Tài liệu Trắc nghiệm toán 11 chuyên đề dãy số, cấp số cộng cấp số nhân (giải chi tiết)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 DÃY SỐ .......................................................................................................................................................... 3 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ......................................................................................................................... 3 B – BÀI TẬP ................................................................................................................................................... 3 DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ........................................................................................................... 3 DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN ................................................................................. 7 C – HƯỚNG DẪN GIẢI................................................................................................................................13 DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ..........................................................................................................13 DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN ................................................................................20 CẤP SỐ CỘNG .............................................................................................................................................33 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ........................................................................................................................33 B – BÀI TẬP ..................................................................................................................................................33 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG .................................33 DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG ..............................................39 C– HƯỚNG DẪN GIẢI.................................................................................................................................41 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG .................................41 DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG ..............................................53 CẤP SỐ NHÂN..............................................................................................................................................58 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ........................................................................................................................58 B – BÀI TẬP ..................................................................................................................................................58 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN ..................................58 DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN...............................................64 C – HƯỚNG DẪN GIẢI................................................................................................................................65 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN ..................................65 DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN...............................................76 ÔN TẬP CHƯƠNG III..................................................................................................................................78 ĐÁP ÁN .........................................................................................................................................................89 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:  Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.  Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k  1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n  p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k  p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. 2. Dãy số u : *   Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … n  u (n) 3. Dãy số tăng, dãy số giảm  (un) là dãy số tăng  un+1 > un với  n  N*. un 1  1 với n  N* ( un > 0). un  (un) là dãy số giảm  un+1 < un với n  N*.  un+1 – un > 0 với  n  N*   un+1 – un< 0 với  n  N*  un 1  1 với n  N* (un > 0). un 4. Dãy số bị chặn  (un) là dãy số bị chặn trên  M  R: un  M, n  N*.  (un) là dãy số bị chặn dưới  m  R: un  m, n  N*.  (un) là dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N*. B – BÀI TẬP DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1,3,19, 53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm. A. u10  97 B. u10  71 C. u10  1414 D. u10  971 an 2 (a: hằng số). un 1 là số hạng nào sau đây? n 1 2 2 a.  n  1 a.  n  1 a.n 2  1 an2 A. un 1  . B. un 1  . C. un1  . D. un1  . n2 n 1 n 1 n2 Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. un  5(n  1) . B. un  5n . C. un  5  n . D. un  5.n  1 . Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36,... .Số hạng tổng quát của dãy số này là: Câu 2: Cho dãy số  un  với un  Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 A. un  7 n  7 . B. un  7.n . C. un  7.n  1 . D. un : Không viết được dưới dạng công thức. 1 2 3 4 Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ;... .Số hạng tổng quát của dãy số này là: 2 3 4 5 n2  n n 1 n n 1 A. un  . B. un  . C. un  . D. un  . n n 1 n n 1 Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0,1;0, 01;0, 001;0, 0001;... . Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? 1 1 A. un  0, 00...01 . B. un  0, 00...01 . C. un  n 1 . D. un  n 1 .         10 10 n chöõ soá 0 n1 chöõ soá 0 Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng n 1 A. un  1 . B. un  1 . C. un  (1)n . D. un   1 . Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2;0;2;4;6;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? A. un  2n . B. un   2   n . C. un   2  (n  1) . D. un   2   2  n  1 . 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là? 3 32 33 34 35 1 1 1 1 1 A. un  n 1 . B. un  n 1 . C. un  n . D. un  n 1 . 33 3 3 3 u  5 Câu 10: Cho dãy số  un  với  1 .Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? un 1  un  n  (n  1)n (n  1)n A. un  . B. un  5  . 2 2 (n  1)n (n  1)(n  2) C. un  5  . D. un  5  . 2 2 u1  1  Câu 11: Cho dãy số  un  với  2 n . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào un 1  un   1  dưới đây? Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: A. un  1  n . B. un  1  n . 2n C. un  1   1 . D. un  n . u1  1  Câu 12: Cho dãy số  un  với  2 n 1 . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào un 1  un   1   dưới đây? A. un  2  n . B. un không xác định. C. un  1  n . D. un   n với mọi n . u1  1 Câu 13: Cho dãy số  un  với  . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới 2 un 1  un  n đây? n  n  1 2n  1 n  n  1 2n  2  A. un  1  . B. un  1  . 6 6 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. un  1  n  n  1 2n  1 . 6 Câu 14: Cho dãy số  un  đây? 2 A. un  2   n  1 . D. un  1  n  n  1 2n  2  . 6 u1  2 với un 1  un  2n  1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới  2 C. un  2   n  1 . B. un  2  n 2 . 2 D. un  2   n  1 . u1  2  Câu 15: Cho dãy số  un  với  1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un 1  2  u n  n 1 n 1 n 1 n A. un   . B. un  . C. un   . D. un   . n n n n 1 1  u1  Câu 16: Cho dãy số  un  với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: 2 un 1  un  2  A. un  1  2  n  1 . 2 Câu 17: Cho dãy số  un  n 1 A. un   1 .   . 2 . 1 1 1  2  n  1 . C. un   2n . D. un   2n . 2 2 2 u1  1   với  u . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un 1  n   2 B. un  1 B. un   1 .   2 n 1 . 1 C. un    2 n 1 . 1 D. un   1 .   2 n 1 u  2 Câu 18: Cho dãy số  un  với  1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này : un 1  2un A. un  n n 1 . B. un  2n . C. un  2n 1 . D. un  2 . 1  u1  Câu19 : Cho dãy số  un  với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này: 2 un 1  2un  1 1 A. un  2 n 1 . B. un  n 1 . C. un  n . D. un  2n  2 . 