Tài liệu Skkn ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Sáng kiến kinh nghiệm được xếp loại B cấp tỉnh năm học 2012-2013 Tác giả: Lê Nguyên Huấn (Trường THPT Triệu Sơn 5) PHẦN I: MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. - Căn cứ vào chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng và nhà nước, nghị quyết TW4 khoá VII. Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn của trường THPT Triệu Sơn 5 năm học 2012-2013. - Năm học 2012-2013, tôi được phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 12. Đây là năm học cuối cấp, lượng kiến thức lớn. Bên cạnh đó là các em phải chuẩn bị cho ôn thi học sinh giỏi tỉnh, ôn thi đại học. Đó là thách thức không nhỏ cho giáo viên nói chung và giáo viên toán nói riêng. Giáo viên ôn tập học sinh giỏi và ôn thi đại học, phải tìm tòi những dạng toán theo cấu trúc thi những năm gần đây và nâng cao chương trình SGK cũng rất nhiều dạng. Đặc biệt những bài giải phương trình, hệ phương trình trong đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi không phải là đơn giản cho học sinh. Mà đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng, kỹ xảo trong thuật toán biến đổi. Một trong những kỹ năng biến đổi, giải phương trình, hệ phương trình là ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số. - Trong chương trình toán THPT, cụ thể là phân môn Đại số và giải tích 10, 11, 12 các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình, hệ phương trình với nhiều phương pháp giải.Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình, hệ phương trình rất phong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi Đại học Cao đẳng và trung học chuyên nghiệp, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về phương trình, hệ phương trình đòi hỏi sử dụng phương pháp hàm số để giải. Chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lúng túng chưa được 1 gọn gàng, sáng sủa, thậm chí còn không có hướng giải quyết. Tại sao lại như vậy? - Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Đại số và Giải tích THPT hiện hành. Phương trình, hệ phương trình được trình bày ở cả 3 khối. Tuy nhiên đó là những dạng đơn giản, khác xa với đề thi Đại học, cao đẳng, đề thi học sinh giỏi. Bài tập SGK đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế. Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác phương trình, hệ phương trình đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục.Ngoài ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số thì tính chất này còn được vận dụng để giải rất nhiều dạng toán như: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình... Những bài toán sử dụng phương pháp hàm số để giải thường có cách giải ngắn gọn, hay và độc đáo. Do lượng kiến thức toán được giảm tải ở bậc THPT, những bài tập ra trong SGK thông thường học sinh giải được bằng phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ,... Còn số lượng bài tập ứng dụng tính đơn điệu để giải rất ít, hạn chế và rất nghèo nàn. Nhưng trong các kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng thì rất nhiều bài toán giải bằng phương pháp hàm số, cho nên việc trang bị cho học sinh giải bài toán bằng phương pháp hàm số là rất cần thiết. Tôi xin trình bày đề tài "Ứng dụng tính chất đơn điệu để giải phương trình, hệ phương trình" II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trường THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian hơn 10 năm giảng dạy. Tôi đã tổng hợp , khai thác và hệ thống hoá lại cách giải phương trình, hệ phương trình dựa vào kiến thức hàm số. - Học sinh cần nắm chắc định nghĩa và các tính chất của tính đơn điệu của hàm số. - Chứng minh đuợc các tính chất đơn điệu của hàm số (dùng định nghĩa hoặc định lý để chứng minh). - Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải bài tập bằng phương pháp hàm số. - Trang bị cho học sinh kiến thức vững vàng, chuẩn bị bước vào các kỳ thi học sinh giỏi, tuyển sinh đại học cao đẳng. - Học sinh có thể nhớ và khắc sâu thêm kiến thức liên quan đến hàm số ở các dạng toán khác có liên quan như giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa tham số… - Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản và phát hiện được đâu là điều kiện cần và đủ. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các 2 bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một số các bài toán về giải phương trình, hệ phương trình bằng sử dụng tính chất đơn điệu. 1. Cơ sở lí luận: Để giải các dạng bài tập về giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số thường dựa trên các nguyên tắc sau: a. Giải phương trình: Bài toán: giải PT: “h(x) = g(x)” (1)  Để chứng minh (1) có nghiệm duy nhất ta tiến hành như sau: B1: Biến đổi phương trình (1) về dạng f(x) = 0 (2), với f(x) = h(x) – g(x). f: đơn điệu B2: CM: nếu  f(x )=0   o thì : x = xo là nghiệm duy nhất của PT.  Để biến đổi phương trình (1) có dạng phức tạp thành phương trình : U(x)=V(x) có dạng đơn giản, đã có phương pháp giải, ta tiến hành như sau: Bước 1: Biến đổi phương trình (1) về dạng: f u  x    f v  x   Bước 2: Chứng minh f là đơn điệu. Bước 3: kết luận (1)  u(x) = v(x) b. Giải hệ phương trình: Bài toán: Giải hệ F(x,y) = 0 G(x,y)= 0 (I) Nếu một trong hai phương trình của hệ đưa về dạng: f(x) = f(y) (1) hoặc ( f u  x    f v  y   và f là một hàm đơn điệu thì: Hệ (I)  x=y G(x,y)= 0 (II) hoặc (I)  u(x) = v(y) (III) G(x,y)= 0 2. Cơ sở thực tiễn: Phương pháp “Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình , hệ phương trình ” là một phương pháp có tính hiện đại, cách giải hay, mang tính nhanh gọn và độc đáo. Do sự giảm tải của kiến thức ở bậc THPT mà số lượng bài tập SGK dùng phương pháp này để giải còn rất ít, SGK chỉ giới thiệu các dạng bài tập này mang tính chất tham khảo, do đó phương pháp này không phổ biến và bắt buộc. Chính lẽ đó mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp này một cách máy móc hoặc chưa biết sử dụng. Đối với học sinh khá giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một vấn đề cần thiết giúp cho các em có kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải bài tập bằng phương pháp hàm số đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và đạt kết quả cao trong các kì thi đại học, cao đẳng. Đó là lí do tôi chọn đề tài này. 3 III.Phương pháp nghiên cứu: 1. Kiến thức trang bị: * Định nghĩa: cho f(x) xác định trên K f: đồng biến trên K  x1 x2  K , x1  x 2  f ( x1 )  f ( x2 ) K  x1 x 2  K , x1  x 2  f ( x1 )  f ( x 2 ) f: nghịch biến trên * Tính chất: Cho Với f ( x) xác định trên K x1 x 2  K ; f ( x1 )  f ( x 2 )  x1  x 2 * Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số y  f ( x) trên K ta dựa vào 2 phương pháp sau: - Phương pháp 1: Dùng định nghĩa + Lấy x1 x 2  K , x1  x 2 , lập tỉ số A  f ( x 2 )  f ( x1 ) x 2  x1 + Dựa vào dấu của A để suy ra tính đơn điệu A>0: f đồng biến