Tài liệu Skkn phương pháp chọn hệ trục tọa độ để giải bài toán hình học không gian.

Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam PHƯƠNG PHÁP CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh chủ động phân tích từng vấn đề và xác định các bước đi thích hợp. Từ thực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn học sinh lớp 12 phương pháp chọn hệ trục toạ độ để giải một số bài toán hình học không gian, giúp các em cảm thấy thoải mái tiếp thu và chủ động giải quyết các bài toán hình học không gian. Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn được cùng chia sẻ cùng đồng nghiệp, đồng môn ; cùng chung sức để tìm ra biện pháp nâng cao chất lượng dạy và học môn toán . II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 1. Thuận lợi Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chương trình lớp 11, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng, tính góc và tính khoảng cách. Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu. Mặt khác một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ trong không gian mà nội dung chương trình hình học lớp 12 đã nêu, một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian. 2. Khó khăn Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động phân tích đề bài, dựng hình và định hướng cách giải quyết bài toán mà các em chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, thiếu chính xác, đôi lúc không phân biệt được đâu là giả thiết, đâu là phần cần chứng minh. Do đó kết quả đạt được không như mong đợi. Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12. Do chưa tìm ra được phương pháp thích hợp để giải toán nên sẽ nẩy sinh nhiều vướng mắc, từ đó các em ngán ngại, thiếu hứng thú trong học tập. Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới, đòi hỏi sự nỗ lực và quyết tâm cao của cả thầy và trò. 3. Số liệu thống kê. Qua thống kê sơ bộ điểm môn toán của 2 lớp; 12A7 ; 12A9 năm học 2010 - 2011, lớp 12A3 ; 12A11 , năm học 2011 - 2012, cụ thể là kết qủa 2 bài kiểm tra như sau : + Bài kiểm tra một tiết (2010 - 2011 ), trong 87 bài kiểm tra có :  4 bài diểm 8 tỷ lệ 4,6 %  12 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 13,8 %  22 bài điểm 5 tỷ lệ 25,3 %  49 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 56,3 % + Bài kiểm tra một tiết (2011 - 2012 ), trong 86 bài kiểm tra có :  5 bài diểm 8 tỷ lệ 5,8 % 1 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian  14 bài điểm 6, 7  26 bài điểm 5  41 bài điểm dưới 5 Nguyễn Thanh Lam tỷ lệ 16,3 % tỷ lệ 30,2 % tỷ lệ 47,7 % Trong các lớp tôi được nhà trường phân công giảng dạy có đến 60 % học sinh có kết quả môn toán cuối năm học 2008 - 2009 xếp loại trung bình - yếu. Qua tìm hiểu, tôi cảm nhận được rằng trong số những em có học lực yếu, cũng có những em có kỹ năng tính toán tương đối tốt nhưng khả năng vận dụng kiến thức đã học vào giải toán còn rất hạn chế . III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản cuốn “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ độ. Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tương hoá toán học trong nhiều lĩnh vực. Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :     Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán Bước 2 : Xây dựng thuật giải Bước 3 : Thực hiện thuật giải Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt là dạy hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải toán, nghĩa là biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về toạ độ điểm, toạ độ vectơ và các công thức có liên quan vào giải toán. Để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ ta thực hiện theo các bước sau :  Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, chú ý đến vị trí của gốc toạ độ O, chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích  Bước 2 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên.  Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính chất hình học tương ứng. Do vậy, để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ trước hết cần chọn hệ trục toạ độ phù hợp. Việc làm này không đơn giản đối với học sinh; đòi hỏi học sinh phải có khả năng kết hợp giữa khái quát hoá và cụ thể hoá các nội dung liên quan đến bài toán. Các dạng toán thường gặp :  Tính độ dài đoạn thẳng  Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng  Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng, hai mặt phẳng.  Tính góc giữa hai đường thẳng  Tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng  Tính góc giữa hai mặt phẳng 2 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam  Tính thể tích khối đa diện  Tính diện tích thiết diện  Các bài toán về quan hệ song song, vuông góc. 2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài. Trong chương III - §1 sách giáo khoa (SGK) hình học 12 nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), NXBGD 2008, đã nêu định nghĩa và một số tính chất sau : z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho : M v  x.i  y. j  z.k  v  ( x; y; z ) OM  x.i  y. j  z.k  M ( x; y; z ) k Với : a  (a1; a2 , a3 ) và b  (b1; b2 ; b3 ) , ta có : i a.b  a . b . cos(a, b) M1 a.b  a1b1  a2b2  a3b3 r a  a12  a22  a32   y j x   O a  b  a.b  0  a1b1  a2b2  a3b3  0 Tích có hướng của hai vectơ  [ a, b ]  (a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 ) a. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian Tọa độ của các vectơ đơn vị : r i   1;0;0  r j   0;1;0  r k   0;0;1 Ta có : Ox, Oy, Oz vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :  Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD. A' B' C ' D' 3 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam Với hình lập phương ABCD. A' B' C ' D' z Chọn hệ trục tọa độ sao cho : A(0;0;0) ; B( a;0;0) ; C (a; a;0) ; D(0;a;0) D’ A’ B’ A '(0;0; a) ; B '(a;0; a ) ; C '(a; a; a) ; D'(0;a;a) C’ Với hình hộp chữ nhật ABCD. A' B' C ' D' D A Chọn hệ trục tọa độ sao cho : A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C (a; b; 0) ; D(0;b;0) x y C B A '(0;0; c) ; B '(a;0; c) ; C '(a; b; c) ; D'(0;b;c)   Với hình hộp có đáy là hình thoi ABCD. A' B' C ' D' z Chọn hệ trục tọa độ sao cho : A’ - Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD D’ O’ B’ A - Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy y C D O B C x Bài tập áp dụng : Bài toán 1. Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau : Cho hình lập phương ABCD. A' B' C ' D' có cạnh bằng a. a.Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng ( AB' D' ) b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A' C và mặt phẳng ( AB' D' ) là trọng tâm G của tam giác AB' D' . c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( AB' D' ) và (C ' BD) d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( DA' C ) và ( ABB' A' ) ( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : x z – B’ B A A’ G CC’ D’ y 4 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam Chọn hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz như sau : O  A(0;0;0) ; A' (0;0; a ) ; B (a;0;0) ; B ' (a;0; a) ; C (a; a;0) ; C ' (a; a; a) ; D(0; a;0) ; D' (0; a; a ) a. Chứng minh : A' C  ( AB' D' )  A' C  (a; a;a )    AB'  (a;0; a)   AD'  (0; a; a) Ta có :   A' C  AB '  A' C  ( AB ' D' )  A ' C  AD '  Nếu  A' C. AB '  a 2  0  a 2  0    A' C. AD '  0  a 2  a 2  