2 2 n 2  3n  7 Câu 20: Cho dãy số (un ) được xác định bởi un  . Viết năm số hạng đầu của dãy; n 1 11 17 25 47 13 17 25 47 11 14 25 47 11 17 25 47 A. ; ; ; 7; B. ; ; ; 7; C. ; ; ; 7; D. ; ; ;8; 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6 Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. A. 2 B. 4 C. 1 D. Không có u1  1  Câu 22: Cho dãy số (un ) xác định bởi:  . Viết năm số hạng đầu của dãy; un  2un 1  3 n  2 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 1;5;13;28;61 B. 1;5;13;29;61 C. 1;5;17;29;61 D. 1;5;14;29;61 2 2 un 1  un  2vn  Câu 23: Cho hai dãy số (un ), (vn ) được xác định như sau u1  3, v1  2 và  với n  2 . vn 1  2un .vn  Tìm công thức tổng quát của hai dãy (un ) và (vn ) . n n 2 2  un  2  1  2  1   A.  2n 1  vn  2  1  2 1  2 2         1 un  2    C.  v  1  n 3 2     2n   2 1     2 1 2n   2 1  2n     2n    2 1  2 1  2n    2 1 2n      1 un  4    B.  v  1   n 2    1 un  2    D.  v  1  n 2 2    2 1  2n      2n  2 1     2n         2 1 2n   2 1 2n 2 1  2n     2 1 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 2n    Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng không giảm 3n 2  2n  1 n 1 B. Dãy số giảm D. Cả A, B, C đều sai Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  n  n 2  1 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai n 3 1 Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  n 2 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai n n   1 Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  n2 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai 2n  13 Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  3n  2 A. Dãy số tăng, bị chặn B. Dãy số giảm, bị chặn C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn D. Cả A, B, C đều sai n 2  3n  1 Câu 6: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  n 1 A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai 1 Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  1  n  n2 A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn D. Cả A, B, C đều sai 2n Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  n! A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai 1 1 1 Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  1  2  2  ...  2 . 2 3 n A. Dãy số tăng, bị chặn B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai 2n  1 Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  n2 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới n Câu 11: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  (1) A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Câu 12: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  3n  1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 Câu 13: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  4  3n  n 2 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên Câu 14: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  A. Bị chặn B. Không bị chặn Câu 15: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  n2  n  1 n2  n  1 C. Bị chặn trên n 1 n2  1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên 1 1 1   ...  Câu 16: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un  1.3 2.4 n.(n  2) A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên 1 1 1 Câu 17: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un    ...  1.3 3.5  2n  1 2n  1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên u1  1   Câu 18: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:  un 1  2 , n2 un  u  1  n 1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên u1  1   Câu 19: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:  3 un 1  3 un  1, n  1  A. Tăng B. Giảm C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai u1  2   Câu 20: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:  u2 1 un 1  n n 1   4 A. Tăng B. Giảm C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai D. Bị chặn dưới D. Bị chặn dưới D. Bị chặn dưới D. Bị chặn dưới D. Bị chặn dưới D. Bị chặn dưới Câu 21: dãy số (un ) xác định bởi un  2010  2010  ...  