A<0: f nghịch biến - Phương pháp 2: Dùng định lý  f , ( x)  0  x  K . Tại hữu hạn điểm trên K +Tính chất 1:f đồng biến trên K  ,  f ( x)  0 ,  f ( x)  0 x  K .Tại hữu hạn điểm trên K + Tính chất 2: f nghịch biến trên K   ,  f ( x)  0 Nếu học sinh đã được học đạo hàm thì việc chứng minh tính đơn điệu của hàm số khá đơn giản bằng phương pháp 2. Đối với học sinh chưa được học đạo hàm thì phải sử dụng định nghĩa, đối với các dạng hàm số phức tạp thì việc dùng định nghĩa để chứng minh là một điều khó. 2. Phương pháp: Sử dụng phương pháp hàm số để giải toán có thể tiến hành theo các bước sau: + Bước 1: Nhận dạng, biến đổi phương trình, hệ phương trình về dạng thích hợp. + Bước 2: Thiết lập hàm số. + Bước 3: Chứng minh hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến). + Bước 4: Dựa vào tính chất đơn điệu của hàm số để kết luận. Trong các buớc trên bước 1 là quan trọng nếu nhận dạng đuợc bài toán có thể sử dụng phuơng pháp hàm số để giải thì bài toán xem như đã có phuơng pháp giải. IV. GIỚI HẠN CỦA PHƯƠNG PHÁP: 4 - Số lượng bài tập SGK dùng phương pháp hàm số để giải rất ít nên phương pháp này không được phổ biến rộng khắp như phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ. - Đại đa số học sinh không biết sử dụng tính đơn điệu để giải toán. - Các bài tập giải theo phương pháp này thường là các bài tập khó, có dạng không mẫu mực cho nên học sinh rất khó để nhận dạng. Áp dụng chủ yếu cho học sinh lớp 11,12 khi đã học xong đạo hàm, học sinh ôn thi đại học và ôn thi học sinh giỏi. V. KẾ HOẠCH THỰC HIỆN: - Giáo viên nên dạy phương pháp này vào những tiết tự chọn hoặc những tiết bài tập chính khoá. Giáo viên có thể cho học sinh nhiều bài tập về nhà để học sinh nghiên cứu, chuyên sâu tạo kỹ năng làm toán. - Giáo viên có thể dạy phương pháp này cho cả 3 khối 10, 11, 12, nhưng hiệu quả cao nhất là học sinh ở khối 12. Vì ở lớp cuối cấp học sinh được trang bị kiến thức về hàm số một cách khá đầy đủ. - Giáo viên dạy phương pháp này như một chuyên đề trong các lớp luyện thi đại học và ôn thi học sinh giỏi. VI. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy tại trường THPT Triệu Sơn 5 từ năm 2002 đến nay. PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này. - Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải. - Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình, hệ phương trình được coi là không mẫu mực. Tuy nhiên khi gặp bài toán giải phương trình, hệ phương trình, có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ năng phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơn giản. 5 - Trong giới hạn của SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh hai dạng phương trình, hệ phương trình thường gặp và một số bài toán vận dụng biến đổi cơ bản và một số dạng bài toán thường gặp khi thi đại học, cao đẳng và ôn thi học sinh giỏi. Để dạy học sinh giải toán bằng phương pháp hàm số là một phương pháp khó, phương pháp này thường dùng để giải các bài tập khó có dạng không mẫu mực. Để giúp cho hoc sinh phân tích bài toán và tìm ra phương pháp giải, tôi dạy học sinh tiến hành theo các bước sau đây: + Bước1: Nhận dạng, biến đổi phương trình, hệ phương trình về dạng thích hợp. + Bước 2: Thiết lập hàm số. + Bước 3: Chứng minh hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến). + Bước 4: Dựa vào tính chất đơn điệu của hàm số để kết luận. 1. Bước 1: Nhận dạng Tôi xem đây là bước quan trộng nhất, bởi