Tài liệu Skkn tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy môn toán đại số 10.

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT KIỆM TÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TĂNG CƯỜNG VẬN DỤNG CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN VÀO DẠY MÔN TOÁN ĐẠI SỐ 10 GIÁO VIÊN : ĐINH VĂN LÊ Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục:  Phương pháp dạy học bộ môn: Toán  Phương pháp giáo dục:  Lĩnh vực khác:  Có đính kèm:  Mô hình Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác ĐỒNG NAI, THÁNG 4 NĂM 2015 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT KIỆM TÂN ------------------------------------ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI TĂNG CƯỜNG VẬN DỤNG CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN VÀO DẠY MÔN TOÁN ĐẠI SỐ 10 Người thực hiện: Đinh Văn Lê Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục:  Phương pháp dạy học bộ môn: Toán  Phương pháp giáo dục:  Lĩnh vực khác:  Có đính kèm:  Mô hình Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2014 – 2015 2 SƠ YẾU LÍ LỊCH KHOA HỌC 1. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN. Họ và tên: Đinh Văn Lê . Ngày, tháng, năm sinh:14/07/1985. Giới tính: nam Địa chỉ: Bạch Lâm – Thống Nhất – Đồng Nai. Điện thoại: 0982.573.962. Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Kiệm Tân. 2. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO. Trình độ chuyên môn: Cử nhân sư phạm. Năm nhận bằng: 2008. Chuyên ngành đào tạo: Toán. 3. KINH NGHIỆM KHOA HỌC. Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán . Số năm kinh nghiệm: 7 năm. Các sáng kiến kinh nghiệm trong 5 năm gần đây : Một số sai lầm thường gặp và phương pháp khử dạng vô định giới hạn hàm số. MỤC LỤC 3 I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI............................................................................................................5 II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN....................................................................................6 2.1. Tính thực tiễn và phổ dụng của toán học.....................................................................6 2.2. Tính thực tiễn trong nội dung toán học Phổ Thông ....................................................8 III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP.......................................................................9 3.1. Phương pháp chung để giải các bài toán thực tiễn.......................................................9 3.2. Xây dựng hệ thống các ví dụ và các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học Đại Số 10.....................................................................................................................10 IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI..................................................................................................24 V. ĐỀ XUẤT.............................................................................................................................25 4 TĂNG CƯỜNG VẬN DỤNG CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN VÀO DẠY HỌC ĐẠI SỐ 10 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực tế trong dạy học toán là không thể không đề cập đến. Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học. Toán học có vai trò quan trọng như vậy không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại toán học là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên. Nội dung chương trình toán lớp 10 là nội dung quan trọng vì nó có vị trí chuyển tiếp và hoàn thiện từ THCS lên THPT và có nhiều cơ hội để đưa nội dung thực tiễn vào dạy học. Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường THPT nhìn chung mới chỉ tập trung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học toán ở kỹ năng vận dụng tư duy tri thức trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kĩ năng vận dụng tri thức trong toán học vào nhiều môn khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên. Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông. Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và ý thức ứng dụng, toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm vi ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thường xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho toán học không trừu tượng khô khan và nhàm chán. Học sinh b iết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại. Qua đó càng làm thêm sự nổ i bật nguyên lý: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: Tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học nội dung môn toán Đại số 10 -THPT. 5 II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 2.1. Tính thực tiễn và phổ dụng của toán học 2 .1.1. Tính thực tiễn và tính ứng dụng của toán học. Trong khoa học cũng như trong cuộc sống, chúng ta thường phải xây dựng số phấn tử của tập hợp. Nếu số phần tử không nhiều thì ta có thể đếm trực tiếp số phần tử của nó bằng cách liệt kê, tuy nhiên nếu số phần tử của một tập hợp là rất lớn thì cách đếm trực tiếp là không khả thi hoặc phải tính toán xem khả năng này có xảy ra hay không? Nhưng những khả năng này không phải do bẩm sinh và không phải tự nó thấm vào nhận thức của con người, nó là sản phẩm của sự phát triển trong hàng thế kỉ của tư duy con người, xuất phát từ hoạt động thực tiễn của họ. Tóm lại tính thực tiễn của toán học thể hiện qua ứng dụng của toán học và thực tiễn đời sống. Điều này không những chỉ để nâng cao kiến thức của học sinh mà còn nhằm thực hiện nguyên lý giáo dục học đi đôi với hành, lý thuyết gắn liền với thực tiễn, nhà trường gắn liền với xã hộ i. 2.1.2. Vai trò của toán học trong nhiều lĩnh vực của khoa học khác Toán học nghiên cứu những mố i quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn của hai đại lượng là mối quan hệ cơ bản thường gặp trong thực tiễn khoa học và đời sống.. Điều đó nói lên vai trò toán học được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, văn học… Những thành tựu to lớn trong thời đại của chúng ta ngày nay như năng lượng điện tử, động cơ phản lực , vô tuyến điện tử… đều gắn liền với sự phát triển của những ngành toán học như đại số tổ hợp, xác suất thống kê, hàm số phức, giải tích hàm hình học Ơ-clít, hình học Aphin… Cơ học và vật lý học không thể phát triển được nếu không có toán học. Những điều đáng chú ý nhất trong giai đoạn cách mạng kỹ thuật mới là bên cạnh những ứng dụng của toán học vào kỹ thuật và sản xuất thông qua vật lý và cơ học thì những ứng dụng thông qua điều kiện học tăng lên không ngừng và ngày càng quan trọng. 2.1.3. Lý luận và thực tiễn trong dạy học toán tại trường THPT Trong học tập và nghiên cứu toán học. Để đạt được hiệu quả tốt đều cần có sự hài hoà giữa lý luận và thực tiễn. Lý luận là những chỉ dẫn giúp hoạt động thực tiễn của con người đi đúng hướng. Ngược lại hoạt động thực tiễn cũng giúp lý luận có ý nghĩa hơn. Động lực phát triển của toán học dựa vào mâu thuẫn giữa lý luận và thực tiễn như ngôn ngữ toán học chứa đúng hai mặt ngữ nghĩa và cú pháp. Ngữ nghĩa xem xét những quan hệ giữa các kí hiệu và được biểu đạt qua kí hiệu. Cú pháp nghiên cứu quan hệ giữa c ác kí hiệu. Khi vận dụng vào toán học cả hai mặt của ngôn ngữ toán học thì đều quan trọng như nhau. Nếu chỉ chú trọng về mặt cú pháp thì kiến thức toán học của học sinh sẽ mang tính chất hình thức, không vận dụng vào được thực tế. Ví Dụ: Đo khoảng cách. Hãy xác định chiều rộng của một khúc sông và v iệc đo đạc chỉ tiến hành bên một bờ sông. 6 Chuẩn bị dụng cụ: Êke đạc, giác kế, thước cuộn, máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác. Hướng dẫn học sinh thực hiện: Coi hai bờ sông song song với nhau. Chọn một điểm B bên kia sông, lấy một điểm A bên này sông sao cho AB vuông góc với các bờ sông. Dùng Êke kẻ đường thẳng Ax phía bên này sông sao cho Ax vuông góc với AB. Lấy một điểm C trên Ax và đo AC. Giả sử đo AC = a, dùng giác kế đo góc ACB, dùng � máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác để tính tan ACB . Vậy chiều rộng của khúc sông là: � AB = a. tan ACB B x A C a Nội dung giáo dục phổ thông phải đảm bảo tính phổ thông cơ bản, toàn diện, hướng nghiệp và hệ thống, gắn bó thực tiễn cuộc sống, phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổ i của học sinh. Đáp ứng được mục tiêu giáo dục ở mỗi bậc