Tài liệu Skkn sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ.

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú Mục lục 1 Mở đầu 3 1.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Mục đích của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Phạm vi của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Điểm mới của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Một số kiến thức lý thyết 5 2.1 Các kiến thức về tam giác và đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1 Định lý Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2 Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp . . . . . . . 5 2.1.3 Hệ thức lượng trong tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.4 Định lí cosin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.5 Công thức độ dài đường trung tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.6 Định lí sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.7 Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung . . . . . . 8 2.2 Các kiến thức về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 Toạ độ của điểm và toạ độ và toạ độ vectơ . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.3 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.4 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.5 Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.6 Phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.7 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn . . . . . . . . . . . 12 3 Các bài toán 13 3.1 Sử dụng định lý Thales và tính tỉ số đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.1 Tìm toạ độ điểm chia đoạn thẳng cho trước bởi một tỉ số cho trước . . 13 3.1.2 Tìm toạ độ một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước . . . . . . 13 3.2 Sử dụng tính chất đường phân giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và tạo với một đường thẳng góc cho sẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú 3.4 Các kĩ thuật sử dụng toạ độ các điểm cho sẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4.1 Sử dụng đường thẳng đi qua hai điểm cho sẵn . . . . . . . . . . . . . 19 3.4.2 Tìm một điểm cách hai điểm cho sẵn những khoảng cách đã biết . . . 20 3.5 Góc tạo bởi tiếp tuyến của đường tròn và dây cung . . . . . . . . . . . . . . 22 3.6 Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, diện tích tam giác vuông . . . 24 3.7 Sử dụng các điểm cùng thuộc một đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.8 Kĩ thuật tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.9 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú Chương 1 Mở đầu 1.1 Lý do chọn đề tài Đề thi đại học các năm gần đây thường có bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng. Kì thi quốc gia năm 2015 sắp đến cũng sẽ có bài toán này. Ở chương 3 hình học lớp 10, học sinh đã được học phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Tuy nhiên, các bài toán mà học sinh gặp ở lớp 10 chỉ dừng lại ở việc sử dụng toạ độ như toạ độ của điểm, vectơ, phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, góc, khoảng cách. Bài toán trong đề thi thì khác hẳn, đó là bài toán tổng hợp đòi hỏi phải huy động nhiều kiến thức hình học phẳng mà đa số nằm ở cấp 2 (trung học cơ sở). Nhiều bài toán đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt các tính chất hình học để đi đến lời giải nhanh hơn, còn nếu chỉ sử dụng thuần tuý toạ độ thường được lời giải sẽ dài dòng, có khi không thể giải được. Đây là một khó khăn thực sự của học sinh trong việc ôn thi kì thi quốc gia năm 2015 sắp tới. Để giúp học sinh có tài liệu học tập, luyện tập cho kiểu bài toán này, giáo viên có tài liệu tham khảo, chúng tôi viết chuyên đề “sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ”. 