Mô tả:
Đinh Nho Thắng
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
BIẾN ĐỔI
ĐỔI TƯƠNG
TƯƠNG ĐƯƠNG
ĐƯƠNG
I.I. BIẾN
CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI
A 0 hay B 0
A B
A B
B 0
A B
2
A B
3
A 3 B AB
3
A 3 B 3 C A B 3 3 AB
3
A 3 B C A B 3 3 ABC C
(chú ý ở
đây ta chỉ thu được phương trình hệ quả, nên cần thử nghiệm)
Chú ý. Khi bình phương hai vế của phương trình ta cần có điều kiện hai vế không âm
để có được phương trình tương đương
Baøi 1. Giải các phương trình
a)
2 x 2 3x 5x 2 1
b)
2x2 4x 5 x 4
Giải
a)
5x 2 1 0
2
2
2 x 3x 5x 1
2
2
2 x 3x 5x 1
Vậy nghiệm của phương trình là:
b)
x 1 x
x 1
x 1
2
1
2
x 4 0
x 4 0
2x2 4x 5 x 4 2
2
2
2x 4x 5 x 4
x 4 x 11 0
hệ VN
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Baøi 2. Giải các phương trình
a)
x 9 5 2x 4
(1)
b)
x 4 1 x 1 2 x (2)
Giải.
x 9 5 2x 4
Điều kiện: x 2
Phương trình (1)
x 9 2 x 4 5 3 x 13 2
Trang 1
x 9 2x 4
25
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
Đinh Nho Thắng
2 x 4
2 x 4
2 x 9 2 x 4 12 3 x 2
x 0
x0
x
160
x
0
x 160
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0
1
4 x
2
b) Điều kiện
(2)
x 4 1 2 x 1 x x 4 1 x 2 (1 x )(1 2 x ) 1 2 x
1
1
1
1
x
x
2
(1 x )(1 2 x ) 2 x 1 2
2
x0
2
(1 x )(1 2 x ) (2 x 1)2
x 0 x 7
2
Baøi 3. Giải các phương trình
a) 10 x 1 3 x 5 9 x 4 2 x 2 (ĐHB-2008DB)
(1)
x3 1
x 1 x2 x 1 x 3
x3
b)
(2)
Giải.
a) Điều kiện
(1)
x
5
3
10 x 1 2 x 2 9 x 4 3 x 5
10 x 1 2 x 2 2 (10 x 1)(2 x 2) 9 x 4 3 x 5 2 (9 x 4)(3 x 5)
(10 x 1)(2 x 2) (9 x 4)(3 x 5) (10 x 1)(2 x 2) (9 x 4)(3 x 5)
7 x 2 15 x 18 0 x 3 x
6
(l )
7
Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x = 3
b)
(2)
x3 1
x 3 x2 x 1 x 1
x3
Bình phương 2 vế ta được:
x3 1
x2 x 1 x2 2 x 2 0
x3
Thử lại : x 1 3, x 1 3 là nghiệm
Baøi 4. Giải phương trình
x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1
Trang 2
x 1 3
x 1 3
Đinh Nho Thắng
Giải.
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
PT
x 1 2
2
x 1 3
2
1
x 1 2
1 x 5 : (*) 2 x 1 3 x 1 1
5 x 10 : (*)
x 10 : (*)
x 1 3 1(*)
x 1 2 x 1 4 x 5 (nhận)
x 1 2 3 x 1 1 1 1 (đúng)
x 1 2 x 1 3 1
x 1 3 x 1 9 x 10 (loại)
Vậy nghiệm của PT 5 x 10
Baøi 5. Giải các phương trình sau:
a)
3
x 34 3 x 3 1
3
x 34 3 x 3 1
3
x 30
x 2 31x 1830 0
x 34. x 3 12 x 34 x 3 12
x 61
3
b)
x 1 3 3x 1 3 x 1
Giải
a)
x 34 x 3 3 3 x 34. 3 x 3
3
x 34 3 x 3 1
3
3
Thử lại:
+ Nếu x = 30 phương trình thỏa mãn.
