Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
PHƯƠNG PHÁP CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học
sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các
mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh chủ
động phân tích từng vấn đề và xác định các bước đi thích hợp. Từ thực tế giảng dạy, tôi đã
rút ra được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn học sinh lớp 12 phương pháp chọn hệ
trục toạ độ để giải một số bài toán hình học không gian, giúp các em cảm thấy thoải mái
tiếp thu và chủ động giải quyết các bài toán hình học không gian.
Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn được cùng chia sẻ cùng đồng nghiệp, đồng
môn ; cùng chung sức để tìm ra biện pháp nâng cao chất lượng dạy và học môn toán .
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
1. Thuận lợi
Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chương trình lớp 11,
làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng
với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng, tính góc và tính khoảng cách.
Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách
diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu. Mặt khác
một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ trong
không gian mà nội dung chương trình hình học lớp 12 đã nêu, một công cụ hữu ích để giải
nhiều bài toán hình học không gian.
2. Khó khăn
Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động phân
tích đề bài, dựng hình và định hướng cách giải quyết bài toán mà các em chỉ làm một cách
máy móc, lập luận thiếu căn cứ, thiếu chính xác, đôi lúc không phân biệt được đâu là giả
thiết, đâu là phần cần chứng minh. Do đó kết quả đạt được không như mong đợi.
Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12. Do chưa tìm ra được phương pháp
thích hợp để giải toán nên sẽ nẩy sinh nhiều vướng mắc, từ đó các em ngán ngại, thiếu hứng
thú trong học tập. Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới,
đòi hỏi sự nỗ lực và quyết tâm cao của cả thầy và trò.
3. Số liệu thống kê.
Qua thống kê sơ bộ điểm môn toán của 2 lớp; 12A7 ; 12A9 năm học 2010 - 2011, lớp
12A3 ; 12A11 , năm học 2011 - 2012, cụ thể là kết qủa 2 bài kiểm tra như sau :
+ Bài kiểm tra một tiết (2010 - 2011 ), trong 87 bài kiểm tra có :
4 bài diểm 8
tỷ lệ 4,6 %
12 bài điểm 6, 7
tỷ lệ 13,8 %
22 bài điểm 5
tỷ lệ 25,3 %
49 bài điểm dưới 5
tỷ lệ 56,3 %
+ Bài kiểm tra một tiết (2011 - 2012 ), trong 86 bài kiểm tra có :
5 bài diểm 8
tỷ lệ 5,8 %
1
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
14 bài điểm 6, 7
26 bài điểm 5
41 bài điểm dưới 5
Nguyễn Thanh Lam
tỷ lệ 16,3 %
tỷ lệ 30,2 %
tỷ lệ 47,7 %
Trong các lớp tôi được nhà trường phân công giảng dạy có đến 60 % học sinh có kết quả
môn toán cuối năm học 2008 - 2009 xếp loại trung bình - yếu. Qua tìm hiểu, tôi cảm nhận
được rằng trong số những em có học lực yếu, cũng có những em có kỹ năng tính toán tương
đối tốt nhưng khả năng vận dụng kiến thức đã học vào giải toán còn rất hạn chế .
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản
cuốn “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu
một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra
phương pháp toạ độ. Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số
thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá
và trừu tương hoá toán học trong nhiều lĩnh vực.
Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được
tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn, quy
trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :
Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2 : Xây dựng thuật giải
Bước 3 : Thực hiện thuật giải
Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải
Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt là dạy
hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải toán, nghĩa là biết
vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về toạ độ điểm, toạ độ vectơ và các công thức
có liên quan vào giải toán. Để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ ta thực hiện theo
các bước sau :
Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, chú ý đến vị trí của gốc
toạ độ O, chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích
Bước 2 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên.
Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính chất hình
học tương ứng.
Do vậy, để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ trước hết cần chọn hệ trục toạ độ
phù hợp. Việc làm này không đơn giản đối với học sinh; đòi hỏi học sinh phải có khả năng
kết hợp giữa khái quát hoá và cụ thể hoá các nội dung liên quan đến bài toán.
Các dạng toán thường gặp :
Tính độ dài đoạn thẳng
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng, hai mặt phẳng.
Tính góc giữa hai đường thẳng
Tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
Tính góc giữa hai mặt phẳng
2
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Tính thể tích khối đa diện
Tính diện tích thiết diện
Các bài toán về quan hệ song song, vuông góc.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.
