Tài liệu Skkn một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

phßng gi¸o dôc ®µo t¹o huyÖn quúnh phô Gi¶i ph¸p c«ng nghÖ Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc M· trêng: N¨m häc 2010 PhÇn I: 2011 Më ®Çu Trong qu¸ tr×nh d¹y häc sinh m«n to¸n líp 8, ®Æc biÖt trong khi båi dìng HSG cã nh÷ng bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc, 1 t«i nhËn thÊy häc sinh cßn nhiÒu víng m¾c vÒ ph¬ng ph¸p gi¶i, qu¸ tr×nh gi¶i thiÕu logic vµ cha chÆt chÏ, cha xÐt hÕt c¸c trêng hîp x¶y ra. LÝ do lµ häc sinh cha n¾m v÷ng ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc, còng nh c¸c h»ng bÊt ®¼ng thøc,cha ph©n biÖt vµ cha n¾m ®îc c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ®èi víi tõng d¹ng bµi tËp.MÆt kh¸c s¸ch gi¸o khoa l¹i cha ®Ò cËp nhiÒu vÒ c¸ch gi¶i, do ®ã HS cha cã ®îc ph¬ng ph¸p gi¶i nh÷ng bµi tËp nµy. V× thÕ trong qu¸ tr×nh d¹y vÒ vÊn ®Ò nµy t«i nghÜ cÇn ph¶i lµm thÕ nµo ®Ó häc sinh biÕt ¸p dông ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt bÊt ®¼ng thøc ®Ó ph©n chia ®îc c¸c d¹ng, t×m ra ®îc ph¬ng ph¸p gi¶i ®èi víi tõng d¹ng bµi. Tõ ®ã häc sinh thÊy tù tin h¬n khi gÆp lo¹i bµi tËp nµy vµ cã kü n¨ng gi¶i chÆt chÏ h¬n, cã ý thøc t×m tßi, sö dông ph¬ng ph¸p gi¶i nhanh gän, hîp lÝ .ChÝnh v× nh÷ng lÝ do trªn mµ t«i chän vµ tr×nh bµy kinh nghiÖm: “Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc” PhÇn II: Néi dung A. C¬ së thùc tiÔn Häc sinh cha n¾m v÷ng ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc, còng nh c¸c h»ng bÊt ®¼ng thøc,cha ph©n biÖt vµ cha n¾m ®îc c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ®èi víi tõng d¹ng bµi tËp .ChÝnh v× vËy mµ khi gÆp d¹ng to¸n nµy häc sinh thêng ng¹i, lóng tóng kh«ng t×m ®îc híng gi¶i vµ khi gi¶i hay m¾c sai lÇm. B. gi¶i ph¸p I. Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n 1/ §Þnh nghÜa bÊt ®¼ng thøc HÖ thøc d¹ng a > b ( hoÆc a < b, a  b, a ≤ b ) lµ bÊt ®¼ng thøc vµ gäi a lµ vÕ tr¸i, b lµ vÕ ph¶i cña bÊt ®¼ng thøc. 2/ C¸c tÝnh chÊt  TÝnh chÊt b¾c cÇu: a > b; b > c  a > c  TÝnh chÊt ®¬n ®iÖu cña phÐp céng: a> b  a + c > b + c  Céng tõng vÕ cña hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu, ®îc bÊt ®¼ng thøc míi cïng chiÒu víi bÊt ®¼ng thøc ®· cho: a > b;c>da+c>b+d  Trõ tõng vÕ cña hai bÊt ®¼ng thøc ngîc chiÒu, ®îc bÊt ®¼ng thøc míi cïng chiÒu víi bÊt ®¼ng thøc bÞ trõ: a > b ; c < d a - c > b – d 2  TÝnh chÊt ®¬n ®iÖu cña phÐp nh©n + Nh©n hai vÕ cña B§T víi cïng sè d¬ng: a > b; c > 0  ac > bc + Nh©n hai vÕ cña B§T víi cïng sè ©m : a > b; c < 0  ac < bc  Nh©n tõng vÕ cña hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu mµ hai vÕ kh«ng ©m a > b  0, c > d  ac > bd  N©ng lªn lòy thõa bËc nguyªn d¬ng hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc: a > b > 0  an > bn a > b <=> an > bn víi n lÎ. | a | > | b | <=> an > bn víi n ch½n.  