MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
MỤC LỤC
Trang
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
2
2
3
A. KHÁI NIỆM VỀ KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
2. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
3
3
3
3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
4. Khoảng cách giữa hai hai mặt phẳng song song
3
4
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH
1. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
1.1. Phương Pháp 1: Sử dụng định nghĩa
4
5
5
5
1.2. Phương pháp 2: Sử dụng công thức tính thể tích
1.3. Phương pháp 3: Phương pháp tọa độ
1.4. Bài tập áp dụng
13
16
19
2. KHOẢNG CÁCH GIƯA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
2.1. Phương Pháp 1: Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung
20
20
2.2. Phương pháp 2: Chuyển về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
2.3. Phương pháp 3: Phương pháp tọa độ
2.4. Bài tập áp dụng
C. MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG TRONG CÁC NĂM GẦN ĐÂY
23
24
28
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
28
30
30
VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
32
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
Trang - 1 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I.
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian là một bài toán thông dụng
nhưng lại thuộc dạng khó. Khi nói đến tính khoảng cách thì hầu hết học sinh không có
hứng thú để học. Có một bộ phận học sinh có suy nghĩ là bỏ câu tính khoảng cách trong
không gian trong các kì thi. Đó là một điều thực tế đáng buồn.
Khi học về hình học không gian mà không học phần tính khoảng cách thì làm
mất đi tính tư duy, sáng tạo và suy luận. Khoảng cách là bài toán khó cần đòi hỏi học sinh
hiểu bài và có một chút trí tưởng tượng hình ảnh các đối tượng trong không gian ba
chiều. Đó là vẻ đẹp của hình học không gian những không phải học sinh nào cũng cảm
nhận được và có hứng thu khi nghĩ về nó. Ngoài khoảng cách là một ứng dụng rất quan
trong nhiều ngành khoa học, nên việc nghiên cứu các phương pháp tính chúng là hết sức
quan trọng.
Đối với chương trình toán học phổ thông thì tính khoảng cách được đưa vào bài
cuối cùng của chương trình lớp 11. Nhưng thời gian dành để dạy và học về là ít kể cả lí
thuyết cũng như thực hành. Mặt khác các bài tập mà sách giao khoa yêu cầu thì chưa cao,
chưa tương ứng đươc như trong các đề thi tuyển sinh.
Trong khi đó trong thi cử và ứng dụng thì ở mức độ cao hơn. Đặc biệt là trong
các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng nhiều năm nay luôn có một số ý liên quan đến
tính khoản cách của bài toán hình học không gian. Để giúp các em hiểu sâu hơn về
khoảng cách trong không gian, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số phương pháp tính
khoảng cách trong hình học không gian ”.
II.
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Nghiên cứu đề tài “Một số phương pháp tính khoảng cách trong hình học
không gian” để giúp học sinh rèn kỹ năng giải toán về tính khoảng cách trong hình học
không gian, qua đó phát triển tư duy logic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học
tập của các em, tạo được hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi mới phương pháp
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
Trang - 2 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
giảng dạy bộ môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh, góp
phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá giỏi về môn toán, góp phần kích thích sự
đam mê, yêu thích môn toán, phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học
sinh. Đối tượng áp dụng: học sinh lớp 11 và 12.
III.
TỔ CHỨC THỰC HIỆN VÀ GIẢI PHÁP
A. KHÁI NIỆM VỀ KHOẢNG CÁCH
1. Khoản cách từ một điểm đến đường thẳng
Cho điểm M và đường thẳng a. Trong mặt
phẳng (M,a) gọi H là hình chiếu vuông góc của
M trên a. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M
và H được gọi là khoảng cách từ điểm M đến
đường thẳng a.
Vậy d M , a MH
M
a
H
2. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
M
Trong không gian, cho điểm M và mặt phẳng
(α).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M
trên mặt phẳng (α). Khi đó khoảng cách giữa hai
điểm M và H được gọi là khoảng cách từ M đến
mặt phẳng (α) và được kí hiệu là: d M ,( ) .