0 Vì  A' C  AB'   A' C  AD' Nên A' C  mp( AB' D' ) Gọi G  A' C  ( AB' D' )  b. Chứng minh : G là trọng tâm của tam giác AB’D’ Phương trình tham số của đường thẳng x  t  A' C :  y  t (t  R ) z  a  t  Phương trình tổng quát của mặt phẳng ( AB' D' ) :x yz 0 Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( AB' D' )   n1  AB', AD'  (a 2 ;a 2 ; a 2 ) Toạ độ giao điểm G của đường thẳng A' C và  mặt phẳng ( AB' D' ) là nghiệm của hệ : a  x   x  t 3  y  t a    y   3 z  a  t  2a  x  y  z  0  z  3   a a 2a  G ; ;   3 3 3  (1) x A  x B '  xD ' a    xG  3 3  y  y  y a  A B' D'   yG  3 3  z A  z B '  z D ' 2a    zG  3 3 (2) Mặt khác :  5 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian So sánh (1) và (2), kết luận Nguyễn Thanh Lam Vậy giao điểm G của đường chéo A' C và mặt phẳng ( AB' D' ) là trọng tâm G của tam giác AB' D' c. Tính d  ( AB' D' ), (C ' BD)  ( AB' D' ) : x  y  z  0 Ta có : (C ' BD) : x  y  z  a  0 Phương trình tổng quát của mặt phẳng (C ' BD) (C ' BD) : x  y  z  a  0 Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (C ' BD)    ( AB' D' ) // (C ' BD)  d  ( AB' D' ), (C ' BD)   d  B, ( AB' D' )   a 3 n2  C ' B, C ' D  (a ; a ;a ) 2 2 2 d. Tính cos ( DA' C ), ( ABB' A' )  Oy  ( ABB' A' )  Vec tơ pháp tuyến của ( ABB' A' ) là j  (0 ; 1 ; 0) Vectơ pháp tuyến của ( DA' C ) :   n3  DA', DC  (0; a 2 ;a 2 )  a 2 (0;1;1) Vec tơ pháp tuyến của ( ABB' A' ) là j  (0 ; 1 ; 0) Vectơ pháp tuyến của ( DA' C ) : n3  (0;1;1)  cos ( DA' C ), ( ABB' A' )   1 2  ( DA' C ), ( ABB' A' )   45  o Bài toán 2. Cho hình lập phương ABCD. A' B' C ' D' có cạnh bằng a. Chứng minh hai đường chéo B' D' và A' B của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B' D' và A' B Hướng dẫn Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : Bài giải z A’ B’ O  A(0;0;0) ; A' (0;0; a ) ; B (0; a;0) ; B ' (0; a; a) Chứng minh B' D' và A' B chéo C’ y A C (a; a;0) ; C ' (a; a; a) D(a;0;0) ; D' (a;0; a ) D’ x B D C Ta có : B' D'  (a;a;0) 6 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian nhau, ta chứng minh ba vectơ Nguyễn Thanh Lam A' B  (0; a;a) ; BB'  (0;0; a)  B' D', A' B  (a ; a ; a ) B' D', A' B.BB'  a  0 B ' D'; A' B, BB ' không đồng 2 phẳng. 2 2 3 Cần chứng minh:  ba vectơ B ' D'; A' B, BB ' không đồng phẳng. uuuuur uuuur uuur B ' D ', A ' B  .BB '  0   hay B' D' và A' B chéo nhau. Tính d  B' D' , A' B  theo công thức: d  B ' D' , A' B   d  B' D' , A' B   [ B ' D', A' B ].BB ' a3 a a a 4 4 4 a3  a 2 3 a 3 3  [ B ' D', A' B ]  Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. z S Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao SO  a 6  a 2  a 2  A  ;0;0 ; C  ;0;0  2   2  Khi đó :  D A Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông y O B C x  a 2   a 2  B 0; ;0 ; D 0; ;0 ; S (0;0; a 6 ) 2 2     Bài tập áp dụng : Bài toán 3 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a . a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Hướng dẫn Bài zgiải B A SO C x D y 7 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam Dựng hình : Gọi O  AC  BD  SO  ( ABCD) SO  SC 2  OC 2  a 2  a2 a 2  2 2 Chọn hệ trục toạ độ như sau :  a 2  0;0;  2  O(0;0;0) ; S  ;  a 2  a 2  ;0;0  ;0;0     2  ; C 2 D A  a 2   a 2   0;  0; ;0  ;0    2 2   ; B  a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD 1 1 a 2 a3 2 VS . ABCD  SO.S ABCD  . .a  3 3 2 6 Phương trình mặt phẳng (SCD) x a 2 (SCD): 2  x y z  y a 2 2  z a 2 2 1 a 2 0 2 b.Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD): x yz  d  A, ( SCD)   a 2 0 2 a 2 a 2  2 2 3  a 2 a 6  3 (đvđd) 3 Bài toán 4 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : Gọi O là tâm của hình vuông S E B M AN PO C x D y 8 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam ABCD  SO  ( ABCD) Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : O(0;0;0) ; S  0;0; h  ;  a 2  a 2  ;0;0  ;0;0     2  ; C 2 D A  a 2   a 2   0;  0; ;0  ;0    2 2   ; B  Toạ độ trung điểm P của SA P  a 2  a 2 a 2  h ; 0 ;  ; ; h      4 2 2 2  ; E   a 2 a 2 h a 2 a 2  ; ;   ; ;0    2 4 2   4 4   M N Tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Chứng minh MN và AC chéo nhau Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau uuuu r  3a 2 h  uuur MN   ;0;  ; BD  (0; a 2;0) 2  4 Vì : MN .BD  0  MN  BD uuuu r uuur   MN , AC    0;  ah 2 ;0      2   Ta có : uuuu r  a 2 h AM   0;  ;  4 2  2 uuuu r uuur uuuu r MN , AC  . AM  a h  0   4 Vì :  MN và AC chéo nhau d  MN , AC   [ MN , AC ]. AM [ MN , AC ]  a 2h 4 a 2 4 a 2h2 2 Bài toán 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 2 ) . Gọi M là trung điểm của SC . 1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM 2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N. 9 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam Tính thể tích khối chóp S.ABMN. ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : z Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như sau : S O(0;0;0) ; A(2;0;0) ; B (0;1;0) ; S (0;0;2 2 ) Ta có : C (2;0;0) ; D(0;1;0) ; M (1;0; 2 )  M N   SA  2;0;2 2 ; BM   1;1; 2  1a.Tính góc giữa SA và BM Gọi  là góc giữa SA và BM Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng. C D x O A B y Ta có :   cos   cos SA, BM  SA.BM SA BM  3 2    30o 1b. Tính khoảng cách giữa SA và BM [ SA, BM ]  (2 2 ;0;2) ; AB  (2;1;0) Chứng minh SA và BM chéo nhau Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau [ SA, BM ]. AB  4 2  0 2. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. Dễ dàng nhận thấy : MN  ( ABM )  ( SCD) VS . ABMN  VS . ABM  VS . AMN Trong đó : VS . ABM  1 [ SA, SM ].SB 6 d ( SA, BM )  [ SA, BM ]. AB [ SA, AB]  4 2 2 6  3 84 MN // AB // CD  N là trung điểm của SD 1    0; ; 2   Toạ độ trung điểm N  2 SA  (2;0;2 2 ) ; SM (1;0; 2 ) SB  (0;1;2 2 ) ; SM (1;0; 2 )  [ SA, SM ]  (0;4 2 ;0) VS . ABM  1 4 2 2 2 [ SA, SM ].SB   6 6 3 10 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian VS . AMN 1  [ SA, SM ].SN 6 Nguyễn Thanh Lam VS . AMN  1 2 2 2 [ SA, SM ].SN   6 6 3 Vậy VS . ABMN  VS . ABM  VS . AMN  2 (đvtt) Kết luận: Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA  (ABCD)  z S ABCD là hình chữ nhật AB  a; AD  b chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) B  a;0;0  ; C  a; b;0  Khi đó : D  0; b;0  ; S (0;0; h) D y A O B C x Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi và SA  (ABCD)  z S ABCD là hình thoi cạnh a chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0) D A y O B C x Bài tập áp dụng : Bài toán 6 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  ( ABCD); SA  2a . Mặt phẳng    qua BC hợp với AC một góc 300 , cắt SA, SD lần lượt tại M, N. Tính diện tích thiết diện BCNM Hướng dẫn Bài giải 11 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam z Dựng hình : S Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : N M A(0;0;0) ; B  a;0;0  ; C  a; a;0  ; D  0; 2a;0  ; S  0;0; 2a  AM  h  0  h  2a  Đặt  M  0;0; h  D A B x y C Xác định vị trí điểm M uuuu r BM   a;0; h  ; uuur BC   0; a;0  Pháp vectơ của mặt phẳng  : uuuu r uuur BM , BC   ah;0; a 2  a  h;0; a    uur uuuu r uuur n  BM , BC   uuur AC   a; a;0   a  1;1;0  Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC : uuur r   AC   a; a;0   a  1;1;0   u   1;1;0  mặt phẳng Ta có :  MN      ( SAD)  MN / / BC / / AD   BC / / AD ABM vuông cân tại A  BM  a 2 1 a MN  