Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị Trương THPT Bình Sơn
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Người thực hiện: Nguyễn Cảnh Thắng
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục
- Phương pháp dạy học bộ môn: .Toán.................
(Ghi rõ tên bộ môn)
- Lĩnh vực khác: .......................................................
(Ghi rõ tên lĩnh vực)
Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
Mô hình
Đĩa CD (DVD)
Phim ảnh Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)
SƠ LƯỢC
LÝhọc:
LỊCH
KHOA HỌC
Năm
2014-2015.
––––––––––––––––––
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
1
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Nguyễn Cảnh Thắng
2. Ngày tháng năm sinh: 13-03-1980
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: Tổ 4, Ấp 1, Xã Bình Sơn, Long Thành, Đồng Nai
5. Điện thoại: 0613533100 (CQ)/
6. Fax:
(NR); ĐTDĐ: 0939088658
E-mail:
[email protected]
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Nhiệm vụ được giao : giảng dạy môn Toán, lớp 10A5, 11B3, 11B8:
9. Đơn vị công tác: Trường THPT Bình Sơn
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị : Cử nhân :
- Năm nhận bằng: 2005
- Chuyên ngành đào tạo: Toán
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học
Số năm có kinh nghiệm: 9
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
- . Phương pháp chứng minh bất đẳng thức và một số sai lầm của học sinh.
- 2. Sử dụng tính đơn điệu để giải một số bài toán.
- 3. Phương pháp tính tích phân và một số sai lầm thường gặp của học sinh
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
2
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Tên SKKN
SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Việc dạy cho học sinh hiểu và nắm được các phương pháp để giải được các bài
tập là một trong những thành công, nhưng thành công hơn cả là việc định hướng được
cho học sinh biết phán đoán về phương pháp giải bài tập. Từ đó khẳng định phương
pháp đã dự đoán là hoàn toàn đúng đắn và biết tự sáng tạo ra các bài tập khác nhờ khái
quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá, biến lạ thành quen… được các giáo viên áp dụng
và được bộ khuyến khích. Vì thế hầu hết các giáo viên đều chọn phương pháp giảng dạy
theo một chuyên đề về một mảng kiến thức nào đó trong trường phổ thông.
Trong những năm gần đây các bài toán dùng phương pháp tọa đô ô để giải phương
trình, hệ phương trình và bất phương trình được sử dụng rộng rãi, đặc biệt là các kì thi
đại học, kì thi học sinh giỏi. Sử dụng phương pháp tọa đô ô vào giải toán không còn
mới mẻ. Tuy nhiên đa số học sinh còn lúng túng và vụng về trong việc sử dụng
phương pháp để giải toán. Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: "Sử dụng phương
pháp véctơ và tọa đô ô để giải mô ôt số bài toán về phương trình, hệ phương trình và
bất phương trình"
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
a.Tìm hiểu việc giải một số bài toán thông qua một bài cơ bản của học sinh
Qua thời gian công tác tại trường, tôi nhận thấy rằng việc hình thành chùm bài
toán thông qua một hay một số bài toán cơ bản của học sinh còn rất hạn chế.
Hầu hết việc tự đọc sách giáo khoa và sách tham khảo của các em còn rất ít, khả
năng tự thay đổi điều kiện của các bài toán để hình thành bài toán mới của học sinh còn
lúng túng, bỡ ngỡ.
b. Tìm hiểu những phương pháp các giáo viên đã vận dụng
Qua thời gian tìm hiểu và trao đổi, hầu hết các giáo viên trong trường đã vận dụng
những phương pháp mới, tích cực, phát huy tính tích cực của học sinh trong việc hình
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
3
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
thành chùm bài toán từ bài toán cơ bản đến nâng cao. Tuy nhiên việc vận dụng nó một
cách có hiệu quả thì vẫn còn gặp nhiều khó khăn.
Trong đề thi học kì Học sinh giỏi, Đại học , Cao đẳng của các năm bài toán giải
phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức hầu như không thể
thiếu nhưng đối với học sinh THPT bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất
phương trình và bất đẳng thức là một trong những bài toán khó và nó còn cần sự áp
dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp giải từ cơ bản đến phức
tạp. Trong thực tế đa số học sinh giải toán một cách hết sức máy móc và rất thụ động. vì
thế trong quá trình giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng
thức rất khó khăn.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhìn thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì
vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “sử dụng vec tơ và tọa độ để giải phương trình,
hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức”. Nhằm giúp học sinh bổ sung
thêm kiến thức và khắc phục được những yếu điểm để từ đó rút được kết quả cao khi
giải bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức nói
riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung.
III.TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Giải pháp
-Tùy vào từng bài học mà chúng ta xây dựng kế hoạch hoạt động khác nhau, phù hợp
với nội dung của bài và đồng thời đảm bảo học sinh hiểu và vận dụng kiến thức bài học
một cách thành thạo. Căn cứ vào thực trạng của học sinh, căn cứ vào tình hình thực tế
của trường học, căn cứ vào tình hình chung của địa phương, theo tôi thì dạy học môn
toán nên chia ra 2 kiểu bài lên lớp. Một là lên lớp cho một tiết lý thuyết , Hai là lên lớp
cho một tiết bài tập.
a.Đối với lý thuyết:
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
4
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Để học sinh nắm được các kiến thức của bài và vận dụng kiến thức vào giải bài tập đây
là một quá trình rất khó khăn đòi hỏi người dạy và người học đều phải cố gắng nổ lực.
Để cho việc cung cấp lý thuyết được nhẹ nhàng mà học sinh hứng thú học thì giáo viên
cần thực hiện các bước sau.
Bước 1: Tổ chức cho học sinh quan sát tiếp thu
Bước 2: Giáo viên cho các em thảo luận nhóm
Bước 3: Khắc sau kiến thức
b. Đối với bài tập.
Đối với tiết làm bài tập giáo viên phải tổ chức, điều khiển học sinh vận dụng kiến thức
đã học vào giải bài tập để khắc sau kiến thức, thấy được mối quan hệ giữa lý thuyết và
bài tập. Đồng thời qua tiết học giải bài tập rèn luyện cho học sinh kỉ năng giải toán và
diễn đạt vấn đề toán học thông qua ngôn ngữ của bản thân, hình thành phẩm chất tính
cách của học sinh. Để làm được như vậy chúng ta thực hiện các bước sau.
Bước 1: Tạo tiền đề xuất phát
Tổ chức đàm thoại để đưa ra hệ thống lý thuyết của bài cũ.
Chỉ ra những kỉ năng sẽ cần vâng dụng kiến thức vào giải bài tập.
Bước 2: Thực hiện chương trình giải
-Đọc đề để hiểu vấn đề của đề bài.
-Tổ chức cho học sinh độc lập giải bài tập trên cơ sở huy động vốn kiểu
biết của học sinh. Giáo viên quan sát theo dõi, giúp đỡ các em khi gặp khó khăn nảy
sinh và tổ chức cho tập thể học sinh khai thác các bài tập theo định hướng đã chuẩn bị
và dự đoán trước .
