Tài liệu Skkn một số tìm hiểu về toán ứng dụng ở trường phổ thông việt nam

BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH Mã số: ................................ (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ TÌM HIỂU VỀ TOÁN ỨNG DỤNG Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG VIỆT NAM Người thực hiện: TS. ĐINH QUANG MINH Lĩnh vực nghiên cứu:  - Quản lý giáo dục - Phương pháp dạy học bộ môn: PPDH Toán  - Lĩnh vực khác: .......................................................  Có đính kèm: Các sản phẩm không thề hiện trong bản in SKKN  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2011 - 2012 BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: ĐINH QUANG MINH 2. Ngày tháng năm sinh: 21 tháng 12 năm 1961 3. Nam, nữ: Nam 4. Địa chỉ: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai 5. Điện thoại: (CQ)/ 6. Fax: E-mail: (NR); ĐTDĐ: 0988808006 7. Chức vụ: P.Hiệu Trưởng 8. Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Tiến Sỹ - Năm nhận bằng: 2006 - Chuyên ngành đào tạo: Lý luận và PPDH Toán III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: 30 năm Số năm có kinh nghiệm: 30 - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 05 2 BM04-NXĐGSKKN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị ..................................... CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ................................, ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2011 - 2012 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Một số tìm hiểu về toán ứng dụng ở trường THPTT Việt Nam Họ và tên tác giả: TS. Đinh quang Minh Chức vụ: P. Hiệu Trưởng Đơn vị: THPT chuyên Lương Thế Vinh Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: ...............................  - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: ........................................................  Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành  1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)  - Có giải pháp hoàn toàn mới - Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có  2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây) - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao  - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao  - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao  - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả  3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây) - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách: Tốt  Khá  Đạt  - Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt  Sau khi duyệt xét SKKN, Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận và chịu trách nhiệm của người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm. XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên và ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu) 3 MỤC LỤC Trang Lý do chọn đề tài 4 §1. Những đặc điểm về đối tượng và phương pháp nghiên cứu của “Toán học 5 ứng dụng”. 1.1. Phương hướng ứng dụng và lý thuyết trong phát triển tóan học. 5 1.2. Các quan điểm về tóan ứng dụng. 7 §2. Đường phân nhánh cơ bản giữa “ Toán học ứng dụng” và “ Toán thuần 10 túy”. §3.Tổng quan về hướng ứng dụng toán học ở nước ta và trên thế giới. 12 §4. Một số nhận xét về tình hình ứng dụng toán học ở trường phổ thông . 17 4.1. Rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng tóan học vào thực tiễn là một 17 trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của việc giảng dạy tóan ở nhà trường. 4.2. Một số yếu tố của tóan ứng dụng đã được đề cập và xem xét ở mức độ 17 thích với điều kiện Việt Nam. 4.3. Ở phổ thông chương trình, nội dung sách giáo khoa đã có sự quan tâm 18 nhất định tới khía cạnh ứng dụng thực tế của các kiến thức tóan học. 4.4. Phân tích mạch tóan ứng dụng trong Đại số 10. 19 Tài liệu tham khảo 24 4 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Chắc hẳn mọi người đều nghe bàn luận vấn đề: Có hay không Toán học ứng dụng, hay Toán học ứng dụng chỉ là một phần của Toán học lý thuyết?. Tìm hiểu và trả lời câu hỏi đó là một việc làm thú vị với những người làm Tóan, học Tóan. Với thầy cô giáo dạy Tóan thì hiểu biết về Tóan học ứng dụng là một việc có ý nghĩa cả về lý luận và thực tiễn dạy học, bởi vì có như thế mới hy vọng làm phong phú thêm các phương cách truyền thụ Toán học, phần nào đó làm cho Toán học học đỡ khô cứng, và tất nhiên giờ dạy sẽ thú vị lên rất nhiều. Điều nữa, tìm hiểu mạch toán ứng dụng trong trường Toán học phổ thông sẽ góp phần trang bị thêm tri thức Tóan học cho giáo viên, giúp giáo viên có nhiều phương tiện hơn nhằm thúc đẩy đổi mới phương pháp dạy học theo xu thế hiện nay. Thực tiễn cho thấy hiện nay sự quan tâm về Tóan học ứng dụng trong cộng đồng giáo viên dạy học Tóan vẫn còn nhiều hạn chế, dù rằng các sách giáo khoa mới đã cố gắng đưa một số yếu tố của Toán ứng dụng vào nội dung giảng dạy. Từ những lí do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài: MỘT SỐ TÌM HIỂU VỀ TOÁN ỨNG DỤNG Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG VIỆT NAM, nhằm giải quyết phần nào những yêu cầu cần thiết nói trên. Vấn đề này có thể được xem như một tài liệu tham khảo bổ ích cho những ai quan tâm đến Tóan học. 5 §1. NHỮNG ĐẶC ĐIỂM VỀ ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA “TOÁN HỌC ỨNG DỤNG”. 