vì một bài toán nếu biết dùng tính chất đơn điệu cửa hàm số để giải thì bài toán xem như đã biết phương pháp giải. Thông thường những bài toán dùng phương pháp này để giải ta nhận dạng như sau: - Đối với phương trình, hệ phương trình không thể sử dụng phép biến đổi tương đương hoặc sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để tìm ra nghiệm bài toán. - Không thuộc vào dạng bài tập đã được học phương pháp giải được trình bày trong SGK phổ thông. - Mối liên hệ hai của hai vế của một phương trình, khác biệt nhau chúng ta không thể dùng các phép biến đổi để đưa PT về dạng quen thuộc đã có phương pháp giải, chẳng hạn:  Khi x x x giải phương trình: 3 +4 = 5 Việc biến đổi lũy thừa để đưa về cùng cơ số hay đặt ẩn phụ sẽ không thực hiện được cho nên chúng ta phải nghĩ ngay đế việc nhẩm nghiệm và sử dụng phương pháp hàm số để chứng minh nghiệm duy nhất.  Khi giải phương trình: 2x = 1- x Ta thấy vế trái của phương trình chứa lũy thừa, vế phải của phương trình chứa đa thức cho nên việc biến đổi thông thường để tìm ra nghiệm của bài toán là không thực hiện được, chính lẽ đó ta phải nghĩ ngay đến tính đơn điệu của hàm số để giải. 2. Bước 2: Thiết lập hàm số: Thực hiện bước này khá đơn giản, nhưng yêu cầu học sinh phải biết biến đổi phương trình, hệ phương trình về dạng thích hợp: f(x) = f(y); f(u(x)) = f(v(y))… thì quy tắc f chính là hàm số ta cần xác lập. 3. Bước 3: Chứng minh tính chất đơn điệu của hàm số Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số ta dùng hai phương pháp sau: - Phương pháp 1: Dùng định nghĩa + Lấy x1,x2 thuộc K, x1 khác x2 , lập tỉ số A  f ( x 2 )  f ( x1 ) x 2  x1 + Dựa vào dấu của A để suy ra tính đơn điệu . 6 A>0: f đồng biến A<0: f nghịch biến - Phương pháp 2: Dùng đạo hàm  f , ( x)  0  x  K . Tại hữu hạn điểm trên K +Tính chất 1: f đồng biến trên K  ,  f ( x)  0  f , ( x)  0  x  K .Tại hữu hạn điểm trên K +Tính chất 2: f nghịch biến trên K  ,  f ( x)  0 Nếu học sinh đã được học đạo hàm thì việc chứng minh tính đơn điệu của hàm số khá đơn giản bằng phương pháp 2. Đối với học sinh chưa được học đạo hàm thì phải sử dụng định nghĩa, đối với các dạng hàm số phức tạp thì việc dùng định nghĩa để chứng minh là một điều khó. 4. Bước 4: Kết luận - Nếu từ tính chất đơn điệu của hàm số ta suy ra được nghiệm của bài toán thì bài giải được kết thúc. - Nếu bài toán đã cho được biến đổi thành một bài toàn đơn giản hơn thì chúng ta phải tiếp tục dùng các phương pháp khác để giải cho đến khi tìm được nghiệm của bài toán thì dừng lại. CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI - Học sinh trường THPT Triệu Sơn 5 nói riêng và một học sinh của các trường Bán công mới sát nhập công lập nói chung đa số là học sinh được tuyển vào sau khi thi không đỗ vào các trường THPT công lập và hiện nay đã được thi tuyển nhưng do các em ở vùng nông thôn còn thiếu thốn về mọi mặt nên kiến thức THCS còn non yếu, tiếp thu bài còn chậm, chưa tự hệ thống được kiến thức. Khi gặp các bài toán về phương trình, hệ phương trình, chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi biến đổi, trong khi đó phương trình, hệ phương trình loại này có rất nhiều dạng. Nhưng bên cạnh đó chương trình THPT không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho phần này là rất ít. - Qua việc khảo sát thi đại học, thi HSG lớp 12 từ năm 2010 và việc học tập, làm bài tập dạng phương trình, hệ phương trình có sử dụng phương pháp hàm