Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn vật lý thpt chuyên đề các bài toán khúc xạ và phản xạ bồi dưỡng học sinh giỏi

CHUYÊN ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN KHÚC XẠ VÀ PHẢN XẠ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Giáo viên: Nguyễn Phước Cẩm Nhung A.MỞ ĐẦU 1) Lí do chọn đề tài Trong chương trình Vật lí chuyên, phần quang học chiếm một số lượng lớn tiết trong phân phối chương trình 11. Trong đó, các bài toán về khúc xạ và phản xạ toàn phần thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi các cấp và thường có sử dụng đến đạo hàm, tích phân và phương trình các đường cônic để giải các bài tập phức tạp. Nhưng trong thực tế, giáo viên khi dạy cho học sinh còn gặp nhiều khó khăn vì kiến thức toán học của học sinh 11 về đạo hàm, tích phân và phương trình các đường cônic còn hạn chế, bên cạnh đó nguồn tài liệu cho vấn đề trên không nhiều và chưa tập hợp thành dạng. Với mong muốn giúp học sinh nắm bắt được các dạng bài tập khó trong phần khúc xạ và phản xạ toàn phần chúng tôi chọn đề tài “ Các bài toán khúc xạ và xạ bồi dưỡng học sinh giỏi.”. Hy vọng rằng đề tài sẽ có ích với học sinh và các đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy và ôn luyện học sinh giỏi. 2) Mục đích của đề tài Đề tài nhằm đề xuất một số dạng bài tập về khúc xạ và phản xạ có sử dụng phép tính đạo hàm, tích phân và các đường cônic kết hợp với các định luật quang học, đồng thời trang bị cho bản thân tác giả những kiến thức cơ bản trong công tác giảng dạy học sinh chuyên. 1 B.NỘI DUNG I.LÍ THUYẾT 1)Định luật về sự truyền thẳng ánh sáng. *Định luật “ Trong một môi trường trong suốt và đồng tính, ánh sáng truyền theo đường thẳng”. *Hệ quả: Tia sáng là đường thẳng vẽ theo đường truyền của tia sáng”(trong một môi trường đồng tính). Trong thực tế, ta không thể tạo được một tia sáng hoàn toàn đúng theo định nghĩa mà chỉ có thể tạo được những chùm sáng song song và hẹp. 2)Định luật phản xạ ánh sáng *Nội dung: - Tia phản xạ nằm trong mặt phẳng tới và ở bên kia pháp tuyến so với tia tới. Góc phản xạ bằng góc tới. Trên hình 1,  là mặt ngăn cách hai môi trường trong suốt khác nhau và được gọi là mặt phản xạ: Tia SI được gọi là tia tới. Tia IR được gọi là tia phản xạ. I được gọi là điểm tới. IN là pháp tuyến của mặt  tại điểm tới I. · Góc i  NIS là góc tới. · Góc i '  NIR là góc phản xạ. Mặt phẳng P chứa tia tới và pháp tuyến là mặt phẳng tới. 2 Chú ý: - Định luật phản xạ chỉ đúng khi mặt phản xạ có kích thước đủ lớn so với bước sóng của ánh sáng. - Khi chiếu một chùm tia sáng vào mặt  giới hạn hai môi trường truyền ánh sáng thì ngoài chùm tia phản xạ theo định luật trên ta còn thấy nhiều chùm tia tán xạ truyền theo nhiều phương khác, làm với chùm tia nhiều góc khác nhau. Nếu mặt  càng gồ ghề hoặc có kích thước càng nhỏ thì cường độ các chùm tán xạ càng lớn và cường độ chùm phản xạ càng nhỏ, cuối cùng không chênh lệch nhau nữa. 3) Định luật khúc xạ, định luật Snel-Đề-các *Đinh luật: - Tia khúc xạ nằm trong mặt phẳng tới (và ở bên kia pháp