2010 (n dấu căn)Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tăng B. Giảm C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai u1  1, u2  2  Câu 22: Cho dãy số (un ) :  . Khẳng định nào sau đây đúng? un  3 un 1  3 un 2 , n  3  A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai an  2 Câu 23: Cho dãy số (un ) : un  , n  1 . Khi a  4 , hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy 2n  1 10 14 18 22 A. u1  2, u2  , u3  , u4  , u5  3 5 7 9 10 14 18 22 B. u1  6, u2  , u3  , u4  , u5  3 5 7 9 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 1 1 18 22 C. u1  6, u2  , u3  , u4  , u5  3 5 7 9 10 4 8 22 D. u1  6, u2  , u3  , u4  , u5  3 5 7 9 Câu 24: Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng. A. a  2 B. a  2 C. a  4 u  2 Câu 25: Cho dãy số (un ) :  1 Viết 6 số hạng đầu của dãy un  3un 1  2, n  2, 3.. A. u1  2, u2  5, u3  10, u4  28, u5  82, u6  244 B. u1  2, u2  4, u3  10, u4  18, u5  82, u6  244 C. u1  2, u2  4, u3  10, u4  28, u5  72, u6  244 D. u1  2, u2  4, u3  10, u4  28, u5  82, u6  244 D. a  4 Câu 26: Cho dãy số un  5.2n 1  3n  n  2 , n  1, 2,... Viết 5 số hạng đầu của dãy A. u1  1, u2  3, u3  12, u4  49, u5  170 B. u1  1, u2  3, u3  12, u4  47, u5  170 C. u1  1, u2  3, u3  24, u4  47, u5  170 D. u1  1, u2  3, u3  12, u4  47, u5  178 Câu 27: 1. Cho dãy số (un ) : un  (1  a) n  (1  a) n ,trong đó a  (0;1) và n là số nguyên dương. a)Viết công thức truy hồi của dãy số u1  2 u1  2     A.  B.  n n n n     un 1  un  a 1  a   1  a   un 1  un  2a 1  a   1  a     u1  2 u1  2     C.  D.  n n n n     un 1  2un  a 1  a   1  a   un 1  un  a 1  a   1  a     b)Xét tính đơn điệu của dãy số A. Dãy (un ) là dãy số tăng. C. Dãy (un ) là dãy số không tăng, không giảm B. Dãy (un ) là dãy số giảm. D. A, B, C đều sai. u1  1  Câu 28: Cho dãy số (un ) được xác định như sau:  . 1 un  3un 1  2u  2, n  2 n 1  Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng un  0, n 3 47 227 3 17 227 A. u1  1, u2  , u3  , u4  B. u1  1, u2  , u3  , u4  2 6 34 2 6 34 3 19 227 3 17 2127 C. u1  1, u2  , u3  , u4  D. u1  1, u2  , u3  , u4  2 6 34 2 6 34 u0  2011  Câu 29: Cho dãy số (un ) được xác định bởi :  u2 un 1  n , n  1, 2,...  un  1  Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 9 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A a) Khẳng định nào sau đây đúng A. Dãy (un ) là dãy giảm C. Dãy (un ) là dãy không tăng, không giảm b) Tìm phần nguyên của un với 0  n  1006 . A.  un   2014  n B.  un   2011  n Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 B. Dãy (un ) là dãy tăng D. A, B, C đều sai C.  un   2013  n D.  un   2012  n u  2, u2  6 Câu 30: Cho dãy số (un ) được xác định bởi:  1 un  2  un  2un 1 , n  1, 2,... a) Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình x 2  2 x  1  0 . Chứng minh rằng: un  a n  b n 2 b) Chứng minh rằng: un 1  un  2un  (1)n 1 .8 . n 1 n2 C. Tăng, chặn dưới Câu 31: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) : un  A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn D. Giảm, chặn trên Câu 32: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) : un  n3  2n  1 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên u1  2  Câu 33: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) :  un  1 un 1  2 , n  2  A. Tăng, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên  u1  2, u2  3 Câu 34: Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau:  . un 1  un  un 1 , n  2  A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên  x0  1  Câu 35: Cho dãy số ( xn ) :  . Xét dãy số yn  xn 1  xn . Khẳng định nào 2n n 1 xn  x , n  2,3,... 2  i  (n  1) i 1  đúng về dãy ( yn ) A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên n Câu 36: Cho dãy số Un  với Un  .Khẳng định nào sau đây là đúng? n 1 1 2 3 5 5 A. Năm số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 B. 5 số số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ; 2 3 4 5 6 . C. Là dãy số tăng. D. Bị chặn trên bởi số 1. 1 Câu 37: Cho dãy số  un  với un  2 .Khẳng định nào sau đây là sai? n n 1 1 1 1 1 A. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; ; 2 6 12 20 30 B. Là dãy số tăng. B. Giảm, bị chặn Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. Bị chặn trên bởi số M  Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 1 . 