1.1 Phương hướng ứng dụng và lý thuyết trong phát triển toán học: Vị trí hiện nay của toán học ứng dụng sẽ trở nên rõ ràng hơn nếu như theo dõi con đường phát triển của bản thân toán học. Động lực phát triển của toán học có hai nguồn cơ bản tồn tại một cách khách quan. Một là nguồn bên ngoài do việc cần thiết phải dùng các phương tiện toán học để giải những bài toán nằm ngoài phạm vi của toán học, các bài toán của các khoa học khác, kỹ thuật, của kinh tế,vv… ; Chính đây là nguồn đầu tiên về mặt lịch sử. Nguồn thứ hai là nguồn bên trong do việc cần thiết phải hệ thống hoá các sự kiện toán học đã khám phá được, giải thích các mối liên hệ giữ chúng với nhau, hợp nhất chúng lại bằng các quan niệm khái quát thành lý luận phát triển lý luận đó theo các quy luật bên trong của nó; chính nguồn này ở thời điểm của nó đã dẫn tới các chỗ tách toán học thành một khoa học. Trong lời giới thiệu cho một cuốn sách phổ biến nổi tiếng của R.Courant và G.Robbin đã nói: “Rõ ràng là sự vận động đi lên trong lĩnh vực toán học là do xuất hiện những nhu cầu mà ở mức độ nhiều hay ít điều có mang một tính chất thực tiễn. Nhưng một khi đã xuất hiện thì sự vận động ắt phải có một khuôn khổ nội tại của nó và vượt ra ngoài phạm vi của tính hữu ích trực tiếp. Chính vì vậy sự biến đổi hoàn toàn một khoa học ứng dụng thành khoa hoc lý thuyết đã thấy trong lịch sử cổ đại và ở ngày nay cũng không phải ở mức độ kém hơn; người ta đã thừa nhận sự đóng góp của các kỹ sư và các nhà vật lý và toán học hiện đại”. [1,tr15 ] Vì vậy có thể là mạo hiểm nếu xác định quá chi tiết về ranh giới giữa hai nguồn đó. Tuy nhiên những đặc điểm của các nguồn đó và ảnh hưởng của chúng trong đại bộ phận các trường hợp vẫn dễ dàng thấy được. Hai phương hướng phát triển của toán học ứng với hai nguồn đó được gọi là phương hướng ứng dụng và phương hướng lý thuyết thuần tuy. Xin nhấn mạnh là ở đây muốn nói về những ảnh hưởng chiếm ưu thế trong việc xây dựng và phát triển của các phương pháp toán học, của các khái niệm và những khẳng định. Còn đối với bất kỳ bản chất toán học nào đã được xây dựng thì vấn đề nó thuộc phương hướng nào - lý thuyết hay ứng dụng – thường là vô nghĩa. 6 Có lẽ quan điểm phổ biến nhất đối với khái niệm “toán học ứng dụng” trong hàng ngũ các nhà toán học là quan điểm cho rằng nói chung không có toán học ứng dụng. Ngoài ra các nhà toán học ấy có gia nhập vào bản thân môn toán học hay không. Có những người cho rằng chỉ những kết cấu thuần tuý suy diễn mới được gọi là toán học. Tất cả những gì ngoài những kết cấu đó, không có quan hệ với toán học hoặc với những bộ môn toán học thì cũng không được goị là toán học, kể cả gọi là toán học ứng dụng. Hiện nay quan điểm này ít được phát biểu ầm ĩ, song một cách”không chính thức” nó vẫn còn khá phổ biến; Bên cạnh những việc khác, quan điểm này tỏ ra “thuận tiện” cho nhiều người dạy toán với những người không phải là các nhà toán học. [1,tr30] Thực tế quan điểm này đã thu hẹp một cách vô lý và đáng kể gianh giới của khoa học Toán học vĩ đại mà trước hết mang lại cái bất lợi cho chính môn Toán học. A.poincaré cho rằng: “Vật lý học không chỉ cho chúng ta (các nhà toán học) cái lý để giải quyết vấn đề, nó còn giúp chúng ta tìm thấy các phương tiện để giải quyết nữa. Điều này theo hai con đường, một là nó cho ta linh cảm của phép giải, hai là gợi ý cho ta tiến trình của các lập luận”[1,tr.31] Thực chất ở đây đã biểu hiện một quan điểm thứ ba, rộng nhất cho rằng toán học không những chỉ bao hàm các lĩnh vực suy diễn mà còn bao hàm toàn bộ những thực chất toán học - các khách thể toán học, các phương pháp và tư tưởng gặp nhau trong toán học lý thuyết cũng như trong các ứng dụng: tức là kết cấu các mô hình toán học, thực nghiệm toán học, những lập luận quy nạp hay những lập luận hợp lý khác có tính chất toán học, v.v. G.polya nói rằng: “Giới hạn của toán học tiềm ẩn những lập luận chứng minh thuộc bất kỳ khoa học nào đã đạt mức phát triển là những khái niệm thuộc khoa học ấy có thể biểu diễn dưới dạng lôgic toán trừu tượng” Xin dẫn thêm lời của R.Courant: “Thực ra giữa toán học “thuần tuý” và toán học “ứng dụng” không thể vạch ra một ranh giới rõ rệt được vì vậy trong toán học không thể phân ra một lớp người thầy tối cao thiên về cái đẹp hoàn thiện của toán học và chỉ chú ý đến thiên hướng đó của mình, và những người phục vụ cho họ. Sự “phân đẳng cấp” đó, trong trường hợp tốt nhất cũng chỉ là một triệu chứng của những bộ óc hẹp hòi”. [2] 1.2 Các quan điểm về toán học ứng dụng 7 Định nghĩa: Toán học ứng dụng là khoa học về các phương pháp giải tối ưu, mà về thực tiễn là chấp nhận được, những bài toán nảy sinh từ bên ngoài toán học Như vậy toán học ứng dụng là toán học bị gián tiếp bởi thực