tuyến so với tia tới). - Tỉ số giữa sin của góc tới i1 và sin của góc khúc xạ i2 là một hằng số n, gọi là chiết suất tỉ đối của môi trường chứa tia khúc xạ đối với môi trường chứa tia tới. sin i1  n21 (1) sin i2 · ' IT gọi là góc khúc xạ. Trên hình 1: tia IT gọi là tia khúc xạ, góc i2  N *Chiết suất: - Chiết suất tuyệt đối n của một môi trường là chiết suất của môi trường ấy đối với chân không.Gọi c và v lần lượt là vận tốc ánh sáng trong chân không và trong một môi trường, và n là chiết suất tuyệt đối của môi trường ấy thì: n c v (2) 3 -Chiết suất tỉ đối: nếu n1, n2 lần lượt là chiết suất tuyệt đối của hai môi trường 1,2 và v1 , v2 lần lượt là vận tốc ánh sáng trong hai môi trường ấy thì chiết suất tuyệt đối của hai môitrường là: n21  n2 v1 . (3)  n1 v2 4)Nguyên lí Fermat a)Quang trình Xét hai điểm A, B(hình 2) trên một tia sáng truyền trong một môi trường chiết suất n, và gọi e=AB là độ dài đoạn AB. Ánh sáng truyền từ A đến B, mất một thời gian: t  AB e  v v (4) Với v là vận tốc ánh sáng trong môi trường. Cũng trong thời gian t ấy, nếu truyền trong chân không, ánh sáng đi được quãng e đường: e0  c.t  c.  n.e. (5) v Hai quãng truyền e0 và e của ánh sáng trong cùng một thời gian t trong chân không và trong môi trường chiết suất n được gọi là hai quãng truyền tương đương và e0 gọi là quang trình của quãng truyền AB, kí hiệu là : (AB)  e0  n.e (6) Nếu tia sáng truyền từ A đến B qua một dãy môi trường đồng tính chiết suất n1, n2, ...ni...nk, ngăn cách nhau bởi các mặt 1 ,  2 , 3 ,... i ,...  k 1 , (hình 3) thì các quãng truyền AiAi+1 của tia sángtrong mỗi môi trườnglà một 4 đoạn thẳng, độ dài e i và quang trình của tia sáng trên quãng truyền AB là: k ( AB)  n1e1  n2e2  ...  ni ei  ...  nk ek   ni ei i 1 (7) Trong thực tế, điểm B trong hình 3 mà ta xét thường là ảnh của điểm A cho bởi quang hệ. Mà ảnh của một điểm sáng qua một quang hệ có thể là ảnh thật B hoặc ảnh ảo B’. Ảnh ảo B’ không nằm trên phần Ak-1B của tia sáng trong môi trường k, mà vẫn nằm trên đường kéo dài về phía trước điểm Ak-1 của tia Ak-1B. Để vẫn có thể áp dụng công thức (7), khi xét quang trình (AB’), ta coi quang trình ảo Ak-1 B’, hướng ngược chiều truyền của ánh sáng như vẫn được truyền trong môi trường k, nhưng là số âm và quang trình (AB’) có giá trị. ( AB ')  n1AA1  n2 A1A 2  n3A 2 A3  ...  nk A k 1 B ', Hay là ( AB ')  n1 AA1  n2 A1A 2  n3 A 2 A 3  ...  nk A k 1 B ', k Hoặc ( AB ')  n1e1  n2e2  n3e3  ...  nk ek  (ni ei ). i 1 (8) Trong đó quang trình nào ảo thì có độ dài là một số âm. b) Nguyên lí Féc-ma “ Quang trình của đường truyền một tia sáng từ một điểm A đến một điểm B sau một số lần phản xạ và khúc xa liên tiếp bất kí có giá trị cực tiểu, cực đại, hoặc dừng so với quang trình của các tia sáng vô cùng gần AB”. 