SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Trƣờng THPT Bình Sơn
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ
LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Người thực hiện: Phan Văn Hóa
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục
- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học
- Lĩnh vực khác:
Có đính kèm:
Mô hình
Đĩa CD (DVD)
Phim ảnh
Năm học: 2014 - 2015
Hiện vật khác
SƠ LƢỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
––––––––––––––––––
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên:
Phan Văn Hóa
2. Ngày tháng năm sinh:
06/05/1979
3. Nam, nữ:
Nam
4. Địa chỉ: Ấp 1 – Bình Sơn - Long Thành - Đồng Nai
5. Điện thoại: Cơ quan : 0613.533.100
; ĐTDĐ :
6. E-mail:
[email protected]
7. Chức vụ:
Giáo viên
0985801064
8. Nhiệm vụ được giao giảng dạy môn Toán lớp 12A2, 12A8, 11A9
9. Đơn vị công tác:
Trường THPT Bình Sơn
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị cao nhất: Cử nhân
- Năm nhận bằng: 2004
- Chuyên ngành đào tạo: Toán học
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : Toán học
- Số năm có kinh nghiệm : 9
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 9 năm gần đây :
+ Ứng dụng định lí Vi-ét vào việc giải toán.
+ Một số sai lầm khi tính tích phân.
+ Một số sai lầm khi giải phương trình lôgarit.
+ Ứng dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình, bất phương trình và hệ
phương trình.
+ Giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ
TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong đề thi Đại học, Cao đẳng và học sinh giỏi của các năm bài toán tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hầu như không thể thiếu. Đặc biệt bài toán tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là một trong những bài toán hay và khó, đòi hỏi
người học phải có tư duy tốt, có tính sáng tạo cao. Vấn đề đặt ra là làm sao để giảng
dạy học sinh học tốt chủ đề này. Trong quá trình giảng dạy của mình, đặc biệt trong
quá trình dạy ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy sử dụng phương
pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất giúp học sinh dễ tiếp thu và chủ động
giải quyết các bài toán hơn. Với những ưu điểm đó nên tôi chọn đề tài : ‘‘Ứng dụng
phƣơng pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất’’ để trao đổi với đồng
nghiệp.
II.
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Định nghĩa: Cho hàm số y f ( x) xác định trên D R . Ta có:
f ( x) M
M max f ( x)
xD
x0 D : f ( x0 ) M
f ( x) m
m min f ( x)
xD
x0 D : f ( x0 ) m
2. Định lí:
f ( x) f (a) ; max f ( x) f (b)
a. Nếu hàm số y f ( x) đồng biến trên a; b thì xmin
a ;b
x a ;b
.
f ( x) f (b) ;
b. Nếu hàm số y f ( x) nghịch biến trên a; b thì xmin
a ;b
max f ( x) f (a) .
x a ;b
Chú
ý:
giải
pháp
thay
thế
một
phần
giải
pháp
đã
có.
1
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ
TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A. ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
NHỎ NHẤT CỦA HÀM MỘT BIẾN.
1. PHƢƠNG PHÁP 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y f ( x)
trên một đoạn a; b
● Tính f '( x)
● Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên khoảng a; b mà tại đó f '( x) 0 hoặc f '( x) không
xác định.
● Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (b) .
● Kết luận:
max f ( x) max{f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (b)} ;
xa ;b
min f ( x) min{f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (b)}
xa ;b
2. PHƢƠNG PHÁP 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y f ( x)
trên một khoảng a; b (có thể là ; )
● Tính f '( x)
● Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên khoảng a; b mà tại đó f '( x) 0 hoặc f '( x) không
xác định.
● Lập bảng biến thiên.
f ( x) ;
● Dựa vào bảng biến thiên rồi kết luận max f ( x) ; xmin
a ;b
x a ;b
2
Chú ý: Khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f ( x) mà không chỉ rõ
trên tập nào thì ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f ( x) trên tập xác
định của hàm số y f ( x) .