So s¸nh hai lòy thõa cïng c¬ sè víi sè mò nguyªn d¬ng: NÕu m > n > 0 th×: a > 1  am > an a = 1  am = an 0 < a < 1  am < an  LÊy nghÞch ®¶o hai vÕ vµ ®æi chiÒu bÊt ®¼ng thøc nÕu hai vÕ cïng dÊu: 1 1 a> b, ab > 0  < a b Chó ý : Trong c¸c tÝnh chÊt trªn, nhiÒu dÊu >(hoÆc <)cã thÓ thay bëi  (hoÆc ≤). 3/ C¸c h»ng bÊt ®¼ng thøc           a2  0, - a2 ≤ 0 | a |  0. X¶y ra ®¼ng thøc khi a = 0 | a |  a. X¶y ra ®¼ng thøc khi a  0 | a + b | ≤ | a | + |b |. X¶y ra ®¼ng thøc khi ab  0 | a - b |  | a | - |b |. X¶y ra ®¼ng thøc khi ab > 0 vµ | a|  |b | a2 + b2  2ab a b 2 ( )  ab hay ( a + b )2  4 ab ( bÊt ®¼ng thøc CoSi) 2 4 1 1  + víi a, b > 0 a b a b a b  2 víi a, b > 0 + b a (a2 + b2 )( x2 + y2)  ( ax2 + by2) ( bÊt ®¼ng thøc Bu-nhi – a – cèp- xki) II.C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc 1/ Ph¬ng ph¸p dïng ®Þnh nghÜa. 3 §Ó chøng minh A > B, ta xÐt hiÖu A – B vµ chøng minh A – B lµ sè d¬ng. 1 VÝ dô 1: Chøng minh x +  2 nÕu x > 0 x Gi¶i 2 1 x  2x  1 (x-1)2 XÐt hiÖu x + - 2 = = x x x 1 V× x > 0,( x – 1 ) 2  0 nªn x + - 2  0 x 1 VËy x +  2 víi x > 0.DÊu “ = ” x¶y ra khi x= 1 x VÝ dô 2: Chøng minh r»ng ( x – 1) ( x – 2 ) ( x- 3) ( x – 4)  1 Gi¶i XÐt hiÖu: ( x – 1)(x – 2) ( x- 3)(x – 4) –(-1) = (x2 – 5x + 4 ) (x2 – 5x + 6)+ 1. §Æt x2 – 5x + 5 = y, biÓu thøc trªn b»ng ( y – 1)( y + 1)+ 1 = y2  0 VËy ( x – 1) ( x – 2 ) ( x- 3) ( x – 4)  - 1 2/ Ph¬ng ph¸p dïng c¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc. VÝ dô 1: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: a2 + b2 + 1  ab + a + b Gi¶i 2 2 Ta cã: a + b  2ab ( 1) b2 + 1  2b ( 2) a2 + 1  2a (3) Céng tõng vÕ cña (1); (2) vµ (3): : 2a2 + 2b2 + 2  2 ab + 2a + 2b  a2 + b2 + 1  ab + a + b DÊu “ = ” x¶y ra khi a = b = 1 VÝ dô 2: Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc víi a, b, c lµ c¸c sè d¬ng. 1 1 1 a b 9 a) ( a + b + c) ( + + ) b) + + a b c b c c a c  1,5 a b Gi¶i 4 a) Ta cã A = ( a + b + c) ( 1 1 1 + + ) a b c =1+ b c c + + +1 c a b a b a c b c =3+( + )+( + )+( + ) b a c a c b x y  2 víi x, y d¬ng. DÔ dµng chøng minh + y x Do ®ã A  3 + 2 + 2 + 2 = 9. VËy A  9 DÊu “ = ’’ x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c a a b + + +1 + b c a b) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c©u a ta cã ( x + y + z) ( ) 9 1 1 1 + + y x z trong ®ã x, y, z > 0 Víi x= b + c, y = a + c, z = a + b ta ®îc: 1 1 1 2( a + b + c) ( + + )  9 b c a c a b 1 1 1  ( a + b + c) ( + + )  4,5 b c a c a b a b  c a b  c a b  c   4,5 + + b c a c a b c a b  +1+ +1+ +1  4,5 b c a c a b a b c   1,5 + + b  c c  a a b DÊu “ = ’’ x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c