+ Nếu x = 61 phương trình thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x 30 x 61 .
b)
3
x 1 3x 1 x 1
3
3
x 1 3 x 1 3 3 x 1. 3 3 x 1
3
x 1 3x 1 x 1 x 1
2
x 1 3 3x 1 x 1
3 3 x 1. 3 3 x 1. 3 x 1 3 1 x
3
x 1 3 3x 1 x 1
3
x 1 3x 1 x 1 1 x
3
0
x 1
x 1
x 1
2
2
x 0
3 x 1 x 1 x 1 0
4 x 0
Kiểm lại:
+ Với x = 1 thì phương trình thỏa mãn.
+ Với x = 0 thì phương trình vô nghiệm.
Tóm lại: nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Baøi 1. Giải các phương trình
2
a) x x 1 11
b)
Trang 3
x 9 5 2 4
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
Đinh Nho Thắng
Baøi 2. Giải các phương trình
a)
2x 1 x 3 4
b)
x
Baøi 3. Giải phương trình
Baøi 4. Giải phương trình sau :
x x 1 x 4 x 9 0
4
x2 0
x2
x 3 3x 1 2 x 2 x 2
Baøi 5. Với những giá trị thực nào của x thì mỗi đẳng thức sau là đúng?
a)
x 2x 1 x 2x 1 2
b)
x 2x 1 x 2x 1 1
c)
x 2x 1 x 2x 1 2
(Vô địch Toán Quốc tế lần 1, năm 1959)
Baøi 6. Giải các phương trình
a)
x 2 2x 5 x 2 3 2x 5 7 2
b)
2x 2 2x 1 2 2x 3 4 2x 1 3 2x 8 6 2 x 1 4
x 4 x 4 2 x 12 2 x 2 16 .
Baøi 7. (ĐH 2002D–db2) Giải phương trình:
ĐS: x = 5. Đặt t x 4 x 4, t 0 .
Baøi 8. (ĐH 2005D) Giải phương trình: 2 x 2 2 x 1 x 1 4 .
ĐS: x = 3.
3x 3 5 x 2 x 4 .
Baøi 9. (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình:
ĐS: x = 2; x = 4.
Baøi 10. (ĐH 2006D) Giải phương trình:
2 x 1 x 2 3x 1 0 .
ĐS: x 1; x 2 2
Baøi 11. (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình:
3x 2 x 1 4 x 9 2 3x 2 5x 2 .
ĐS: x = 2. Đặt t 3 x 2 x 1 0 .
II. NHÂN
NHÂN VỚI
VỚI DẠNG
DẠNG LIÊN
LIÊN HỢP
HỢP
II.
CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn
đưa về được dạng tích
x x0 A x 0
ta có thể giải phương trình
Trang 4
A x 0
hoặc
Đinh Nho Thắng
chứng minh
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
A x 0
vô nghiệm
Baøi 1. Giải các phương trình
Giải. Điều kiện
PT
x
10 x 1 3 x 5 9 x 4 2 x 2 (ĐH 2008B-DB)
5
3
10 x 1 9 x 4 3x 5 2 x 2 0
1
1
( x 3)
0 x 3
3x 5 2 x 2
10 x 1 9 x 4
Do
1
1
5
0, x
3
10 x 1 9 x 4
3x 5 2 x 2
2
Baøi 2. Giải phương trình: 2 3 x 4 3 5 x 9 x 12 x 13
Giải. Điều kiện:
x
4
3
Nhẩm được nghiệm x = 0 ta dùng liên hợp:
2
Phương trình đã cho tương đương với: 2( 3x 4 2) 3( 5 x 9 3) x 12 x
6x
15 x
x( x 12)
5x 9 3
hay: 3 x 4 2
x 0
6x
15 x
x( x 12)
6
15
x 12(*)
3x 4 2
5x 9 3
5x 9 3
3x 4 2
Với điều kiện
x
4
3 ta có: VT (*) 8 VP (*) nên (*) vô nghiệm!