tiễn, một bộ phận khoa học hợp thành tựa sinh hoá hay nhiệt kỹ thuật. Sự phát triển của bộ môn này được xát định bởi sự mở rộng nhóm những ứng dụng cũng như bởi sự thay đổi nội dung cụ thể của khái niệm tính tối ưu của phép giải bài toán: nói riêng, nội dung này hoàn toàn thay đổi do ảnh hưởng của các phương tiện toán hiện nay. Tất nhiên nếu chúng ta tìm thấy nghiệm tối ưu thì điều đó không có nghĩa là loại bỏ những nghiệm chỉ đáp ứng gần đúng yêu cầu của tính tối ưu. Phần lớn các nghiệm thực tại mà chúng ta dùng thì cũng là những nghiệm mà trong một thời gian nào đó, ở một mức độ nào đó đã thoả mãn yêu cầu đó. Vấn đề này ta có thể nhớ đến một câu cách ngôn nổi tiếng: “Toán học thuần tuý làm cái có thể khi cần còn toán học ứng dụng làm cái cần khi có thể” [1,tr35]. Câu cách ngôn đó truyền đi mội xu hướng nói chung là đúng, dù rằng từ “cần” được dùng ở đây theo những nghĩa khác nhau. Chỉ để ý đến ý nghĩa thứ hai, dưới đây chúng tôi sẽ cố gắng chứng minh rằng toán học ứng dụng làm cái cần khi cần làm. Cũng đáng chú ý đến một qua điểm được L.V Ovsjannikov phát biểu bằng lời: “toán học ứng dụng là khoa học về các mô hình toán học; chi tiết hơn, có thể nói rằng: là khoa học các kết cấu, nghiên cứu, diễn tả và tối ưu hoá các mô hình toán học”. Định nghĩa này nhằm vào đối tượng của khoa học đó và theo chúng tôi thì không mâu thuẫn gì với định nghĩa trên, là định nghĩa nặng về tính chất chức năng hơn. Như vậy nếu muốn so sánh tương tự – nói chung cũng khá xa- giữa toán học và ngôn ngữ thì toán học thuần tuý và toán học ứng dụng có thể sẽ làm người ta lần lượt nhớ đến văn phạm và ngữ nghĩa. Bàn về vấn đề toán học ứng dụng có tạo thành một khoa học độc lập không là việc làm không đơn giản chút nào. Vì do tính nhiều nghĩa của cách nói “khoa học độc lập” thì đúng đắn hơn có thể không nên nói về một khoa học mà là về một khía cạnh của toán học ra đời trong những ứng dụng của nó, và nếu có thể, thì nên nói về kết quả của phép “chiếu” toán học một cách độc đáo lên nền văn minh; điều quan trọng là với phép chiếu đó thì toán học có những nét mới về chất và phép chiếu ấy, những nét ấy cũng sẽ định nghĩa cho toán học ứng dụng.[1,tr35] Do đó các từ toán học ứng dụng coi như một thuật ngữ làm việc được xác định bởi quan điểm cuối cùng nêu ở trên và dành vấn đề về tính độc lập của sự tồn tại toán học 8 ứng dụng với tính cách một khoa học cho các nhà triết học. Để phân biệt với điều đó, khi nói về toán học thuần tuý, chúng ta sẽ quan niệm rằng đó là toán học chính thống từ waiartrass đến Bourbaki dựa trên cơ sở lý thuyết tập hợp ngây thơ. Để kết luận, chúng tôi đưa ra nhận xét của R.Courant nói về sự khác nhau trong phương pháp tiếp cận các vấn đề của toán học thuần tuý và toán học ứng dụng: Cùng một vấn đề toán học có thể giải quyết khác nhau; người theo quan niệm toán học chặt chẽ (và khuynh hướng này đôi khi thấy ở mọi người thiên về tư duy khoa học) thì đòi hỏi một sự hoàn thiện không phân nhượng. Anh ta không cho phép có những lỗ hỏng trong lôgic của tư duy và trong sách giải các bài toán được đặt ra, và kết quả đạt được theo ý anh ta phải là một đỉnh cao của một mắt xích liên tục những lập luận hoàn thiện. Và nếu như đối phương của quan điển này mà gặp những khó khăn dường như không khắc phục nổi thì anh ta sẽ nhanh chóng tìm cách phát biểu lại bài toán, hoặc thậm chí đặt nó khác đi nhưng cũng loại với bài toán cũ, trong đó có thể khắc phục được những khó khăn (“cái có thể khi cần”). Còn có một đường vòng khác nữa: xác định lại xem cái gì được coi là “nghiệm của bài toán” ; trong thực tế, cách làm này đôi khi là một bước sơ bộ được chấp nhận để đi đến nghiệm chân chính của bài toán ban đầu. Trong các công trình nghiên cứu có tính chất ứng dụng thì mọi thứ đều khác. Trước hết không thể dễ dàng làm thay đổi hoặc lảng tránh bài toán đã được đặt ra. Ơ đây đòi hỏi một cái khác là đưa ra một câu trả lời đúng đắn và đáng tin cậy theo quan điểm chung của người ta. Trong trường hợp cần thiết, nhà toán học có thể có nhân nhượng: anh ta đã sẵn sàng đưa những dự đoán vào xích các lập luận cũng như cho phép một sai số nhất định trong những giá trị hằng số. Nhưng ngay cả những bài toán chủ yếu theo phương hướng thực tiễn, ví dụ về bài toán về các dòng có sóng va chạm, cũng có thể đòi hỏi một công trình nghiên cứu toán học cơ bản để xác định xem bài toán đó đặt ra có đúng hay không. Trong các công trình nghiên cứu ứng dụng có thể đòi hỏi cả những phép chứng minh những phép chứng minh định lí toán học thuần tuý về sự tồn tại, bởi vì sự tin tưởng là có nghiệm có thể đảm bảo cho độ tin cậy của mô hình toán học được sử dụng. Và cuối cùng chế ngự trong toán học ứng dụng là các phép xấp xỉ vì thiếu chúng thì không thể chuyển được các quá trình vật lí thực tại, thành các mô hình toán học. 9 Việc quay lại với hiện thực đã được biến đổi thành các mô hình toán học trừu tượng và sự đánh giá những sự tương ứng đã đạt được ở đây đòi hỏi phải có những thói quen trực quan hoàn thiện qua kinh nghiệm. Thường cần phải biến đổi