Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bất đẳng thức (BĐT) trong các kì thi chọn HSG Tỉnh, HSG Quốc gia, HSG khu
vực và Quốc tế có thể coi là “điểm nóng”, thường trở thành đề tài giành được nhiều
lời giải nhất và được thảo luận nhiều nhất trên các diễn đàn cũng như các tạp chí về
Toán học.
Cùng với BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes, BĐT Jensen
thì đạo hàm cũng là một phần kiến thức quan trọng không thể thiếu trong nhiều bài
toán đại số cũng như BĐT. Nó thực sự là một công cụ hiệu quả và có ứng dụng
rộng rãi trong giải toán, cũng là một phương pháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải
các BĐT thông thường.
Các tài liệu viết về BĐT hiện nay rất nhiều, tuy nhiên một số chuyên đề viết
riêng về việc vận dụng đạo hàm vào chứng minh BĐT và giải các bài toán tìm giá
trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) có tính hệ thống và tính phân loại
cũng như tinh sát thực phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng HSG và ôn luyện
cho học sinh thi Đại học và cao đẳng là rất cần thiết. Do vậy tôi chọn chuyên đề
này nhằm phần nào đáp ứng được những yêu cầu trên cũng như góp phần nâng cao
chất lượng bồi dưỡng HSG của tỉnh nhà.
2. Các nhiệm vụ của đề tài
Chuyên đề nghiên cứu và trình bày các nội dung sau:
Phần I: Các kiến thức cơ bản cần thiết
Phần II: Sử dụng đạo hàm vào giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
1. Bất đẳng thức một biến số
Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị của hàm số để tìm tập giá trị của hàm số
Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu
Dạng 3: Kết hợp với các BĐT khác như BĐT AM-GM, BĐT CauchySchwarz,...
2. Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số
Dạng 1: Khảo sát hàm đặc trưng
1
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
Dạng 2: Kết hợp với các BĐT khác như AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz,
BĐT Chebyshes,…
Dạng 3: Khảo sát theo hàm số từng biến
3. Mở rộng một số bài toán thi vô địch Quốc tế
3. Mục đích của đề tài
Chuyên đề hệ thống hóa, phân loại toán và trình bày theo từng ý tưởng cũng
như các kỹ năng vận dụng đạo hàm vào việc giải một lớp các bài toán về chứng
minh BĐT, tìm GTLN và GTNN cùng loại.
Qua các ví dụ cụ thể của chuyên đề giúp cho người học nâng cao thêm về “cái
nhìn” định hướng phương pháp giải toán. Đồng thời thông qua lời giải các bài toán
đó giúp học sinh thấy được bản chất Toán học ẩn chứa trong nó. Giúp cho học sinh
hình thành được phương pháp giải toán chứng minh BĐT, tìm GTLN và GTNN
bằng đạo hàm, học sinh có được kỹ năng, kỹ xảo cần thiết nhất để nâng cao năng
lực giải các bài toán này.
Chuyên đề còn góp phần phát huy trí thông minh, tính sáng tạo, khả năng tư
duy linh hoạt, có được các suy luận logic, chính xác, tinh thần vượt khó.
4. Phương pháp nghiên cứu
-
Nghiên cứu tài liệu về cơ sở lý luận có liên quan đến đề tài.
-
Nghiên cứu các dạng thức toán nhằm rút ra phương pháp giải.
-
Tích lũy kinh nghiệm thường xuyên trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng HSG
và quá trình tự học, tự bồi dưỡng nghiên cứu của bản thân.
5. Đối tượng nghiên cứu
-
Các tài liệu: SGK, STK, các đề thi ĐH và HSG các cấp,…
-
Học sinh trường THPT Chuyên Hưng Yên và học sinh các đội tuyển HSG tỉnh,
đội tuyển HSG Quốc gia.
6. Những đóng góp mới của đề tài
- Về mặt lý luận, đề tài xây dựng hệ thống lý thuyết cần thiết và tư duy phương
pháp trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Đồng thời, thông qua chuyên đề hình
thành kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh.
7. Địa bàn
Tại trường THPT Chuyên Hưng Yên.
8. Lịch sử nghiên cứu
2
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
Bắt đầu từ năm 2005 thông qua việc giảng dạy bồi dưỡng HSG của trường, của
tỉnh và luyện thi Đại học.
3
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
B. NỘI DUNG
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT
1. Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên [a; b].