Trong chương III - §1 sách giáo khoa (SGK) hình học 12 nâng cao, Đoàn Quỳnh
(Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), NXBGD 2008, đã nêu định nghĩa và một số
tính chất sau :
z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho :
M
v x.i y. j z.k v ( x; y; z )
OM x.i y. j z.k M ( x; y; z )
k
Với : a (a1; a2 , a3 ) và b (b1; b2 ; b3 ) , ta có :
i
a.b a . b . cos(a, b)
M1
a.b a1b1 a2b2 a3b3
r
a a12 a22 a32
y
j
x
O
a b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0
Tích có hướng của hai vectơ
[ a, b ] (a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 )
a. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian
Tọa độ của các vectơ đơn vị :
r
i 1;0;0
r
j 0;1;0
r
k 0;0;1
Ta có : Ox, Oy, Oz vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh
vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :
Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD. A' B' C ' D'
3
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Với hình lập phương ABCD. A' B' C ' D'
z
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
A(0;0;0) ; B( a;0;0) ; C (a; a;0) ; D(0;a;0)
D’
A’
B’
A '(0;0; a) ; B '(a;0; a ) ; C '(a; a; a) ; D'(0;a;a)
C’
Với hình hộp chữ nhật ABCD. A' B' C ' D'
D
A
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C (a; b; 0) ; D(0;b;0)
x
y
C
B
A '(0;0; c) ; B '(a;0; c) ; C '(a; b; c) ; D'(0;b;c)
Với hình hộp có đáy là hình thoi ABCD. A' B' C ' D'
z
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
A’
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của
hai đường chéo của hình thoi ABCD
D’
O’
B’
A
- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy
y
C
D
O
B
C
x
Bài tập áp dụng :
Bài toán 1. Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau :
Cho hình lập phương ABCD. A' B' C ' D' có cạnh bằng a.
a.Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng ( AB' D' )
b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A' C và mặt phẳng ( AB' D' ) là trọng tâm G
của tam giác AB' D' .
c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( AB' D' ) và (C ' BD)
d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( DA' C ) và ( ABB' A' )
( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
x
z
B’
B A A’
G
CC’
D’
y
4
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Chọn hệ trục toạ độ Descartes vuông
góc Oxyz như sau : O A(0;0;0) ;
A' (0;0; a ) ; B (a;0;0) ;
B ' (a;0; a) ; C (a; a;0) ;
C ' (a; a; a) ; D(0; a;0) ; D' (0; a; a )
a. Chứng minh : A' C ( AB' D' )
A' C (a; a;a )
AB' (a;0; a)
AD' (0; a; a)
Ta có :
A' C AB '
A' C ( AB ' D' )
A
'
C
AD
'
Nếu
A' C. AB ' a 2 0 a 2 0
A' C. AD ' 0 a 2 a 2 0
Vì
A' C AB'
A' C AD'
Nên A' C mp( AB' D' )
Gọi G A' C ( AB' D' )
b. Chứng minh :
G là trọng tâm của tam giác AB’D’
Phương trình tham số của đường thẳng
x t
A' C : y t (t R )
z a t
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
( AB' D' )
:x yz 0
Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng ( AB' D' )
n1 AB', AD' (a 2 ;a 2 ; a 2 )
Toạ độ giao điểm G của đường thẳng A' C và
mặt phẳng ( AB' D' ) là nghiệm của hệ :
a
x
x t
3
y t
a
y
3
z a t
2a
x y z 0
z 3
a a 2a
G ; ;
3 3 3 (1)
x A x B ' xD ' a
xG
3
3
y
y
y
a
A
B'
D'
yG
3
3
z A z B ' z D ' 2a
zG
3
3 (2)
Mặt khác :
5
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
So sánh (1) và (2), kết luận
Nguyễn Thanh Lam
Vậy giao điểm G của đường chéo A' C và
mặt phẳng ( AB' D' ) là trọng tâm G của tam
giác AB' D'
c. Tính d ( AB' D' ), (C ' BD)
( AB' D' ) : x y z 0
Ta có :
(C ' BD) : x y z a 0
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
(C ' BD)
(C ' BD) : x y z a 0
Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng (C ' BD)
( AB' D' ) // (C ' BD)
d ( AB' D' ), (C ' BD) d B, ( AB' D' )
a
3
n2 C ' B, C ' D (a ; a ;a )
2
2
2
d. Tính cos ( DA' C ), ( ABB' A' )
Oy ( ABB' A' ) Vec tơ pháp tuyến của
( ABB' A' ) là j (0 ; 1 ; 0)
Vectơ pháp tuyến của ( DA' C ) :
n3 DA', DC (0; a 2 ;a 2 ) a 2 (0;1;1)
Vec tơ pháp tuyến của ( ABB' A' ) là j (0 ; 1 ; 0)
Vectơ pháp tuyến của ( DA' C ) : n3 (0;1;1)
cos ( DA' C ), ( ABB' A' )
1
2
( DA' C ), ( ABB' A' ) 45
o
Bài toán 2. Cho hình lập phương ABCD. A' B' C ' D' có cạnh bằng a.