học, cấp học. Do tính toàn diện của nộ i dung giáo dục phổ thông, của mục đích đang học môn toán mà trong dạy học môn toán rất cần những phương pháp để thể hiện được phương pháp luận của khoa học cùng với những kỹ thuật hoạt động, thực tiễn, những ý tưởng về sự phản ánh thực tế vào toán học và những khẳng định vai trò của toán học trong thực tế. Ví Dụ : Giá bán lẻ điện sinh hoạt được cho trong bảng sau ( ch ưa bao gồồm thuếế giá tr ị gia tăng) : Số kWh 0-50 51-100 101-200 201-300 301-400 Từ 401 trở lên Giá(đ/ kWh) 1484 1533 1786 2242 2503 2587 Gia đình ông A sử dụng hết 452 kWh. Hỏi ông A phải trả tiền điện bao nhiêu ? Biết thuế giá trị gia tăng là 10%. Giải: Số tiền điện chưa bao gồm thuế gtgt là: 50.1484+50.1533+100.1786+100.2242+100.2503+52.2587=938474 (đ) Số tiền điện ông A phải trả là: 938474.110%=1032321,4 (đ) Ví Dụ : Khi học phần thống kê trong đại số lớp 10. Học sinh nắm được thống kê là khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày, phân tích 7 và xử lý số liệu. Qua ví dụ sau: Một cửa hàng bán quần áo thống kê số áo sơ mi nam đã bán trong một quí theo các cỡ khác nhau và có được bảng tần số sau: Cỡ áo 36 37 38 39 40 41 42 Số áo bán được(n) 13 45 110 184 126 40 5 Điều mà cửa hàng quan tâm đến là cỡ áo nào được khách hàng mua nhiều nhất. Bảng thống kê cho thấy cỡ áo bán được nhiều nhất là 39 (tức là giá trị 39 có tần số lớn nhất). Giá trị 39 chính là mốt của mẫu số liệu trên. Như vậy ý nghĩa của khái niệm tần số và mốt đã rõ. Nó giúp cho người kinh doanh điều chỉnh mặt hàng kinh doanh của mình để bán được nhiều hàng và thu lãi về nhiều nhất. 2.2. Tính thực tiễn trong nội dung toán học Phổ thông. 2.2.1. Mối liên hệ giữa thực tiễn và toán học. Như ta đã biết, toán học là kết quả của sự trừu tượng hoá những đối tượng vật chất khác nhau. Toán học có quan hệ mật thiết với thực tiễn, những mối quan hệ có tính qui luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng, những điều mà con người chưa biết, cần phải tìm tòi và giải quyết. Toán học là một dạng phản ánh thực tế khách quan, cụ thể là: + Phản ánh nguồn gốc của toán học: Nhận thấy toán học là xuất phát từ thực tiễn lao động của con người, do nhu cầu của con người trong quá trình lao động sản xuất, khám phá tự nhiên. Số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm, hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc… + Phản ánh thực tiễn của toán học, sự phân tích những điều kiện cụ thể của quá trình phát triển của đối tượng và ý nghĩa của toán học đã chỉ ra rằng thực tiễn không những chỉ là nguồn gốc và động lực của sự phát triển toán học mà còn là tiêu chuẩn chân lý của mỗi một lý thuyết toán học. Mỗi lý thuyết toán học đều trực tiếp hay gián tiếp phản ánh những hiện tượng, những đại lượng, những qui luật, những mố i quan hệ có trong thực tiễn. Khái niệm tập hợp phản ánh một nhóm hữu hạn hay vô hạn các vật, các đối tượng trong thực tế, hàm số y = ax phản ánh mối quan hệ giữa số tiền phải trả với lượng hàng hoá cần mua, trong hình học khái niệm véc tơ phản ánh những đại lượng đặc trưng không chỉ về hướng, độ dài mà còn phản ánh về độ lớn, vận tốc, lực… + Phản ánh ứng dụng thực tế trong toán học thực tế là nguồn gốc của mọi lý thuyết toán học, nhưng sau khi ra đời các lý thuyết toán học lại quay lại phục vụ con người trong hoạt động thực tiễn, là công cụ đắc lực giúp con người giải quyết các vấn đề khó khăn trong lao động xã hội và trong kỹ thuật. Ứng dụng thực tế trong toán học cho học sinh thấy được rằng trong phần giải tam giác của chương trình hình học lớp 10 đã vận dụng lượng giác để cho những khoảng cách không tới được như khoảng cách của bờ sông bên này đến bờ sông bên kia, khoảng cách của một toà nhà cao, ứng dụng thống kê để tính sản lượng cao thu lãi lớn… Muốn vậy cần tăng cường cho học sinh tiếp cận với những bài toán có nội dung thực tế. Xuất phát từ những nhu cầu trong thực tiễn để giải thích các hiện tượng trong khi học lý thuyết cũng như làm bài tập. Tóm lại: Mố i quan hệ toán học và thực tiễn gồm bao hàm tất cả các tính 8 phổ dụng, tính toàn bộ, tính nhiều tầng. 2. 