Tài liệu Skkn phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gian

BM 01-Bìa SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG  Mã số: ................................ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Người thực hiện: DƯƠNG THỊ YẾN Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học Phương pháp giáo dục   Lĩnh vực khác: .........................................................  Có đính kèm:  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC Năm học: 2016-2017 1  Hiện vật khác BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC –––––––––––––––––– I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên : DƯƠNG THỊ YẾN. 2. Ngày tháng năm sinh : 25 / 01 / 1987. 3. Nam, nữ : Nữ. 4. Địa chỉ : Tổ 6 khu 2 thị Trấn Gia Ray – Xuân Lộc – Đồng Nai. 5. Điện thoại : 0987171650. 6. Fax : 7. Chức vụ : Emai : Giáo viên. 8. Nhiệm vụ được giao: giảng dạy môn Toán khối lớp 11, khối lớp 12, chủ nhiệm lớp 12B11. 9. Đơn vị công tác: Trường THPT Xuân Hưng. II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất :Cử nhân . - Năm nhận bằng : 2010. - Chuyên ngành đào tạo : Sư Phạm Toán học. III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán. - Số năm có kinh nghiệm: 6 năm. - Sáng kiến kinh nghiệm kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: “ Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng”. 2 BM03-TMSKKN Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Đối với học sinh ở bậc THCS,THPT các em đều rất ngại học các tiết học hình học. Học sinh luôn cảm thấy khó khăn khi làm bài tập và nhiều khi muốn bỏ qua những tiết hình học.Trong đó có nội dung thuộc kiến thức lớp 12 : “ Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gian” cũng là một nội dung các em thấy khó và nhầm lẫn trong quá trình giải toán. - Tuy là các em đã làm quen với đường thẳng trong chương trình ở bậc học THCS và sau đó đến chương trình hình học 10 các em cũng đã được làm quen với cách viết phương trình đường thẳng trong hệ trục Oxy. Nhưng khi các em học nội dung viết phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng trong không gian thì các em lúng túng và sai sót nhiều. Lý do thường là các em không nắm lý thuyết, nhầm lẫn nội dụng này sang nội dung kia. Các em chưa phân biệt được các dạng bài toán, những yếu tố cần để có thể làm được bài toán. - Để học sinh tự tin và hứng thú tiếp thu nội dung học này và cũng để chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPTQG sắp tới.Tôi chọn đề tài “ Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gian” II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN a, Cơ sở thực tiễn * Thuận lợi - Trong sách giáo khoa các nội dung đã trình bày đã kĩ lưỡng và có nhiều hoạt động dành cho học sinh tạo hứng thú cho học sinh tiếp thu kiến thức mới. - Sách bài tập có tóm tắt bài học và đưa ra nhiều bài tập sau đó hướng dẫn giải để các em tham khảo. * Khó khăn - Đa số học sinh khi trước khi tới trường chỉ học bài cũ mà không xem trước nội dung bài mới. - Chủ yếu là các em thu những kiến thức này khi giáo viên truyền đạt mà sau khi học ít bản thân các em ít khi so sánh các dữ kiện khác nhau giữa các bài toán . Mặt khác sau khi học xong chương trình toán ở lớp dưới các em thường quên và không xem lại những kiến thức đã được học. - Ý thức học tập của nhiều học sinh còn chưa cao, và chưa có phương pháp học tập hiệu quả vẫn còn nhiều học sinh học thuộc lòng. - Học sinh trong một lớp đa số là không đồng đều về học lực. 3 b, Cơ sở lý luận Toán học trong chương trình phổ thông là môn học có rất nhiều ứng dụng trong thực tế và cả các bộ môn khác. Nhưng do học sinh học toán một