Chứng minh hai đường chéo B' D' và A' B của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B' D' và A' B
Hướng dẫn
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc Oxyz như sau :
Bài giải
z
A’
B’
O A(0;0;0) ; A' (0;0; a ) ;
B (0; a;0) ; B ' (0; a; a)
Chứng minh B' D' và A' B chéo
C’
y
A
C (a; a;0) ; C ' (a; a; a)
D(a;0;0) ; D' (a;0; a )
D’
x
B
D
C
Ta có : B' D' (a;a;0)
6
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
nhau, ta chứng minh ba vectơ
Nguyễn Thanh Lam
A' B (0; a;a) ;
BB' (0;0; a)
B' D', A' B (a ; a ; a )
B' D', A' B.BB' a 0
B ' D'; A' B, BB ' không đồng
2
phẳng.
2
2
3
Cần chứng minh:
ba vectơ B ' D'; A' B, BB ' không đồng phẳng.
uuuuur uuuur uuur
B ' D ', A ' B .BB ' 0
hay B' D' và A' B chéo nhau.
Tính d B' D' , A' B theo công thức:
d B ' D' , A' B
d B' D' , A' B
[ B ' D', A' B ].BB '
a3
a a a
4
4
4
a3
a
2
3
a 3
3
[ B ' D', A' B ]
Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
z
S
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và
đường cao SO a 6
a 2
a 2
A
;0;0 ; C
;0;0
2
2
Khi đó :
D
A
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
y
O
B
C
x
a 2 a 2
B 0;
;0 ; D 0;
;0 ; S (0;0; a 6 )
2
2
Bài tập áp dụng :
Bài toán 3 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a .
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Hướng dẫn
Bài zgiải
B
A
SO
C
x
D
y
7
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Dựng hình :
Gọi O AC BD SO ( ABCD)
SO SC 2 OC 2 a 2
a2 a 2
2
2
Chọn hệ trục toạ độ như sau :
a 2
0;0;
2
O(0;0;0) ; S
;
a 2
a 2
;0;0
;0;0
2
; C 2
D
A
a 2
a 2
0;
0;
;0
;0
2
2
; B
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
1
1 a 2 a3 2
VS . ABCD SO.S ABCD .
.a
3
3 2
6
Phương trình mặt phẳng (SCD)
x
a 2
(SCD): 2
x y z
y
a 2
2
z
a 2
2
1
a 2
0
2
b.Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD):
x yz
d A, ( SCD)
a 2
0
2
a 2 a 2
2
2
3
a 2 a 6
3 (đvđd)
3
Bài toán 4 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là
điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của
BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN và AC.
( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )
Hướng dẫn
Bài giải
z
Dựng hình :
Gọi O là tâm của hình vuông
S
E
B
M
AN PO
C
x
D
y
8
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
ABCD SO ( ABCD)
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyz như sau :
O(0;0;0) ; S 0;0; h ;
a 2
a 2
;0;0
;0;0
2
; C 2
D
A
a 2
a 2
0;
0;
;0
;0
2
2
; B
Toạ độ trung điểm P của SA P
a 2
a 2 a 2
h
; 0 ;
;
; h
4
2
2
2
; E
a 2 a 2 h a 2 a 2
;
;
;
;0
2
4 2 4
4
M
N
Tính (theo a) khoảng cách giữa hai
đường thẳng MN và AC.