2.2. Tình hình ứng dụng của toán học trong nhà trường phổ thông. Quan điểm và làm rõ mạch toán ứng dụng và ứng dụng toán học đã được nhấn mạnh trong dự thảo chương trình môn toán cải cách giáo dục. Tuy vậy, việc quán triệt tinh thần của quan điểm đó trên thực tế vẫn cò n những tồn tại , cần có những phương hướng cụ thể và biện pháp tích cực để khắc phục. Việc dạy học toán ở nhà trường phổ thông hiện nay đang rơi vào tình trạng bị coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học vào đời sống. Mối liên hệ toán học với thực tế là còn yếu, học sinh ít được về mặt toán học hoá các tình huống bắt đầu từ những vấn đề trong cuộc sống thực tiễn. - Trong quá trình đánh giá, thông qua các kỳ thi, chẳng hạn kỳ thi tốt nghiệp phổ thông hay tuyển s inh vào các trường chuyên nghiệp, vào các trường đại học hầu như các ứng dụng ngoài toán học đều không được đề cập đến. Điều đó khiến cho học sinh, thậm chí cả giáo viên coi nhẹ vấn đề học và dạy ứng dụng toán học vào thực tế. Ảnh hưởng của sách giáo khoa và tài liệu tham khảo, lối dạy phục vụ cho thi cử ( chỉ chú ý những nội dung để học sinh đi thi ) như hiện nay là một nguyên nhân góp phần tạo ra tình trạng này. - Trong quá trình dạy học môn toán phải làm cho học sinh nhận thức được đúng và đầy đủ rằng môn toán là một khoa học nghiên cứu về tương quan số lượng và hình dạng trong không gian của thế giới khách quan. III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN VÀ CÁC GIẢI PHÁP Môn toán có liên hệ chặt chẽ với khoa học toán học, toán học đang phát triển như vũ bão, ngày càng xâm nhập vào các lĩnh vực khoa học công nghệ và đời sống. Toán học phản ánh ở trong nhà trường phổ thông là cơ bản là nền tảng được sắp xếp thành một hệ thống và đảm bảo tính khoa học, tính tư tưởng để tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động. Việc đảm bảo chất lượng phổ cập xuất phát từ yêu cầu khách quan của xã hội và từ khả năng thực tế của học sinh học khẳng định rằng mọi học sinh có sức học bình thường đều có thể tiếp thu một nền văn hoá phổ thông, trong đó có học vấn toán học phổ thông. Sau đây là nộ i dung vắn tắt giới thiệu chương trình toán trung học phổ thông ở lớp 10 phần đại số. Chương I. Mệnh đề- Tập hợp Chương II. Hàm số bậc nhất và bậc hai Chương III. Phương trình - Hệ phương trình Chương IV. Bất đẳng thức - Bất phương trình Chương V. Thống kê Chương VI. Cung và góc lượng giác. Công thức lượng gi ác 3.1. Phương pháp chung để giải các bài toán có nội dung thực tiễn. Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những ý khác nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo được trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…Kết quả của lời giải phải đáp ứng do nhu cầu thực tế đặt ra. Ta đã biết rằng không có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán, ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp 9 không có thuật giải. Bài toán thực tiễn trong cuộc sống là rất đa dạng, phong phú xuất phát từ những nhu cầu khác nhau trong lao động sản xuất của con người. Do vậy càng không thể có một thuật giải chung để giải quyết các bài toán thực tiễn. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết. Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, kết hợp với những đặc thù riêng của bài toán thực tiễn, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán có nội dung thực tiễn như sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài toán. Toán học hoá bài toán, chuyển bài toán với những ngôn ngữ, những sự kiện trong cuộc sống thực tế thành bài toán với ngôn ngữ toán học, các dữ kiện được biểu thị bằng các ẩn số, các con số,…Các ràng buộc giữa các yếu tố trong bài toán thực tiễn được chuyển thành các biểu thức, các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình toán học… Bước này có ý nghĩa rất quan trọng đối với việc giải quyết một bài toán có nội dung thực tiễn, đồng thời nó cũng phản ánh khả năng, trình độ của người học đối với việc hiểu và vận dụng các tri thức toán học. Bước 2: Tìm cách giải cho bài toán đã được thiết lập. Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với những dạng toán. Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan… Bước 3: Trình bày lời giải. Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước thực hiện theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó. Bước 4: Đưa ra kết luận cuối cùng cho yêu cầu của bài toán thực tiễn, thường là một kết quả đo đạc, một phương án, một kế hoạch sản xuất… Do thực tiễn đặt ra. Đồng thời cần có sự nghiên cứu sâu lời giải, nghiên cứu khả năng ứng dụng của kết quả của lời giải. Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. Đây là hoạt động nhằm phát huy khả năng tư duy, tìm tòi sáng tạo học sinh. Để trang bị cho HS tri thức phương pháp giải bài toán có nội dung thực tiễn như đã nêu trên và cần tăng cường rèn luyện cho học sinh khả năng và thó i quen ứng dụng kiến thức, kỹ năng và phương pháp toán học vào những tình huống cụ thể khác nhau ( trong học tập, trong lao động sản xuất, trong đời sống…) 3.2. Xây dựng hệ thống các ví dụ và bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học đại số 10 3.2.1. Chương1: Mệnh đề - Tập hợp A. Tóm tắt kiến thức cơ bản chương I: Mệnh đề - tập hợp. + Một mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai. Một câu khẳng đ ịnh đúng gọi là một mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là một mệnh đề sai. + Cho mệnh đề P. Mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P 10 + Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P  Q + Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “ P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P  Q . + Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A  B + Hiệu của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A\ B B. Các ví dụ và các bài tập có nội dung thực tế được ứng dụng trong lí thuyết và bài tập. Trong chương I: Mệnh đề - tập hợp phần đại số lớp 10 cung cấp cho học sinh kiến thức mở đầu về lô gíc toán và tập hợp . Các khái niệm và các phép toán về mệnh đề và tập hợp sẽ giúp chúng ta d iễn đạt các nội dung toán học thêm rõ ràng và chính xác, đồng thời giúp chúng ta hiểu đầy đủ hơn về suy luận và chứng minh trong toán học. Bởi vậy chương này có ý nghĩa quan trọng đối với việc học tập hợp môn toán. Ta sẽ minh chứng điều đó qua một bài số học thể hiện được tính ứng dụng rộng rãi của mệnh đề để củng cố. *Ứng dụng trong dạy lí thuyết Chẳng hạn: 1. “Pari là thủ đô của nước Pháp” là mệnh đề đúng. 2. “Việt Nam nằm ở Châu Âu” là mệnh đề sai. 3. “20 là số chẵn” là mệnh đề đúng. 4. “15 lớn hơn 30” là mệnh đề sai. 5. Các câu sau: “Cuốn sách này giá bao nhiêu tiền?”. “Bao giờ lớp mình đi thăm quan Hà Nộ i?”. “Tất cả hãy anh dũng tiến lên” đều không phải là mệnh đề. - Mệnh đề phủ định. Ví Dụ : Nếu C = “Chuyến tàu TN1 hôm nay bãi bỏ” thì mệnh đề phủ đ ịnh C có thể diễn đạt như sau: “Chuyến tàu TN1 hôm nay không bãi bỏ”. Nếu qua xác minh mệnh đề C đúng thì mệnh đề phủ định C sẽ sai và ngược lại. + Mệnh đề kéo theo. Mệnh đề kéo theo thường được diễn tả dưới hình thức khác, chẳng hạn: “a suy ra b”. “Nếu a thì b”. “Có a khi có b”. 0 Ví Dụ : “Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 60 thì tam giác ABC là một tam giác đều.” Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn tả như sau: “ Bao giờ bánh đúc có xương, Bấy giờ gì ghẻ mới thương con chồng”. Hoặc “Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, 11 Bay cao thì nắng, bay vừa thì râm”. * Áp dụng mệnh đề - tập hợp vào phần bài tập +Sử dụng biểu đồ Ven đề giải bài toán tập hợp. Bài 1: Trong một buôn làng của người dân tộc, cư dân có thể nói được tiếng dân tộc, có thể nói được tiếng kinh hoặc nói được cả hai thứ tiếng. Kết quả của một đợt điều tra cơ bản cho biết. - Có 912 người nói tiếng dân tộc; - Có 653 người nói tiếng kinh; - Có 435 người nói được cả hai thứ tiếng. Hỏi buôn làng có bao nhiêu cư dân? Giải. Ta vẽ hai hình tròn. Hình A kí hiệu cho số cư dân nói tiếng dân tộc. Hình B kí hiệu cho số cư dân nói tiếng kinh. Ta gọi số phần tử của một tập hữu hạn A bất kỳ là n(A). A 912 435 B 653 Như vậy: n(A) = 912; n(B) = 653; n( A  B ) =435. Ta cần tìm số phần tử của tập hợp A hợp B. Trước hết, ta cộng các số n(A) và n(B). Nhưng như vậy thì những phần tử thuộc vào giao của A và B được kể làm hai lần. Do vậy từ tổng n(A) + n(B) ta phải trừ đi n( A  B ) và được: n ( A  B ) = n(A) + n(B) –n( A  B ) (1) Thay các giá trị này của n(A); n(B); n( A  