2 D. Không bị chặn. 1 .Khẳng định nào sau đây là sai? n 1 1 1 1 A. Năm số hạng đầu của dãy là : 1; ; ; ; 2 3 4 5 . B. Bị chặn trên bởi số M  1 . C. Bị chặn trên bởi số M  0 . D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m M  1 . Câu 39: Cho dãy số  un  với un  a.3n ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai? Câu 38: Cho dãy số  un  với un  A. Dãy số có un 1  a.3n 1 . C. Với a  0 thì dãy số tăng B. Hiệu số un 1  un  3.a . D. Với a  0 thì dãy số giảm. Câu 40: Cho dãy số  un  với un  A. Dãy số có un 1  a 1 . n2  1 C. Là dãy số tăng. Câu 41: Cho dãy số  un  A. un1  a 1 . (n  1)2 a 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? n2 B. Dãy số có : un 1  a 1  n  1 2 . D. Là dãy số tăng. a 1 với un  2 ( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? n 2n  1 B. Hiệu un 1  un  1  a  . . 2  n  1 n 2 C. Hiệu un 1  un   a  1 . 2n  1  n  1 2 n2 . D. Dãy số tăng khi a  1 . an 2 ( a : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai? n 1 2 a.  n 2  3n  1 a.  n  1 A. un 1  . B. un 1  un  . n2 (n  2)(n  1) C. Là dãy số luôn tăng với mọi a . D. Là dãy số tăng với a  0 . k Câu 43: Cho dãy số  un  với un  n ( k : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? 3 k k A. Số hạng thứ 5 của dãy số là 5 . B. Số hạng thứ n của dãy số là n 1 . 3 3 C. Là dãy số giảm khi k  0 . D. Là dãy số tăng khi k  0 . (1)n1 Câu 44: Cho dãy số  un  với un  . Khẳng định nào sau đây là sai? n 1 1 1 A. Số hạng thứ 9 của dãy số là . B. Số hạng thứ 10 của dãy số là 10 11 C. Đây là một dãy số giảm. D. Bị chặn trên bởi số M  1 . * Câu 45: Cho dãy số  un  có un  n  1 với n  N . Khẳng định nào sau đây là sai? Câu 42: Cho dãy số  un  với un  A. 5 số hạng đầu của dãy là: 0;1; 2; 3; 5 . C. Là dãy số tăng. . B. Số hạng un 1  n . D. Bị chặn dưới bởi số 0 . Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 Câu 45: Cho dãy số  un  có un   n 2  n  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 5 số hạng đầu của dãy là: 1;1;5; 5; 11; 19 . B. un 1  n 2  n  2 . C. un 1  un  1 . D. Là một dãy số giảm. Câu 46: Cho dãy số  un  với un  A. un 1  1 . Khẳng định nào sau đây là sai? n 1 2 1 . 1 C. Đây là một dãy số tăng.  n  1 2 B. un  un 1 . D. Bị chặn dưới.  . Khẳng định nào sau đây là sai? n 1  A. Số hạng thứ n  1 của dãy: un 1  sin B. Dãy số bị chặn. n2 C. Đây là một dãy số tăng. D. Dãy số không tăng không giảm. Câu 47: Cho dãy số  un  với un  sin Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 C – HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1,3,19, 53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm. A. u10  97 B. u10  71 C. u10  1414 D. u10  971 Hướng dẫn giải: Chọn A. Xét dãy (un ) có dạng: un  an3  bn 2  cn  d  a  b  c  d  1 8a  4b  2c  d  3  Ta có hệ:  27a  9b  3c  d  19 64a  16b  4c  d  53  Giải hệ trên ta tìm được: a  1, b  0, c  3, d  1  un  n3  3n  1 là một quy luật. Số hạng thứ 10: u10  971 . an 2 (a: hằng số). un 1 là số hạng nào sau đây? n 1 2 a.  n  1 a.n 2  1 an2 B. un 1  . C. un1  . D. un1  . n 1 n 1 n2 Câu 2: Cho dãy số  un  với un  2 a.  n  1 A. un 1  . n2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 2 a.  n  1 a  n  1 Ta có un 1   .  n  1  1  n  2 2 Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. un  5(n  1) . B. un  5n . C. un  5  n . D. un  5.n  1 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: 5  5.1 10  5.2 15  5.3 20  5.4 25  5.5 Suy ra số hạng tổng quát un  5n . Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36,... .Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. un  7 n  7 . B. un  7.n . C. un  7.n  1 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 8  7.1  1 D. un : Không viết được dưới dạng công thức. Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 15  7.2  1 22  7.3  1 29  7.4  1 36  7.5  1 Suy ra số hạng tổng quát un  7n  1 . 1 2 3 4 Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ;... .Số hạng tổng quát của dãy số này là: 2 3 4 5 n2  n n 1 n n 1 A. un  . B. un  . C. un  . D. un  . n n 1 n n 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: 0 0 0 1 1 1  2 11 2 2  3 2 1 3 3  4 3 1 4 4  5 4 1 n Suy ra un  . n 1 Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0,1;0, 01;0, 001;0, 0001;... . Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? 1 1 A. un  0, 00...01 . B. un  0, 00...01 . C. un  n 1 . D. un  n 1 .         