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
5
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
A.CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Kiến thức cơ bản:
a.Tính chất vectơ
r
r
a
=
(a
;a
),
b
= (b1;b 2 ) , (k R)
1
2
Cho hai véc tơ
r r
a + b = (a1 + b1;a 2 + b 2 )
r r
a - b = (a1 - b1;a 2 - b 2 )
r
r r
k a = (k a;k b)
b.Tích vô hướng của hai vec tơ :
r
r
a
=
(a
;a
),
b
= (b1;b 2 )
1
2
Cho hai véc tơ
rr
a.b = a1b1 a 2b 2
c.Độ dài vec tơ:
r
r
a
=
a
;a
1
2
a
Cho véc tơ
khi đó độ dài vec tơ là :
r
a = a12 + a 22
d. Mối liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ vec tơ:
uuur
A(x A ; y A ),B(x B ; y B ) thì AB = (x B - x A ; y B - y A )
Với hai điểm
uuur
AB = (x B - x A ) 2 + (y B - y A ) 2
e. Bất đẳng thức vec tơ:
*
Tính chất 1:
r2 r 2
a =a 0
r r
a
Dấu đẳng thức ‘xảy ra’ khi và chỉ khi = 0
r
r
a
b
Tính chất 2: cho 2 vectơ và ta có:
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
6
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
r r r r
a + b a+b
r r r r
a-b a - b
r
r
a
b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và cùng chiều
r
r
a
b
Tính chất 3: cho 2 vectơ và ta có:
r r rr
a . b a.b
r
r
a
b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và cùng phương
r r rr
a . b a.b
r
r
a
b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và cùng hướng
B.GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 : Giải phương trình:
x 2 - 2 x+ 2 + x 2 -10 x+ 34 = - x 2 + 4 x- 4 + 4 2 (1)
Giải :
(1)
x 1
2
1
5 x
2
9 x2 4x 4 4 2
Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt
r
r
r r
a = (x-1;1) ; b = (5 - x;3) ; a + b = (4;4)
Theo BĐT vec tơ
x-1
2
+1 +
r r r r
a + b a+b
5 - x
2
ta có:
+ 9 42 + 42 = 4 2
r r
a,b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto
cùng hướng
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
7
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
r
r
k : a = k b , k>0
1
x-1 = k(5 - x) k =
3
1
=
3k
x = 2
- x 2 + 4 x- 4 + 4 2 = - x- 2 + 4 2 4 2
2
Mặt khác :
Dấu đẳng thức “xảy ra” khi và chỉ khi : x=2
Vậy x=2 là nghiệm của phương trình
Bài 2: Giải phương trình : x+ 6 x-1 + 24 - x- 2 x-1 +1 = 5 (1)
Giải:
Điều kiện: x 1
(1)
( x-1 + 3) 2 +16 - ( x-1 -1) 2 +1 = 5
Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt Đặt
r
r
r r
a = ( x-1 + 3;4) , b = ( x-1 -1;1) ,a - b = (4;3)
Theo đẳng thức vec tơ ta có:
r r r r
a - b a-b
( x-1 + 3) 2 +16 - ( x-1 -1) 2 +1 5
ۣ
r
r
r r
k
:
a
=
k.b
,k 0
a,b
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
cùng hướng
x-1 + 3 = k( x-1 -1)
( x-1 + 3) = 4( x-1 -1)
4
=
k
3 x-1 = 7 x =
58
9
58
Vậy nghiệm của phương trình : x= 9
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
8
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Bài 3: Giải phương trình:
x 2 + 2 x+ 5 + x 2 - 6 x+13 = 4 2
(1)
Giải:
(x+1) 2 + 4 + (3 - x) 2 + 4 = 4 2
(1)
Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt
r
r
r r
a = (x+1;2) ; b = (3 - x;2) ; a + b = (4;4)
r
r
r r
a = (x+1) 2 + 4 ; b = (3 - x) 2 + 4 a + b = 4 2
Theo BĐT vectơ ta có :
۳
r r r r
a + b a+b =4 2
(x+1) 2 + 4 + (3 - x) 2 + 4
4 2
r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto a,b cùng hướng
r
r
k : a = k b , k>0
x+1 = k(3 - x)
k = 1
2 = 2k
x =1
Vậy phương trình có nghiệm là x=1
2
2
Bài 4: Giải phương trình: x - 4 x+ 5 + x - 4 x+13 = 4 (1)
Giải:
(1)
(x- 2)2 +1 + (2 - x) 2 + 9 = 4
r
r
Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy Đặt a = (x- 2;1) ; b = (2 - x;3)
r
r
r r
a = (x- 2) 2 +1 ; b = (2 - x) 2 + 9 a + b = 2
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
r r
a
và + b = (0;4)
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
9
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
r r r r
a + b a+b =4
Theo BĐT vectơ ta có :
۳
(x- 2) 2 +1 + (2 - x) 2 + 9
4
r r
a,b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto
cùng hướng
r
r
k : a = k b , k>0
1
1 = 3k
k =
3
x2
=
k(2
x)
x = 2
Vậy phương trình có nghiệm là x=2
Bài 5: Giải phương trình:
x-1 + x = 3 + 2(x- 3) 2 + 2 x- 2(1)
Giải
Điều kiện x 1
r
r
a
=
(x3;
x-1),b
= (1;1)
Xét mặt phẳng toạ độ Oxy các vectơ:
r
r
urr
a = (x- 3) 2 + (x-1), b = 2,a.b = x-1 + x- 3
rr r r
a.b a . b
Suy ra bất phương trình (1) tương đương
(*)
rr r r
a.b a . b
Mặt khác theo bất đẳng thức vec tơ ta có
Từ (*) và (**) suy ra :
rr r r
r r
a.b = a . b a,b
(**)
cùng hướng
x 3
x-1=x-3 2
x=5
x
-7x+10=0
.
Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất.
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
10
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
2
Bài 6:Giải phương trình : x x+1 + 3 - x = 2 x +1
Giải:
Điều kiện: -1
x3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy
r
r
r
r
2
a
=
x
+1,
b
=2
Đặt : a = (x;1) ; b = ( x+1; 3 - x )
,
Theo BĐT vectơ ta có:
r r rr
a . b ۳a.b
2 x 2 +1 x x+1 + 3 - x
rr
a,b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
cùng phương
r
r
k : a = k b
x = k x+1
1 = k 3 - x
Ta thấy x=3 không là nghiệm của hệ phương trình nên
x = k x+1
x 3 - x = x+1 x 3 - 3x 3 + x+1 = 0
1
k =
3- x
x = 1
x = 1 + 2
x = 1- 2
(x-1)(x2-2x-1)=0
So với điều kiện vậy nghiệm của phương trình:x=1 ; x= 1+ 2 và x=1- 2
2
2
2
Bài 7: Giải phương trình: x 1 + x + 8 - x = 3 x +1
Giải:
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
11
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Điều kiện: 8 x 8
r
r
a
=
(x;1)
,b
= ( x 2 +1; 8 - x 2 )
Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt
rr r r
a.b a . b
2
2
2
ta có: x 1+ x + 8 - x 3 x +1
rr
a,b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
cùng hướng
r
r
k : a = k b , k>0
Theo BĐT vectơ
x = k x 2 +1
2
1 = k 8 - x
x 0
x 2 +1 x 8 - x 2 4
2
x - 7 x +1 = 0
7 - 45
x =
2
x = 7 + 45
2
Vây phương trình đã cho có nghiệm:
Bài 8: Giải phương trình :
x=
7 - 45
7 + 45
,x=
2
2
x 2 + x+1 + x 2 - x+1 = 2
Giải:
Ta có:
1
3
1
3
x 2 + x+1 + x 2 - x+1 = (x+ ) 2 + + ( - x) 2 +
2
4
2
4
Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt :
r 1 3 r 1
3 r r
a = x+ ;
,b = - x;
a + b = (1; 3)
2
2
2
2
Theo BĐT vec tơ :
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
r r r r
a + b a+b
suy ra
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
12
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
1
3
1
3
x 2 + x+1 + x 2 - x+1 = (x+ ) 2 + + ( - x) 2 +
2
4
2
4 2
r
r
r r
k
:
a
=
k.b
,k 0
a,b
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
cùng hướng
1
1
x+
=
k(
- x)
2
x = 0
2
k = 1
3 = k. 3
2
2
Vậy nghiệm của phương trình : x=0
Bài 9 : Giải phương trình:
x 2 - 2 x+ 2 + 4 x 2 +12 x+ 25 = 9 x 2 +12 x+ 29 (1)
Giải
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ:
r
r r
a = (x-1;1)
a + b = (3x+ 2;5)
r
b = (2 x+ 3;4)
r
r
r r
a = x 2 - 2 x+ 2, b = 4 x 2 +12 x+ 25, a + b = 9 x 2 +12 x+ 29
Suy ra phương trình (1) tương đương:
r
r
x-1 = k(2 x+ 3)
a = k b(k > 0)
1
=
k.4
r r r r
a+b = a + b
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất
x=
1
k = 4
x = 7
2
7
2
C. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
13
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
3x+1 + 3y+1 = 4 (1)
3x+13 + 3y+13 = 8 (2)
Bài 1: Giải hệ phương trình:
Giải :
1
1
Điều kiện: x - 3 ,y - 3
Từ (2)
Đặt
3x+1 +12 + 3 y+1 +12 = 8
r
r
r r
a = ( 3x+1; 12) , b = ( 3 y+1; 12) , a + b = ( 3x+1 + 3 y+1;2 12)