Chứng minh MN và AC chéo nhau
Sử dụng công thức tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau
uuuu
r 3a 2
h uuur
MN
;0; ; BD (0; a 2;0)
2
4
Vì : MN .BD 0 MN BD
uuuu
r uuur
MN , AC 0; ah 2 ;0
2
Ta có :
uuuu
r
a 2 h
AM 0;
;
4
2
2
uuuu
r uuur uuuu
r
MN , AC . AM a h 0
4
Vì :
MN và AC chéo nhau
d MN , AC
[ MN , AC ]. AM
[ MN , AC ]
a 2h
4 a 2
4
a 2h2
2
Bài toán 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thoi. AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 2 ) . Gọi M là trung
điểm của SC .
1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM
2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N.
9
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
z
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như sau :
S
O(0;0;0) ; A(2;0;0) ; B (0;1;0) ;
S (0;0;2 2 )
Ta có :
C (2;0;0) ; D(0;1;0) ; M (1;0; 2 )
M
N
SA 2;0;2 2 ; BM 1;1; 2
1a.Tính góc giữa SA và BM
Gọi là góc giữa SA và BM
Sử dụng công thức tính góc giữa hai
đường thẳng.
C
D
x
O
A
B
y
Ta có :
cos cos SA, BM
SA.BM
SA BM
3
2
30o
1b. Tính khoảng cách giữa SA và BM
[ SA, BM ] (2 2 ;0;2) ; AB (2;1;0)
Chứng minh SA và BM chéo nhau
Sử dụng công thức tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau
[ SA, BM ]. AB 4 2 0
2. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
Dễ dàng nhận thấy :
MN ( ABM ) ( SCD)
VS . ABMN VS . ABM VS . AMN
Trong đó :
VS . ABM
1
[ SA, SM ].SB
6
d ( SA, BM )
[ SA, BM ]. AB
[ SA, AB]
4 2
2 6
3
84
MN // AB // CD N là trung điểm của SD
1
0; ; 2
Toạ độ trung điểm N 2
SA (2;0;2 2 ) ;
SM (1;0; 2 )
SB (0;1;2 2 ) ;
SM (1;0; 2 )
[ SA, SM ] (0;4 2 ;0)
VS . ABM
1
4 2 2 2
[ SA, SM ].SB
6
6
3
10
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
VS . AMN
1
[ SA, SM ].SN
6
Nguyễn Thanh Lam
VS . AMN
1
2 2
2
[ SA, SM ].SN
6
6
3
Vậy VS . ABMN VS . ABM VS . AMN 2 (đvtt)
Kết luận:
Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)
z
S
ABCD là hình chữ nhật AB a; AD b
chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
sao cho A(0;0;0)
B a;0;0 ; C a; b;0
Khi đó :
D 0; b;0 ; S (0;0; h)
D y
A
O
B
C
x
Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi và SA (ABCD)
z
S
ABCD là hình thoi cạnh a
chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho O(0;0;0)
D
A
y
O
B
C
x
Bài tập áp dụng :
Bài toán 6 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ( ABCD); SA 2a .
Mặt phẳng
qua BC hợp với AC một góc 300 , cắt SA, SD lần lượt tại M, N. Tính diện tích
thiết diện BCNM
Hướng dẫn
Bài giải
11
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
z
Dựng hình :
S
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz như sau :
N
M
A(0;0;0) ; B a;0;0 ; C a; a;0 ; D
0; 2a;0 ; S 0;0; 2a
AM h 0 h 2a
Đặt
M 0;0; h
D
A
B
x
y
C
Xác định vị trí điểm M
uuuu
r
BM a;0; h
;
uuur
BC 0; a;0
Pháp vectơ của mặt phẳng
:
uuuu
r uuur
BM , BC ah;0; a 2 a h;0; a
uur uuuu
r uuur
n BM , BC
uuur
AC a; a;0 a 1;1;0
Vectơ
chỉ phương của đường
thẳng AC :
uuur
r
AC a; a;0 a 1;1;0 u 1;1;0
mặt phẳng
Ta có :
MN ( SAD)
MN / / BC / / AD
BC / / AD
ABM vuông cân tại A BM a 2
1
a
MN AD
2
2
hợp với AC một góc 300
uur r
n
1.h 1.0 0.a
.u
sin 300 uur r
n u
1 1 0 h2 0 a 2
BC ( SAB ) BC BM
uur
n h;0; a
h
2 h2 a2
1
h 2 h2 a 2
2
h a M là trung điểm của SA
MN / / BC
BM
BC
+
BCNM là hình thang vuông
+ Diện tích thiết diện BCNM :
S BCNM
1
3a 2 2
BM MN BC
2
4
12
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Bài toán 7 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ( ABCD); SA a 2 .