10 10 n chöõ soá 0 n1 chöõ soá 0 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0 Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0 Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0 ……………………………. Suy ra un có n chữ số 0 . Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng n 1 A. un  1 . B. un  1 . C. un  (1)n . D. un   1 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 1 2 3 4 5 n Các số hạng đầu của dãy là  1 ;  1 ;  1 ;  1 ;  1 ;...  un   1 . Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2;0;2;4;6;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? A. un  2n . B. un   2   n . Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 C. un   2  (n  1) . D. un   2   2  n  1 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là  2  nên un   2   2.  n  1 . 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là? 3 32 33 34 35 1 1 1 B. un  n 1 . C. un  n . D. un  n 1 . 3 3 3 Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1 1 . 3 3n 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 1 1 1 1 5 số hạng đầu là ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;... nên un  n . 3 31 3 3 3 3 A. un  u  5 Câu 10: Cho dãy số  un  với  1 .Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? un 1  un  n (n  1)n . 2 (n  1)n C. un  5  . 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. (n  1)n . 2 (n  1)(n  2) D. un  5  . 2 A. un  B. un  5  n  n  1 . 2 u1  1  với  2 n . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào un 1  un   1  Ta có un  5  1  2  3  ...  n  1  5  Câu 11: Cho dãy số  un  dưới đây? 2n A. un  1  n . B. un  1  n . C. un  1   1 . D. un  n . Hướng dẫn giải: Chọn D. 2n Ta có: un1  un   1  un  1  u2  2; u3  3; u4  4;... Dễ dàng dự đoán được un  n . Thật vậy, ta chứng minh được un  n  * bằng phương pháp quy nạp như sau: + Với n  1  u1  1 . Vậy  * đúng với n  1 + Giả sử  * đúng với mọi n  k  k  *  , ta có: uk  k . Ta đi chứng minh  * cũng đúng với n  k  1 , tức là: uk 1  k  1 2k + Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số  un  ta có: uk 1  uk   1  k  1 . Vậy  * đúng với mọi n  * . u1  1  Câu 12: Cho dãy số  un  với  2 n 1 . Số hạng tổng quát u n của dãy số là số hạng nào un 1  un   1  dưới đây? A. un  2  n . B. un không xác định. C. un  1  n . D. un   n với mọi n . Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: u2  0; u3  1; u4  2 ,.. Dễ dàng dự đoán được un  2  n . u1  1 Câu 13: Cho dãy số  un  với  . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới 2 un 1  un  n đây? n  n  1 2n  1 n  n  1 2n  2  A. un  1  . B. un  1  . 6 6 n  n  1 2n  1 n  n  1 2n  2  C. un  1  . D. un  1  . 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. u1  1  2 u2  u1  1 n  n  1 2n  1 2  Ta có: u3  u2  22 . Cộng hai vế ta được un  1  12  22  ...   n  1  1  6 ...  un  un 1   n  1 2  Câu 14: Cho dãy số  un  u1  2 với un 1  un  2n  1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới  đây? 2 2 2 A. un  2   n  1 . B. un  2  n 2 . C. un  2   n  1 . D. un  2   n  1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. u1  2 u  u  1 1  2 2  Ta có: u3  u2  3 . Cộng hai vế ta được un  2  1  3  5  ...   2n  3  2   n  1 ...  un  un 1  2n  3  u1  2  Câu 15: Cho dãy số  un  với  1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un 1  2   un  n 1 n 1 n 1 n A. un   . B. un  . C. un   . D. un   . n n n n 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 4 5 n 1 Ta có: u1   ; u2   ; u3   ;... Dễ dàng dự đoán được un   . 2 3 4 n 1  u1  Câu 16: Cho dãy số  un  với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: 2 un 1  un  2  Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 1 1 1 1  2  n  1 . B. un   2  n  1 . C. un   2n . D. un   2n . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1  u1  2  u2  u1  2 1 1  Ta có: u3  u2  2 . Cộng hai vế ta được un   2  2...  2   2  n  1 . 2 2 ...  un  un 1  2   u1  1  Câu 17: Cho dãy số  un  với  un . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un 1  2  A. un  n 1 A. un   1 .   . 2 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: 1 B. un   1 .   2 u1  1  u2  u1 2   u2  . u3  2  ...  un  un 1  2  n 1 . Nhân 1 C. un    2 hai u .u .u ...u 1 1 u1.u2 .u3 ...un   1 . 