Vậy d M ,( ) = MH
Nhận xét: d M ,( ) 0 M
A
H
3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng
(α). Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
Trang - 3 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
phẳng (α) là khoảng cách từ một điểm bất kỳ
của a đến mặt phẳng (α), kí hiệu là d a,( ) .
Vậy d a,( ) d M ,( ) với M a
α
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là
khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng
này đến mặt phẳng kia
Ta kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và song song với nhau là d ,( ) .
M
Vậy d ,( ) d M ,( ) d N ,( ) với
M ; N
N
5. Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau.
a) Đường thẳng cắt hai đường thẳng a, b
chéo nhau và cùng vuông góc với mỗi đường
thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của
a và b.
b) Nếu đường vuông góc chung cắt hai
đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì
độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau a và b.
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
M
a
b
N
Trang - 4 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A
c) Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Gọi
mặt phẳng (α) chứa đường thẳng b và song song
với a.
Khi đó khoảng cách từ a đến b bằng khoảng
cách từ a đến mặt phẳng (α) bằng khoảng cách từ
một điểm bất kỳ trên a đến mặt phẳng (α).
M
a
b
a'
H
N
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM KHOẢNG CÁCH.
“Trong các bài toán tính khoảng cách thì có hai loại bài toán điển hình là khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, hai mặt phẳng song song thì thực chất
cũng là khoảng cách từ một điểm đến một đường và khoảng khoảng cách từ một điểm
đến một mặt mà thôi. Các bài toán sau đây chỉ tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt và khoảng cách giữ hai đường thẳng cheo nhau.”
1. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG.
1.1.
PHƯƠNG PHÁP 1.
Sử dụng định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.
Ví dụ 1.
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BC = a biết
SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o. Tính khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (SBC)
Nhận xét: Đây là bài tính khoảng từ chân đường cao của hình chóp đến mặt phẳng có chứa
đỉnh của hình chóp. Do đó ta làm như sau:
Vì AB vuông góc với giao tuyến BC của mặt phẳng SBC với mặt đáy nên từ A hạ
AH vuông góc với SB tại H thì AH sẽ là khoảng cách từ A đến mp(SBC). Việc còn lại là
chứng minh AH vuông góc với (SBC) và tính AH.
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
Trang - 5 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Giải
Kẻ AH SB tại H (1)
BC AB
BC SAB BC AH (2)
BC SA
Từ (1) và (2) suy ra AH SBC d A, SBC AH
Mặt khác: AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt
S
H
phẳng (ABC) nên SB, ABC AB, SB SBA 600
Trong ABH có sin B
Vậy d A, SBC
AH
a 3
AH AB sin 600
AB
2
a 3
2
A
a
60
a
0
C
B
Ví dụ 2.
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với
đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o.
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
Nhận xét: Đây là bài tính khoảng từ chân đường cao của hình chóp đến mặt phẳng có chứa
đỉnh của hình chóp. Do đó ta làm như sau:
Từ A hạ AM vuông góc với với giao tuyến BC của mặt phẳng SBC với mặt đáy sau
đó từ A hạ AH vuông góc với SM tại H thì AH sẽ là khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Việc còn lại là chứng minh AH vuông góc với (SBC) và tính AH.
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
Trang - 6 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Giải
Gọi M là trung điểm của BC
Kẻ AH SM tại H (*)
BC AM
Ta có:
BC SAM BC AH (**)
BC SA
Từ (*) và (**) suy ra AH SBC d A, SBC AH
BC AM
BC SM
Mặt khác:
SBC ABC BC
SBC , ABC SMA 600
S
a
A
C
0
a
60
a
M
B
a 3
ABC đều nên AM
2
AH
3a
Trong AMH có sin M
AH AM sin 600
AM
4
3a
Vậy d A, SBC
4
Ví dụ 3.
Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA (ABCD),
SC hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4a. Tính khoảng cách từ C đến mặt
phẳng (SBD).
Nhận xét: Đây là bài tính khoảng từ chân đường cao của hình chóp đến mặt phẳng có chứa
đỉnh của hình chóp. Do đó ta làm như sau:
Từ A hạ AK vuông góc với với giao tuyến BD của mặt phẳng SBD với mặt đáy, sau
đó từ A hạ AH vuông góc với SK tại H thì AH sẽ là khoảng cách từ A đến mp(SBD).