r r r r
a + b a+b
Theo BĐT vec tơ ta có :
3x+1 +12 + 3y+1 +12
2
3x+1 + 3 y+1 + 48 = 8
r r
a,b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto
cùng hướng
r
r
k : a = k b , k>0
3x+1 = k 3y+1
x = y
k = 1
12 = k 12
(1)
3x+1 = 2 x = 1 y = 1
Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (1;1)
2 x+ 5 + 2 y+ 3 = 6
2 x+ 21 + 2 y+19 = 10
Bài 2: Giải hệ phương trình:
5
3
Điều kiện: x - 2 , y - 2
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
14
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
r
r
r r
a = ( 2 x+ 5;4) , b = ( 2 y+ 3;4) , a + b = ( 2 x+ 5 + 2 y+ 3;8)
Đặt
r r r r
a + b a+b
Theo BĐT vec tơ ta có :
2 x+ 5 +16 + 2 y 3 16
2 x+ 5 + 2 y+ 3
2
+ 64 = 10
rr
a,b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 véctơ
cùng hướng
r
r
k : a = k b , k>0
2 x+ 5 = k 2 y+ 3
4 = k 4
(1)
2 x+ 5 = 2 y+ 3
k = 1
y=x+1
2 x+ 5 = 3 x = 2 y = 3
Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;3)
x+ y = 4
2
x + 2 x+17 + y 2 + 2 y+17 = 10
Bài 3: Giải hệ phương trình:
Giải :
Ta có:
x 2 + 2 x+17 + y 2 + 2 y+17 = 10
x+1
2
+ 42 +
y+1
2
+ 4 2 = 10
r
r
r r
a = (x+1;4) , b = (y+1;4) , a + b = (x+ y+ 2;8)
r r r r
a + b a+b
Theo BĐT vec tơ ta có :
۳
x+1
2
+ 42 +
y+1
2
+ 42
x+ y+ 2
2
+ 82 = 10
rr
a,b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 véctơ
cùng hướng
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
15
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
r
r
k : a = k b , k>0
x+1 = y+1 x = y
(1) x=y=2
Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;2)
x 8 - y 2 + y 8 - x 2 = 16 (1)
2
3
2
(2)
Bài 4:Giải hệ phương trình: x +12 = y + 2 y
Giải:
Điều kiện: 2 2 x 2 2; 2 2 y 2 2
r
r
a = x; 8 - x 2 , b =
8 - y2 ; y
Đặt :
ta có:
r2 r2
a = b =8
r2 r 2
rr
r r
a + b = 2a.b a = b x = 8 - y 2
(1)
(2) y3+3y2-20=0 y=2 x=2
Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;2)
Bài 5: (Đề thi đại học năm 2014)
x 12 - y + y(12 - x 2 ) = 12 (1)
(x, y R)
3
x
8x-1
=
2
y2
(2)
Giải hệ phương trình:
Giải :
Điều kiện: 12 x 12;2 y 12
r r
r
r
2
a
= b = 12
Đặt a = (x; 12 - x ) ; b = ( 12 - y; y) ta có:
r2 r2
rr
r r
a + b = 2a.b a = b x = 12 - y
(1)
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
16
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
3
2
(2) x -8x-3=2 10-x -2
(x- 3)(x 2 + 3x+1) =
2(3 - x)(3 + x)
10 - x 2 +1
x = 3
2
2
(x + 3x+1)( 10 - x +1) - 2(3 + x) = 0 (*)
Với x=3 =>y=3
2
2
Đặt f(x) = (x + 3x+1)( 10 - x +1) - 2(3 + x)
f’(x) <0 , x>0 => phương trình (*) vô nghiệm
Vậy nghiệm hệ phương trình : (3;3)
D.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1: Giải bất phương trình:
x2 - 3 + 5 - x2 2
Giải :
Điều kiện : 5 x 3, 3 x 5
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt:
Ta có:
r
x - 3; 5 - x , b = 1;1
2
2
r
r
a 2, b 2
Theo đề bài ta có:
rr
r r
a.b 2 a b
Theo BĐT vec tơ ta có:
rr r r
a.b a b
r
a=
rr r r
a.b a b
r
r
a
b
