Tài liệu Skkn một số phương pháp giải hệ phương trình.

BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH Mã số: ................................ (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHAÙP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: NGUYỄN ANH TUẤN Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: ...TOÁN..  - Lĩnh vực khác: ............................................  Có đính kèm: Các sản phẩm không thề hiện trong bản in SKKN  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2011 - 2012 2 BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: NGUYỄN ANH TUẤN 2. Ngày tháng năm sinh: 18/11/1959 3. Nam, nữ: NAM 4. Địa chỉ: 217/17. PHẠM VĂN THUẬN . BIÊN HÒA 5. Điện thoại: (CQ)/ 6. Fax: E-mail: [email protected] 7. Chức vụ: GIÁO VIÊN 8. Đơn vị công tác: TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH .NR:061 3916509 II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: CỬ NHÂN - Năm nhận bằng: 1981 - Chuyên ngành đào tạo: SP TOÁN III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Số năm có kinh nghiệm: SP TOÁN 30 NĂM - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: * Phương trình hàm. * Đa thức . *Một số phương pháp tính giới hạn của dãy số và khảo sát tính hội tụ của dãy số 3 Tên SKKN : MỘT SỐ PHƯƠNG PHAÙP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia , kỳ thi Tóan Olympic 30-4 một trong các bài toán thường gặp là bài tóan về giải hệ phương trình và tính có nghiệm của hệ đó. Nên việc trang bị cho đội tuyển học sinh giỏi các kiến thức về các phương pháp giải hệ phương trình và các bài tóan liên quan đến hệ phương trình là hết sức cần thiết Từ yêu cầu trên tôi đã hệ thống lại một số phương pháp và tập hợp các bài tập điển hình cho từng dạng nhằm mục đích cung cấp cho học sinh các lớp Chuyên Toán một số phương pháp để giải một hệ phương trình và dùng vài phương pháp để xác định số lượng nghiệm của hệ phương trình nhằm ứng dụng vào việc giải các bài tập trong các kì thi thi học sinh giỏi Toán. Phần nghiên cứu của tôi này đã sử dụng để giảng dạy cho lớp 11và 12 Chuyên Tóan và đội tuyển thi Olympic 30-4 trong năm học 2011-2012. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI : Đề tài đã được giảng dạy cho học sinh lớp 12 chuyên tóan và bồi dưỡng đội tuyển Olympic 30/4 của năm học 2011 – 2012 , bước đầu học sinh đã biết vận dụng và cảm thấy thuận lợi hơn trong việc giải quyết các bài tóan về vấn đề này . TÀI LIỆU THAM KHẢO *Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4 của các năm: 2006 đến 2011 của Nhà xuất bản Đại học Sư phạm *Báo tóan học tuổi trẻ của các số của các năm 2005-2011 của Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam-Bộ giáo dục và đào tạo. *Nguồn Internet : - wwwtoantrunghoc.com/ /chuyendehephuongtrinhkhongmaumuc - wwwmathvn.com/ /phuongphapgiaihephuongtrinhkhongmaumuc.htm… NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên và ghi rõ họ tên) NGUYỄN ANH TUẤN 4 BM04-NXĐGSKKN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị ..................................... CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ................................, ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: ..................................... ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH. Họ và tên tác giả: ....NGUYỄN ANH TUẤN ....... Chức vụ: GIÁO VIÊN....................... Đơn vị: ..............TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ...................... Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: ...............................  - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: ........................................................  Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành  1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây) - Có giải pháp hoàn toàn mới - Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có   2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây) - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao  - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao  - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao  - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả  3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây) - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách: Tốt  Khá  Đạt  - Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt  Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm. XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên và ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu) 5 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I/DÙNG PHÉP THẾ: I.1.Phương pháp :  Phương pháp: Khi giải 1 hệ phương trình đôi khi ta biến đổi các phương trình của hệ để được biểu thức trong 1 pt có liên quan với vài phuơng trình rồi thay vào các ptrình đó để được hệ ptrình đã biết cách giải  Chú ý: Khi dùng phương pháp trên mà không dùng được phép biến đổi tương đương thì sau khi tìm được nghiệm của hệ phương trình hệ quả thì ta phải thử lại các nghiệm này có là nghiệm của hệ ban đầu hay không và kết luận.  1 x  x  1  y y   xy  y  1  1  x  1 Vd1: Gỉải hệ:  (I) Giải: ñk:( 00) hoặc (x=0;y tuøy yù) ; vôùi ñk (I)   xy  1  y  x   xy  y  1  1  x  1 thay (1) vào (2) ta được : (3)  x  1  x =1 (3) 0  x  1   1  x  1  x  2 x  (x=0 hay x=1) 1  x =1- x x  0  y  1 i/ Với x=0 thay