Việc còn lại là chứng minh AH vuông góc với (SBD) và tính AH.
Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
Trang - 7 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Khi đó: OC = OA nên d C, SBD d A, SBD
Kẻ AK BD tại K
Kẻ AH SK tại H (*)
BD AK
Ta có:
BD SAK BD AH (**)
BD SA
Từ (*) và (**) suy ra AH SBD d A, SBD AH
S
H
Mặt khác: AC AB 2 BC 2 5a
AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng
(ABCD) nên SC , ABCD AC , SC SCA 450
Suy ra SAC vuông cân tại A SA 5a
AB.AD
12a
Trong ABD có AK
5
AB2 AD 2
Trong SAK có AH
Vậy d C , SBD
AS.AK
AS2 AK 2
4a
A
KO
B
D
3a
450
C
60 269a
269
60 269a
269
Ví dụ 4.
Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a tâm O và góc nhọn A
bằng 60o và SO (ABCD), biết rằng SC với mặt đáy bằng 600. Tính khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (SBC).
Nhận xét: Đây là bài tính khoảng từ một điểm khác chân đường cao của hình chóp đến
mặt phẳng có chứa đỉnh của hình chóp. Do đó ta làm như sau:
Bằng cách so sánh AC với OC sau đó ta chuyển khoảng cách từ A đến mp(SBC) về
khoảng cách từ O đến mp(SBC).
Từ O hạ OK vuông góc với với giao tuyến BC của mặt phẳng SBC với mặt đáy, sau
đó từ O hạ OH vuông góc với SK tại H thì OH sẽ là khoảng cách từ O đến mp(SBC). Việc
còn lại là chứng minh OH vuông góc với (SBC) và tính OH.
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
Trang - 8 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Giải
Vì BAD 600 nên ABD đều cạnh a.
a 3
Khi đó: AO OC
2
OC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt
phẳng (ABCD) nên
SC , ABCD SCO 600
3a
2
AC = 2OC nên d A, SBC 2d O, SBC
Kẻ OK BC tại K
Kẻ OH SK tại H (1)
BC OK
BC SOK BC OH (2)
BC SO
Từ (1) và (2) suy ra
OH SBC d O, SBC OH
S
Trong SCO có SO OC tan SCO
600
D
H
O
600
A
K
a
B
a 3
4
OS.OK
9a 7
Trong SOK có OH
42
OS2 OK 2
9a 7
Vậy d A, SBC
21
Trong COK có OK OCsinBCO
Ví dụ 5.
Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết
AB= BC = a, AD = 2a, SA (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o. Gọi
M ;là trung điểm của SB. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD)
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
Trang - 9 -
C
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Nhận xét: Đây là bài tính khoảng từ một điểm khác chân đường cao của hình chóp đến
mặt phẳng có chứa đỉnh của hình chóp. Do đó ta làm chuyển khoảng cách từ M đến
mp(SCD) về khoảng cách từ A đến mp(SCD). Cụ thể là:
Tac chuyển khoảng cách từ M về B, sau đó ta lại chuển khoảng cách về I là trung điểm
của AD. Tiếp đến ta lại chuyển khoảng cách từ I về A. ( có thể chuyển qua đường giao
điểm của AB với DC) khi đó.
Chứng minh AC vuông góc với DC. Rồi từ AO hạ AH vuông góc với SC tại H thì AH
sẽ là khoảng cách từ A đến mp(SCD). Việc còn lại là chứng minh AH vuông góc với
(SBC) và tính OH.
Giải
Gọi I là trung điểm của AD, khi đó ABCI là hình
AD
vuông nên CI a
ACD vuông tại C.