cách rất máy móc chỉ biết học trên lý thuyết chứ ít khi đặt ra vấn đề: nội dung này học để làm gì, có áp dụng vào thực tế không? Thông thường các em thường học với mục đích là hoàn thành nội dung thầy cô dạy trên lớp, kiểm tra và thi. Chính vì vậy nên việc học của các em thường không tự giác dẫn đến các em không có hứng thú và đương nhiên là luôn cảm thấy khó hiểu. Nội dung “Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gian” trong chương trình hình học lớp 12 cũng gây rất nhiều khó khăn cho các em. Nguyên nhân chính là các em thường không tự tổng hợp được các nội dung kiến thức các bài gây nhẫm lẫn giữa nội dung bài học này với bài học kia. Và thấy khó khăn khi áp dụng từ lý thuyết đi đến thực hành và làm các bài tập liên quan. Đặc biệt là chuẩn bị đến các kỳ thi quan trong cùng với việc đổi mới trong kiểm tra và thi gây cho các em rất hoang mang .Vì vậy giáo viên cần chỉ rõ, cụ thể và hướng dẫn cho học sinh biết tổng hợp lý thuyết và áp dụng chúng vào các dạng toán cụ thể. - Chính vì vậy tôi chọn đề tài “ Phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gian”. Nội dung đề tài gồm có tóm tắt lý thuyết và đưa ra các một số dạng toán cơ bản liên quan đến phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng trong không gian. III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP A. LÝ THUYẾT I. Hệ tọa độ trong không gian 1. Hệ trục tọa độ Oxyz - Ba trục Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung gốc tọa độ O. Gọi ruu r r i, j, k là các vec tơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox,Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Oxyz. - Chú ý r2 u2 r u2 r * i  j  k 1 r ru ru r uu rr * i. j  i.k  j.k  0 2.Tọa độ Véctơ u r u r r u r u r a, Định Nghĩa: u  (x; y;z)  u  x.i  y j  zk 4 r u r b,Tính chất : Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ),k  R u r r   a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) u r ka  (k a1;k a2 ;k a3 )  a1  b1  a  b   a2  b2 a  b 3  3 u r   r r r u r u r 0  (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1) r r u r r r u r  a cùng phương b(b  0)  a  kb  a1  kb1   a  kb   a2  kb2 (k  R)   a  kb 3  3 r u r a1 a2 a3   (b , b , b  0) b1 b2 b3 1 2 3 ur r   a.b  a1.b1  a2 .b2  a3.b3 u r r a  b  a1.b1  a2 .b2  a3.b3  0 u2 r u r a  a12  a2 2  a32  a  a12  a2 2  a32  u r r ur r u r r r a1.b1  a2 .b2  a3.b3 a.b cos(a, b)  u r  (a, b  0) r a12  a2 2  a32 . b12  b2 2  b32 a.b  3. Tọa độ điểm u uu uu r r u r u r a, Định nghĩa: M  ( x; y; z )  OM  x.i  y j  zk ( x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ). chú ý  M  (Oxy )  z  0; M  (Oxz )  y  0; M  (Oyz )  x  0 .  M  Ox  y  z  0; M  Oy  x  z  0; M  Oz  x  y  0 . 5 b, Tính chất: Cho A(x A ; yA ; z A ); B(x B ; yB ; zB ); C (x C ; yC ; zC ); D(x D ; yD ; zD ) uu ur  AB  (x B  x A ; yB  y A ; zB  z A ) . uu ur  AB  (x B  x A )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A )2 .  Tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k  1) M ( x A  k x B y A  kyB z A  kzB ; ; ) 1 k 1 k 1 k .  Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB : I ( x A  x B y A  yB z A  z B ; ; ) 2 2 2 .  Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC G( x A  x B  xC y A  yB  yC z A  zB  zC ; ; ) 3 3 3 .  Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD G( x A  x B  xC  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  zD ; ; ) 4 4 4 . 4. Tích có hướng của hai véc tơ: u r r a, Định nghĩa : Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) u r r u r r a, b   a  b  (a2 .b3  a3 .b 2 ; a3.b1  a1.b3 ; a1.b 2  a2 .b1 ) Khi đó:   b, Tính chất  u r r u r a, b   a;    u r r a, b   0   r ur r a, b   b   . u r r thì a và b cùng phương. 