VÝ dô 3: Cho x  0, y  0, z  0. Chøng minh r»ng: ( x + y ) (y + z ) ( z + x )  8xyz. (1) Gi¶i Hai vÕ cña (1) ®Òu kh«ng ©m nªn ®Ó chøng minh (1), ta sÏ chøng minh (x + y )2(y + z )2(z + x )2  64 x2 y2 z2 Ta cã : (z + x )2  4xz (x + y )2  4xy (y + z )2  4yz Hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc trªn ®Òu kh«ng ©m, nh©n tõng vÕ ta ®îc (x + y )2(y + z )2(z + x )2  64 x2 y2 z2 [( x + y ) (y + z ) ( z + x )] 2  [8xyz]2 C¸c biÓu thøc trong dÊu ngoÆc vu«ng ®Òu kh«ng ©m nªn ( x + y ) (y + z ) ( z + x )  8xyz DÊu “ = ’’ x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z 5 VÝ dô 4: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n  2 1 1 1 1 1 + + + . . . + < 4 23 33 43 n3 Gi¶i Gäi A lµ vÕ tr¸i cña bÊt ®¼ng thøc trªn. Ta sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu cña bÊt ®¼ng thøc díi d¹ng ph¬ng ph¸p lµm tréi: ®Ó chøng minh A < B, ta lµm tréi A thµnh C ( A < C ) råi chøng minh C ≤ B. Lµm tréi mçi ph©n sè ë A b»ng c¸ch lµm gi¶m c¸c mÉu, ta cã: 1 1 1 1 < 3 = = Do ®ã: 2 3 k k  k k(k  1) (k  1)k(k  1) 1 1 1 1 A< 3 + 3 + 3 +...+ 3 2 2 3 3 4 4 n n 1 1 1 1 = + + +. . . + . (n  1)n(n  1) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 1 1 1 §Æt C = + + +. . . + (n  1)n(n  1) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2 1 1 NhËn xÐt r»ng = nªn (n  1)n n(n  1) (n  1)n(n  1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C= + + + ..... + (n  1)n n.(n  1) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 1 1 1 1 1 1 = = < 2 2 n.(n  1) 4 2n.(n  1) 4 1 1 1 1 1 VËy 3 + 3 + 3 + . . . + 3 < . 4 2 3 4 n Chó ý: Khi lµm tréi mét biÓu thøc, cã trêng hîp ta ph¶i chia biÓu thøc thµnh nhiÒu nhãm rßi lµm tréi trong trõng nhãm. XÐt vÝ dô sau: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n  2: 1 1 1 1+ + +. . . + n 2, b×nh ph¬ng hai vÕ ta ®îc: a2 + 2ab + b2 > 4 ( 1) MÆt kh¸c ta cã 2ab ≤ a2 + b2  a2 + 2ab + b2 ≤ 2 (a2 + b2 ) Mµ 2 (a2 + b2 ) ≤ 4 ( gi¶ thiÕt), do ®ã a2 + 2ab + b2 ≤ 4 m©u thuÉn víi ( 1) VËy a + b ≤2 4/Ph¬ng ph¸p : Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng. VÝ dô: Cho c¸c sè d¬ng a vµ b tháa m·n ®iÒu kiÖn a + b = 1 1 1 Chøng minh r»ng ( 1 + )( 1 + )  9 a b Gi¶i 1 1 a 1 b  1 9 ( 1 + )( 1 + )  9 ( 1) <=> . a b a b <=> ab + a + b + 1  9 ab ( v× ab > 0) <=> a + b + 1  8 ab <=> 2  8 ab (v× a + b = 1) <=> 1  4 ab <=> ( a + b )2  4 ab (v× a + b = 1 ) <=> ( a - b )2  0 (2) BÊt ®¼ng thøc ( 2) ®óng, mµ c¸c phÐp biÕn ®æi trªn t¬ng ®¬ng. VËy bÊt ®¼ng thøc ( 1) ®îc chøng minh. DÊu “ = ’’ x¶y ra khi vµ chØ khi a = b Chó ý : Khi sö dông phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng, cÇn lu ý c¸c biÕn ®æi t¬ng ®¬ng cã ®iÒu kiÖn, vÝ dô a2 > b2<=> a > b víi a, b >0 m > n <=> am > an víi m, n nguyªn d¬ng, a > 1. CÇn chØ râ c¸c ®iÒu kiÖn Êy khi biÕn ®æi t¬ng ®¬ng. 5/Ph¬ng ph¸p : Dïng ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc VÝ dô1: Chøng minh r»ng: 2n > n3 víi mäi sè tù nhiªn n  10 Gi¶i + BÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = 10 v× 210 = 1024 > 103 VËy 1 + 7 + Gi¶ sö bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k, tøc lµ ta cã 2 k > k3 ( k  10). Ta cÇn chøng minh 2k+1 > (k+1)3 XÐt hiÖu 2k+1 - (k+1)3 = 2. 2k - k3 – 3k2 – 3k – 1 = 2 (2k – k3 ) + k3 – 3k2 – 3k – 1 Theo gi¶ thiÕt quy n¹p 2k > k3 ta cÇn chøng minh k3 – 3k2 – 3k – 1 > 0. Ta cã: k3 – 3k2 – 3k – 1 = k( k2 – 3k – 3) -1= k [ k( k-3) – 3 ] – 1 Do k  10  k ( k – 3)  70  k [ k( k-3) – 3 ] – 1  669 > 0  2k+1 > (k+1)3 VËy 2n > n3 víi mäi sè tù nhiªn n  10 1 13 1 1 1 VÝ dô2: Chøng minh + + + ... + > víi mäi sè tù n 1 n 2 n 3 2n 24 nhiªn n  2 Gi¶i 1 1 7 13 + BÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = 2 v× S = + = > 3 4 12 24 13 + Gi¶ sö bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k, tøc lµ ta cã S k > ( 24 13 k  10). Ta cÇn chøng minh S k+1 > 24 1 1 1 13 1 Ta cã Sk = + + + ... + > k1 k 2 k3 2k 24 1 1 1 1 Sk+1 = + + + ... + 2(k  1) k 2 k 3 k 4 1 1 1 1 Do ®ã Sk+1 - Sk = + = >0 2k  1 2k  2 k  1 2(k  1)(2k  1) 13 13   Sk+1 > Sk, mµ S k > S k+1 > 24 24 1 1 1 1 13 VËy + + + ... + > víi mäi sè tù nhiªn n  2 n 1 n 2 n 3 2n 24 III. Vµi ®iÓm chó ý khi chøng minh bÊt ®¼ng thøc. Chó ý 1: Khi chøng minh bÊt ®¼ng thøc , nhiÒu khi ta cÇn ®æi biÕn. 1 VÝ dô : Cho a + b + c = 1. chøng minh r»ng a2 + b2 + c2  3 Gi¶i 1 1 1 §Æt a = + x, b = + y , c = + z. Do a + b + c = 1 nªn x + y + z 3 3 3 =0 8 1 1 1 + x)2 + ( + y)2+ ( + z)2 3 3 3 1 2 1 2 1 2 =( + x + x2) + ( + y + y2) + ( + z + z2) 9 3 9 3 9 3 1 2 = + ( x + y + z) + x2 + y2 + z2 3 3 1 1 = + x2 + y2 + z2  3 3 DÊu “ = ’’ x¶y ra khi vµ chØ khi x= y = z = 0 <=> a = b = c = Ta cã: a2 + b2 + c2 = ( 1 3 Chó ý 2: Víi c¸c bÊt ®¼ng thøc mµ c¸c biÕn cã vai trß nh nhau, ta cã thÓ s¾p thø tù c¸c biÕn. VÝ dô : Chøng minh bÊt ®¼ng thøc abc  ( b + c – a)( a + c – b) ( a + b – c ) víi a, b, c lµ c¸c sè d¬ng. Gi¶i. Do vai trß cña a, b, c nh nhau, ta gi¶ sö r»ng a  b  c. XÐt hai trêng hîp * b + c ≤ a khi ®ã vÕ tr¸i cña bÊt ®¼ng thøc lµ sè d¬ng, cßn vÕ ph¶i kh«ng d¬ng. BÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh. * b + c > a khi ®ã hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc ®Òu d¬ng. Ta cã ( b + c – a) ( b + a –c) = b2 – ( c- a )2 ≤ b2 ( a + c – b) ( b + c –a) = c2 – ( a- b )2 ≤ c2 ( b + a – c) ( c + a –b) = a2 – ( b- c )2 ≤ a2 Nh©n tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn, ta ®îc [( b + c – a)( a + c – b) ( a + b – c )]2 ≤ [ abc]2 C¸c biÓu thøc trong