5)Tính tương điểm, điều kiện tương điểm a) Định nghĩa -Hệ quang học được gọi là tương điểm khi ảnh của một điểm sáng cho bởi quang hệ cũng hoàn toàn đúng là một điểm. 5 Như vậy đối với một hệ tương điểm thì: -Một chùm sáng đồng tâm sau khi truyền qua hệ vẫn là một chùm sáng đồng tâm. -Một chùm sáng có mặt sóng là một hình cầu sau khi truyền qua hệ vẫn là một chùm sóng cầu. b)Điều kiện tương điểm Giả sử A’ là ảnh tương điểm của điểm sáng A qua một quang hệ gồm k môi trường chiết suất n1, n2, ...,nk ngăn cách nhau bằng (k-1) mặt i . A là tâm của các mặt sóng cầu S, A’ là tâm của các mặt sóng cầu S’. Khi lần lượt truyền qua các môi trường ni, các mặt sóng S lần lượt bị biến đổi thành các mặt Si, và cuối cùng thành các mặt sóng cầu S’. Đối với mọi tia sáng trong chùm đi từ A, quang trình từ A tới các mặt sóng S đều bằng nhau, quang trình giữa hai mặt sóng Si, S’i cũng bằng nhau và quang trình từ các mặt sóng S’ tới A’ cũng bằng nhau, do đó quang trình từ A đến A’ của mọi tia sáng đều bằng nhau, tức là ( AB ')  n1 AI1  n2 I1 I 2  n3 I 2 I 3  ...  nk I k 1 A'  const Và điều kiện tương điểm đối với cặp điểm A, A’ là: (AA')=const . (9) Chú ý: lấy dấu trừ cho các quang trình ảo. 6 II.BỔ TÚC TOÁN 1)Bảng công thức đạo hàm a) Các quy tắc tính đạo hàm: 1/ (u + v )' = u '+ v ' 2/ (uv )' = u ' v + uv ' 3/ (cu )' = cu ' (c là hằng số) æu ö u ' v - uv ' 4/ çç ÷ ÷ '= ÷ çè v ÷ v2 ø b)Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: ( ) 1/ (c)' = 0 (c là hằng số) 2/ x m ' = mx m - 1 3/ (sin x )' = cos x 4/ (cos x )' = - sin x 5/ (t gx )' = 1 cos2 x 6/ (cot gx )' = - ( ) ( ) x x 7/ a ' = a ln a 9/ (loga x )' = x x 8/ e ' = e 1 x ln a 13/ (arct gx )' = 10/ (ln )' = 1 11/ (arcsin x )' = 1 sin 2 x 1 - x2 1 x 12/ (arccos x )' = - 1 1 - x2 1 1 + x2 c)Một vài đạo hàm cấp cao của một vài hàm số sơ cấp: 1/ f (x ) = x k , f (n ) (x ) = k (k - 1)... (k - n + 1)x k- n (n £ k) 7 2/ f (x ) = ex , f (n ) (x ) = 5/ f (x ) = 6/ f (x ) = k (2k) (x ) = (- 1) (2k) k 3/ f (x ) = sin x, f 4/ f (x ) = cos x, f ex (x ) = (- 1) sin x ; f (2k + 1) cos x ; (2k + 1) f k (x ) = (- 1) k (x ) = (- 1) cos x sin x n 1 n! (n ) , f (x ) = (- 1) n+ 1 1+ x (1 + x ) 1 n! (n ) , f (x ) = n+ 1 1- x (1 - x ) 2)Nguyên hàm, tích phân a) Nguyên hàm * Định nghĩa: Cho hai hàm số F (x ), f (x ) xác định trong khoảng (a, b ) . F (x ) được gọi là một nguyên hàm của f (x ) nếu F ' (x ) = f (x ), "x Î (a, b ). *Định lý: Nếu F (x ) là một nguyên hàm của f (x ) trong khoảng (a, b ) thì f (x ) sẽ có vô số nguyên hàm trong khoảng (a, b ). Các nguyên hàm này có dạng F (x ) + c (c là hằng số). Người ta thường ký hiệu ò f (x )dx là tập hợp các nguyên hàm của f (x ). ò f (x )dx = F (x ) + c b) Tích phân 8 * Định nghĩa:Cho hàm số f (x ) lên tục trên đoạn éêa, b ù , là một nguyên hàm của ë ú û F (x ) là một số thực. Kí hiệu: f (x ). Tích phân của f (x ) trên đoạn éêëa, b ù ú û b ò f (x )dx và được a xác định bởi : b ò f (x )dx = F (b )- F (a ) a b b Người ta thường dùng kí hiệu éêF (x )ù úa (hoặc F (x ) a ) để chỉ F (b )- F (a ) . ë û b Khi đó: b ò f (x )dx = éëêF (x )ùûúa a *Các công thức tích phân Công thức cơ bản  dx  x  C   x dx   x  du  u  C 1  1 u 1  u du    1  C  C dx  ln x  C x n  (ax  b) dx  e x 1 1  (ax  b) dx  a ln ax  b  C 1 ax  b  a n 1 dx  e x  C x  a dx  Công thức mở rộng ax C ln a n 1 C 1 