3. VÍ DỤ ÁP DỤNG:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)
x2
trên đoạn 1; 2
4 x
Giải:
f '( x)
x2 8x
1
, x ;6
2 2
(4 x )
3
x 0 1; 2
f '( x) 0 x 2 8 x 0
x 8 1; 2
1
f 1 ; f 0 0 ; f 2 2
3
Vậy max f ( x) f 2 2 và min f ( x) f 0 0
x1;2
x1;2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 3x 1 3 6 x
Giải:
TXĐ: D ;6
3
1
f '( x)
3
3
1
, x ;6
2 3x 1 2 6 x
3
5 1
f '( x) 0 6 x 3x 1 x ;6
4 3
1
5
f 57 ; f 2 19 ; f 6 19
3
4
5
Vậy max
f ( x) f 2 19 và min f ( x) f 6 19
1
1
4
x ;6
3
x ;6
3
3
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)
3x 2 10 x 20
x2 2 x 3
Giải:
TXĐ: D R
f '( x)
4 x 2 22 x 10
( x 2 2 x 3)2
1
x
f '( x) 0 4 x 22 x 10
2
x 5
2
Bảng biến thiên:
x
-∞
f'(x)
-5
-
0
3
f(x)
+
1
+∞
2
0
-
7
5
2
Vậy min
f ( x) f 5
xR
-
3
5
1
và m ax f ( x) f 7
xR
2
2
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) x 16 x2
Giải:
TXĐ: D 4; 4
f '( x) 1
x
16 x 2
, x 4;4
x 0
x 0
x 0
f '( x) 0 16 x 2 x
2
x 2 2 4; 4
2
2
x 2 2
16 x x
x 8
f 4 4 ; f 2 2 4 2 ; f 4 4
4
Vậy max f ( x) f 2 2 4 2 và min f ( x) f 4 4
x 4;4
x 4;4
Ví dụ 5: Cho a là số thực dương thỏa a 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
a2
(a 3)2
.
3 a
a
Giải:
Xét hàm số f (a)
f '(a)
a2
(a 3)2
với 0 a 3
3 a
a
54a 81
, a 0;3
(3a a 2 ) 2
3
f '(a) 0 a 0;3
2
Bảng biến thiên:
a
f'(a)
3
0
3
2
-
0
+
f(a)
3
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: f a f 3 3, a 0;3 . Suy ra:
2
3
min P min f (a) f 3
a 0;3
2
Vậy min P 3 khi a
3
2
B. ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN.
1. PHƢƠNG PHÁP:
● Biến đổi hoặc sử dụng bất đẳng thức để chuyển biểu thức ban đầu sang biểu thức
mới. Biểu diễn các biến số ban đầu của biểu thức theo một biến số mới.
5
● Dựa vào điều kiện của các biến số ban đầu để tìm điều kiện cho biến số mới.
● Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số theo biến mới.
2. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƢỜNG DÙNG:
a. Bất đẳng thức Cô – si, với a, b, c 0 , ta có:
a b 2 ab ; dấu “=” xảy ra a b .
a b c 3 3 abc ; dấu “=” xảy ra a b c .
b. a b 2ab a b
2
2
2
2
a b
2
2
2ab , với a, b R ; dấu “=” xảy ra a b .
a b , với
3ab(a b)
2
c. a b (a b)
3
3
3
4
d. a b c ab bc ca a b c
2
2
2
2
2
2
a, b R ; dấu “=” xảy ra a b .
a b c
2
3
ab bc ca , với a, b, c R ; dấu “=”
xảy ra a b c
Hiển nhiên, ta có: a 2 b2 2ab ab
Tương tự bc
a 2 b2
, với a, b R
2
b2 c 2
c2 a2
, với b, c R ; ca
, với a, c R
2
2
Suy ra: a2 b2 c2 ab bc ca
Từ đó, ta có:
(a b c)2 a 2 b 2 c 2 2(ab bc ca) 3(ab bc ca)
( a b c) 2
ab bc ca
3
(a b c)2 a 2 b2 c 2 2(ab bc ca) 3(a 2 b 2 c 2 ) a 2 b 2 c 2
e.