số. Tôi nhận thấy học sinh thường bỏ qua vì không có hướng giải. Học sinh rất hoang mang khi gặp những bài phương trình, hệ phương trình mà trước kia là những bài dễ được điểm, thì bây giờ gặp không ít khó khăn vì phải sử dụng phương pháp hàm số để giải. - Giải bài toán bằng phương pháp hàm số đây là một phương pháp hay, độc đáo giúp cho việc giải quyết vấn đề một cách nhanh gọn. - Các bài tập dùng phương pháp này để giải thông thường là các bài tập ở dạng nâng cao, khó và thuộc dạng không mẫu mực cho nên học sinh rất khó nhận dạng và thiết lập tương quan hàm số. - Số lượng bài tập SGK dùng phương pháp hàm số để giải quá ít. 7 - Phương pháp hàm số được xem là phương pháp giải toán hiện đại, phương pháp này sử dụng rất hay nhưng không thể dạy phổ biến ở bậc THPT. - Khả năng vận dụng phương pháp bị hạn chế ở các học sinh trung bình và yếu, chỉ có hiệu quả cao đối với học sinh khá và giỏi. - Ở bậc THPT, bài tập SGK còn quá ít nên học sinh được học một cách qua loa.Trong khi đó các đề thi tuyển sinh của một số năm gần đây hay đưa ra những bài toán phải sử dụng phương pháp này để giải. CHƯƠNG III: CÁC BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Nhằm giúp cho học sinh có kĩ năng giải bài bằng phương pháp hàm số, giúp cho các em có kiến thức vững vàng và có kết quả cao trong các kì thi tuyển sinh. - Giáo viên nên mạnh dạn giới thiệu phương pháp này cho học sinh từ năm lớp 10, 11, 12. Giáo viên phải dựa vào trình độ của khối lớp để có thể đưa ra các dạng bài tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp cho các em quen dần với phương pháp này. - Đối với học sinh ôn thi học sinh giỏi và ôn thi đại học cần tạo thành chuyên đề rõ ràng, học sinh biết nhận dạng và có kỹ năng làm bài tốt. CHƯƠNG IV: CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ. 1.Phương trình: Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) 3x + 4x = 5x b) 2x = 3 – x c) log2x = 3 – x (Bài tập SGK 12 nâng cao) Hướng dẫn cách giải: Cách 1: - Nhẩm nghiệm - Chứng minh nghiệm duy nhất Cách 2: - Thiết lập hàm số - Dùng tính đơn điệu để suy ra nghiệm của phương trình. Cách giải: a) 3x + 4x = 5x (1) Cách 1: Ta có x = 2 là nghiệm của phương trình 3x + 4x = 5x (1) x x 3 4  (1)        1 5 5  Vế trái: là hàm số nghịch biến  Nếu phương trình có nghiệm thì có nghiệm duy nhất Vế phải là hàm hằng Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (1) 8 x x 3 4  Cách 2: (1)        1 5 5  x x     Xét f(x) =      5 5  3 4 x x 3 4 3 4  f’(x) =   ln +   ln < 0 x  � 5 5 5 5  f’(x) nghịch biến trên R và f(2)= 1  x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1). Các ví dụ b, c giải tương tự Ví dụ 2: (Đề ôn thi đại học của tạp chí toán học tuổi trẻ tháng 12-2012) Giải phương trình: log 3 x2  x  1  x 2  3x  2 2 2x  2x  3 (1) Cách giải: 2  u  x  x  1 Nhận dạng: Nếu đặt   v – u = x 2  3x  2 2  v  2 x  2x  3 u - Do đó (1)  log3  v  u (2) v - Nhận thấy phương trình có nghiệm u = v Thiết lập hàm số: biến đổi phương trình 2 về dạng: log3u + u = log3v + v Xét hàm số f(t) = log3 t  t , t > 0 u  x 2  x  1 > 0 x đặt v  2 x 2  2 x  3 >0 x  v - u = x 2  3x  2 u v Xét hàm số f(t) = log3 t  t , t > 0 1 f’(t) = 1 + >0 với  t > 0 t ln 3 Phương trình (1)  log 3  v  u = log3u + u = log3v + v (2) f(t) đồng biến với  t > 0 (2)  f(u) = f(v)  u = v  v – u = 0  x 2  3x  2  x = 1 v x = 2 Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1, x= 2 Ví dụ 3 