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0
Baøi 3. Giải phương trình
3
x 2 x 1 3
Giải. ĐKXĐ: x 1
Trang 5
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
3
x 2 x 1 3
3
Đinh Nho Thắng
x 3
x 2 1 x 1 2 0
3
1
1
0
( x 3)
3 ( x 2)2 3 x 2 1
x
1
2
x 3 0
1
1
0 (*)
2
3
3
x 1 2
( x 2) x 2 1
( x 2)2 3 x 2 1
x 3
x 1 2
0
Ta có
1
3
( x 2) x 2 1
2
3
1
1
1
0, x 1
2
x 1 2 3
x 1 2
1 3
x2
2 4
Suy ra (*) vô nghiệm
Vậy PT có nghiệm duy nhất x 3
Chú ý. Bài toán này có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoặc đánh giá
3 x 2 5 x 1 x 2 2 3 x 2 x 1 x 2 3 x 4
Baøi 4. Giải phương trình sau :
Giải:
Ta nhận thấy :
3x
2
5 x 1 3 x 2 3 x 3 2 x 2
Ta có thể trục căn thức 2 vế :
2 x 4
3 x 2 5 x 1 3 x 2 x 1
và
x
2
2 x 2 3x 4 3 x 2
3x 6
x 2 2 x 2 3x 4
Dể dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình .
x 2 12 5 3x x 2 5 (Đề nghị Olympic 30/4)
Baøi 5. Giải phương trình sau
Giải. Để phương trình có nghiệm thì :
x 2 ۳
12
x2 5
3x 5 0
x
5
3
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình, như vậy phương trình có thể phân tích về
dạng
x 2 A x 0 , để thực hiện
được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :
x 12 4 3 x 6 x 5 3
2
2
x 2
x2
2
x 12 4
x2 4
x 2 12 4
3 x 2
3 0 x 2
x2 5 3
x 1
Trang 6
x2 4
x2 5 3
Đinh Nho Thắng
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
x2
x 2 12 4
Dễ dàng chứng minh được :
Baøi 6. Giải phương trình :
Giải: Đk x
3
3
x2
x2 5 3
3 0, x
5
3
x 2 1 x x3 1
2
Nhận thấy x=3 l nghiệm của phương trình , nn ta biến đổi phương trình
3
x2 1 2 x 3 x3 2 5
x 3 1
2
x 3 x 3 x 9
2
3 2
3 x2 1
x3 2 5
2
x
1
4
x3
Ta chứng minh :
x3
1
3
x
2
1 2 x 1 4
2
3
2
1
x3
3
2
x 1 1 3
2
2
x 2 3x 9
x3 2 5
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
2
3
Baøi 7. (TH&TT) Giải PT x 6 x 1 x 1
Giải. Điều kiện x 1
PT
3
x6 2
( x 6) 8
3
x 1 1 x2 4
( x 6) 2 2 3 x 6 4
( x 1) 1
( x 2)( x 2)
x 1 1
1
( x 2)
2
3 ( x 6) 2 3 x 6 4
1
( x 2) 0
x 1 1
x 2
1
1
( x 2) 0 (1)
2
3
3 ( x 6) 2 x 6 4
x 1 1
(1)
1
3
( x 6) 2 x 6 4
Do x 1 nn
2
3
VT (2)
1
x 2 (2)
x 1 1
1
3
( x 6) 2 2 3 x 6 4
1
x 1 1
VP (2) x 2 2 VT (2)
PT có nghiệm duy nhất x = 2
Trang 7
3
1
1 2 (2)
49 2 3 7 4
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
Đinh Nho Thắng
2
Baøi 8. (TH&TT) Giải PT 4 x 2 22 3 x x 8
2 x
Giải. Điều kiện
22
3
Ta có
x 2 8 4 x 2 22 3 x x 2 8 4
x2 2
22 3 x 4
x24
22 3 x 16
( x 2). A( x)
x22
22 3 x 4
( x 2)( x 2) 4
Trong đó
4
3
x2 2
22 3 x 4
A( x) x 2
22
2; 3
A(x) là hàm số đồng biến trên
v A(-1) = 0 nên PT A(x) = 0 có nghiệm duy nhất
x = -1
Vậy PT đ cho có 2 nghiệm x 2, x 1
Baøi 9. (TH&TT ) Giải PT
1 x
2 3
3x 4 4 x 3 1
Giải..