(a b c) 2
3
1 1
4
, (với a 0, b 0 ); dấu “=” xảy ra a b
a b a b
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: a b 2 ab và
1 1
2
a b
ab
6
1 1
1 1
4
Suy ra a b 4
a
f.
b
a
b
ab
1 1 1
9
, (với a 0, b 0, c 0 ); dấu “=” xảy ra a b c .
a b c a b c
3. VÍ DỤ ÁP DỤNG:
Ví dụ 1: Cho các số thực x, y không âm và thỏa mãn điều kiện x 2 y 2 . Tìm giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P
x
2y
.
2 y 1 x 1
Giải:
P
x
2y
x 2 4 y 2 x 2 y ( x 2 y )2 4 xy x 2 y 6 4 xy
2 y 1 x 1 2 xy x 2 y 1
2 xy x 2 y 1
2 xy 3
( x 2 y)2
Đặt t 2 xy
1 0 t 1
4
Xét hàm số f (t )
f '(t )
6 2t
với 0 t 1
t 3
12
0, t 0;1
(t 3)2
Suy ra hàm số nghịch biến trên 0;1 nên 1 f (1) f (t ) f (0) 2, t 0;1
Vậy maxP 2 khi x 2; y 0 hoặc x 0; y 1
min P 1 khi x 1; y
1
2
Ví dụ 2: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x y xy 3 . Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức P
P
3x
3y
xy
x2 y 2 .
y 1 x 1 x y
3( x 2 y 2 ) 3( x y)
xy
3( x y) 2 6 xy 3( x y)
xy
( x2 y 2 )
( x y )2 2 xy
x y xy 1
x y
4
x y
Đặt t x y với t 0 , suy ra xy 3 t 0 t 3 .
7
3 x y xy x y
Xét hàm số f (t )
( x y)2
t 2 4t 12 0 t 2
4
3t 2 9t 18 3 t 2
t 6 2t với 2 t 3
4
t
6t 9 3
2t 3 t 2 12 (2t 3 t 2 12) 24
2 2t 2
4
t
4t 2
4t 2
(t 2)(2t 2 3t 6) 24
0, t 2;3
4t 2
3
Suy ra hàm số nghịch biến trên 2;3 nên f (t ) f (2) , t 2;3
2
f '(t )
Vậy m axP
3
khi x y 1
2
Ví dụ 3: Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 2 x 3;1 y 3 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P
5x
4y
1
.
2
x 5 y 11 y 4 x 7 4( x y 2)
2
Giải:
Từ giả thiết, ta có:
2
2
( x 2)( x 3) x 5 x 6 0
x 5x 6
2
2
( y 1)( y 3) y 4 y 3 0
y 4y 3
Từ đó suy ra: P
4y
x y
5x
1
1
5x 5 y 5 4 y 4 x 4 4 x y 2 x y 1 4 x y 2
Đặt t x y thì 3 t 6 ,
Xét hàm số f t t
1
với 3 t 6
t 1 4 t 2
f ' t
(t 1)(t 5)
1
1
.
2
2
2
2
t 1 4 t 2
4 t 1 t 2
t 1 3;6
f ' t 0
t 5 3;6
Bảng biến thiên:
8
t
5
3
f'(t)
-
0
6
+
103
1
112
f(t)
11
12
Dựa vào bảng biến thiên, ta có f t f 5
Vậy min P
11
, t 3;6
12
11
khi x 3; y 2 hoặc x 2; y 3
12
Ví dụ 4: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x y 1 3xy . Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức P
3x
3y
1 1
2 2.