vào (2) ta có : y= -1 do đó ta được  ii/ Với x= 1 thay vào (2) ta có : y  1  y = 1 (4) ; vì x=1>0 nên y>0 vì thế VT(4) >1 x  0  y  1 vào hệ ta thấy thỏa hệ .Kết luận hệ có nghiệm (0;-1) Thay bộ   x 4  2 x3 y  x 2 y 2  2 x  9  2 x  2 xy  6 x  6 Vd2: Gỉai hệ:  (I) Giải: 1 2 2  ( x 2  xy )2  2 x  9   4 ( x  6 x  6)  2 x  9   2  2 x. y  (6 x  6  x 2 )  2 x. y  (6 x  6  x )  (I) ( cho kq) 6 Vd3: Giải hệ:  x( y 2  1) 3  x2  y 2  5   2  y ( x  1)  4  x 2  y 2 5 (I) Giải: (I)   x 2 ( y 2  1) 3x  x2  y 2  5   2 2 x 2 ( y 2  1) y 2 ( x 2  1) 3 x  4 y  y ( x  1)  4 y 4y  5 2 2  x 2  y 2 5  x2  y 2 x  y  3x- 4y=5 hay x= 3 (j) 5 = y (4 y  5) 2 4 y 2 (4 y  5) 4(4 y  5) 3 3 3 Cũng từ (I) cho:3yx2-3y = 4xy2+4x (i) ;thế (j) vào (i) cho: -3y= + Thu gọn ptrình trên ta được ptrình bậc 2 ẩn y từ đó ta tìm được nghiệm (x;y) của hệ mới ;Thay vào hệ ban đầu để kiểm tra đó có là nghiệm cần tìm không. I.2. Bài tập: Gỉai các hệ ptrình: 1/ 2 2  y 1  4x  4x  2 2  4 x  y  3x. y  1  x  y  5  3  x  y  5  11  2 x 4/  2/ 5/ 2 2  3x  2 y  3x  5 y  3  2 2  4,5 x  3 y  3x  8 y  7  4( y  z )  y 2 .z 2  5 x   4( x  z )  2 2  5y  x .z x y  x2 y 2  2 z  3/ 2 2  2x  y  x  2 y  1  2 2  5 x  2,5 y  3x  4 y  4  x. y.z x y 2   x. y.z 3  yz  x. y.z 4  z  x  6/ II/ DÙNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG: II.1.Phương pháp: Đôi khi giải hệ ta biến đổi hệ bằng phép biến đổi tương đương để nhận được hệ cuối cùng đơn giản hơn. *Chú ý: Khi dùng phương pháp này học sinh cần phải kiểm tra các phép biến đổi từ hệ đề cho dẩn tới hệ mới và ngươc lại từ hệ mới liệu có dẩn tới hệ ban đầu hay không .  4 x 2  y 4  4 xy 3  1  2 4 x  2 y 2  4 x. y  2 Vd1: Gỉai hệ:  (I) Giải: 4 2 2  y  2 y  4 x. y (1  y )  1   2 2  4 x  2 y  4 x. y  2 (I)  4 x. y (1  y 2 )  (1  y 2 ) 2   2 2  4 x  2 y  4 x. y  2  ( trừ vế với vế của 2 ptrình)  y2  1   2    4 x  2 y 2  4 x. y  2    hoặc  1  y 2  4 x. y   2    4 x  2 y 2  4 x. y  2    7  ( x 2  y 2  x. y )( x  y )  1  y 3  2 ( x  y 2  x. y )( x  y )  1  y 3 Vd2: Giải hệ:  (I) Giải: (I)   ( x 2  y 2  x. y )( x  y )  1  y 3  2 2 2 2 3 3  ( x  y  x. y )( x  y )( x  y  x. y )( x  y )  (1  y )(1  y ) 2 2 3  ( x  y  x. y )( x  y )  1  y  3 3 3 3 6   ( x  y )( x  y )  1  y  2 2 3  ( x  y  x. y )( x  y )  1  y  6 x 1 ( cho kq) II.2.Bài tập: Giải các hệ ptrình:  x 2  x. 1  y 4  1   x. 1  y 4  y 4  2 2/   2  3 x  1  5 y  3x  1  5 y  5 y  3x  5 1/   x  y x2  y 2 2  2 2  1  x  y   y  x x2  y 2 7   4 1  x2  y 2  4/ 5/  3 x  3 y  3 3( x  y )  3 2 4  4 x  6 x  4 x  1  15 y  x. y  3 y 2  x  4 y  7  2 x. y  y 2  2 x  2 y  1 3/  . 