PT 3x 4 x 1 1 x
4
3
2
2 x
2
2
2 x2 1 x2
x 3x 4 x
1 1 x2
2
Nhận thấy
3x 2 4 x
2 x 1 x
2
2
1 1 x2
x (3x 4 x)
2
2
x2 2 x2 1 x2
1 1 x2
0
2
3 x
2
1 x
2
3
2
1 x2 1 5x2 2
6(1 1 x 2 )
0, x
Do đó PT có nghiệm duy nhất x = 0
Chú ý. Bài toán này có thể giải bằng phương pháp BĐT
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Baøi 1. Giải các phương trình
a)
4 x 1 3x 2
x3
5
ĐS: x 2
2
b) x 9 x 20 2 3 x 10
ĐS: x 3
Trang 8
Đinh Nho Thắng
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
c)
2 x 2 16 x 18 x 2 1 2 x 4
ĐS: x 1
d)
x 2 12 5 3 x x 2 5
ĐS: x 2
e)
2 x 2 1 x 2 3x 2 2 x 2 2 x 3 x 2 x 2
ĐS: x 2
2x 4 2 2 x
f)
5x 4
x 4
2
ĐS:
x 2; x
2
3
Baøi 2. Giải các phương trình
2x 1 2x 3 x 3 x 1
a)
2 x 2 x 1 3x 2 x 1 x 2 4 x 3 2 x 2 4 x 3
b)
c)
3
2 x x 1 1
d)
3x 2 7 x 3 x 2 2 3x 2 5 x 1 x 2 3x 4
e)
1
1
1
1
x3 x2
x 2 x 1
x 1 x
f)
x3 3x 2 8 x 40 8 3 4 x 4
g)
x3 x 2 1 x3 x 2 2 3
h)
6x 3
3 x x2
x 1 x
i)
2 x 2 1 x 2 3x 2 2 x 2 2 x 3 x 2 x 2
III. ĐẶT
ĐẶT ẨN
ẨN PHỤ
PHỤ
III.
CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI
VẤN ĐỀ 1: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai
Phương trình dạng
Cách giải. Đặt
t
ax bx c
2
a b
px qx r với p q
2
px 2 qx r (t 0) . PT trở thành t 2 t 0 . Từ đó tìm t rồi tìm
x
Tổng quát.
a. f ( x ) b. f ( x ) c 0 . Đặt t
f ( x)(t 0)
2
2
Baøi 1. Giải PT 3x 21x 18 2 x 7 x 7 2
ĐS: x 1; x 6
2
2
Baøi 2. Giải PT 4 x 10 x 9 5 2 x 5 x 3
1 5 19
2; ;
2
4
ĐS:
Trang 9
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
Phương trình dạng
Đinh Nho Thắng
.P ( x) .Q ( x) . P( x ).Q( x ) ( 0)
Cách giải.
P ( x) 0
Nếu P(x) = 0 thì Q(x) = 0 và dẫn đến giải hệ Q ( x) 0
Nếu P ( x) 0 , chia 2 vế của PT cho P ( x) ta có PT
.
Q ( x)
P( x)
.
0
P ( x)
Q ( x)
t
Đặt
P( x)
(t 0)
2
Q( x)
, PT trở thành t t 0 . Từ đó tìm t rồi tìm x
2
3
Baøi 3. Giải PT 2( x 3 x 2) 3 x 8
2
2
HD: PT 2( x 2 x 4) 2( x 2) 3 ( x 2)( x 2 x 4)
2( x 2 2 x 4)
x2 2 x 4
3
2 0
x2
x2
(Do x 2 không là nghiệm của PT)
Đặt
t
x2 2 x 4
(t 0)
3 13
x2
. Kết quả
2
2
3
Baøi 4. (Đề nghị Olympic 30/4/2009) Giải phương trình 2( x x 1) 7( x 1) 13( x 1)
2
x 1
x 1
PT 2 2
13. 2
x x 1
x x 1
HD.