1 2 3 n 1  un   1 . n 1   1 .   2.2.2...2 2 2     n 1 1 D. un   1 .   2 . vế ta n 1 được n 1 n 1 lan u  2 Câu 18: Cho dãy số  un  với  1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này : un 1  2un A. un  n n 1 . B. un  2n . C. un  2n 1 . D. un  2 . Hướng dẫn giải: Chọn B. u1  2 u  2u 1  2  Ta có: u3  2u2 . Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un  2.2n 1.u1.u2 ...un 1  un  2n ...  un  2un 1  Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu19 : Cho dãy số  un  A. un  2 n 1 . Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 1  u1  với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này: 2 un 1  2un  1 1 B. un  n 1 . C. un  n . D. un  2n  2 . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1  u1  2  u2  2u1 1  Ta có: u3  2u2 . Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un  .2n 1.u1.u2 ...un 1  un  2n 2 2 ...  un  2un 1   n 2  3n  7 Câu 20: Cho dãy số (un ) được xác định bởi un  . Viết năm số hạng đầu của dãy; n 1 11 17 25 47 13 17 25 47 11 14 25 47 11 17 25 47 A. ; ; ; 7; B. ; ; ; 7; C. ; ; ; 7; D. ; ; ;8; 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có năm số hạng đầu của dãy 12  3.1  7 11 17 25 47 u1   , u2  , u3  , u4  7, u5  11 2 3 4 6 Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. A. 2 B. 4 C. 1 D. Không có Hướng dẫn giải: Chọn C. 5 5 Ta có: un  n  2  , do đó un nguyên khi và chỉ khi nguyên hay n  1 là ước của 5. Điều đó n 1 n 1 xảy ra khi n  1  5  n  4 Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u4  7 . u  1 Câu 22: Cho dãy số (un ) xác định bởi:  1 . Viết năm số hạng đầu của dãy; un  2un 1  3 n  2 A. 1;5;13;28;61 B. 1;5;13;29;61 C. 1;5;17;29;61 D. 1;5;14;29;61 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có 5 số hạng đầu của dãy là: u1  1; u2  2u1  3  5 ; u3  2u2  3  13; u4  2u3  3  29 u5  2u4  3  61 . Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 18 Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 2 un 1  un  2vn  Câu 23: Cho hai dãy số (un ), (vn ) được xác định như sau u1  3, v1  2 và  với n  2 . vn 1  2un .vn  Tìm công thức tổng quát của hai dãy (un ) và (vn ) . n       1 un  2    C.  v  1  n 3 2             2n 2 1 2n   2 1     2n 2 1    2 1 2 1  2n      2n   2n 2 1  1 un  4    B.  v  1   n 2    1 un  2    D.  v  1  n 2 2  n 2 2  un  2  1  2  1   A.  2n 1  vn  2  1  2 1  2 2     2 1  2n      2n  2 1     2n         2 1 2n   2 1 2n 2 1  2n     2 1 2n    Hướng dẫn giải: Chọn D. Chứng minh un  2vn    2 1 2n (2)  2 2 Ta có: un  2vn  un 1  2vn 1  2 2un 1vn 1  un 1  2vn 1  Ta có: u1  2v1  3  2 2   Giả sử uk  2vk    2 1   2 1  2 2 nên (2) đúng với n  1 2k , ta có:  uk 1  2vk 1  uk  2vk 2    2 1 2k 1 Vậy (2) đúng với n  1 . Theo kết quả bài trên và đề bài ta có: un  2vn  n                2n n 2 2  2un  2  1  2  1  Do đó ta suy ra  2n  2 2v  2  1  2  1 n  2n 2n   1 un  2  2  1  2  1     Hay  . n 2 2n  1  v  2  1  2 1   n 2 2      2 1 2n  Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS> 11 DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng không giảm 3n 2  2n  1 n 1 B. Dãy số giảm D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: un 1  un  5n 2  10n  2  0 nên dãy (un ) là dãy tăng  n  1 n  2  Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  n  n 2  1 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: 1 1 Ta có: un 1  un   0 2 n  n2  1  n  1   n  1  1 Chọn B. Nên dãy (un ) giảm. Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  A. Dãy số tăng C. Dãy số không tăng không giảm 3n  1 2n B. Dãy số giảm D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. 3n  1  0  dãy (un ) tăng. 2n1 n n   1 Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un  n2 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn C. u  u1 1 2 Ta có: u1  0; u2  ; u3    2  Dãy số không tăng không giảm. 2 9 u3  u2 Ta có: un1  un  un1  un  2n  13 3n  2 B. Dãy số giảm, bị chặn D. Cả A, B, C đều sai Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un  A. Dãy số tăng, bị chặn C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn Hướng dẫn giải: Chọn A. Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected] Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20