như thế nào đó đối với bài toán lúc đầu tỏ ra rất phức tạp để có thể giải được bằng các phương pháp hiện đại. Điều này phần nào giải thích tính chất rủi ro về trí óc và sự thoả mãn có ở các nhà toán học làm việc với những kĩ sư và các nhà khoa học tự nhiên để giải các bài toán hiện thực có ở khắp nơi, tại đó con người tìm cách nhận thức thiên nhiên và điều khiển nó. §2 – ĐƯỜNG PHÂN NHÁNH CƠ BẢN GIỮA “TOÁN HỌC ỨNG DỤNG” VÀ “TOÁN HỌC THUẦN TUÝ”. H.rosenbrock và C.Storey khi nói về phép giải toán học các bài toán ứng dụng đã viết: “Người kĩ sư hay nhà toán học trước hết cần phải nhớ rằng họ sử dụng toán học để mô tả thế giới thực tại. Nhà toán học thuần tuý không hề làm điều đó và ít tìm hiểu cái nghệ thuật này. Bất kỳ một dãy các dấu toán học nào đó do một nhà toán học ứng dụng ghi lại thực tế đều là dãy những khẳng định vật lý. Nếu một khẳng định viết bằng tiếng anh thì tác giả phải xem lại nghiêm túc xem có đúng hay không. Tất nhiên anh ta cũng phải làm như vậy để kiểm tra tính đúng đắn của khẳng định đã được viết ra bằng kí hiệu toán học. [1,tr78 ]. Cái chính trong trường hợp này (và đó cũng là nguồn gốc của những khó khăn lớn) là ở chỗ một nhà toán học lý thuyết thì bắt đầu bằng việc phát biểu một bài toán mà về sau anh ta không còn chút ngờ vực nào cả. Mục đích duy nhất của nhà toán học lý thuyết trong suốt những bước làm việc kế tiếp là xây dựng cơ sở cho những lập luận của mình. Không có một bài toán quan trọng nào trong kĩ thuật có thể đặt vấn đề kiểu như vậy. Bất kỳ một phát biểu nào về bài toán kỹ huật cũng đều là quy ước và nếu như có một hậu quả nào đó của việc phát biểu bài toán đó tỏ ra không đúng hay không chấp nhận được thì nó cần phải được phát biểu lại. Nếu như bất kỳ một bước trung gian nào trong lập luận toán học lại phản ánh một lập trường không đúng về mặt vật lý thì kết quả nhận được trên cơ sở những lập luận chặt chẽ của quan điểm logic dẫu sao cũng sẽ là sai. Do đó nhà toán học ứng dụng phải tính đến cả mặt toán học lẫn mặt vật lí của bài toán và liên hệ chúng với nhau. D.Chorafas ch rằng: “Trên một bình diện rộng nhất, toán học có thể chia thành hai lĩnh vực. Ơ một trong những lĩnh vực đó, các nhà khoa học quan tâm tới những dấu 10 tượng trưng, những kết hợp các dấu đó và thuộc tính của chúng ở dạng hình thức hoá. Còn ở lĩnh vực kia những nhà toán học lại quan tâm tới ý nghĩa của các dấu tượng trưng, tức là nội dung ý nghĩa của lý thuyết trong mối quan hệ với thế giới hiện thực”. Đó cũng là một định nghĩa giản lược về toán học thuần tuý và toán học ứng dụng.. Chúng tôi muốn nói thêm là ở đây không có ý nói về lĩnh vực ứng dụng bởi vì toán học ứng dụng nghiên cứu những phương pháp nhằm đưa những luận cứ không hình thức vào việc giải những bài toán hình thức hóa, còn lĩnh vực cụ thể những ứng dụng thì lại xác dịnh các lớp những bài toán, đó là những luận cứ ấy. Điều đáng chú ý ở đây là phân tích so sánh các lĩnh vực ứng dụng khác nhau của toán học (cơ học, vật lý, hoá học, kỹ thuật, sinh vật học, kinh tế,.v.v..). điều nổi bật ở đây là nét đặc thù của các lĩnh vực đó cũng như nét tổng quát đặc trưng cho việc sử dụng toán học vào các lĩnh vực ấy. [1,tr78 ] Đường phân nhánh cơ bản giữa toán học lý thuyết và toán học ứng dụng nằm ở tính chất của lôgic được dùng đến. Mặc dù lôgic của toán học ứng dụng không chính tắcnhư lôgic của toán học thuần tuý song nó cũng có một số các nét đã được hình thành tự phát như những biện pháp chứng minh, tiêu chuẩn độ chính xác,v.v... ở đây, những biện pháp và tiêu chuẩn như vậy đã quen thuộc trong toán lý thuyết song ở những ứng dụng thì chúng phần nào tỏ ra là thừa hoặc đã bị khước từ một cách giản đơn. Toán học ứng dụng cũng như tất cả các bộ môn khoa học khác trừ toán học thuần tuý, không thể tự hạn chế ở những lập luận suy diễn. Một phong cách lập luận đả tự phát được hình thành là phong cách tạo ra cơ sở lôgic của toán học ứng dụng và đã kết hợp những lập luận suy diễn với những lập luận không chấp nhận được theo quan điểm toán học thuần tuý, nhưng nếu áp dụng chúng một cách hợp lý thì có khả năng dẫn đến những kết quả đúng đắn. Những lập luận loại này được gọi là những lập luận hợp lý (Giống như đúng yên có thể coi được là dạng đặc biệt của vận động, trong nhiều trường hợp người ta coi là những lập luận suy diễn là trường hợp đặc biệt, giới hạn của những lập luận hợp lý). Tóm lại: Sự khác biệt cơ bản nhất về phương pháp giữa toán học ứng dụng và toán học lý thuyết là ở chỗ trong toán học ứng dụng có sự kết hợp của những suy luận diễn dịch và những suy luận hợp lý, trong khi lôgic các toán học lý thuyết là lôgic chỉcác suy luận diễn dịch. §3 – TỔNG QUAN HỆ VỀ HƯỚNG ỨNG DỤNG TOÁN HỌC Ở NƯỚC TA VÀ TRÊN THẾ GIỚI 11 -Trước hết cần phải nhấn mạnh vai trò, ý nghĩa to lớn của toán học trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, đời sống xã hội hiện đại, xu hướng đó, theo [1], sẽ chiếm ưu thế trong thập niên gần đây. -Toán học được quan niệm như là khoa học của các mô hình, khuynh hướng mô hình hoá đã mang lại