*) Nếu f ( x) 0, x a; b thì f(x) đồng biến trên [a; b] và khi đó ta có
min f ( x) f ( a); m ax f ( x) f (b)
x a ;b
x a ;b
*) Nếu f ( x) 0, x a; b thì f(x) nghịch biến trên [a; b] và khi đó ta có
min f ( x) f (b); m ax f ( x) f (a)
x a ;b
x a ;b
2. Định lý 2: ( Định lý Fermart)
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên một lân cận đủ bé của x0 a; b và có đạo
hàm tại điểm x0 . Khi đó nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 thì f ( x0 ) 0 .
3. Định lý 3: (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị)
Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a; b] và x0 . Trong một lân cận đủ bé của
x0 , nếu f ( x0 ) thay đổi dấu khi x qua x0 (có thể không tồn tại f ( x0 ) ) thì f(x) đạt
cực trị tại x0 .
*) Nếu f ( x) 0, x x0 ; x0 và f ( x) 0, x x0 ; x0 thì x0 là điểm cực
tiểu.
*) Nếu f ( x) 0, x x0 ; x0 và f ( x) 0, x x0 ; x0 thì x0 là điểm cực
đại.
4. Định lý 4: Giả sử y = f(x) xác định trên [a; b] và x0 a; b . Trong một lân cận
đủ bé của x0 , hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục, đồng thời f ( x0 ) 0
và f ( x) 0 thì x0 là một điểm cực trị của hàm số.
*) Nếu f ( x0 ) 0 và f ( x ) 0 thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số.
*) Nếu f ( x0 ) 0 và f ( x ) 0 thì x0 là một điểm cực đại của hàm số.
4
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
II. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN BẤT
ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ
TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
1. Bất đẳng thức một biến số
1.1 Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị của hàm số để tìm tập giá trị của hàm số
Bài toán 1: ( ĐHBK Hà Nội, 1997)
Cho tam giác ABC có ba góc thỏa mãn A > B > C. Tìm GTNN của hàm số
f ( x)
x sin A
x sin B
1 .
x sin C
x sin C
Giải: Ta có A B C a b c sin A sin B sin C (1) .
Hàm số xác định khi và chỉ khi
x sin A
x sin C 0
x sin B 0
x sin C
x sin C
x sin A (*)
Ta có
f ( x)
sin A sin C x sin C sin B sin C x sin C
.
.
.
2
2
x
sin
A
x sin B
2( x sin C )
2( x sin C )
Do (1) nên f ( x) 0, x thỏa mãn (*). Ta có bảng biến thiên
x
f’(x)
f(x)
sinC
sinA
1
Vậy min f ( x) f (sin A)
1
f(sinA)
sin A sin B
1 .
sin A sin C
Chú ý: Từ kết quả trên ta suy ra được phương trình
5
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
x sin A x sin B x sin C
có đúng một nghiệm vì trên sin A; . Hàm số f(x) đồng biến có f(sinA) < 0 ( vì
0 < sinA – sinB < sinA – sinC).
Bài toán 2: ( Thi HSG Quốc gia, 1992)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 ta có
n
Giải: Đặt x
n
1
n
n
n n
n
1
2.
n
n
n
0;1 , n N * . BĐT cần chứng minh trở thành
n
n 1 x n 1 x 2, x 0;1 .
Xét hàm số f ( x) n 1 x n 1 x liên tục x 0;1 có
1
1
1
0, x 0;1
f '( x)
n n (1 x)n1 n (1 x)n1
Vậy f(x) nghịch biến [0; 1) nên f(x) < f(0) = 2, x 0;1 (đpcm).
Bài toán 3: (ĐH An ninh, 1997)
Cho n là số lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi x 0 ta có
x2
x n
x 2 x3
xn
1 x
1 x
1.
...
...
2!
n !
2! 3!
n!
Giải: Đặt
x2
xn
u ( x) 1 x
...
2!
n!
x 2 x3
xn
v
(
x
)
1
x
...
2! 3!
n!
Ta cần chứng minh
f ( x) u ( x).v( x) 1 .
Ta có
6
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
x2
xn1
xn
u ( x) 1 x
...
u ( x)
2!
(n 1)!
n!
x 2 x3
x n1
xn
...
v ( x )
v ( x ) 1 x
2! 3!
(n 1)!
n!