5y  x  x2  y  x  y 2  4   2 2 5x  y  x  5 y  5  x. y 6/  III/ PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: III.1.Phương pháp: Khi giải 1 hệ phương trình ta thường biến đối các phương trình 1 cách hợp lý để nhận được hệ mới mà các phương trình có các biểu thức chứa ẩn chung để dùng ẩn phụ và dẩn tới hệ mới ( với ẩn mới ) dể tìm được nghiệm hơn *Chú ý: Thông thường ta dùng số ẩn phụ của phương trình mới và củ bằng nhau y 2  x  x2  1  y 2  1  3    ( x  y )(1  1 )  6  xy Vd1:Giải hệ:  Giải: đk:x;y  0 (I)   ( x  y )(1  x. y ) 2   2 2  ( x  1)( y  1) 3  ( x  y )(1  xy )  6 xy   (I) 9 x. y  1  2 2  ( x  1)( y  1)  ( x  y )(1  xy )  6 xy   9t.z  1  2  1 1 [ ; ]  t  z  3 2 2 . Ta có: hệ t;z 1 2  2 2  ( x  y )(1  x. y )  9    ( x 3  y 3 )(1  1 )3  27  x. y Vd2: Giải hệ:  Giải : y x 2 2 ; ñaët t = 1  x ; z = 1  y thì từ đó : cho kq . (I) 8 1 2 1 2  (x  y )  ( y  x )  9    ( x  1 )3  ( y  1 )3  27  y x (I)   u 2  v2  9  3 3  u  v  27 Vd3: Gỉai hệ: 1 1 Đặt u= x+ y ;v= y+ x ta có: đặt S=u+v;P=u.v x  x  2y  y  6   x 2  2 xy  6 y  0   S 2  2P  9  3 S  3SP  27 2 với: S 4P và  cho kq. (I) Giải: (I)  x  x  2y   6 y   x( x  2 y )  6 y   x  x  2y  y  6    x ( x  2 y)  6  y ;x-2y và x/y cùng là nghiệm của pt t2-6t+6 =0 ( cho kq)  x 2 ( y  z ) 2  (3x 2  x  1). y 2 .z 2  2 2 2 2 2  y ( x  z )  (4 y  y  1).x .z  z 2 ( y  x)  (5 z 2  z  1). y 2 .x 2 Vd4: Giải hệ:  (I) Giải: Nếu hệ nhận x=0 là nghiệm thì ta được y=0 hoặc z=0 Rõ ràng các bộ (0;0;t);(0;t;0);(t;0;0) mọi t là nghiệm của hệ . Xét x.y.z  0 thì (I)    1 1 2 1 1     3   2 x x  y z   2 1 1  1 1      4   2 y y  x z  2    1  1   5  1  1  y x  z z2  .Đặt u=1/x;v=1/y;t=1/z .Ta có:  (v  t ) 2  3  u  u 2  2 2  (u  t )  4  v  v  (u  v) 2  5  t  t 2 (I)   (II) Lấy (2)-(3) cho : (t-v)(2u+t+v)=(v-t)(v+t+1)-1 hay (v-t)[2(u+v+t)+1]=1 Lấy (1)-(2) cho : (u-v)(u+v+2t)=(v-u)(v+u+1)-1 hay (v-u)[2(u+v+t)+1]=1 Do đó: v-t=v-u hay u=t III.2. Bài tập : Giải các hệ phương trình sau : 9  2x  x2  y 2  3  2 x  y2  1 1/   xy  y 2  x  3 y  0  2 x  xy  2 y  0 2/  1   ( x  y )(1  xy )  4   2 2  xy  1  x  y  4  xy xy 4/  7/ 1   xy  xy     xy  1   xy 5/  1 1   x ( x  1)  y ( y  1)  4   x 3 . y 3  x. y  x 2 y 2  1  4 y 3  y  13 x y  12 x  y ( x  1)  2 x( y  1)  1  2 2  ( x  y )(1  x 2 . y 2 )  24 8/  2 x y   ( x  y )( y  x )  15   2 2  ( x 2  y 2 )( x  y )  85  y 2 x2 10/   x ( x  y  1)  3  0  5  2  ( x  y )  x 2  1  0 13/ x  y x  y 2  7( x5  y 5 )  31( x3  y 3 )  2 x  xy  y 2  3 3/  1   ( x  y )(1  xy )  5    xy  1  4  xy 6/  . 1   y ( x  1)( x  1  y )  2    2( x  1)  y.