hiệu quả mới, thể hiện khuynh hướng ứng dụng của toán học. Theo [2], toán học xâm nhập vào mọi lĩnh vực của đời sống xã hội bằng chính cách xây dựng nó (phương pháp tiên đề cùng với các quy tắc lôgic hình thức) và những phương pháp của chính nó. Để có thể ứng dụng toán học vào thục tiễn, nói chung đều phải theo quy trình sau: Tình huống thực tiễn mô hình hoá toán họcsử dụng các phương pháp toán học để giải quyếtđiều chỉnh các kết quả cho phù hợp với tình huống ban đầu. Hay theo [8 ], có sơ đồ sau: Lĩnh vực ngoài toán Tình huống thực tiễn Trả lời cho những vấn đề ngoài toán Mô hình giả cụ thể Bài toán thực tiễn Trả lời cho những vấn đề của đề bài Mô hình toán học. Sử dụng các phương pháp toán học để giải quyết) Trả lời cho những vấn đề của toán học Thứ tự trong cách khai thác các bài toán thực tiễn: 1. Lĩnh vực ngoài toán (LVNT): Hệ thống hay những tình huống ngoài toán. Những câu hỏi liên quan đến hệ thống này. 2. Mô hình giả cụ thể (MHGCT): Là một mô hình trung gian giữa tình huống thực tiễn thật và mô hình toán phải xây dựng. Nó có thể gần với tình huống thật hoặc gần với mô hình toán. 3. Mô hình toán học (MHTH): Chuyển từ MHGCT sang MHTH, giai đoạn này làm việc thuần tuý trong TH, trả lời cho những vấn đề của TH. 4. Lấy kết qủa trả lời cho MHGCT hay LVNT. 5. Sử dụng vào DHT: Là “vật liệu” cho dạy học nêu vấn đề, làm các BT mở đầu, gợi động cơ… Rèn luyện kỹ năng, kiến thức về hàm,… Dùng để kiểm tra, đánh giá. DẠY HỌC TOÁN Trong nghiên cứu ứng dụng có dùng đến toán học thì sau bước xây dựng mô hình toán học là giai đoạn chọn phương pháp nghiên cứu và tiến hành việc nghiên cứu mô hình đó. Thường kết thúc giai đoạn đầu bàng việc đi lại được những hệ thức và phương trình khởi thuỷ của bài toán còn ở các bước tiếp sau là giải bài toán học đã 12 nhận được, và việc này có thể bao gồm cả những kết quả định lượng lẫn những kết luận định tính. Thời đại các giáo trình toán học “trừu tượng” được dùng như nhau cho các nhà toán học ứng dụng các nhà toán học thuần tuý và các thầy giáo của trường trung học đã vĩnh viễn qua rồi. Ngày nay,một giáo trình toán học dùng cho kĩ sư không thể không tính đến sự phát triển mạnh mẽ hiện nay của một hệ thống các quan niệm, khái niệm và phương pháp dùng làm cơ sở cho những ứng dụng toán học.Như vậy nó phải là một giáo trình của toán học ứng dụng. Tât nhiên đó không phải là một giáo trình thực dụng và công thức mà là một giáo trình bao hàm những quan niệm lý thuyết cơ bản cần thiết được luận giải theo lập trường của toán học ứng dụng. Như vậy mục tiêu chính của việc giảng dạy toán học trong các trường kĩ thuật là: -Truyền thụ cho sinh viên (SV) những dẫn liệu lý thuyết cần để nghiên các bộ môn khoa học và kỹ thuât chung và chuyên môn và để nghiên cứu ứng dụng toán học về sau,và giảng dạy cho họ một bộ máy toán học tương ứng. -Xây dựng cho SV một nền văn hoá toán học ứng dụng, một tầmm hiểu biết và có thói quen trực giác cần thiết trong những vấn đề của ứng dụng toán học. -Phát triển tư duy lôgíc và thuật toán. -Làm cho sinh viên quen với vai trò của toán học trong đời sống ngày nay và đặc biệt trong đời sống hiện đại, làm quen với những nét tiêu biểu của phương pháp nghiên cứu toán học đối với những bài toán hiện thực. -Hình thành những thói quen ban đầu trong nghiên cứu toán học đối với những vấn đề ứng dụng: thói quen chuyển một bài toán hiện thực sang ngôn ngữ toán học thích hợp, thói quen chọn phương pháp tối ưu để nghiên cứu bài toán đó, biểu thị kết quả của nghiên cứu và đánh giá độ chính xác của nó. -Hình thành thói quen giải bài toán đến một kết quả chấp nhận được về thực tiễn-con số, đồ thị, kết luận định tính chính xác,.v.v. Qua việc áp dụng những phương tiện tính toán thích hợp cũng như các bảng và tài liệu tra cứu. -Tạo cho SV cách phân tích độc lập theo tư duy toán học có trong sách thuộc ngành chuyên môn của mình. -Huấn luyện trực giác toán học cho SV: Những nét cơ bản của một người kỹ sư có được đào tạo về mặt toán học bao gồm về mặt trực giác toán học đúng đắn, thói quen 13 đưa những bài toán học thực tế đến những kết quả chấp nhận được và biết cách phân tích bộ máy toán học gặp trong sách báo thuộc ngành chuyên môn của mình. Trực quan toán học đúng đắn của một kỷ sư phải giúp cho anh ta chuyển được một bài toán kỹ thuật sang ngôn ngữ toán thích hợp, hiểu phải chọn những công cu và phương pháp toán học nào (tối ưu nhất) để nghiên cứu và giải bài toán học đã nhận được, có thể hy vọng gì ở bài toán đó, hiểu những khó khăn gì có thể xảy ra,.v.v…Tất cả những hành động đó thường diễn ra ở mức các lập luận hợp lý; Nói riêng chỉ cần chú ý đến những khó khăn thực sự đã xuất hiện chứ không phải những khó khăn chỉ mới ước đoán về mặt hình thức nếu đặc biệt đặt ra mục đích ấy. Như vậy trực quan đúng đắn đòi hỏi phải biết cách xem xét nội dung chung “thô” của các quan niệm toán học, các khái niệm,phương pháp và khẳng định toán học,đòi hỏi hiểu các mối liên hệ giữa các khái niệm, hiểu vai trò của các trường hợp điển hình và các trường hợp đặc