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm 2012) Giải phương trình: 3 x 1  2 1  2x  1  3 x  2  x  � 9 Cách giải:  x  1 ĐKXĐ:   x  13 Phương trình đã cho tương đương với  x  2    x  1   x  1  2  3 2x  1  3 x  1  x  1  2x  1  3 2x  1 (1) 3 2 Xét hàm số f  t   t  t ; f '  t   3t  1  0, t Suy ra hàm số f  t  liên tục và đồng biến trên � Khi đó: Pt(1)  f    x 1  f 3  2x  1  x  1  3 2x  1 1  x    1 2  1 x  0  x    x      2       x  0   1 5 2 x    x  1 3   2x  1 2  x3  x2  x  0   1  5   2   x   2 Đối chiếu ĐKXĐ được nghiệm của phương trình đã cho là: 1 5 và x  0 . x 2 Ví dụ 4: (Đề thi GVG THPT Quỳnh Lưu 4 tỉnh Nghệ An năm 2013)     2 2 Giải phương trình: 3x 2  3  9 x   x  1 2  x  2 x  4  0 Cách giải:     2 2 Phương trình (1)  3x 2  3  (3x)  (x  1) 2  3  (x  1) (2) Xét hàm số f (t)  t(2  3  t 2 ) , t  �, hàm số liên tục trên �    t  t 2  3 t      0 , t  �  1  f (t) đồng biến trên �. Do đó (2)  3x  x  1  x  . 2 1 Vậy nghiệm của phương trình là x  2 f '(t)  2  3  t 2   t2 2  2 3 t  2   3 t 2. Giải hệ phương trình:  (4 x 2  1) x  ( y  3) 5  2 y  0 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình  2 2 (x, y  R).  4x  y  2 3  4x  7 (Đề thi ĐH 2010-KA) ĐK : x  3 . Đă ăt u = 2x; v  5  2 y 4 Pt (1) trở thành u(u2 + 1) = v(v2 +1)  (u - v)(u2 + uv + v2 + 1) = 0  u = v 10 3   0  x  4 Nghĩa là : 2 x  5  2 y   2  y  5  4x  2 25 Pt (2) trở thành  6 x 2  4 x 4  2 3  4 x  7 (*) 4 25  3 Xét hàm số f ( x)  4 x 4  6 x 2   2 3  4 x trên 0;  4  4 4 f '( x)  4 x(4 x 2  3)  <0 3x  4 1 1  Mă ăt khác : f    7 nên (*) có nghiê ăm duy nhất x = và y = 2. 2 2 1 Vâ ăy hê ă có nghiê ăm duy nhất x = và y = 2 2 Ví dụ 6: (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hoá 2013)    1  42 x  y .512 x  y  1  22 x y 1 Giải hệ phương trình  x y   ln  x  3  ln  y  3  4  1  2 Giải: Điều kiện x, y  3 (*)  1 2 x  y  4 2 x  y   1  5        1  2.22 x  y  0 (3).Xét hàm số 5  5    1 t  4 t  f  t   5        1  2.2t trên � ta có  5   5    1 t  1   4 t  4  f '  t   5   ln      .ln    2.2t ln 2  0 t  �. Suy ra f  t  nghịch biến trên  5   5   5   5  �. Do đó  3  f  2 x  y   f  1  2 x  y  1  y  2 x  1  4  . Thế (4) vào(2) ta được 1 x  x3   x  3  x 1  ln   0 (5)   ln   4 4  2x  2   2x  2   x  5  x  1 x  3  x 1 với x  1 , ta có g '  x   4 x  3 x  1  4     2x  2   Xét hàm số g  x   ln  x  5   1;   g ' x  0   . x  1  1;   Ta có bảng biến thiên của g  x  trên  1;   là: Từ BBT, suy ra g  x   0  x  1 . 11 Do đó y  1 . Vậy hệ có nghiệm  x; y    1;1 . Ví dụ 7: (Đề thi thử ĐH Chuyên Hà Tĩnh 2013)  3x  3 y  y  x (1) Giải hệ phương trình:  2 2  x  xy  y  12 (2) (I) Hướng dẫn cách giải: Học sinh nhận thấy được phương trình (1) có nghiệp x = y Biển đổi phương trình (1) về dạng 3x + x = 3y + y (3) Thiết lập hàm số: f(t) = 3t + t Chứng minh f(t) là hàm đồng biến, (3)  f(x) = f(y)  x = y  3x  x  3 y + y (3) Cách giải: (I)   2 2  x  xy  y  12 Xét hàm số: f(t) = 3t + t  f’(t) = 3tln3 + 1 >0  t  �  f(t) là hàm đồng biến, (3)  f(x) = f(y)  x = y Nên (I)  x  y  x=y=2  2 2 x  xy  y  12  Vậy hệ có hai nghiệm: (2;2) ; (-2; 2) Ví dụ 8 (Đề thi Ôlimpic 30-4 năm 2012)  2x  1  y3  y 2  y  3 2 Giải hệ phương trình:  2 y  1  z  z  z  2 z  1  x3  x 2  x  1 3  x  ( y  y 2  y  1)  2  1 3 2  Cách giải: Hệ tương đương với  y  ( z  z  z  1)  2  1 3  2  z  2 ( x  x  x  1)  Xét hàm số f(t) = f’(t) =  x  f ( y)   y  f (z)  z  f ( x)  1 3 2 (t  t  t  1) ( t  R ) 2 1 2 (3t  2t  1)  0t  R 2 Suy ra f(t) là HS đồng biến trên