1.2 Mục đích của đề tài Chuyên đề này nhằm mục đích cung cấp tài liệu học tập, bài tập luyện tập cho học sinh, và cũng là một tài liệu tham khảo cho giáo viên. Khi đọc tài liệu này, học sinh sẽ được nhắc lại các kiến thức hình học phẳng ở cấp 2 về tam giác, đường tròn mà có thể các em đã quên, sử dụng một cách hợp lí các tính chất đó để giải bài toán. Đây còn là một tài liệu tham khảo cho giáo viên, cung cấp cho giáo viên một phương án tham khảo để hệ thống hoá, phân chia các dạng bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng. 1.3 Phạm vi của đề tài Mảng kiến thức liên quan trực tiếp của đề tài là chương 3 hình học lớp 10: phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Tuy nhiên, đề tài liên quan đến các kiến thức hình học phẳng ở cấp 2 như: tam giác, đường tròn, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, định lý Thales, tiếp tuyến của đường tròn, góc nội tiếp,... 3 Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú 1.4 Điểm mới của đề tài Chúng ta thường thấy bài toán toạ độ trong mặt phẳng trong các đề thi đại học các năm trước, các để thi thử đại học của các trường. Tuy nhiên đó là các bài toán riêng lẻ trong một đề thi tổng hợp. Tài liệu hệ thống hoá các dạng bài, các phương pháp giải rất hiếm. Điểm mới của chuyên đề là cố gắng phân loại (chỉ tương đối) các bài toán. Một điểm mới nữa là trước khi giải bài toán, chúng tôi phân tích các tính chất hình học để định hướng việc tìm lời giải. Việc này theo chúng tôi nghĩ là cần thiết, việc phân tích này sẽ giúp cho học sinh biết tại sao ta lại giải như vậy, cung cấp kinh nghiệm sử dụng từng loại giả thiết về tính chất hình học khi giải bài toán khác. 4 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Chương 2 Một số kiến thức lý thyết Phần này nhắc lại cho học sinh một số kiến thức lí thuyết hình phẳng ở cấp 2 và kiến thức phương pháp phương pháp toạ độ trong mặt phẳng hình học lớp 10. 2.1 Các kiến thức về tam giác và đường tròn 2.1.1 Định lý Thales A N M B C Định lý thuận. Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Cụ thể, cho tam giác ABC, một đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt tại M và N. Khi đó ta có các tỉ số bằng nhau sau AM AN MN = = AB AC BC và các tỉ số tương ứng khác. Định lý đảo. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. Cụ thể, cho tam giác ABC, một đường thẳng d cắt 2 cạnh AB, AC của tam giác ABC tại AM AN M, N. Nếu = (hoặc tỉ số bằng nhau khác tương ứng) thì MN k BC. AB AC 2.1.2 Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp 1. Trọng tâm: 5 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ A N P G B C M • Đường trung tuyến của tam giác là đường thẳng qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện. • Giao điểm 3 đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác. • Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G thì −→ 2 −→ AG = AM 3 2. Trực tâm: A H B C • Đường cao của tam giác là đường thẳng qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. • Giao điểm 3 đường cao gọi là trực tâm của tam giác. 3. Tâm đường tròn ngoại tiếp: A M I B C • Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với AB. Mọi điểm I thuộc trung trực của AB đều có IA = IB. • Gọi I là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC thì ta có IA = IB = IC, điểm I gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác đó. 6 