biệt,v.v.. Chính những khái niệm này, nếu tính đến quy luật gây ấn tượng về mặt tâm lý thì cần phải được đưa ra thế nào để ngay từ đầu (hoặc nếu không làm được như vậy thì cần phải càng sớm càng tốt ) đã thấy rõ được nội dung đại thể và ý nghĩa ứng dụng của chúng. Tính tổng quát của cách phát biểu, mức độ rộng rãi của các mệnh đề trong một giáo trình toán học dùng cho người ứng dụng không phải một mục đích tự thân,chúng cũng không phụ thuộc vào nhiệm vụ huấn luyện trực quan đúng đắn và vì vậy phải đáp ứng tính tất yếu hiện thực. Tất nhiên việc huấn luyện trực quan đúng đắn không được mâu thuẫn với việc tìm hiểu các cơ sở của toán học và với sự phát triển của tư duy lôgic. Song điều cuối cùng này không có nghĩa là nhấn mạnh đến sự chú ý về lý thuyết giới hạn và các vấn đề tương tự khác nhưng đôi khi vẫn thấy. Cũng có thể phát triển tư duy lôgic trên cơ sở những tài liệu có giá trị to lớn về mặt ứng dụng. Các phương pháp lập luận, huấn luyện thói quen suy nghĩ và biết lập luận một cách đúng đắn (và không phải chỉ khi giải các bài toán có tính chất toán học) là một trong những mục tiêu quan trọng nhất của giáo trình toán học. Đặc điểm của toán học ứng dụng là trong đó, những lập luận hợp lý không phải có giá trị kém hơn so với những lập luận suy diễn. Lập luận sau bao hàm lập luận trước, coi như một trường hợp riêng và vì vậy chung được hình thành ở mức cao hơn về một ý nghĩa nào đó,nhưng đồng thời cũng khó có thể đạt tới được.Vì vậy những phương pháp của những lập luận hợp 14 ly phải đưa vào dần dần, có chiến thuật rõ ràng và xuất phát từ những cơ sở suy diễn bền vững đôi khi còn hình thức nữa. Khi không thể áp dụng những định lý “chính xác” hoặc nếu áp dụng, chúng tỏ ra không có lợi thì phải dựa trên những ví dụ mà giải thích sự hội tụ thực tại, độ chắc chắn thực tiễn và phải kiễm tra cả các phép tính khác trong những điều kiện điển hình. Cần phải nhấn mạnh rằng mục đích cuối cùngcủa nghiên cứu toán học ứng dụng không phải là xây dựng một sơ đồ lôgic trừu tượng mà la một phép giải hữu hiệu đối với vấn đề nằm ngoài khuôn khổ của toán học. Vì vậy không có trường hợp nào là đáng hổ thẹn với những lập luận hợp lý và cho rắng chúng không có giá trị đầy đủ bởi vì mọi phương pháp xấp xỉ thực sự tới chân lý đều là những phương pháp thuộc loại thứ nhất. Tuỳ theo những nấc thang ngày càng cao của sự trừu tượng hoá các mô hình toán học được xây dựng sẽ đặc trưng cho các tình huống ngày càng được mở rộng. -Trước hết, theo [1,tr28] cần nhấn mạnh vai trò ngày càng to lớn của bộ môn xác suất thống kê. Thực tế cho thấy rằng ngay những kỹ sư áp dụng toán học ở mức tối thiểu cũng cần phải có những dẫn liệu về xử lý tài liệu quan sát về các đặc trưng của các thống kê,về các khoảng tin cậy,… -Một nhóm các vấn đề khác thể hiện phổ biến rộng rãi trong toán học ứng dụng là nhóm các vấn đề liên quan tới tư tưởng tối ưu hoá. Hiện nay trong nhiều bài toán ứng dụng, các vấn đề tìm cực trị đã được nêu lên ở hàng đầu. Ở đây có liên hệ đến quy hoạch tuyến tính, phi tuyến, quy hoạch động, điều khiển tối ưu, kế hoạch và quản lý mạch… -Đối với hàng loạt các ngành chuyên môn thì các vấn đề của toán học hữu hạn (ví dụ giải tích tổ hợp, lý thuyết đồ thị,…),đại số Bool,…đã bắt đầu giữ một vai trò quan trọng. -Giai đoạn phát triển mới của quá trình sản xuất, đòi hỏi phải gia tăng mức độ tự động hoá, kéo theo sự tăng cường ứng dụng máy tính cũng như những phương pháp tính toán trong hầu hết lĩnh vực của khoa học, công nghệ sản xuất, quản lí, kinh tế,… Tóm lại: Vai trò ý nghĩa hiệu quả to lớn của toán học ứng dụng trong mọi lĩnh vực khoa học, công nghệ,…, đời sống xã hội được khẳng định và sẽ trở thành một xu hướng chiếm ưu thế trong giai đoạn hiện nai cũng như trong những thập niên sắp tới. 15 Các lĩnh vực của toán học ứng dụng,đặc biệt là những ngành liên quan đến ba hướng chính: hữu hạn, ngẫu nhiên, cực trị và tối ưu là những nét phát triển nhất của toán học hiện đại.[5] §4 MỘT SỐ NHẬN XÉT VỀ TÌNH HÌNH ƯNG DỤNG TOÁN HỌC Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 4.1 Rèn luyện cho học sinh (HS) khả năng vận dụng toán học vào thực tiễn là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của việc giảng dạy toán ở nhà trường. -Trong [3], tác giả khẳng định: Học toán trong nhà trường phổ thông không phải chỉ là tiếp nhận hàng loạt các công thức,định lý, phương pháp thuần túy mang tính lý thuyết, cũng không chỉ tiếp nhận cách thức xây dựng toán học với tư duy lôgic và ngôn ngữ toán học, cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học toán phải đạt tới là phải hiểu được nguồn gốc thực của toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen ứng dụng toán học vào cuộc sống. Đây chính là thành phần quan trọng của văn hoá toán học trong một con người. Kiến thức, kỹ năng và thói quen ứng dụng toán học giúp con người phát triển năng lực thích ứng với những tình huống và nhiều khi mang lại niềm vui sáng tạo. -Tăng cường rèn luyện cho HS khả năng và thói quen ứng dụng toán học còn là một biện pháp quan