R. Do đó: + Nếu x < y thì f(x) < f(y)  z < x  f(z) < f(x)  y < z.Vậy x < y < z . Vô lý. Tương tự nếu y < x cũng vô lý Do đó x = y = z .Thế vào hệ ta có: 2x + 1 = x3 + x2 + x  (x + 1)(x2 - 1) = 0  x  1  y  z  x  1  y  z Hệ có nghiệm (x,y,z)     1,1,1 ;  1, 1, 1  12 Ví dụ 9: (Tạp chí toán học tuổi trẻ tháng 5- 2012)  2 x  3  4  y  4 (1)  2y  3 + 4  x = 4 (2) Giải hệ  (I) Hướng dẫn cách giải: - Nhận dạng: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 nên có 1 nghiệm x = y - Lấy (1) – (2) và đưa phương trình về dạng 2 x  3  4  x  2 y  3  4  y 3 2 - Thiết lập hàm số: f(t)= 2t  3  4  t , t  [- ;4] 3 2 Cách giải: Điều kiện -  x, y  4 Lấy (1) – (2) và đưa phương trình về dạng 2 x  3  4  x  2 y  3  4  y (3) 3 2 Xét hàm số: f(t)= 2t  3  4  t , t  [- ;4] 1 1 3   0  t  (- ;4) 2t  3 4t 2 3  f(t) đồng biến trên (- ;4) 2  f’(t) = (3)  f  x   f  y   x  y Suy ra: 2 x  3  4  x 4 (pt vô tỉ dạng cơ bản) 11 (thỏa 9  11 11  ;    9 9  Giải pt được 2 nghiệm : x=3, x= Vậy hệ có 2 nghiệm (3; 3), mãn điều kiện) Ví dụ 10 (Đề thi thử ĐH chuyên Vĩnh Phúc 2013)   x 2  1  3x 2 y  2  Giải hệ phương trình:   x 2 y  x  2  0   4 y 2  1  1  8x 2 y3 (1) Hướng dẫn: +) Với y  0 thì VT  1  0 , VP  1  0  Hệ phương trình chỉ có nghiệm  x, y  với y 0. +) Vì y  0 nên từ phương trình (2) của hệ suy ra x  2 . Khi đó:  1   x2  1  3x2 y  2  2 x2 y   4 y2  1 1 x2  1  2  2 x2 y 4 y2  1  x2 y (3) Thay 2  x  x 2 y vào phương trình (3) ta được: x2  1  x  2x2 y 4 y2  1  2x2 y  1 1 1 1 2   2 y 4 y2 1  2 y x x x (2) +) Xét hàm số: f  t   t 1  t 2  t với t  0 13 f ' t   1 t 2  t2 1 t2  1  0 với mọi t  0 1 1 1   f  t  là hàm đồng biến trên  0;   . Mà f    f  2 y    2 y  xy  x 2 x 1 1 +) Thay xy  vào phương trình (2) của hệ ta có : x  4  y  . 2 8 x  4  Thử lại thấy  1 thỏa mãn hệ phương trình đã cho.  y  8  1 Kết luận : Hệ phương trình đã có nghiệm duy nhất  x, y    4;   8 Ví dụ 11: (Đề thi ĐH khối A, A1 năm 2012)  x 3  3 x 2  9 x  22  y 3  3 y 2  9 y  Giải hệ phương trình  2 2 (x, y  R). 1 x  y  x  y   2  x 3  3 x 2  9 x  22  y 3  3 y 2  9 y  Cách giải: Hệ tương đương với  . 1 2 1 2 (x  )  ( y  )  1  2 2 1 1 Đặt u = x  ; v = y + 2 2 3 45  3 3 2 45 3 2  u  u  u  (v  1)  (v  1)  (v  1) 2 4 2 4 Hệ đã cho thành  u 2  v2  1  3 45 45 Xét hàm f(t) = t 3  t 2  t có f’(t) = 3t 2  3t  < 0 với mọi t thỏa t 1 2 4 4 v  0 u  1  f(u) = f(v + 1)  u = v + 1  (v + 1)2 + v2 = 1  v = 0 hay v = -1    v  1 u  0 hay  3 1   1 3   Hệ đã cho có nghiệm là  ;  ;  ;  . 2 2  2 2  Bài tập tham khảo: Bài 1: Giải phương trình, bất phương trình sau: a. x2 + 3log2x = xlog25     2 2 b. 3x 2  3  9 x   x  1 2  x  2 x  4  0 c. 2x =1+ 3x/2 d. (x+3).log23(x+2) + 4(x+2).log3(x+2) = 16 e. 2x+1 - 4x = x-1 Bài 2: Tìm nghiệm dương của phương trình: 14 x + xlog23 = xlog25 Bài 3: Giải hệ phương trình sau: a) b) c) d) 2 x  2 x  3  y y 2  2 y  3  x 2 x  2 y   y  x  xy  2 2 2  x  y  2 ln x  ln y  y  x 2 2 x  y  6x  2 y  6  0 log 2 x  3  1  log 3 y  log 2 y  3  1  log 3 y CHƯƠNG V: HIỆU QUẢ ÁP DỤNG Qua nhiều năm giảng dạy ở bậc THPT và luyện thi đại học. Tôi đã sử dụng theo cách đã nêu trên để dạy cho học sinh. - Đối với học sinh khối 10, khối 11 chỉ sử dụng những hàm đơn giản ax  b như hàm bậc 2, hàm phân thức hữu tỉ dạng ycx= d và những hàm căn thức đơn giản, hướng dẫn học sinh chứng minh tính đơn điệu của hàm số bằng phương pháp dùng định nghĩa. - Đối với học sinh khối 12, khi các em đã nhận thức một cách đầy đủ về hàm số thì