2
DC AC
DC SAC DC SC
DC SA
Mặt khác
DC AC
SCD , ABCD SCA 600
DC SC
ABCI là hình vuông nên AC a 2
Trong SAC có SA ACtanSCA a 6
1
1
Vì MS BS d M , SCD d B, SCD
2
2
Mặt khác BI // CD d B, SCD d I , SCD
S
H
I
A
2a
D
a
600
B
a
C
1
1
AD d I , SCD d A, SCD
2
2
1
Vậy d M , SCD d A, SCD
4
Kẻ AH SC tại H
mà DC SAC DC AH
ID
nên AH SCD d A, SCD AH
Trong SAC có AH
AS.AK
AS2 AK 2
a 6
Vậy d M , SCD
8
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
a 6
2
Trang - 10 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Ví dụ 6.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a tâm O. Mặt bên
(SAB) là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD), Tính khoảng
cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
Nhận xét: Đây là bài tính khoảng từ một điểm khác chân đường cao của hình chóp đến
mặt phẳng có chứa đỉnh của hình chóp. Do đó ta làm như sau:
Bằng cách so sánh BA với HA sau đó ta chuyển khoảng cách từ B đến mp(SAC) về
khoảng cách từ H đến mp(SAC).
Từ H hạ HK vuông góc với với giao tuyến AC tại K của mặt phẳng SAC với mặt
đáy, sau đó từ H hạ HI vuông góc với SK tại I thì HI sẽ là khoảng cách từ H đến
mp(SAC). Việc còn lại là chứng minh HI vuông góc với (SAC) và tính HI.
Giải
Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH ABCD
Khi đó: BA = 2HA nên d B, SAC 2d H , SAC
Kẻ HK AC tại K
Kẻ HI SK tại I (*)
HI AC
Ta có:
AC SHK HI AC (**)
SH AC
Từ (*) và (**) suy ra HI SAC d H , SAC HI
Mặt khác: BD AB 2 AD 2 a 2 BO
Trong ABO có HK là đường trung bình nên
a 2
HK
4
a 3
Trong SAB đều nên SH
2
HS.HK
a 21
Trong SHK có HI
14
HS2 HK 2
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
S
a
a
I
B
C
O
H
a
K
A
a
D
a 2
2
Trang - 11 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Vậy d B, SAC
a 21
7
Ví dụ 7.
Cho chóp đều S.ABCD cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách từ
A đến mặt phẳng (SBC).
Nhận xét: Đây là bài tính khoảng từ một điểm khác chân đường cao của hình chóp đến
mặt phẳng có chứa đỉnh của hình chóp. Do đó ta làm như sau:
Bằng cách so sánh AC với OC sau đó ta chuyển khoảng cách từ A đến mp(SBC) về
khoảng cách từ O đến mp(SBC).
Từ O hạ OK vuông góc với với giao tuyến BC của mặt phẳng SBC với mặt đáy, sau
đó từ O hạ OH vuông góc với SK tại H thì OH sẽ là khoảng cách từ O đến mp(SBC). Việc
còn lại là chứng minh OH vuông góc với (SBC) và tính OH.
Giải
Gọi O là giao điểm của AC với BD.
S.ABCD là hình chóp đều nên
SO ABCD và ABCD là hình vuông.
Ta có: AC a 2 nên AO
a 2
2
Trong SAO có: SO SA2 AO 2
2a
a 14
2
Vì AC 2OC nên
d A SBC 2d O SBC
Gọi K là trung điểm của BC.
Kẻ OH SK tại H (1)
OK BC
BC SOK OH AC (2)
SO BC
Từ (1) và (2) nên
OH SAC d O, SBC OH
Do OK là đường trung bình của ABC nên
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
S
H
D
C
K
O
a
A
B
Trang - 12 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
a
2
Trong SOK có
OS.OK
a 210
OH
30
OS2 OK 2
a 210
Vậy d A, SBC
15
OK
1.2. PHƯƠNG PHÁP 2. Sử dụng công thức tính thể tích.
“Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thì bằng đường cao của một hình
chóp mà nó là đỉnh và một đa giác trên mặt phẳng kia là đáy”
1
Ta đã biết thể tích của khối chóp có công thức V B.h
3
Với B là diện tích đáy và h là chiều cao của khối chóp
1
3V
Vậy V B.h h
3
B
3V
Khi đó khoảng cách từ đỉnh của khối chóp đến mặt đáy sẽ được tính như sau: h
B
Lúc này ta sẽ sử dụng công thức trên để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng.
Ví dụ 1.