( x  1  1 )  y 9/   xy (2 x  y  6)  2 x  y  0  1 2  2 2  ( x  y )(1  xy )  8 11/   xy  x  1  7 y  2 2 x y  xy  1  13 y 2 12/  5  2 3 2  x  y  x y  xy  xy   4   x 4  y 2  xy (1  2 x)   5  4 14/ 1   ( x  y )(1  xy )  6    ( x 2  y 2 )(1  1 ) 2  18  xy 15/  IV/ DÙNG ĐỊNH LÝ VIESTE : IV.1. Phương pháp : * Chú ý: x  y  s  x. y  p với s;p cho trước thì x;y cùng là nghiệm phương trình t2-s.t+p = 0 1/ Nếu   x  y  z  s1   x. y  y.z  xz  s2  x. y.z  s 3 2/ Nếu  với s1 ;s2;s3 cho trước thì x;y;z cùng là nghiệm ph.trình t3-s1.t2+s2.t –s3 = 0 Khi giải 1 hệ phương trình đối xứng loại I đôi khi hệ có chứa 1 vài tổng đối xứng cơ bản thì ta thường nghỉ đến việc biến tổng đổi để đưa về hệ mới xuất hiện đầy đủ các tổng đối xứng cơ bản đối với các ẩn đang xét rồi dùng định lí Vieste đảo . Vd1: Giải hệ: x  y  z  6   xyz  6  x 2  y 2  z 2  14  Giải: Từ (I) cho : (I). x  y  z  6   xyz  6  xy  yz  xz  11  ; x;y;z là nghiệm của pt Töø ñoù: (x;y;z)=(1;2;3) vaø caùc hoùan vò cuûa noù . : t3-6t2+11t-6 =0 10 Vd2: Giaûi heä: Giaûi: x  y  z  0  2 2 2  x  y  z  10  x 7  y 7  z 7  350  (I) (1)  (x+y+z)3 = 0  x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)= 0 ; do (2) neân coù: xy+yz+zx = -5 ( x  y )  z (a )   xy  yz  xz  5(b)  x 7  y 7  ( x  y )7  350(i ) (I)   . (i)  -xy(x+y)(x2+xy+y2) =50. (ii) Thay (a) vaøo (b) ta coù: x2+y2+x.y = 5 töø ñoù: x.y.z=2 x;y;z laø n0 cuûa pt: Vd3: Giaûi heä: Giaûi: t3-5t -2 = 0  xy  y  1  0   yz  z  1  2 x  y  xz  z  1  2 x   ( x  1)( y  1)  x   ( y  1)( z  1)  2 x  ( z  1)( x  1)  3 x (I)   Vd4: Giaûi heä: ; suy ra : (x;y;z) =(-2;1- 2 ;1+ 2 ) vaø caùc hoùan vò cuûa noù.  2 x  y  z  2  y z  x  2  z  x  y  (I)  (x=0;z=y=-1) hoaëc  ( x  1)( y  1)  x  0   z  1  2( x  1)  3( y  1)  2( x  1)  (cho kq) (I) Giải: 1 1 1   2 S  2( x  y  z )   2t  6  8  ( x  y )( y  z )( z  x)  P Ñaët S=x+y+z ; u=x.y+y.z+x.z ;P=x.y.z thì töø (I) cho x.y.z=P  0 vaø  (II) Maø (x+y)(y+z)(x+z)= 2xyz+x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y) =2P+2x+2y+2z =2P+2S Do ñoù: P+S =4/P töø heä (II) cho S= t.P neân S=3P vaø 4P=4/P ( cho kq) IV.2.Bài tập : 11  x  y  z  4   xyz  18  x 2  y 2  z 2  22 1/  2/ 5/  x  y2  z2  1  2 2 x  y  z  1  x2  y2  z  1  6/ 8/  2 x  y  z  2  y z  x  2  z  x  y   x 2  2 yz  x  2  y  2 zx  y  z 2  2 xy  z 9/  x  y  z 1  3 3 3 x  y  z  7  x2  y 2  z 2  9 4/  7/  ( x  y )( y  z )  187   ( y  z )( z  x)  154  ( z  x)( x  y )  238  10/  x  xy  y  1   y  zy  z  4  z  zx  x  9  x  y  z  3  4 4 4  x  y  z  17  x2  y 2  z 2  5 3/   x  y  z  1   xy  yz  xz  10  x. y.z  8  11/ .  x  xy  y  2   y  zy  z  3  z  zx  x  4  12/  xz  xy  x 2  2  2  xy  yz  y  3  xz  yz  z 2  4   x  2 y  3z  9  2 2 2  x  4 y  9 z  189  4 y 2  3 x.z  V/ DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH: V.1. Duøng baát ñaúng thöùc Cauchy: n  k 1 xk n Chú ý: * Cho n số không âm x1;x2;…;xn ta có:  n n  k 1 xk (dấu “=” xảy ra  x1=x2=…=xn ) *Khi dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình (nếu được ta thường dự đóan nghiệm của phương trình và đó chính là các điểm rơi của các bất đẳng thức) Vd1: Giải hệ:  x  y 2  z 3  11  6  x. y.z  6. 