u n dx   u  n dx   1 C (n  1).u n  1 1 ax  b ax  b e dx  e C  a u  a du  au C ln u  cos x.dx  sin x  C 9 1  cos(nx).dx  n sin nx  C 1  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C 1  sin x.dx   cos x  C 1  sin nx.dx   n cos nx  C 1  cos 2 x dx   (1  tg 2 x)  tgx  C 1 2  sin 2 x dx   (1  cot gx)   cot gx  C  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C u'  u dx    u' u u' u 2 du  ln u  C u dx  2 u  C dx   1 C u 3)Các đường cônic a)Định nghĩa: Đường cô-nic có thể được định nghĩa theo hai cách: - Đường cô-nic là quỹ tích của các điểm mà tỉ lệ khoảng cách từ nó tới điểm cố định F trên khoảng cách từ nó tới đường cố định L thì bằng giá trị thực e.  Đối với 0 < e < 1 ta được hình Ellipse (nằm trên mặt phẳng vuông góc với đường L)  Đối với e = 1 là một parabol (nằm trên mặt phẳng chứa điểm F và đường L)  Đối với e > 1 là một hình hyperbol. Ta có điểm cố định F được gọi là tiêu điểm, đường thẳng cố định L được gọi là đường chuẩn và giá trị thực e được gọi là tâm sai. - Đường cô-níc là đường giao giữa mặt nón tròn xoay và một mặt phẳng. Khi giao của hình nón và mặt phẳng là một đường cong kín, tức mặt phẳng giao với toàn bộ các đường sinh, không song song với đường sinh nào thì có tiết diện là một đường ellipse. Nếu mặt phẳng song song một đường sinh của mặt nón, đường côníc sẽ trở thành một parabol. Cuối cùng, trường hợp mặt phẳng giao với hai mặt 10 nón có chung đỉnh (đồng thời cũng cắt hai đáy của hai hình nón này), tạo thành hai đường cong riêng biệt gọi là hyperbol. b) Phương trình đường cônic Trong hệ tọa độ Descartes, hình của phương trình bậc hai hai ẩn luôn luôn là một đường conic, và tất cả các đường cô-níc đều có thể biểu diễn được dưới dạng này. Phương trình này có dạng Ax2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0 với A,B,Ckhông đồng thời bằng 0. Ta có: - Nếu B 2  4 AC  0 , phương trình cho ta một hình ellipse (trừ phi đường cô-nic bị suy biến); o Đồng thời nếu A = C và B = 0, phương trình cho ta hình tròn; - Nếu B 2  4 AC  0 , phương trình cho một hình parabol; - Nếu B 2  4 AC  0 , phương trình cho ta một hình hyperbol; o Đồng thời nếu A+C=0, phương trình cho ta một hình theo tên tiếng anh là rectangular hyperbola. - Chú ý rằng A và B chỉ là các hệ số của đa thức, không phải là nửa độ dài của trục thực hay trục ảo. - Qua hệ trục tọa độ, các phương trình có thể được viết dưới dạng đơn giản: - Đường tròn: x2  y 2  r 2 . - x2 y 2 x2 y 2 Ellipse: 2  2  1, 2  2  1. a b b a - Parabol: y 2  4ax , x2  4ay . - x2 y 2 x2 y 2   1,   1. Hyperbol: 2 a b2 b2 a 2 - Rectangular Hyperbola: xy  c 2 . 