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ 4. Tâm đường tròn nội tiếp: A H3 H1 K B H2 C d cách đều BA và BC. Nghĩa là nếu • Mọi điểm K thuộc đường phân của góc ABC gọi H1 , H2 là hình chiếu vuông góc của K lên BA, BC thì ta có KH1 = KH2 . • Nếu gọi K là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác ABC thì khoảng cách từ K đến 3 cạnh của tam giác bằng nhau. Khi đó K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác đó. 2.1.3 Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. A B C H • Định lí Pitago: BC2 = AB2 + AC2 • Nếu biết 2 cạnh góc vuông thì có thể tính được đường cao AH bởi công thức: 1 1 1 = + AH 2 AB2 AC2 • Tích 2 cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với đường cao tương ứng: AB.AC = BC.AH • Nếu biết 1 cạnh góc vuông và cạnh huyền thì có thể tính được hình chiếu của cạnh góc vuông đó lên cạnh huyền nhờ công thức: AB2 = BH.BC; 7 AC2 = CH.BC Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ 2.1.4 Định lí cosin Cho tam giác ABC, ta có BC2 = AB2 + AC2 − 2AB.AC. cos A Hệ quả AB2 + AC2 − BC2 cos A = 2.AB.AC Hoán vị 3 đỉnh A, B,C ta có công thức cho các góc còn lại. 2.1.5 Công thức độ dài đường trung tuyến A B C M Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, ta có: AM 2 = 2.AB2 + 2.AC2 − BC2 4 2.1.6 Định lí sin Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R, ta có a b c = = = 2R sin A sin B sinC Trong đó a = BC, b = CA, c = AB. Tỉ số giữa cạnh và sin góc đối diện bằng 2 lần bán kính đường tròn ngoại tiếp. 2.1.7 Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung A x I B C Cho đường tròn tâm I và dây cung AB, C là một điểm trên đường tròn. Ax là tiếp tuyến của d là góc nhọn. Khi đó: đường tròn tại A sao cho xAB 8 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ 1 2 d = AIB. d • Góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn cung đó, nghĩa là ACB d= • Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó, nghĩa là xAB d ACB 2.2 Các kiến thức về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng 2.2.1 Toạ độ của điểm và toạ độ và toạ độ vectơ → − − 1. Hai vectơ bằng nhau: Cho các vectơ → a = (a1 ; a2 ) và b = (b1 ; b2 . → − → − a = b ⇔ ( a1 = b1 a2 = b2 2. Hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng: • Hai vectơ gọi là cùng phương khi giá của chúng là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. → − → − → − − • Hai vectơ → a và b (với b 6= 0 ) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho → − → − a =kb. • Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B,C thẳng hàng là tồn tại số thực k sao cho − → − → AB = kAC. 3. Trung điểm đoạn thẳng: Cho A(xA ; yA ) và B(xB ; yB ). Trung điểm của đoạn thẳng AB là  xA + xB yA + yB M ; 2 2  4. Trọng tâm tam giác: Cho tam giác ABC có A(xA ; yA ), B(xB ; yB ), C(xC ; yC ). Trung tâm của tam giác ABC là  xA + xB + xC yA + yB + yC G ; 3 3 2.2.2 Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng B → − b → − a O 9 A  Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú → − − → − − 1. Góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ → a và b . Gọi O là điểm tuỳ ý, vẽ OA= → a và − → − → − −→ → → − → − d OB = b . Khi đó góc AOB gọi là góc giữa hai vectơ a và b kí hiệu là a ; b .  → − → − ◦ Nhận xét 0 ≤ a ; b ≤ 180◦ . 