Mặt phẳng
P qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P.
a/ Chứng minh : Tứ giác AMNP có hai đướng chéo vuông góc với nhau.
b/ Tính diện tích của tứ giác AMNP.
Hướng dẫn
S
Dựng hình :
z
N
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
A(0;0;0) ; B a;0;0 ; C a; a;0
0; a;0
;
S
y
;
0;0; a 2 .
D
A
O
B
uuu
r
ur
SC a; a; a 2 a 1;1; 2 au1
P
M
Oxyz như sau :
D
Bài giải
C
x
uur
uu
r
SB a;0; a 2 a 1;0; 2 au2
uuu
r
uu
r
SC 0; a; a 2 a 0;1; 2 au3
uuur uuur
Cần chứng minh: AN .MP 0
+ Tìm toạ độ điểm N.
N SC P
a/ Chứng minh : AN MP
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với
SC (P) nhận vectơ
pháp tuyến.
SC qua C
a; a;0
ur
u1 1;1; 2
làm vectơ
( P) : x y 2 z 0
và nhận
ur
u1 1;1; 2
làm
vec tơ chỉ phương.
13
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
x a t
SC : y a t
z 2t
N SC P
+ Tìm toạ độ điểm M.
M SB P
.Toạ độ điểm N là nghiệm của hệ:
a
t 2
x a t
x a
y at
a a a 2
2
N ; ;
2 2 2
z 2t
y a
2
x y 2z 0
z a 2
2
SB qua B
a;0;0
và nhận
uu
r
u2 1;0; 2
làm
vec tơ chỉ phương.
x a t
SB : y 0
z 2t
M SB P
.Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ:
a
t 3
x a t
2a
y 0
2a
a 2
x
3 M ;0;
3
3
z 2t
y 0
x y 2z 0
a 2
z 3
14
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
+ Tìm toạ độ điểm P.
SD qua D
P SD P
0; a;0
và nhận
Nguyễn Thanh Lam
uu
r
u3 0;1; 2
làm
vec tơ chỉ phương.
x 0
SD : y a t
z 2t
P SD P
.Toạ độ điểm P là nghiệm của hệ:
a
t 3
x 0
y at
x 0
2a a 2
2a P 0; ;
3
3
z 2t
y 3
x y 2z 0
a 2
z 3
uuur
uuur
AN
+ Tìm toạ độ vectơ
và MP
uuur a a a 2
AN ; ;
AN a
2 2 2
uuur 2a 2a
2a 2
MP ; ;0 MP
3
3 3
uuur uuur
+ Tính : AN .MP
uuur uuur a 2a a 2a a 2
AN .MP .
.0 0
2 3 2 3
2
AN MP
Tứ giác ANMP có hai đường
chéo AN và MP vuông góc với
nhau
Tứ giác ANMP có hai đường chéo vuông góc
với nhau
b/ Tính diện tích của tứ giác AMNP.
S ANMP
1
1 2a 2 a 2 2
AN .MP .a.
2
2
3
3
Với hình chóp tam giác đều S.ABC
z
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và
S
đường cao bằng h . Gọi I là trung điểm
của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
(đvdt)
A
I
H
B
C
x
y
15
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
cho I(0;0;0)
a
a
A ;0;0 ; B ;0;0
2
Khi đó : 2
a 3
C 0;
;0 ;
2
a 3
S 0;
; h
6
Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại A
z
Tam giác ABC vuông tại A có
AB a; AC b đường cao bằng h .
S
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó :
B a;0;0 ; C 0; b;0
S 0;0; h
x
B
Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại B
Tam giác ABC vuông tại B có
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho B(0;0;0)
A a;0;0 ; C 0; b;0
S a;0; h
z
S
BA a; BC b đường cao bằng h .