Vậy
f ( x) u ( x).v( x) u ( x)v( x) u ( x).v( x)
xn
xn
xn
u ( x) .v( x) u ( x) v( x) u ( x) v( x)
n!
n!
n!
2 x n x2 x4
x n1
1
...
n ! 2! 4!
(n 1)!
Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên f ( x) cùng dấu với (-2x). Do đó ta có bảng biến thiên
x
y’
Y
0
0
1
+
-
Từ bảng biến thiên ta có f ( x) f (0) 1, x 0. (đpcm)
Bài toán 4: (Bộ đề tuyển sinh Đại học)
Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng
xn . 1 x
1
với mọi x 0;1 .
2n.e
Giải: Ta có
xn . 1 x
1
1
x 2 n (1 x)
(*)
2ne
2n.e
Xét hàm số f ( x) x 2 n (1 x) với x 0;1 . Ta có
f ( x) x 2 n1 2n (2n 1) x
Nên ta có bảng biến thiên
7
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
x
2n
2n 1
0
f’(x)
f(x)
+
1
0
-
(2n) 2 n
Vậy max g ( x )
.
(0;1)
(2n 1) 2 n1
Ta chứng minh
2 n 1
(2n) 2 n
1
2 n 1
(2n 1)
2ne
2 n 1
2n 1
2n
2n
2n 1
1
e
(2n 1) ln(2n 1) ln(2n) 1
e
ln(2n 1) ln(2n)
1
(2)
2n 1
Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f ( x ) ln x trên [2n; 2n+1] suy ra tồn tại
c 2n;2n 1 thuộc sao cho f ( x)
f (2n 1) f (2n)
. Suy ra
2 n 1 2n
1
1
ln(2n 1) ln(2n)
(3) .
e 2n 1
Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm.
Bài luyện tập
4
4
2
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x 0; ta có sinx x 2 x .
2
Bài 2: Chứng minh rằng nếu x > 0 và mọi số nguyên dương n ta có
x 2 x3
xn
e 1 x ... .
2! 3!
n!
x
8
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
Bài 3 (Toán học và tuổi trẻ)
1
2ln 2 .
k 1 k (2k 1)
n
Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng
HD: Xét hàm số
x 2 x3
x 2 n1 x 2 n
f ( x) ln(1 x) x ...
2
3
2
n
1
2n
trên 0; . Hàm số đồng biến trên 0;
suy ra f ( x ) f (0) , đpcm.
x 1
x
1
1
Bài 4: Cho x > 0. Chứng minh rằng 1 e 1 .
x
x
Bài 5: (ĐH Bách khoa, 1980)
3
Chứng minh rằng 3 x x
2
với x 0; .
sin 2 x
2
Bài 6: Tìm GTLN của hàm số f ( x) x 1 x 4 x 4 1 x với x 0;1 .
1.2 Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu
Trong một số bài toán có thể phải đạo hàm nhiều lần liên tiếp thậm chí phải
khảo sát thêm hàm số phụ. Ta thường sử dụng
f(x) đồng biến trên [a; b] thì f(x) > f(a) với mọi x > a.
f(x) nghịch biến trên [a; b] thì f(x) > f(b) với mọi x < b.
3
Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi x 0 ta có x x sinx x .
6
3
Giải: Xét hàm số f ( x) x x sinx trên 0; . Ta có
6
x2
1 cos x
2
f ( x) x sinx
f ( x) 1 cos x
f ( x)
1 cos x 0, x
Ta có f ( x)
0;
f ( x)
f (0)
0 , nên f’(x) đồng biến
trên 0; . Suy ra f ( x) f (0) 0 f ( x) đồng biến trên 0; . Do đó
9
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
f ( x ) f (0) 0, x 0 và f ( x) f (0) 0, x 0.
Tức là
x3
x3
x s inx>0 x
sinx với x > 0
6
6
Lưu ý f ( x) f (0) 0 với x > 0 ta có sinx x
(1)
(2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm.
Bài toán 6: Tìm GTNN của hàm số f ( x )
x2 x 1 x2 x 1 .
Giải: TXĐ: R.
Xét hàm số f ( x) x 2 x 1 x 2 x 1 trên R. Ta có
1
1
1
1
x
x
x
2
2
2
2
f ( x)
2
2
2
2
1 3
1 3
1 3
1
3
x
x
x
x
2 4
2 4
2 4
2
4
1
1
gx g x
2
2
x
với mọi x, trong đó
g (t )
t
3
t
4
, t R.