108  x, y , z  0  (I) y2 z3 x Giải: Theo bất đ thức Cauchy cho 11 số dương gồm 6 số 6 ; 3 số 3 ,2 số 2 ta có: 6 x+y2+z x  11.11   6 3 3 2  y2   z3  .  .   3  2  x6 y 6 z 6 . . 66 33 22  1 6 Do đó: x.y.z  6. 108 ( dấu ‘=’ xảy ra  Vậy hệ tương đương: x y2 z3   6 3 2 ) . 12  x, y , x  0  x  6k   y 2  3k  3  z  11k  x. y.z  6. 6 108  3  x  y 2  z 3  11 Vấy hệ có n0 là x=6;y= 3; z  2 . Vd2: Giải hệ :  x, y , z , t  0  x  y  z  t  4 4 4 4 4  x(3 y  z ).t  y (3z  t ).x  z (3t  x ) y  t (3x  y ).z  4 2. Giải: Do x,y,z,t>0 nên: 4 4 x (3 y  z ).4t.4  4 cmtt 4 x  3 y  z  4t  4 4 (dâu ‘=’ xảy ra  x=t=1 và 3y+z=4) 4 y (3 z  t ).4 x.4  4 y  3z  t  4 x  4 4 (dâu ‘=’ xảy ra  x=y=1 và 3z+t=4) Còn 2 bđt tương tự. Cộng lại ta được: S  4. 2 ( dấu ‘=’ xảy ra  x=y=z=t=1). Vậy : n0 pt là :….  2 x 2  y ( x 2  1)  3 4 2  3 y  z ( y  y  1)  4 z 4  x( z 6  z 4  z 2  1) Vd3: Giải hệ:  (I) Giải: Gọi (x;y;z) là n0 của hệ: Khi x=0 thay vào hệ ta được y=z=0 .1 n0 của hệ (0;0;0) Khi x  0 thì từ (1) cho y>0 nên z>0 và như vậy x>0 . Dùng bđt Cauchy: 2x2 =y(x2+1)  2x.y  x  y Ttự: 3y3 = z(y4+y2+1)  3z.y2  y  z Ttự : z  x .Do đó: x=y=z .Từ đó tìm được n0 của hệ . 2 x. y  x   x2  y  3 2 x  2x  9   2 x. y y  y2  x 2 3  y  2y  9 Vd4: Giải hệ:  Giải: Hệ trên là hệ đối xứng loại 2 (I) 13    2 1 1  2 x. y    x  y 2 (*)  2 2  3 3  ( y  1)  8   ( x  1)  8    2 x. y  x2  y x  3 2 x  2x  9  (I) 1 x. y Xét pt (*) ta có: x2+y2  2. ; 3 ( x  1)  8 2  1 2 nên VT (*)  2 x. y Do đó: x=y=1 hoặc x=y =0 ( thử lại) Vd5: Giải hệ:  6 x 2  y (1  9 x 2 )  2 2  6 y  z (1  9 y )  6 z 2  x(1  9 z 2 )  (I) y Giải: gt cho y=3x2(2-3y) ta thấy : y=2/3 không là n0 của hệ nên y  2/3 ;cho nên 3x2 = 2  3 y từ đó: 0  y<2/3 ;tương tự: 0  x;z<2/3 Ta thấy: khi x=0 thì hệ phải nhận n0 tương ứng x=y=z=0 y 6x   2 Nên chỉ xét :x;y;z>0 ;từ (1) cho x 1  9 x 1 nên y  x Tương tự: từ (2);(3) cho z  y và x  z nên x=y=z từ đó cho kq . V.2.Dùng bất đẳng thức Buynhiackobki: 2  n   n 2  n 2   xk . yk     xk .   yk   k 1   k 1   k 1  Chú ý: * Cho 2 bộ số x1;x2;…;xn và y1;y2;…;yn ta có: (dấu “=” xảy ra  x1=t.y1 ; x2=t.y2 ; …;xn =t.yn ) t =const *Khi dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình (nếu được ta thường dự đóan nghiệm của phương trình và đó chính là các điểm rơi của các bất đẳng thức) Vd 1: Giải hệ:  x  4 32  x  y 2  3 4  x  32  x  6 y  24 (I) Giải: Từ (I) cho : x  32  x  4 x  4 32  x  y2-6y+21 (1). NX: y2-6y+21  12 ;  y .nên ta nghỉ đến cm: x  32  x  4 x  4 32  x  12 ; x  [0;32] NX: điểm rơi của bđt trên x=16 Thật vậy: 4 x  32  x  2  32   8 x  4 32  x  2( x  32  x )  . 