dÊu ngoÆc vu«ng ®Òu d¬ng nªn abc  ( b + c – a)( a + c – b) ( a + b – c ) DÊu “ = ’’ x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c Chó ý 3: Khi chøng minh bÊt ®¼ng thøc, trong nhiÒu trêng hîp ta cÇn xÐt tõng kho¶ng gi¸ trÞ cña biÕn. VÝ dô: Chøng minh r»ng x8 – x7 + x2 – x + 1 > 0 Gi¶i. 8 7 2 7 §Æt A= x – x + x – x + 1 = x ( x – 1 ) – ( x – 1) + x2 = ( x – 1 ) (x7 – 1) + x2 NÕu x  1 th× x7  1, do ®ã ( x – 1 ) (x7 – 1)  0 cßn x2  0 nªn A >0 NÕu x < 1 th× x7 < 1, do ®ã ( x – 1 ) (x7 – 1) > 0 cßn x2  0 nªn A > 0 III/ KÕt luËn: 9 Khi ¸p dông ®Ò tµi nghiªn cøu nµy vµo gi¶ng d¹y, häc sinh líp t«i d¹y ®· biÕt c¸ch lµm c¸c bµi chøng minh bÊt ®¼ng thøc.Häc sinh kh«ng cßn lóng tóng vµ thÊy ng¹i khi gÆp d¹ng bµi tËp nµy. Cô thÓ khi lµm phiÕu ®iÒu tra hai líp 8A vµ 8B trêng THCS víi ®Ò bµi sau: Bµi 1: Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: 1/ x2 + xy + y2 > 0 2/ x8 – x7 + x4 – x + 1 > 0 2n  1 3 5 7 3/ + + + .... + 2 < 1 ( n nguyªn d¬ng ) n (n  1)2 4 36 144 Bµi 2: Cho ba sè a, b, c kh¸c nhau ®«i mét. Chøng minh r»ng tån t¹i mét trong c¸c sè 9ab, 9bc, 9ca nhá h¬n ( a + b + c ) 2. Bµi 3: Cho a, b, c, lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. chøng minh r»ng a b c + + <2 b  c c  a a b KÕt qu¶ nhËn ®îc nh sau: Häc sinh cña t«i kh«ng cßn lóng tóng vÒ ph¬ng ph¸p gi¶i cho tõng d¹ng bµi trªn. BiÕt lùa chän c¸ch gi¶i hîp lÝ, nhanh, gän. HÇu hÕt ®· tr×nh bµy ®îc lêi gi¶i chÆt chÏ. KÕt qu¶ cô thÓ nh sau: Giái Kh¸ Trung YÕu vµ b×nh kÐm 8A 31,8% 50,1% 13,6% 4,5% 8B 33,33% 46,67% 13,3% 6,7% Khi nghiªn cøu ®Ò tµi nµy t«i ®· rót ra mét sè bµi häc cho b¶n th©n trong viÖc båi dìng häc sinh kh¸ - giái. Nh÷ng bµi häc ®ã lµ: 1 – HÖ thèng kiÕn thøc bæ trî cho d¹ng to¸n s¾p d¹y. 2 – HÖ thèng c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó gi¶i lo¹i to¸n ®ã. 3 – Kh¸i qu¸t ho¸, tæng qu¸t ho¸ tõng d¹ng, tõng lo¹i bµi tËp. 4 – T×m tßi, khai th¸c s©u kiÕn thøc. Su tÇm vµ tÝch luü nhiÒu bµi to¸n, s¾p xÕp thµnh tõng lo¹i ®Ó khi d¹y sÏ gióp häc sinh n¾m v÷ng d¹ng to¸n. 10 Trªn ®©y lµ mét sè kinh nghiÖm cña t«i trong viÖc d¹y häc sinh kh¸, giái líp 8 gi¶i mét d¹ng to¸n. RÊt mong ®îc sù ñng hé ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó t«i cã nh÷ng kinh nghiÖm nhiÒu h¬n trong viÖc d¹y c¸c em häc sinh gi¶i to¸n. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Quúnh Phô ngµy 24 th¸ng 4 n¨m 2011 Tµi liÖu tham kh¶o 1)S¸ch gi¸o khoa To¸n 8 – NXB Gi¸o dôc – 2004 2)Vò H÷u B×nh – N©ng cao vµ ph¸t triÓn To¸n 8- NXB Gi¸o Dôc – 2010 3)Phan V¨n §øc- NguyÔn Hoµng khanh:TuyÓn tËp c¸c bµi to¸n hay vµ khã - 2004 4) Phan V¨n §øc- NguyÔn Hoµng khanh - TuyÓn chän 400 bµi tËp to¸n 8 5)Vò H÷u B×nh – To¸n båi dìng häc sinh líp 8- NXB Gi¸o dôc – 2007. 11