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA
vuông góc với đáy ABC và SC 2a .Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
Nhận xét: để tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) ta tính thể tích khối chóp S.ABC
và tính diện tích tam giác SBC. Sau đó sử dụng công thức trên ta sẽ tính được khoảng
cách từ A đến (SBC). Việc tính diện tích của tam giác SBC là quan trọng để giải bài toán.
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
Trang - 13 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Giải
Trong SAC có: SA SC 2 AC 2 a 3
a 2
Trong ABC có: AB AC.sinA
2
2
1
a
S ABC AB.BC
2
4
1
a3 3
VS . ABC SA.S ABC
3
12
Mặt khác:
AB BC
BC SAB BC SB
SA BC
a 14
Trong SAC có: SB SA2 AB 2
2
2
1
a 7
SSBC SB.BC
2
4
3.V
a 21
Vậy d A, SBC S . ABC
S SBC
7
S
2a
a
A
C
B
Ví dụ 2.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc
đáy ABCD và mặt bên SB hợp với đáy một góc 60o.Tính khoảng cách từ C đến mặt
phẳng (SBD).
Nhận xét: Để tính khoảng cách từ điểm C đến mp(SBD) ta tính thể tích khối chóp S.BCD
và tính diện tích tam giác SBD. Sau đó sử dụng công thức trên ta sẽ tính được khoảng
cách từ C đến mp(SBD). Việc tính diện tích của tam giác SBD là quan trọng để giải bài
toán.
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
Trang - 14 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Giải
S
AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng
(ABCD) nên SB, ABCD SBA 600
Trong SAB có SA = AB.tanB = a 3
Mặt khác: S ABCD a 2
1
a3 3
a3 3
VS . ABCD SA.S ABCD
VS .BCD
3
6
3
Gọi O là giao điểm của AC với BD
BD AC
BD SAC BD SO
BD SA
a 2
AC a 2 AO
2
a 14
SO SA2 AO 2
2
2
1
a 7
SSBD SO.BD
2
2
3.V
a 21
Vậy d C , SBD S .BCD
S SBD
7
a
A
O
B
D
a
C
Ví dụ 3.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SAB đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng(SBC).
Nhận xét: để tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) ta tính thể tích khối chóp S.ABC
và tính diện tích tam giác SBC. Sau đó sử dụng cong thức trên ta se tính được khoảng
cách. Việc tính diện tích của tam giác SBC là quan trọng để giải bài toán.
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
Trang - 15 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Giải
Gọi H là trung điểm của AB SH ABC
a 3
a2 3
; SH = CH=
S ABC
2
4
3
1
a
VS . ABC SH .S ABC
3
8
a 6
Ta có: SC SH 2 HC 2
2
2
2
2
BS BC SC
1
15
cosSBC
sinSBC
2 BS .BC
4
4
2
1
a 15
S SBC BS .BC.SinSBC
2
8
3.V
a 15
d A, SBD S . ABC
S SBC
5
S
a
a
a
A
a
H
C
a
B
1.3. PHƯƠNG PHÁP 3. Phương pháp tọa độ
Trong không gian cho điểm M x0 ; y0 ; z0 và phương trình mặt phẳng
:
Ax+ By + Cz + D = 0 , (A 2 B 2 C 2 0)
Khi đó khoảng cách từ M đến mặt phẳng được tính bằng công thức:
d ( M ,
Ax 0 + By0 + Cz 0 + D
A2 B2 C 2
Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta có thể chọn hệ trục tọa
độ Oxyz và gán vào hình vẽ . Nếu chọn hệ trục hợp lí thì giải sẽ dễ dàng. Ta thường
chọn đương cao của hình để là trục Oz. còn trục Ox, Oy thì tùy bài mà chọn cho phù
hợp.
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
Trang - 16 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều. SAB đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy. SC a 2 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng(SBC).
Nhận xét: Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó SH, AB, HC đôi một vuông góc tại H nên
sẽ chọn H là gốc tọa độ.
Giải
Gọi H là trung điểm của AB SH ABC
SBA = ABC nên SHC vuông cân tại H.