11 - Chú ý: Ở hình ellipse và hình hyperbol còn có thêm hai trục đối xứng mà ở parabol chỉ có một: - Ở hình ellipse được gọi là trục lớn và trục bé. Trục lớn là trục đi qua hai tiêu điểm và tâm, trục bé là trục vuông góc với trục lớn tại tâm. - Còn ở hình hyperbol tương ứng được gọi là trục thực và trục ảo. Trục thực là trục đi qua hai tiêu điểm, hai đỉnh của hai nhánh, tâm. Trục ảo là trục vuông góc với trục thực ở tâm của hyperbol. Qui ước: Độ dài trục lớn (trục thực) bằng giá trị không đổi 2a. Độ dài trục ảo (trục bé) bằng giá trị không đổi 2b. Trong đó, c 2  a 2  b2 đối với ellipse và c 2  a 2 b2 đối với hyperbol (F1F2=2c và được gọi là tiêu cự). III.BÀI TẬP *Phản xạ bề mặt parabol Bài 1: Một bình hình trụ đựng thủy ngân quay chung quanh trục thẳng đứng của hình trụ với vận tốc góc không đổi  . Khi đạt trạng thái chuyển động ổn định, bề mặt thủy ngân lõm xuống. Bỏ qua ảnh hưởng của lực căng mặt ngoài. Chứng tỏ rằng một chùm tia tới song song chiếu từ trên xuống dọc theo trục quay, sau khi phản xạ trên mặt thủy ngân sẽ hội tụ lại ở một điểm. Định vị trí của điểm hội tụ này? Lời giải Xét hệ quy chiếu không quán tính gắn với bình như hình vẽ 1.1.Khi đạt trạng thái chuyển động ổn định, mỗi phần tử thủy ngân ở trên bề mặt cân bằng dưới tác dụng của trọng lực và lực li tâm, hợp của hai lực nàyvuông góc với mặt thoáng của thủy ngân. Mặt thoáng thủy ngân có trục quay là trục đối xứng. Trong mặt phẳng chứa trục quay, xét một phần tử thủy ngân A bất kì trên bề mặt có tọa độ (x,y). Để tìm hệ thức liên hệ giữa x và y ta áp dụng phương pháp vi phân. Xét một đoạn nhỏ giới hạn mặt thoáng tại A, phương của đoạn nhỏ này có thể được xem như trùng phương với tiếp tuyến tại A. Từ 12 A kẻ tiếp tuyến của mặt thoáng thủy ngân cắt trục Ox tại I và hợp với Ox một góc α.Ta có: ˆ  ˆI   (góc có cạnh tương ứng vuông góc) A 1 1 dy dx Theo định nghĩa đạo hàm ta có: tg   . Flt m 2 x  2 tg     x. P mg g Mà Suy ra dy  2 2  x  dy= xdx . dx g g Tích phân hai vế ta được y   dy  2 2g x2  C . Với x  0, y =0  C=0 .Do đó y  2 2g x2 . Vậy bề mặt thủy ngân là một paraboloic. Xét tia sáng tới gặp mặt thủy ngân tại A(hình1.2). Tia phản xạ được xác định dựa vào định luật phản xạ ánh sáng. Tia phản xạ cắt trục quay tại F. Tia sáng trùng với trục quay phản xạ ngược lại theo chính nó. Ta có i   (góc có cạnh tương ứng vuông góc) OF=OA’-A’F, với Vậy · A'F=A'A tg A'AF  x tg(2  900 )   x tg(900  2 ) OF  y  xtg (900  2 ) = y  . x tg 2 13 Mà 1 1  tg 2 g 2x .    tg 2 2tg 2 2 x 2 g Suy ra OF  g 2 2 =const . Vậy giao điểm F có vị trí cố định với mọi tia phản xạ ứng với chùm tia tới song song với trục quay tại F. Đó là tiêu điểm chính với tiêu cự có giá trị là: f  OF= g 2 2 . *Bài toán khúc xạ qua hai môi trường, giao tuyến của mặt khúc xạ và mặt phẳng tới có hình dạng là các đường cônic. Phương pháp chung: Để giải bài toán này, thuận tiện hơn cả là ta dùng nguyên lí Fermat. Mặt khúc xạ là mặt ngăn cách hai môi trường trong suốt đồng tính có chiết suất khác nhau, sao cho một chùm tia song song bất kì sau khi khúc xạ qua nó đều hội tụ tại một điểm hoặc chùm tia phân kì sau khi khúc xạ qua nó trở thành chùm tia song song. Do tính đối xứng, ta suy ra rằng đó phải là một mặt tròn xoay đối với trục đối xứng của chùm sáng. Ta chỉ cần tìm giao tuyến của mặt đó với một mặt phẳng bất kì đi qua trục. Xét tia trung tâm và tia tùy ý. Vì tất cả các tia đến trục y đều cùng pha, nên quang trình của các tia đều như nhau.Từ đây ta viết được phương trình của mặt cần tìm