y ( x 1) x( y 1) x
y
Giải:
3xy
3xy
1 1 ( x 1) y x ( y 1) 1 1
2
2 2 2
2
y ( x 1) x ( y 1) x
y
y ( x 1)
x ( y 1) x 2 y 2
1
1
1
1
1 1
y( x 1) x( y 1)
2 xy x y
5 xy 1
2
2
2 2
y
y( x 1) x
x( y 1) x
y
y( x 1) x( y 1)
xy( xy x y 1) 4( xy) 2
P
2
Đặt t xy với t
Ta có: xy
1
1
, (vì x y 3t 1 0 t )
3
3
( x y )2 (3xy 1)2
9t 2 10t 1 0 t 1
4
4
Xét hàm số f (t )
5t 1
với t 1
4t 2
5t 2
5(t 1) 3
0, t 1
3
4t
4t 3
Suy ra hàm số nghịch biến trên 1; nên f (t ) f (1) 1, t 1;
f '(t )
9
Vậy maxP 1 khi x y 1
Ví dụ 5: Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn x2 y 2 3xy 2 3x 2 y . Tìm giá
trị giá trị lớn nhất của biểu thức P x2 y 2 x y 8 x2 y 2 ( x 1)(3 y 4) 2 .
Giải:
P x2 y 2 x y 8 x 2 y 2 3xy 3 y 4 x 6 x 2 y 2 x y 8 4 ( x y )
x2 y 2 ( x y)2 2 xy ( x y)2 , dấu “=” xảy ra khi xy 0
P ( x y)2 x y 8 4 ( x y)
Từ giả thiết, ta có: ( x y)2 3( x y) ( xy y) 0 (vì x, y không âm nên xy y 0 )
1 x y 2
Đặt t x y với 1 t 2
Xét hàm số f (t ) t 2 t 8 4 t với 1 t 2
f '(t ) 2t 1
4
0, t 1; 2 (vì 2t 1 3,, t 1;2 và
4t
4
2 2 3, t 1; 2 )
4t
Suy ra hàm số đồng biến trên 1; 2 nên f t f 2 6 8 2, t 1;2
Vậy maxP 6 8 2 khi x 2; y 0
Ví dụ 6: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện 2( x 2 y 2 )
trị lớn nhất của biểu thức P
1
5 . Tìm giá
xy
3
3
4
.
2
2
1 x 1 y 1 2 xy
Giải:
3
1
6 5
2
xy
6 3( x y )
4
4
27 xy 3
4
P
2
2
2 2
3
1 x y x y 1 2 xy
1 2 xy 2( xy ) 7 xy 1 1 2 xy
1
1
1 5 x2 y 2
2
xy
2
2
Từ giả thiết, ta có: 5 2( x 2 y 2 )
1
1
1
4 xy 4( xy)2 5 xy 1 0 xy 1 .
xy
xy
4
10
Đặt t xy với
1
t 1
4
Xét hàm số f (t )
27t 3
4
1
với t 1
3
2t 7t 1 1 2t
4
108t 3 18t 2 6
8
6(3t 1)(6t 2 t 1)
8
1
f '(t )
0, t ;1 .
3
2
2
3
2
2
(2t 7t 1)
(1 2t )
(2t 7t 1)
(1 2t )
4
1
112
1
1
Suy ra hàm số nghịch biến trên ;1 nên f t f
, t ;1
4
15
4
4
Vậy m axP
112
1
khi x y
15
2
Ví dụ 7: Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn ( x y)3 4 xy 2 . Tìm giá trị nhỏ
3
2
3
2
nhất của biểu thức P ( x 4 y 4 ) x 2 y 2 ( x 2 y 2 ) 5 .