B ) ta được n ( A  B ) = 912 + 653 – 435 =1130. Đáp số: Cư dân của buôn làng 1130 người. Từ bài toán trên công thức (1) đúng với mọi tập hợp A, B bất kỳ. Bài 2: Trong số 45 học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp loại học lực giỏi, 20 bạn được xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa học giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải có học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt. 12 Giải: Ta vẽ hai hình tròn. Hình A kí hiệu cho số học sinh xếp loại học lực giỏi. Hình B kí hiệu cho s ố h ọ c s i n h c ó h ạ n h k i ể m t ố t . A 15 10 B 20 Như vậy: n(A) = 15; n(B) = 20; n( A  B ) =435. Ta cần tìm số phần tử của tập hợp A hợp B. Trước hết, ta cộng các số n(A) và n(B). Nhưng như vậy thì những phần tử thuộc vào giao của A và B được kể làm hai lần. Do vậy từ tổng n(A) + n(B) ta phải trừ đi n( A  B ) và được: n ( A  B ) = n(A) + n(B) –n( A  B ) (1) Thay các giá trị này của n(A); n(B); n( A  B ) ta được: n ( A  B ) = 15 + 20 – 10 =25. Đáp số: Có 25 bạn được khen thưởng. 3.2.2. Chương II: Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc hai A. Tóm tắt kiến thức cơ bản chương II +Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b với a  0 , tập xác định R. Khi a >0, hàm số y = ax + b đồng biến trên R. Khi a < 0, hàm số y = ax + b nghịch biến trên R. Đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳng, có hệ số góc a. 2 + Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax +bx +c, trong đó a,b.c là các hằng số và a  0 .  b   I ;  Đồ thị hàm số bậc hai là một parabol có đỉnh  2a 4a  , có trục đối xứng là đường thẳng x b 2a , có bề lõm quay lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0. B. Các ví dụ và bài toán có nội dung thực tế được ứng dụng trong lí thuyết và bài tập. *Ứng dụng trong lí thuyết 13 + Hàm số bậc nhất. Trong cuộc sống và trong tự nhiên có rất nhiều các sự vật, hiện tượng có quan hệ với nhau theo mối tương quan hàm số chẳng hạn để củng cố khái niệm hàm số, ta cho học sinh biết về một số hàm số toán học và thể hiện hàm số đó trong thực tiễn, hoặc các em tự tìm ra những mối quan hệ giữa các sự vật, hiện tượng xung quanh thể hiện là mối tương quan hàm số. Chú trọng qua các ví dụ và bài tập sát với thực tiễn cuộc sống và gắn bó với các môn học khác. Chẳng hạn có nhiều câu hỏi, bài tập liên quan đến luật giao thông, liên quan đến kinh tế… Ví dụ: Thông qua thực tế khái niệm về hàm số theo tình hình kinh tế và xã hội của đất nước như: Theo thông báo của ngân hàng AGRIBANK, ta có bảng dưới đây về lãi suất gửi tiết kiệm kiểu bậc thang với số tiền gửi tiết kiệm VND, được áp dụng từ ngày 30/6/2014. Kì hạn (số tháng) 1 2 3 6 12 15 Lãi suất (% tháng) 18.0 18.15 18.30 18.35 18.40 17.90 Bảng này thể hiện sự phụ thuộc giữa lãi suất % theo tháng ( kí hiệu là y) là hàm số của kì hạn x (tính theo tháng). + Hàm số bậc hai: Thấy được ý nghĩa của hàm số và đồ thị hàm số bậc hai trong đời sống thực tế, đó là đường parabol. Trong cuộc sống hàng ngày chúng ta thường gặp những hình ảnh của đường parabol. Như khi ta ngắm các đài phun nước, hoặc được chiêm ngưỡng cảnh bắn pháo hoa muôn màu, muôn sắc. Nhiều công trình kiến trúc cũng được tạo dáng theo hình parabol, như cây cầu, vòm nhà, cổng ra vào… Điều đó không chỉ đảm bảo tính bền vững mà còn tạo nên những vẻ đẹp của công trình. *Ứng dụng trong bài tập Bài tập 1: Một hãng taxi qui đ ịnh giá thuê xe đ i mỗ i kilômét là 6 nghìn đồng đối với 10 km đầu tiên và 2,5 nghìn đồng với các km tiếp theo. Một hành khách thuê taxi đ i quãng đường x kilômét phải trả số tiền là y nghìn đồng. Trong đó y là một hàm số của x. a) Hãy biểu diễn y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng [0;10] và khoảng (10;  ) b) Tính f(8), f(10) và f(18). Gợi ý a) Khi 0  x  10 , số tiền phải trả là f(x) = 6x. Khi x > 10, số tiền phải trả là f(x) = 6.10 +2,5.(x -10)= 2,5x + 35 khi 0  x  10  6x f ( x)    2.5 x  35 khi x  10 Vậy ta có hàm số: 14 b) Từ công thức trên suy ra: f(8) = 6.8 = 48; f(10) = 6.10 = 60; f(18) = 2,5. 