Đặt
t
1
x 1
Kq S 1 ;2;4
2
x x 1 .
2
Baøi 5. (Đề nghị Olympic 30/4/2007) Giải phương trình
2 x 2 5x 1 7 x 3 1
HD.
Đặt
PT 2
t
x 1
x 1
7 2
3 0
x x 1
x x 1
2
x 1
Kq S 4 6
x x 1 .
2
Baøi 6. Giải phương trình
3x 2 2 x 2
6
30
x 3 3x 2 4 x 2
HD.
Trang 10
Đinh Nho Thắng
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
Điều kiện
x 3
3 x 2
4 x۳2 0
PT 3.
Đặt
( x 1)( x 2 2 x 2) 0
x2 2x 2
6
8
x 1
30
t
1
x
x2 2x 2
x 1
x2 2x 2
0 Kq S 2
x 1
.
Baøi 7. Giải phương trình
x 2 3x 1
1
3
x4 x2 1
HD.
4
2
2
2
Để ý x x 1 ( x x 1)( x x 1)
x2 x 1
1
PT 2. 2
1
x x 1
3
Đặt
t
x2 x 1
x2 x 1
x2 x 1
0 Kq S 1
x2 x 1
.
Baøi 8. Giải PT
2 x 3 x 1 3 x 2 2 x 2 5 x 3 16
ĐS:
3
VẤN ĐỀ 2: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Baøi 1. Giải phương trình:
x 3 25 x3 x 3 25 x3 30
3
3
3
3
HD. Đặt y 35 x x y 35
xy ( x y ) 30
3
3
Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: x y 35 , giải hệ này ta tìm
được ( x; y ) (2;3) (3;2) . Tức nghiệm của phương trình là x {2;3}
Baøi 2. Giải phương trình:
2 1 x 4 x
1
2
4
HD. Điều kiện: 0 x 2 1
2 1 x u
0 u
4
x
v
Đặt
2 1,0 v
4
Trang 11
2 1
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
Ta đưa về hệ phương trình sau:
Đinh Nho Thắng
1
u 4 2 v
2
1 v v4 2 1
4 2
1
u v 4
2
u 2 v4 2 1
2
1
(v 1) v 4 0
2
Giải phương trình thứ 2:
, từ đó tìm ra v rồi thay vo tìm
2
2
nghiệm của phương trình.
Baøi 3. Giải phương trình sau: x 5 x 1 6
HD. Điều kiện: x 1
Đặt a x 1, b 5 x 1(a 0, b 0) thì ta đưa về hệ phương trình sau:
a 2 b 5
(a b)(a b 1) 0 a b 1 0 a b 1
2
b a 5
Vậy
x 1 1 5 x 1
x 1 5 x x
11 17
2
6 2x 6 2x 8
5 x 3
Baøi 4. Giải phương trình: 5 x
Giải
Điều kiện: 5 x 5
Đặt
u 5 x , v 5 y 0 u , v 10
.
u 2 v 2 10
4 4
8
2(u z )
3
Khi đó ta được hệ phương trình: u v
3
Baøi 5. Giải phương trình sau:
Giải. Điều kiện:
a
b
Đặt:
3
x
1
1
x
x 1
2
2
1
2
1
x
2
3 1
a x
2
a3 b 2 1
1
2
1
x 0 b x
2
2
Phương trình đã cho trở thành hệ:
Trang 12
(u v) 2 10 2uv
2 4
(u v) 1 uv 3
Đinh Nho Thắng
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
a3 b 2 1 a3 b 2 1
2
a3 1 a 1
a b 1
b 1 a
a 0
a3 a 2 2a 0 2
a 0; a 1; a 2
a a 2 0
+ Với
+ Với
+ Với
a0
3
1
1
x 0 x
2
2
a 1
3
1
1
x 1 x
2
2
a 2
3
1
17
x 2 x
2
2
1
17
x ;x
2
2 .