Giải:
3
( x y) 4 xy 2
Ta có:
( x y )3 ( x y ) 2 2 0 x y 1
2
( x y) 4 xy 0
x2 y 2
( x y)2 1
( x 2 y 2 )2
và x 2 y 2
2
2
4
3
3
P ( x 4 y 4 x 2 y 2 ) ( x 2 y 2 ) 5 [( x 2 y 2 )2 x 2 y 2 ] ( x 2 y 2 ) 5
2
2
3 2
( x 2 y 2 )2
9
2 2
(
x
y
)
( x 2 y 2 ) 5 ( x 2 y 2 )2 ( x 2 y 2 ) 5
2
4
8
Đặt t x2 y 2 với t
1
2
9
8
Xét hàm số f (t ) t 2 t 5 với t
1
2
9
9 1 1
1
f '(t ) t 1 t 0, t
4
4 2 8
2
11
1
1
153
1
Suy ra hàm số đồng biến trên ; nên f t f
, t ;
2
2
32
2
Vậy min P
153
1
khi x y
32
2
Ví dụ 8: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 6(a2 b2 ) 20ab 5(a b)(ab 3) . Tìm
a 4 b4
a 3 b3
a 2 b2
16
25
3
2 2
4
4
3
b a
b a
b a
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 9
Giải:
Với a, b dương, ta có: 6(a2 b2 ) 20ab 5(a b)(ab 3)
a b
1 1
1 1
6 20 5 ab 3 5 a b 15 10 3
b a
a b
b a
a b
1 1
b a
a b
10 3 2
b a
a
b
b
a
Đặt t . Suy ra 6t 20 10 3 t 2 9t 2 15t 50 0 t
10
3
2
a b 2
a b 2
a b 2
a
b
P 9 2 2 16 3 25 2
b a
b a b a
b a
9t 4 16t 3 11t 2 48t 32
Xét hàm số f (t ) 9t 4 16t 3 11t 2 48t 32 với t
10
3
f '(t ) 36t 3 48t 2 22t 48 36t 2 (t 4) 96t (t 4) 362t 48 0, t
10
3
10
10
14156
10
Suy ra hàm số đồng biến trên ; nên f t f
, t ;
3
Vậy min P
3
3
27
14156
khi a 1; b 3 hoặc a 3; b 1
27
3
2
Ví dụ 9: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất
1
x
1
y
1
z
của biểu thức P x y z .
Giải:
12
1 1 1
Dễ dàng chứng minh với mọi a, b, c dương, ta có: a b c 9
a
b
c
Dấu “=” xảy ra khi a b c
1 1 1
1 1 1
9
9
x y z x yz
x y z
x y z
Do đó P x y z
9
x yz
Đặt t x y z 0 t
Xét hàm số f (t ) t
3
2
9
3
với 0 t
t
2
2 9 27 3 3 27
t
t t
9 t 9
4 4 2 2 4
3
f '(t ) 1 2 2
0, t 0;
2
2
t
t
t
t
2
3
3
15
3
Suy ra hàm số nghịch biến trên 0; nên f t f , t 0;
2
2 2
2
2
Vậy min P
15
1
khi x y z
2
2
Ví dụ 10: Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x2 y 2 z 2 2 . Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức P x y z xy yz xz .
Giải:
Đặt t x y z ,( t 0 )
t 2 x 2 y 2 z 2 2( xy yz xz ) 2 2( xy yz xz ) xy yz xz
t2 2
2
Ta có: ( x y z)2 3( x2 y 2 z 2 ) 6 t 6
Xét hàm số f (t ) t
t2 2
với 0 t 6
2
f '(t ) 1 t 0, t 0; 6
13
Suy ra hàm số đồng biến trên 0; 6 nên f t f 6 6 2, t 0; 6
Vậy maxP 6 2 khi x y z
6
3
3
2
Ví dụ 11: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P x y z
1
1
1
.
x 2 y y 2z z 2x
Giải:
Dễ dàng chứng minh với mọi a, b, c dương, ta có: a b c 9
a b c
1
1
1
Dấu “=” xảy ra khi a b c
1
1
1
1
1
1
3
x 2 y) ( y 2 z ) ( z 2 x
9
x 2 y y 2z z 2x x y z
x 2 y y 2z z 2x
Do đó P x y z
3
x yz
Đặt t x y z 0 t
Xét hàm số f (t ) t
3
2
3
3
với 0 t
t
2
2 9 3 3 3 3
t
t t
3 t 3
4 4 2 2 4
3
f '(t ) 1 2 2
0, t 0;
2
2
t
t
t
t
2
3
3
7
3
Suy ra hàm số nghịch biến trên 0; nên f t f , t 0;
2
2 2
2
2
Vậy min P
7
1
khi x y z
2
2
Ví dụ 12: Cho x, y, z là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P
1
2
.