khi và chỉ khi và cùng hướng
x 2 - 3 = 5 - x 2 x = ±2
Vậy nghiệm bất phương trình : x=2 v x=-2
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
17
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
x 1 2 3 x 10
Bài 2: Giải bất phương trình:
Giải :
Điều kiện :1 x 3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt:
Ta có:
r
a=
r
x-1; 3 - x ,b = 1;2
r
r
a 2, b 5
Theo đề bài ta có:
rr
r r
a.b 10 a b
Theo BĐT vec tơ ta có:
rr r r
a.b a b
rr r r
a.b a b
r
r
a
b
khi và chỉ khi và cùng hướng
2 x-1 = 3 - x x =
7
5
7
Vậy nghiệm bất phương trình : x= 5
Bài 3: Giải bất phương trình: 3 x+ 3 + 7 - x 10
Giải :
Điều kiện : 3 x 7
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt:
Ta có:
r
a=
r
x 3; 7 - x ,b = 3;1
r
r
a 10, b 10
Theo bài ra ta có:
rr r r
a.b a b
luôn đúng
Vậy nghiệm bất phương trình: 3 x 7
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
18
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Bài 4: Cho 4 số thực x, y, z, t.
Chứng minh rằng : (x2 +y2)(z2 +t2) (x z+ y t)2
Giải:
r
r
a
=
(x;
y),
b
= (z; t)
Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 vectơ :
r
r u
r
uu
ru
a b a .b
r
a
2
u
r2
b
r
uu
ru
(a .b) 2
Ta có
Vậy (x2 +y2) (z2 +t2) (x z+ y t)2
đẳng thức xảy ra
xt = yz
x 4 +1 - y 4 +1 x 2 - y 2 , x, y R
Bài 5: Chứng minh rằng:
Giải
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các vectơ:
r
a = (x 2 ;1) r r
a - b = (x 2 - y 2 ;0)
r
2
b = (y ;1)
Theo BĐT vec tơ
r r r r
a - b a-b
ta có
x 4 +1 - y 4 +1 x 2 - y 2 , x, y R
Bài 6 : Đề thi đại học khối A 2003
1
1
1 minh rằng:
Cho x, y, z là ba số thực
Chứng
x2dương
+ 2 +và x+
y2+y+2 z+�1z.2+
� 82
x
y
z2
1
1 r
1 r r r
1 1 1
r
r
Đặt a =(x; x ), b =(y; y ), c =(z; z ), a + b + c =(x+y+z; x + y + z )
Theo BĐT vectơ :
r r r r r r
a + b + c a +b+c
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
ta có:
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
19
Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
1
1
1
x + 2 + y2+ 2 + z2+ 2 �
x
y
z
2
2
�
1 1 1�
�
�+ + �
( x+ y+ z) + �
�
�
�
x y z�
�
2
2
1 1 1
1 1 1
2
81 x+ y+ z + + + - 80 x+ y+ z 18 x+ y+ z + + - 80
x y z
x y z
2
162 3 xyz. 3
x2+
Vậy
1
- 80 = 82
xyz
1
1
1
2
2
+
y
+
+
z
+
� 82
x2
y2
z2
Bài 7: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì
x 2 + xy+ y 2 + x 2 + xz+ z 2 > y 2 + yz+ z 2
Giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
(x+
y 2
3 2
) +(
y) +
2
2
Xét 3 điểm
(x+
z 2
3 2
) +(
z) >
2
2
(
y
2
-
z 2
3
3 2
) +(
y+
z) (1)
2
2
2
y 3
3
3
y z
A(x+ , z) ;B(0, y+ z) ;C( - ,0)
2
2
2
2
2 2
(1) AB + AC > BC
Ta có AB+ AC BC với 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây
uuur
y 3 uuur
z
3
AB = (- x- ;
y);AC = (- x- ;z)
2 2
2 2
Hai véctơ này không thể ngược hướng (vì hoành độ cùng âm) do đó không thể xảy ra
đẳng thức AB + AC = BC.
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng
Đơn vị Trường THPT Bình Sơn
20