2. Định nghĩa tích vô hướng:  → − −  → − −  → − → − a; b a . b . cos → a . b = → 3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các → − → − − − vectơ → a = (a ; a ), b = (b ; b ). Tích vô hướng của → a và b được tính bởi 1 2 1 2 → − → − a . b = a1 b1 + a2 b2 − 4. Độ dài của vectơ → a = (a1 ; a2 ) là   q →  a  = a21 + a22 − 5. Cho hai điểm A(xA ; yA ) và B(xB ; yB ). − → • Toạ độ vectơ AB = (xB − xA ; yB − yA ) • Độ dài đoạn thẳng AB là −   → p AB = AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 2.2.3 Phương trình đường thẳng 1. Phương trình tham số của đường thẳng: Phương trình tham số của đường thẳng đi → − − qua điểm M(x ; y ), có một vectơ chỉ phương → u = (a; b) 6= 0 là 0 0 ( x = x0 + at y = y0 + bt 2. Phương trình chính tắc của đường thẳng: Khi a và b đồng thời khác 0 thì đường thẳng trên có phương trình chính tắc là x − x0 y − y0 = a b 3. Phương trình tổng quát của đường thẳng: Phương trình tổng của đường thẳng đi → − − qua điểm M(x ; y ), có một vectơ pháp tuyến → n = (A; B) 6= 0 là 0 0 10 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0 − − Chú ý: Vectơ chỉ phương → u và vectơ pháp tuyến → n của cùng một đường thẳng vuông − − − góc nhau, khi đó → u .→ n = 0. Nếu đường thẳng có một vectơ chỉ phương là → u = (a; b) − − thì nó có một vectơ pháp tuyến là → n = (−b; a) hoặc → n = (b; −a). 2.2.4 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M(x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : Ax + By +C = 0 là d(M, ∆) = |Ax0 + By0 +C| √ A2 + B2 2.2.5 Góc − − 1. Góc giữa hai vectơ: Góc giữa hai vectơ → u = (u1 ; u2 ) và → v = (v1 ; v2 ) được tính bởi công thức → − − u .→ v u v +u v → − → −  →  = q 1 1 q2 2 cos( u , v ) = → − −    u . v u21 + u22 . v21 + v22 − − Chú ý: 0◦ ≤ (→ u ,→ v ) ≤ 180◦ − → − → 2. Góc của tam giác: Góc A của tam giác ABC là góc giữa hai vectơ AB và AC. − →− → cos A = cos AB; AC = − →− → AB.AC −   →  → −  AB.AC 3. Góc giữa hai đường thẳng: • Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc nhỏ nhất trong 4 góc được tạo ra bởi chúng. • Nếu hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì người ta quy ước góc tạo bởi chúng bằng 0◦ . • Gọi α là góc giữa hai đường thẳng a và b thì 0◦ ≤ α ≤ 90◦ . • Cho hai đường thẳng ∆1 : A1 x + B1 y +C1 = 0 và ∆2 : A2 x + B2 y +C2 = 0 có vectơ − − pháp tuyến lần lượt là → n1 = (A1 ; B1 ), → n2 = (A2 ; B2 ). Khi đó góc α tạo bởi ∆1 và ∆2 được tính bởi công thức →  − − n1 .→ n2  |A A + B B |  →  = q 1 2 q1 2 cos α = → − −    n1 . n2 A21 + B21 . A22 + B22 11 Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú 2.2.6 Phương trình đường tròn • Phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R là x − a)2 + (y − b)2 = R2 • Phương trình đường tròn còn có dạng x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 trong đó a2 + b2 − c > 0. Đường tròn này có tâm I(a; b), bán kính R = √ a2 + b2 − c. 2.2.7 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn Cho đường tròn (C) có tâm I bán kính R và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ∆. Khi đó IH = d(I, ∆). Ta có: • Nếu IH > R thì đường tròn và đường thẳng không cắt nhau. • Nếu IH = R thì đường tròn và đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Khi đó người ta nói đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, ∆ gọi là tiếp tuyến của đường tròn tại H và H gọi là tiếp điểm. • Nếu IH < R thì đường tròn và đường thẳng cắt nhau tại 2 điểm A, B, H là trung điểm AB và ta có định lí Pitago trong tam giác IHA như sau: R2 = IH 2 + HA2 . 12 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Chương 3 Các bài toán 3.1 Sử dụng định lý Thales và tính tỉ số đoạn thẳng Trước khi giải quyết bài toán cụ thể liên quan đến việc sử dụng định lý Thales ta tìm hiểu 2 kĩ thuật tìm toạ độ điểm sau đây. 3.1.1 Tìm toạ độ điểm chia đoạn thẳng cho trước bởi một tỉ số cho trước M A B Cho trước 2 điểm A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) phân biệt và số k 6= 1. Nếu M là điểm trên đường −→ −→ thẳng AB thoả MA = kMB thì ta có thể tìm được toạ độ điểm M. Thật vậy, giả sử M(xM ; yM ).  ( x − k.xB   xM = A xA − xM = k(xB − xM ) −→ −→ 1−k MA = kMB ⇔ ⇔ yA − k.yB  yA − yM = k(yB − yM )  yM = 1−k 3.1.2 Tìm toạ độ một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước Tổng quát hoá kĩ thuật ở trên ta có kĩ thuật “tìm toạ độ một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước”. Nếu trong đẳng thức vectơ cho trước chỉ còn duy nhất một điểm M chưa biết toạ độ (các điểm khác có mặt trong đẳng thức này đã biết toạ độ) thì ta có thể tìm được toạ độ điểm M. Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, cho hình bình hành ABCD có M(3; −1) là trung điểm AB. Trọng tâm các tam giác ABC và ABD lần lượt là G(2; 1) và H(4; 0). Tìm toạ độ các đỉnh của hình bình hành. M(3; −1) A H(4; 0) B G(2; 1) C D MG 1 = MC 3 nên tìm được toạ độ điểm C. Tương tự, có toạ độ các điểm M, H, điểm D thuộc đường thẳng Phân tích. Có toạ độ các điểm M, G, điểm C thuộc đường thẳng MG, đã biết tỉ số 13 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ MH 1 −→ 3 −→ = nên tìm được toạ độ điểm D. Vì MB = HG nên tìm được toạ MD 3 2 độ điểm B. Vì M là trung điểm AB nên tìm được toạ độ điểm A. MH, đã biết tỉ số −→ −−→ Lời giải. Gọi C(xC ; yC ). Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên MC = 3MG. Do đó ( ( xC − 3 = 3(2 − 3) xC = 0 ⇔ yC + 1 = 3(1 + 1) yC = 5 Suy ra C(0; 5). −−→ −−→ Tương tự, gọi D(xD ; yD ). Vì H là trọng tâm tam giác ABD nên MD = 3MH. Do đó ( ( xD − 3 = 3(4 − 3) xD = 6 ⇔ yD + 1 = 3(0 + 1) yD = 2 Suy ra D(6; 2). MH MG 2 = = nên HG k CD. Do đó HG cũng song song với AB. MD MC 3 DH 2 HG 2 −→ 3 −→ Xét tam giác MDB có HG k MB và = nên = . Suy ra MB = HG. Gọi DM 3 MB 3 2 B(xB ; yB ) ta có ( ( xB − 3 = 32 (2 − 4) xB = 0 ⇔ yB + 1 = 32 (1 − 0) yB = 12 Tam giác MCD có Suy ra B(0; 21 ). Vì M là trung điểm AB nên tìm được A(6; − 25 ).  Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Điểm M(−3; 0) là trung điểm cạnh AB, điểm H(0; −1) là hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm G( 43 ; 3) là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm toạ độ các điểm B và D. (Đề thi đại học khối B năm 2014). B E M(−3; 0) A F I C G( 43 ; 3) D H(0; −1) Phân tích. Ta sẽ sử dụng những đường thẳng đi qua 2 trong 3 điểm cho sẵn toạ độ là M, H, G để tìm dần dần toạ độ những điểm khác. Gọi E là giao điểm của MH với BC thì có thể chứng minh được M là trung điểm của EH. Từ đó tìm được toạ độ E. Gọi F là giao FG điểm của GH và BC thì có thể tính được tỉ số . Từ đó có thể tìm được toạ độ của F. Ta FH 14 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ viết được phương trình đường thẳng BC đi qua 2 điểm đã tìm được toạ độ là E và F. Điểm B là hình chiếu vuông góc của H lên BC nên tìm được toạ độ của B. Muốn tìm toạ độ D phải tìm toạ độ của I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành. Muốn tìm I thì cần tìm A mà M là trung điểm của AB nên có thể tìm được A. Lời giải. Gọi E là giao điểm của MH và BC. Xét 4MAH và 4MBE có: MA = MB; [ = BME [ = MBE [ (đối đỉnh); MAH [ (so le trong). Suy ra 4MAH = 4MBE (góc AMH cạnh - góc). Suy ra MH = ME hay M là trung điểm HE. Từ đó ta có E(−6; 1). 2 Gọi F là giao điểm của GH và BC. Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên GC = CI. Mà 3 1 2 1 1 CI = AC nên CG = . AC = AC. Suy ra GA = 2GC. 2 3 2 3 −→ −→ −→ 4AGH v CGF nên GH = 2GF. Từ đó HG = 2FG. Ta có HG = ( 34 ; 4). Gọi F(xF ; yF ) ta có: ( 4 3 = 2(xF − 43 ) 4 = 2(yF − 3) ( ⇔ xF = 2 yF = 5 Suy ra F(2; 5). −→ Đường thẳng BC qua E(−6; 1) có vectơ chỉ phương EF = (8; 4) nên có vectơ pháp tuyến (1; −2). Phương trình của BC là BC : x − 2y + 8 = 0. Đường thẳng d qua H vuông góc với BC có phương trình d : 2x + y + 1 = 0. B(x; y) là giao điểm của BC và d nên ta có hệ ( ( x − 2y + 8 = 0 x = −2 ⇔ 2x + y + 1 = 0 y=3 Suy ra B(−2; 3). − → 1 −→ −→ Vì M là trung điểm AB nên A(−4; −3). AG = (− 16 3 ; −6). Gọi I(xI ; yI ). Vì GI = 4 GA nên: ( ( xI − 43 = 14 .(− 16 ) xI = 0 3 ⇔ yI − 3 = 41 .(−6) yI = 32 Suy ra I(0; 23 ). Vì I là trung điểm BD nên tìm được D(2; 0). Vậy B(−2; 3) và D(2; 0).  3.2 Sử dụng tính chất đường phân giác Cách sử dụng giả thiết đường phân giác thông thường là sử dụng 2 góc bằng nhau. Cách này thường thu được những phương trình phức tạp, giải được nhiều nghiệm và phải tìm cách loại nghiệm. Ta nên ưu tiên sử dụng tính chất đối xứng như sau: 15 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ y N A H t M x d Cho M là một điểm trên Ax, gọi N là điểm đối xứng với Cho At là đường phân của góc xAy. M qua At. Khi đó N thuộc tia Ay. Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(−4; 1), trọng tâm d là d : x − y − 1 = 0. Tìm G(1; 1) và đường thẳng chứa đường phân giác trong của góc BAC toạ độ đỉnh C. A N G(1; 1) E H C M B(−4; 1) d : x−y−1 = 0 −→ −→ Phân tích. Gọi N là trung điểm AC. Vì BG = 2GN nên tìm được toạ độ điểm N. Gọi E là điểm đối xứng với B qua d. Ta có E thuộc AC và tìm được toạ độ E. Ta lập được phương trình đường thẳng AC là đường thẳng qua 2 điểm N, E. Vì A là giao điểm của d và AC nên −→ −−→ tìm được toạ độ của A. Gọi M là trung điểm BC, từ AG = 2GM tìm được M. Vì G là trọng tâm tam giác ABC, áp dụng công thức toạ độ trọng tâm ta tìm được toạ độ điểm C. −→ −→ −→ Lời giải. BG = (5; 0). Gọi N(xN ; yN ) là trung điểm AC. Vì BG = 2GN nên ( ( 5 = 2(xN − 1) xN = 72 ⇔ 0 = 2(yN − 1) yN = 1 Suy ra N( 72 ; 1). Gọi E là điểm đối xứng với B qua d. Ta có E thuộc AC. Gọi ∆ là đường thẳng qua B và vuông góc với d, ta có ∆ : x + y + 4 = 0. Gọi H(x; y) là giao điểm của ∆ với d, ta có: ( x−y−1 = 0 x+y+4 = 0 16 ( ⇔ x = − 32 y = − 52 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Suy ra H(− 32 ; − 52 ). Vì H là trung điểm BE nên E(1; −6). Đường AC qua E(1; −6) nhận −→ − EN = ( 52 ; 7) làm vectơ chỉ phương, hay có một vectơ pháp tuyến là → n = (14; −5). Từ đó phương trình AC là AC : 14x − 5y − 44 = 0. Vì A là giao điểm của d : x − y − 1 = 0 30 và AC : 14x − 5y − 44 = 0 nên tìm được A( 39 9 ; 9 ). Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên C(xC ; yC ) thoả ( 39 9 30 9 − 4 + xC = 3 + 1 + yC = 3 ( ⇔ xC = 8 3 yC = − 43 Vậy C( 38 ; − 43 ). Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ 1 đỉnh A là H( 17 5 ; − 5 ), chân đường phân giác trong của góc A là D(5; 3) và trung điểm của cạnh AB là M(0; 1). Tìm toạ độ đỉnh C. (Đề thi đại học khối B năm 2013, câu 7b). A N M(0; 1) B K 1 D(5; 3) H( 17 5 ;−5) C Phân tích. Đường thẳng AH qua H và vuông góc với HD nên ta viết được phương trình AH. Tam giác ABH vuông tại H có M là trung điểm cạnh huyền AB nên MA = MH. Kết hợp A thuộc đường thẳng DH và MA = MH tìm được toạ độ điểm A. Ta viết được phương trình đường phân giác AD. Gọi N là điểm đối xứng với M qua phân giác AD thì ta tìm được toạ độ N. Ta viết được phương trình đường thẳng AC qua 2 điểm A và N. Đường thẳng BC qua hai điểm D và H nên viết được phương trình BC. Vì C là giao điểm của hai đường thẳng AC và BC nên tìm được toạ độ của C. Lời giải. Dành cho độc giả. 3.3 Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và tạo với một đường thẳng góc cho sẵn Bài 5. Cho đường thẳng d : 3x − 2y + 1 = 0 và điểm A(2; 4). Viết phương trình đường thẳng ∆ biết ∆ đi qua A và tạo với d một góc 45◦ . 