18 + 35 = 80. +Hàm số bậc hai Bài toán bóng đá: Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với toạ độ 0 t.h, trong đó t là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng được đá lên, h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao 1,2m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6 m. a) Hãy tìm hàm số bậc hai b iểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên. b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng c) Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên Gợi ý: 2 a) Giả sử h = f(t) = at + bt +c. Ta cần tìm các hệ số a, b và c. Theo giả thiết, quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2m, nghĩa là: f(0) = c= 1,2. Sau đó 1 giây, nó đạt được độ cao 8,5m nên: f(1) = a + b + 1,2 = 8,5. Sau khi đá 2 giây, quả bóng ở độ cao 6m, nghĩa là: f(2) = 4a + 2b + 1,2 = 6. Thu gọn các hệ thức trên, ta có hệ phương trình bậc nhất.  a  b  7.3  a  4.9     2a  b  2.4  b  12.2 2 Vậy hàm số cần tìm là: f (t )  4.9t  12.2t  1.2 15 16 b) Độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ của đỉnh parabol, cụ thể là:  b  f    8.794  2a  c) Giải phương trình: 4.9t  12.2t  1.2  0 , ta được hai nghiệm gần đúng là: t1 = -0,09 và t2 = 2,58 (loại giá trị âm), ta được kết quả là: Quả bóng chạm đất sau gần 2,58 giây. 2 Bài toán về cổng Ác – xơ (Asch). Khi du lịch đến thành phố Lui (Mĩ) ta sẽ thấy một cái cổng lớn dạng Parabol bề lõm quay xuống dưới. Đó là cổng Acxơ ( hình vẽ ) . y M Làm thế nào để tính chiều cao của cổng (khoảng cách từ điểm cao nhất của cổng đến mặt đất) B x Vấn đề đặt ra: O Tính chiều cao của cổng khi ta không thể dùng dụng cụ đo đạc để đo trực tiếp. Cổng dạng Parabol có thể xem là đồ thị của hàm số bậc hai, chiều cao của cổng tương ứng với đỉnh của Parabol. Do đó vấn đề được giải quyết nếu ta biết hàm số bậc hai nhận cổng làm đồ thị Đơn giản vấn đề : chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng một chân của cổng (như hình vẽ) Dựa vào đồ thị ta thấy chiều cao chính là tung độ của đỉnh Parabol. 17 Như vậy vấn đề được giải quyết nếu ta biết hàm số bậc hai nhận cổng Acxơ làm đồ thị . Phương án giải quyết đề nghị: 2 Ta biết hàm số bậc hai có dạng: y  ax  bx  c . Do vậy muốn biết được đồ thị hàm số nhận cổng làm đồ thị thì ta cần biết ít nhất tọa độ của 3 điểm nằm trên đồ thị chẳng hạn O, M, B Rõ ràng O(0,0); M(x,y); B(b,0). Ta phải tiến hành đo đạc để nắm số liệu cấn thiết. Đối với trường hợp này ta cần đo: khoảng cách giữa hai chân cổng, và môt điểm M bất kỳ chẳng hạn b = 162, x = 10, y = 43  43 3483 Ta viết được hàm số bậc hai lúc này là : y = 1320 x2 + 700 x Đỉnh S(81m;185,6m) Vậy trong trường hợp này cổng cao 185,6m. Trên thực tế cổng Acxơ cao 186m. 3.2.3. Chương III. Phương trình và hệ phương trình. Chương IV. Bất đẳng thức và bất phương trình A. Tóm tắt kiến thức cơ bản của chương III và chương IV - Các phép biến đổi tương đương các phương trình - Phép biến đổi cho phương trình hệ quả - Giải và b iện luận phương trình ax + b = 0 2 - Giải và b iện luận phương trình bậc hai ax + bx + c =0 (a  0) - Giải và b iện luận phương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Định Vi-ét (thuận và đảo) - Giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn - Các tính chất của bất đẳng thức. Bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối. Bất phương trình tương đương - Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. - Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc hai. - Một số phương trình và bất phương trình qui về bậc hai. B. Các ví dụ và bài toán có nội dung thực tế được ứng dụng trong lí thuyết và bài tập. Rèn luyện cho HS khả năng sử dụng những b iểu thức chứa biến để b iểu thị những tình huống thực tế đó là trong dạy học cần chú trọng cho HS lập phương trình là tập luyện cho họ biểu thị những tình huống thực tế bằng những biểu thức có chứa những biến đại diện cho những đại lượng chưa biết. Cần tập cho HS một mặt b iết chuyển từ những tình huống thực tế sang những biểu thức biểu thị chúng và mặt khác biết chuyển từ những biểu thức sang những tình huống thực tế phù hợp với chúng 18 chính vì thế ta nên tiến hành theo từng bước sau: a/ Đặt ấn số. Ẩn số là cái chưa biết, cái phải tìm. Thông thường bài toán yêu cầu tìm cái gì thì ta đặt cái đó làm ẩn. Cũng có khi ta đặt những bài toán và với cách đặt ẩn như