4 Cộng các bđ t trên lại suy ra kq . ( dấu ‘=’ xảy ra  x=16). (thử lại) 14  1 2 2  5  x  5  2  y  3 x   1 (x  1 )  2 y  3  x Vd2: Gỉai hệ:  2 (I) 1  x 5 Gỉai: đk: 5 . 5  x2  5  Cộng 2 pt ta được: Bđt B-C-S cho 2 bộ: 1; 1/2 và 1 25  4  ( 5  x + 2 x )2 2 5  x2  5  1 1 1  (x  ) 2 x 2 x = y2-2y+6 (3) 5  x2 ; x : 1 5  5  x + 2 x 2 ttự: 2 5 1 1 5   2 x 2 x 2 cho nên: 1 1 1  (x  ) 2 x 2 x  5 ; ta có: y2-2y+6  5 ( cho kq)  x y 2 2    2 2 (1  x 2 )(1  y 2 )  (1  y )(1  x ) (1  x)(1  y )  y 1  x   2  2 2 (1  x )(1  y 2 ) 1 x 1 y Vd3:Giải hệ:  Gỉai: (I) đk: -11 VI/ DÙNG TÍNH ĐỐI XỨNG ĐỂ ĐƯA VỀ THỪA SỐ CHUNG : VI.1Phương pháp: Thông thương trong 1 hệ Vd1: Giaûi heä:  x2 y 2 y2 z2 z 2 x2   1  4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2  x .y  x .y  1 y z  y z  1 z x  z x 1  x. y.z  1  Giaûi: (I) 18 (I)  1 1 1   2  2 1  2 2 2 2  x  z 1 y  x 1 x  y 1  x. y.z  1  .Ñaët x2=a3;y2=b3;z2=c3 thì a;b;c  0 vaø a.b.c=1 Ta coù: a3+c3=(a+c)(a2+c2-a.c)  (a+c)(2ac-ac)=ac(a+c)  a3+c3+1  ac(a+c)+abc=ac(a+b+c) 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 Do ñoù: a  c  1  ac(a  b  c) ; t.töï: a  b  1  ab(a  b  c ) ; b  c  1  bc(a  b  c ) 3 1 1 1 3 3 3 3 3 Coäng laïi cho : a  c  1 + a  b  1 + b  c  1  1 cho kq. 3 Vd2: Cho n  3;n nguyeân döông leû;  x. y  2( x 4  y 4 )  1   n4 n 2 n n4  x . y  x . y  n 2 3 Giaûi heä:  (I) Giaûi: 2 n 2 Töø (2) cho (xy)n.(x4+y4) = 3  ; n nguyeân döông leû neân x.y>0 ; coù : 2(x4+y4)  4x2.y2 (1  xy ) 2 2( x  y )  2x.y do ñoù: 1  xy+2xy  x.y  1/3 vaø x4+y4 = 2 . 4 4  1  xy   1  xy   1  xy   1  xy  1 .     .   n 4 4 n-1 2 2 2        2   33 Ta coù: (xy) .(x +y )=2(xy) .x.y. ; bñt Cauchy: x.y.  1   x. y  3  1 2  3 n 2 x y (xy)n.(x4+y4)  2(xy)n-1 . 3  3 .Daáu “=” xaûy ra   ( cho kq) VII.HỆ ĐẲNG CẤP  F ( x; y )  0  G ( x; y )  0 VII.1.Đn: Cho hệ  (I) Hệ (I) được gọi là 1 hệ đẳng cấp nếu 2 biếu thức F(x;y) và G(x;y) là đẳng cấp cùng bậc VII. 2.Phương pháp: Khi giải hệ (I) ta thường dùng phép thế y=k.x *Kiểm tra x=0 có là nghiệm của hệ được không ( nếu có lấy tất cả các nghiệm dạng (0;u) của hệ . *Xét x  0 ; coi y=kx ( luôn tồn tại điều này) thay vào hệ và nhờ tính đẳng cấp cùng bậc của 2 biếu thức F(x;y) và G(x;y) nên ta có thể khử biến x để tìm được k ;từ đó tìm được nghiệm của hệ . *Đôi khi ta cần biến đổi hoặc dùng ẩn phụ để đưa về hệ đẳng cấp đối với ẩn mới .  x3  y 3  1  2 x y  2 xy 2  y 3  2 Vd1: Giaûi heä:  (I) x=0 ko laø n0 cuûa heä; neân coù theå coi y=k.x 19 1  3  x  k 3  1 3 3  3 2  x (1  k )  1  k  2k  k  2  3 2 3 x ( k  2k  k )  2 k3 1 töông öùng  (II) ; ta thaáy k  -1 neân (II)   (I) do ñoù: k=1 hoaëc k=2. 