5. Phương trình mặt cầu 6  Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a, b, c) và bán kính R : ( x  a ) 2  ( y  b) 2  ( z  c) 2  R 2 . 2 2 2  Phương trình x  y  z  2ax  2by  2cz  d  0 là phương trình mặt cầu 2 2 2 khi a  b  c  d  0 . Khi đó mặt cầu có tâm I (a, b, c) và bán kính R  a2  b2  c 2  d . II. Phương trình mặt phẳng 1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng u r r u r n  0 là VTPT của mặt phẳng ( ) nếu giá của n vuông góc với ( ) .  Vectơ u r r  Hai vectơ a, b là một cặp VTCP của ( ) nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên ( ) . Chú ý : u r u r + Nếu n là một VTPT thì kn(k  0) cũng là VTPT của ( ) . u r r u r u r r + Nếu a, b là một cặp VTCP của ( ) thì n  [a, b] là một VTPT của ( ) . 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng u r  Phương trình mặt phẳng đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một VTPT n  ( A; B; C ) là A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 .  Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua A(a;0;0) , B( 0;b;0), C (0;0;c) với a  0, b  0, c  0 .Khi đó : x y z   1 (ABC) : a b c . 3. Các trường hợp đặc biệt  (Oxy) có phương trình z =0.  (Oyz) có phương trình x = 0.  (Oxz) có phương trình y = 0. 7 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Cho (1 ) : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0;( 2 ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 . u u r ur u  (1 ) cắt ( 2 ) ۹ n1 kn2  u u r ur u  n1  kn2    (1 ) / /( 2 )  D1  kD2  u u r ur u  n1  kn2    (1 )  ( 2 )  D1  kD2  (1 )  ( 2 )  A1 A2  B1B2  C1C2  0 5. Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 d (M ,( ))  Ax0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2 . III. Phương trình đường thẳng 1. Phương trình tham số của đường thẳng  Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP u r u  (a; b; c)  x  x0  at   y  y0  bt  z  z  ct 0 d:  ( t là tham số)  Nếu a  0, b  0, c  0 khi đó d có phương trình chính tắc là x  x0 y  y0 z  z 0   b c . d: a 2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng 8 Cho hai đường thẳng d ; d ' có phương trình tham số là  x  x0 ' a ' t '  x  x0  at  d :  y  y0  bt d ':  y  y0 ' b ' t '   z  z  ct  z  z ' c ' t ' 0 0   và ( t và t’ là tham số) u r u r Với d có VTCP u  (a; b; c) và d’ có VTCP u '  (a '; b '; c ')   x0  at  x0 ' a ' t '   y0  bt  y0 ' b ' t ' u u r u r  d / / d ' khi và chỉ khi u  ku ' và  z0  ct  z0 ' c ' t ' ẩn t; t ' vô nghiệm.   x0  at  x0 ' a ' t '   y0  bt  y0 ' b ' t '  d  d ' khi và chỉ khi  z0  ct  z0 ' c ' t ' ẩn t; t ' vô số nghiệm.   x0  at  x0 ' a ' t '   y0  bt  y0 ' b ' t '  d ; d ' cắt nhau khi và chỉ khi  z0  ct  z0 ' c ' t ' ẩn t; t ' có đúng một nghiệm. r uu r u  d ; d ' chéo nhau khi và chỉ khi u, u ' không cùng phương và  x0  at  x0 ' a ' t '   y0  bt  y0 ' b ' t '  z  ct  z ' c ' t ' 0  0 ẩn t; t ' vô nghiệm. r uu r u  d  d '  u.u '  0 . B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Vấn đề 1: Lập phương trình mặt phẳng Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT u r n  ( A; B; C ) . Khi đó ( ) : A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 . Ví dụ 1: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng ( ) u r đi qua M (1;2;3) và có VTPT n  (2;1;1) . 9 Giải: u r Vì ( ) đi qua M (1; 2;3) và có VTPT n  (2;1;1) nên ( ) có phương trình : 2( x 1)  1( y  2)  1( z  3)  0  2x  y  z  7  0 . Ví dụ 2:Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;2). Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ) là lớn nhất. Giải: * Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng ( ) . Khi đó ta có OH  OM . u uu uu r * Để d (O,( )) là lớn nhất thì OM  ( ) hay OM là VTPT. u uu uu r * Mặt phẳng ( ) đi qua M và có VTPT OM  (1;2;2) nên phương trình ( ) : x 1  2(y 2)  2(z 2)  0  x  2 y 2z 9  0 . Ví dụ 3: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M (3;2;1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B,C sao cho M là trực tâm của tam giác ABC. Giải: * Vì A, B, C lần lượt thuộc Ox, Oy, Oz và M là trực tâm của tam giác ABC nên OM  ( ABC ) hay OM  ( ) . u uu uu r * Mặt phẳng ( ) đi qua M (3;2;1) và có VTPT OM  (3;2;1) * Vậy phương trình mặt phẳng ( ) là 3(x  3)  2(y 2)  z 1  0  3x  2 y z 14  0 . Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A( xA ; yA ; z A ); B( xB ; yB ; zB );C( xC ; yC ; zC ) . Cách làm: 10 u u u ur ur uu *Tìm tọa độ AB; AC . u r u u u ur ur uu n   AB, AC    *Tính . u r * Vì ( ) đi qua A,B,C nên nhận n làm VTPT. u r * Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và có VTPT n . Ví dụ 4: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A (1;-2;1); B( 0;2;1); C(3;1;2). Giải: *Ta có uu ur AB  (1;4;0) u ur uu AC  (2;3;1) u r * u u u ur ur uu n   AB, AC   (4;1; 11)   . u r *Vì mặt phẳng ( ) đi qua A, B,C nên nhận n làm VTPT. * Vậy phương trình mặt phẳng ( ) là 4( x 1)  y  2 11( z 1)  0  4 x  y 11z  9  0 . Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua 3 điểm không thẳng hàng và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là A(a;0;0); B(0; b;0);C(0;0; c) , a  0, b  0, c  0 . Cách làm: Cách 1: Trình bày tương tự như ở dạng 2. Cách 2: Do 3 điểm A;B;C lần lượt thuộc Ox, Oy, Oz nên sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. x y z ( ) theo đoạn chắn: a  b  c  1 . *Ta có phương trình mặt phẳng Ví dụ 5: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A (2;0;0); B( 0;3;0); C(0;0;6). 11 Giải: Cách 1: Ta có uu ur * AB  (2;3;0) u ur uu * AC  (2;0;6) . u r * u u u ur ur uu n   AB, AC   (18;12;6)   . u r *Vì mặt phẳng ( ) đi qua A, B,C nên nhận n làm VTPT. * Vậy phương trình mặt phẳng ( ) là 18( x  2)  12 y  6 z  0  3x  2 y  z  6  0 . Cách 2: *Ta có mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là x y z    1  3x  2 y  z  6  0 2 3 6 . Ví dụ 6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (2;-3;1). Gọi A, B,C lần lượt là hình chiếu của điểm M lên các trục Ox,Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng ( ABC). Giải: * Hình chiếu của M lên trục Ox là điểm A (2;0;0). * Hình chiếu của M lên trục Oy là B ( 0;-3;0). * Hình chiếu của M lên trục Oz là C (0;0;1). * Ta có phương trình (ABC) theo đoạn chắn là x y z    1  3x  2 y  6 z  6  0 2 3 1 . Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với mặt phẳng (  ) : Ax  By  Cz  D  0 . Cách làm: Cách 1: 12 u r *Ta có VTPT của mặt phẳng (  ) : n  ( A; B; C ) .  u r *Vì ( ) đi qua điểm M và ( ) / /(  ) nên ( ) nhận n làm VTPT.  *Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 . Cách 2: u r * Ta có VTPT của mặt phẳng (  ) : n   ( A; B; C ) . *Vì ( ) / /(  ) nên phương trình mặt phẳng ( ) có dạng Ax  By  Cz  D '  0( D '  D) *Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng ( ) ta tìm được D ' . *Kết luận. Ví dụ 7: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A (0;-3;5) và song song (  ) 2x+5y-3z+1=0. Giải: Cách 1: ur u *Ta có n  (2,5, 3) ur u * Vì ( ) đi qua điểm A và ( ) / /(  ) nên ( ) nhận n làm VTPT. *Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 2( x  0)  5( y  3)  3(z  5)  0  2 x  5 y 3z  30  0 . Cách 2: ur u *Ta có n  (2,5, 3) . *Vì ( ) / /(  ) nên phương trình mặt phẳng ( ) có dạng 2 x  5 y  3z  D '  0( D '  1) *Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng ( ) : 2.0  5(3)  3.5  D '  0  D'  30 . *Vậy phương trình ( ) : 2 x  5 y  3z  30  0 . 