thế mà phương trình lập nên quá phức tạp hoặc khó khăn thì cần thay đổi cách chọn ẩn hoặc chọn thêm ẩn. Ẩn mà ta chọn phải liên quan đến cái cần tìm và cho phép ta lập phương trình dễ dàng hơn. b/ Lập phương trình. Sau khi đặt ẩn ( nêu đ iều kiện cho ẩn nếu có ) ta tiến hành b iểu thị các đại lượng qua các số đã biết và ẩn số. để lập được phương trình (các phương trình) ứng với bài toán cần giải, ta cố gắng hình dung thật cụ thể và rõ ràng đ iều kiện của bài toán ( quan hệ giữa cái cần tìm, cái chưa b iết và những cái đã cho). Trong những trường hợp phức tạp, ta phải phân tích, tách ra từng phần, phiên d ịch mỗi phần theo ngôn ngữ đại số, sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí, sau đó kết hợp những phần đã nó i để có thể biểu d iễn cùng một đại lượng bằng hai cách khác nhau thành một đẳng thức. Như vậy ta sẽ có phương trình. Thông thường ở mỗi bài toán ta đưa ra bao nhiêu ẩn, cần thiết lập bấy nhiêu phương trình. Cũng có những trường hợp ngoại lệ: ta đưa thêm ẩn phụ vào và sau đó khử được ẩn đó đi hoặc có trường hợp dẫn đến PT nghiệm nguyên. Chú ý: trong những bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình (hệ phương trình, bất phương trình) có những đại lượng liên quan chặt chẽ với nhau khi nó i đến đại lượng này ta phải nghĩ ngay đến đại lượng kia dù trong bài toán không nói đến đại lượng quan hệ đó. c/ Trình tự các bước trong lời giải bài toán bằng cách lập phương trình (HPT, BPT) - Chọn ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn (nếu có) - Biểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho - Lập phương trình (HPT, BPT) - Chọn nghiệm thích hợp trả lời. Vai trò PT, HPT, BPH đối với đời sống thực tiễn được thể hiện rất phong phú, đa dạng ở nhiều lĩnh vực, Giúp con người giải quyết các bài toán trong cuộc sống như về kinh tế, kỹ thuật,..Thông qua một số ví dụ sau: + Toán tìm số. Bài toán 1. Số trứng ở rổ thứ nhất gấp đôi số trứng ở rổ thứ hai. Nếu bớt đi 20 quả ở rổ thứ nhất và bỏ thêm 10 quả vào rổ thứ hai thì số trứng ở rổ thứ nhất gấp 4 3 Lần số trứng ở rổ thứ hai. Tính số trứng ban đầu ở mỗi rổ ? Trước những bài toán thực tế trên, điều quan trọng là phải hướng dẫn học sinh phân tích bài toán để biết được trong bài toán có những đại lượng nào ? quan hệ giữa chúng ra sao ? toán học hoá các đại lượng và các mối quan hệ ấy ? Trong ví dụ của bài toán trên, ta gặp các đại lượng. Số trứng ở rổ thứ nhất (chưa biết) gấp đôi số trướng ở rổ thứ hai (chưa biết) chính vì thế cần chọn ẩn là các đại lượng chưa biết. Ta gọi số trứng ở rổ thứ nhất và ở rổ thứ hai theo thứ tự là x và y (x>y>0) Theo bài ra quan hệ giữa số trứng thêm, bớt ở rổ thứ nhất và rổ thứ hai là bước tiếp theo là toán học hoá các đại lượng và mố i quan hệ giữa chúng thì tỉ số giữa số 19 x  20 4  trứng ở hai rổ sau khi thêm bớt là: y  10 3 Gọi số trứng ở rổ thứ nhất và ở rổ thứ hai theo thứ tự xvà y (x>y và x,y nguyên dương). Theo đầu bài ta có phương trình:  x  20 4    y  10 3  x  2y  Giải ra tìm được x=100; y=50. Thoả mãn điều kiện đầu bài, Vậy rổ trứng thứ nhất có 100 quả, rổ trứng thứ hai có 50 quả. Bài toán 2.Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng các bình phương của chúng là 157.  x  y  17  2 2 Nếu ta đặt ẩn với cả hai số là x và y thì ta có ngay hệ phương trình  x  y  157 Bài toán trên cố thể sử dụng kiến thức đơn giản hơn, phù hợp với đa phần học sinh, có thể chuyển sang chỉ tìm một số rồi từ đó tìm số kia sau. Vì lẽ đó ta sắp xếp và viết bài toán dưới dạng: Số thứ nhất là x số thứ hai là 17-x Tổng các bình phương của chúng là 157. Khi đó ta có phương trình: x 2  (17  x )2  157 Giải phương trình ta có hai số là 6 và 11 Bài toán 3.(bài toán cổ) Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui Chia ba mỗi quả quýt rồi. Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh Trăm người trăm miếng ngọt lành Quýt, cam mỗi loại tính rành là sao? Hướng dẫn giải: Gọi x là số quả quýt và y là số quả cam. điều kiện: x,y <17; x, y  � Theo đề bài ta có: x+y=17 Chia ba mỗi quả quýt và chia mười mỗi quả cam được một trăm miếng, nghĩa là: 3x+10y=100  x  y  17  Ta có hệ phương trình :  3 x  10 y  100 Giải hệ phương trình ta được: x=10; y=7 20