có chứa x và y. Biến đổi phương trình này về dạng phương trình của các đường cônic. Xét điều kiện của các giá trị chiết suất n 1, n 2 của hai môi trường để xác định dạng cụ thể của đường cônic là hyperbol, elip, .... Như vậy chúng ta đã tìm được dạng của mặt khúc xạ thỏa mãn điều kiện đặt ra. Ví dụ. 14 Bài 2: Một mặt đối xứng tròn xoay  ngăn cách hai môi trường trong suốt chiết suất n1 , n2. Xác định  sao cho một chùm sáng hình nón, có đỉnh A ở trên trục đối xứng của  , cách  một khoảng d, trong môi trường 1, sau khi truyền qua mặt  sang môi trường 2, thì trở thành một chùm song song. Xét hai trường hợp : n1>n2 và n1n 2 Với n1>n2 hệ số của x2 và y2 đều dương. Vậy phương trình trên là phương trình của một elip, và mặt  là một mặt elipxôit tròn xoay. Phương trình (2.1) có thể viết: 2n1d (n1  n2 ) n12 x  x 2 y2  0 2 2 2 n1  n2 n1  n2 2 2n1d n12 x  x 2 y 2  0, 2 n1  n2 n1  n2 2 2  nd  Thêm và bớt  1  vào vế trái, ta được:  n1  n2  2  n1d  n12 y 2 n12 d 2 x     0.   2 2 2 n  n n  n ( n  n ) 1 2  1 2 1 2  n12 d 2 Chia cả hai vế cho , ta được: ( n1  n2 ) 2 2  n1d  n12 y 2 n12 d 2  0 x   n1  n2  n12  n22 (n1  n2 ) 2  2  n1d  x  n1  n2  y2   2 1 . 2 d (n1  n2 )  n1d    n1  n2  n1  n2  (2.2) 16 Đây là phương trình elip quy về hai trục đối xứng của nó. Vậy, bán trục hướng theo Ox và Oy có độ dài lần lượt là: a = n1 n n d; b = 1 2 d. n1  n2 n1  n2 Tiêu cự 2c , với c  a 2  b 2  dn2 c n ; và tâm sai e =  1 . n1  n2 a n2 Tâm O1 có hoành độ: xO   n1 d  a . n1  n2 A cách O1 một khoảng: AO1  d  a = d  n1 n2 d d c. n1  n2 n1  n2 Vậy A là tiêu điểm ở xa O, còn tiêu điểm A1 ở gần O hơn, và elip có dạng vẽ trên hình 2.2. Nếu đặt một nguồn sáng tại điểm A, trong môi trường n1, thì chùm sáng ló ra khỏi elipxôit là một chùm hoàn toàn song song. Trường hợp 2: n 1n thì mặt  phải thay đổi thế nào? Lời giải 18 Ta lấy đỉnh của trục đối xứng trên mặt  làm gốc tọa độ, trục đối xứng của mặt làm trục hoành Ox, và trục Oy vuông góc với Ox trong một mặt kinh tuyến của  (Hình 3.1). Ta xét hai tia sáng: -Tia A0O đi theo trục đối xứng của  truyền qua  vào môi trường n, không bị lệch. -Tia AI song song với A0O tới điểm I trên mặt  , khúc xạ theo IR và cắt tia Ox tại điểm F, cách O một khoảng OF  f . Quang trình của hai tia là: (OF)  f .n (AIF)  AI n.IF=x  n ( f  x) 2  y 2 . Quang trình của hai tia này phải bằng nhau với mọi x,y trên mặt  . Ta có phương trình: x  n ( f  x) 2  y 2  nf , hay là n ( f  x) 2  y 2  nf  x, Bình phương hai vế của phương trình trên ta được phương trình: (n2  1) x2  2 fn(n  1) x  n2 y 2  0, 2 Chia hai vế cho (n  1) , ta được: 19 2nf n2 y 2 x  x 2  0. n 1 n 1 2 2  nf  Thêm bớt số hạng   vào vế trái của phương trình ta thu được phương trình:  n 1 2 nf  n2 y 2 n2 f 2   x   n  1  n2  1 (n  1)2  2 nf   x  n 1  Hay  2  nf     f  n 1  y2 n 1   n 1  Theo giả thiết ta có n>1 nên 2  1. (3.1) n 1 >0. n 1 Vậy, phương trình (3.1) là phương trình của một elip với hai bán trục lần lượt là: a= n n 1 f ;b  f . n 1 n 1 Bán tiêu cự của elip là c = a 2  b 2  f c 1 . Tâm sai là e =  . n 1 a n 20