AD  2 2    hợp với AC một góc 300 uur r n 1.h  1.0  0.a  .u  sin 300  uur r  n u 1  1  0 h2  0  a 2  BC  ( SAB )  BC  BM uur n   h;0; a  h 2 h2  a2  1  h 2  h2  a 2 2  h  a  M là trung điểm của SA  MN / / BC   BM  BC  + BCNM là hình thang vuông + Diện tích thiết diện BCNM : S BCNM 1 3a 2 2  BM  MN  BC   2 4 12 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam Bài toán 7 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  ( ABCD); SA  a 2 . Mặt phẳng  P  qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P. a/ Chứng minh : Tứ giác AMNP có hai đướng chéo vuông góc với nhau. b/ Tính diện tích của tứ giác AMNP. Hướng dẫn S Dựng hình : z N Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc A(0;0;0) ; B  a;0;0  ; C  a; a;0  0; a;0  ; S y ;  0;0; a 2  .   D A O B uuu r ur SC  a; a; a 2  a 1;1;  2  au1  P M Oxyz như sau : D Bài giải  C x uur uu r SB  a;0;  a 2  a 1;0;  2  au2     uuu r uu r SC  0; a;  a 2  a 0;1;  2  au3    uuur uuur Cần chứng minh: AN .MP  0 + Tìm toạ độ điểm N. N  SC   P   a/ Chứng minh : AN  MP Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC  (P) nhận vectơ pháp tuyến. SC qua C  a; a;0  ur u1  1;1;  2   làm vectơ ( P) : x  y  2 z  0 và nhận ur u1  1;1;  2   làm vec tơ chỉ phương. 13 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam x  a t  SC :  y  a  t   z   2t N  SC   P  + Tìm toạ độ điểm M. M  SB   P  .Toạ độ điểm N là nghiệm của hệ: a  t   2  x  a t x  a y  at a a a 2  2      N  ; ;   2 2 2   z   2t y  a 2  x  y  2z  0    z  a 2  2 SB qua B  a;0;0  và nhận uu r u2  1;0;  2   làm vec tơ chỉ phương. x  a t  SB :  y  0   z   2t M  SB   P  .Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ: a  t   3 x  a t  2a y 0   2a a 2  x  3  M  ;0;      3 3    z   2t y  0  x  y  2z  0   a 2   z  3 14 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian + Tìm toạ độ điểm P. SD qua D  P  SD   P  0; a;0  và nhận Nguyễn Thanh Lam uu r u3  0;1;  2   làm vec tơ chỉ phương. x  0  SD :  y  a  t   z   2t P  SD   P  .Toạ độ điểm P là nghiệm của hệ: a  t   3 x  0  y  at x  0  2a a 2      2a  P  0; ;   3   3  z   2t y  3  x  y  2z  0   a 2   z  3 uuur uuur AN + Tìm toạ độ vectơ và MP uuur  a a a 2  AN   ; ;   AN  a 2 2 2  uuur  2a 2a  2a 2 MP    ; ;0   MP  3  3 3  uuur uuur + Tính : AN .MP uuur uuur a  2a  a 2a a 2 AN .MP      .  .0  0 2 3  2 3 2  AN  MP Tứ giác ANMP có hai đường chéo AN và MP vuông góc với nhau Tứ giác ANMP có hai đường chéo vuông góc với nhau b/ Tính diện tích của tứ giác AMNP. S ANMP 1 1 2a 2 a 2 2  AN .MP  .a.  2 2 3 3 Với hình chóp tam giác đều S.ABC z Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và S đường cao bằng h . Gọi I là trung điểm của BC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao (đvdt)  A I H B C x y 15 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam cho I(0;0;0)  a  a  A   ;0;0 ; B  ;0;0   2  Khi đó :  2  a 3  C  0; ;0 ; 2     a 3  S  0; ; h  6   Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và  ABC vuông tại A z Tam giác ABC vuông tại A có AB  a; AC  b đường cao bằng h . S Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đó : B  a;0;0  ; C  0; b;0  S  0;0; h  x B  Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và  ABC vuông tại B Tam giác ABC vuông tại B có Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B(0;0;0) A  a;0;0  ; C  0; b;0  S  a;0; h   z S BA  a; BC  b đường cao bằng h . Khi đó : y C A y x C A B Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân tại S và  ABC vuông tại C 16 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam z S  ABC vuông tại C CA  a; CB  b chiều cao bằng h y x H là trung điểm của AB Khi đó : B H A Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho C(0;0;0) C A  a;0;0  ; B  0; b;0  a b S ( ; ; h) 2 2  Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân tại S và  ABC vuông tại A z  ABC vuông tại A AB  a; AC  b S chiều cao bằng h H là trung điểm của AB Khi đó : C A Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) y H B  a;0;0  ; C  0; b;0  x B a S (0; ; h) 2  Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân tại S và  ABC vuông cân tại C Tam giác ABC vuông cân tại C có z CA  CB  a đường cao bằng h . S H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao y A H C x B 17 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam cho H(0;0;0)  a   a  C ;0;0 ; A  0; ;0  2    Khi đó :  2 a   B  0;  ;0 ; S  0;0; h  2   Bài tập áp dụng : Bài toán 8. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi  ,  ,  lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng 2 2 2 (ABC).Chứng minh rằng : cos   cos   cos   1 ( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) Hướng dẫn Dựng hình : Bài giải z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc C Oxyz như sau : O(0;0;0) ; A(a;0;0) ; B (0; b;0) C (0;0; c) ; O AB  ( a ; b ; 0) AC  (a ; 0 ; c) Tìm vectơ pháp tuyến của :  Mặt phẳng (ABC)   Mặt phẳng (OBC)   Mặt phẳng (OCA)  Mặt phẳng (OAB) A x   y C’ B  n  AB, AC  (bc ; ac ; ab) i  ( 1, 0, 0) vì : Ox  (OBC ) j  ( 0, 1, 0) vì : Oy  (OCA) k  ( 0, 0, 1) vì : Oz  (OAB) 18 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng:  cos   cos   cos (OBC ), ( ABC )  cos   cos   cos (OBC ), ( ABC )  cos   cos   cos (OBC ), ( ABC )  Kết luận b.c b 2 c 2  c 2 a 2  a 2b 2  c.a b 2 c 2  c 2 a 2  a 2b 2 a.b b 2 c 2  c 2 a 2  a 2b 2 cos2   cos2   cos2   b 2 c 2  c 2 a 2  a 2b 2 1 b 2 c 2  c 2 a 2  a 2b 2 Bài toán 9 . Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); AC  AD  4cm ; AB  3cm ; BC  5cm . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 ) Hướng dẫn Dựng hình : Bài giải z D ABC có : AB 2  AC 2  BC 2  25 nên vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau O  A(0;0;0) ; B (3;0;0) ; C (0;4;0) A D(0;0;4) ; Tính : AH  d  A, ( BCD)  x B H C y I Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ( BCD) : x y z    1  4 x  3 y  3z  12  0 3 4 4 d  A, ( BCD )    12 16  9  9  12 6 34  17 34 Bài toán 10 . Cho hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận AB  a (a  0) là đoạn vuông góc chung. Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho AM  BN  2a . Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI Hướng dẫn Bài giải 19 Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian Nguyễn Thanh Lam Dựng hình : z B Dựng Ay ' // By  Ax  Ay ' Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Axy' z như sau : N A A(0;0;0) ; B (0;0; a ) ; M (2a;0;0) N (0;2a; a) I M Toạ độ trung điểm I của MN a  Ia ; a ;  2  y y' x Hai tam giác AMN và BMN là hai tam giác vuông nhận MN là cạnh huyền nên a  Ia ; a ;  2  của MN là tâm trung điểm  1a. Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Chú ý : của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN  Ax  By   Ax  Ay ' 1b.Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Ta có : MN  a (2 ; 2 ; 1) Bán kính mặt cầu : R MN 3a  2 2 Ta có : AM  (2a;0;0) ; a  BI   a; a;  2  ; AB  (0;0; a )  2. Tính d ( AM , BI ) Chứng minh AM và BI chéo nhau Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau [ AM , BI ]  (0; a 2 ;2a 2 ) d ( AM , BI )  [ AM , BI ]. AB [ AM , BI ]  2a 5 5 Bài toán 11 . Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A; AD  a, AC  b, AB  c . a. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c b. Chứng minh rằng : 2S  abc  a  b  c  20