1 3 3 Th1: k=1 thì y=x vaø x3= k  1 =1/2 cho (x;y)=( 1/ 2 ; 1/ 2 ) 3 1 3 3 Th2: k=2 thì y=2x vaø x3= k  1 =1/9 cho (x;y)=( 1/ 9 ;2. 1/ 9 ) 3  1     1   Vd2: Giải hệ:   Giải: 12   x 2 y  3x  12   y 6 y  3x  (I) Đk: x;y  0 . Ta thấy : ( x=0 ;  y  0) và ( y=0 ;  x  0) không là nghiệm của hệ . Xét x; y >0 .  1     1   (I)  12 12 2   y  3x  y  3x x    12 6 1  3    y  3x y y 3 1  y x 1 x ( nhân vế với vế của 2 ptrình) 12 9 1   Ta có: y  3 x y x  12x.y=9x(y+3x)-y(y+3x) ( đây là ptrình đẳng cấp bậc 2 theo 2 ẩn x;y) ( giải ptrình trên cho kq)  x  4 y  y 3  16 x  1  y 2 5  2 1  x  Vd3: Giải hệ: 3 (I) Giải: (I)   x 3  y 3  16 x  4 y  2 2  5 x  y  4 nhân vế với vế của các phương trình trên cho: 4(y3-x3) = (16x-4y)(5x2-y2) ( đây là ptrình đẳng cấp bậc 3 theo 2 ẩn x;y) ( Chú ý : có thử lại) Vd4: Giải hệ  y 2  x. y  x 2  z 2  2 2 2  x  x.z  z  y  z3  y3  x2  y 2  z 2  (I) Giải: Lấy (1) – (2) vế với vế ta có: x(z-y)=2(z-y)(z+y)  (z=y) hay (x=2(z+y) ) 20 Th1: z=y thay vào hệ ta được:  x( x  y)  0  2 2 x  2y  0 cho x=y=z= 0 ( thỏa hệ ban đầu)  y 2  4( z  y ) 2  z 2  2 y ( z  y )  3 z  y 3  y 2  z 2  4( z  y ) 2 Th2: x=2(z+y) thay vào hệ ta được:  .Trong ph trình (1 ‘) là ptrình đẳng cấp bậc 2 với ẩn z;y . (1 ‘)  3k2+6k+3=0 hay k=-1 với k= y/z Do đó: y=-z và z3=z2 hay y=z=0 và y= -1;z=1 ( thử lại) VII.3.Bt: Giaûi caùc heä sau:  x3  y 3  9  x. y ( x  y )  6 1/   x 3  3 x 2 y  20  3 y  3 x. y 2  7 2/  5/ 3 3  2 x  9 y  ( x  y )(2 xy  3)  2 2  x  xy  y  3 8/ 3 2  x  3 xy  y  2 2  x  3y  1 9/  x9  y 9  1  25 x  y 25  x16  y16 11/  14/ 6/  x 3  3 x 2 y  4  3 y  3 x. y 2  4 3/   x  y  x  y  2 y  x  5y  3 7/  2 2 x  y 1  8 8 10 10 x  y  x  y 2 2  ( x  y )( x  y )  7  2 2  ( x  y )( x  y )  175 10/  x3 x . y  24   y   3  x. y  6  y  x 15/  2  4 x  2 xy  3  2  y  2 xy  2 .   1   3 x 1   2   x y   2 y 1  1   4. 2    x y   13/  y 3  x3  1  5 x  y 5  x. y  0 12/   x. y  x  y  2  2( x  y )  3( x  2 y )  x 2  y 2  5  5 x  y 5  11( x  y ) 4/  16/ 3 3 x  y  9y  2  3 x y  4( x  y ) VIII/ DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH : Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc vaø ñôn ñieäu treân khoaûng (a;b) .  f ( x)  f ( y ); x, y  (a; b)  x  y  (a; b)    H ( x; y )  0  H ( x; x)  0 Heä  VIII.1. Phương pháp: Khi giải hệ ta có thể nghỉ đến phép biến đổi tương đương để đưa hệ về 1 hệ mới có 1 phương trình dạng f[u(x)]=f[v(y)] ; ờ đó f(t) là hàm số đơn điệu trên khỏang (a;b) và u(x);v(y) có miền trị là (  ;  )  (a;b) Vd 1: Giải hê phương trình :  (3x  1). 9 y 2  6 y  2  7 y  1  4 x. 16 y 2  1  x y  2012  2012  (log 3 y  log 3 x).(12  4 x. y) Giải: Đk: x;y>0 . (I)