2
Vì hàm g đồng biến trên R nên
f ( x ) 0 x 0
1
1
f ( x ) 0 g x g x x 0
2
2
Ta có bảng biến thiên
x
0
f’(x)
f(x)
-
10
0
+
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
2
Từ bảng biến thiên suy ra min f ( x) 2 x 0 .
Bài toán 7: Cho a, b, x > 0 và a b . Chứng minh rằng
b x
a x
b x
b
a
b
b x
a x
Giải: Xét hàm số f ( x )
b x
x 0. Khi đó
,
a x
ln f ( x) b x ln
.
b x
Suy ra
ln f ( x) (b x)ln
a x
b x
f ( x)
ax
b x a x
ax ba
ln
(b x)
.
ln
f ( x)
bx
a x b x
bx ax
a x ba
f ( x ) f ( x) ln
b x ax
b x
a x
b x
trong đó g ( x ) ln
b x
a x ba a x
ln
b x a x b x
.g ( x )
a x ba
. Ta có
bx a x
g ( x)
b x ba
a b
(a b ) 2
.
0.
a x (b x )2 (a x ) 2
(a x )2 (b x )
Do đó g(x) nghịch biến trên 0; . Suy ra
a x ba
g ( x) lim g ( x) lim ln
0.
x
x
bx ax
11
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
Vậy f ( x) 0, x 0 , nên f(x) đồng biến trên 0; . Suy ra f(x) > f(0)
(đpcm).
Bài luyện tập
Bài 1: Chứng minh rằng x
x
1 x
x
x
1
1 x
2
, x 0;1 .
e
1
x
x
x
HD: Xét hàm số f ( x) x1 x x1 x x1 x x.x 1 x (1 x) x1 x , x 0;1 .
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi x > 0 ta có
x
x3
x3 x5
sinx x .
3!
3! 5!
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi x ta có
17 cos 2 x 4cos x 6 cos 2 x 2cos x 3 2 11 .
Bài 4: Tìm tập giá trị của hàm số
f ( x) x 2 2 x 4 x 2 2 x 4 .
1.3 Dạng 3: Kết hợp với các BĐT khác như BĐT AM-GM, BĐT CauchySchwarz, BĐT Chebyshes,…
Bài toán 8: Chứng minh rằng nếu 0 x
thì
2
2s inx 2 t anx 2 x1 .
Giải: Áp dụng BĐT AM-GM ta có 2s inx 2t anx 2. 2s inx.2t anx . Ta chứng minh
2 2s inx.2t anx
2 x 1
2s inx t anx
22 x
sinx t anx
2x .
Xét hàm số f ( x ) sinx t anx 2 x liên tục trên 0; , có
2
f ( x) cos x
1
1
2
2
cos
x
2 0, x
cos 2 x
cos 2 x
12
0; 2 .
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
(vì với x 0; thì cos x cos 2 x và theo BĐT AM-GM ta có
2
cos 2 x
1
2)
cos 2 x
Do đó f(x) đồng biến trên 0; . Suy ra f ( x) f (0) 0 , hay
2
sinx t anx 2x với mọi x 0;
2
(đpcm).
Bài toán 9: (Olympic 30 - 4 - 1999)
Chứng minh rằng
3
sinx
cos x, x
x
0; .
2
Giải: Ta biến đổi
3
sin 3 x
sinx
cos x sin 2 x.tan x- x 3 0 (1) .
cos x
3
x
x
Xét hàm số f ( x) sin 2 x.tan x- x 3 với x 0; . Ta có
2
f x 2sin 2 x tan 2 x 3x 2 .
Áp dụng BĐT 3(a 2 b 2 c 2 ) a b c ta có
2
f x sin 2 x sin 2 x tan 2 x 3 x 2
Đặt g ( x) 2sin x tan x 3x,
g x 2cos x
1
2
2sin x tan x 3 x 2 .
3
x 0; , thì
2
1
1
1
3 cos 2 x.
3
cos
x
cos
x
3
3
3 0
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x
, nên g(x) đồng biến trên
2
với mọi x 0;
0; 2 . Suy ra
g x g 0 0, x 0; .
2
13
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
Do đó f x
1
2
3x 3x 2 0 nên f(x) đồng biến trên
3
0; 2 . Suy ra
f x f 0 0, x 0; .