trọng nhằm góp phần giúp HS vững những kiến thức cơ bản,hình thành ở họ những phẩm chất trí tuệ và thế giới quan khoa học - Tăng cường rèn luyện cho HS khả năng và thói quen ứng dụng toán học vào thực tiễn cuộc sống là góp phần phản ánh tinh thần và xu thế phát triển của toán học hiện đại, mà một trong những hướng chính của nó là toán ứng dụng -Vì vậy tăng cường và làm đậm nét hơn nữa mạch toán ứng dụng và ứng dụng toán học là một trong những quan điểm chỉ đạo về việc đổi mới nội dung,phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông trong cải cách giáo dục. 4..2 Một số yêu tố của toán học ứng dụng đã được đề cập và xem xét ở mức độ thích hợp với điều kiện ở Việt Nam -Trong chương trình toán ở phổ thông đã bắt đầu chú ý đến: - Một số yêu tố của thống kê mô tả,một số yếu tố của lý thuyết xác suất: 16 +Mẫu, biến lượng, kính thước, giá trị của biến lượng, tần số, tần suất, công thức tổng hợp, ghi chép và biểu diễn số liệu, các số đặc trưng tiêu biểu: trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn,… +Một số yếu tố của giải tích tổ hợp. +Các khái niệm mở dầu như thí nghiệm, hiện tượng ngẩu nhiên và các phép toán trên tập các biến cố, xác suất của các biến cố định, luật cộng, nhân các xác suất, sự phụ thuộc và độc lập của các biến cố, dãycác phép thử độc lập và phân phối nhi thức,… + Một số kiến thức về tương quan,về hồi quy. -Trong bối cảnh sự phát triển của máy tính điện tử và công nghệ thông tin, chương trình đã chú ý tới một số yếu tố về thuật toán, máy tímh, kỹ thuật tính toán. - Các bài toán cực trị không được đưa vào một cách tường minh và hệ thống mà được đưa vào một cách tường minh và hệ thống, mà đựơc xem như những ứng dụng của các phần bất đẳng thức, đạo hàm. - Ở lớp 10, một số bài toán cực trị được đưa vào như là những ứng dụng của bất đẳng thức, trong đó đã chú ý tới các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài tóan về lập phương trình. - Ơ lớp 12, một số bài toán cực trị được đưa vào xem như là những ứng dụng của đạo hàm.Tuy vậy, có rất ít các bài toán cực trị có nội dung liên môn hay thực tế. 4.3. Ở phổ thông: chương trình, nội dung sách giáo khoa đã có sự quan tâm nhất định tới khía cạnh ứng dụng thực tế của các kiến thức tóan học. - Việc giảng dạy ở trường phổ thông vì những nguyên nhân khác nhau, toán ứng dụng và những ứng dụng toán học cũng chưa được quan tâm đúng mức và thường xuyên. - Theo[ 3], do nhiều nguyên nhân khác nhau,việc dạy –học toán học hiện nay đang rơi vào tình trạng coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học vào cuộc sống. - Một trong những nguyên nhân cơ bản dẫn tới tình trạng đó là do học sinh ít được luyện tập ứng dụng. - Để khắc phục tình trạng trên,cần phải có giải pháp đồng bộ từ trương trình, sách giáo khoa, thực hiện dạy –học, đánh giá (thi,kiểm tra). - Trong điều kiện chương trình và sách giáo khoa hiện hành, cần phải đưa vào giảng dạy cho học sinh những bài tập có nội dung liên môn và thực tế (như là những tình huống ứng dụng) bên cạnh đó việc thường xuyên liên hệ các kiến thức toán học với nguồn gốc thực tiễn của chúng ở những thời điểm thích hợp trong quá trình giảng dạy. 17 4.4. Phân tích mạch tóan ứng dụng trong Đại số 10: Qua thực tiễn dạy học hiện nay cho thấy sự vận dụng những tri thức toán học vào cuộc sống của HS còn rất thấp. HS có thể giải các bài toán mang nội dung thuần túy toán học, nhưng rất lúng túng khi cần những kiến thức đó để giải các bài toán mang nội dung thực tiễn, hay vận dụng vào các môn học khác. Chẳng hạn, với kiến thức phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc hai được học trong Đại số 10, HS có thể giải khá thành thạo các phương trình và bất phương trình đã học, tuy nhiên khi giải bài toán bằng cách lập phương trình mang nội dung thực tiễn thì HS rất lúng túng. Do nhiều nguyên nhân mà hiện nay việc dạy học toán còn coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học vào cuộc sống. Chẳng hạn, trong sách giáo khoa và sách bài tập Đại số 10 [6], số lượng bài tập mang nội dung thực tiễn là qúa ít, chỉ có 05 bài. Hay trong các bài kiểm tra, kì thi tốt nghiệp các cấp, thi vào Đại học thì hầu như vắng bóng loại toán này, và dĩ nhiên điều này là một trong những nguyên nhân kéo theo cách dạy của giáo viên sẽ sa vào: “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái ăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh xa rời thực tế, mệt mỏi chán nản”[7] . Như vậy, vấn đề được đặt ra ở đây là làm thế nào để khắc phục được những hạn chế trên, có thể có nhiều biện pháp được đặt ra, tuy nhiên nếu chúng ta tăng cuờng khai thác ứng dụng của một số chủ đề toán học trong Đại số 10 vào giải một số bài toán mang nội dung thực tiễn, thì sẽ khắc phục được một phần các hạn chế trên. Theo [6], thì có thể nêu ra một số chủ đề như sau :Tập hợp -mệnh đề; Hàm số; Phương trình và bất phương trình bậc nhất; Phương trình và bất phương trình bậc hai; Sai số. Ở đây xin khai thác thêm một vài ứng dụng của phương trình ax + by = c (1),phương trình bậc hai trong chương trình Đại số 10 vào thực tiễn. Trong [6, trang 59,60,61], sau khi nêu định nghĩa phương trình (1), sách giáo khoa đi vào phương pháp giải phương trình này, rồi biểu diễn hình học của tập hợp nghiệm của (1), phần bài tập thì chỉ khai thác chúng vào giải biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số, vắng bóng loại toán ứng dụng của nó vào thực tiễn. Như vậy khi giảng dạy tất yếu sẽ gặp không ít những thắc mắc của HS, chẳng hạn: tại sao ta phải học dạng phương trình này?, có trường hợp nào thì các nghiệm của chúng là hữu hạn? Liệu trong thực tiễn có gặp dạng toán này không?