Khi đó :
y
C
A
y
x
C
A
B
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông tại C
16
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
z
S
ABC vuông tại C CA a; CB b
chiều cao bằng h
y
x
H là trung điểm của AB
Khi đó :
B
H
A
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho C(0;0;0)
C
A a;0;0 ; B 0; b;0
a b
S ( ; ; h)
2 2
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông tại A
z
ABC vuông tại A AB a; AC b
S
chiều cao bằng h
H là trung điểm của AB
Khi đó :
C
A
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
y
H
B a;0;0 ; C 0; b;0
x
B
a
S (0; ; h)
2
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông cân tại C
Tam giác ABC vuông cân tại C có
z
CA CB a đường cao bằng h .
S
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
y
A
H
C
x
B
17
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
cho H(0;0;0)
a
a
C
;0;0 ; A 0;
;0
2
Khi đó : 2
a
B 0;
;0 ; S 0;0; h
2
Bài tập áp dụng :
Bài toán 8. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại
đỉnh O. Gọi , , lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng
2
2
2
(ABC).Chứng minh rằng : cos cos cos 1
( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000,
SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
Hướng dẫn
Dựng hình :
Bài giải
z
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
C
Oxyz như sau : O(0;0;0) ; A(a;0;0) ;
B (0; b;0) C (0;0; c) ;
O
AB ( a ; b ; 0)
AC (a ; 0 ; c)
Tìm vectơ pháp tuyến của :
Mặt phẳng (ABC)
Mặt phẳng (OBC)
Mặt phẳng (OCA)
Mặt phẳng (OAB)
A
x
y
C’
B
n AB, AC (bc ; ac ; ab)
i ( 1, 0, 0)
vì : Ox (OBC )
j ( 0, 1, 0)
vì : Oy (OCA)
k ( 0, 0, 1)
vì : Oz (OAB)
18
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Sử dụng công thức tính góc giữa hai
mặt phẳng:
cos
cos cos (OBC ), ( ABC )
cos
cos cos (OBC ), ( ABC )
cos
cos cos (OBC ), ( ABC )
Kết luận
b.c
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
c.a
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
a.b
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
cos2 cos2 cos2
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
1
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
Bài toán 9 . Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC);
AC AD 4cm ; AB 3cm ; BC 5cm . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD)
( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 )
Hướng dẫn
Dựng hình :
Bài giải
z
D
ABC có : AB 2 AC 2 BC 2 25 nên
vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ
Đêcac vuông góc Oxyz như sau
O A(0;0;0) ; B (3;0;0) ; C (0;4;0)
A
D(0;0;4) ;
Tính : AH d A, ( BCD)
x
B
H
C
y
I
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD)
Viết phương trình tổng quát của mặt
phẳng (BCD)
Sử dụng công thức tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng
( BCD) :
x y z
1 4 x 3 y 3z 12 0
3 4 4
d A, ( BCD )
12
16 9 9
12
6 34
17
34
Bài toán 10 . Cho hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận
AB a (a 0) là đoạn vuông góc chung. Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho
AM BN 2a . Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABMN. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI
Hướng dẫn
Bài giải
19
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Dựng hình :
z
B
Dựng Ay ' // By Ax Ay '
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc Axy' z như sau :
N
A
A(0;0;0) ; B (0;0; a ) ; M (2a;0;0)
N (0;2a; a)
I
M
Toạ độ trung điểm I của MN
a
Ia ; a ;
2
y
y'
x
Hai tam giác AMN và BMN là hai tam
giác vuông nhận MN là cạnh huyền nên
a
Ia ; a ;
2 của MN là tâm
trung điểm
1a. Xác định tâm I của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABMN
Chú ý :
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN
Ax By
Ax Ay '
1b.Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABMN
Ta có : MN a (2 ; 2 ; 1)
Bán kính mặt cầu :
R
MN 3a
2
2
Ta có : AM (2a;0;0) ;
a
BI a; a;
2 ; AB (0;0; a )
2. Tính d ( AM , BI )
Chứng minh AM và BI chéo
nhau
Sử dụng công thức tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau
[ AM , BI ] (0; a 2 ;2a 2 )
d ( AM , BI )
[ AM , BI ]. AB
[ AM , BI ]
2a 5
5
Bài toán 11 . Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC
vuông tại A; AD a, AC b, AB c .
a. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c
b. Chứng minh rằng :
2S
abc a b c
20
- Xem thêm -