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
Baøi 6. Giải phương trình sau:
3
x 2 1 3 18 x 2 5
Giải
Đặt:
a 3 x 2 1
a3 x 2 1
b3 a3 19
3
2
3
2
b 18 x
b 18 x
a b 5
3 3
b a 19
Phương trình đã cho trở thành hệ:
2b3 15b 2 75b 144 0
a 5 b
3
3
b 5 b 19
b 3 2b2 9b 48 0
b 3
2
2b 9b 48 0 phöông trình naøy voâ nghieäm
+ Với b 3
3
18 x 2 3 x 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x 3
Baøi 7. Giải phương trình sau:
4
x 2 4 6 x 2
Điều kiện: 2 x 6
Giải
a 4 x 2 0 a 4 x 2
4
a4 b4 4
4
b 6 x 0 b 6 x
Đặt:
Phương trình đã cho trở thành hệ:
Trang 13
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
2 2
2 2
2
a 4 b 4 4
a b 2a b 4
a b 2
a b 2
2a 2 b2 8ab 0
a
b
2
Đinh Nho Thắng
ab 0 ab 4
a b 2
a 0
x 2
ab 0
b 0
x 6
a b 2
a
b
2
+ Với
ab 4
a, b
ab 2
+ Với
là nghiệm của phương trình:
x 2 2 x 4 0 (phương trình này vô nghiệm)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x 2 x 6 .
Baøi 8. Giải phương trình
3
x 2 x 1 3
Giải. ĐKXĐ: x 1
a 3 x 2
(b 0)
b x 1
Đặt
, ta có hệ phương trình
a b 3
b 3 a
b 3 a
b 3 a
a 1
3
3 2
3 2
2
2
b 2
a b 3 a (3 a) 3 a a 6a 6 0
(a 1)(a 6) 0
Với a = 1, ta có
3
x 2 1 x 2 1 x 3
3
Baøi 9. (ĐHA-2009) Giải phương trình: 2 3 x 2 3 6 5 x 8 0 .
ĐS: x = –2. Đặt
u 3 3x 2
v 6 5x , v 0
.
3
2
4
2
Baøi 10. Giải phương trình: x x x 2 x 1
2
2
2
3
Giải. PT x x ( x 1) 2 x 1
3 x a
3 2
Đặt : x 1 b ,phương trình đã cho trở thành
b 3 a 2 b 2 a 3 (b 3 a 3 ) a 2 (b a) 0
b a 0
(b a)(b 2 2a 2 ab) 0 2
2
b 2a ab 0
Trang 14
Đinh Nho Thắng
ab
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
3
x 3 x2 1 x
1 5
2
3 x 0
b 2 2a 2 ab 0 a b 0 3 2
x 1 0 (VN)
Vậy phương trình có hai nghiệm
x
1 5
2
VẤN ĐỀ 3: Đặt ẩn phụ không toàn phần
2
2
Baøi 1. (ĐHB 2010-Db1) Giải PT 8 x 8 x 3 8 x 2 x 3 x 1
2 x 2 3 x 1 t 0 , ta có PT
Giải. Đặt
4t 2 8x.t 4 x 1 0
' 16 x 2 4(4 x 1) 4(4 x 2 4 x 1) 4(2 x 1)2
Do đó
t
4 x 2(2 x 1) 1
4 x 2(2 x 1)
1
t
2x
4
2 hoặc
4
2
2 x 2 3x 1
1
3 3
4(2 x 2 3 x 1) 1 8 x 2 12 x 3 0 x
2
4
4(2 x 2 3 x 1) 16 x 2 8 x 1
4x 1
2 x 3x 1
1
2
x 4
2
8x 2 4 x 3 0 x
4 28
8
Baøi 2. (Đề nghị Olympic 30/4/2006) Giải phương trình
( x 1) x 2 2 x 3 x 2 1
2
2
HD: t x 2 x 3 , ta có t ( x 1)t 2( x 1) 0
Kq S 1 2;1 2
Baøi 3. Giải phương trình :
x2 3 x2 2 x 1 2 x2 2
Trang 15
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
Đinh Nho Thắng
t 3
t 2 2 x t 3 3x 0
t x 1
Giải. Đặt t x 2 , ta có :
2
x 2 2 3 x 27
x 1
x 1
x 2 x 1
1
2 x 1 x
2 (VN)
2
Baøi 4.
