ < ⎟ 2⎠ ⎝ π⎞ ⎛ Ta coù: z = 1 − sin ϕ + i cos ϕ; ⎜ 0 < ϕ < ⎟ 2⎠ ⎝ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ = 1 − cos ⎜ − ϕ ⎟ + i sin ⎜ − ϕ ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎛ π ϕ⎞ ⎛π ϕ⎞ ⎛π ϕ⎞ = 2sin 2 ⎜ − ⎟ + i.2sin ⎜ − ⎟ cos ⎜ − ⎟ ⎝4 2⎠ ⎝4 2⎠ ⎝4 2⎠ ⎛ π ϕ ⎞⎡ ⎛ π ϕ ⎞ ⎛ π ϕ ⎞⎤ = 2sin ⎜ − ⎟ ⎢sin ⎜ − ⎟ + i cos ⎜ − ⎟ ⎥ ⎝ 4 2 ⎠⎣ ⎝ 4 2 ⎠ ⎝ 4 2 ⎠⎦ ⎛ π ϕ ⎞⎡ ⎛ π ϕ ⎞ ⎛ π ϕ ⎞⎤ = 2sin ⎜ − ⎟ ⎢ cos ⎜ + ⎟ + i sin ⎜ + ⎟ ⎥ . (1) ⎝ 4 2 ⎠⎣ ⎝ 4 2 ⎠ ⎝ 4 2 ⎠⎦ π ϕ π π ϕ π ⎛ π ϕ⎞ Do 0 < ϕ < neân 0 < < ⇒ 0 < − < ⇒ 2sin ⎜ − ⎟ > 0. 2 2 4 4 2 2 ⎝4 2⎠ Vaäy (1) chính laø daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc treân. Vì theá π ϕ − chính laø moät acgumen cuûa soá phöùc z. 4 2 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 15 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 Thực chất bài tập trên là yêu cầu viết dạng lượng giác của số phức. Bài tập sau đây cũng mang ý nghĩa như trên nhưng ở mức độ nâng cao hơn. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc 1 1 w = z2008 + 2008 , neáu z + = 1. z z Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn z, giải pt điều kiện tìm z Bước 2: Áp dụng công thức Moa-vrơ để tìm w Bước 3: Kết luận phần thực và phần ảo của w. ( KQ: Phần thực của w bằng -1, phần ảo của w bằng 0.) Trong bài tập trên có thể thay số mũ 2008 bởi số khác sẽ được bài tương tự. Khi đó có thể vận dụng công thức cung liên kết của lượng giác để hỗ trợ tính toán. Dạng 6: NHỊ THỨC NIU-TƠN VÀ SỐ PHỨC Yêu cầu bài toán thường cho dưới dạng: 1) Tính tổng. 2) Chứng minh đẳng thức phụ thuộc số tự nhiên. Bài toán minh họa Vôùi moïi soá nguyeân döông n, haõy chöùng minh heä thöùc sau: (1 − C 2 n + Cn4 ...) + ( Cn1 − Cn3 + Cn5 ...) = 2 n. 2 2 Xeùt soá phöùc z = 1 + i. Theo coâng thöùc khai trieån nhò thöùc Niu- tôn ta coù: n z = (1 + i ) = ∑ Cnk i k = (1 − Cn2 + Cn4 − ...) + ( Cn1 − Cn3 + Cn5 − ...) i. n n k =0 ⇒ zn = (1 − C 2 n + Cn4 − ...) + ( Cn1 − Cn3 + Cn5 − ...) . 2 2 n Maët khaùc: z n = z . Suy ra: (1 − C 2 n + Cn4 − ...) + ( Cn1 − Cn3 + Cn5 − ...) = 2 n (ñpcm). 2 2 0 2 4 2004 2006 2008 Tính toång: S = C2010 − C2010 + C2010 − ... + C2010 − C2010 + C2010 Khai trieån nhò thöùc Niu-tôn (1 + i)2010 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 16 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 Tìm soá phöùc z bieát: z2 + z = 0; KQ: z = 0, z = i vaø z = −i. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn soá phöùc z thoûa: z − (3 − 4i) = 2. (ÑH-D-2009) KQ: Ñöôøng troøn ( x − 3) + ( y + 4 ) = 4. 2 2 a) Cho soá phöùc z thoûa: z − (2 + i) = 10 vaø z.z = 25. Haõy tìm z. ( ÑH-B-2009) KQ: z = 3 + 4i vaø z = 5. b) Gpt: z3 + 8 = 0. KQ: z = −2; z = 1 − 3 vaø z = 1 + 3. Giaûi caùc hpt sau treân taäp soá phöùc: ⎧ z1 + z2 = 4 + i 1) ⎨ 2 2 ⎩ z1 + z2 = 5 − 2i KQ: ( z1; z2 ) = ( 3 − i;1 + 2i ) vaø ( z1; z2 ) = (1 + 2i;3) ⎧ z + w = 3(1 + i) 2) ⎨ 3 3 ⎩ z + w = 9(−1 + i) KQ: ( z; w ) = ( 2 + i;1 + 2i ) vaø ( z; w ) = (1 + 2i; 2 + i ) Cho ba ñieåm M1 , M2 , M3 töông öùng vôùi caùc soá phöùc z1 , z2 , z3 . Chöùng minh raèng neáu M1, M2 , M3 thaúng haøng thì tæ soá z2 − z1 z3 − z2 laø moät soá thöïc. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n, ta coù caùc heä thöùc: nπ ⎧ 0 2 2 4 3 6 n − + − = C C C C 3 3 3 ... 2 cos n n n n ⎪⎪ 3 ⎨ n ⎪C1 − 3C 3 + 32 C 5 − ... = 2 sin nπ . n n ⎪⎩ n 3 3 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 17 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 3) MINH HỌA VIỆC ỨNG DỤNG MAPLE BIÊN SOẠN CÁC ĐỀ TOÁN VỀ SỐ PHỨC Khi ra đề kiểm tra về số phức cho học sinh, để tránh phải tính toán nặng nề, giáo viên thường trích từ những tài liệu tham khảo có sẵn đáp số hoặc lời giải. Vì thế các dạng bài tập dễ bị trùng lắp và số lượng bài cũng hữu hạn. Còn nếu tự sáng tác đề bài một cách ngẫu nhiên thì sau đó phải gia công tính toán nặng nề và tốn rất nhiều thời gian. Phần mềm Maple chính là công cụ hữu hiệu giúp giáo viên giải quyết vấn đề một cách sáng tạo và khoa học. Nhờ đó, GV ra đề bài tập theo chủ ý và nhanh chóng kiểm tra kết quả. Do khuôn khổ bài viết có hạn nên tôi xin minh họa qua ba dạng bài tập sau: a) Dạng : Các phép tính về số phức Dùng các lệnh: expand (khai triển), solve (giải pt), conjugate (số phức liên hợp), abs ( môđun số phức), Re ( phần thực), Im (phần ảo),... Ví dụ 1: Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z bieát: (1 + i ) .( 2 − i ) z = 8 + i + (1 + 2i)z 2 (CÑ A,B,D - 2009) • Ta có thể thực hiện lệnh khai triển như sau: • Sau đó dùng lệnh giải phương trình: • Hoặc thay cả hai lệnh trên bởi lệnh: • Từ đó dễ dàng kiểm tra phần thực và phần ảo của z. Chú ý: Học sinh có thể dùng MTCT để tính ở bước cuối rồi kết luận ( tr 7). Với cú pháp trên, GV nhanh chóng tìm được đáp số. Ngoài ra có thể thay bởi số khác thì có ngay một đề mới và đáp số tương ứng. Ví dụ 2: 3/ Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z bieát: z= 5 + 5i 20 + . 3 − 4i 4 + 3i (KT giöõa HKI 2010-2011-chuyeân BT) • Tương tự VD1 hoặc dùng lệnh gán: GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 18 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 Ví dụ 3: Cho soá phöùc z thoûa: z = ( 1- 3i ) .Tìm moâñun cuûa soá phöùc z + iz 3 1− i (ÑH -A- 2010) • Ta có thể thực hiện lần lượt các lệnh sau: • Hoặc để kiểm tra kết quả, ta dùng lệnh gộp sau: Chú ý: Có thể tìm phần thực, phần ảo bằng lệnh: Ví dụ 4: ∗ Tính toång: ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 S = 1 + 1 − 3i + 1 − 3i + 1 − 3i + 1 − 3i + 1 − 3i + 1 − 3i ) 6 • Học sinh dùng công thức tính tổng CSN, GV kiểm tra KQ bằng lệnh: Chú ý: Có thể dùng phím tính tổng trong Maple. b) Dạng : Phương trình và hệ phương trình • Dùng Maple, GV dễ dàng kiểm tra nghiệm của pt bậc hai với hệ số phức hoặc hệ phương trình bằng lệnh solve như sau: Ví dụ 5: GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 19