13 Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với  x  x0  at   y  y0  bt  z  z  ct 0 đường thẳng d:  ( t là tham số). Cách làm: u r *Ta có VTCP của đường thẳng d: u  (a; b;c) . d u r *Vì ( ) đi qua M và vuông góc với d nên ( ) nhận u  (a; b;c) làm VTPT. d *Viết phương trình mặt phẳng ( ) . Ví dụ 8: Trong không gian hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua  x  2  3t   y  5  t  A (-2;0;3) và vuông góc với đường thẳng d:  z  1  2t Giải: u r *Ta có VTCP của đường thẳng d: u d  (3; 1;2) . u r *Vì ( ) đi qua A và ( ) vuông góc với d nên ( ) nhận u d  (3; 1;2) làm VTPT. *Vậy phương trình mặt phẳng ( ) là 3( x  2)  ( y  0)  2( z  3)  0  3x  y  2 z  0 . Ví dụ 9: Trong không gian hệ trục Oxyz, cho ba điểm A (-1;0;2), B (-2;0;1), C(-5;1;3). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC. Giải: uu uu r *Ta có BC  (3;1;2) . uu ur *Vì ( ) đi qua A và ( ) vuông góc với BC nên ( ) nhận BC làm VTPT. *Vậy phương trình mặt phẳng ( ) là 14 3( x  1)  ( y  0)  2( z  2)  0  3x  y  2 z  7  0 Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A( x A ; y A ; z A ) , B(x B ; y B ; zB ) và vuông góc với (  ) : Ax  By  Cz  D  0 . Cách làm: uu ur *Tính AB . u r *Mặt phẳng (  ) có VTPT n   ( A; B; C ) . u r *Tính uu u ur r n   AB, n     . u r *Vì ( ) đi qua A,B và vuông góc với (  ) nên nhận n làm VTPT. u r * Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua A và VTPT n . Ví dụ 10: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A (-1;2;2) ,B (0;1;1) và vuông góc với mp (  ) : 2x-y- 2z - 6=0. Giải: uu ur * AB  (1; 1; 1) . ur u n  (2; 1; 2) . *VTPT của mặt phẳng (  ) ;  u r *Ta có uu u ur r n   AB, n    (1;0;1)   . u r * Vì ( ) đi qua A,B và vuông góc với (  ) nên nhận n làm VTPT. * Vậy phương trình mặt phẳng ( ) là x  1  0( y  2)  z  2  0  x  z 1  0 .  x  x0  at   y  y0  bt  z  z  ct 0 Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d:  ( t là tham số) và vuông góc với mặt phẳng (  ) : Ax  By  Cz  D  0 . 15 Cách giải: *Lấy điểm M thuộc d. u r * Ta có VTCP của đường thẳng d: u d  (a; b; c) . u r *Mặt phẳng (  ) có VTPT n  ( A; B; C ) .  u r *Tính u u r r n  u d , n     . u r *Vì ( ) chứa d và ( ) vuông góc với (  ) nên nhận n làm VTPT. u r * Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M và VTPT n . Ví dụ 11: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng ( )  x  1  2t   y  3t z t chứa đường thẳng d:  ,và vuông góc với mặt phẳng (  ) : 3x  2 y  6 z  1  0 . Giải: *Lấy điểm M (1;3;0) thuộc d. u r *Ta có VTCP của đường thẳng d: u d  (2; 1;1) . u r *Mặt phẳng (  ) có VTPT n  (3;2; 6) .  u r *Tính u u r r n  u d , n    (4;9;1)   . u r *Vì ( ) chứa d và vuông góc với (  ) nên nhận n làm VTPT. * Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 4( x 1)  9( y  3)  ( z  0)  0  4 x  9 y  z  31  0 . Ví dụ 12: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d: x y 1 z   2 1 1 và vuông góc với mặt phẳng 16 ( P) : x  3 y  z  2  0 . Giải: u r *Đường thẳng d có điểm M (0;1;0) và VTCP u  (2;1;1) . u r *Mặt phẳng (P) có VTPT n  (2; 1;2) . *Vì ( ) chứa d và vuông góc mặt phẳng (P) nên ( ) có VTPT . u r uu r r n  u, n   (3;6;0)   . u r *Vậy phương trình mp ( ) đi qua điểm M và có VTPT n là x  2 y  2  0 . Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng (  ) : Ax  By  Cz  D  0 và cách (  ) một đoạn bằng k (k>0). Cách làm: ur u (  ) có VTPT n  ( A; B; C ) . *Mặt phẳng *Vì ( ) song song với (  ) nên phương trình mặt phẳng ( ) có dạng là Ax  By  Cz  D '  0( D '  D ) . * Lấy M bất kỳ thuộc (  ) khi đó d ( M ,( ))  d ((  ),( ))  k (*) . *Giải phương trình (*) ta tìm được D’. *Kết luận. Ví dụ 13 : Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua song song (  ) : 2x-y- 2z - 6=0 và cách (  ) một đoạn bằng 3. Giải: ur u (  ) có VTPT n  (2; 1; 2) . * Mặt phẳng * Vì ( ) // (  ) nên phương trình mặt phẳng ( ) : 2x-y- 2z +D’=0 (D'  6) . 17 * Lấy M  0,0, 3  (  ) . * Ta có d ( M ,( ))  d (( ),( )) . | 6  D '| 3 3 6  D '  9   6  D '  9 D '  3    D '  15  *Vậy phương trình ( ) : 2 x  y 2z  3  0 hay ( ) : 2 x  y 2z 15  0 . Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với (S): ( x  a)2  ( y  b) 2  ( z  c) 2  R 2 tại điểm M ( x0 ; y 0 ; z0 ) . Cách làm: *Mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) và bán kính R. uu ur *Vì ( ) tiếp xúc với (S) tại M nên VTPT của ( ) là IM . uu ur * Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M và có VTPT IM . Ví dụ 14: Viết phương trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với (S): ( x 1)2  ( y  2)2  ( z  3) 2  9 tại điểm M (3;0;4) . Giải: *Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) và bán kính R= 3. uu ur *Vì ( ) tiếp xúc với (S) tại M nên VTPT của ( ) là IM  (2; 2;1) . uu ur *Vậy phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M và có VTPT IM  (2; 2;1) là 2 x  2 y  z  10  0 . Ví dụ 15: Viết phương trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với (S): x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  1  0 tại điểm A (-1;2;2). Giải: 18 *Mặt cầu (S) có tâm I (-2;1;0) và bán kính R= 6. uu u r *Vì ( ) tiếp xúc với (S) tại A nên VTPT của ( ) là IA  (1;1;2) . uu u r *Vậy phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M và có VTPT IA  (1;1;2) là ( ) : x  y  2z  5  0 . Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với (  ) : Ax  By  Cz  D  0 tiếp xúc với (S): ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R 2 . Cách làm: ur u (  ) có VTPT n  ( A; B; C ) . * Mặt phẳng * Mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) và bán kính R. * Vì ( ) song song với (  ) nên phương trình mặt phẳng ( ) có dạng Ax  By  Cz  D '  0( D '  D ) . *Vì ( ) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,( ))  R (*). * Giải phương trình (*) ta tìm được D’. *Kết luận. Ví dụ 16: Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với (  ) : x  2 y  2 z  6  0 2 2 2 tiếp xúc với (S): ( x 1)  ( y  2)  z  25 . Giải: ur u (  ) có VTPT n  (1; 2; 2) . * Mặt phẳng * Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;0) và bán kính 5. * Vì ( ) song song với (  ) nên phương trình mặt phẳng ( ) có dạng x  2 y  2 z  D '  0( D '  6) . *Vì ( ) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,( ))  5 (*). 19 |1  2.2  2.0  D '| | 5  D '| 5 5 3 3 5  D '  15   5  D '  15  D '  10   ( n)  D '  20 . (*)  * Vậy phương trình ( ) : x  2 y  2 z  10  0. ( ) : x  2 y  2 z  20  0. Ví dụ 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) 2 2 2 vuông góc với trục Oy tiếp xúc với (S): ( x 1)  ( y  2)  ( z  3)  9 . Giải: u r * Trục Oy có VTCP j  (0;1;0) . * Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) và bán kính 3. * Vì ( ) vuông góc với Oy nên phương trình mặt phẳng ( ) có dạng y  D  0 . *Vì ( ) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,( ))  3 (*). (*)  2  D  3 D  1 |2 D| 3    1 D  5 2  D  3 * Vậy phương trình ( ) : y  1  0 hay ( ) : y  5  0 . Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M ( x0 ; y 0 ; z0 ) và vuông góc với hai mặt phẳng ( P) : Ax  By  Cz  D  0 và (Q) : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0 . Cách làm: u u r *Mặt phẳng (P) có VTPT n1  ( A; B; C ) . ur u *Mặt phẳng (Q) có VTPT n2  ( A '; B '; C ') . 20