….. Thật ra có nhiều bài toán với nội dung thực tiễn nhiều khi dẫn đến phương trình dạng trên, trong đó các ẩn về ý nghĩa chỉ có thể nhận những giá trị nghiệm nguyên. Những 18 phương trình được gọi là phương trình nghiệm nguyên và đã được xem xét từ thời cổ xa xưa. Đặc biệt quan tâm nhiều đến chúng là nhà toán học Điôphăng, mà (1) là một dạng đơn giản cuả phương trình nghiệm nguyên Điôphăng tuyến tính. Vì thế có thể lợi dụng dạng toán này để tạo động cơ (động cơ mở đầu), vừa nghiên cứu và ứng dụng (1) trong dạy học. Chẳng hạn trước khi đi vào định nghĩa (1), có thể nêu bài toán: Bài 1( BT cổ): Một trăm con trâu, một trăm bó cỏ. Trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, ba con trâu già ăn chung một bó. Bằng cách hướng dẫn giải BT đi đến tìm nghiệm nguyên của phương trình 7x + 4y = 100, trong đó số trâu đứng là x con, trâu nằm là y con. Đây là một BT có nội dung thực tiễn, giúp chúng ta gợi động cơ cho HS học nội dung này. Bài 2: (BT đoán ngày sinh): “ Nếu bạn muốn đoán biết ngày sinh tháng đẻ của một người, bạn hãy đề nghị người đó nhân ngày sinh với 12, tháng đẻ với 31rồi cho bạn biết tổng của hai tích đó. Bạn có thể tính ra ngày sinh tháng đẻ của người ấy. (VD lấy tổng đó là 160)”. Gọi x là ngày sinh (0< x  31), y là tháng đẻ (0< y  12), ta đi tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 12x + 31y = a ( a = tổng của hai tích trên). Trong trường hợp a = 160, ta có kết qủa x = 3; y = 4; như vậy người đó sinh vào ngày 3 tháng 4. Chắc chắn khi giải quyết những dạng toán này, HS sẽ thấy toán học gần gũi hơn, đó là cách mà ta có thể tạo hứng thú cho HS học tập. Bài 3( BT pha trộn): Với tỉ lệ bao nhiêu phải pha hai dung dịch(dd) axít nồng độ 50% và 70% để được một dd axít 65%. Giả sử ta pha xg dd 50% và yg dd 70% axít. Ta được dd mới (x+y)g trong đó từ dd thứ nhất ta có 50 70 xg và từ dd thứ 2 có yg 100 100 axít nguyên chất. Lúc đó nồng độ axít của dd mới sẽ là : 50 x  70 y . Lúc đó ta có : 100( x  y ) 50x +70y = 65x + 65y, hay y = 3x, như vậy x : y = 1 : 3. Bài 4 (BT tối ưu): Với ý thức tiết kiệm vật liệu, anh hay chị hãy tính xem cần chừng bao nhiêu thanh sắt mỗi thanh dài 7,4m để cắt thành 1000 đoạn dài 0,7m, và 2000 đoạn mỗi đoạn 0,5m. Anh hay chị có chứng tỏ được rằng cách tính của anh chị là tiết kiệm nhất không?Ta thấy muốn tiết kiệm vật liệu thì cần phải cắt mỗi thanh 7,4m thành a đoạn 0,7m và b đoạn 0,5m mà không dư. Tức là phải tìm nghiệm nguyên của phương trình 0,7a + 0,5b = 7,4  7a +5b = 74 (với a, b nguyên không âm). Ta tìm được hai phương án cắt một thanh 7,4m lợi nhất: 19 1. Cắt thành 2 đoạn 0,7m và 12 đoạn 0,5m. 2. Cắt thành 7 đoạn 0,7m và 5 đoạn 0,5m. Gọi x thanh (7,4m) được cắt theo kiểu thứ nhất, y thanh cắt theo kiểu thứ hai; ta có hệ : 2 x  7 y  1000 (*); hệ * không có nghiệm nguyên, nên ta lấy phần nguyên các nghiệm  12 x  5 y  2000  x  121 . Vậy ta cắt được 2x + 7y = 998 đoạn 0,7m và 12x + 5y  y  108 của hệ *, giải ra ta được:  = 1992 đoạn 0,5m. Nên ta cần cắt thêm 2 đoạn 0,7m và 8 đoạn 0,5m từ 1 thanh 7,4m theo kiểu cắt thứ nhất. Vậy ta đã dùng 121 + 108 +1 = 130 thanh 7,4m. Do tổng số độ dài của sắt cần dùng là 0,7.1000 + 0,5.2000 = 1700m, vậy số phải dùng ít nhất (1700 : 7,4) + 1 = 230, nên cách cắt trên là tối ưu nhất. Bài 5 ( BT lập kế hoạch sản xuất): Có một xí nghiệp sản xuất ra 2 loại sản phẩm A và B. Những sản phẩm này được chế tạo từ 3 nguyên liệu I, II, III. Dự trữ từng loại nguyên liệu và số lượng từng loại nguyên liệu dùng để sản xuất ra một sản phẩm được ghi trong bảng sau. Biết một sản phẩm A lãi 5 đồng. 1 sản phẩm B lãi 7 đồng. Nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để lãi nhiều nhất[1]. Loại nguyên liệu Dự trữ Số lượng đơn vị nguyên liệu chi phí cho một đơn vị sản phẩm A B I 8 2 1 II 14 3 2 III 25 4 6 Gọi x, y là số sản phẩm loại A và B được sản xuất. Ta cần tìm x, y để Max( z = 5x + 7y), 2 x  y  8 3 x  2 y  14  với x, y thoả:  ; có thể dùng suy luận, hay dùng đồ thị để đi đến kết qủa 4 x  6 y  25  x, y  0, Z Max(z) = 29 khi x = 3; y = 2. Có thể tham khảo thêm nhiều BT khác, chẳng hạn: Bài 6: (BT toán an toàn giao thông): Một người lái đoàn tàu chở khách đang chạy với vận tốc 108km/h, cách xa mình 180m có một đoàn tàu chở hàng đang chạy cùng chiều, trên cùng một đường ray, với vận tốc 32,4km/h. Ngay lập tức người đó hãm phanh, nhờ thế đoàn tàu khách bắt đầu chuyển động chậm dần đều với gia tốc a. Muốn cho hai đoàn 20