phương pháp này có thể áp dụng một cách phổ biến và bài tập ra cho học sinh mang tính phong phú, đa dạng và khó hơn. Đối với học sinh ôn thi học sinh giỏi, ôn thi đại học, cao đẳng nên phát triển thành chuyên đề rõ ràng với những kiến thức thể loại đa dạng và phong phú, Giúp học sinh phát hiện và có hướg giải quyết chính xác. Kết quả nhận thấy số lượng học sinh khá giỏi rất hứng thú với phương pháp giải toán này và bài tập ra ở dạng này các em giải khá thành thạo. Năm 2010 đề thi đại học khối A có dạng toán này, rất nhiều học sinh ở các trường khác không làm được. Học sinh của tôi có rất nhiều em đã làm được câu này. Nên cũng đạt được kết quả cao. Các năm gần đây thi đại học, học sinh giỏi cũng đã xem đây là một trong những dạng toán cơ bản cần có trong đề thi. Tôi 15 thấy học sinh của mình làm khá tốt dạng toán này mà không còn vướng mắc nữa. PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUÂT 1. Kết luận: Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng dạy tại trường THPT Triệu Sơn 5. Phương trình, hệ phương trình là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp THPT nói chung. Nhưng đối với học sinh đang ôn thi đại hoc, ôn thi HSG lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm. - Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy từ lớp 10 đến lớp 12, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải phương trình, hệ phương trình. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. - Giải toán bằng “Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình” nói riêng và ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán là phương pháp rất hay, độc đáo, đã được sử dụng rất lâu, nhưng do không được phổ biến ở bậc THPT. Qua quá trình tham khảo, học hỏi ở các bậc thầy đi trước, tôi sử dụng phương pháp này để dạy cho học sinh và nhận thấy có hiệu quả cao đối với học sinh. Tôi xin phép được mạnh dạn đưa ra ý tưởng này để các bạn đồng nghiệp và các em học sinh tham khảo. Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ giới thiệu một phần nhỏ trong ứng dụng phương pháp hàm số để giải toán và đã được các giáo viên trong tổ toán cùng học sinh trong trường hưởng ứng cao. Mong rằng các đồng nghiệp phát triển thêm để tính đầy đủ của chuyên đề được cao hơn. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp, đọc giả để tính khả thi cao hơn 2. Kiến nghị và đề xuất: - Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ . - Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề. - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập. - Sở giáo dục cần tiếp tục duy trì cho các đơn vị trường viết sáng kiến kinh nghiệm hàng năm để giáo viên nâg cao nghiệp vụ, giao lưu, học hỏi lẫn nhau Những SKKN đạt giải cao, có chất lượng, nên in ấn đưa về các trường để giáo viên chúng tôi học tập , chia sẻ, để nền giáo dục càng phát triển tốt hơn. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bài tập chọn lọc từ sách giáo khoa 12 nâng cao 16 2. 3. 4. 5. 6. Phương pháp giải toán của Lê Hồng Đức – Phan Huy Khải. Bài tập tham khảo từ Tạp chí “Toán học – Tuổi trẻ”. Các đề thi thử đại học và các đề thi ĐH từ năm 2010 đến nay. Các đề thi HSG ở các tỉnh giới thiệu trên mạng. Các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cấp tỉnh trong trường và ngoài trường. XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 30 tháng 4 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Lê Nguyên Huấn 17