x 1
Giải phương trình :
x2 2x 3 x2 1
Giải:
Đặt : t
x 2 2 x 3, t
2 . Khi đó phương trình trở thành
t 2
t 2 x 1 t 2 x 1 0
t x 1
x2 2 x 3 2 x2 2 x 1 0 x 1 2
x 2 2 x 3 x 1 (VN )
Baøi 5. Giải phương trình
x 2 9 x 1 x 11 3 x 2 x 3
x2 9x 1 0
Giải.Điều kiện 11 3 x 0
Đặt
a x 2 9 x 1
(a, b 0)
b 11 3x
2
2
2
Ta có a xb 2 x 3 a 2 x 3 xb x 9 x a 1 (2 x 3 xb) 1 (1)
Mặt khác
(2 x 3 xb) 2 1 ( x 2 9 x) (4 x 2 9 x 2b 2 12 x 4 x 2b 6 xb) 1 ( x 2 9 x)
x 2 (b 2 4b 3) 3 x(1 2b) 10 x 2 (b 1)(b 3) (11 b 2 )(1 2b) 10 ( do 3 x 11 b 2 )
x 2 (b 1)(b 3) 2b3 b 2 22b 21 x 2 (b 1)(b 3) 2b 3 b 2 22b 21
x 2 (b 1)(b 3) (b 1)b 3)(2b 7) (b 1)(b 3)( x 2 2b 7) (2)
10
x
b 1
3
b 3
x 2
2
3
Chú ý x 2b 7 > 0 do b 0 . Từ (1) và (2) ta có
Thử lại
Trang 16
Đinh Nho Thắng
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
19
a x2 9 x 1
10
3
x
3
2 x 3 xb 19
3
7
a x2 9x 1
2
3
x
7
3
2 x 3 xb
3
Vậy PT đã cho có hai nghiệm
x
10
2
,x
3
3
VẤN ĐỀ 4: Phương pháp hằng số biến thiên
Baøi 1. Giải phương trình x 11 x 11
Giải. Điều kiện 0 x 8
PT 11 x 11 x (11 x ) 2 11 x
2
2
2
Đặt a = 11, ta có (a x) a x a (2 x 1)a x x 0
(2 x 1) 2 a x
x 1
a x x 1
a x x
Do đó
21 41
x
11 x x 1 x x 10 0
2
23 3 5
a x x
x x 11 0
x
2
Thay a = 11, ta có
(thỏa đk)
Vậy PT có 2 nghiệm
x
21 41
23 3 5
;x
2
2
2
Baøi 2. Giải phương trình x x 12 x 1 36
Giải.
ĐKXĐ: x 1
Đặt a =12, phương trình trở thành:
1
x 2 x a x 1 a 2 a 2 4 x 1.a 4 x 2 4 x 0
4
a 2( x 1) 2 x 1
Trang 17
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
12 2( x 1) 2 x 1
Đinh Nho Thắng
1 x 5
x 1 5 x 2
x3
x 11x 24 0
12 2( x 1) 2 x 1
x 1 x 13(VN )
5 x x2 5
Baøi 3. Giải phương trình:
Giải
x 5
x2 5
x 5
2
2
5 x x 5
2
2
4
2
5 2 x 1 .5 x x 0 (1)
5 x x 5
Xem phương trình trên là phương trình bậc hai theo ẩn là 5.