x 2 y 2 z 2 1 ( x 1)( y 1)( z 1)
Giải:
14
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, với mọi a, b, c không âm, ta có:
a 2 b2
( a b) 2
, dấu “=” xảy ra khi a b
2
abc
abc
, dấu “=” xảy ra khi a b c
3
3
Ta có: x 2 y 2 z 2 1
( x y)2 ( z 1)2 ( x y z 1) 2
và
2
2
4
x y z 3
( x 1)( y 1)( z 1)
3
P
3
2
54
x y z 1 ( x y z 3)2
Đặt t x y z 1 t 1 ,(vì x y z 0 )
2
54
với t 1;
t (t 2)2
Xét hàm số f (t )
f '(t )
2
162
, t 1;
2
t
(t 2)4
t 4 1;
f '(t ) 0 (t 2) 4 81t 2 (t 2) 2 9t t 2 5t 4 0
t 1 1;
Bảng biến thiên:
t
f'(t)
1
+∞
4
0
+
-
1
4
f(t)
1
4
Dựa vào bảng biến thiên, ta có f t f 4 , t 1;
15
Vậy m axP
1
khi x y z 1
4
Ví dụ 13: Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn điều kiện a2 b2 c2 1 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P
a
b
c
.
2
2
2
2
b c c a a b2
2
Giải:
Từ giả thiết, ta có:
b 2 c 2 1 a 2
2
2
2
c a 1 b
a 2 b 2 1 c 2
Do đó P
a
b
c
2
2
1 a 1 b 1 c2
Vì a, b, c là các số thực dương và a2 b2 c2 1 nên a, b, c (0;1) .
Xét hàm số f (t ) t (1 t 2 ) với 0 t 1
f '(t ) 3t 2 1
1
t 3 0;1
f '(t ) 0
1
t
0;1
3
Bảng biến thiên:
t
f'(t)
1
0
1
3
+
0
-
2 3
f(t)
9
16
Dựa vào bảng biến thiên, với 0 t 1 , ta có:
f (t )
2 3
2 3
1
3 3
1
3 3
t (1 t 2 )
t
2
2
9
9
t (1 t )
2
1 t
2
Do đó P
3 3 2
3 3
a b2 c 2
2
2
Vậy min P
3 3
1
khi a b c
2
3
Ví dụ 14: Cho a, b, c là số thực không âm thỏa mãn điều kiện a b c 3 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P
a2
b2
c2
.
b2 1 c 2 1 a 2 1
Giải:
Ta có: a b c
2
2
a b b c c a
2 2
2 2
2
2
2
a b c
2
3
a
2
b2 c 2
3
2
3
x2 y 2 z 2 x y z
(với m 0, n 0, p 0 )
m n
p
mn p
2
a 2 b2 c 2
a4
b4
c4
Do đó P 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
a b 1 b2 c 2 1 c 2 a 2 1 a b b c c a a b c
2
a
2
b2 c 2
2
a 2 b2 c2
a 2 b2 c2
3
Xét hàm số f (t )
f '(t )
3 a 2 b2 c2
a 2 b2 c 2 3
3t
với t 3
t 3
9
0, t 3:
(t 3)2
3
2
Suy ra hàm số đồng biến trên 3: nên f (t ) f (3) , t 3:
17
Vậy min P
3
khi a b c 1
2
1
và a 3b 5c 2 . Tìm giá trị nhỏ
3
1
3
25
nhất của biểu thức P
.
a 9b 15c 5 b 5c a 1 c 3a 9b 1
Ví dụ 15: Cho a, b, c là số thực dương thỏa a, b, c
Giải:
Từ giả thiết, ta có:
9b 15c 6 3a
5c a 2 3b
3a 9b 6 15c
Do đó P
1
3
5
a 1 3a b 1 3b c 1 3c
Xét hàm số f (t ) t 2 (1 3t ) với 0 t
1
3
f '(t ) 9t 2 2t
2 1
t 9 0; 3
f '(t ) 0
1
t 0 0;
3
Bảng biến thiên:
t
f'(t)
0
+
2
1
9
3
0
-
4
f(t)
243
18