2a 3
Khi đó HS HC a và AB
3
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz như sau: O trùng với H, HS
là trục Oz, HC là trục Oy, HB là trục Ox
Khi đó ta có:
a 3
a 3
;0;0 ;
;0;0 , A
H(0; 0; 0), B
3
3
C 0; a;0 ; S 0;0; a
a 3
a 3
BC
; a;0 ; BS
;0; a
3
3
a2 3 a2 3
3a 2
BC , BC a 2 ;
;
3;1;1
3
3
3
Khi đó n
z
S
a 2
a
A
a
C
H
B
x
3;1;1 là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
(SBC).
Phương trình (SBC) là:
Vậy d A, SBC
3x y z a 0
a a
3 11
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
2a 5
5
Trang - 17 -
y
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Ví dụ 2.
Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a,
ACB 300 . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là trung điểm của AB biết A'C hợp với mặt
đáy một góc 450 . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’) .
Giải
Gọi H là trung điểm của AB A ' H ( ABC )
Ta có: BC 2a 3 ; HC a 13 ;
HC là hình chiếu vuông góc của A’C trên (ABC) nên
z
A 'C, ABC A 'CH 45
A'
0
C'
Do đó A ' CH vuông cân tại H A ' H HC a 13
Gọi I là trung điểm của AC, suy ra HI vuông góc với AB
và HI a 3
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz như sau: O trùng với H, HA’
là trục Oz, HI là trục Oy, HA là trục Ox
Khi đó ta có:
H(0; 0; 0), B a;0;0 , A a;0;0 ; I 0; a 3;0 ;
A ' 0;0; a 13
AI a; a 3;0 ;AA' a;0; a 13
phẳng (ACC’A’).
Phương trình (SBC) là:
Vậy d B, ACC ' A '
0
y 45
x
C
I
A
AI ,AA' a 2 39; a 2 13; a 2 3 a 2 39; 13; 3
Khi đó n 39; 13; 3 là véc tơ pháp tuyến của mặt
B'
300
2a H
B
39 x 13 y 3z a 39 0
a 39 a 39
32 3 3
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
2a 2145
55
Trang - 18 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1.4. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết
SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o. Tính khoảng cách từ A
đến mp(SBC)
Bài 2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2a và SA vuông
góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
Bài 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông
góc đáy ABCD và góc giữa SC với đáy một góc 60o.
1) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 5: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA
(ABCD), SC hợp với đáy một góc 45o và AB = a , BC = 2a. Gọi M là trung điểm của
BC. Tính khoảng cách từ M đến mp(SBD).
Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng
60o và SA (ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a. Gọi M là trung điểm
của SB. Tính khoảng cách từ M đến mp(SCD).
Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết
AB=BC=a, AD=2a, SA (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o.
Tính thể thích khối chóp SABCD.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a
Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD,
1) Tính thể tích khối chóp SABCD.
2) Tính khoảng cách giữa A đến mp(SBD)
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
Trang - 19 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
2. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.
2.1. PHƯƠNG PHÁP 1. Xác định và tính dài đoạn vuông góc chung.
2.1.1. Các cách xác định đoạn vuông góc chung.
Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau.
Cách 1.
Bước 1. Dựng mặt phẳng chứa đường
thẳng a và song song với b.
Bước 2. Lấy một điểm B trên b dựng BA vuông
góc với tại A.
Bước 3. Dựng đường thẳng d qua A và song
song với b . Gọi M là giao điểm của d với a.
Bước 4. Từ M đựng đường thẳng c song song
với AB. Gọi N là giao điểm của c với b.
Kết luận: Khi đó MN là đoạn vuông góc chung
của a và b.
b N
B
c
d
M
α
A
a
Cách 2.
Bước 1. Dựng mặt phẳng vuông góc với a tại A.
Bước 2. Xác định b’ là hình chiếu vuông góc của b
trên .
Bước 3. Dựng AH vuông góc với b’ tại H.
Bươc 4. Từ H dựng đường thẳng d song song với a.
Khi đó gọi N là giao điểm của d với b.
Bước 5. Từ N dựng đường thẳng c song song với
AH. Khi đó gọi M là giao điểm của c với a.
Kết luận: MN là đoạn vuông góc chung.
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức
b
N
M
d
a
A
b
b'
H
α
Trang - 20 -
- Xem thêm -
.PDF 
32 
1210 
102 