2 x2 1 4 x x 4 4 x2 4 x 1 2 x 1
2
Ta có:
2
1
2 x2 1 2 x 1
2
1
2 x2 1 2 x 1
2
5
5
hai nghiệm của (1) là:
2 x2 2 x 8 0
x2 x 4 0 (2)
2
2
2 x 2 x 1 0
x x 5 0 (3)
Phương trình
2
x
3
x
1
1
2
1
1
2
17
21
Kiểm ra điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là:
1
1
x
1 17 x
1 21
2
2
VẤN ĐỀ 5: Đặt ẩn phụ đưa về hệ PT đối xứng loại 2 hoặc gần đối xứng
2
Baøi 1. Giải phương trình: 2 x 6 x 1 4 x 5
Giải. Điều kiện
x
5
4
Đặt 2 y 3 4 x 5 ta được hệ phương trình sau:
(2 x 3) 2 4 y 5
( x y )( x y 1) 0
2
(2 y 3) 4 x 5
Trang 18
Đinh Nho Thắng
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
Với x y 2 x 3 4 x 5 x 2 3
Với x y 1 0 y 1 x x 1 2
Kết luận: Nghiệm của phương trình l {1 2; 1 3}
2
Baøi 2. Giải phương trình x x 1000 1 8000 x 1000 .
x 2 x 2000 y
(*)
2
y
y
2000
x
2
y
HD: Đặt 1 1 8000x = , ta có
.
Từ (*) suy ra ( x y )( x y 1999) 0 và do x y 1999 0 .
Suy ra x y , ta được nghiệm x 2001 , lo¹i x 0 ).
3
2
3
Baøi 3. Giải phương trình x 3 x 3 3 x 5 1 3 x
( x 1)3 3 y 5
3
( y 1)3 3 x 5
3
x
5
Giải. Đặt
= y + 1, ta có
Trừ vế theo vế hai PT ta được
( x 1)3 ( y 1)3 3( x y ) ( x y ) ( x 1) 2 ( x 1)( y 1) ( y 1) 2 3 0
x y do ( x 1) 2 ( x 1)( y 1) ( y 1) 2 3 0
Từ đó ta có nghiệm x = 1; x = -2
2
Baøi 4. Giải phương trình: 4 x 5 13 x 3 x 1 0
Giải. Điều kiện:
x
1
3 , Đặt
3
3 x 1 (2 y 3), ( y )
2
(2 x 3) 2 2 y x 1
( x y )(2 x 2 y 5) 0
2
(2
y
3)
3
x
1
Ta có hệ phương trình sau:
Với
Với
x y x
15 97
8
2x 2 y 5 0 x
11 73
8
15 97 11 73
;
8
8
Kết luận: tập nghiệm của phương trình l:
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Baøi 1. Giải các PT sau bằng cách đặt ẩn phụ
Trang 19
Một số phương pháp giải phương trình chứa căn
a)
x 8 x 4
b)
x x2 1 x x2 1 2
1
1
x x x 2
2
4
c)
d)
e)
g)
x
1
1
1 x
x
x
x3
8
x 1
( x 1)( x 3) 2( x 1)
4 x 3 2 x 1 6 x 8 x 2 10 x 3 16
2
3
2
h) 8 x 18 x 5 3 9 x 9 x 2
i)
3x 2 5 x 1 3x 2 5 x 7 2
k)
3x 8 6 3 x 1 3x 8 6 3x 1 3x 4
m)
n)
x 2x 1 x 2x 1 2
1
2
x x2 x 1 x
3
o)
2 x 3 x 1 3 x 2 2 x 2 5 x 3 16
p)
x 2 5 x 2 10 x 1
2
Baøi 2. Giải PT 9 x 12 x 2 3 x 8
3
8 x 3 2001
4004 2001
2002
Baøi 3. Giải PT
3
Baøi 4. Giải PT
81x 8 x3 2 x 2
4
x2
3
IV.ĐƯA
ĐƯAVỀ
VỀ DẠNG
DẠNG TÍCH
TÍCH
IV.
CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Trang 20
Đinh Nho Thắng
- Xem thêm -
.DOC 
34 
1021 
145 