17 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ A ∆ 45◦ d Phân tích. Dựa vào hình vẽ ta có thể dự đoán có 2 đáp số đường thẳng ∆ cần tìm. − Lời giải. Gọi → n = (a; b) là một vectơ pháp tuyến của ∆ (với a2 + b2 6= 0). Phương trình − đường thẳng ∆ đi qua A(2; 4) nhận → n = (a; b) làm một vectơ pháp tuyến có dạng: a(x − 2) + b(y − 4) = 0 ⇔ax + by − 2a − 4b = 0 (1) Vì góc giữa d và ∆ bằng 45◦ nên |3a − 2b| cos 45◦ = √ √ 13. a2 + b2 q √ ⇔ 2|3a − 2b| = 13(a2 + b2 ) ⇔2(9a2 − 12ab + 4b2 ) = 13(a2 + b2 ) ⇔5a2 − 24ab − 5b2 = 0 (2) − Nếu b = 0 thì a = 0 khi đó → n = (0; 0) không thể là vectơ pháp tuyến. Do đó b 6= 0. Chia 2 vế của phương trình (2) cho b2 ta được a  a 2 − 24 −5 = 0 5 b b " a =5 ⇔ ab 1 b = −5 • Trường hợp ab = 5 hay a = 5b thay vào (1) ta được phương trình ∆ là 5bx + by − 10b − 4b = 0 ⇔5x + y − 14 = 0 • Trường hợp ba = − 51 hay a = − 15 b thay vào (1) ta được phương trình ∆ là 1 2 − bx + by + b − 4b = 0 5 5 ⇔ − x + 5y − 18 = 0 Vậy phương trình đường thẳng ∆ cần tìm là 5x + y − 14 = 0 hoặc −x + 5y − 18 = 0. 18  Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ 3.4 Các kĩ thuật sử dụng toạ độ các điểm cho sẵn 3.4.1 Sử dụng đường thẳng đi qua hai điểm cho sẵn Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng M(1; 2), N(2; −1). (Đề thi đại học khối A năm 2014). Cách 1: Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và tạo với một đường thẳng góc có sẵn. F E α C D N(2; −1) A M(1; 2) B Phân tích. Có sẵn toạ độ 2 điểm M, N nên đường thẳng MN là cố định. Nếu gọi E là giao ME điểm của hai đường thẳng MN và CD thì ta sẽ tính được tỉ số . Từ đó có thể tìm được MN toạ độ điểm E. Đề bài yêu cầu lập phương trình đường thẳng CD mà CD đi qua điểm E đã biết. Dùng kiến thức hình học tổng hợp tính được cosin của góc giữa hai đường thẳng CD và MN (tính cos α). Viết phương trình đường thẳng qua E tạo với MN một góc α đã có, đó là phương trình đường thẳng CD cần tìm. NC 1 4 NE −− → −−→ = = . Suy ra ME = MN. Mà ME và MN cùng Lời giải. Vì EC k AM nên NM NA 3 3 −−→ 4 −−→ hướng nên ta có ME = MN. Gọi E(xE ; yE ) ta có: 3 ( ( xE − 1 = 43 (2 − 1) xE = 37 ⇔ yE − 2 = 43 (−1 − 2) yE = −2 Từ đó ta có E( 73 ; −2). Ta tính góc giữa hai đường thẳng MN và CD. Gọi F là giao điểm của đường thẳng MN và 1 r EC FC đường thẳng BC. Đặt cạnh hình vuông ABCD là r. Ta có EC = AM = . Từ = = 3 6 MB FB 19 Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú √ √ 1 r r 1 10 suy ra FC = BC = . Tam giác FCE vuông tại C nên EF = FC2 + EC2 = . 3 2 2 6 [ thì cos α = EC = √1 . Đặt α = FEC EF 10 − Gọi → n = (a; b) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng CD (với a2 + b2 6= 0). Vì CD qua E nên phương trình của CD có dạng   7 + b(y + 2) = 0 a x− 3 7 ⇔ax + by − a + 2b = 0 (1) 3 → − −−→ MN = (1; −3) nên một vectơ pháp tuyến của đường thẳng MN là n0 = (3; 1). Vì hai đường 1 thẳng CD và MN tạo với nhau góc α có cos α = √ nên 10 |3a + b| 1 √ =√ √ 10 10. a2 + b2 p ⇔|3a + b| = a2 + b2 ⇔9a2 + 6ab + b2 = a2 + b2 ⇔8a2 + 6ab = 0 " a=0 ⇔ a = − 3b 4 • Trường hợp a = 0 thì b 6= 0 thế vào (1) ta có phương trình của CD là by + 2b = 0 ⇔ y + 2 = 0 • Trường hợp a = − 3b 4 thì b 6= 0 thế vào (1) ta có phương trình của CD là − 3b 7b x + by + + 2b = 0 ⇔ −3x + 4y + 15 = 0 4 4 Vậy phương trình đường thẳng CD cần tìm là y + 2 = 0 hoặc −3x + 4y + 15 = 0.  3.4.2 Tìm một điểm cách hai điểm cho sẵn những khoảng cách đã biết Cách 2. Khai thác toạ độ hai điểm cho sẵn để tìm thêm một điểm nào đó trên đường thẳng CD. 20