2
Nhận xét: Khi trong BĐT có chứa các loại hàm số khác nhau ta thường cô lập mỗi
loại hàm số để dễ xét dấu của đạo hàm, hoặc ta có thể đạo hàm liên tiếp để khử bớt
một loại hàm số như trong bài toán 5.
3
Cách 2: Theo bài 5 ta có x x sinx , suy ra
6
3
3
2
x2 x4 x6
x2 x4
sin x x
1
1 1
6
2 12 216
2 24
x
2
Ta chứng minh được
x2 x4
cos x 1
2 24
2
Từ (1) và (2) ta có đpcm.
Bài toán 10: Cho a, b 0;1 . Chứng minh rằng
f x
x
b
a
1 x 1 a 1 b 1, x 0;1 .
a b 1 x a 1 x b 1
Giải: Ta có
f x
f x
1
b
a
1 a 1 b
a b 1 x a 1 2 x b 1 2
2b
x a 1
3
2a
x b 1
3
0, 0;1
Nên hàm số f’(x) đồng biến trên [0; 1], suy ra phương trình f’(x) = 0 có nhiều nhất
một nghiệm trên (0; 1).
Nếu phương trình f’(x) = 0 vô nghiệm thì f(x) đơn điệu trên [0; 1], thì
f x max f x max f 0 ; f 1 .
0;1
14
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
Ta có
b
a
a 2b 2 a b 1 ab a b 1
f 0
1 a 1 b
1
a 1 b 1
a 1 b 1 a 1 b 1
f 1
1
a
b
1
a
b
1
a b 1 b 2 a 2 a b 1 b a 1 a b 1
Suy ra
f x max f x max f 0 ; f 1 1
0;1
Nếu phương trình f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x x0 . Khi đó do f’(x)
đồng biến trên [0; 1], nên
f x 0, x 0; x0 và f x 0, x x0 ;1 .
Do đó x0 là điểm cực tiểu của hàm số, mà f(x) liên tục trên [0; 1] nên
f x max f x max f 0 ; f 1 1 .
0;1
Từ hai trường hợp ta có đpcm.
Bài toán 11: (VMO – 2003, Bảng B)
Cho hàm số f xác định trên tập số thực, lấy giá trị trên R và thỏa mãn điều kiện
f cot x sin 2 x cos 2 x, x 0; .
2
2
Hãy tìm GTLN và GTNN của hàm số g x f sin x . f cos x trên R.
Giải: Ta có
f cot x sin 2 x cos 2 x, x 0;
2cot x
cot 2 x 1 cot 2 x 2cot x 1
f cot x
, x 0;
cot 2 x 1 cot 2 x 1
cot 2 x 1
Từ đó với chú ý rằng với mỗi t R đều tồn tại x 0; sao cho cot x = t ta
được
t 2 2t 1
f t
, t R .
t2 1
Dẫn tới
15
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
sin 4 2 x 32sin 2 2 x 32
g x f sin x . f cos x
, x R (1) .
sin 4 2 x 8sin 2 2 x 32
2
Đặt u
2
1 2
sin 2 x . Dễ thấy Khi x chạy qua R thì u chạy qua
4
1
0; 4 . Vì vậy từ (1)
ta được
min g ( x) min h(u )
x R
1
0; 4
và
m ax g ( x) m ax h(u )
x R
1
0; 4
u 2 8u 2
trong đó h u 2
. Ta có
u 2u 2
h u
2 5u 2 4u 6
u 2 2u 2
2
.
1
Dễ dàng chứng minh được h u 0, u 0; . Suy ra hàm h(u) đồng biến
4
1
1
trên 0; . Vì vậy trên 0; ta có
4
4
1 1
min h u h 0 1 và max h u h .
4 25
Vậy min g x 1 , đạt được chẳng hạn khi x = 0 và max g x
chẳng hạn khi x
1
, đạt được
25
.
4
Bài luyện tập
sin x
Bài 1: Chứng minh rằng 4
2
tan x
2
3 x2
2
, x 0; .
2
2. Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số
Để chứng minh BĐT có chứa nhiều biến số bằng phương pháp đạo hàm thì điều
quan trọng nhất là chúng ta đưa được về một biến và khảo sát hàm số theo biến
đó.
16
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
2.1 Dạng 1: Khảo sát hàm đặc trưng
Bài toán 12: Chứng minh rằng
a)
b)
x 1
x x 1
2
2, x
x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 3, x, y, z thỏa mãn x + y + z =
3.
Giải: a) Xét hàm số
f x
x 1
x2 x 1
f x
, x R . Ta có
3 1 x
2 x 2 x 1 x 2 x 1
và
f x 0 x 1;
lim f x 1,
x
lim f x 1
x
Ta có bảng biến thiên
x
1
f’(x)
f(x)
+
0
2
-
-1
1
Từ bảng biến thiên suy ra f x f 1 2, x .
b) Áp dụng câu a ta có
x 1
x x 1
2
2, x
x2 x 1
1
x 1
2
(1)
Tương tự ta có
17
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
1
y 1
2
1
z 2 z 1 z 1
2
y2 y 1
2
3
Cộng từng vế các BĐT (1), (2) và (3) ta có
x2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1
1
3 x y z 3 (đpcm).
2
Trong một số bài toán ta có thể nhìn thấy ngay hàm đặc trưng, tuy nhiên một số
bài ta cần phải biến đổi mới nhìn thấy hàm đặc trưng. Xét bài toán sau
Bài toán 13: Cho A, B, C là ba góc của một tam giác nhọn. Chứng minh rằng
tan A tan B tan C 6 sin A sin B sin C 12 3 .
Giải: Xét hàm số
f x tan x 6sin x 7 x với 0; .
2
Ta có
f x
1
cos x 1 3cos x 1 2cos x 1 .
6cos x 7
2
cos x
cos 2 x
nên
2
Vì x 0;
f x 0 2cos x 1 0 x
.
3
ta được
2
Lập bảng biến thiên của f(x) trên 0;
7
min f x f 4 3
3
3 .
0;
2
Áp dụng vào bài toán ta được
7
f A f B f C 3 4 3
3
tan A tan B tan C 6 sin A sin B sin C 12 3.
18
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
Nhận xét: Trong BĐT trên A, B, C bình đẳng nên ta dễ dàng kiểm tra được dấu
bằng xảy ra khi và chỉ khi A B C
. Vì vậy ta cần chọn một hàm số có
3
dạng
f x tan x 6sin x kx
0 . Do đó k = -7 và ta tìm được hàm đặc trưng cần xét.
3
sao cho f
Bài toán 14: (ĐH Quốc gia Hà Nội, 2000)
Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng
8a 8b 8c 2a 2b 2c .
Giải: Xét hàm số f x 2 x
3
2 x 2 x ln 2 trên R. Ta có
f x 3. 2 x .ln 2 2 x.ln 2 2ln 2 2 x 1 3.2 x 2 ln 2
2
và
f x 0 2 x 1 x 0 .
Ta có bảng biến thiên
x
0
f’(x)
f(x)
-
0
+
0
Suy ra f x 0, x R
f a f b f c 0
8a 8b 8c (2 a 2b 2c ) 2 a b c ln 2 0
8a 8b 8c 2 a 2 b 2 c
19
Phạm Văn Dũng
Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
Nhận xét: Các bạn thử nghĩ xem tại sao không xét hàm số f x 2 x
3
2x ?
Trong một số bài toán BĐT hai biến ta phải biến đổi cô lập mỗi biến về một vế,
khi đó xuất hiện hàm đặc trưng cần khảo sát.
Bài toán 15: (Đại học khối D, 2006)
Chứng minh rằng
b
a
a 1 b 1
2 a 2 b , a b 0 .
2
2
Giải: Ta có
b
a 1
2 ++ a
2
b
2
a
1
2b
1 4 1 4 ln 1 4
ln 1 4 ln 1 4
a b
b a
a
+
b
1 4a
a
2
Xét hàm số f x
a b
a
1 4b
b
2
ln 1 4b
a
b
a
b
ln 1 4 x
x
f x
với x > 0. Ta có
4 x ln 4 x 1 4 x ln 1 4 x
x2 1 4x
0,
nên f là hàm nghịch biến trên 0; . Do đó f a f b (đpcm).
Nhận xét: Trong bài toán trên ta đã sử dụng kêt quả:
Cho hàm số f(x) đồng biến trên (a; b). Khi đó với , a; b ta có
f f .
Bài toán 16: Chứng minh rằng với mọi x, y 0;1 , x
1
y
x
ln
ln
4
y x 1 y
1 x
y ta có
1 .
Giải:
Nếu y > x thì
20
Phạm Văn Dũng
- Xem thêm -